Notas de Aula de Cônicas de ALCV, Notas de aula de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Notas de Aula de Cônicas de ALCV e outras Notas de aula em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Geometria Analítica AS SEÇÕES CÔNICAS As diferentes curvas cônicas Os elementos de uma curva cônica Equações reduzidas das curvas cônicas A excentricidade das curvas cônicas FI CH A T ÉC N IC A FUMEC VIRTUAL - SETOR DE EDUCAÇÃO A DISTÂNCIA Gestão Pedagógica Coordenação Gabrielle Nunes P. Araújo Transposição Pedagógica Tâmara Santos Soares Produção de Design Multimídia Coordenação Rodrigo Tito M. Valadares Design Multimídia Marcela Scarpelli Paulo Roberto Rosa Junior Raphael Gonçalves Porto Nascimento Infra-Estrututura e Suporte Coordenação Anderson Peixoto da Silva AUTORIA Prof. Fernando Henrique APRESENTAÇÃO Olá aluno (a), seja bem-vindo (a) a esta nova etapa de construção do conhecimento! Aqui, você aprenderá os conceitos dascurvas cônicas e aprenderá como determinar suas equações reduzidas. Você verá que as curvas cônicas não degeneradas são curvas muito conhecidas e muito utilizadas em vários ramos da ciência. Espero que você tenha um ótimo aprendizado! OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Ao final deste módulo você será capaz de: • Conceituar e reconhecer as diferentes curvas cônicas; • Reconhecer e determinar os elementos de uma curva cônica; • Determinar as equações reduzidas das curvas cônicas; • Analisar a excentricidade das curvas cônicas. BELO HORIZONTE - 2013 No início os matemáticos estudavam estas elegantes curvas sem maiores preocupações com aplicações práticas. Mas ao longo do tempo inúmeras descobertes importanets em matemática pura e na ciência em geral estavam ligadas às seções cônicas. Dois exemplos clássicos são, a descoberta de Galileu Galilei, que em 1604 descobriu que um projétil que era lançado horizontalmente do topo de uma torre tinha uma trajetória em forma de parábola, se considerando atuante apenas a força da gravidade,o outro exemplo é a publicação de Képler em 1609, referente à sua descoberta de que a órbita de Marte em torno do Sol era uma elipse, lançando a hipótese que todos os planetas se moveriam em órbitas elípticas, o que foi comprovado décadas mais tarde por Isaac newton. Galileu Galilei Képler Isaac Newton DEFINIÇÕES MATEMÁTICAS Embora, como visto, as curvas cônicas poderem ser obtidas através de seções em um cone, seu estudo através da geometria analítica é feito a partir de suas definições mate- máticas e de suas equações descritas em relação a um sistema de referência.Steimbruch (1987), nos dá uma definição matemática para cada uma das curvas cônicas abordadas, veja as figuras 3, 4 e 5. “Parábola é o lugar geométrico dos pontos do plano que são equidistantes de uma reta d (diretriz) e de um ponto F (foco) não pertencente a d.” (Steimbruch,1987) nM π F ( )d diretriz ( )∈ ⇒ =n nMn parábola dM F dM d Figura 3: Parábola “Elipse é o lugar geométrico dos pontos do plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante.” (Steimbruch,1987) 61As Seções Cônicas π 1M 2 M nM F '∈ ⇒ + =n nMn elipse dM F dM F k 'F Figura 4: Elipse “Hipérbole é o lugar geométrico dos pontos de um plano cuja diferença das distân- cias, em valor absoluto, a dois pontos fixos (focos) desse plano é constante.” (Steimbruch,1987) π '∈ ⇒ − =n nMn hipérbole dM F dM F k nM F'F 1M 2M Figura 5: Hipérbole TABELA 1 - SÍMBOLOS Mn Um ponto qualquer pertencente às cônicas dPF Distância do ponto P ao foco F dPd Distância do ponto P à reta diretriz dPF’ Distância do ponto P ao foco F’ k Constante característica das cônicas Equações reduzidas das cônicas não degeneradas As equações reduzidas das cônicas, que são as equações mais simplificadas destas curvas, são obtidas quando o