Noções de Geometria Analítica, Resumos de Matemática

Baixe Noções de Geometria Analítica e outras Resumos em PDF para Matemática, somente na Docsity! NOÇÕES DE GEOMETRIA ANALÍTICA Professor Elzério da Silva Júnior Antes de iniciar os capítulos é importante que se tenha a noção de três elementos primitivos: ponto, reta e plano. Geralmente utiliza-se letras maiúsculas do alfabeto para definir ponto (A, B, C...), letras minúsculas do alfabeto para definir reta (a, b, c, ...r,s t, ...) e letras gregas minús- culas para definir plano (    ). Aula 1 - Sistemas de coordenadas nos espaços unidimensional, bi- dimensional, tridimensional, Sistema polar 1. Espaço Unidimensional 1.1 Reta orientada Uma reta é orientada quando se define um sentido como positivo. É convencionado indicar por uma flecha na extremidade do sentido positivo. O sentido oposto à flecha é chamado de sentido negativo. Reta sem sentido orientado Reta orientada Numa reta orientada fixamos um ponto qualquer como origem. Dessa forma a reta fica divi- dida em duas semirretas: uma com sentido positivo e outra com sentido negativo. É possível relacionar, de forma biunívoca, o conjunto dos números reais com os pontos da reta da seguinte forma: A origem será o número zero. Em seguida definimos um segmento como unidade e sua origem no zero. 1.2 Coordenadas de um ponto na reta Define-se como coordenada de um ponto o número real associado a ele na reta orientada. A cada ponto da semirreta com o sentido positivo associaremos um número real positivo e a cada ponto da semirreta com o sentido negativo associaremos um número real negativo. Exemplo 1: O ponto P tem coordenada igual a 5 na reta real. 1.3 Medida algébrica de um segmento 0 1 Dados dois pontos P e Q na reta orientada com coordenadas 𝑥𝑃 e 𝑥𝑄, a medida algébrica do segmento PQ é a diferença 𝑥𝑄- 𝑥𝑃. A medida algébrica do segmento QP é a diferença 𝑥𝑃 − 𝑥𝑄. Observe que suas medidas algébricas são opostas e que o sinal da medida algébrica coincide com o sentido da reta orientada. Exemplo 2: Se 𝑥𝑃 = 5 e 𝑥𝑄=3, então 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 3 − 5 = −2 e 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ = 5 − 3 = 2 1.4 Módulo ou valor absoluto de um número O valor absoluto de um número 𝑥, denotado por |𝑥|, é definido por |𝑥| = { 𝑥 𝑠𝑒 𝑥 ≥ 0 −𝑥 𝑠𝑒 𝑥 < 0 Exemplo 3: |5| = 5 e |−5| = 5 1.5 Distância entre dois pontos na reta orientada Distância entre dois pontos P e Q é o módulo ou valor absoluto da medida algébrica. Ou seja, se a medida algébrica for negativa, trocamos o sinal para positivo. Se a medida algébrica for positiva mantemos seu sinal. Exemplo 4o: Vimos que se 𝑥𝑃 = 5 e 𝑥𝑄=3, 𝑃𝑄̅̅ ̅̅ = 3 − 5 = −2 e 𝑄𝑃̅̅ ̅̅ = 5 − 3 = 2. Portanto, pela definição 𝑑𝑃𝑄 = |𝑃𝑄̅̅ ̅̅ | = |−2| = 2 e 𝑑𝑄𝑃 = |𝑄𝑃̅̅ ̅̅ | = |2| = 2 2. Espaço bidimensional – sistema retangular Com apenas os conhecimentos do item anterior é possível determinar ou localizar qualquer ponto numa reta orientada. Porém, se o ponto não estiver contido na reta é necessário de um sistema de coordenadas. Um dos sistemas, e o mais utilizado, é o sistema cartesiano ortogo- nal. O nome desse sistema é em homenagem