Pré-Calculo 2ª Edição Demana Gabarito, Exercícios de Cálculo

Baixe Pré-Calculo 2ª Edição Demana Gabarito e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Respostas CAPÍTULO 1 Revisão rápida 1. {1, 2, 3, 4, 5, 6} 2. {22, 21, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6} 3. {23, 22, 21} 4. {1, 2, 3, 4} 5. (a) 1187,75 (b) 24,72 6. (a) 20,65 (b) 0,10 7. (22)3 2 2(22) 1 1 5 23; (1,5)3 2 2(1,5) 1 1 5 1,375 8. (23)2 1 (23)(2) 1 22 5 7 Exercícios 1. 24,625 (fini tas) 2. 0,15 – (infinitas) 3. 22,16 – (infinitas) 4. 0, – 135 — (infinitas) 5. 0 1 2 3 4 52122232425 todos os números reais menores ou iguais a 2. 6. 0 1 2 3 4 521222324 6 todos os números reais entre 22 e 5, inclusive 22 e excluído 5. 7. 0 1 2 3 4 5 6 7 82122 todos os números reais menores que 7. 8. 0 1 2 3 4 52122232425 todos os números reais entre 23 e 3, incluindo 23 e 3. 9. 0 1 2 3 4 52122232425 todos os números reais menores que 0. 10. 0 1 2 3 4 5 6 7 8 921 todos os números reais entre 2 e 6, incluindo 2 e 6. 11. 21 # x , 1; todos os núme ros entre 21 e 1, incluin do 21 e excluin do 1. 12. 2∞ < x # 4, ou x # 4; todos os núme ros menores ou iguais a 4. 13. 2∞ , x , 5, ou x , 5; todos os núme ros meno­ res que 5. 14. 22 # x , 2; todos os núme ros entre 22 e 2, incluin do 22 e excluin do 2. 15. 21 < x , 2; todos os núme ros entre 21 e 2, excluin do 21 e 2. 16. 5 # x , ∞, ou x $ 5; todos os núme ros maio res ou iguais a 5. 17. ]23, 1∞[; todos os núme ros maio res que 23. 18. ]27, 22[; todos os núme ros entre 27 e 22, excluin do 27 e 22. 19. ]22, 1[; todos os núme ros entre 22 e 1, excluin­ do 22 e 1. 20. [21, 1∞[; todos os núme ros maio res ou iguais a 2l. 21. ]23, 4]; todos os núme ros entre 23 e 4, excluin do 23 e incluin do 4. 22. ]0, 1∞[; todos os núme ros maio res que 0. 23. Os núme ros reais maio res que 4 e meno res ou iguais a 9. 24. Os núme ros reais maio res ou iguais a 21, ou os núme ros reais que são pelo menos 21. 25. Os núme ros reais maio res ou iguais a 23, ou os núme ros reais que são pelo menos 23. 26. Os núme ros reais entre 25 e 7, ou os núme ros reais maio res que 25 e meno res que 7. 27. Os núme ros reais maio res que 21. 28. Os núme ros reais entre 23 e 0 (inclu si ve), ou maio res ou iguais a 23 e meno res ou iguais a 0. 29. 23 , x # 4; extre mos 23 e 4; limi ta do; aber to à esquer da e fecha do à direi ta. 30. 23 , x , 21; extre mos 23 e 21; limi ta do; aber to. 31. x , 5; extre mo 5; não limi ta do; aber to. 32. x $ 26; extre mo 26; não limi ta do; fecha do. 33. A idade de Bill deve ser maior ou igual a 29: x $ 29 ou [29, 1∞[; x 5 idade de Bill. 34. Preço entre 0 e 2 (inclu si ve): 0 # x # 2 ou [0, 2]; x 5 preço de um item. 35. Os pre ços estão entre R$ 2,20 e R$ 2,90 (inclu si­ ve): 2,20 # x # 2,90 ou [2,20, 2,90]; x 5 R$ por litro de gaso li na. 36. A taxa fica rá entre 0,02 e 0,065: 0,02 , x , 0,065 ou ]0,2, 0,65[; x 5 taxa de juros. 37. a(x2 1 b) 5 a  x2 1 a  b 5 ax2 1 ab 38. (y 2 z3)c 5 y  c 2 z3  c 5 yc 2 z3c Livro 1_Demana_A.indb 331 23/1/2013 13:57:36 Pré-cálculo332 39. ax2 1 dx2 5 a  x2 1 d  x2 5 (a 1 d)x2 40. a3z 1 a3w 5 a3  z 1 a3  w 5 a3(z 1 w) 41. A inver sa de 6 2 p, ou 2(6 2 p) 5 26 1 p 5 p 2 6 42. A inver sa de 27, ou 2(27) 5 7 43. Em 252, a base é 5. 44. Em (22)7, a base é 22. 45. 46. 47. 48. 49. 50. ¢4a3b a2b3 ≤¢ 3b2 2a2b4 ≤  ¢4a b2 ≤¢ 3 2a2b2 ≤  12a 2a2b4  6 ab4 (x3y2)4 (y6x4)2  x12y8 y12x8  x4 y4  x4y4 ¢ 2 xy ≤3  ¢xy 2 ≤3  x3y3 23  x3y3 8 ¢ 4 x2 ≤2  42 (x2)2  16 x4 (3x2)2y4 3y2  32(x2)2y4 3y2  9x4y4 3y2  3x4y2 x2 y2 51. 7,8 × 108 52. –1,6 × 10–19 53. 0,000 000 033 3 54. 673.000.000.000 55. 9.500.000.000.000 56. 0,000 000 000 000 000 000 000 001 674 7 (23 zeros entre o ponto decimal e 1). 57. 58.  15,91 2,5  1017  6,364  108 (3,7)(4,3)  1076 2,5  107  15,91  101 2,5  107  3,2535 1,25  1019  2,6028  108 (1,35)(2,41)  1078 1,25  109  3,2535  101 1,25  109 59. (a) Quando n 5 0, a equação aman 5 am+n torna- -se ama0 5 am+0, isto é, ama0 5 am. Como a ≠ 0, podemos dividir os dois lados da equação por am, portanto, a0 5 1. (b) Quando n 5 –m, a equação aman 5 am+n tor- na–se ama–m 5 am+(–m), isto é, am2m 5 a0. Sabe- mos por (a) que a0 5 1, Como a ≠ 0, podemos dividir os dois lados da equação ama–m 5 1 por am. Portanto, am  1 am . 60. Falso. 61. Falso. 62. O intervalo [22, 1[ corresponde a 22 # x , 1. A resposta é E. 63. (22)4 5 (22)(22)(22)(22) 5 16. A resposta é A. 64. Em 272 5 2(72), a base é 7. A resposta é B. 65. x6 x2  x2 # x4 x2  x4 A resposta é D. 66. Os números reais com magnitude menor que 7 são representados pelo intervalo ]27, 7[. 67. Os números naturais com magnitude menor que 7 são 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. 68. Os números inteiros com magnitude menor que 7 são 26, 25, 24, 23, 22, –1, 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6. CAPÍTULO 2 Exercícios 1. ou 9, pois 81  (9)2 2. ou 3, pois 81  (3)4 3. , pois 64  43 4. , pois 243  35 5. 6. 7. , pois 8. Nenhum número real multiplicado por ele mesmo resulta em 16. 9. , pois 10. , pois 11. , pois 12. , pois 13. 4 14. 5 15. ou 2,5 16. ou 3,5 7 2 5 2 82  64 e 52  25B 64 25  8 5 ( 4 3 )3   64 27B 3  64 27   4 3 63  21623 216  6 (6)3  21623 216  6 12 # 12  1442144  12 3 B 27 8   3227 328   3 2 , pois 27 8  ¢3 2 ≤3B 16 9  216 29  4 3 ou  4 3 , pois 16 9  ¢4 3 ≤2 52243  3 3264  4 4281  3 281  9 Livro 1_Demana_A.indb 332 23/1/2013 13:57:44 Respostas 335 12. (–y2 – 2y + 3) + (5y2 + 3y + 4) = (–y2 + 5y2) + (–2y + 3y) + (3 + 4) = 4y2 + y + 7 13. 2x(x2) – 2x(x) + 2x(3) = 2x3 – 2x2 + 6x 14. y2(2y2) + y2(3y) – y2(4) = 2y4 + 3y3 – 4y2 15. (–3u)(4u) + (–3u)(–1) = –12u2 + 3u 16. (–4v)(2) + (–4v)(–3v3) = –8v + 12v4 = 12v4 – 8v 17. 2(5x) – x(5x) – 3x2(5x) = 10x – 5x2 – 15x3 = –15x3 – 5x2 + 10x 18. 1(2x) – x2(2x) + x4(2x) = 2x – 2x3 + 2x5 = 2x5 – 2x3 + 2x 19. x(x + 5) – 2(x + 5) = (x)(x) + (x)(5) – (2)(x) – (2)(5) = x2 + 5x – 2x – 10 = x2 + 3x – 10 20. 2x(4x + 1) + 3(4x + 1) = (2x)(4x) + (2x)(1) + (3)(4x) + (3)(1) = 8x2 + 2x + 12x + 3 = 8x2 + 14x + 3 21. 3x(x + 2) – 5(x + 2) = (3x)(x) + (3x)(2) – (5)(x) – (5)(2) = 3x2 + 6x – 5x – 10 = 3x2 + x – 10 22. (2x)2 – (3)2 = 4x2 – 9 23. (3x)2 – (y)2 = 9x2 – y2 24. (3)2 – 2(3)(5x) + (5x)2 = 9 – 30x + 25x2 = 25x2 – 30x + 9 25. (3x)2 + 2(3x)(4y) + (4y)2 = 9x2 + 24xy + 16y2 26. (x)3 – 3(x)2(1) + 3(x)(1)2 – (1)3 = x3 – 3x2 + 3x –1 27. (2u)3 – 3(2u)2(v) + 3(2u)(v)2 – (v)3 = 8u3 – 3v(4u2) + 6uv2 – v3 = 8u3 – 12u2v + 6uv2 – v3 28. (u)3 + 3(u)2(3v) + 3(u)(3v)2 + (3v)3 = u3 + 9u2v + 3u(9v2) + 27v3 = u3 + 9u2v + 27uv2 + 27v3 29. (2x3)2 – (3y)2 = 4x6 – 9y2 30. (5x3)2 – 2(5x3)(1) + (1)2 = 25x6 – 10x3 + 1 31. x2(x + 4) – 2x(x + 4) + 3(x + 4) = (x2)(x) + (x2)(4) – (2x)(x) – (2x)(4) + (3)(x) + (3)(4) = x3 + 4x2 – 2x2 – 8x + 3x + 12 = x3 + 2x2 – 5x + 12 32. x2(x – 3) + 3x(x – 3) – 2(x – 3) = (x2)(x) + (x2)(–3) + (3x)(x) + (3x) (–3) – (2)(x) – (2)(–3) = x3 – 3x2 + 3x2 – 9x – 2x + 6 = x3 – 11x + 6 33. x2(x2 + x + 1) + x(x2 + x + 1) – 3(x2 + x + 1)= (x2)(x2) + (x2)(x) + (x2)(1) + (x)(x2) + (x)(x) + (x)(1) – (3)(x2) – (3)(x) – (3)(1) = x4 + x3 + x2 + x3 + x2 + x – 3x2 – 3x – 3 = x4 + 2x3 – x2 – 2x – 3 34. 2x2(x2 – x + 2) – 3x(x2 – x + 2) + 1(x2 – x + 2) = (2x2)(x2) + (2x2)(–x) + (2x2)(2) – (3x)(x2) – (3x)(–x) – (3x)(2) + (1)(x2) + (1)(–x) + (1)(2) = 2x4 – 2x3 + 4x2 – 3x3 + 3x2 – 6x + x2 – x + 2 = 2x4 – 5x3 + 8x2 – 7x + 2 35. (x2) – = x2 – 2 36. (x1/2)2 – (y1/2)2 = x – y, x ≥ 0 e y ≥ 0 37. , u ≥ 0 e v ≥ 0 38. (x2)2 – = x4 – 3 39. x(x2 + 2x + 4) – 2(x2 + 2x + 4) = (x)(x2) + (x)(2x) + (x)(4) – (2)(x2) – (2)(2x) – (2)(4) = x3 + 2x2 + 4x – 2x2 – 4x – 8 = x3 –8 40. x(x2 – x + 1) + 1(x2 – x + 1) = (x)(x2) + (x)(–x) + (x)(1) + (1)(x2) + (1)(–x) + (1)(1) = x3 – x2 + x + x2 – x + 1 = x3 + 1 41. 5(x – 3) 42. 5x(x2 – 4) 43. yz(z2 – 3z + 2) 44. (x + 3)(2x – 5) 45. z2 – 72 = (z + 7)(z – 7) 46. (3y)2 – 42 = (3y + 4)(3y – 4) 47. 82 – (5y)2 = (8 + 5y)(8 – 5y) 48. 42 – (x + 2)2 = [4 + (x + 2)][(4 – (x + 2)] = (6 + x) (2 – x) 49. y2 + 2(y)(4) + 42 = (y + 4)2 50. (6y)2 + 2(6y)(1) + 12 = (6y + 1)2 51. (2z)2 – 2(2z)(1) + 12 = (2z – 1)2 52. (3z)2 – 2(3z)(4) + 42 = (3z – 4)2 53. y3 – 23 = (y – 2)[y2 + (y)(2) + 22] = (y – 2)(y2 + 2y + 4) (23)2 (2u)2  (2y)2  u  y (22)2 Livro 1_Demana_A.indb 335 23/1/2013 13:58:17 Pré-cálculo336 54. z3 + 43 = (z + 4)[z2 – (z)(4) + 42] = (z + 4)(z2 – 4z + 16) 55. (3y)3 – 23 = (3y – 2)[(3y)2 + (3y)(2) + 22] = (3y – 2)(9y2 + 6y + 4) 56. (4z)3 + 33 = (4z + 3)[(4z)2 – (4z)(3) + 32] = (4z + 3)(16z2 – 12z + 9) 57. 13 – x3 = (1 – x)[12 + (1)(x) + x2] = (1 – x)(1 + x + x2) = (1 – x)(1 + x + x2) 58. 33 – y3 = (3 – y)[32 + (3)(y) + y2] = (3 – y)(9 + 3y + y2) = (3 – y)(9 + 3y + y2) 59. (x + 2)(x + 7) 60. (y – 5)(y – 6) 61. (z – 8)(z + 3) 62. (2t + 1)(3t + 1) 63. (2u – 5)(7u + 1) 64. (2v + 3)(5v + 4) 65. (3x + 5)(4x – 3) 66. (x – )(2x – y) 67. (2x + 5y)(3x – 2y) 68. (3x + 7y)(5x – 2y) 69. (x3 – 4x2) + (5x – 20) = x2(x – 4) + 5(x – 4) = (x – 4)(x2 + 5) 70. (2x3 – 3x2) + (2x – 3) = x2(2x – 3) + 1(2x – 3) = (2x – 3)(x2 + 1) 71. (x6 – 3x4) + (x2 – 3) = x4(x2 – 3) + 1(x2 – 3) = (x2 – 3)(x4 + 1) 72. (x6 + 2x4) + (x2 + 2) = x4(x2 + 2) + 1(x2 + 2) = (x2 + 2)(x4 + 1) 73. (2ac + 6ad) – (bc bd) = 2a(c + 3d) – b(c + 3d) = (c + 3d)(2a – b) 74. (3uw + 12uz) – (2vw + 8vz) = 3u(w + 12z) – 2v(w + 4z) = (w z)(3u – 2v) 75. x(x2 + 1) 76. y(4y2 – 20y + 25) = y[(2y)2 – 2(2y)(5) + 52] = y(2y – 5)2 77. 2y(9y2 + 24y + 16) = 2y[(3y)2 + 2(3y)(4) + 42] = 2y(3y +4)2 78. 2x(x2 – 8x + 7) = 2x(x – 1)(x – 7) 79. y(16 – y2) = y(42 – y2) = y(4 + y)(4 – y) 80. 3x(x3 + 8) = 3x(x 3 + 23) = 3x(x + 2)[x2 – (x)(2) + 22] = 3x(x + 2)(x2 – 2x + 4) 81. y(5 + 3y – 2y2) = y(1 + y)(5 – 2y) 82. z(1 – 8z3) = z[13 (2z)3] = z(1 – 2z)[12 + (1)(2z) + (2z)2] = z(1 – 2z)(1 + 2z + 4z2) 83. 2[(5x + 1)2 – 9] = 2[(5x + 1) – 32] = 2[(5x + 1) + 3] [(5x + 1) – 3] = 2(5x + 4)(5x – 2) 84. 5[(2x – 3)2– 4] = 5[(2x – 3)2 – 22] = 5[(2x – 3) + 2] [(2x – 3) – 2] = 5(2x – 1)(2x – 5) 85. 2(6x2 + 11x – 10) = 2(2x + 5)(3x – 2) 86. (x + 5y)(3x – 2y) 87. (2ac + 4ad) – (2bd + bc) = 2a(c + 2d) – b(2d + c) = (c + 2d)(2a – b) = (2c – b)(c + 2d) 88. (6ac + 4bc) – (2bd + 3ad) = 2c(3a + 2b) – d(2b + 3a) = (3a + 2b)(2a – d) 89. (x3 – 3x2) – (4x – 12) = x2(x – 3) – 4(x – 3) = (x – 3) (x2 – 4) = (x – 3)(x + 2)(x – 2) 90. x(x3 – 4x2 – x + 4) = x(x – 1)(x2 – 3x – 4) = x(x – 1) (x + 1)(x – 4) 91. (2ac + bc)  (2ad + bd) = c(2a + b)  d(2a + b) = (c – d)(2a + b). Nenhum dos agrupamentos (2ac  bd) e (2ad + bc) tem um fator comum para remover. CAPÍTULO 4 Exercícios 1. 2. 3. 4. 33 25 # 20 77  33 # 20 25 # 77  660 1.925  12 35 20 21 # 9 22  20 # 9 21 # 22  180 462  30 77 17 32  9 32  17  9 32  8 32  1 4 5 9  10 9  5  10 9  15 9  5 3 y + 3 + 4 2 Livro 1_Demana_A.indb 336 23/1/2013 13:58:27 Respostas 337 5. 6. 7. O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 2 � 7 � 3 � 5 = 210: 8. O mínimo múltiplo comum dos denominadores é 2 � 3 � 5 � 7 � 210: 9. Nenhum valor é restrito, assim o domínio é o de todos os números reais. 10. Nenhum valor é restrito, assim o domínio é o de todos os números reais. 11. O valor sob o radical deve ser não negativo, assim x – 4 � 0, ou seja, x � 4: domínio é [4, �∞[. 12. O valor sob o radical deve ser positivo, assim x � 3 � 0, ou seja, x � �3: domínio é ]�3, �∞[. 13. O denominador não pode ser 0, assim x2 � 3x ≠ 0 ou x(x � 3) ≠ 0. Então, x ≠ 0 e x � 3 ≠ 0, ou seja, x ≠ 0 e x ≠ �3. 14. O denominador não pode ser 0, assim x2 � 4 ≠ 0 ou (x � 2)(x � 2) ≠ 0. Então, x � 2 ≠ x – 2 ≠ 0, ou seja, x ≠ �2 e x ≠ 2. 15. O denominador não pode ser 0, assim x � 1 ≠ 0 ou x ≠ 1. Então x ≠ 2 e x ≠ l. 16. O denominador não pode ser 0, assim x � 2 ≠ 0 ou x ≠ 2. Então x ≠ 2 e x ≠ 0. 17. x�1 � 1/x e o denominador não pode ser 0, assim x ≠ 0. 18. e o denominador não pode ser 0, assim (x � l)2 ≠ 0 ou x � 1 ≠ 0, ou seja, x ≠ �l. 19. O denominador é 12x3 � (3x)(4x2), assim, o novo numerador é 2(4x2) � 8x2. 20. O numerador é 15y � (5)(3y), assim, o novo denominador é (2y)(3y) � 6y2. 21. O numerador é x2 � 4x � (x � 4)(x), assim, o novo denominador é (x)(x) � x2. 22. O denominador é x2 � 4 � (x � 2)(x � 2), assim, o novo numerador é x(x � 2) � x2 � 2x. 23. O denominador é x2 � 2x � 8 � (x � 4)(x � 2), assim, o novo numerador é (x � 3)(x � 4) � x2 � 7x � 12. 24. O numerador é x2 � x � 12 � (x � 4)(x � 3), assim, o novo denominador é (x � 5)(x � 3) � x2 � 8x � 15. 25. O numerador é x2 � 3x � x(x � 3), assim, o novo denominador é x(x2� 2x) ou x3 � 2x2. 26. O denominador é x2 � 9 � (x � 3)(x � 3), assim, o novo numerador é (x � 3)(x2 � x � 6) � x(x2 � x � 6) � 3(x2 � x � 6) � x3 � x2 � 6x � 3x2 � 3x � 18 � x3 � 4x2 � 3x � 18 27. (x � 2)(x � 7) cancela durante a simplificação; a restrição indica que os valores 2 e �7 não são válidos na expressão original. 28. (x � 1)(x � 2) cancela durante a simplificação; a restrição indica que os valores �1 e 2 não são válidos na expressão original. 29. Nenhum fator foi removido da expressão; podemos ver pela inspeção que 2/3 e 5 não são válidos. 30. x cancela durante a simplificação; a restrição indica que 0 não era válido na expressão original. 31. (x � 3) termina no numerador da expressão sim- plificada; a restrição lembra que começa no denominador, assim, 3 não é permitido. 32. Quando a � b na origem, dividimos por 0; isso não é aparente na expressão simplificada, pois cancelamos um fator de b � a. 33. 34. 35. 36. 37. 