sistema de referência está posicionado em determinados locais que serão descritos. Equações reduzidas das parábolas Para as parábolas, se o plano cartesiano for posicionado de modo que o vértice da pará- bola fique na origem e seu foco sobre um dos eixos coordenados, tem-sesua equação cartesiana reduzida que possui quatro tipos possíveis, você pode observar isto nas figuras 6, 7, 8 e 9: 62 As Seções Cônicas x y x y x x y y =x p = −x p =y p = −y p ( ),0−F p ( ),0F p − p 2 4= −y px 2 4=y px 2 4= −x py F p( )0,− ( ),0F p 2 4=x py Figura 6: Parábola tipo 1 Figura 7: Parábola tipo 2 Figura 8: Parábola tipo 3 Figura 9: Parábola tipo 4 Equações reduzidas das elípses Agora, dê uma olhada nas ver figuras 10 e 11. Perceba que para as elípses o plano carte- siano deverá estar posicionado, de tal forma que, os focos fiquem sobre um dos eixos e simétricos em relação à origem, neste caso surgem dois tipos de equações reduzidas. Figura 10 Figura 11 y x ( )0,A a ( )0,−A a ( ),0B b( ),0−B b ( )0,F c ( )0,′ −F c 2 2 2 2 1+ = y x a b y x ( ),0A a( ),0−A a ( )0,B b ( )0,−B b ( ),0F c( ),0′ −F c 2 2 2 2 1+ = x x a b 63As Seções Cônicas Equação da diretriz: ou 0 0x p x y p= − + + = Seja o ponto genérico ( ),M x y parábola∈ Definição matemática: ( )dMF dM d= 2 2 2 ( ) 1 0 ( ) 1 0 dMF x p y x y p dM d x p  = − +    ⋅ + ⋅ + = = + + Então: ( ) 2 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 2 4 x p y x p x p y x p x px P y x px p y px − + = + − + = + − + + = + + ∴ = Eq. genérica reduzida de uma parábola com a concavidade voltada para a direita. Então, por analogia, é possível concluir que temos quatro tipos de equações reduzidas para as parábolas. x y =x p ( ),0−F p 2 4= −y px x y= −x p ( ),0F p 2 4=y px x y = −y p − p ( ),0F p 2 4=x py x y =y p 2 4= −x py F p( )0,− − p p p Figura 17 Figura 18 Figura 19 Figura 20 66 As Seções Cônicas Exercícios resolvidos 1. Vamos agora esboçar o gráfico, dar as coordenadas do foco e a equação da diretriz da parábola 2 4y px= . Então 2 4y x= Compare a equação dada com a equação genérica 2 4 0y x− = 2 2 4 4 4 4 1 y x y px p p  =  = ⇒ = = x y 1− = 1−x ( )1,0F 2 4=y x 2. Determine a equação da parábola cujo 1 ,0 2 F  −    foco é e a diretriz é a reta 2 1 0x − = : • A equação da diretriz pode ser escrita como 1 2 x = . • Pela posição do foco e da diretriz, podemos concluir que se trata de uma parábola com vértice na origem e concavidade voltada para a esquerda, cuja equação genérica é 2 4y px= − . • Seu parâmetro p vale 1 2 . Então: 2 214 2 2 y x y x= − ⋅ ⋅ ∴ = − 67As Seções Cônicas A ELIPSE A Elipse é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de . Para lembrar, sua definição matemática, ou seja, a regra que define como esses pontos devem estar posicionados no plano, para que descrevam uma elipse é a seguinte: Elipse é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja soma das distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é constante (k). Cada elipse tem a sua constante k. π 1M 2 M nM F '∈ ⇒ + =n nMn elipse dM F dM F k 'F Figura 21 Elementos da Elipse A figura 22 mostra uma elipse com centro na origem do sistema cartesiano. y x( ),0F c( ),0′ −F c 2c 2a ( )0,B b ( ),0A a′ − ( ),0A a− ( )0,B b′ − Figura 22 Seus principais elementos são: • Eixo maior: é o segmento A’A, cuja medida vale 2a; • Eixo menor: é o segmento B’B, cuja medida vale 2b; • Vértices: são os pontos '( ,0) ( ,0)A a A a− e ; • Focos: são os pontos fixos e'( ,0) ( ,0)F c F c− , a distância focal (entre focos) mede 2c; • Os pontos '(0, ) (0, )B b B b− e são as extremidades do eixo menor. 