Matemática Financeira de Juros Compostos com Exercícios, Exercícios de Matemática Financeira

Baixe Matemática Financeira de Juros Compostos com Exercícios e outras Exercícios em PDF para Matemática Financeira, somente na Docsity! CTT NI a NS DE JUROS COMPOSTOS No Regime de Juro Composto, os juros não saem do processo de capitalização, passando eles próprios a vencer juros nos períodos de capitalização seguintes. Verifica-se que em Regime de Juro Composto o capital aplicado é crescente ao longo do prazo da aplicação e, consequentemente, os juros vão aumentando em progressão geométrica de razão (1 + i). EC S,=S,tH, E q o E | | | | 3 | | 2 3 Exemplo: Capital 500€; taxa de juro 10% ao ano. Capital Juro Valor Acumulado (c) (1) (C + 3) 500€ 50,0€ 550,0€ 550€ 55,0€ 605,0€ 605€ 60,5€ 665,5€ = FÓRMULA GERAL DE CAPITALIZAÇÃO Juro Período Capital Acumulado h=C(1+i)t,i S=C+] 1º período J,=Cki S,=C+Ci =C(1+i) 2º período 3,=C(1+i)xi S;=C(1+i) + C(1+i)xi =C(1+)? 3º período J,;=C(1+i)2xi S;=C(1+i)2+C(1+)2xi nésimo período |] ,=C(1+i)ri,i |S,=C(1+H)1+C(1+i)2,i =C(1+i) Sendo: : Taxa de juro : Tempo : Juro produzido no período n : Juro acumulado ou Juro total S : Capital acumulado C : Capital inicial i n In J Juro de um Período: ==)» J=C(1+i)rli Juro Total: > J=Cl(í+i)-1] = Taxa de Juro (i) Para o cálculo da taxa de juro podemos recorrer a três métodos: 1º Método: Tabelas Financeiras 2º Método: Expressão em função de i — =(S'-a ou i=afê 3º Método: Cálculo Logarítmico | —| -— > |=antlog ES SEC 4 Exemplo: Um capital de 60.000€ aplicado à taxa de juro i durante o prazo de 4 anos transformou-se num valor acumulado de 69.519€. Determine a taxa de juro i. Resolução: C = 60.000 S = 69.519 1º Método: Tabelas Financeiras s=c(1+H" os c=(14il 69.519 =1,15865 ===)» procurar a taxa i na tabela 60.000 p na linha referentean=4 =) |=3,75% 2º Método: Expressão em função dei h fa (6) (00) —-1=0,0375=3,75% C 60.000 ou i= fê=1 = [89.519 —1=0,0375=3,75% C 60.000 3º Método: Cálculo Logarítmico logS-logC | n l0g69.519-10g60.000 | 1 4 4,842103516 -4,77815125 | 4 i= antlog0,015988066 —1 i=1,0375-1 i=0,0375 S&S 1=3,75% i=antlog 1 i=antlog i=antlog 1 Converter o período de capitalização para a mesma unidade do período da taxa de juro, segundo a regra da proporcionalidade. Exemplo 1: Determine o valor acumulado de um capital de 40.000€ aplicado em regime de juro composto à taxa anual de 4,5% durante o prazo de 16 meses. Resolução: C = 40.000 i=4,5% n= 16 meses S=C(1+i) 1% S = 40.000 (1 + 0,045) “12 S=42.417,82€ Exemplo 2: Determine o juro produzido por um capital de 120.000€, aplicado à taxa semestral de 2,5% durante o prazo de 10 meses. Resolução: C= 120.000 |, = 2,5% n = 10 meses J=C[ (1+i -1] 1% J= 120.000 (1+0,025) ** — | J=5.041,55€ Uma entidade investiu 20.000$, durante 3 anos, em regime de juro composto, à taxa de juro anual de 2%. Calcule o valor acumulado no EiloE Re çcr AoA Temos o capital atual (C) no valor de 20.000, a taxa de juro (i) é de 27 anual e precisamos colocar em número decimal (taxa uritário) que no caso é 002 e o prazo (mn) da aplicação é de 3 anos. O objetivo é encontrar o capital futuro (5) A Fórmula para resolver o exercício quando não conhecemos o valor futuro (S)és -=C(i+i)n Uma entidade investiu 20.000$, durante 3 anos, em regime de juro composto, à taxa de juro anual de 2%. Calcule o juro acumulado até ao final do prazo do investimento. Temos o capital atual (C) no valor de 20.000, a taxa de juro (i) é de 2% arual e precisamos colocar em número decimal (taxa unitário) que no caso é 002 e o prazo (hn) da aplicação