38. (x � 3)2 (x � 3)(x � 4) � x � 3 x � 4 , x � �3 z(z � 3) (3 � z)(3 � z) � � z z � 3 , z � 3 2y(y � 3) 4(y � 3) � y 2 , y 3 x(x2) x(x � 2) � x2 x � 2 , x � 0 3y2(25) 3y2(3y2) � 25 3y2 3x(6x2) 3x(5) � 6x2 5 , x � 0 x(x � 1)�2 � x (x � 1)2 � 35 � 36 � 56 210 � 15 210 � 1 14 1 6 � 6 35 � 4 15 � 35 210 � 36 210 � 56 210 � 15 � 56 � 50 210 � 21 210 � 1 10 1 14 � 4 15 � 5 21 � 15 210 � 56 210 � 50 210 9 4 � 15 10 � 9 4 � 3 2 � 9 4 # 2 3 � 9 # 2 4 # 3 � 18 12 � 3 2 2 3 � 4 5 � 2 3 # 5 4 � 2 # 5 3 # 4 � 10 12 � 5 6 0 e � � Livro 1_Demana_A.indb 337 23/1/2013 13:58:36 Pré-cálculo340 71. , x ≠ –y. 72. , x ≠ y. 73. 74. , x ≠ 0 e y ≠ 0 CAPÍTULO 5 Revisão rápida 1. 2x + 5x + 7 + y – 3x + 4y + 2 = (2x + 5x – 3x) + (y + 4y) + (7 + 2) = 4x + 5y + 9 2. 4 + 2x – 3z + 5y – x + 2y – z – 2 = (2x – x) + (5x + 2y) + (–3z – z) + (4 – 2) = x + 7y – 4z + 2 3. 3(2x – y) + 4(y – x) + x + y = 6x – 3y + 4y – 4x + x + y = 3x + 2y 4. 5(2x + y – 1) + 4(y – 3x + 2) + 1 = 10x + 5y – 5y – 5 + 4y – 12x + 8 + 1 = –2x + 9y + 4 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. (3x – 4)2 = 9x2 – 12x – 12x + 16 = 9x2 – 24x + 16 12. (2x + 3)2 = 4x2 + 6x + 6x + 9 = 4x2 + 12x + 9 13. (2x + 1)(3x – 5) = 6x2 – 10x + 3x – 5 = 6x2 – 7x – 5 14. (3y – 1)(5y + 4) = 15y2 + 12y – 5y – 4 = 15y2 + 7y – 4 15. 25x2 – 20x + 4 = (5x – 2)(5x – 2) = (5x – 2)2 16. 15x3 – 22x2 + 8x = x(15x2 – 22x + 8) = x(5x – 4)(3x – 2) 17. 3x3 + x2 – 15x – 5 = x2(3x + 1) – 5(3x + 1) = (3x + 1)(x2 – 5) 18. y4 – 13y2 + 36 = (y2 – 4)(y2 – 9) = (y – 2) (y + 2)(y – 3)(y + 3) 19. 20.  2(x  4) (x  2)(x  2) , se x  3 2(x  4)(x  3) (x  3)(x  2)(x  2)  2(x2  x  12) (x  3)(x  2)(x  2)  2x2  2x  24 (x  3)(x  2)(x  2)  (x2  3x  2)  (3x2  5x  22) (x  3)(x  2)(x  2)  (3x  11)(x  2) (x  3)(x  2)(x  2)  3x  11 (x  3)(x  2)  (x  1)(x  2) (x  3)(x  2)(x  2) x  1 x2  5x  6  3x  11 x2  x  6  x  1 (x  3)(x  2)  x2  x  2 (2x  1)(x  3)  (x  2)(x  1) (2x  1)(x  3)  2(2x  1) (2x  1)(x  3)  x2  3x  4x  2 (2x  1)(x  3) x 2x  1  2 x  3  x(x  3) (2x  1)(x  3) x 3  x 4  4x 12  3x 12  7x 12  5x  20  6x  2 10  11x  18 10 x  4 2  3x  1 5  5(x  4) 10  2(3x  1) 10 1 x  1 y  x  y xy  x xy  x2y xy  y  x  x2y xy 2  1 x  2x x  1 x  2x  1 x  y  2  3y  3 (y  1)(y  2)  4y  5 (y  1)(y  2)  3(y  1) (y  1)(y  2) 1 y  1  3 y  2  y  2 (y  1)(y  2) 2 y  3 y  5 y 1 x1  y1  1 1 x  1 y  1 y  x xy  xy y  x 1 x  1 y  y xy  x xy  x  y xy x  y x  y ¢x  y xy ≤ ¢ 1 x  y ≤  1 xy Livro 1_Demana_A.indb 340 23/1/2013 13:59:05 Respostas 341 Exercícios 1. (a) e (c): 2(�3)2 � 5(�3) � 2(9) – 15 � 18 – 15 � 3, e 2(1/2)2 � 5(1/2) � 2(1/4) � 5/2 � 1/2 � 5/2 � 6/2 � 3. Substituir x � �1/2 resulta �2 e não 3. 2. (a): �1/2 � 1/6 � � 3/6 � 1/6 � � 2/6 � �1/3 e �1/3 � �1/3. Ou multiplicando os dois lados por 6: 6(x/2) � 6(1/6) � 6(x/3), assim, 3x � 1 � 2x. Subtraia 2x dos dois lados: x � 1 � 0. Subtraia 1 dos dois lados: x � �1. 3. (b): Substituir x � �2 ou x � 2 resulta , que é indefinido. 4. (c): (10 � 2)1/3 � 81/3 � 2. Substituir x � �6 resulta �2, e não 2; substituir x � 8 resulta 61/3  1,82, e não 2. 5. Sim: �3x � 5 � 0. 6. Não. Não há variável x na equação. 7. Não. Subtrair x dos dois lados resulta 3 � �5, que é falso e não contém a variável x. 8. Não. A maior potência de x é 2, assim, a equa- ção é quadrática e não linear. 9. Não. A equação tem , assim, não é linear. 10. Não. A equação tem 1/x � x�1, assim não é linear. 11. 3x = 24 x = 8 12. 4x = –16 x = – 4 13. 3t = 12 t = 4 14. 2t = 12 t = 6 15. 2x – 3 = 4x – 5 2x = 4x – 2 –2x = –2 x = 1 16. 4 – 2x = 3x – 6 –2x = 3x –10 –5x = –10 x = 2 17. 4 – 3y = 2y + 8 –3y = 2y + 4 –5y = 4 y = = �0,8 18. 4y = 5 + 8 –y = 8 y = –8 19. 2 = 2 x = = 1,75 20. 2x = x = x = = 1,2 21. = 2(1) x + = 2 x = 22. = 3(1) x + = 3 x = = 2,25 23. 6 – 8z – 10z – 15 = z – 17 –18z – 9 = z – 17 –18z = z – 8 –19z = – 8 z = 24. 15z – 9 – 8z – 4 = 5z – 2 7z – 13 = 5z – 2 7z = 5z + 11 2z = 11 z = = 5,5 25. 4 = 4(3x) 2x – 3 + 20 = 12x 2x + 17 = 12x 17 = 10x x = = 1,7 17 10 ¢2x � 3 4 � 5≤ 11 2 8 19 9 4 3 4 3 ¢1 3 x � 1 4 ≤ 4 3 2 3 2 ¢1 2 x � 1 3 ≤ 6 5 12 10 12 5 3 ¢2 3 x≤ � 3 ¢4 5 ≤ 7 4 ¢7 8 ≤¢1 2 x≤ � 4 5 2x 2�3 � 2 21 � 4 � 2 � 21 � 02 � 2 � 21 � 2 � 1 � 2 � 3 Livro 1_Demana_A.indb 341 23/1/2013 13:59:10 Pré-cálculo342 26. 3(2x – 4) = 3 6x – 12 = 4x – 5 6x = 4x + 7 2x = 7 x = = 3,5 27. 24 = 24 3(t + 5) – 12(t – 2) = 8 3t + 15 – 12t + 24 = 8 –9t + 39 = 8 –9t = –31 t = 28. 12 = 12 4(t – 1) + 3(t + 5) = 6 4t – 4 + 3t + 15 = 6 7t + 11 = 6 7t = –5 t = 29. Multiplicar ambos os lados da primeira equação por 2. 30. Divida ambos os lados da primeira equação por 2. 31. (a) Não, elas têm soluções diferentes. 3x = 6x + 9 x = 2x + 9 –3x = 9 –x = 9 x = –3 x = –9 (b) Sim, a solução de ambas as equações é x � 4. 6x + 2 = 4x + 10 3x + 1 = 3x + 5 6x = 4x + 8 3x = 2x + 4 2x = 8 x = 4 x = 4 32. (a) Sim, a solução de ambas as equações é x � 9/2. 3x + 2 = 5x – 7 –2x + 2 = –7 3x = 5x – 9 –2x = –9 –2x = –9 x = x = (b) Não, elas têm soluções diferentes. 2x + 5 = x – 7 2x = x – 7 2x = x – 12 x = –7 x = –12 33. 3x � 5 � 2x � 1 Subtraindo 5 de cada lado resulta 3x � 2x � 4. A resposta é E. 34. x(x + 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 x = –1 A resposta é A. 35. Multiplicando cada lado por 12 resulta 8x + 6 = 3x – 4. A resposta é B. 36. P = 2(b + h) P = b + h P – b = h h = P – b = 37. A = h (b1 + b2) h(b1 + b2) = 2A b1 + b2 = b1 = 38. r = 39. C = (F – 32) C = F – 32 C + 32 = F F = C + 32 9 5 9 5 9 5 5 9 B 3 3V 4p B 3 3V 4p � r 3 4p V � r3 V � 4 3 p r3 2A h � b2 2A h 1 2 P � 2b 2 1 2 1 2 1 2 2x 3 � 1 2 � x 4 � 1 3 9 2 9 2 � 5 7 ¢1 2 ≤¢t � 1 3 � t � 5 4 ≤ 31 9 ¢1 3 ≤¢t � 5 8 � t � 2 2 ≤ 7 2 ¢4x � 5 3 ≤ Livro 1_Demana_A.indb 342 23/1/2013 13:59:15 Respostas 345 63. x2 – 4x – 32 = 0, assim, a = 1, b = –4, c = –32: x = 4 ou x = 8 64. Intercepta o eixo = 3 e o eixo = –2. 65. Intercepta o eixo = 1 e 3, o eixo = 3. 66. Intercepta o eixo = –2, 0, 2 e o eixo = 0. 67. Não intercepta o eixo nem o eixo . 68. Gráfico de y  |x – 8| e y  2, com soluções t  6 ou t  10. 69. Gráfico de y  |x  1| e y  4, com soluções x  5 ou x  3. 70. Gráfico de y  |2x  5| e y  7, com soluções x  1 ou x  6. 71. Gráfico de y  |3 – 5x| e y  4, com soluções x   1/5 ou x  7/5. 72. Gráfico de y  |2x  3| e y  x2, com soluções x  3 ou x  1. 73. Gráfico de y  |x  1| e y  2x – 3, com soluções x  4. 74. (a) As duas funções são y1  (come- çando no eixo x) e y2  x2 – 1. (b) Este é o gráfico de y   4 – x2  1. (c) As coordenadas de x das intersecções na pri- meira figura são as mesmas das coordenadas de x onde o segundo gráfico cruza o eixo x. 75. Os fatores do lado esquerdo para (x  2) (x  1)  0: x + 2 = 0 ou x – 1 = 0 x = –2 x = 1 76. O gráfico de y  x2 – 18 intercepta o eixo x em x  4,24 ou x  4,24. Temos a contar x2 – 3x = 12 – 3x + 6 x2 – 18 = 0 77. 2x – 1 = 5 ou 2x – 1 = –5 2x = 6 2x = –4 x = 3 x = –2 78. x + 2 = 2 x2 + 4x + 4 = 4(x + 3) x2 = 8 x = ou x = é uma solução estranha, x =  2,83. 79. Do gráfico de y  x3  4x2  3x  2, as solu- ções da equação (que interceptam o x no gráfico) são x  4,56, x  0,44, x 1. 80. Do gráfico de y  x3  4x  2, as soluções da equação (que interceptam x no gráfico) são x  2,21, x  0,54, x  1,68. 81. x2 + 4x – 1 = 7 ou x2 + 4x – 1 = –7 x2 + 4x – 8 = 0 x2 + 4x + 6 = 0 x = –2 ± sem soluções reais para esta equaç . 82. Do gráfico de y  |x  5|  |x – 3|, y  0 quando x  1. 83. Do gráfico de y  |0,5x  3| e y  x2 – 4, temos x  2,41 ou x  2,91. 84. Do gráfico de y  e y  x2  5, temos x  1,64 ou x  1,45. 85. (a) Existem duas raízes distintas, pois implica que são 2 números reais distintos. (b) Existe exatamente uma raiz, pois implica que , assim a raiz deve ser . (c) Não existe raiz real, pois implica que não são números reais. 86. As respostas podem variar. (a) x2  2x  3 tem discriminante (2)2  4(1) (3)  16, assim tem duas raízes distintas. O gráfico (ou fatoração) mostra que as raízes estão em x  3 e x  1. (b) x2  2x  1 tem discriminante (2)2  4(1)(1)  0, assim tem uma raiz. O gráfico (ou fato- ração) mostra que a raiz está em x  1. (c) x2  2x  2 tem discriminante (2)2  4(1) (2)  4, assim, não tem raiz real. O gráfico está totalmente acima do eixo x. 87. Seja x a largura do campo (em yd), o comprimen- to é x  30. Então, a área do campo tem largura de 80 yd e 80  30  110 yd de comprimento. 8800 = x(x + 30) 0 = x2 + 30x – 8800 0 = (x + 110)(x – 80) 0 = x + 110 ou 0 = x – 80 x = –110 ou x = 80 2b2  4ac b2  4ac 6 0 x   b a 2b2  4ac  0 2b2  4acb2  4ac 7 0 2x  7 223 x  4  216  24 2 x  4  216  32 2 2828 2828 2x  3 32x 32x  4 yx yx yx yx  4  2144 2  2  6 x  (4) 2(4)2  4(1)(32) 2(1) s ões Livro 1_Demana_A.indb 345 23/1/2013 13:59:33 Pré-cálculo346 88. Resolvendo x2  (x  5)2  182, ou 2x2  10x – 299  0, resulta x  9,98 ou x  14,98. A escada está cerca de x  5  14,98 ft de altura na parede. 89. A área do quadrado é x2. A área do semicírculo é 1/2r2  1/2(1/2x)2, como o raio do semicír- culo é 1/2x. Então, 200  x2  1/2(1/2x)2. Resolvendo (graficamente é mais fácil) resulta x  11,98 ft (x deve ser positivo). 90. Verdadeiro. 91. Falso. 92. A resposta é D. 93. A resposta é B. 94. A resposta é B. 95. A resposta é E. 96. (a) ax2 + bx + c = 0 ax2 + bx = –c x2 + (b) x2 + (c) x+ 97. (a) = 2 |x2 – 4| = 2 x2 – 4 = 2 ou x2 – 4 = –2 x2 = 6 x2 = 2 x = x = |x2 – 4| = 2, { , }. (b) = 4 |x2 – 4| = 4 x2 – 4 = 4 ou x2 – 4 = –4 x2 = 8 x2 = 0 x = x = 0 (c) = 5 |x2 – 4| = 5 x2 – 4 = 5 ou x2 – 4 = –5 x2 = 9 x2 = –1 x = ± 3 sem solução |x2 – 4| = 5, {±3} (d) c 1. O gráfico sugere y  1 não inter- secciona y  |x2 – 4|. Como o valor absoluto nunca é negativo, |x2 – 4|  1 não tem soluções. (e) Não existem outros possíveis de soluções desta equação. Para todos, a solu- ção envolve duas equações quadráticas, cada um pode ter nenhuma, uma ou duas soluções. 98. (a) (b) 99. x1 + x2 = = 5. Como a = 2, isso significa que b = –10. x1  x2 = = 3, como a  2, isso significa que c = 6. As soluções são , que se reduz a 2,5 ± , ou aproximadamente 0, 697 e 4,303. CAPÍTULO 6 Revisão rápida 1. –7  2x – 3  7 –4  2x  10 –2  x  5 1 2 213 10  2100  48 4 c a  b a  b2  (b2  4ac) 4a2  c a  (b)2  (2D)2 4a2 (b  2D) 2a # (b  2D) 2a 2b 2a   b a  2b 2D 2D 2a b 2D 2a  b 2D 2a 1 c 28 1 c 2622 2226 1 c x  b  2b2  4ac 2a x   b 2a  2b2  4ac 2a x  b 2a  2b2  4ac 2a b 2a  B b2  4ac 4a2 ¢x  b 2a ≤2  b2  4ac 4a2 ¢x  b 2a ≤¢x  b 2a ≤  4ac 4a2  b2 4a2 x2  b a x  ¢ b 2a ≤2  c a  b2 4a2 b a x  ¢1 2 # b a ≤2  c a  ¢1 2 # b a ≤2 b a x   c a números Livro 1_Demana_A.indb 346 23/1/2013 13:59:39 Respostas 347 2. 5x – 2 � 7x + 4 –2x � 6 x � –3 3.⎟ x + 2⎟ = 3 x + 2 = 3 ou x + 2 = –3 x = 1 ou x = –5 4. 4x2 – 9 = (2x – 3)(2x + 3) 5. x3 – 4x = x(x2 – 4) = x(x – 2)(x + 2) 6. 9x2 – 16y2 = (3x – 4y)(3x + 4y) 7. 8. 9. 10. Exercícios 1. (a): 2(0) – 3 � 0 – 3 � �3 � 7. No entanto, substituindo x � 5 resulta 7 (não é menor que 7); substituindo x � 6 resulta 9. 2. (b) e (c): 3(3) – 4 � 9 – 4 � 5 � 5 e 3(4) – 4 � 12 – 4 � 8 � 5 3. (b) e (c): 4(2) – 1 � 8 – 1 � 7 e �1 � 7 � 11, e também 4(3) – 1 � 12 – 1 � 11 e �1 � 11 � 11. No entanto, substituindo x � 0 resulta �1 (não é maior que �1). 4. (a), (b) e (c): 1 – 2(–1) � 1 � 2 � 3 e �3 � 3; 1 – 2(0) � 1 – 0 � 1 e �3 � 1 � 3; 1 – 2(2) � 1 – 4 � �3 e �3 � �3 � 3. 5. 6. 7. 2x � 1 � 4x + 3 2x � 4x + 4 �2x � 4 x � �2 8. 3x � 1 � 6x + 8 3x � 6x + 9 �3x � 9 x � �3 9. 2 � x + 6 � 9 –4 � x � 3 10. �1 � 3x � 2 � 7 1 � 3x � 9 � x � 3 11. 10 � 6x + 6x � 3 � 2x + 1 7 � 2x + 1 6 � 2x 3 � x x � 3 12. 4 � 4x + 5 + 5x � 3x � 1 9 + x � 3x � 1 10 + x � 3x 10 � 2x 5 � x x � 5 13. � 4(�3) 5x + 7 � � 12 5x � – 19 x � � 19 5 4 ¢5x � 7 4 ≤ 4 5 6 7 8 93210�1 4 5 6 7 83210�2 �1 1 3 4 53210�5 �4 �3 �2 �1 4 53210�5 �4 �3 �2 �1 4 53210�5 �4 �3 �2 �1 4 53210�5 �4 �3 �2 �1 4 5 6 7 8 93210�1 4 5 6 7 8 93210�1 (3x � 1) (x � 1)(x � 1) , se x � 2. � (3x � 1)(x � 2) (x � 2)(x � 1)(x � 1) � 3x2 � 5x � 2 (x � 2)(x � 1)(x � 1) � (2x2 � 3x � 1) � (x2 � 2x � 3) (x � 2)(x � 1)(x � 1) � (2x � 1)(x � 1) � (x � 3)(x � 1) (x � 2)(x � 1)(x � 1) 2x � 1 (x � 2)(x � 1) � x � 3 (x � 2)(x � 1) � 4x2 � 4x � 1 (x � 1)(3x � 4) � x(3x � 4) (x � 1)(3x � 4) � (x � 1)(x � 1) (x � 1)(3x � 4) x x � 1 � x � 1 3x � 4 x2 � 2x � 35 x2 � 10x � 25 � (x � 7)(x � 5) (x � 5)(x � 5) � x � 7 x � 5 z2 � 25 z2 � 5z � (z � 5)(z � 5) z(z � 5) � z � 5 z Livro 1_Demana_A.indb 347 23/1/2013 13:59:48 Pré-cálculo350 40. 21 + 4x � x2 = 0 (7 � x)(3 + x) = 0 7 � x = 0 ou 3 + x = 0 x = 7 ou x = �3 O gráfico de y � 21 � 4x � x2 está acima do eixo x para �3 � x � 7. Portanto, ]�3, �7[ é a solu- ção, pois os extremos estão incluídos. 41. x3 � x = 0 x(x2 � 1) = 0 x(x + 1)(x � 1) = 0 x = 0 ou x + 1 = 0 ou x � 1 = 0 x = 0 ou x = �1 ou x = 1 O gráfico de y � x3 � x está acima do eixo x para x � 1 e para �1 � x � 0. Portanto, [�1, 0] ∪ [1, �∞[ é a solução, pois os extremos estão incluí- dos. 42. x3 � x2 � 30x = 0 x(x2 � x � 30) = 0 x(x � 6)(x + 5) = 0 x = 0 ou x � 6 = 0 ou x + 5 = 0 x = 0 ou x = 6 ou x = �5 O gráfico de y � x3 � x2 � 30x está abaixo do eixo x para x � �5 e para 0 � x � 6. Portanto, ]�∞, �5] ∪ [0, 6] é a solução, pois os extremos estão incluídos. 43. O gráfico de y � x2 � 4x � 1 é zero para x  �0,24 e x  4,24 e está abaixo do eixo x para �0,24 � x � 4,24. Portanto, ]�0,24; 4,24[ é a solução aproximada. 44. O gráfico de y � 12x2 � 25x � 12 é zero para x � 4/3 e x � 3/4 e está acima do eixo x para x � 3/4 e para x � 4/3. Portanto, ]�∞, 3/4] ∪ [4/3, �∞[ é a solução. 45. 6x2 � 5x � 4 = 0 (3x � 4)(2x + 1) = 0 3x � 4 = 0 ou 2x + 1 = 0 x = ou x = O gráfico de y � 6x2 � 5x � 4 está acima do eixo x para x � �1/2 e para x � 4/3. Portanto, ]�∞, �1/2[ ∪ ]4/3, �∞[ é a solução. 46. 4x2 � 1 = 0 (2x + 1)(2x � 1) = 0 2x + 1 = 0 ou 2x � 1 = 0 x = ou x = O gráfico de y � 4x2 � 1 está abaixo do eixo x para �1/2 � x � 1/2. Portanto, [�1/2, 1/2] é a solução, pois os extremos estão incluídos. 47. O gráfico de y � 9x2 � 12x � 1 parece ser zero para x  �1,41 e x  0,08 e está acima do eixo x para x � �1,41 e x � 0,08. Portanto, ]�∞, �1,41] ∪ [0,08, �∞[ é a solução aproxi- mada, e os extremos estão incluídos. 