68 As Seções Cônicas Fazendo ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 ( ) ( ) 2 ( ) 2 ( ) 2 4 4 ( ) 2 2 4 4 ( ) 2 4 4 4 ( ) ( 4) ( ) ( ) 2 ( 2 dMF dMF a x c y x c y a x c y a x c y x cx c y a a x c y x cx c y cx a a x c y cx cx a a x c y cx a a x c y c x a cx a a x cx c y ′ + = + + + − + = + + = − − + + + + = − − + + − + +/ / / // / = − − + − − = − − + ÷ − = − − + − + = − + + 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 4 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 ) 2 2 ( ) ( ) ( ) 1 c x a cx a a x a cx a c a y a a c a x c x a y a a c x a c a y a c b a b b x a y a b a b b x a y a b a b a b x y a b − + = − + + − = − + − = − + − = = + ÷ = + + = Equação genérica reduzida de uma elipse com focos e vérti- ces sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem Analogamente, temos: y x ( )0,A a ( )0,−A a ( ),0B b( ),0−B b ( )0,F c ( )0,′ −F c Figura 26 2 2 2 2 1 x y b a + = Equação genérica reduzida de uma elipse com focos e vérti- ces sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem. ATENÇÃO Notemos que no caso da elipse, a > b então a2 > b2 sendo a, b > 0, ou seja, o a2 que nos indicará a posição dos focos e vértices será sempre o maior denominador na equação reduzida. 71As Seções Cônicas Excentricidade da elipse Excentricidade é a razão ce a = que nos informa o quão achatada é uma elipse. Como 0 1a c e> ⇒ < < . Outra fórmula para o cálculo da excentricidade: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 a c b c a b c a b a be a a b be e a a − = = − = − − = − = ∴ = − OBSERVAÇÕES • Note que a excentricidade de uma elipse é um número compreendido no intervalo aberto (0,1). • Uma elipse com uma excentricidade próxima de zero, é uma elipse menos achatada, ou mais arredondada, quanto menor a excentricidade mais arredondada será a elipse. No caso limite onde c = 0 e, portanto e = 0 teremos uma circunferência de raio a. • Uma elipse com uma excentricidade próxima de 1, é uma elipse bastante achatada. Para que a excentricidade se aproxime de 1 é necessário que c fique próximo de a. Exercício resolvido 1. Chegou a hora de você determinar a equação da elipse com focos no eixo-x, onde temos: I. 2 12 2 8 a c =  = Então: 2 2 2 2 2 2 2 2 6 4 16 36 36 16 20 1 36 20 a c c a b b b x yb = = = − = − = − = ∴ + = e 72 As Seções Cônicas II. 2 6 1 2 b e =   = Assim: 2 2 22 2 2 2 2 2 2 2 2 3 1 1 91 2 1 91 4 9 11 4 9 3 4 3 36 12 1 12 9 b be a a a a a a x ya = = −    = −        = − = − = = = ∴ + = A HIPÉRBOLE Assim como a elipse, a hipérbole também é uma curva plana, formada por um conjunto de infinitos pontos de . Para lembrar, sua definição matemática diz que a Hipérbole é o conjunto de infinitos pontos de um plano cuja diferença das distâncias a dois pontos fixos deste plano (focos) é, em valor absoluto, uma constante (k). DICA Cada hipérbole tem a sua constante k. 73As Seções Cônicas Eliminando os radicais, simplificando e fazendo 2 2 2c a b− = . Encontraremos assim: Equação genérica de uma hipér- bole com focos e vértices sobre o eixo-x e simétricos em relação à origem. 2 2 2 2 1 x y a b − = Analogamente: y x F ′F A ′A Equação genérica de uma hipér- bole com focos e vértices sobre o eixo-y e simétricos em relação à origem. 2 2 2 2 1 y x a b − = Figura 30 IMPORTANTE Na equação reduzida da hipérbole o a2 também nos indicará a posição dos focos e vértices e neste caso será sempre o denominador da parcela positiva. Se a = b temos o que chamamos de hipérbole equilátera. Excentricidade da hipérbole Também é calculada pela razão ce a = que nos dá a abertura dos ramos da hipérbole. Como c > a a excentricidade da hipérbole sempre será >1. Outra fórmula para o cálculo da excentricidade: 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 21 c a b c a b c a b a be a a b be e a a − = = + = + + = + = ∴ = + 76 As Seções Cônicas Exercícios resolvidos 1. Determine as coordenadas dos focos e vértices das hipérboles: a. b. c. ( ) ( ) ( ) ( ) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 4 9 36 4 9 36 36 36 36 9 4 9 4 13 13 13,0 13,0 ' 3,0 3,0 x y x y a b c a b c c c F F A A − = − = = = = + = + ′= ⇒ = ∴ − − e e e Focos e vértices estão sobre o eixo x. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 8 8 8 8 8 8 8 16 4 '(0, 4) (0,4) '(0, 8) (0, 8) y x y x a b c a b c c F F A A − = − = = = = + = = ∴ − − Focos e vértices estão sobre o eixo x.e e e Focos e vértices estão sobre o eixo x. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 1 2 1 2 3 '( 3,0) ( 3,0) '( 1,0) (1,0) x y x y x y a b c a b c c F F A A − = − = − = = = = + = + = ∴ − − e e e 77As Seções Cônicas 2. Vamos obter a equação da hipérbole, com centro na origem do sistema cartesiano, nos casos: a. 2a = 8e um dos focos é (5,0) 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 10 5 25 25 16 9 1 1 16 9 c c c c a b b c a b b x y x y a b = ⇒ = ⇒ = = + = − = − = − = ⇒ − = O eixo transverso está contido no eixo x. b. 2b = 2e um dos focos é (–2,0) O eixo transverso está contido no eixo x. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 1 2 4 2 4 4 1 3 1 1 3 1 b b b c c c c a b a c b b b x y x y a b = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = + = − = − = − = ⇒ − = c. 2a = 6e um dos focos é (0,–5) O eixo transverso está contido no eixo y. 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 6 3 9 2 10 5 25 25 9 16 1 1 9 16 a a a c c c c a b b c a b b x y x y a b = ⇒ = ⇒ = = ⇒ = ⇒ = = + = − = − = − = ⇒ − = 78 As Seções Cônicas EXEMPLOS REAIS NA ENGENHARIA FIGURA 33: Catedral de Brasília Fonte: www.infobrasiia.com.br A figura 33 mostra a Catedral de Brasília. As estruturas de concreto são arcos de parábo- las que têm funções estrutural e também estética. Figura 34 – Central Nuclear de Grafenrheinfeld, Alemanha Figura 35 – Hiperbolóide de uma folha. As torres de refrigeração de uma usina nuclear, como as mostradas na figura 34, geral- mente são estruturas em formato de hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de uma hipérbole em torno de um de seus eixos (ver figura 35). Para finalizar, veja o que Sato (2005) afirma sobre a hipérbole: “Podemos mostrar que o hiperbolóide de uma folha gerado pela rotação de uma hipérbole em torno do seu eixo transverso é também gerado por uma reta. Ou seja, ele pode ser considerado como sendo formado por uma união de retas (superfície regrada). Assim, seu formato é usado na construção de centrais de energia atômica, onde barras de aço retilíneas, que têm alta resistência, e se cruzam para obter estruturas extremamente fortes.” (SATO, J., 2005). 81As Seções Cônicas Síntese Neste módulo você aprendeu um pouco da história das curvas cônicas, viu quais são estas curvas e porque elas têm esse nome. Você aprendeu também a definição matemática das curvas cônicas não degeneradas, parábola, elipse e hipérbole com exceção da circunferência já estudada anteriormente, e aprendeu a determinar suas equações reduzidas. Referências CERVO, A. L.; BERVIAN, P. A., (1996) - Metodologia cientifica. MAKRON books. 4ª Edição. SaoPaulo. CONDE, Antônio. (2004) - Geometria analítica. Atlas. São Paulo. EVES, Howard. (1997) - Introdução à história da matemática – 2ª ed. Campinas, SP. Editora da Unicamp. FRANÇA, J.L.; VASCONCELLOS, A.C., (2004) - Manual para normalização de publicações técnico-científicas. UFMG. 7ª Edição. Belo Horizonte. MASON, Jayme. (1977) - Pontes em concreto armado e protendido. Livros Técnicos e Científicos. Rio de Janeiro. SATO, J. (2005) - As Cônicas e suas Aplicações. Universidade Federal de Uberlândia. Uberlândia. STEINBRUCH, Alfredo. (1987) - Geometria analítica – 2ª ed. Mc Graw-Hill. São Paulo. VASCONCELOS, Augusto Carlos de. (1993) - Pontes brasileiras – viadutos e passarelas notáveis. Pini. São Paulo. WINTERLE, Paulo. (2000) - Vetores e geometria analítica. Makron Books. São Paulo. 82