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Baixe Notas de aula aeroporto e outras Notas de aula em PDF para Engenharia Civil, somente na Docsity! EXEMPLOS DE VIGAS – CISALHAMENTO E FLEXÃO Túlio Nogueira Bittencourt1; Januário Pellegrino Neto2; João Carlos Della Bella3 1 Professor Titular do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 2 Professor Associado da Escola de Engenharia Mauá – CEUN-IMT; Professor Assistente do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP. 3 Professor Doutor do Departamento de Engenharia de Estruturas e Geotécnica da Escola Politécnica da USP; Engenheiro Civil, Diretor Técnico da Intentu Engenharia Ltda. Revisor: Matheus Lorena Gonçalves Marquesi4 4 Engenheiro Civil, Sócio da EGT Engenharia Ltda. 1. Introdução O objetivo destes exemplos é a aplicação dos conceitos das seções 17 e 18 da NBR 6118:2014. Vigas de concreto armado, isostática e contínua, submetidas às solicitações tangenciais e normais em aplicações simples de projeto são estudadas. Com o intuito de apresentar um roteiro prático para o projeto de estruturas de concreto armado, serão desenvolvidos três exemplos: I. Cisalhamento devido à força cortante numa viga isostática; II. Dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua; III. Dimensionamento e detalhamento de uma viga submetida à torção. 2. Exemplo I - Cisalhamento devido à força cortante numa viga isostática Para a viga simplesmente apoiada, cujo esquema estrutural e diagrama de força cortante estão indicados na figura 2.1, considera-se classe de agressividade II, concreto C25 (fck=25MPa) e aço CA50 (fyk=500MPa). Figura 2.1 – Esquema estrutural e diagrama de Vk da viga V1(20/80). V1 (20/80) 20202020 (20/40) P1 P2 (20/40) 4,0 m3,0 m 3,0 m 100kN 20 kN/m P1=200kN P2=200kN 200 140 40 100kN 200 140 40 Vk (kN) O concreto C25 atende a seção 7 da NBR 6118:2014 com relação à durabilidade (tabela 7.1), e adota- se um cobrimento c=3,0cm, especificado na tabela 7.2. Admite-se altura útil d=72cm (d=0,9h). O estudo do cisalhamento devido à força cortante será desenvolvido de acordo com a seção 17 da NBR 6118:2014, verificando-se o estado-limite último (17.4.2) no cálculo da resistência (17.4.2.1) e admitindo-se o modelo de cálculo I (17.4.2.2). Devem-se verificar, simultaneamente, as seguintes condições: − verificação da compressão diagonal do concreto (biela de compressão) 2Sd RdV V≤ , onde SdV é a força cortante solicitante de cálculo, na seção; 2RdV é a força cortante resistente de cálculo à compressão. 2 2 0,27Rd V cd wV f b dα= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ ; 2 1 250 ck V f α = − e ckf , expresso em megapascal (MPa). − cálculo da armadura transversal 3Sd RdV V≤ , 3RdV é a força cortante resistente de cálculo à tração diagonal. 3Rd c SwV V V= + , 0c cV V= ,