48. O gráfico de y � 4x2 � 12x � 7 parece ser zero para x  0,79 e x  2,21 e está abaixo do eixo x para 0,79 � x � 2,21. Portanto, ]0,79, 2,21[ é a solução aproximada. 49. 4x2 � 4x + 1 = 0 (2x � 1)(2x � 1) = 0 (2x � 1)2 = 0 2x � 1 = 0 x = O gráfico de y � 4x2 � 4x � 1 está totalmente acima do eixo x, exceto em x � 1/2. Portanto, ]�∞, 1/2[ ∪ ]1/2, �∞[ é a solução estabelecida. 50. x2 � 6x + 9 = 0 (x � 3)(x � 3) = 0 (x � 3)2 = 0 x � 3 = 0 x = 3 O gráfico de y � x2 � 6x � 9 está totalmente acima do eixo x, exceto em x � 3. Portanto, {3} é a solução estabelecida. 51. x2 � 8x + 16 = 0 (x � 4)(x � 4) = 0 (x � 4)2 = 0 x � 4 = 0 x = 4 O gráfico de y � x2 � 8x � 16 está totalmente acima do eixo x, exceto em x � 4. Portanto, não há solução, isto é, a solução é dada por . 52. 9x2 + 12x + 4 = 0 (3x + 2)(3x + 2) = 0 (3x + 2)2 = 0 3x + 2 = 0 x = O gráfico de y � 9x2 � 12x � 4 está totalmente acima do eixo x, exceto em x � �2/3. Portanto, todo número real satisfaz a inequação. A solução é ]�∞, �∞[. 53. O gráfico de y � 3x3 � 12x � 2 é zero para x  �2,08, x  0,17 e x  1,91 e está acima do eixo x para �2,08 � x � 0,17 e x � 1,91. Portanto, [�2,08, 0,17] ∪ [1,91, �∞[ é a solu- ção aproximada. � 2 3 1 2 1 2 � 1 2 � 1 2 4 3 Livro 1_Demana_A.indb 350 23/1/2013 14:00:09 Respostas 351 54. O gráfico de y � 8x � 2x3 � 1 é zero para x  �2,06, x  0,13 e x  1,93 e está abaixo do eixo x para �2,06 � x � 0,13 e x � 1,93. Portanto, ]�2,06; 0,13[ ∪ [1,93, �∞[ é a solu- ção aproximada. 55. 2x3 � 2x � 5 é equivalente a 2x3 � 2x � 5 � 0. O gráfico de y � 2x3 � 2x � 5 é zero para x  1,11 e está acima do eixo x para x � 1,11. Assim, ]1,11; �∞[ é a solução aproximada. 56. 4 � 2x3 � 8x é equivalente a 2x3 � 8x �4 � 0. O gráfico de y � 2x3 � 8x � 4 é zero para x  0,47 e está acima do eixo x para x � 0,47. Assim, [0,47, �∞[ é a solução aproximada. 57. As respostas podem variar. Algumas possibilida- des são: (a) x2 � 0 (b) x2 + 1 � 0 (c) x2 � 0 (d) (x + 2)(x � 5) � 0 (e) (x + 1)(x � 4) � 0 (f) x(x � 4) � 0 58. Seja x a velocidade média; então 105 � 2x. Re- solvendo a equação resulta x � 52,5, assim, a menor velocidade média é 52,5 km/h. 59. (a) Seja x � 0 a largura de um retângulo então a altura é 2x � 2 e o perímetro é P � 2[x � (2x � 2)]. Resolvendo P � 200 e 2x � 2 � 0 resulta 1 cm � x � 34 cm. 2[x + (2x � 2)] � 200 e 2x � 2 � 0 2(3x � 2) � 200 2x � 2 6x � 4 � 200 x � 1 6x � 204 x � 34 (b) A área é A � x(2x � 2). Já sabemos que x � 1 da parte (a). Resolver A � 1200. x(2x � 2) = 1200 2x2 � 2x � 1200 = 0 x2 � x � 600 = 0 (x � 25)(x + 24) = 0 x � 25 = 0 ou x + 24 = 0 x = 25 ou x = �24 O gráfico de y � 2x2 � 2x � 1200 está abai- xo do eixo x para 1 � x � 25. Assim, A � 1200 quando x está no intervalo ]1, 25[. 60. Substitua 20 e 40 na equação P � 400/V para encontrar a imagem P:P � 400/20 e P � 400/40 � 10. A pressão pode variar de 10 a 20, ou 10 � P � 20. De maneira alternativa, resolva graficamente: gráfico y � 400/x em [20, 40] � [0, 30] e observe que todos os valores de y estão entre 10 e 20. 61. Falso. 62. Verdadeiro. 63. |x � 2| � 3 �3 � x � 2 � 3 �1 � x � 5 ]�1,5[ A resposta é E. 64. O gráfico de y � x2 � 2x � 2 está totalmente acima do eixo x, assim, x2 � 2x � 2 � 0 para todos os números reais de x. A resposta é D. 65. x2 � x é verdadeira para todo x negativo ou para x � 1. Assim, a solução é ]�∞, 0[ ∪ ]1, �∞[. A resposta é A. 66. x2 � 1 implica �1 � x � 1, assim, a solução é [�1, 1]. A resposta é D. 67. (a) Os comprimentos dos lados da caixa são x, 12 � 2x e 15 � 2x, assim o volume é x(12 � 2x) (15 � 2x). Resolver x(12 � 2x)(15 � 2x) � 125, gráfico y � x(12 � 2x)(15 � 2x) e y � 125 e encontrar onde os gráficos se interseccionam: x  0,94 polegadas ou x  3,78 polegadas. (b) O gráfico de y � x(12 � 2x)(15 � 2x) está acima do gráfico de y � 125 para 0,94 � y � 3,78 (aproximadamente). Assim, esco- lhendo x no intervalo ]0,94; 3,78[ resultará em uma caixa com o volume maior que 125 centímetros cúbicos. 68. 2x2 � 7x � 15 � 10 ou 2x2 � 7x � 15 � �10 2x2 � 7x � 25 � 0 2x2 � 7x � 5 � 0 Olhe para os gráficos de y � |2x2 � 7x � 15| e y � 10. O gráfico de y � |2x2 � 7x � 15| está abaixo do gráfico de y � 10 quando �5,69 � x � �4,11 e quando 0,61 � x � 2,19. Portanto, ]�5,69, �4,11[ ∪ ]0,61; 2,19[ é a solução aproximada. O gráfico de y � 2x2 � 7x � 5 parece ser zero para x  �4,11 e x  0,61 O gráfico de y � 2x2 � 7x � 25 parece ser zero para x  �5,69 e x  2,19 Livro 1_Demana_A.indb 351 23/1/2013 14:00:17 Pré-cálculo352 69. 2x2 � 3x � 20 � 10 ou 2x2 � 3x � 20 � �10 2x2 � 3x � 30 � 0 2x2 � 3x � 10 � 0 Olhe para os gráficos de y � |2x2 � 3x � 20 | e y � 10. O gráfico de y � |2x2 � 7x � 20 | está acima do gráfico de y � 10 quando x � �4,69; �3,11 � x � 1,61 e x � 3,19. Portanto, ]�∞, �4,69] ∪ [�3,11, 1,61] ∪ [3,19; �∞[ é a solução aproximada, com os extremos incluídos. CAPÍTULO 7 Revisão rápida 1. x2 � 16 � 0 x2 � 16 x � ± 4 2. 9 � x2 � 0 9 � x2 ± 3 � x 3. x � 10 � 0 x � 10 4. 5 � x � 0 �x � �5 x � 5 5. Como vimos, o denominador de uma função não pode ser zero. Veremos quando isso ocorre. x � 16 � 0 x � 16 6. x2 � 16 � 0 x2 � 16 x � ± 4 7. x � 16 � 0 x � 16 8. x2� 1 � 0 x2 � 1 x � ± 1 9. 3 � x � 0 e x � 2 � 0 3 � x x � �2 x � �2 e x � 3 10. x2� 4 � 0 x2 � 4 x � ± 2 Exercícios 1. Sim, é uma função de x, pois, quando o número é substituído por x, há no máximo um valor produzido para . 2. Não, y � x2 ± 3 não é uma função de x, pois quando o número é substituído por x, y pode ser tanto 3 maior ou 3 menor que x2. 3. Não, x = 2y2 não determina y como uma função de x, pois, quando um número positivo é substi- tuído por x, y pode ser ou . 4. Sim, x � 12 � y determina y como uma função de x, pois, quando um número é substituído por x, há exatamente um número y que produz x quando subtraído por 12. 5. Sim. 6. Não. 7. Não. 8. Sim. 9. Domínio: ]�∞, �∞[. 10. Precisamos x � 3 ≠ 0. Domínio: ]�∞, 3[ ∪ ]3, �∞[. 11. Precisamos x � 3 ≠ 0 e x � 1 ≠ 0. Domínio: ]�∞, �3[ ∪ ]�3, 1[ ∪ ]1, �∞[. 12. Precisamos x ≠ 0 e x � 3 ≠ 0. Domínio: ]�∞, 0[ ∪ ]0, 3[ ∪ ]3, �∞[. [�10, 10] por [�10, 10] [�5, 15] por [�10, 10] [�5, 5] por [�5, 15] �B x 2B x 2 2x � 4 y � 2x � 4 O gráfico de y � 2x2 � 3x � 10 parece ser zero para x  �3,11 e x  1,61 O gráfico de y � 2x2 � 3x � 30 parece ser zero para x  �4,69 e x  3,19 Livro 1_Demana_A.indb 352 23/1/2013 14:00:22 Respostas 355 35. Funções constantes são sempre limitadas. 36. x2 > 0 �x2 < 0 2 � x2 < 2 y é limitada superiormente por y � 2. 37. 2x � 0 para todo x, assim, y limitada inferiormente por y � 0. 38. 2�x � 1/2x para todo x, assim, y é limitada infe- riormente por y � 0. 39. Como é sempre positivo, sabe- mos y � 0 para todo x. Precisamos verificar para uma função limitada superiormente: x2 > 0 �x2 < 0 1 � x2 < 1 Assim, y é limitada por y � 1. 40. Não há restrições em x nem em x3, assim, y não é limitada superior nem inferiormente. 41. f tem um mínimo local quando x � 0,5 e y � 3,75. Não tem máximo. 42. Máximo local: y  4,08 em x  �1,15. Mínimo local: y  �2,08 em x  1,15. 43. Mínimo local: y  �4,09 em x  �0,82. Máximo local: y  �1,91 em x  0,82. 44. Máximo local: y  9,48 em x  �1,67. Mínimo local: y � 0 quando x � 1. 45. Máximo local: y  9,168 em x  �3,20. Mínimo local: y � 0 em x � 0 e y � 0 em x � �4. 46. Máximo local: y � 0 em x  �2,5. Mínimo local: y  �3,13 em x � �1,25. 47. A função é par: f(�x) = 2(�x)4 = 2x4 = f (x) 48. A função é ímpar: g(�x) = (�x)3 = �x3 = �g(x) 49. A função é par: 50. A função é par: 51. Nenhum dos dois casos: f (�x) = �(�x)2 + 0,03 (�x) + 5 = �x2� 0,03x + 5, que não é nem f (x) nem � f (x). 52. Nenhum dos dois casos: f (�x) = (�x)3 + 0,04 (�x)2 + 3 = �x3 + 0,04x2 +3, que não é nem f (x) nem � f (x). � 3 1 � x2 � g(x) g(�x) � 3 1 � (�x)2 � 2x2 � 2 � f(x) f(�x) � 2(�x)2 � 2 [�5, 5] por [�10, 10] [�5, 5] por [0, 80] [�5, 5] por [�50, 50] [�5, 5] por [�50, 50] [5, 5] por [50, 50] [�5, 5] por [0, 36] 21 � x2 6 1 21 � x2 6 21 y � 21 � x2 Livro 1_Demana_A.indb 355 23/1/2013 14:00:33 Pré-cálculo356 53. A função é ímpar: g(x) = 2(x)3  3(x) = 2x3 + 3x  g(x) 54. A função é ímpar: 55. O quociente é indefinido em x = 1, indi- cando que x = 1 é uma assíntota vertical. De ma- neira similar, , indicando uma assíntota horizontal em y = 1. O gráfico confirma essas assíntotas. 56. O quociente é indefinido em x = 0, indi- cando uma possível assíntota vertical em x = 0. De maneira similar, , indicando uma possível assíntota horizontal em y = 1. O gráfico confirma essas assíntotas. 57. O quociente é indefinido em x = 3, indi- cando uma possível assíntota vertical em x = 3. De maneira similar, , indicando uma possível assíntota horizontal em y = 1. O gráfico confirma essas assíntotas. 58. Como g(x) é contínua em ∞ < x < ∞, não esperamos uma assíntota vertical. Entretando, , assim esperamos uma assíntota horizontal em y = 0. O gráfico confirma esta assíntota. 59. O quociente é indefinido em x = 1 e x = 1. Esperamos duas assíntotas verticais. De maneira similar, assim esperamos uma assíntota horizontal em y = 1. O gráfico confirma essas assíntotas. 60. Notamos que x2 + 1 > 0 para ∞ < x < ∞, assim não esperamos uma assíntota vertical. Entretanto, , assim esperamos uma assíntota horizontal em y = 0. O gráfico confirma essa assíntota. [5, 5] por [0, 5] lim xS∞ 4 x2  1  lim xS∞ 4 x2  1  0 [10, 10] por [10, 10] lim xS∞ x2  2 x2  1  lim xS∞ x2  2 x2  1  1, x2  2 x2  1 [10, 10] por [10, 10] lim xS∞ 1,5x  lim xS∞ 1,5x  lim xS∞ 1 1,5x  0 [8, 12] por [10, 10] lim xS∞ x  2 3  x  lim xS∞ x  2 3  x  1 x  2 3  x [10, 10] por [10, 10]  lim xS∞ x  1 x  1lim xS∞ x  1 x x  1 x [10, 10] por [10, 10] lim xS∞ x x  1  lim xS∞ x x  1  1 x x  1 h(x)  1 x   1 x  h(x) Livro 1_Demana_A.indb 356 23/1/2013 14:00:37 Respostas 357 61. O quociente não existe em x = 2, espera- mos uma assíntota vertical. De maneira similar, , assim, esperamos uma assíntota horizontal em y = 0. O gráfico confirma essas assíntotas. 62. O quociente Como x = 2 é uma descontinuidade removível, esperamos uma assíntota vertical apenas em x = 2. De maneira similar, , assim, esperamos uma assíntota horizontal em y = 0. O gráfico confirma essas assíntotas. 63. O denominador é zero quando x = 1/2, assim, há uma assíntota vertical em x = 1/2. Quando tende a ∞ ou a ∞, se comporta mais como , assim, há uma assíntota horizontal em y  1/2. O gráfico correspondente é (b). 64. O denominador é zero quando x  1/2, assim, há uma assíntota vertical em x  1/2. Quando tende a ∞ ou a ∞, se comporta mais como , assim, y  x/2 é uma assíntota inclinada. O gráfico correspondente é (c). 65. O denominador não é zero, qualquer que seja o valor real de x; assim, não há uma assíntota ver- tical. Quando x é muito maior, se com- porta mais como , que para x tendendo a ∞ ou a ∞, está perto de zero. Assim, há assíntota horizontal em y  0. O gráfico correspondente é (a). 66. O denominador não é zero, qualquer que seja o valor real de x; assim, não há uma assíntota ver- tical. Quando x tende a ∞ ou a ∞, se comporta mais como , assim, y  x/2 é uma assíntota inclinada. O gráfico cor- respondente é (d). 67. (a) Como , esperamos uma assíntota horizontal em y = 0. Para encontrar onde a função cruza y = 0, resolvemos a equação, com x  1. x  0  (x2  1) x  0 O gráfico confirma que f (x) intersecciona a assíntota horizontal em ]0, 0[. (b) Como , esperamos uma assíntota horizontal em y  0. Para encontrar onde a função inter- secciona y  0, resolvemos a equação: x  0 • (x2  1) x  0 x x2  1  0 lim xS∞ x x2  1  lim xS∞ x x2  1  0 [10, 10] por [10, 10] x x2  1  0 lim xS∞ x x2  1  lim xS∞ x x2  1  0 x3 2x2  x 2 x3  2 2x2  1 1 2x x 2x2  1 2x x  2 2x2  1 x2 2x  x 2 x2  2 2x  1 x 2x  1 2 x  2 2x  1 [6, 4] por [10, 10] lim xS∞ 2 x  2  lim xS∞ 2 x  2  0  2 x  2 2x  4 x2  4  2(x  2) (x  2)(x  2) [4, 6] por [5, 5] lim xS∞ 4x  4 x3  8  lim xS∞ 4x  4 x3  8  0 4x  4 x3  8 Livro 1_Demana_A.indb 357 23/1/2013 14:00:42 Pré-cálculo360 Assim: g(x) é limitado por y  0 quando x vai para ∞ e ∞. (e) Sabemos que (x  1)2  0 para todo x  1. Assim, para x  0 temos e para x  0 (e x  1) temos Essa segunda conclusão pode ser ignorada, pois estamos interessados no limite superior de q(x). Examinando o gráfico, vemos que q(x) tem um limite superior em y  1, que ocorre quando x  1. O menor dos limites superio- res de q(x) é 1 e está na imagem. 83. Como o gráfico desce continuamente do ponto ]1, 5[ para o ponto ]1, 5[, ele deve cruzar o eixo x em algum ponto no caminho. O ponto de intersecção de x será uma raiz da função no intervalo [1, 1]. 84. Como f é ímpar, f (x)  f (x) para todo x. Em particular, f (0)  f (0). Isto equivale a dizer que f (0)  f (0) e o único número igual a seu oposto é 0. Portanto, f (0)  0, que significa que o gráfico deve passar pela origem. 85. (a) y = 1,5 (b) [1; 1,5] (c) 0  2x2 + 1 + 3x2 – 1  5x2 + 2,5 0  5x2  5x2 + 2,5 Verdadeiro para todo x. CAPÍTULO 8 Revisão rápida 1. y  8x  3,6 2. y  1,8x 2 3. ou y  0,6x  2,8 4. ou 5. (x  3)2  (x  3)(x  3)  x2  3x  3x  9  x2  6x  9 6. (x  4)2  (x  4)(x  4)  x2  4x  4x  16  x2  8x  16 7. 3(x  6)2  3(x  6)(x  6)  (3x  18)(x  6)  3x2  18x  18x  108  3x2  36x  108 8. 3(x  7)2  3(x  7)(x  7)  (3x  21)(x  7)  3x2  21x  21x  147  3x2  42x  147 9. 2x2  4x  2  2(x2  2x  1)  2(x  1)(x  1)  2(x  1)2 10. 3x2  12x  12  3(x2  4x  4)  3(x  2)(x  2)  3(x  2)2 Exercícios 1. Não é uma função polinomial, o expoente 5. 2. Polinomial de grau 1 com coeficiente principal 2. 