ao matemático e filósofo francês da primeira metade do século XVII, Renê Descartes. O grande mérito de Descartes foi unir estudar a geometria com a linguagem algébrica. Se Descartes em 1628 estava ou não em completa posse de sua geometria analítica não é claro, mas a data efetiva da invenção da geometria cartesiana não pode ser muito posterior a isso. [BOYER, p. 231] Dados dois pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) só haverá igualdade 𝐴 = 𝐵 se suas respectivas coordenadas forem iguais e vice-versa, ou seja, (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵) ⇔ 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵 e 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 Exemplo 8: Dados os pontos 𝐴 = (3,5) e 𝐵 = (𝑥 − 2, 𝑦 − 4) e 𝐴 = 𝐵. Determine os valores de 𝑥 e 𝑦. Pela definição de igualdade temos: 𝑥 − 2 = 3 e 𝑦 − 4 = 5. Então, 𝑥 = 5 e 𝑦 = 9. 2.4 Distância entre dois pontos no plano bidimensional Dados dois pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵), a distância entre eles é dada pela fórmula 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2 Exemplo 9: Dados os pontos 𝐴 = (3,5) e 𝐵 = (2,4) calcule a distância entre eles: 𝑑𝐴𝐵 = √(3 − 2)2 + (5 − 4)2 ∴ 𝑑𝐴𝐵 = √12 + 12 ∴ 𝑑𝐴𝐵 = √2 . 3. Espaço bidimensional - Sistema polar Em alguns ramos da matemática, como o cálculo diferencial e integral, é vantajoso trocar o sis- tema cartesiano pelo sistema polar. Segundo as notas de aula do professor Julian L. Coolidge : As coordenadas polares eram usadas para propósitos especiais e para o estudo de curvas particulares antes de serem apreciadas como uma ferramenta geométrica geral. O primeiro escritor a empregá-los foi Bonaventura Cavalieri, que os usou para encontrar a área dentro de uma espiral arquimediana relacionando-a com aquela fora de uma parábola. Pascal usou a mesma transformação para calcular o comprimento de uma área parabólica, problema previamente resolvido por Ro- berval, mas sua solução não foi universalmente aceita como válida. James Gregory teve uma transformação semelhante entre duas curvas individuais, onde as áreas estavam relacionadas, enquanto Pierre Varignon usou uma transformação ligeira- mente diferente para o estudo das espirais. O primeiro escritor que considerou as coordenadas polares como meio de fixar qualquer ponto no plano foi Newton. Ele, entretanto, os considerou ao lado de sistemas cartesianos, bipolares e outros, seu único interesse naquele ponto era mostrar como a tangente poderia ser determinada quando a equação da curva fosse dada em um ou outro sistema. Um interesse mais profundo foi demons- trado por Jacob Bernoulli, que chegou a escrever a expressão para o raio de curva- tura quando a equação da curva era dada na forma polar. O primeiro escritor a pensar em coordenadas polares em 3-space era Clairaut, mas ele apenas menciona a possibilidade de tais coisas. O primeiro a desenvolvê- los foi Euler, a quem devemos as coordenadas polares e radioangulares. Uma mo- dificação interessante deste último foi desenvolvida por Ossian Bonnet. 