 = 0,6 ∙  ∙ ∙ , ,infctk ctd c f f γ = , a parcela absorvida por mecanismos complementares ao da treliça; 0,9sw Sw ywd A V d f s = ⋅ ⋅ ⋅ , a parcela resistida pela armadura transversal. Sendo wb a largura da seção, d a altura útil da seção, s o espaçamento entre estribos, ywdf é a tensão no estribo, considerando-o na vertical ( 90α =
), ctdf a resistência à tração de cálculo do concreto e ,infctkf a resistência à tração característica do concreto, explicitada na seção 8, item 8.2.5, por 2/3 2/3 ,inf ,0,7 0,7 0,3 0,21ctk ct m ck ckf f f f= ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ , sendo ckf expresso em megapascal (MPa). Resultando para o cálculo da armadura transversal (estribo): 0,9 sw Sd c ywd A V V s d f − = ⋅ ⋅ . Para o dimensionamento e detalhamento das vigas de concreto armado, as disposições construtivas têm grande importância na execução e também para atender o modelo resistente de cálculo evitando rupturas frágeis. Assim sendo, deve-se respeitar a taxa de armadura mínima swρ , explicitada em 17.4.1.1.1, dada por: , 0,2 ct msw sw w ywk fA b s f ρ = ≥ ⋅ ⋅ 2.3. Detalhamento da armadura transversal (arranjo dos estribos) A figura 2.2 apresenta o detalhamento dos estribos. A força cortante no trecho extremo foi considerada como sendo a reação de apoio, onde pode-se utilizar a força cortante na face do apoio (item 17.4.2.1), além da redução prescrita em 17.4.1.2.1, considerando a força cortante à distância d/2 da face de apoio. Figura 2.2 – Detalhamento da armadura transversal O detalhamento da armadura transversal (arranjo dos estribos) indicado na figura 2.2 mostra o arranjo em degraus assim como a alternativa da redução da cortante na seção à d/2 da face de apoio, Vk,d/2=188,8kN, que resulta: 1,4 188,8 264,32γ= ⋅ = ⋅ =d f kV V kN   2 2 / 6,3 /11 264,32 110,9 5,45 8 / 18 500,9 0,9 0,72 10 / 29 1,15 φ φ φ  − −  = = =  ⋅ ⋅ ⋅ ⋅   kN sw d c ywd m kN cm c A V V cm c s d f m c Neste exemplo não há a necessidade de verificar a suspensão das cargas concentradas, pois como indicado no esquema estrutural da figura 2.1, são oriundas de dois perfis sobre a V1. V1 (20/80) 20202020 (20/40) P1 P2 (20/40) 4,0 m3,0 m 3,0 m 100kN 20 kN/m P1=200kN P2=200kN 200 140 40 100kN 200 140 40 Vk (kN) 29 6,3c/10φ 14 6,3c/30φ 29 6,3c/10φ 280cm 280cm400cm 200 200 armação em degraus, trecho central com armadura mínima 40 40 V =188,8d/2 d/2=36cm V =188,8d/2 d/2=36cm (26 6,3c/11)φ (26 6,3c/11)φ 14 14 7474 72 6,3 c=1,91mφ c=2(14+74)+15=191cm 2G=15cm ( 6,3mm)φ 2.4. Exemplo I – Carga uniformemente distribuída Considera-se o mesmo exemplo I, com a carga equivalente uniformemente distribuída – p=40kN/m. Pretende-se discutir o detalhamento, a definição do trecho central de armadura mínima (identificando a cortante mínima) e considera-se a cortante extrema sem a redução na seção à d/2 da face - Vk=200kN. A figura 2.3 mostra o detalhamento da armadura, onde analogamente tem-se: 1,4 200 280γ= ⋅ = ⋅ =d f kV V kN e 2 6,0 6,3 /10φ= →swA cm c s m ,  2 / 2,0 6,3 / 30φ   = →    sw mín cm m A c s e , , 50 167,23 2,0 0,9 0,72 