3. Polinomial de grau 5 com coeficiente principal 2. x y (1, 5) (2, 3) 6 5 y  8 3 x  7 3 y  5  8 3 (x  1) y x (3, 1) (2, 4) 5 7 y  4   3 5 (x  2) 0  1  3x2  1 2x2  1  2,5 1  3x2  1 2x2  1  1,5 [6, 6] por [2, 2] 4x x2  2x  1 6 0 4x x2  2x  1 7 0 por causa d Livro 1_Demana_A.indb 360 23/1/2013 14:00:57 Respostas 361 4. Polinomial de grau 0 com coeficiente princi- pal 13. 5. Não é uma função polinomial, por causa da raiz cúbica. 6. Polinomial de grau 2 com coeficiente princi- pal 5. 7. então 8. 9. 10. 11. m  1,então y  3  1(x  0) ⇒ f (x)  x  3 12. 13. (a) — o vértice está em (1, 3), no quadrante III, eliminando tudo menos (a) e (d). Como f(0)1, deve ser (a). 14. (d) — o vértice está em (2, 7), no quadrante III, eliminando tudo menos (a) e (d). Como f(0)5, deve ser (d). x y (1, 5) (1, 5) (0, 2) (4, 0) 10 5 1 f(x)  1 2 x  2 y  2  1 2 (x  0)m  1 2 x y (0, 3) (3, 0) 5 5 1 f(x)  5 4 x  3 4 y  2  5 4 (x  1)m  5 4 x y (4, 6) (1, 2) 10 10 1 f(x)   4 3 x  2 3 y  6   4 3 (x  4)m   4 3 x y (2, 4) (5, 1) 5 3 1 f(x)   7 9 x  8 3 y  5   7 9 (x  3)m   7 9 x y (2, 4) (5, 1) 5 3 1 f(x)  5 7 x  18 7 y  4  5 7 (x  2)m  5 7 , , então , então , então , então x y (1, 5) (1, 5) (1, 5) ( 2, 3) 6 5 Livro 1_Demana_A.indb 361 23/1/2013 14:01:01 Pré-cálculo362 15. (b) — o vértice está no quadrante I, em (1, 4), significando que deve ser ou (b) ou (f). Como f (0)1, não pode ser (f): se o vértice em (f) é (1, 4), então a intersecção com o eixo y seria entre (0, 3). Deve ser (b). 16. (f) — o vértice está no quadrante I, em (1, 12), significando que deve ser ou (b) ou (f). Como f (0)10, não pode ser (b): se o vértice em (b) é (1, 12), então a intersecção com o eixo y ocorre consideravelmente abaixo de (0, 10). Deve ser (f). 17. (e) — o vértice está em (1, 3) no quadrante IV, assim, deve ser (e). 18. (c) — o vértice está em (1, 12) no quadrante II, e a parábola, com concavidade para baixo, assim, deve ser (c). 19. Translade o gráfico de f (x)  x2 três unidades para a direita para obter o gráfico de h(x)  (x  3)2, e translade este gráfico duas unidades para baixo para obter o gráfico de g(x)(x  3)2  2. 20. “Encolha” verticalmente o gráfico de f(x)  x2 com o fator para obter o gráfico de g(x) x2 e translade este gráfico uma unidade abaixo para obter o gráfico de h(x)  x2  1. 21. Translade o gráfico de f (x)  x2 duas unidades para a esquerda para obter o gráfico de h(x) (x  2)2 “encolha” verticalmente este gráfico com o fator para obter o gráfico de k(x)  (x  2)2; translade este gráfico três unidades para baixo para obter o gráfico de g(x)  (x  2)2  3. 22. “Estique” verticalmente o gráfico de f (x)  x2 com o fator 3 para obter o gráfico de g(x)  3x2, considere-o simétrico com relação ao eixo x para obter o gráfico de k(x)  3x2, e translade este gráfico 2 unidades para cima para obter o gráfico de h(x)  3x2  2. 23. Vértice: (1, 5); eixo: x  1. 24. Vértice: (2, 1); eixo: x  2. 25. Vértice: (1, 7); eixo: x  1. 26. Vértice: ( , 4); eixo: x  . 27.  3 a x  5 6 b 2  73 12  3 a x2  2 # 5 6 x  25 36 b  4  25 12 f(x)  3 a x2  5 3 x b  4 2323 x y 10 10 x y 10 10 1 2 1 2 1 2 x y 10 10 1 4 1 4 1 4 x y 10 10 Livro 1_Demana_A.indb 362 23/1/2013 14:01:05 Respostas 365 (c) A receita mensal máxima — R$ 250.000 — é atingida quando x  10, correspondendo ao aluguel de R$ 250 por mês. 49. A função identidade f (x) = x Domínio: (∞, ∞) Imagem: (∞, ∞) Continuidade: a função é contínua neste domínio Comportamento crescente/decrescente: É crescente para todo x Simetria: é simétrica perto da origem Limite: não é limitada Extremo local: nenhum Assíntotas horizontais: nenhuma Assíntotas verticais: nenhuma Comportamento nos extremos do domínio: e . 50. A função do segundo grau f (x)  x2 Domínio: ]∞, ∞[ Imagem: [0, ∞[ Continuidade: a função é contínua neste domínio Comportamento crescente/decrescente: É crescente em [0, ∞[, decrescente em ]∞, 0] Simetria: é simétrica perto do eixo y Limite: é limitada inferiormente, mas não superiormente Extremo local: valor mínimo de 0 em x  0 Assíntotas horizontais: nenhuma Assíntotas verticais: nenhuma Comportamento nos extremos do domínio: 51. Falso. Para f(x)  3x2  2x  3, o valor inicial é f (0)   3. 52. Verdadeiro. Completando o quadrado, podemos reescrever f (x) de modo que Como para todo x. 53. . A resposta é E. 54. f (x) mx b A resposta é C. 55. O eixo de simetria ocorre verticalmente pelo vértice quando x  –3. A resposta é B. 56. O vértice é (h, k)  (3, 5). A resposta é E. 57. (a) Os gráficos (i), (iii) e (iv), (v) e (vi) sendo que (iv) e (vi) são gráficos de funções constantes (b) As que citamos no item anterior. (c) (ii) não é uma função, pois um único valor de x (por exemplo, x  2) resulta em muitos valores de y. De fato, há infinitos valores de y que são válidos para a equação x  2. 58. (a) (b) (c)  (c  a)(c  a) c  a  c  a f(c)  f(a) c  a  c2  a2 c  a f(5)  f(2) 5  2  25  4 3  7 f(3)  f(1) 3  1  9  1 2  4 b  3  2 3  7 3 3  2 3  b 3   1 3 (2)  b m  1  3 4  (  2)  2 6   1 3 f(x)  3 4 , então f(x) 7 0 f(x)  a x2  x  1 4 b  1  1 4  a x  1 2 b2  3 4 lim xS∞ f(x)  lim xS∞ f(x)  ∞ [4,7; 4,7] por [1, 5] lim xS∞ f(x)  ∞lim xS∞ f(x)  ∞ [4,7; 4,7] por [3,1; 3,1] Livro 1_Demana_A.indb 365 23/1/2013 14:01:22 Pré-cálculo366 (d) (e) (f) (g) (h) (i) 59. (a) Se ax2  bx  c  0, então pela fórmula quadrática. Assim, e e e (b) De maneira similar, 60. f(x)  (xa)(xb)  x2bxaxab x2(ab)xab. Se usarmos a forma vér- tice da função quadrática, temos O eixo é CAPÍTULO 9 Revisão rápida 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 3x3/2 8. 2x5/3 9.  1,71x4/3 10.  0,71x1/2 Exercícios 1. potência  5, constante  . 2. potência  , constante  9. 3. não é uma função potência. 4. potência  0, constante 13. 5. potência  1, constante c2. 6. potência  5, constante  . 7. potência  2, constante  . 8. potência  3, constante  . 9. potência  2, constante  k. 10. potência  1, constante  m. 11. grau 0, coeficiente  4. 4p 3 g 2 k 2 5 3  1 2 1 2m3 1 25 q4 1 x7 1 d2 2p5 23 x2 x  h  a  b 2 h   aa  b 2 b  a  b 2  b2  (b2  4ac) 4a2  4ac 4a2  c a ¢b  2b2  4ac 2a ≤ x1 # x2  ¢b  2b2  4ac2a ≤  2b 2a  b a   b a b  2b2  4ac  b  2b2  4ac 2a x1  x2  x2  b 2b2  4ac 2a x1  b  2b2  4ac 2a x  b  2b2  4ac 2a  (c  a)(c2  ac  a2) (c  a)  c2  ac  a2 l(c)  l(a) c  a  c3  a3 c  a  2b 2a  b a   b a  mc  ma c  a  m k(c)  k(a) c  a  (mc  b)  (ma  b) c  a  7c  7a c  a  7 h(c)  h(a) c  a  (7c  3)  (7a 3) c  a  3c  3a c  a  3 g(c)  g(a) c  a  (3c  2)  (3a  2) c  a g(4)  g(1) 4  1  14  5 3  3 g(3)  g(1) 3  1  11  5 2  3 Livro 1_Demana_A.indb 366 23/1/2013 14:01:29 Respostas 367 12. não é uma função monomial; expoente negativo. 13. grau  7, coeficiente  6. 14. não é uma função monomial; a variável está no expoente. 15. grau  2, coeficiente  4π. 16. grau  1, coeficiente  l. 17. A  ks2 18. V  kr2 19. I  V/R 20. V  kT 21. E  mc2 22. p  23. O peso w de um objeto varia diretamente com sua massa m, com a constante de variação g. 24. A circunferência C de um círculo é propor- cional ao seu diâmetro D, com a constante de variação . 25. A distância d percorrida de um objeto lançado em queda livre varia diretamente com o quadrado de sua velocidade p, com a constante de variação . 26. potência  4, constante  2 Domínio: ]∞, ∞[ Imagem: [0, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: É decres- cente em ]∞, 0[. Crescente em ]0, ∞[ Simetria: par. É simétrica com relação ao eixo y Limite: é limitada inferiormente, mas não superior- mente Extremo local: valor mínimo é y  0 em x  0 Assíntotas: nenhuma Comportamento nos extremos do domínio: 27. potência  3, constante  3 Domínio: ]∞, ∞[ Imagem: ]∞, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: é decres- cente para todo x Simetria: ímpar. É simétrica com relação à origem Limite: não é limitada inferiormente, nem superior- mente Extremo local: nenhum Assíntotas: nenhuma Comportamento nos extremos do domínio: 28. potência  , constante  Domínio: [0, ∞[ Imagem: [0, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: é crescente em [0, ∞[ Limite: é limitada inferiormente Simetria: nem par nem ímpar Extremo local: mínimo local em (0, 0) Assíntotas: nenhuma Comportamento nos extremos do domínio: lim xS∞ 1 2 24 x  ∞ 1 2 1 4 [1, 99] por [1, 4] lim xS∞ 3x3  ∞, lim xS∞  3x3  ∞. [5,5] por [20,20] lim xS∞ 2x4  ∞; lim xS∞ 2x4  ∞. [5, 5] por [1, 49] 1 2g 22gd Livro 1_Demana_A.indb 367 23/1/2013 14:01:32 Pré-cálculo370 50. Dado que n é um número inteiro, n  1: Se n é ímpar, então f(x)  (x)n  (xn)  f (x) e, assim, f (x) é ímpar. Se n é par, então f(x)  (x)n  xn  f (x) e, assim, f (x) é par. 51. Verdadeiro. Porque 52. Falso. , e assim, a função é ímpar. Ela é simétrica com relação à origem, e não com relação ao eixo y. 53. f (4)  2(4)1/2     1. A resposta é A. 54. f (0)  3(0)1/3   é indefinido. Vejamos: f (1)  3(1)1/3  3(1)  3, f(1)  3(1)1/3  3(1)  3 e f(3)  3(3)1/3  2,08. A resposta é E. 55. f(x)  (x)2/3  [(x)2]1/3  (x2)1/3  x2/3  f(x). A função é par. A resposta é B. 56. f(x)  x3/2  é definida para x  0. A resposta é B. 57. Se f é par, então f(x)  f(x); portanto , (f(x)  0). Como   g(x), então g também é par. Se g é par, então g(x)  g(x); portanto g(x)   g(x)  . Como  então f(x)  f (x) e f também é par. Se f é ímpar, então f(x)  f(x); portanto , f(x) ≠ 0. Como g(x)    g(x), então g também é ímpar. Se g é ímpar, então g(x)  g(x); portanto g(x)   g(x)   . Como   então f (x)  f (x) e f é ímpar. 58. Seja g(x)  xa e f (x)  xa. Então g(x)   1/f (x). O exercício 57 mostra que g (x)  1/f (x) é par se e somente se f(x) é par e g(x)  1/f (x) é ímpar se e somente se f(x) é ímpar. Portanto, g(x)  xa é par se e somente se f(x)  xa é par, e g(x)  xa é ímpar se e somente se f (x)  xa é ímpar. CAPÍTULO 10 Revisão rápida 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10.  x(x  1)(x  3)(x  3)  x(x  1)(x2  9)  x(x  1)(x2  32)  x( 3x2(x  1)  9(x  1) 4  x 3(x3  x2)  (9x  9) 4 x(x3  x2  9x  9)  (x  2)(x2  1)  (x  2)(x  1)(x  1) (x3  2x2)  (x  2)  x2(x  2)  1(x  2) x(15x2  22x  8)  x(3x  2)(5x  4) 4(x2  2x  15)  4(x  5)(x  3) 6(x2  9)  6(x2  32)  6(x  3)(x  3) x(x2  4)  x(x2  22)  x(x  2)(x  2) 2x2  2 3 x  7 3 7x3  x2  3 x2  5 2 x  3 x2  4x  7 1 xa 1 f(x) 1 f(x) 1 f(x) 1 f(x)  1 f(x) 1 f(x) 1 f(x)   1 f(x) 1 f(x) 1 f(x) 1 f(x) 1 f(x) 1 f(x) g(x)  1 f(x) 1 f(x)  1 f(x) (2x)3 3 # 1 0 3 # 1 01>3 2 2 2 24 2 41>2 f(x)  (x)1>3   (x1>3)   f(x)  3(x)2 4 1>3  (x2)1>3  x2>3  f(x) f(x)  (x)2>3 Livro 1_Demana_A.indb 370 23/1/2013 14:01:51 Respostas 371 Exercícios 1. A partir de y  x3, translade para a direita em 3 unidades e então “estique” verticalmente pelo fator 2. Intersecção com o eixo y: (0, 54) 2. A partir de y  x3, translade para a esquerda em 5 unidades e então encontre o gráfico simétrico com relação ao eixo x. Intersecção com o eixo y: (0, 125) 3. A partir de y  x3, translade para a esquerda em 1 unidade, “encolha” verticalmente pelo fator , encontre o gráfico simétrico com relação ao eixo x e então translade verticalmente para cima em 2 unidades. Intersecção com o eixo y: 4. A partir de y  x3, translade para a direita em 3 unidades, “encolha” verticalmente pelo fator , translade verticalmente para cima em 1 unidade. Intersecção com o eixo y: (0, 17) 5. A partir de y  x4, translade para a esquerda em 2 unidades, “estique” verticalmente pelo fator 2 e encontre o gráfico simétrico com relação ao eixo x e então translade verticalmente para baixo em 3 unidades. Intersecção com o eixo y: (0, 35) 6. A partir de y  x4, translade para a direita em 1 unidade, “estique” verticalmente em 3 unidades e translade verticalmente para baixo em 2 unidades. Intersecção com o eixo y: (0, 1) 7. Máximo local:  (0,79, 1,119), raízes: x  0 e x  1,26. 8. Máximo local em (0, 0), mínimo local em (1,12, 3,13) e (1,12, 3,13), raízes: x  0 e x  1,58, x  1,58. [–5, 5] por [–5, 2] x y 5 5 x y 40 5 x y 20 10 2 3 x y 5 5 ¢0, 3 2 ≤ 1 2 x 15 y 200 x y 10 10 Livro 1_Demana_A.indb 371 23/1/2013 14:01:53 Pré-cálculo372 9. Função cúbica, coeficiente principal positivo. A resposta é (c). 10. Função cúbica, coeficiente principal negativo. A resposta é (b). 11. Maior do que cúbica, coeficiente principal posi- tivo. A resposta é (a). 12. Maior do que cúbica, coeficiente principal negativo. A resposta é (d). 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. [3, 5] por [50, 50] lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ [2, 6] por [100, 25] lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ [5, 5] por [14, 6] lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ [10, 10] por [100, 130] lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ [8, 10] por [120, 100] [–5, 5] por [–15, 15] lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ lim xS∞ f(x)  ∞ [–5, 3] por [–8, 3] [–5, 5] por [–5, 15] Livro 1_Demana_A.indb 372 23/1/2013 14:01:55 Respostas 375 53. Verdadeiro. Como f é contínua, e , o Teorema do Valor Intermediário garante que o gráfico de f intercepta o eixo em algum ponto entre x � 1 e x � 2. 54. Falso. Se a � 0, o gráfico de f(x) � (x � a)2 é obtido ao transferir o gráfico de f(x) � x2 para a esquerda em unidades. A transferência para direita corresponde a a � 0. 55. Quando x � 0, f (x) � 2(x � 1)3 � 5 � 2(�1)3 � 5 � 3. A resposta é C. 56. Em , o fator x � 2 ocorre duas vezes. Assim x � 2 é uma raiz de multiplicidade 2 e a resposta é B. 57. O gráfico indica 3 raízes, cada uma de multipli- cidade 1: x � �2, x �0 e x � 2. O comporta- mento no extremo indica um coeficiente princi- pal negativo. Assim f (x) � �x(x � 2)(x � 2), e a resposta é B. 58. O gráfico indica 4 raízes: x � �2 (multiplici- dade 2), x � 0 (multiplicidade 1) e x � 2 (multi- plicidade 2). O comportamento no extremo indi- ca um coeficiente principal positivo. Assim f (x) � x(x � 2)2(x � 2), e a resposta é A. 59. A representação (a) mostra o comportamento no extremo da função, mas não mostra o fato de que há 2 máximos locais e 1 mínimo local (e 4 intersecções no eixo x) entre �3 e 4. Eles são visíveis na representação (b), mas está faltando o mínimo próximo a x � 7, além da intersecção no eixo x próximo a x � 9. A representação (b) sugere um grau polinomial 4, e não 5. 