3.1. Sistema polar – Características O sistema polar situa-se no plano bidimensional e é caracterizado por: • um eixo (reta orientada) denominado eixo polar p. • um ponto sobre no eixo polar denominado pólo. É o ponto com coordenada zero que será a origem do sistema. • Dado um ponto P no plano polar, a distância entre O e P será denominada distância polar 𝜌. O sentido positivo do segmento OP será de O para P e a cada segmento OP será associado um número real. • O segmento OP forma com o eixo polar um ângulo 𝜃 denominado ângulo polar de P ou argumento de P. A orientação positiva deste ângulo será no sentido anti-horário e as medidas serão em graus ou radianos. O intervalo deste ângulo será 0° ≤ 𝜃 ≤ 360° ou 0 ≤ 𝜃 ≤ 2𝜋. Este intervalo é denominado 1ª determinação do ângulo. Portanto um ponto P fica determinado no plano polar pelas suas coordenadas polares: distân- cia polar 𝜌 e argumento 𝜃 (ângulo polar). 𝑃 = (𝜌, 𝜃) • Quando um ângulo for maior que 360° ou 2𝜋 será congruente com um ângulo de 1ª determinação. Portanto, cada ângulo de 1ª determinação tem infinitas determinações do tipo 𝜃 + 𝑘360° ou 𝜃 + 2𝑘𝜋 em que 𝑘 ∈ ℕ e 𝜃 é o ângulo de 1ª determinação. Exemplo 10: Posicione os pontos a 𝐴 = (3,30°), 𝐵 = (4,180°), 𝐶 = (−3,30°), 𝐷 = (2, 𝜋 2 ) no sistema polar 3.2 Fórmulas de passagem de um sistema para outro Como já citado, em muitas oportunidades é vantagem utilizar o sistema polar. Em outras é vantagem utilizar o sistema cartesiano. Portanto, é interessante que tenhamos ferramentas para fazer a passagem de um sistema para outro. Fazendo o polo do sistema polar coincidir com o ponto (0,0) do sistema cartesiano teremos as seguintes fórmulas: Observe que temos duas equações retangulares para substituir a equação polar. Portanto, a equação 𝜌 = 1 + 2𝑠𝑒𝑛𝜃 no sistema polar serão as equações √𝑥2 + 𝑦2 = 1 + 2𝑦 √𝑥2+𝑦2 e −√𝑥2 + 𝑦2 = 1 + 2𝑦 −√𝑥2+𝑦2 no sistema retangular 4. Espaço tridimensional 4.1 Sistemas de coordenadas no plano ou sistema cartesiano ortogonal O sistema cartesiano ortogonal no es- paço é formado por três retas orientadas ortogonais. Por simplificação constrói-se duas retas horizontais (designado eixo x e eixo y) e outra vertical (designado eixo z ou cota). A intersecção dos eixos será a origem (o zero) dos três eixos. Assim como no plano, associaremos às retas orientadas o conjunto dos números re- ais. Cada ponto de cada eixo estará asso- ciado um número real e vice-versa. Os elementos do sistema serão: • A origem O=(0,0,0) • Os eixos x, y e z; • Os planos xy, xz e yz • Ponto (x,y,z) 4.2 Ternas ordenados As coordenadas de um ponto P no espaço serão definidas, de forma biunívoca, em ternas do tipo 𝑃 = (𝑥, 𝑦, 𝑧) em que 𝑥 será a coordenada do eixo 𝑥 (abscissa), 𝑦 será a coordenada do eixo 𝑦 (ordenada) e 𝑧 será a coordenada do eixo 𝑧 (cota). Assim, a cada ponto P do espaço está associado uma terna de coordenadas (𝑥, 𝑦, 𝑧) e vice-versa. Por P traçam-se perpendiculares aos planos formados pelos eixos (𝑥𝑦, 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧). Tais intersec- ções formam pontos auxiliares (𝑃1, 𝑃2 e 𝑃3). Por estes pontos traçam-se novas perpendicula- res aos eixos 𝑥, 𝑦 e 𝑧. Suas intersecções com os eixos serão as coordenadas (𝑃𝑥 , 𝑃𝑦, 𝑃𝑧). Exemplo 15 O ponto 𝑃 tem