110,88 167,23 119,4 120 1,15 1,4 = ⋅ ⋅ ⋅ + = ∴ = = ≅ d mín k mín V kN V kN Figura 2.3 – Detalhamento da armadura transversal – carga uniformemente distribuída V1 (20/80) 20202020 (20/40) P1 P2 (20/40) 10,0 m 40 kN/m P1=200kN P2=200kN 200 Vk,mín=120 200 Vk (kN) 19 6,3c/10φ 21 6,3c/30φ 19 6,3c/10φ 2,0m 3,0m 200 200 120 armação em degraus, trecho central com armadura mínima 180cm 180cm600cm 3. Dimensionamento e detalhamento de uma viga contínua O dimensionamento e o detalhamento da viga contínua indicada na figura 3.1 é apresentado na sequência. É feito o estudo do cisalhamento devido à força cortante e a distribuição da armadura longitudinal de flexão considerando as seções 17 e 18 da NBR6118:2014. Para esta viga V1 adotou-se uma solução equilibrada com um nível de plastificação dos momentos negativos e o correspondente acréscimo dos momentos positivos. Considera-se classe de agressividade II, e materiais concreto C25 (fck=25MPa) e aço CA50 (fyk=500MPa) (os mesmos materiais do exemplo I). Admite-se altura útil d=54cm (d=0,9h). Figura 3.1 – Esquema estrutural da viga V1(20/60) 3.1. Verificação do estado-limite último – ELU – da força cortante De acordo com o roteiro do exemplo I, segue o dimensionamento abaixo e o detalhamento indicado na figura 3.2: − Verificação da diagonal de compressão (Biela de compressão) 1,4 180 252SdV kN= ⋅ = 2 2,5 0,27 0,90 20 54 468,6 1,4 RdV kN= ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ = 2 !Sd RdV V ok∴ < − − Armadura mínima (Vk,mín – Cortante mínima)  2 / 2,0 5 / 20sw mín cm m A c s φ   = →     0,6 0,077 20 54 83,2 ctd c f V kN ⋅ = ⋅ ⋅ =     2 2 , ( )/ ( / ) 2,0 0,9 0,54 43,5 83,2 yd d mín d m kNcm m f kN cm V = ⋅ ⋅ ⋅ + , ,125,5 90d mín k mínV kN V kN= → = − Dimensionamento dos estribos
Vd = 1,4.180 = 252kN 2 252 83,2 8,0 0,9 0,54 43,5 swA cm s m − = = ⋅ ⋅ 8 /12,5cφ (12,5cm é utilizado por ser 1/8m)
Vd = 1,4.120 = 168kN 2 168 83,2 4,0 0,9 0,54 43,5 swA cm s m − = = ⋅ ⋅ 5 /10 8 / 25 c c φ φ    − Espaçamento máximo 2 0,54 0,67 30Sd máx Rd V s cm V = < ∴ = V1 (20/60) 40 V2 (20/40) V3 (20/60) 1020203030 10 (20/60) P1 P2 (20/40) P3 (20/20) 5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m V2=80kN 20 kN/m 40 kN/m 20 kN/m V3=100kN P1=120kN P2=300kN V =120e V =180d P1=120kN M1=120kN.m M2=200kN.m (hiperestático) consideram-se seções tipo T para o meio vão (armadura positiva) e retangulares para os apoios (armadura negativa). Figura 3.4 – Resultados do dimensionamento das armaduras de flexão – V1(20/60) Os seguintes dados foram considerados nos detalhamentos transversal e longitudinal:
concreto C25 (fck=25 MPa), aço CA50 (fyk=25 MPa), cobrimento c=3,0cm;
estribo φt=8,0mm, φvib+1=5cm, φmáx,agr=19mm