60. O comportamento no extremo é visível na repre- sentação (a), mas não os detalhes do comporta- mento próximo a x � 1. A representação (b) mostra esses detalhes, mas há perda da infor- mação do comportamento nos extremos. 61. 62. 63. 64. 65. 66. 67. 68. 69. 70. 71. 72. 73. O resto é f(2) � 3. 74. O resto é f(1) � �4. 75. O resto é f(�3) � �43. 76. O resto é f(�2) � 2. 77. O resto é f(2) � 5. 78. O resto é f(�1) � 23. � 255 x � 2 � x7 � 2x6 � 4x5 � 8x4 � 16x3 � 32x2 � 64x � 128 x8 � 1 x � 2 � �5x3 � 20x2 � 80x � 317 � �1.269 4 � x 5x4 � 3x � 1 4 � x � 3x3 � 14x2 � 66x � 321 � 1.602 x � 5 3x4 � x3 � 4x2 � 9x � 3 x � 5 9x3 � 7x2 � 3x x � 10 � 9x2 � 97x � 967 � 9.670 x � 10 � 2x3 � x2 � 10x � 27 � 82 x � 3 2x4 � 5x3 � 7x2 � 3x � 1 x � 3 x3 � 5x2 � 3x � 2 x � 1 � x2 � 6x � 9 � �11 x � 1 f(x) x2 � 1 � x2 � 3x � 5 f(x) � (x2 � 3x � 5)(x2 � 1); f(x) x2 � 2x � 1 � x2 � 4x � 12 � �32x � 18 x2 � 2x � 1 f(x) � (x2 � 4x � 12)(x2 � 2x � 1) � 32x � 18; f(x) 2x � 1 � 2x2 � 5x � 7 2 � 9>2 2x � 1 f(x) � a2x2 � 5x � 7 2 b (2x � 1) � 9 2 ; f(x) x � 3 � x2 � x � 4 � 21 x � 3 f(x) � (x2 � x � 4)(x � 3) � 21; f(x) x � 1 � x2 � x � 1 � 2 x � 1 f(x) � (x2 � x � 1)(x � 1) � 2; f(x) � (x � 1)2 � 2; f(x) x � 1 � x � 1 � 2 x � 1 f(x) � (x � 2)2(x � 2)3(x � 3)7 f(2) � (2)3 � (2)2 � 2 � 2 7 0 f(1) � (1)3 � (1)2 � 2 � �2 6 0 a Livro 1_Demana_A.indb 375 23/1/2013 14:02:13 Pré-cálculo376 79. Sim: 1 é um zero do segundo polinômio. 80. Sim: 3 é um zero do segundo polinômio. 81. Não: quando x  2, o segundo polinômio resulta em 10. 82. Sim: 2 é um zero do segundo polinômio. 83. Sim:  2 é um zero do segundo polinômio. 84. Não: quando x  1, o segundo polinômio resulta em 2. 85. A partir do gráfico parece que (x  3) e (x  1) são fatores. 86. A partir do gráfico parece que (x  2) e (x  3) são fatores. 87. 88. 89. 90. 91. Como f (4)  f (3)  f (5)  0, então (x  4), (x  3) e (x  5) são fatores de f. Assim f(x)  k(x  4)(x  3)(x  5) para alguma constante k. Como f (0)  180, devemos ter k  3. Assim f (x)  3(x  4)(x  3)(x  5). 92. Como f (2)  f (1)  f (5)  0 então (x  2), (x  1) e (x  5) são fatores de f. Assim f(x)  k(x  2)(x  1)(x  5) para alguma cons- tante k. Como f (1)  24, devemos ter k  2, assim f (x)  2(x  2)(x  1)(x  5). 93. Raízes racionais possíveis: , ou seja: 94. Raízes racionais possíveis: , ou seja: , 95. Raízes racionais possíveis: , ou seja: , 96. Raízes racionais possíveis: , ou seja: , 97. Última linha: 2 2 7 19 Como todos os números na última linha são  0 então 3 é um limite superior para raízes de f. 98. Última linha: 2 5 20 99 Como todos os números na última linha são  0, então 5 é um limite superior para raízes de f(x). 99. Última linha: 1 1 3 7 2 Como todos os números na última linha são  0, então 2 é um limite superior para raízes de f. 100. Última linha: 4 6 11 42 128 Como todos os números na última linha são  0, então 3 é um limite superior para raízes de f. 101. Última linha: 3 7 8 5 Como todos os números na última linha alter- nam os sinais, então 1 é um limite inferior para raízes de f. 102. Última linha: 1 1 5 10 Como todos os números na última linha alter- nam os sinais, então 3 é um limite inferior para raízes de f. 103. Última linha: 1 4 7 2 Como todos os números na última linha alter- nam os sinais, então 0 é um limite inferior para raízes de f.  3 2 ,  1 3 ,  2 3 ,  4 3 ,  1 6  1,  2,  3,  4,  6,  12,  1 2 1,  2,  3,  4,  6,  12 1,  2,  3,  6  3 2 ,  9 2 1,  3,  9,  1 2 1,  3,  9 1,  2  14,  1 3 ,  2 3 ,  7 3  14 3  1,  2,  7 1,  2,  7,  14 1,  3  1,  1 2 ,  1 3 ,  1 6 1 1,  2,  3,  6  2x4  3x3  14x2  15x  x(x  3)(x  1)(2x  5) 2(x  3)(x  1)(x) ax  5 2 b  2x3 8x 2  19 2 x  3  1 2 (x  2)(2x  1)(2x  3) 2(x  2) ax  1 2 b ax  3 2 b 2(x  1)(x  3)(x  5)  2x3  6x2  26x  30 2(x  2)(x  1)(x  4)  2x3  6x2  12x  16 f(x)  (x  2)(x  3)(5x  7) f(x)  (x  3)(x  1)(5x  17) Livro 1_Demana_A.indb 376 23/1/2013 14:02:21 Respostas 377 104. Última linha: 3 213 47 2191 Como todos os números na última linha alter- nam os sinais, então 4 é um limite inferior para raízes de f. 105. Pelo teste dos limites superior e inferior das raízes, 5 é um limite inferior e 5 é um limite superior. Para 5 a última linha é: Para 5 a última linha é: 6 41 198 982 4.876 Para 5 a última linha é: 6 19 88 448 2.206 106. Pelo teste dos limites superior e inferior das raízes, 5 é um limite inferior e 5 é um limite superior. Para 5 a última linha é: 6 30 129 664 3.323 Para 5 a última linha é: 1, 6, 30, 429, 664, 3.324 107. Há raízes que não são mostradas (aprox. 11,002 e 12,003), pois 5 e 5 não são limites para raízes de f. Para 5 a última linha é: 1 9 84 816 4.088 20.443 Para 5 a última linha é: 1 1 124 224 1.128 5.637 108. Há raízes que não são mostradas (aprox. 8,036 e 9,038), pois 5 e 5 não são limites para raízes de f. Para 5 a última linha é: 2 15 66 546 2.821 14.130 Para 5 a última linha é: 2 5 116 364 1.911 9.530 109. Raízes racionais possíveis: , ou . A única raiz racional é . As raízes racionais são Pois para x = 3/2, a última linha por Briot Ruffini é 2 0 4 0 110. Raízes racionais possíveis: ±1, ±3, ±9. A única raiz racional é 3. As raízes irracionais são . Pois para x = 3, a última linha por Briot Ruffini é 1 0 3 0 111. Raiz racional: 3. Raízes irracionais: 1 . Para x = 3, a última linha por Briot Ruffini é 1 2 1 0 112. Raiz racional: 4. Raízes irracionais: 1 . Para x = 4, a última linha por Briot Ruffini é 1 2 1 0 113. Raízes racionais: 1 e 4. Raiz irracional: Para x = 1, a última linha por Briot Ruffini é 1 4 2 8 0 Para x = 4, a última linha por Briot Ruffini é 1 0 2 0 114. Raízes racionais: 1 e 2. Raiz irracional: Para x = 1, a última linha por Briot Ruffini é 1 2 5 10 0 Para x = 2, a última linha por Briot Ruffini é 1 0 5 0 115. Raízes racionais: e 4. Raiz irracional: nenhuma. Para x = 4 e x = 1/2, as últimas linhas por Briot Ruffini são, respectivamente: 2 1 2 1 0 e 2 0 2 0 116. Raiz racional: . Raiz irracional: aproximadamente 0,6823. Para x = 2/3, a última linha por Briot Ruffini é 3 0 3 3 0 117. 118. 119. (a) Limite inferior: para x = 5, a última linha por Briot Ruffini é 1 3 4 33 203 163  17  16 (1)40  3  2 2 3  1 2  25 22  22 23  23 223 2  1,  2,  3,  6,  1 2 ,  3 2 1,  2,  3,  6 1,  2 . . Livro 1_Demana_A.indb 377 23/1/2013 14:02:26 Pré-cálculo380 19. “Estique” verticalmente f (x) � 0,5x por um fator de 3 e translade 4 unidades para cima. 20. “Estique” verticalmente f (x) � 0,6x por um fator de 2 e “encolha” horizontalmente por um fator de 3. 21. O gráfico de g(x) é o simétrico de f (x) � ex com relação ao eixo y e “encolhido” horizontalmente por um fator de 2. 22. O gráfico de g(x) é o simétrico de f (x) � ex com relação aos eixos x e y e “encolhido” horizontal- mente por um fator de 3. 23. O gráfico de g(x) é o simétrico de f(x) � ex com relação ao eixo y e “encolhido” horizontalmente por um fator de 3; translade 1 unidade para a direi- ta e “estique” verticalmente por um fator de 2. 24. “Encolha” horizontalmente f (x) � ex por um fator de 2, “estique” verticalmente por um fator de 3 e translade para baixo 1 unidade. 25. O gráfico (a) é o único gráfico formado e posi- cionado como o gráfico de y � bx, b � 1. 26. O gráfico (d) é o simétrico de y � 2x com relação ao eixo y. 27. O gráfico (c) é o simétrico de y � 2x com relação ao eixo x. 28. O gráfico (e) é o simétrico de y � 0,5x com relação ao eixo x. 29. O gráfico (b) é o gráfico de y � 3�x transladado para baixo em 2 unidades. 30. O gráfico ( f ) é o gráfico de y � 1,5x transladado para baixo em 2 unidades. 31. Decaimento exponencial; 32. Decaimento exponencial; 33. Decaimento exponencial; 34. Crescimento exponencial; 35. x � 0 lim xS�∞ f(x) � �∞; lim xS�∞ f(x) � 0 lim xS�∞ f(x) � 0; lim xS�∞ f(x) � �∞ lim xS�∞ f(x) � 0; lim xS�∞ f(x) � �∞ lim xS�∞ f(x) � 0; lim xS�∞ f(x) � �∞ [�3, 3] por [�2, 8] [�2, 3] por [�1, 4] [�3, 3] por [�5, 5] [�2, 2] por [�1, 5] [�2, 3] por [�1, 4] [�5, 5] por [�2, 18] Livro 1_Demana_A.indb 380 23/1/2013 14:02:41 Respostas 381 36. x  0 37. x  0 38. x  0 39. y1  y3, como 32x4  32(x2)  (32)x2  9x2 40. y2  y3, como 2 # 23x2  2123x2  213x2  23x–1 41. Passa no eixo vertical y no par (0, 4). Assíntotas horizontais: y  0, y  12. 42. Passa no eixo vertical y no par (0, 3). Assíntotas horizontais: y  0, y  18. 43. Passa no eixo vertical y no par (0, 4). Assíntotas horizontais: y  0, y  16. 44. Passa no eixo vertical y no par (0, 3). Assíntotas horizontais: y  0, y  9. 45. Domínio: ]–∞, ∞[ Imagem: ]0, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre cres- cente Simetria: não é simétrica Limite: limitada inferiormente por y  0, que é tam- bém a única assíntota Extremo local: nenhum [3, 3] por [2, 8] [5, 10] por [5, 10] [5, 10] por [5, 20] [5, 10] por [5, 20] [10, 20] por [5, 15] [0,25; 0,25] por [0,75; 1,25] [0,25; 0,25] por [0,75; 1,25] [0,25; 0,25] por [0,5; 1,5] [2, 2] por [0,2; 3] Livro 1_Demana_A.indb 381 23/1/2013 14:02:44 Pré-cálculo382 Assíntotas: y  0 Comportamento nos extremos do domínio: 46. Domínio: ]–∞, ∞[ Imagem: ]0, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre decrescente Simetria: não é simétrica Limite: limitada inferiormente por y  0, que é tam- bém a única assíntota Extremo local: nenhum Assíntotas: y  0 Comportamento nos extremos do domínio: 47. Domínio: ]–∞, ∞[ Imagem: ]0, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre cres- cente Simetria: não é simétrica Limite: limitada inferiormente por y  0, que é tam- bém a única assíntota Extremo local: nenhum Assíntotas: y  0 Comportamento nos extremos do domínio: 48. Domínio: ]–∞, ∞[ Imagem: ]0, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre decrescente Simetria: não é simétrica Limite: limitada inferiormente por y  0, que é tam- bém a única assíntota Extremo local: nenhum Assíntotas: y  0 Comportamento nos extremos do domínio: 49. Domínio: ]∞, ∞[ Imagem: ]0, 5[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre cres- cente Simetria: com relação ao par (0,69; 2,5) Limite: limitada inferiormente por y  0 e superior- mente por y  5; ambas são assíntotas Extremo local: nenhum Assíntotas: y  0 e y  5 Comportamento nos extremos do domínio: 50. [3, 7] por [2, 8] lim xS∞ f(x)  5, lim xS∞ f(x)  0 [3, 4] por [1, 7] lim xS∞ f(x)  0, lim xS∞ f(x)  ∞ [2, 2] por [1, 9] lim xS∞ f(x)  ∞, lim xS∞ f(x)  0 [2, 2] por [1, 9] lim xS∞ f(x)  0, lim xS∞ f(x)  ∞ [3, 3] por [2, 18] lim xS∞ f(x)  ∞, lim xS∞ f(x)  0 Livro 1_Demana_A.indb 382 23/1/2013 14:02:47 Respostas 385 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 602.000.000.000.000.000.000.000 24. 0,000 000 000 000 000 000 000 000 001 66 25. 26. Exercícios 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9. 10. 11. 12. 13. 14. 15. 16. 17. 18. 19. 20. 21. 22. 23. 24. 25. 26. 27. 28. 29. 30. ln 0,733  0,311 e e0,311  0,733 ln 4,05  1,399 e e1,399  4,05 log(5,14) é indefinido porque 5,14 6 0 log(14) é indefinido porque 14 6 0 log 0,908  0,042 e 100,042  0,908 log 9,43  0,9745  0,975 e 100,09745  9,43 eln(1>5)  elog (1>5)  1>5 eln 6  eloge 6  6 10log 14  10log10 14  14 10log (0,5)  10log10 (0,5)  0,5 8, porque blogb8  8 para qualquer b 7 0. 3, porque blogb 3  3 para qualquer b 7 0. ln 1 2e7  ln e7>2  7 2 ln 42e  ln e1>4  1 4 ln 1  ln e0  0 ln 1 e  ln e1  1 ln e4  4 ln e3  3 log 1 21.000  log 103>2  3 2 log23 10  log 101>3  1 3 log 104  4 log 100.000  log 105  5 log 10.000  log 104  4 log 103  3 log6 1 25 36   2 5 porque 62>5  1 62>5  1 25 36 log523 25  2 3 porque 52>3  23 25 log3 81  4 porque 3 4  81 log2 32  5 porque 2 5  32 log6 1  0 porque 6 0  1 log4 4  1 porque 4 1  4 8  107 5  106  8 5  107(6)  1,6  101  5,766  1012 (1,86  105)(3,1  107)  (1,86)(3,1)  1057 1  1015 m 7,783  108 km (x2y3)2 (x3y2)3  x4y6 x9y6  x13 y12 (u2y4)1>2 (27u6y6)1>3  uy2 3u2y2  1 3u (x8y12)3>4  (x8)3>4(y12)3>4  y9 x6 (x6y2)1>2  (x6)1>2(y2)1>2  x3 y u3y7 u2y2  y72 u2(3)  y5 u x5y2 x2y4  x52y2(4)  x3y2 ¢ 1 e2 ≤1>3  e2>3 ¢1 e ≤1>2  e1>2 101>3 51>2 , , , , , , , e Livro 1_Demana_A.indb 385 23/1/2013 14:03:13 Pré-cálculo386 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. f (x) é indefinida para x  1. A resposta é (b) 39. 40. 41. Começar de y = ln x: translade à esquerda 3 unidades. 42. Começar de y = ln x: translade para cima 2 unidades. 43. Começar de y = ln x: ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade para cima 3 unidades. 44. Começar de y = ln x: ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade à esquerda 2 unidades. 45. Começar de y = ln x: ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade à direita 2 unidades. 46. Começar de y = ln x: ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y e translade à direita 5 unidades. 47. Começar de y = log x: translade para baixo 1 unidade. 48. Começar de y = log x: translade à direita 3 unidades. [5, 15] por [3, 3] [5, 15] por [3, 3] [6, 6] por [4, 4] [7, 3] por [3, 3] [4, 1] por [5, 1] [4, 1] por [3, 5] [5, 5] por [3, 4] [5, 5] por [3, 3] f(x) é indefinida para x 7 4. A resposta é (c). f(x) é indefinida para x 6 3. A resposta é (a). f(x) é indefinida para x 7 1. A resposta é (d). x  103  1 1.000  0,001 x  101  1 10  0,1 x  104  10.000 x  102  100 ln (3,3) é indefinido porque 3,3 6 0 ln (0,49) é indefinido porque 0,49 6 0 Livro 1_Demana_A.indb 386 23/1/2013 14:03:16 Respostas 387 49. Começar de y = log x: ache o gráfico simétrico com relação aos eixos e “estique” verticalmente utilizando o fator 2. 