é de 3 anos. O objetivo é encontrar o juro total (J). A Fórmula para resolver o exercício quando não conhecemos o juro total (D) é J=CMi+iYni Uma entidade investiu 20.000$, durante 3 anos, em regime de juro composto, à taxa de juro anual de 2%. Calcule o juro produzido durante o 2º ano de investimento. Temos o capital atual (C) no valor de 20.000, a taxa de juro () é de 27% onud e precisamos colocar em número decimal (taxa unitário) que no caso é 002 e o prazo (hn) da aplicação é de 3 anos. O objetivo é encontrar o juro produzido no segundo ano (Jn). A Fórmula para resolver o exercício quando não conhecemos o juros (n) é jn=C(i+iYmxi Uma entidade investiu 30.000$, durante 4 anos, em regime de juro composto, à taxa de juro semestral de 1.5%. Calcule o valor acumulado Cole R lote) Re [eo] g=r 48 Temos o capital atual (C) no valor de 30000f, a taxa de juro () é de 157% semestral e precisamos colocar em número decimal (taxa unitário) que no caso é 005 e o prazo (h) da aplicação é de 4 anos. O objetivo é encontrar o capital Futuro (Ss). A Fórmula para resolver o exercício quando não conhecemos o valor Futuro ()és=c(i+i)n Determine a taxa de juro trimestral a que deverá estar aplicado um capital, em regime de juro composto, para que produza um juro acumulado equivalente a um terço do seu valor ao fim de 72 meses. Temos o copital atual (C) no valor que é indeterminado, a taxa de juro (i) é desconhecido e o prazo (n) da aplicação é de 72 meses. Aplicação produziu um juro acumulado 1/3 do capital atual . O objetivo é encontrar (1 investimento durante os 72 meses. a toxa de juro aplicado no Obs: o juro acumulado (D é 1/3xC do capital atual (C) A Formação do capital acumulado (s) é Formado pelo capital atual (CO) mais o juro acumulado () Ss =C+ J,ou seja, podemos expressar S = C + /3x%C. Cálculo auxiliar: n = 72 meses =| Cálculo auxiliar: S = C + 1/3xC Resolvendo a expressão matemática S=C+1/3xC Obs: Aplicar a regra adição de um número inteiro com fração. S=C+1/3C Obs: Conserve o denominador e multiplique com o número inteiro. S=C+1C 5 Obs: Some o número inteiro com o numerador e conserve o denominador. S=3C+1C 5 S=4/3C Com as informações dos cálculos auxiliares, podemos colocar na fórmula para descobrir a taxa de juro que foi utilizado no investimento. Usando a fórmula direta do Não podemos usar a informação de 72 meses na fórmula quando temos um investimento que foi aplicado a uma taxa de juro trimestral. Assim temos que expressar 72 meses em trimestres. Quantos trimestres tem 72 meses? 72/3=24 Concluímos que esse investimento foi aplicado no prazo de 24 trimestres. método expressão em função de i: i=(S/C)M1/n)-1 i=(4/3C/C)M1/24)-1 i=(4/3/M9M(1/24) - 1 i=(4/3)M1/24) -1 i=1.012058882 - 1 i=0.012058882 i=0.01206 i = 1.206% ao trimestre Como nossa incógnita é o prazo, podemos dizer que sua base de tempo é a mesma da base de tempo da aplicação. Cálculo auxiliar: Como se dá a formação do capital acumulado (S)? É a soma do capital atual e o juro acumulado. S = C+) S = 10.000 + 3.401 S=13.401$ Usando a fórmula direta do método tabela Usando a fórmula direta do método tabela logarítmico: financeira: Fórmula n= log S- log € FórmulaS=C(1+i)An log (1+i) 13.401 = 10.000 (1 + 0.05 )An n= log 13.401 - log 10.000 log (1+ 0.05) 13.401=(1+0.05)An 10.000 n= log 0.127137207 log (1 + 0.05) 1.3401=(1+0.05)An n= log 0.127137207 1.3401=( 1.05 An log (1.05) 1.3401 =n n= log 0.127137207 1.05 log 0.021189299 n=log 1.3401 n= 6.000066685 log 1.05 n=6anos n = 6.000066674 n=6 anos Calcule o número de anos necessário para que um capital