38 ; 54 ; 40 ; 2,28 ; 2,0 boa má b b h v a cm a cm a cmφ φ= = = = = ℓ ℓ ℓ . bℓ - comprimento de ancoragem aℓ - comprimento de decalagem ha e va - espaçamento livre entre as faces das barras longitudinais, horizontal e vertical. O resultado do detalhamento, transversal (18.3.2.2) e longitudinal (18.3.2.3) está indicado na figura 3.5. − Detalhamento transversal (Alojamento na seção; bs é a distância livre entre faces internas dos estribos) O alojamento deve observar o disposto no item 18.2.1 da NBR6118:2014, atendendo a função estrutural como também as condições adequadas de execução. V1 (20/60) 40 V2 (20/40) V3 (20/60) 1020203030 10 (20/60) P1 P2 (20/40) P3 (20/20) 5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m V2=80kN 20 kN/m 40 kN/m 20 kN/m V3=100kN P1=120kN P2=300kN V =120e V =180d P1=120kN M1=120kN.m M2=200kN.m (hiperestático) 120 200 M (kN.m) k 150 200 A =8,0cm (4 16) s 2 φ A =14,5cm (5 20) s 2 φ A =9,1cm (5 16) s 2 φ A =12,2cm (4 20) s 2 φ 50
h hs hs e eb nennb + + ≤∴⋅−+⋅≥ φ φ )1( (armadura inferior)
h vibhs vibhs e eb nennb + +−⋅+ ≤∴++⋅−+⋅≥ φ φ φφ )1(2 )1()2( (armadura superior)
φ16 (inf) φ40,4 3,26,1 3,24,13 == + + ≤n φ20 (inf) φ36,3 3,20,2 3,24,13 ≅= + + ≤n
φ16 (sup) φ33,3 3,26,1 0,53,224,13 ≅= + −⋅+ ≤n φ20 (sup) φ30,3 3,20,2 0,53,224,13 == + −⋅+ ≤n Figura 3.5 – Resultados do detalhamento das armaduras de flexão – V1(20/60) − Alojamento longitudinal (Corte longitudinal das barras) A distribuição longitudinal das barras ancoradas por aderência (vide figura 18.3 da NBR6118:2014) indicada na figura 3.5 segue o estabelecido no item 18.3.2.3.1: prolonga-se 10φ além do ponto de σs nula e bℓ onde se necessita de máxima eficiência da armadura - fyd. 220 V1 (20/60) 40 V2 (20/40) V3 (20/60) 1020203030 10 (20/60) P1 P2 (20/40) P3 (20/20) 5,0 m3,0 m 4,0 m 2,0 m V2=80kN 20 kN/m 40 kN/m 20 kN/m V3=100kN P1=120kN P2=300kN V =120e V =180d P1=120kN M1=120kN.m M2=200kN.m (hiperestático) 120 200 M (kN.m) k 150 200 (4 16)φ (5 16)φ (5 20)φ (2 grampos 10)φ (4 16)φ (5 20)φ (4 20)φ (5 16)φ 1 20φ 2 20φ 2 20φ c=480 c=355 c=296 ℓb=54 =108φ 10 =20φ 2 16φ 2 16φ ℓb=54 =86φ 10 =16φ 1 16φ 2 16φ 2 16φ 265 454 847 2 20φ 2 20φ 627 407 223 150 40 200 150 173 148 ℓb=38 =61φ 10 =16φ 10 =20φ ℓ b =38 =76φ 38 55 O diagrama de momento fletor decalado é dividido – na vertical – em partes iguais entre si, tantas quantas forem o número de barras a serem detalhadas. Verifica-se que 2 barras, ( ), , 2 1 / 3s apoio s vãoA Aφ = > , atende o requisito da quantidade de armadura de tração no apoio junto ao P3. A distância disponível para a ancoragem é dada por   =  −  = 20 − 3 = 17 . Para ancorar a última biela de compressão, a área de aço necessária é de: 2 , 1,4 120 0,75 2,9 43,5 ⋅ ≥ ⋅ = ⋅ =ℓ d s apoio yd a V A cm d f . É preciso, ainda, verificar se as barras existentes se ancoram em  . Para isso, calcula-se o comprimento necessário de ancoragem (9.4.2.5): , , , , 2,9 0,7 38 2 24,50 22,8 2 3,15 s calc b nec b b mín s ef A cm cm A α= ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ≥ = ⋅ ℓ ℓ ℓ Considerou-se α = 0,7 (presença de gancho) admitindo-se que se tenha cobrimento no plano normal ao do gancho maior ou igual a 3φ. Como o