50. Começar de y = log x: ache o gráfico simétrico com relação aos eixos e “estique” verticalmente utilizando o fator 3. 51. Começar de y = log x: ache o gráfico simétrico com relação ao eixo y, translade à direita 3 unidades, “estique” verticalmente utilizando o fator 2, translade para baixo 1 unidade. 52. Começar de y = log x: ache o gráfico simétrico com relação aos eixos, translade à direita 1 unidade, “estique” verticalmente utilizando o fator 3, translade para cima 1 unidade. 53. Domínio: ]2, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre crescente Simetria: não é simétrica Limite: não é limitada Extremo local: nenhum Assíntotas: em x = 2 Comportamento nos extremos do domínio: 54. Domínio: ]–1, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre crescente Simetria: não é simétrica Limite: não é limitada Extremo local: nenhum Assíntotas: em x = –1 Comportamento nos extremos do domínio: 55. Domínio: ]1, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ [2, 8] por [3, 3] lim xS∞ f(x)  ∞ [2, 8] por [3, 3] lim xS∞ f(x)  ∞ [1, 9] por [3, 3] [6, 2] por [2, 3] [5, 5] por [4, 2] [8, 7] por [3, 3] [8, 1] por [2, 3] Livro 1_Demana_A.indb 387 23/1/2013 14:03:18 Pré-cálculo390 100. 101. 102. 103. 104. 105. Seja . Então , assim 106. Começar de g(x) = ln x: “encolhe” vertical- mente por um fator 1/ln 4  0,72. 107. Começar de g(x) = ln x: “encolha” vertical- mente por um fator 1/ln 7  0,51. 108. Começar de g(x) = ln x: ache o simétrico com relação ao eixo x, “encolha” verticalmente por um fator 1/ln 3  0,91. 109. Começar de g(x) = ln x: “encolha” vertical- mente por um fator 1/ln 5  0,62. 110. (b) 111. (c) 112. (d) 113. (a) 114. Domínio: ]0, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre crescente Assíntotas: em x = 0 Comportamento nos extremos do domínio: 115. Domínio: ]0, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre decrescente Assíntotas: em x = 0 [1, 9] por [5, 2] f (x)  log2 (8x)  ln (8x) ln (2) lim xS∞ f(x)  ∞ [1, 9] por [1, 7] [1, 10] por [2, 2] [1, 10] por [2, 2] [1, 10] por [2, 2] [1, 10] por [2, 2] logb R c  logb b c # x  c # x  c logb R Rc  (bx)c  bc # x bx  Rx  logb R logb( R S )  logbb xy  x  y  logbR  logbS R S  bx by  bxy log1>3(x  y)  log (x  y) log(1>3)   log (x  y) log 3 log1>2(x  y)  log (x  y) log(1>2)   log (x  y) log 2 log4 x  log x log 4 log2x  log x log 2 Livro 1_Demana_A.indb 390 23/1/2013 14:03:36 Respostas 391 Comportamento nos extremos do domínio: 116. Domínio: ]–∞, 0[ ∪ ]0, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ Continuidade: a função é descontínua em x  0 Comportamento crescente/decrescente: decres- cente no intervalo ]–∞, 0[; crescente no inter- valo ]0, ∞[ Assíntotas: em x = 0 Comportamento nos extremos do domínio: , 117. Domínio: ]0, ∞[ Imagem: ]–∞, ∞[ Continuidade: a função é contínua Comportamento crescente/decrescente: sempre crescente Assíntotas: em x = 0 Comportamento nos extremos do domínio: 118. Verdadeiro. 119. Falso. 120. log (3 • 4) = log 3 + log 4 pela regra do produto. A resposta é B. 121. (ln 64) / (ln 9) pela fórmula da mudança de base. A resposta é C. 122. 5 ln x pela regra da potência. A resposta é A. 123. A resposta é E. 124.  log 3  log 32  log 3  5 log 2 log 96  log (3 # 32) log 81  log 34  4 log 3 log 72  log 8  log 9  3 log 2  2 log 3 log 54  log 2  log 27  log 2  3 log 3 log 48  log 4  log 12  4 log 2  log 3 log 36  log 6  log 6  2 log 2  2 log 3 log 32  log 25  5 log 2 log 27  log 33  3 log 3 log 24  log 2  log 12  3 log 2  log 3 log 18  log 2  log 9  log 2  2 log 3 log 16  log 24  4 log 2 log 12  log 3  log 4  log 3  2 log 2 log 9  log 32  2 log 3 log 8  log 23  3 log 2 log 6  log 2  log 3 log 4  log 22  2 log 2  2 log2 x  2 ln x ln 2  2 ln x ln 1  ln 2  2 ln x ln (1>2) log1>2 x2  2 log1>2 x ln x5  log9 64  log 12  lim xS∞ f(x)  ∞ [1, 10] por [2, 2] lim xS∞ f(x)  ∞lim xS∞ f(x)  ∞ [10, 10] por [2, 3] f(x)  log1>3 (9x)  ln (9x) ln ¢1 3 ≤ lim xS∞ f(x)  ∞ Livro 1_Demana_A.indb 391 23/1/2013 14:03:43 Pré-cálculo392 125. 126. 127. (a) Domínio de f e g: ]3, ∞[ (b) Domínio de f e g: ]5, ∞[ (c) Domínio de f : ]∞, 3[ ∪ ]3, ∞[ Domínio de g: ]3, ∞[ 128. Lembre que y = loga x pode ser escrito como x = ay. 129. (a) (b) (c) (d)  0,69897 (e) (f) 130. (a) Falso (b) Falso; log3 (7x)  log3 7 + log3 x (c) Verdadeiro (d) Verdadeiro (e) Falso; (f) Verdadeiro (g) Falso; log5 x2  log5 x + log5 x  2 log5 x (h) Verdadeiro 131. x = 10 132. x  6 x 3  2 ¢1 4 ≤x>3  ¢1 4 ≤2 ¢1 4 ≤x>3  1 16 32 ¢1 4 ≤x>3  2 x 5  2 ¢1 3 ≤x>5  ¢1 3 ≤2 ¢1 3 ≤x>5  1 9 36 ¢1 3 ≤x>5  4 x 4  log x  log 4 log 40  log (4 # 10)  log 4  log 10  1,60206 log 16  log 24  4 log 2  1,20412 log 5  log ¢10 2 ≤  log 10  log 2  1  0,301033 log 2  3(0,30103)  0,90309 log 23  0,90309,  0,60206 log 8log 2  0,90309  0,30103 log ¢8 2 ≤  0,60206, log 2  log 4  0,30103  0,60206  0,90309 log (2 # 4)  0,90309, y  log b log a  loga b y log a  log b log ay  log b ay  b y  loga b [7, 3] por [5, 5] [0, 20] por [2, 8] [0, 20] por [2, 8]  1,26  x  14,77  6,41 6 x 6 93,35 Livro 1_Demana_A.indb 392 23/1/2013 14:03:49 Respostas 395 170. 7 – 5,5 = 1,5. Eles diferem por um ordem de magnitude de 1,5. 171. 4,1 – 2,3 = 1,8. Eles diferem por um ordem de magnitude de 1,8. 172. Supondo que T e B são os mesmos para os dois terremotos, temos que 7,9 = log a1 – log T + B e 6,6 = log a2 – log T + B, assim 7,9 – 6,6 = 1,3 = log(a1/a2). Então a1/a2 = 101,3, assim a1  19,95a2 — a amplitude na Cidade do México foi quase 20 vezes maior. 173. Se T e B são os mesmos, temos que 7,2 = log a1 – log T + B e 6,6 = log a2 – log T + B, assim 7,2 – 6,6 = 0,6 = log(a1/a2). Então a1/a2 = 100,6, assim a1  3,98a2 — a amplitude em Kobe foi quase 4 vezes maior. 174. O pH da água com gás é 3,9 e o pH do amoníaco é 11,9. (a) Água com gás: Amoníaco: (b) (c) Eles diferem por um ordem de magnitude de 8. 175. O pH do ácido do estômago é aproximada- mente 2 e o pH do sangue é 7,4. (a) Ácido do estômago: Sangue: (b) (c) Eles diferem por um ordem de magnitude de 5,4. 176. Falso. 177. A resposta é B. 178. A resposta é B. 179. Procuramos a relação amplitudes a1/a2 . A resposta é E. 180. Seja log u  log v  n log u v  log 10n u v  10n, u, v 7 0 a1 a2  102  100 log a1 a2  2 log a1 T  log a2 T  8,1  6,1 (log a1 T  B)  (log a2 T  B)  R1  R2 R2  log a2 T  B  6,1 R1  log a1 T  B  8,1 x  1 e eln x  e1 ln x  1 x  2 3x  1  5 23x1  25 23x1  32 3H 4 ácido do estômago 3H 4 sangue  102 107,4  2,51  105 3H 4  107,4  3,98  108 log 3H 4  7,4 log 3H 4  7,4 3H 4  102,0  1  102 log 3H 4  2,0  log 3H 4  2,0 3H 4 da água com gás 3H 4 do amoníaco  103,9 1011,9  108 3H 4  1011,9  1,26  1012 log 3H 4  11,9  log 3H 4  11,9 3H 4  103,9  1,26  104 log 3H 4  3,9  log 3H 4  3,9 Livro 1_Demana_A.indb 395 23/1/2013 14:04:16 Pré-cálculo396 Para que a expressão inicial seja verdadeira, tanto u quanto v devem ser potências de 10, ou são escritas com a mesma constante a multiplicada pelas potên- cias de 10 (i.e., ou u = 10k e v = 10m ou u = a . 10k e v = a . 10m, onde a, k e m são constantes). Como resultado, u e v variam por uma ordem de magnitude n, isto é, u é n ordens de magnitude maior que v. 181. 182. 183. 184. 185. . Então, assim, x > 9 186. Então, , assim ou CAPÍTULO 13 Revisão rápida 1. ]�∞, �3[ ∪ ]�3, �∞[ 2. ]1, �∞[ 3. ]�∞, 5[ 4. ]1/2, �∞[ 5. ]1, �∞[ 6. (�1, 1[ 7. ]�∞, �∞[ 8. ]�∞, 0[ ∪ ]0, �∞[ 9. ]�1, 1[ 10. ]�∞, �∞[ Exercícios 1. (f � g)(x) � 2x � 1 � x2; (f � g)(x) � 2x � 1 � x2; (fg)(x) � (2x � 1)(x2) � 2x3 � x2 Não há restrições em qualquer dos domínios; assim, todos os 3 domínios são dados por [�∞, �∞]. 2. (f � g)(x) � (x � 1)2 � 3 � x � x2 � 2x � 1 � 3 � x � x2 � 3x � 4; (f � g)(x) � (x –1)2 � 3 � x � x2 � 2x � 1 � 3 � x � x2 � x � 2; (fg)(x) � (x � 1)2(3 � x) � (x2 � 2x � 1)(3 � x) � 3x2 � x3 � 6x � 2x2 � 3 � x � –x3 � 5x2 � 7x � 3 Não há restrições em qualquer dos domínios; assim, todos os 3 domínios são ]�∞, �∞[. 3. (f � g)(x) � � |x � 3| (f � g)(x) � – |x � 3| (fg)(x) � |x � 3| Todas as 3 expressões contêm . Devemos ter x � 5 � 0, isto é, e x � –5; todos os 3 domínios são [�5, �∞[. Para |x � 3|, não exis- tem restrições pois o valor de x pode ser qualquer número real. 4. (f/g)(x) � ; x � 3 � 0 e x ≠ 0, assim, o domínio é [–3, 0[ ∪ ]0, �∞[. (g/f)(x) � ; x � 3 � 0, assim, o domínio é ]�3, �∞[. x2 2x � 3 2x � 3 x2 2x � 5 2x � 5 2x � 5 2x � 5 x 6 5 x � 1 6 6, x � 1 6 6 100 � 1 log(x � 1) � log 6 6 0, assim log x � 1 6 6 0 x 9 7 100 � 1, log x � 2 log 3 7 0, assim log (x>9) 7 0 x � � 20,0855 Intersecção X=1.711522 Y=5.537383 [�1, 2] por [�2, 8] 0 6 x 6 1,7115 [0, 2] por [�1, 1] x  0,4073 ou x  0,9333 [�1, 5] por [�1, 6] Intersecção X=1.3065586 Y=5 x  1,3066 , , , Livro 1_Demana_A.indb 396 23/1/2013 14:04:24 Respostas 397 5. (f/g)(x) � . Devemos ter x � 2 � 0 e x � 4 � 0, assim, x � 2 e x � �4, ou seja, o domínio é [2, �∞[. (g/f)(x)� . Devemos ter x � 4 � 0 e x � 2 � 0, assim, x � �4 e x � 2, ou seja, o domínio é ]2, �∞[. 6. (f/g)(x) � .O denominador não pode ser zero e o termo dentro da raiz quadrada deve ser positivo, assim, 1 � x2 � 0. Portanto, x2 � 1, o que significa que �1 � x � 1. O domínio é ]�1, 1[. (g/f)(x) � .O termo sob a raiz quadra- da deve ser não negativo, assim, 1 � x2 � 0 (ou x2 � 1). O denominador não pode ser zero, assim, x ≠ 0. Portanto �1 � x � 0 ou 0 � x � 1. O domínio é [–1, 0[ ∪ ]0, 1]. 7. (f/g)(x) � . O denominador não pode ser zero, assim, 1 � x3 ≠ 0 e x3 ≠ 1. Isso significa que x ≠ 1. Não há restrições em x no numerador. O domínio é ]�∞, 1[ ∪ ]1, �∞[. (g/f)(x)� . O denominador não pode ser zero, assim, x3 ≠ 0 e x ≠ 0. Não há restrições em x no numerador. O domínio é ]�∞, 0[ ∪ ]0, �∞[. 8. 9. 10. (f � g)(3) � f (g(3)) � f (4) � 5; (g � f)(–2) � g(f (–2)) � g(�7) � –6 11. (f � g)(3) � f (g(3)) � f (3) � 8; (g � f)(�2) � g(f (–2)) � g(3) � 3 12. (f � g)(3) � f (g(3)) � f � f (2) � 22 � 4 � 8; (g � f )(�2) � g(f (–2)) � g((�2)2 � � g(8) � � 3 13. (f � g)(3) � f (g(3)) � f (9 � 32) � f (0 ) � f (0) � �0; (g � f)(�2) � g(f (�2)) � g � g(2) � 9 � 22 � 5 14. f (g(x)) � 3(x � 1) � 2 � 3x � 3 � 2 � 3x –1. Como tanto f quanto g têm domínios ]–∞, �∞[, o domínio de f(g(x)) é ]–∞, �∞[. g(f (x)) � (3x � 2) � 1 � 3x � 1; novamente, o domínio é ]�∞, �∞[. 15. f(g(x)) � O domínio de g é ]�∞, [1 ∪ ]1, �∞[, enquanto o domínio de f é ]�∞, �∞[; o domínio de f(g(x)) é ]�∞, 1[ ∪ ]1, �∞[. g( f (x)) � O domínio de f é ]–∞, �∞[, enquanto o domínio g é ]–∞, 1[ ∪ ]1, �∞[, assim, f (g(x)) requer f (x) ≠ 1. Isso significa que x2 � 1 ≠ 1, ou x2 ≠ 2, assim, o domínio de g(f (x)) ]–∞, [ ∪ ] , [ ∪ ] , �∞[. 16. f(g(x)) � � 2 � x � 1 � 2 � x � 1. O domínio de g é [�1 �∞[, enquanto o domínio de f é ]�∞, �∞[, o domínio de f(g(x)) é, [�1, �∞[. g(f(x)) � . O domínio de f é ]�∞, �∞[, enquanto o domínio de g é [�1, �∞), assim, g(f (x)) requer f (x) � 1. Isso significa que x2 � 2 � �1, ou x2 � 1, que significa que x � �1 ou x � 1. Portanto, o domínio de g(f(x)) é ]�∞, �1] ∪ [1, �∞[. 2(x2 � 2) � 1 � 2x2 � 1 (2x � 1)2 2222�22�22 1 (x2 � 1) � 1 � 1 x2 � 2 ¢ 1 x � 1 ≤2 � 1 � 1 (x � 1)2 � 1 ¢ �2 �2 � 1 ≤ 0 0 � 1 28 � 1 (23 � 1) [�5, 5] por [�10, 25] [0, 5] por [0, 5] 23 1 � x3 x3 x3 23 1 � x3 21 � x2 x2 x2 21 � x2 2x � 4 2x � 2 � B x � 4 x � 2 2x � 2 2x � 4 � B x � 2 x � 4 4) Livro 1_Demana_A.indb 397 23/1/2013 14:04:36 Pré-cálculo400 8. x(3y � 1) � 4y � 3 3xy � x � 4y � 3 3xy � 4y � x � 3 y(3x � 4) � x � 3 y � 9. x � , y � �3 [e x � 0] x2 � y � 3, y � � 3 e x � 0 y � x2 � 3, y � � 3 e x � 0 10. x � , y � 2 [e x � 0] x2 � y � 2, y � 2 e x � 0 y � x2 � 2, y � 2 e x � 0 Exercícios 1. x � 3(2) � 6, y � 22 � 5 � 9. A resposta é (6, 9). 2. x � 5(–2) � 7 � –17, y � 17 � 3(–2) � 23. A resposta é (–17, 23). 3. x � 33 � 4(3) � 15, y � � 2. A resposta é (15, 2). 4. x � |–8 � 3| � 5, y � . A resposta é 5. (a) (b) , . Essa é uma função. (c) 6. (a) (b) t � x � 1, y � (x � 1)2 � 2(x � 1) � x2 � 2x � 1 � 2x � 2 � x2 � 4x � 3 Essa é uma função. (c) 7. (a) (b) t � y � 2, x � (y � 2)2. Essa não é uma função. (c) 8. (a) t �3 �2 �1 0 1 2 3 (x, y) � ( 1– (0, �5) (1, �3) t, 2t � 5) 1—�3 não está definida 1—�2 não está definida 1—�1 não está definida (1–2, �1) (1–3, 1) [�1, 5] por [�5, 1] t �3 �2 �1 0 1 2 3 (x, y) � (t2, t � 2) (9, �5) (4, �4) (1, �3) (0, �2) (1, �1) (4, 0) (9, 1) [�1, 5] por [�2, 6] t �3 �2 �1 0 1 2 3 (x, y) � (t � 1, t2 � 2t) (�2, �15) (�1, �8) (0, 3) (1, 0) (2, �1) (3, 0) (4, 3) [�5, 5] por [�4, 3] y � 3 ¢x 2 ≤� 1 � 1,5x � 1t � x 2 t �3 �2 �1 0 1 2 3 (x, y) � (2t, 3t � 1) (�6, �10) (�4, �7) (�2, �4) (0, �1) (2, 2) (4, 5) (6, 8) ¢5, �1 8 ≤ 1�8 � �18 23 � 1 2y � 2 2y � 3 x � 3 3x � 4 Livro 1_Demana_A.indb 400 23/1/2013 14:05:10 Respostas 401 (b) t � x2, y � 2x2 � 5. Essa é uma função. (c) 9. (a) Pelo teste da linha vertical, a relação não é uma função. (b) Pelo teste da linha horizontal, a inversa da relação é uma função. 10. (a) Pelo teste da linha vertical, a relação é uma função. (b) Pelo teste da linha horizontal, a inversa da relação não é uma função. 11. (a) Pelo teste da linha vertical, a relação é uma função. (b) Pelo teste da linha horizontal, a inversa da relação é uma função. 12. (a) Pelo teste da linha vertical, a relação não é uma função. (b) Pelo teste da linha horizontal, a inversa da relação é uma função. 