Prova de Cálculo II - Gabarito e Questões, Provas de Cálculo para Engenheiros

Baixe Prova de Cálculo II - Gabarito e Questões e outras Provas em PDF para Cálculo para Engenheiros, somente na Docsity! Prova de Cálculo II – Exemplos e Gabarito Questão 1 (a) Calcule, caso exista, . Se não existir, justifique. (b) Considere a função . (b1) Encontre o domínio de f e faça um esboço do domínio. (b2) Faça um esboço das curvas de níveis −1,0 e 1 de f. (b3) Calcule a derivada direcional de f no ponto (1,1) na direção (−1,2). Questão 2 Considere a função f(x,y) = x3 + 2xy + y2 − 5x. Encontre e classifique (mínimo local, máximo local ou ponto de sela) todos os pontos críticos de f. Questão 3 (a) Seja ψ : R → R uma função derivável de uma variável real e defina g(x,y) = ψ(x/y). Verifique que xgx(x,y) + ygy(x,y) = 0 para todo (x,y) ∈ R2 tal que y 6= 0. (b) Encontre as equações do plano tangente e da reta normal ao gráfico de f(x,y) = x2 + 3xy + y2 no ponto P = (1,1,5). Questão 4 Seja f(x,y) = 1 + y + xcos(y). (a) Encontre o polinômio de Taylor de ordem 1 de f no ponto (0,0). Chame este polinômio de P(x,y). (b) Forneça uma estimativa (valor numérico) para o erro cometido ao aproximar f(x,y) por P(x,y) na região R = {(x,y) ∈ R2 : |x| ≤ 0.2 e |y| ≤ 0.2}, isto é, estime |f(x,y) − P(x,y)| para (x,y) ∈ R. Horário das 10:10 às 11:50 1. ( 1.a) Escrevemos lim f(x,y) = L (se existir!), onde P→P0 • Se nos aproximarmos de P0 pela família de retas que passam pela origem: y = kx com k 6= 0 (justifique por que k deve ser não nulo!) Teremos: f calculada para FAzendo o limite nestes caminhos temos que limites com valores distintos para diferentes valores de k conclui-se que o limite não existe. 1. ( b1) Esboço: todo o plano menos o eixo y 1 1. ( b2) Curvas de nível . Faça as continhas dos níveis k = −1,k = 0,k = 1. No desenho abaixo deve-se retirar o ponto (0,0). Justifique isso. 1. ( b3) Temos que a derivada direcional de f na direção unitária u é dada por: − 4 − 2 2 4 − 4 − 2 2 4 0 − 3 − 2 − 1 1 2 3 − 3 − 2 − 1 1 2 3 0 k =1 k =0 k = − 1