comprimento necessário para ancoragem é maior que que o comprimento disponível, adiciona-se grampos horizontais localizados para que o valor do As,ef seja aumentado e, por consequência, ,b nec ℓ , diminuído. Impõem-se ,b nec disp a=ℓ e encontra-se As,ef = 9,08 cm². Como já existem 6,3 cm² (2 φ20 mm) adicionam-se dois grampos horizontais, indicados na figura 3.5, em forma de “U” com φ 10 mm totalizando 3,2 cm² (2x2x0,8cm²), de comprimentos 38 38 1,0 38 b cmφ= ⋅ = ⋅ =ℓ da face do apoio (ver Figura 3.5). 4. Exemplo III - Dimensionamento e detalhamento de uma viga submetida à torção É apresentado o dimensionamento e detalhamento completo de uma viga simplesmente apoiada para as cargas verticais e engastada nas extremidades para a torção (torção de equilíbrio da marquise). O esquema estrutural e os diagramas de esforços são apresentados na figura 4.1. Os estudos das solicitações tangenciais devido à força cortante e torção e solicitações normais devido ao momento fletor, serão desenvolvidos neste exemplo considerando as seções 17 e 18. Os materiais são concreto C25 (fck=25MPa) e aço CA50 (fyk=500MPa), e o cobrimento c=2,5cm. 4.2. Compressão diagonal do concreto − Força cortante 2 2 1,4 73 102,2 2,5 0,27 0,9 30 72 937 1,4 Sd Sd Rd Rd V kN V V V kN = ⋅ =  ⇒ ≤ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =  − Momento de torção 2 2 1,4 46 64,4 2,5 0,5 0,9 13,2 10,9 116 1,4 Sd Sd Rd Rd T kN T T T kN = ⋅ =  ⇒ ≤ = ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ =  − Ação combinada: V e T 2 2 1Sd Sd Rd Rd V T V T  + ≤  ∴ 102,2 937 + 64,4 116 = 0,11 + 0,56 = 0,67 < 1 4.3. Armaduras − Torção ( ) ( )( ) 2 2 290 2 , 2, 64,4 5,6 / 2 0,132 43,5 2 0,30 0,109 0,80 0,109 1,76 5,6 1,76 9,86 64,4 5,6 / 2 0,132 43,5 0,0010 0,0010 10,9 176 1,92 0,10% 0,10% 30 3,0 / (2 ramos s e e s s mín e e sw mín w A cm m u u m A cm A cm m s A u h cm A b cm m s = = ⋅ ⋅ = ⋅ − + − = ∴ = ⋅ = = = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = ⋅ ⋅ = = ⋅ = ⋅ = ℓ ℓ ℓ )               ` − Flexão = ⋅ =  − ≤ ⋅ = ∴ =        = ⋅ − − = < ⋅     ⋅ ⋅ ⋅       = =  ⋅ − ⋅ 1 2 2 1,4 182,5 255,5 . 0,10 10 1,0 1,3 25550 1,25 72 1 1 2,2 1,25 2,5 0,425 130 72 1,4 25550 8,3 43,5 (72 0,4 2,2) d f f s M kNm Seção T b m b m x cm h A cm − Cortante = ⋅ ⋅ =  > ∴ 0,077 30 72 166 armaduramínima c c Sd V kN V V − Estribos para V e T:  = + = 2 ( )( ) 5,60 0 5,60sw VT A cm s e φ   ≤ ⋅ = ∴  = 30 0,6 72 43,2 10 /14 30 t cm s cm c b cm 4.4. Detalhamento Na figura 4.3, resume-se o detalhamento da V1(30/80) submetida à momento de torção, força cortante e momento fletor. A armadura longitudinal para torção, considerando 8 barras distribuídas em todo perímetro, φ= = ∴ℓ 29,86 1,23 (8 12,5) 8 8 s A cm barras , supondo por simplificação que todas as barras do meio vão chegam até o apoio, a armadura inferior total será:  φ= + ⋅ = 2 , ( ) ( ) 8,3 2 1,25 10,8 (6 16) s total M T A cm Figura 4.3 – Detalhamento - V1(30/80) 6 16φ 6 12,5φ E 14φ10c/