13. y � 3x � 6 ⇒ x � 3y � 6 3y � x � 6 f –1(x) � y � � 2; ]– ∞, �∞[ 14. y � 2x � 5 ⇒ x � 2y � 5 2y � x � 5 f �1(x) � y � ; ]– ∞, �∞[ 15. y � ⇒ x � x(y � 1) � 2y � 3 xy � x � 2y � 3 xy � 2y � �x � 3 y( x � 2) � � (x � 3) f �1(x) � y � ; ]– ∞, 2[ ∪ ]2, �∞[ 16. y � ⇒ x � x(y � 2) � y � 3 xy � 2x � y � 3 xy � y � 2x � 3 y( x � 1) � 2x � 3 f �1(x) � y � ; ]�∞, 1[ ∪ ]1, �∞[ 17. y � , x � 3 , y � 0 ⇒ x � , x � 0 , y � 3 x2 � y � 3, x � 0, y � 3 f �1(x) � y � x2 � 3; [0, �∞[ 18. y � , x � � 2, y � 0 ⇒ x � , x � 0 , y � �2 x2 � y � 2, x � 0, y � �2 f �1(x) � y � x2 � 2; [0, �∞[ 19. y � x3 ⇒ x � y3 f �1(x) � y � ; ]– ∞, �∞[ 20. y � x3 � 5 ⇒ x � y3 � 5 x � 5 � y3 f �1(x) � y � ; ]�∞, �∞[ 21. y � ⇒ x � x3 � y � 5 f �1(x) � y � x3 � 5; ]–∞, �∞[ 22. y � ⇒ x � x3 � y � 2 f �1(x) � y � x3 � 2; ]– ∞, �∞[ 23. Bijetora 24. Não é bijetora 25. Bijetora 5 3 x y 5 3 x y 23 y � 223 x � 2 23 y � 523 x � 5 23 x � 5 23 x 2y � 2 2x � 2 2y � 3 2x � 3 2x � 3 x � 1 y � 3 y � 2 x � 3 x � 2 � (x � 3) x � 2 � x � 3 2 � x 2y � 3 y � 1 2x � 3 x � 1 x � 5 2 � 1 2 x � 5 2 x � 6 3 � 1 3 x [�2, 4] por [�6, 4] Livro 1_Demana_A.indb 401 23/1/2013 14:05:18 Pré-cálculo402 26. Não é bijetora 27. f(g(x)) � � 2 � x � 2 � 2 � x g(f(x)) � [(3x � 2) � 2] � (3x) � x 28. f(g(x)) � [(4x � 3) � 3] � (4x) � x g(f(x)) � � 3 � x � 3 � 3 � x 29. f(g(x)) � [(x � 1)1/3]3 � 1 � (x � 1)1 � 1 � x � 1 � 1 � x g(f(x)) � [(x3 � 1) � 1]1/3 � (x3)1/3 � x1 � x 30. f(g(x)) � � x g(f (x)) � � x 31. f(g(x)) � � (x � 1) = 1 � x � 1 � x; g(f(x)) � � x 32. f (g(x)) � � x g(f(x)) � � � � x 33. (a) 9c(x) � 5(x � 32) c(x) � x � 32 c(x) � 32 � x Nesse caso, c(x) torna-se x, e torna-se c –1(x) para a inversa. Assim, c–1(x) � �32. Isto converte a temperatura Celsius para tem- peratura Fahrenheit. (b) � k(c(x))� � 273,16 � � 255,38. Isso converte a temperatura Fahrenheit para temperatura Kelvin. 34. Verdadeiro. 35. A inversa da relação dada por x2y � 5y � 9 é a relação dada por y2x � 5x � 9. (1)2(2) � 5(2) � 2 � 10 � 12 ≠ 9 (1)2(�2) � 5(�2) � �2 � 10 � �12 ≠ 9 (2)2(�1) � 5(�1) � �4 � 5 � �9 ≠ 9 (�1)2(2) � 5(2) � 2 � 10 � 12 ≠ 9 (�2)2(1) � 5(1) � 4 � 5 � 9 A resposta é E. 36. A inversa da relação dada por xy 2 � 3x � 12 é a relação dada por yx2 � 3y � 12. (�4)(0)2 � 3(�4) � 0 � 12 � 12 (1)(4)2 � 3(1) � 16 � 3 � 13 ≠ 12 (2)(3)2 � 3(2) � 18 � 6 � 12 (12)(2)2 � 3(12) � 48 � 36 � 12 5 9 x 5 9 (x � 32) k ¢¢5 9 (x � 32)≤≤(k  c)(x) 9 5 x 9 5 9 5 2(x � 3) � 3(x � 2) x � 3 � (x � 2) � 5x 5 ≥ 2 ¢x � 3 x � 2 ≤ � 3 x � 3 x � 2 � 1 ¥ # ¢x � 2 x � 2 ≤ 2 ¢x � 3 x � 2 ≤ � 3 x � 3 x � 2 � 1 � 2x � 3 � 3(x � 1) 2x � 3 � 2(x � 1) � 5x 5 � §2x � 3x � 1 � 3 2x � 3 x � 1 � 2 ¥ # ¢x � 1 x � 1 ≤ 2x � 3 x � 1 � 3 2x � 3 x � 1 � 2 � x x � 1 � x � x 1 1 x � 1 x � 1 � § 1 x � 1 x � 1 ¥ # x x ¢ 1 x � 1 � 1≤1x � 1 � 1 1 x � 1 7 7 x � 7 1 # x 7 7 7 x � 7 1 # x 7 4 c 1 4 (x � 3) d 1 4 1 4 1 3 1 3 3 c 1 3 (x � 2) d x Livro 1_Demana_A.indb 402 23/1/2013 14:05:29 Respostas 405 52. 53. O lado que determina a abertura do ângulo de 450° é o mesmo do ângulo de 270o. sen  = 1 cos  = 0 tg  indefinida 54. O lado que determina a abertura de 270° é o mesmo do ângulo de 90o. sen  = 1 cos  = 0 tg  indefinida 55. O lado que determina a abertura do ângulo de 7π é o mesmo do ângulo π. sen  = 0 cos  = 1 tg  = 0 56. O lado que determina a abertura do ângulo de 11π/2 é o mesmo do ângulo 3π/2. sen  = 1 cos  = 0 tg  indefinida 57. O lado que determina a abertura do ângulo 7π/2 é o mesmo do ângulo π/2. sen  = 1 cos  = 0 tg  indefinida sen u   1 22 , cos u  1 22 , tg u  1 r  2222  (22)2  2222 58. O lado que determina a abertura do ângulo 4π é o mesmo do ângulo 0 radianos. sen  = 0 cos  = 1 tg  = 0 59. Como , sen e cos têm sinais contrários. Assim: . 60. . Assim: tg u  sen u cos u   2 221 cos u  21sen2u  221 5 cos u  21sen2u  215 4 uutg u 6 0 61. Verdadeiro. 62. , porque tg   (sen )/(cos ) > 0. Logo . A resposta é A.sen u  B1 25 169   12 13 sen u  21 cos2 u 6 . O gráfico de y = deve ser estendido verticalmente por 10 em comparação com y  0,5 tg x, assim y1  5 tg x e y2  0,5 tg x. 5 # tg x3 64. Domínio: todos os números reais exceto múltiplos ímpares de π. Imagem: ]−∞, +∞[ Continuidade: a função é contínua neste domínio Comportamento crescente/decrescente: é crescen- te em cada intervalo neste domínio Simetria: é simétrica com relação à origem (ím- par) Limite: não é limitada superiormente nem infe- riormente Extremo local: nenhum Assíntotas horizontais: nenhuma Assíntotas verticais: x 5 kπ para todos os inteiros ímpares k Comportamento nos extremos do domínio: não existe. 65. 3 2 66. 3 67. 2 2 68. − 1 2 69. 2 70. 1 2 71. −1 72. 3 2 73. −3 2 74. π 3 75. 0 76. π 3 Livro 1_Demana_A.indb 405 23/1/2013 14:05:50 Pré-cálculo406 77. − π 4 78. − π 4 79. π 2 80. 0,45 81. −0,73 82. sen x 83. 1 84. tg2 x 85. cos x sen2 x 86. −1 87. −1 88. 1 89. (6 − 2) 4 90. (6 + 2) 4 91. (2 + 6) 4 92. 2 + 3 93. (2 − 6) 4 94. sen 25° 95. sen 7π/10 96. tg 66° 97. 0, π 98. 0, π 4 , 3π 4 , π , 5π 4 , 7π 4 99. 1 2 2 3     − 100. 1 2 2 3     − 101. − −2 3 CAPÍTULO 16 Exercícios 1. 85 km h # 4 h  340 km 2. ¢5gal mi ≤ ¢120mi≤  600 galões 3. v s tm = ∆ ∆ = =21 km 1,75 h km/h12 4. v s tm = ∆ ∆ = =540 km 4,5 h km/h120 5. v t t t t t t t t t t = − − − = − − = − − = = → → → → lim lim lim ( ) lim 4 4 4 4 3 5 7 4 3 12 4 3 4 4 3 3 6. v t t t t t t t t t = + − − = − + + − = − + → → → lim lim ( ) ( ) lim ( ) ( 2 2 2 2 1 2 3 2 6 2 1 3 1 2 2 4 3 t t t t t t t + − = − − + = − + = − → → 1 2 2 2 3 1 1 t − 2 2 3 1 2 9 2 2 ) lim ( ) ( ) ( ) lim ( ) i 7. v at a t at a t a t t t t t = + − + − = − − = + − → → → lim ( ) lim lim ( )( ) ( 2 2 2 2 2 5 4 5 2 4 2 2 2 t a t a t − = + = → 2 2 4 2 ) lim ( ) 8. v t t t t t t t t = + − − = + − − + + + + → → lim lim ( ) ( ) ( ) 1 1 1 2 1 1 2 1 1 2 1 2 Livro 1_Demana_A.indb 406 23/1/2013 14:05:56 Respostas 407 = + − − + + = − − + + = + → → → lim ( )( ) lim ( ) ( )( ) lim t t t t t t t t t t 1 1 1 1 2 1 1 2 1 1 1 2 1 1 2 1 2 2+ = 9. −4 10. 14 11. 7 12. 0 13. a2 − 2 14. (a) Divisão por zero (b) − 1 6 15. (a) Divisão por zero (b) 3 16. (a) Divisão por zero (b) −4 17. (a) Divisão por zero. (b) 0 18. −1 19. 0 20. 2 21. ln (π) 22. (a) 3 (b) 1 (c) não existe 23. (a) 4 (b) 4 (c) 4 24. (a) verdadeiro (b) verdadeiro (c) falso (d) falso (e) falso (f) falso (g) falso (h) verdadeiro (i) falso (j) verdadeiro 25. (a) ≈ 2,72 (b) ≈ 2,72 (c) ≈ 2,72 26. (a) 6 (b) −4 (c) 16 (d) −2 27. (a) x4 9 y (b) 0; 0 (c) 0 28. (a) x4 8 y (b) 0; 3 (c) não existe, lim ( ) lim ( ) x x f x f x → →− + ≠ 0 0 29. 2 30. 0 31. 1 32. (a) 0; (b) 0 33. (a) ∞; (b) 1 34. (a) ∞ (b) −∞ 35. (a) indefinido (b) 0 36. −∞ ; x 5 3 37. ∞ ; x 5 −2 38. ∞ ; x 5 5 39. 3 40. 1 41. ∞ 42. 0 43. Não existe. 44. 1/2 45. Falso. lim ( ) x f x → = 3 5 46. (a) xπ 1 y (b) (−π, 0) ∪ (0, π) (c) x 5 π (d) x 5 −π Livro 1_Demana_A.indb 407 23/1/2013 14:05:59 Pré-cálculo410 (b) Como (1, f(1)) = (1, 1/3) a equação da reta tangente é y  1/3 =  1/9(x  1). 10. 11. 12. 13. Quando , enquanto para ,  lim hS0 1 h  1  2  1 1 h lim hS0 f(1  h)  f(1) h 0h 0 h  1h 6 0 0h 0 h  1h 7 0 lim hS0 0h 0 h lim hS0 f(2  h)  f(2) h  lim hS0 0h  2  2 0  0 h  1  lim hS0 h2  2h  1  3h  3  2 h  lim hS0 (h  1)  lim hS0 (h  1)2  3(h  1)  1  (1) h lim hS0 f(1  h)  f(1) h  lim hS0 (3h  12)  12  lim hS0 3h2  12h  12  12 h  lim hS0 3(h  2)2  2  (14) h lim hS0 f(2  h)  f(2) h  lim hS0 ¢1 2 h  4≤  4  lim hS0 4  2h  1 2 h2  2h  2  6 h  lim hS0 2(2  h)  1 2 (2  h)2  4  2 h lim hS0 f(2  h)  f(2) h  lim hS0 (h  4)  4  lim hS0 h2  4h  4  4 h  lim hS0 1  (2  h)2  (1  4) h lim hS0 f(2  h)  f(2) h 3 3 x y(c)  lim hS0 h h # 1 3(h  3)  lim hS0 1 3(h  3)   1 9  lim hS0 1 h  1  2  1 3 h  lim hS0 3  (h  3) 3(h  3) # 1 h m  lim hS0 f(1  h)  f(1) h 1  lim hS0 2  3x  3h  2  3x h  lim hS0 3h h  3 f¿(x)  lim hS0 2  3(x  h)  (2  3x) h  lim hS0  1 h  1  1  lim hS0 1  (h  1) h  1 # 1 h  lim hS0 h h # 1 h  1 15. 8. (a) 9. 4. , ou seja, não existe derivada . Livro 1_Demana_A.indb 410 23/1/2013 14:06:24 Respostas 411 As respostas variarão. Uma possibilidade: 20. As respostas variarão. Uma possibilidade: 21. As respostas variarão. Uma possibilidade: 22. As respostas variarão. Uma possibilidade: 10 5–1 –5 10 5–1 –10 10 5–1 –10 10 5–1 –10  lim hS0 1 (x  h 2)(x 2)  1 (x 2)2  lim hS0 h h # 1 (x  h 2)(x 2)  lim hS0 (x 2)  (x  h 2) (x  h 2)(x 2) # 1 h f ¿(x)  lim hS0 1 (x  h) 2  1 x 2 h  lim hS0 (6x  3h  2)  6x  2  lim hS0 6xh  3h2  2h h  lim hS0 3x26xh3h22x2h13x22x1 h  lim hS0 3(xh)2  2(xh)1(3x22x1) h f ¿(x)  lim hS0 6xh  3h2 h  lim hS0 (6x  3h)  6x  lim hS0 2  3x2  6xh  3h2  2  3x2 h f¿(x)  lim hS0 (2  3(x  h)2)  (2  3x2) h 16. 17. 18. 23. Como f (x) = ax + b é uma função linear, a taxa de variação de qualquer x é exatamente a incli- nação da reta. Não é necessário cálculo, visto que é conhecido que a inclinação a = f ¿(0)  lim hS0 f(x)  f(0) x  0  lim hS0 x  0 x  lim hS0 x x f ¿(x). 24. 19.            O limite não existe. Para valores de x à esquerda de zero, o resultado do limite é 21, enquanto à direita é 1. Em x 5 0, o gráfico da função não tem uma inclinação definda. Livro 1_Demana_A.indb 411 23/1/2013 14:06:30 Pré-cálculo412 Verdadeiro. . A resposta é D. . A resposta é A. . A resposta é C. . A resposta é A. 30. 31. 32. 33. 34. 35. 36. 37. 38. 39. f ¿(x)  10 (2  x)2 f ¿(x)  24 (4x  3)2 f ¿(x)  2 (x  1)2 f ¿(x)  1 (1  2x)2 f ¿(x)  20 (x  10)2 f ¿(x)  10 (x  4)2 f ¿(x)  3x4  3x2  2x (3x2  1)2 f ¿(x)  x4  6x2 (2  x2)2 f ¿(x)  2x f ¿(x)  16 5 x225 x  6 5 25 x f ¿(x)  20x4  72x2  10x f ¿(x)  45x3 2 2x  3 2x f ¿(x)  140x 6  72x2 f ¿(x)  3x 2  15 x2 f ¿(x)  2x  20 x3 f ¿(x)  5x4 4 f ¿(x)  3x2 8  x f ¿(x)  x2  12x f ¿(x)  12x2  6 f ¿(x)  12x2  5 f ¿(x)  40x  10x f ¿(x)  4 525 x f ¿(x)  3 6 f ¿(x)  45 x10 f ¿(x)  8 x3 f ¿(x)  5 22x f ¿(x)  6x f ¿(x)  1 x2 f ¿(x)  3 x4 f ¿(x)  1 626 x5 f ¿(x)  3 424 x f ¿(x)  1 22x f ¿(x)  5x4 f ¿(x)  1 f ¿(1)  1 (1  3)2   1 4 f ¿(2)  3 # 22  12 f ¿(x)  5  6x f ¿(x)  2x  3 lim hS0 f(x)  f(a) x  a 25. 26. 27. 28. 29. 40. 41. 42. 43. 44. 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. 52. 53. 54. 55. 56. 57. 58. 59. 60. 61. 62. 63. x5 3 64. (a) x 5 9 y (b) Visto que o gráfico da função não tem uma inclinação definível em x 5 2, a derivada de f não existe em x 5 2. Livro 1_Demana_A.indb 412 23/1/2013 14:06:39 Respostas 415 96. [–4,7; 4,7] por [–3,1; 3,1] (a) Não, não há nenhuma derivada porque o gráfi- co não tem inclinação definida em x 5 0. (b) Não. 97. [–4,7; 4,7] por [–3,1; 3,1] (a) Não, não há nenhuma derivada porque o gráfi- co tem uma tangente vertical em x 5 0. (b) Sim, x 5 0 98. x 10 1 y (b) (c) (d) (e) (f) (g) (h) 1 2x2  c 2 3 x2x  c x4 2  5x3 3  3x2  7x  c 7x  x2 2  c x6 6  x2  c x4 4  5  ln x  c 4x3 3  3x2 2  5x  c x4 2  c (i) (j) (k) (l) 3x ln 3  ex  c 4x ln 4  c 4ex  x2 2  3x  c 5x2 2  2 3 x2x  c 99. (a) APÊNDICE A Exercícios 1. 3y � 5 – 2x y � 2. x(y + 1) � 4 y + 1 � , x ≠ 0 y � �1 3. (3x + 2)(x � 1) � 0 3x � 2 � 0 ou x � 1 � 0 3x � �2 x � 1 x � 4. ou 5. x3 � 4x � 0 x(x2 � 4) � 0 x(x � 2)(x � 2) � 0 x � 0, x � 2, x � �2 6. x3 � x2 � 6x � 0 x(x2 � x � 6) � 0 x(x � 3)(x � 2) � 0 x � 0, x � –3, x � 2 7. m � y � 2 � (x � 1) y � � 2 y � �4x � 6 5 � 4 5 x � 4 5 � 4 5 � 4 5 �5 � 2105 4 x � �5 � 2105 4 � �5 � 2105 4 x � �5 � 252 � 4(2)(�10) 4 � 2 3 4 x 4 x 5 3 � 2 3 x Livro 1_Demana_A.indb 415 23/1/2013 14:06:57 Pré-cálculo416 8. �2(2x � 3y) � –2(5) �4x � 6y � �10 9. 10. (a) Não: 5(0) � 2(4) ≠ 8 (b) Sim: 5(2) � 2(1) � 8 e 2(2) � 3(1) � 1 (c) Não: 2(–2) –3(–9) ≠ 1 11. (a) Sim: –3 � 22 � 6(2) � 5 e –3 � 2(2) � 7 (b) Não: –5 ≠ 12 � 6(1) � 5 (c) Sim: 5 � 62 � 6(6) � 5 e 5 � 2(6) � 7 12. (x, y) � (9, �2): como y � �2, temos x � 4 � 5, portanto, x � 9. 13. (x, y) � (3, �17): como x � 3, temos 3 � y � 20, portanto, y � –17. 14. (x, y) � : y � 20 � 3x, assim, x � 2(20 � 3x) � 10, 7x � 50 x � . 50 7 ¢50 7 , � 10 7 ≤ [�4, 4] por [�15, 12] Intersecção X=-3 Y=-9 15. (x, y) � : y � �x, assim, 2x � 3x � �23, ou x � . 16. (x, y) � : x � (3y � 7)/2, assim, 2(3y � 7) � 5y � 8 11y � 22, assim, y � 2. ¢�1 2 , 2≤ � 23 5 ¢�23 5 , 23 5 ≤ 17. (x, y) � (�3, 2): x � (5y � 16)/2, assim, 1,5(5y � 16) � 2y � �5 9,5y � 19, assim, y � 2. 18. Sem solução: x � 3y � 6, assim �2(3y � 6) � 6y � 4, ou �12 � 4. Isso não é verdadeiro. 19. Há infinitas soluções: y � 3x � 2, assim, �9x � 3(3x � 2) � 6, 6 � 6 que é sempre verdadeiro. 20. (x, y) � (±3, 9); a segunda equação resulta y � 9, assim, x2 � 9, ou x ± 3. 21. (x, y) � (0, �3) ou (x, y) � (4, 1): Como x � y � 3, temos y � 3 � y2 � 3y, ou y2 � 2y � 3 � 0. Portanto, y � �3 ou y � 1. 22. (x, y) � ou (x, y) � : 6x2 � 7x � 3 � 0 x � ou x � . Substitua esses valores em y � 6x2. 23. (x, y) � (�4, 28) ou (x, y) � : 2x2 � 3x � 20 � 0 x � �4 ou x � . Substitua esses valores em y � 2x2 � x. 24. (x, y) � (0, 0) ou (x, y) � (3, 18): 3x2 � x3, x � 0 ou x � 3. Substitua esses valores em y � 2x2. 25. (x, y) � (0, 0) ou (x, y) � (�2, �4): x3 � 2x2 � 0, x � 0 ou x � �2. Substitua esses valores em y � �x2. 26. (x, y) � e : x � 3y � �1, x � 3y � 1. Substitua x � 3y � 1 em x2 � y2 � 9: (3y � 1)2 � y2 � 9 ⇒ 10y2 � 6y � 8 � 0. Usando a fórmula quadrática, encontramos que y � . 3 � 289 10 ¢�1 � 3289 10 , 3 � 289 10 ≤ ¢�1 � 3289 10 , 3 � 289 10 ≤ 5 2 ¢5 2 , 15≤ 1 3 � 3 2 ¢1 3 , 2 3 ≤ ¢�3 2 , 27 2 ≤ Livro 1_Demana_A.indb 416 23/1/2013 14:07:07 Respostas 417 27. (x, y) �  (3,98, �0,42) ou (x, y) �  (�2,38; 3,22): (13 � 7y)2 � y2 � 16, 65y2 � 182y � 87 � 0. y � . Substitua em x � (13 � 7y) para obter x � . 28. (x, y) � (8, �2): somando as equações obtemos 2x � 16, assim, x � 8. Substituir esse valor em qualquer equação para achar y. 29. (x, y) � (3, 4): somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda obtemos: 5x � 15, assim, x � 3. Substituir esse valor em qualquer equação para achar y. 30. (x, y) � (4, 2): somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda obtemos: 11x � 44, assim, x � 44. Substituir esse valor em qualquer equação para achar y. 31. (x, y) � (�2, 3): somando a primeira equação multiplicada por 4 com a segunda multiplicada por 5 obtemos: 31x � �62, assim, x � �2. Substituir esse valor em qualquer equação para achar y. 1 65 (52 � 72871) 1 4 1 65 (91 � 42871) 1 16 ¢52 � 72871 65 , 91 � 42871 65 ≤ ¢52 � 72871 65 , 91 � 42871 65 ≤ 32. Sem solução: somando a primeira equação mul- tiplicada por 3 com a segunda multiplicada por 2 obtemos 0 � �72, o que é falso. 