aplicado em regime de juro composto, à taxa quadrimestral de 1%, produza um total de juros equivalente a metade do seu valor. Temos o capital atual (C) no valor desconhecido, a taxa de juro (D é de 17. quadrimestral e precisamos cdocar em número decimal (taxa unitário) que no caso é O0l e o prazo (nm) da aplicação também é desconhecido. O objetivo é encontrar o prazo da aplicação que produza um juro acumulado V2 do capital atual A Fórmula para resolver o exercício quando não conhecemos o prazo (n) é DE Cas Temos o capital atual (C) de 7000%, a toxa de juro (D é 08% semestral e precisamos colocar em número decimal (taxa unitário) que no caso é 0.008. Lembrando que cada ano a taxa de juro genha uma borificação de O1 ponto percentuais (pp) e o prazo (h) da aplicação é de G semestres. O objetivo é encontrar o valor do capital acumulado usando a Fórmula equação de valor: s =C(1+i)x(i+i)x(i+i)xCiri)xCi+i)xC1+i) Aplicação 0,1 ponto percentuais de bonificação Co =7000$ i=0.8% [1] 6 meses | Antes de inciar o exercício temos que aplicar 0,1 ponto de percentuais de bonificação, depois do primeiro 6 meses de capitalização: ano anos anos Cálculos auxiliares: primeiro seis meses 0.008 segundo seis meses 0.008 + 0.001 = 0.009 terceiro seis meses 0.009 + 0.001 = 0.01 quarto seis meses 0.01 + 0.001 = 0.011 quinto seis meses 0.011 + 0.001 = 0.012 sexto seis meses 0.012 + 0.001 = 0.013 Fórmula equação de valor. S=C(1+i)x(1+i)x(1+i)x(1+i)x(1+i)x(1+i) S=7000(1 +0.008)x(1+0.009)x(1+0.01)x(1+0.011)x(1+0.012)x(1+0.013) S=7000 (1.008) x(1.009)x(1.01)x(1.011)x(1.012)x( 1.013) S = 7000 ( 1.064667962 ) S=7452.675736 S=7452.68$ Temos dois capitais A e B com valores desconhecido, a taxa de juro (D do capital À é de 2% anual e a taxa de juro (D do capital B é de 3% anual, precisamos colocar em número decimal (taxa unitário) que no caso é 002 e 003. Lembrando que ao Fim de IO anos o copital A é igual 54422787. do valor acumulado do capital B e decorrido mais IO anos o valor acumulado dos duas aplicação totaliza G7,44199%. Objetivo é encontrar os capitais de A e B utilizando a Formula equação de valor: CA(I+IYn+CB(I+iYn=s. Cálculos auxiliares 1: Fórmula equação de valor: CA (1+i)An+CB(1+i)An=S CA (1 + 0.02 )120 + CB (1 + 0.03 )A20 = 67,441.99 CA (1.02 )420 + CB ( 1.03 )A20 = 67,441.99 CA x 1.485947396 + CB x 1.806111235 = 67,441.99 1.485947396CA + 1.806111235CB = 67,441.99 Cálculos auxiliares 2 ( Capital A ao fim de 10 anos ): Fórmula: C=S/(1+i)An 54.42278% precisamos colocar em número decimal que é 0,54422778 CA = 0,54422778 x CB (1+0.03)M10/(1+0.02)M0 CA = 0,54422778 x CB ( 1.03 )M0/(1.02)M0 CA = 0,54422778 x CB x 1.343916379 / 1.21899442 CA = 0.731396654CB / 1.21899442 CA = 0.600000001CB Capital A ao fim de 10 anos é 0.600000001CB Cálculos auxiliares 3 do Capital B: Fórmula equação de valor: CA (1+i)An+CB(1+i)An=S [CA (11 + 0.02 )A20 x 0.600000001CB] + CB (1 + 0.03 )A20 = 67,441.99 [CA (1.02 )A20 x 0.600000001CB] + CB (1.03 )A20 = 67,441.99 [CA x 1.485947396 x 0.600000001CB] + CB x 1.806111235 = 67,441.99 0.891568439CB + 1.806111235CB = 67,441.99 2.697679674CB = 67,441.99 CB = 67,441.99 / 2.697679674 CB = 24,999.99931 Fazendo o arredondamento é 25,000.00$ O Capital B é 25,000.00$ Cálculos auxiliares 4 do Capital A: Fórmula: C=S/(1+i)An 54.42278% precisamos colocar em número decimal que é 0,54422778 CA = 0,54422778 x 25,000.00 ( 1 + 0.03 )M0 /(1 + 0.02)M0 CA = 0,54422778 x 25,000.00 ( 1.03 )M0 /(1.02)M0 CA = 0,54422778 x 25,000.00 x 1.343916379 / 1.21899442 CA = 18,284.91635 / 1.21899442 CA = 15,000.00004 O Capital A é 15,000.00$