coordenadas (3,2,1), pois por 𝑃 = (3,2,1) foi traçada uma ortogonal intercep- tando eixo xy em 𝑃1 = (3,2,0). Por 𝑃1 foram traçadas perpendiculares aos eixos 𝑥 e 𝑦 inter- ceptando-os, respectivamente em 𝑃𝑥 = (3,0,0) e 𝑃𝑦 = (0,2,0). Ainda por 𝑃 = (3,2,1) foram traçadas perpendiculares aos planos 𝑥𝑧 e 𝑦𝑧, interceptando-os, respectivamente, em 𝑃2 = (3,0,1) e 𝑃3 = (0,2,1). Por 𝑃2 foram traçadas duas perpendiculares aos eixos x e z, intercep- tando os eixos, respectivamente em 𝑃𝑥 e 𝑃𝑧 = (0,0,1). Por 𝑃3 foram traçadas perpendiculares aos eixos y e z, interceptando os eixos, respectivamente, em 𝑃𝑦 e 𝑃𝑧. Pontos particulares: 1º) 𝑂 = (0,0,0) é a origem dos eixos ou do sistema cartesiano; 2º) 𝑃𝑥 = (𝑥, 0,0) é a abscissa do ponto 𝑃 ou a projeção ortogonal do ponto 𝑃 sobre o eixo 𝑥. Ou pode apenas designar um ponto sobre o eixo 𝑥. 3º) 𝑃𝑦 = (0, 𝑦, 0) é a ordenada do ponto 𝑃 ou a projeção ortogonal do ponto 𝑃 sobre o eixo 𝑦. Ou pode apenas designar um ponto sobre o eixo 𝑦. 4º) 𝑃𝑧 = (0,0, 𝑧) é a ordenada do ponto 𝑃 ou a projeção ortogonal do ponto 𝑃 sobre o eixo 𝑦. Ou pode apenas designar um ponto sobre o eixo 𝑧. 4.3 Operações e igualdade de coordenadas de pontos a) Adição Dados dois pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) na adição de dois pontos devemos so- mar ordenadamente abscissas, ordenadas e cotas, ou seja, 𝐴 + 𝐵 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) + (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) = (𝑥𝐴 + 𝑥𝐵, 𝑦𝐴 + 𝑦𝐵, 𝑧𝐴 + 𝑧𝐵) Exemplo 16: Dados os pontos 𝐴 = (3,5,2) e 𝐵 = (−2,4,6), a soma 𝐴 + 𝐵 é 𝐴 + 𝐵 = (3,5,2) + (−2,4,6) = (3 + (−2), 5 + 4,2 + 6) = (1,9,8) b) Multiplicação por um escalar Dado o ponto 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝑘 ∈ ℝ um escalar, a multiplicação 𝑘𝐴 é 𝑘𝐴 = 𝑘(𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) = (𝑘𝑥𝐴, 𝑘𝑦𝐴, 𝑘𝑧𝐴) ou seja, deve-se multiplicar cada coordenada por este escalar. Exemplo 17: Dados os pontos 𝐴 = (3,5) e 𝑘 = 4 temos: 4𝐴 = 4(3,5,2) = (4 ⋅ 3,4 ⋅ 5,4 ⋅ 2) = (12,20,8) c) Igualdade Dados dois pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) só haverá igualdade 𝐴 = 𝐵 se suas res- pectivas coordenadas forem iguais e vice-versa, ou seja, (𝑥𝐴, 𝑦𝐴 , 𝑧𝐴) = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵) ⇔ 𝑥𝐴 = 𝑥𝐵, 𝑦𝐴 = 𝑦𝐵 e 𝑧𝐴 = 𝑧𝐵 4.4 Distância entre dois pontos no espaço Dados dois pontos 𝐴 = (𝑥𝐴, 𝑦𝐴, 𝑧𝐴) e 𝐵 = (𝑥𝐵, 𝑦𝐵, 𝑧𝐵), a distância entre eles é dada pela fór- mula 𝑑𝐴𝐵 = √(𝑥𝐴 − 𝑥𝐵)2 + (𝑦𝐴 − 𝑦𝐵)2 + (𝑧𝐴 − 𝑧𝐵)2 Exemplo 18: Dados os pontos 𝐴 = (3,5,2) e 𝐵 = (2,4, −3) calcule a distância entre eles: 𝑑𝐴𝐵 = √(3 − 2)2 + (5 − 4)2 + (2 − (−3))2 ∴ 𝑑𝐴𝐵 = √12 + 12 + 52 ∴ 𝑑𝐴𝐵 = √27 Referências 1. BOYER, C.B. História da Matemática, 2ª edição, São Paulo, Ed. Edgard Blücher Ltda, 1996. 2. IEZZI, G. Fundamentos de Matemática elementar (Geometria analítica), 3ª edição, São Paulo, Atual Editora Ltda., 1985. 3. VENTURI, J.J. Álgebra Vetorial e geometria Analítica, 7ª edição, Curitiba, Artes Gráficas e Editora Unificado, 1985. 4. VENTURI, J.J. Cônicas e quádricas, 7ª edição, Curitiba, Artes Gráficas e Editora Unificado, 1992. 5. COOLIDGE,J.L., The origin of polar coordinates, class notes, 1950.