33. Há infinitas soluções, qualquer par: Ao somar a primeira equação com a segunda multiplicada por 2 obtemos 0 � 0, que sempre é verdadeiro. Enquanto (x, y) satisfaz uma equação, também satisfaz a outra. ¢x, 1 2 x � 2≤ . 34. Há infinitas soluções, qualquer par: Somando a primeira equação multiplicada por 3 com a segunda obtemos 0  0, que sempre é verdadeiro. Enquanto (x, y) satisfaz um equação, também satisfaz a outra. 35. Sem solução: somando a primeira equação multiplicada por 2 com a segunda obtemos 0  11, o que é falso. 36. (x, y)  (0, 1) ou (x, y)  (3, –2) 37. (x, y)  (1,5; 1) 38. Sem solução. 39. (x, y)  (0, 4) ou (x, y)  40. Uma solução. 41. Sem solução. 42. Infinitas soluções. [–5, 5] por [–5, 5] [–5, 5] por [–5, 5] [–5, 5] por [–5, 5] (27, 3)  (2,65; 3) ¢x, 2 3 x  5 3 ≤ . Livro 1_Demana_A.indb 417 23/1/2013 14:07:12 Pré-cálculo420 73. (a) AB � (b) BA � 74. (a) AB � � c19 � 1 2 10 d c (1)(5) � (0)(0) � (�2)(�1) � (3)(4) (1)(�1) � (0)(2) � (�2)(3) � (3)(2) (2)(5) � (1)(0) � (4)(�1) � (�1)(4) (2)(�1) � (1)(2) � (4)(3) � (�1)(2) d � £ 4 8 � 5 �5 4 � 6 �2 � 8 6 §£ (1)(2) � (2)(1) (1)(0) � (2)(4) (1)(1) � (2)(�3) (�3)(2) � (1)(1) (�3)(0) � (1)(4) (�3)(1) � (1)(�3) (0)(2) � (�2)(1) (0)(0) � (�2)(4) (0)(1) � (�2)(�3) § � c 2 2 �11 12 dc (2)(1) � (0)(�3) � (1)(0) (2)(2) � (0)(1) � (1)(�2) (1)(1) � (4)(�3) � (�3)(0) (1)(2) � (4)(1) � (�3)(�2) d (b) BA � 75. (a) AB � (b) BA � � £ 2 1 3 5 0 0 �18 � 3 10 § £ (2)(�1) � (1)(4) � (0)(2) (2)(0) � (1)(1) � (0)(0) (2)(2) � (1)(�1) � (0)(1) (�1)(�1) � (0)(4) � (2)(2) (�1)(0) � (0)(1) � (2)(0) (�1)(2) � (0)(�1) � (2)(1) (4)(�1) � (�3)(4) � (�1)(2) (4)(0) � (�3)(1) � (�1)(0) (4)(2) � (�3)(�1) � (�1)(1) § � £ 6 � 7 � 2 3 7 3 8 � 1 � 1 § £ (�1)(2) � (0)(�1) � (2)(4) (�1)(1) � (0)(0) � (2)(�3) (�1)(0) � (0)(2) � (2)(�1) (4)(2) � (1)(�1) � (�1)(4) (4)(1) � (1)(0) � (�1)(�3) (4)(0) � (1)(2) � (�1)(�1) (2)(2) � (0)(�1) � (1)(4) (2)(1) � (0)(0) � (1)(�3) (2)(0) � (0)(2) � (1)(�1) § � ≥ 3 � 1 � 14 16 4 2 8 � 2 5 3 14 � 6 8 2 0 10 ¥ ≥ (5)(1) � (�1)(2) (5)(0) � (�1)(1) (5)(�2) � (�1)(4) (5)(3) � (�1)(�1) (0)(1) � (2)(2) (0)(0) � (2)(1) (0)(�2) � (2)(4) (0)(3) � (2)(�1) (�1)(1) � (3)(2) (�1)(0) � (3)(1) (�1)(�2) � (3)(4) (�1)(3) � (3)(�1) (4)(1) � (2)(2) (4)(0) � (2)(1) (4)(�2) � (2)(4) (4)(3) � (2)(�1) ¥ Livro 1_Demana_A.indb 420 23/1/2013 14:07:36 Respostas 421 76. (a) AB  (b) BA   £ 3 18  2 11 2 11 2  11 11 § £ (4)(2)  (1)(1)  (2)(3) (4)(3)  (1)(2)  (2)(2) (4)(0)  (1)(4)  (2)(1) (0)(2)  (2)(1)  (3)(3) (0)(3)  (2)(2)  (3)(2) (0)(0)  (2)(4)  (3)(1) (1)(2)  (3)(1)  (1)(3) (1)(3)  (3)(2)  (1)(2) (1)(0)  (3)(4)  (1)(1) §  £ 8 8 5 0 7  8 11 4 11 § £ (2)(4)  (3)(0)  (0)( 1) (2)( 1  (3)(2)  (0)(3) (2)(2)  (3)(3)  (0)( 1) (1)(4)  (2)(0)  (4)( 1) (1) 1)  (2)(2)  (4)(3) (1)(2)  (2)(3)  (4)( 1) (3)(4)  (2)(0)  (1)( 1) )  (2)(2)  (1)(3) (3)(2)  (2)(3)  (1)( 1) § 77. (a) AB  [(2)(5)  (1)(4)  (3)(2)]  [8] (b) BA  78. (a) AB  (b) BA  [(1)(2)  (2)(3)  (4)(4)]  [8] 79. (a) AB não é possível (b) BA  [(3)(1)  (5)(3) (3)(2)  (5)(4)]  [18 14] 80. (a) AB  (b) BA  não é possível.  ≥ 1 2 5 17 15 3 6 15 ¥≥ (1)(5)  (3)(2) (0)(5)  (1)(2) (1)(5)  (0)(2) (3)(5)  (1)(2) (1)(6)  (3)(3) (0)(6)  (1)(3) (1)(6)  (0)(3) (3)(6)  (1)(3) ¥  £ 2  4  8 3 6 12 4  8  16 §£ (2)(1) (2)(2) (2)(4) (3)(1) (3)(2) (3)(4) (4)(1) (4)(2) (4)(4) §  £ 10 5  15 8  4 12 4  2 6 §£ (5)(2) (5)(1) (5)(3) (4)(2) (4)(1) (4)(3) (2)(2) (2)(1) (2)(3) § (–1) –1) (–1) (–1) (– (–1) (–1) (–1) (–2) 3( (–1) . Livro 1_Demana_A.indb 421 23/1/2013 14:07:45 Pré-cálculo422 81. (a) AB  (b) BA  82. (a) AB   ≥ 3 2 1 3 2 1 0  1 1 2 3  4 4 0 2  1 ¥≥ 0  0  3  0 0  0  2  0 0  0  1  0 0  0  3  0 0  2  0  0 0  1  0  0 0  0  0  0 0  1  0  0 1  0  0  0 2  0  0  0 3  0  0  0  4  0  0  0 0  0  0  4 0  0  0  0 0  0  0  2 0  0  0  1 ¥  £ 1 2 1 1 0 2 4 3  1 § £ (1)(0)  (2)(0)  (1)(1) (1)(0)  (2)(1)  (1)(0) (1)(1)  (2)(0)  (1)(0) (2)(0)  (0)(0)  (1)(1) (2)(0)  (0)(1)  (1)(0) (2)(1)  (0)(0)  (1)(0) (1)(0)  (3)(0)  (4)(1) (1)(0)  (3)(1)  (4)(0) (1)(1)  (3)(0)  (4)(0) §  £ 1 2 1 1 0 2 4 3 1 § £ (2)(4)  (3)(0)  (0)(1) (2)(1)  (3)(2)  (0)(3) (2)(2)  (3)(3)  (0)(1) (1)(4)  (2)(0)  (4)(1) (1)(1)  (2)(2)  (4)(3) (1)(2)  (2)(3)  (4)(1) (3)(4)  (2)(0)  (1)(1) (3)(1)  (2)(2)  (1)(3) (3)(2)  (2)(3)  (1)(1) § (b) BA  83. a  5, b  2 84. a  3, b  –1 85. a  –2, b  0 86. a  1, b  6 87. 88. AB   £ 1 0 0 0 1 0 0 0 1 § £ (2)(0)  (1)(0,25)  3(0,25) (2)(1)  (1)(0,5)  (3)(0,5) (2)(2)  (1)(0,25)  (3)(1,25) (1)(0)  (2)(0,25)  (2)(0,25) (1)(1)  (2)(0,5)  (2)(0,5) (1)(2)  (2)(0,25)  (2)(1,25) (0)(0)  (1)(0,25)  (1)(0,25) (0)(1)  (1)(0,5)  (1)(0,5) (0)(2)  (1)(0,25)  (1)(1,25) §  ≥ 3 2  1  4 0 1 2  1 1 2  3 3 2 0 4  1 ¥≥ 0  0  3  0 0  2  0  0  1  0  0  0 0  0  0  4 0  0  0  0 0  1  0  0 2  0  0  0 0  0  0  1 0  0  1  0 0  2  0  0  3  0  0  0 0  0  0  3 0  0  2  0 0  0  0  0 4  0  0  0 0  0  0  1 ¥ AB  BA , assim A e B são inversas. c1 0 0 1 dc (0,8)(2)  (0,2)(3) (0,8)(1)  (0,2)(4) (0,2)(2)  (0,4)(3) (0,6)(1)  (0,4)(4) d  c1 0 0 1 dc (2)(0,8)  (1)( )(0,2)  (1)(0,4) (3)(0,8)  (4)( )(0,2)  (4)(0,4) d  (3 (2)0,6 0,6) Livro 1_Demana_A.indb 422 23/1/2013 14:07:57 Respostas 425 . Podemos fazer o mesmo para InA = A. 103. 2(–1) � (–3)(4) � 10. A resposta é C. 104. A matriz AB tem o mesmo número de linhas que A e o mesmo número de colunas que B. A resposta é B. 105. A resposta é E. 106. O valor na linha 1, coluna 3 é 3. A resposta é D. � c 4 � 7 �1 2 dc2 7 1 4 d �1 � 1 2(4) � 1(7) c 4 � 7 �1 2 d � ≥ a11 a12 p a1n a21 a22 p a2n o o o an1 an2 p ann ¥ � A APÊNDICE B Exercícios 1. Há 3 possibilidades para quem fica à esquerda e 2 possibilidades restantes para quem fica no meio, e uma possibilidade restante para quem fica à direita: 3 • 2 • 1  6. 2. Qualquer uma das 4 tarefas pode ser priorizada como a mais importante, e qualquer das 3 tarefas restantes pode ser como a menos; continuando com essa ideia: 4 • 3 • 2 • 1  24. 3. Qualquer um dos 5 livros pode ser colocado à esquerda, e qualquer dos 4 livros restantes pode ser próximo a ele; continuando com essa ideia: 5 • 4 • 3 • 2 • 1  120. 4. Qualquer um dos 5 cachorros pode receber o primeiro prêmio, e qualquer dos 4 cachorros restantes pode receber o segundo lugar: 5 • 4 • 3 • 2 • 1  120. 5. Há 3 • 4  12 possibilidades de caminhos. Nos 3 diagramas, B1 representa a primeira rodovia da cidade A para a cidade B etc. 6. 4 • 3 • 2 • 1  24 7. 8. 9. (3 • 2 • 1)(1)  6 10. 9! (92)!  9 # 8 # 7! 7!  72 10! 7!(10 7)!  10 # 9 # 8 # 7! 7! # 3 # 2 # 1  120 6! (62)!  6 # 5 # 4! 4!  30 11. 12. Há 6 possibilidades para o dado vermelho e 6 para o dado verde: 6 • 6 � 36. 13. Há 2 possibilidades para cada vez que a moeda for lançada: 210 � 1.024. 14. 15. Escolhidas 7 seqüências de 20: 16. 17. 18. 29 � 1 � 511 (excluímos aqui o resultado pos- sível de um conjunto vazio) 19. Como cada ingrediente pode ser incluído ou não, o número total de possibilidades com n ingredientes é 2n. Como 211 � 2.048 é menor que 4.000, mas 212 � 4.096 é maior que 4.000, dientes. 20. Há 2n subconjunto, dos quais 2n � 2 são sub- conjuntos próprios. 20C8 � 20! 8!(20 � 8)! � 20! 8!12! � 125.970 8C3 � 8! 3!(8 �3)! � 8! 3!5! � 56 20C7 � 20! 7!(20 � 7)! � 20! 7!13! � 77.520 48C3 � 48! 3!(48�3)! � 48! 3!45! � 17.296 10! 3!(10 �3)! � 10 # 9 # 8 # 7! 3! # 7! � 10 # 9 # 8 3 # 2 # 1 � 120 o dono da pizzaria oferece pelo menos 12 ingre- 97. B � 1,1A. 98. (a) (b) Os valores no atacado e no varejo de todo o estoque na loja i estão representados por ai1 e ai2, respectivamente, na matriz SP. 99. (a) Receita total � soma de (preço cobrado)(número vendido) � ABT ou BAT (b) Lucro � receita total � custo total � ABT � CBT � (A � C)BT 100. Respostas variarão. Uma resposta possível é dada. (a) A � B � [aij � bij] � [bij � aij] � B � A (b) (A � B) � C � [aij � bij] � C � [aij � bij � cij] � [aij � (bij � cij)] � A � [bij � cij] � A � (B � C) (c) A (B � C) � A [bij � cij] � aik (bkj � ckj)] (seguindo as regras da multiplicação de matriz) (aikbkj � aikckj)] aikbkj � aikckj] aikbkj ] � [ aikckj] � AB � AC© k � 3© k © k � 3© k � 3© k � 3© k � £ $15.550 $13.970 $8.740 $21 .919,54 $11.439,74 $12.279,76 § SP � £ 16 10 8 12 0 10 4 12 0 12 14 8 § ≥ $180 $275 $355 $590 $269,99 $399,99 $499,99 $799,99 ¥ B � £ 1,1 # 120 1,1 # 150 1,1 # 80 1,1 # 70 1,1 1,1 # 160 § � £ 132 165 88 77 121 176 § (d) (A � B)C � [aij � bij]C � (aik � bik ) cki)] (aikcki � bikcki)] aikcki – bikcki] aikcki ] � [ bikcki] � AC � BC© k � 3© k © k � 3© k � 3© k © k # 110 [ 101. Respostas variarão. Uma resposta possível é dada. (a) c(A  B)  c[aij  bij]  [caij  cbij]  cA  cB (b) (c  d)A  (c  d)[aij]  c[aij]  d[aij]  cA  dA (c) c(dA)  c[daij]  [cdaij]  cd[aij]  cdA (d) 1 ⋅ A  1 ⋅ [aij]  [aij]  A 102.  ≥ a11  0 # a12  p  0 # a1n 0 # a11  a12  0 # a13  p  0 # a1n p 0 # a11  0 # a12  p  a1n a21  0 # a22  p  0 # a2n 0 # a21  a22  0 # a23  p  0 # a2n p 0 # a21  0 # a22  p  a2n o o an1  0 # an2  p  0 # ann 0 # an1  an2  0 # an3  p  0 # ann p 0 # an1  0 # an2  p  ann ¥ AIn  ≥ a11 a12 p a1n a21 a22 p a2n o o o an1 an2 p ann ¥ ≥ 1 0 p 0 0 1 p 0 o o ∞ o 0 0 p 1 ¥ Livro 1_Demana_A.indb 425 23/1/2013 14:08:46 Pré-cálculo426 21. 210 � 1.024 22. 510 � 9.765.625 23. Verdadeiro. 24. Falso. 25. Há � 15 combinações diferentes de vegetais. O número total é 4 • 15 • 6 � 360. A resposta é D. 26. A resposta é B. 27. x2 � 2xy � y2 28. a2 � 2ab � b2 29. 25x2 � 10xy � y2 30. a2 � 6ab � 9b2 31. 9s2 � 12st � 4t2 32. 9p2 � 24pq � 16q2 33. u3 � 3u2v � 3uv2 � v3 34. b3 � 3b2c � 3bc2 � c3 35. 8x3 � 36x2y � 54xy2 � 27y3 36. 64m3 � 144m2n � 108mn2 � 27n3 37. (a � b)4 � a4b0 � a3b1 � a2b2 � a1b3 � a0b4 � a4 � 4a3b � 6a2b2 � 4ab3 � b4 38. (a � b)6 � a6b0 � a5b1 � a4b2 � a3b3 � a2b4 � a1b5 � a0b6 � a6 � 6a5b � 15a4b2 � 20a3b3 � 15a2b4 � 6ab5 � b6 ¢6 6 ≤¢6 5 ≤¢6 4 ≤¢6 3 ≤ ¢6 2 ≤¢6 1 ≤¢6 0 ≤ ¢4 4 ≤¢4 3 ≤ ¢4 2 ≤¢4 1 ≤¢4 0 ≤ nPn � n! (n � n)! � n! ¢6 2 ≤ 39. (x � y)7 � x7y0 � x6y1 � x5y2 � x4y3 � x3y4 � x2y5 � x1y6 � x0y7 � x7 � 7x6y � 21x5y2 � 35x4y3 � 35x3y4 � 21x2y5 � 7xy6 � y7 ¢7 7 ≤ ¢7 6 ≤¢7 5 ≤¢7 4 ≤¢7 3 ≤ ¢7 2 ≤¢7 1 ≤¢7 0 ≤ 40. (x  y)10  x10y0  x9y1  x8y2  x7y3  x6y4  x5y5  x4y6  x3y7  x2y8  x1y9  x0y10  x10  10x9y  45x8y2  120x7y3  210x6y4  252x5y5  210x4y6  120x3y7  45x2y8  10xy9  y10 41. Use as entradas na linha 3 como coeficientes: (x  y)3  x3  3x2y  3xy2  y3 42. Use as entradas na linha 5 como coeficientes: (x  y)5  x5  5x4y  10x3y2  10x2y3  5xy4  y5 43. Use as entradas na linha 8 como coeficientes: (p  q)8  p8  8p7q  28p6q2  56p5q3  70p4q4  56p3q5  28p2 q6  8pq7  q8 44. Use as entradas na linha 9 como coeficientes: (p  q)9  p9  9p8q  36p7q2  84p6q3  126p5q4  126p4q5  84p3q6  36p2q7  9pq8  q9 45. 46. 47. 48. 49. 50. 51. (2)8 ¢12 8 ≤  (2)8 ¢12 4 ≤  126.720 ¢13 8 ≤  ¢13 5 ≤  1287 ¢14 3 ≤  ¢14 11 ≤  364 ¢166 0 ≤  166! 0!166!  1 ¢166 166 ≤  166! 166!0!  1 ¢15 11 ≤  15! 11!4!  15 # 14 # 13 # 12 4 # 3 # 2 # 1  1365 ¢9 2 ≤  9! 2!7!  9 # 8 2 # 1  36 ¢10 10 ≤¢10 9 ≤ ¢10 8 ≤¢10 7 ≤ ¢10 6 ≤¢10 5 ≤ ¢10 4 ≤¢10 3 ≤ ¢10 2 ≤¢10 1 ≤¢10 0 ≤ Livro 1_Demana_A.indb 426 23/1/2013 14:09:01 Respostas 427 52. 53. f(x) � (x � 2)5 � x5 � 5x4(–2) � 10x3(–2)2 � 10x2(–2)3 � 5x(–2)4 � (–2)5 � x5 � 10x4 � 40x3 � 80x2 � 80x � 32 54. g(x) � (x � 3)6 � x6 � 6x5 • 3 � 15x4 • 32 � 20x3 • 33 � 15x2 • 34 � 6x • 35 � 36 � x6 � 18x5 � 135x4 � 540x3 � 1215x2 � 1458x � 729 55. h(x) � (2x � 1)7 � (2x)7 � 7(2x)6(–1) � 21(2x)5(–1)2 � 35(2x)4(–1)3 � 35(2x)3(–1)4 �21(2x)2(–1)5 � 7(2x)(–1)6 � (–1)7 � 128x7 � 448x6 � 672x5 � 560x4 � 280x3 � 84x2 � 14x � 1 56. f(x) � (3x � 4)5 � (3x)5 � 5(3x)4 • 4 � 10(3x)3 • 42 �10(3x)2 • 43 � 5(3x) • 44 � 45 � 243x5 � 1620x4 � 4320x3 � 5760x2 � 3840x � 1024 57. (2x � y)4 � (2x)4 � 4(2x)3y � 6(2x)2y2 � 4(2x)y3 � y4 � 16x4 � 32x3y � 24x2y2 � 8xy3 � y4 58. (2y � 3x)5 � (2y)5 � 5(2y)4(–3x) � 10(2y)3(–3x)2 � 10(2y)2(–3x)3 � 5(2y)(–3x)4 � (–3x)5 � 32y5 � 240y4x � 720y3x2 � 1080y2x3 � 810yx4 � 243x5 59. � x3 � 6x5/2y1/2 � 15x2y � 20x3/2y3/2 � 15xy2 � 6x1/2y5/2 � y3 � 6(2x)(�2y)5 � (�2y)6 � 15(2x)2(�2y)4 � 20(2x)3(�2y)3# (�2y)2�15(2x)4 (2x�2y)6 � (2x)6 � 6(2x)5(�2y) (�3)4 ¢11 4 ≤ � (�3)4 ¢11 7 ≤ � 26.730 60. � x2 � � 18x � � 91223x4x23x � 4(2x)(23)3 � (23)4 # (23)2�6(2x)2 (2x � 23)4 � (2x)4 � 4(2x)3(23) 61. (x–2 � 3)5 � (x–2)5 � 5(x–2)4 • 3 � 10(x–2)3 • 32 � 10(x–2)2 • 33 � 5(x–2) • 34 � 35 � x–10 � 15x–8 � 90x–6 � 270x–4 � 405x–2 � 243 62. (a � b–3)7 � a7 � 7a6(–b–3) � 21a5(–b–3)2 � 35a4(–b–3)3 � 35a3(–b–3)4 � 21a2(–b–3)5 � 7a(–b–3)6 � (–b–3)7 � a7 � 7a6b–3 � 21a5b–6 � 35a4b–9 � 35a3b–12 � 21a2b–15 � 7ab–18 � b–21. 63. 64. 65. 66. (a) Qualquer par (n, m) de inteiros não negativos — com exceção de (1, 1) — fornece um con- traexemplo. Por exemplo, n � 2 e m � 3: (2 � 3)! � 5! � 120, mas 2! � 3! � 2 � 6 � 8. (b) Qualquer par (n, m) de inteiros não negativos — com exceção de (0, 0) ou qualquer par (1, m) ou (n, 1) — fornece um contraexem- plo. Por exemplo, n � 2 e m � 3: (2 • 3)! � 6! � 720, mas 2! • 3! � 2 • 6 � 12. � n! r!(n� r)! � ¢n r ≤ � (r � n�r)(n�1)! r!(n� r)! � r(n�1)! r!(n�r)! � (n� r)(n�1)! r!(n� r)! � r(n�1)! r(r �1)!(n�r)! � (n�1)!(n�1) r!(n� r)(n�r�1)! � (n�1)! (r�1)! 3(n�1)�(r�1) 4 !� (n�1)! r!(n�1�r)! ¢n�1 r�1 ≤ � ¢n�1 r ≤ � n! (n� r)! 3n�(n� r) 4!� ¢ nn� r≤ ¢n r ≤ � n! r!(n � r)! � n! (n� r)!r! � n! (n�1)! 3n�(n�1) 4 !� ¢ nn�1≤ ¢n 1 ≤ � n! 1!(n �1)! � n � n! (n�1)!1! Livro 1_Demana_A.indb 427 23/1/2013 14:09:20