Baixe Lista e gabarito de Integrais de Linha e outras Exercícios em PDF para Cálculo Diferencial e Integral, somente na Docsity! Lista de Integrais de Linha Obs: Entregar resolvida em folha A4 com capa no dia da P1. 01. Calcule ∫ γ −→ F · d~r sendo dados: a) −→ F (x, y, z) = x~i + y~j + z~k e γ(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. b) −→ F (x, y, z) = (x + y + z)~k e γ(t) = (t, t, 1 − t2), 0 ≤ t ≤ 1. c) −→ F (x, y) = x2~j e γ(t) = (t2, 3), −1 ≤ t ≤ 1. d) −→ F (x, y) = x2~i + (x − y)~j e γ(t) = (t, sin t), 0 ≤ t ≤ π. e) −→ F (x, y, z) = x2~i + y2~j + z2~k e γ(t) = (2 cos t, 3 sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. 02. Definimos o trabalho W realizado por −→ F de γ(a) até γ(b) por W = ∫ γ −→ F · dγ = b∫ a −→ F (γ(t)) · γ′(t)dt Uma partícula desloca-se em um campo de forças dado por −→ F (x, y, z) = −y~i + x~j + z~k. Calcule o trabalho realizado por −→ F no deslocamento da partícula de γ(a) até γ(b), sendo dados: a) γ(t) = (cos t, sin t, t); a = 0 e b = 2π. b) γ(t) = (2t + 1, t − 1, t); a = 1 e b = 2. 03. Calcule ∫ γ xdx + ydy + zdz, onde γ é o segmento de extremidades (0, 0, 0) e (1, 2, 1), percorrido no sentido de (1, 2, 1) para (0, 0, 0). 04. Calcule ∫ γ −ydx + xdy, onde γ é uma curva cuja imagem é o triângulo de vértices (0, 0), (1, 0) e (1, 1), orientada no sentido anti-horário. 05. Calcule ∫ γ (x2 + y2)ds, onde γ(t) = (t, t), −1 ≤ t ≤ 1. 06. Calcule ∫ γ (xyz)ds onde γ(t) = (cos t, sin t, t), 0 ≤ t ≤ 2π. 07. Calcule a massa do fio γ(t) = (t, 2t, 3t), 0 ≤ t ≤ 1, cuja densidade linear é δ(x, y, z) = x + y + z. 08. Verifique se a forma diferencial dada é exata, justificando: a) xdx + ydy + zdz b) 2xydx + x2dy c) (x + y)dx + (y − x)dy 09. Calcule (1,1)∫ (2,2) ydx + xdy. 10. Determine se a integral ∫ γ x2ydx + 3xy2dy é independente do caminho de integração. 11. Calcule ∫ γ y2dx + xdy, onde γ é o arco de parábola x = 4 − y2 de (-5,-3) a (0,2). 12. Mostre que, se um campo vetorial −→ F (x, y, z) = P(x, y, z)~i +Q(x, y, z)~j + R(x, y, z)~k é conservativo e P,Q,R têm derivadas parciais de primeira ordem contínuas, então ∂P ∂y = ∂Q ∂x ∂P ∂z = ∂R ∂x ∂Q ∂z = ∂R ∂y 13. Use o exercício (12.) para mostrar que a integral de linha ∫ γ ydx + xdy + xyzdz não é independente do caminho. 14. Seja −→ F (x, y) = −y~i + x~j x2 + y2 . a) Mostre que ∂P ∂y = ∂Q ∂x . b) Mostre que ∫ γ −→ F · d~r não é independente do caminho. [ Dica: Calcule ∫ γ1 −→ F · d~r e ∫ γ2 −→ F · d~r, onde γ1 e γ2 são as metades superior e inferior do círculo x2 + y2 = 1 de (1,0) a (-1,0) ]. 15. Calcule ∫ ψ y(x−z) ds, ondeψ é a intersecção das superfícies x2+ y2+z2 = 9 e x+z = 3. 16. Calcule ∫ ψ xy ds, onde ψ é a intersecção das superfícies x2 + y2 = 4 e y + z = 8. 2
