Prova exame unificado de Física (EUF) 2017-2, Provas de Física

Baixe Prova exame unificado de Física (EUF) 2017-2 e outras Provas em PDF para Física, somente na Docsity! EUF Exame Unificado das Pós-graduações em F́ısica Para o segundo semestre de 2017 04 de abril de 2017 Parte 1 Instruções • Não escreva seu nome na prova. Ela deverá ser identificada apenas através do código. • Esta prova contém problemas de: mecânica clássica, mecânica quântica, f́ısica moderna e termodinâmica. Todas as questões têm o mesmo peso. • O tempo de duração desta prova é de 4 horas. O tempo mı́nimo de permanência na sala é de 90 minutos. • Não é permitido o uso de calculadoras ou outros instrumentos eletrônicos. • Resolva cada questão na folha correspondente do caderno de respostas. As folhas serão reorganizadas para a correção. Se precisar de mais espaço, utilize as folhas extras do caderno de respostas. Não esqueça de escrever nas folhas extras o número da questão (Qx) e o seu código de identificação. Folhas extras sem essas informações não serão corrigidas. Use uma folha extra diferente para cada questão. Não destaque a folha extra. • Se precisar de rascunho, use as folhas identificadas como rascunho, que se encontram no fim do caderno de respostas. Não as destaque. As folhas de rascunho serão descartadas e questões nelas resolvidas não serão consideradas. • Não escreva nada no formulário. Devolva tanto o caderno de questões quanto o formulário ao fim da prova. O formulário será utilizado novamente na prova de amanhã. Boa prova! Q1. A aceleração da gravidade g pode ser medida com razoável precisão usando-se um pêndulo simples que consiste de um corpo de massa m preso a um fio de massa despreźıvel e compri- mento l . (a) Encontre a expressão do peŕıodo do pêndulo em função dos seus parâmetros. (b) Um grupo de estudantes foi ao laboratório para obter uma medida precisa da aceleração da gravidade no local. Para isso construiu um pêndulo simples com uma massa metálica presa ao teto do laboratório por um fio fino. A massa metálica tem a forma de uma esfera de raio r = 8,00±0,05 cm e massa m = 10,0±0,1 kg presa ao fio de forma que em repouso o centro de massa da esfera fica a 4,00±0,02 m do teto. A massa do fio é 7,4±0,2 g. O peŕıodo de oscilação foi medido para diferentes deslocamentos iniciais laterais entre 5,0 ± 0,1 e 10,0 ± 0,1 cm. Os estudantes determinaram que nesse intervalo de deslocamentos laterais o peŕıodo não depende da posição inicial, dentro da incerteza experimental e que o pêndulo realizou 10 oscilações completas em 40,0± 0,5 s. Determine o valor de g encontrado, com a incerteza experimental. Considere, se necessário, ⇡2 = 9,86960. Q2. Dois corpos, cada um de massa M , estão ligados por uma corda uniforme inextenśıvel de comprimento l. O corpo A está sobre uma mesa uniforme e o corpo B está pendurado na lateral, a corda passando por uma polia de raio despreźıvel sem atrito, como mostrado na figura. Despreze o atrito entre A e a mesa. M M x y A B θ (a) Encontre a aceleração comum dos corpos, se o ângulo ✓ é mantido constante e igual a zero e a massa da corda é despreźıvel. (b) Considere agora o movimento mais geral em que o ângulo ✓ também pode variar. Suponha que ✓ é sempre menor que ⇡/2 e que o corpo B nunca toca na mesa. Escreva a Lagrangiana do sistema e as equações de movimento (não tente resolver as equações). Mostre que recuperamos o resultado do item (a) se fizermos ✓ = 0. (c) Suponha agora que ✓ é novamente mantido constante e igual a zero, mas a corda tem massa não despreźıvel m. Escreva a Lagrangiana do sistema e as equações de movimento. Não é necessário resolver as equações. 1 Q6. Dois aros circulares finos encontram-se no plano xy de um sistema de coordenadas, ambos com centro na origem. Um aro tem raio b e uma densidade linear de carga elétrica < 0 e o outro tem raio 2b e uma densidade linear de carga elétrica 2 > 0. (a) Calcule o potencial eletrostático V (z) no ponto P = (0,0,z). (b) Calcule o vetor campo elétrico E(z) no ponto P = (0,0,z). (c) Escreva a equação da segunda lei de Newton para uma part́ıcula de carga q > 0 e massa m, restrita a se mover ao longo do eixo z e sujeita ao campo elétrico do item (b). Além da força elétrica, nenhuma outra força atua sobre a part́ıcula. (d) Calcule a frequência de pequenas oscilações para a part́ıcula do item (c) na vizinhança de z = 0. Dica: linearize a força em torno de z = 0. Q7. Uma onda eletromagnética plana monocromática que se propaga no vácuo com polarização circular é descrita, em notação complexa, pelo campo elétrico Ẽ(r,t) = E0ei(kz!t)(x̂+ iŷ), onde ! = ck é a frequência angular, c é a velocidade da luz no vácuo, k é o número de onda, E0 é uma amplitude real e i = p 1. (a) Encontre o campo elétrico real (f́ısico) E(r,t). (b) Encontre o campo magnético real (f́ısico) B(r,t) usando as equações de Maxwell. Se prefe- rir, utilize r ! ik. (c) Calcule a densidade de momento linear da onda eletromagnética g = ✏0E⇥B. (d) Calcule a densidade de momento angular da onda eletromagnética ` = r ⇥ g. Dica: use coordenadas ciĺındricas r = ⇢⇢̂+ zẑ. Q8. Um elétron com energia cinética Ecin = 22 eV colide com um átomo de hidrogênio que se encontra inicialmente no estado fundamental. Apenas uma parte da energia do elétron inci- dente é transferida para o átomo, que passa para um estado excitado com número quântico n. Decorrido um intervalo de tempo t após a colisão, o átomo decai para o estado fundamental, emitindo um fóton com energia igual a 10,2 eV. (a) Usando a aproximação não relativ́ıstica, determine o comprimento de onda de de Broglie do elétron incidente. (b) Determine o número quântico n do estado excitado do átomo de hidrogênio. (c) Calcule a incerteza na energia do fóton emitido sabendo que t = 108 s. (d) Justifique a aproximação não relativ́ıstica utilizada no item (a). 1 Q9. Considere um sistema quântico cujo espaço de Hilbert é gerado por uma base ortonormal de 3 estados |1i, |2i e |3i. Um estado genérico do sistema pode ser representado nessa base através de um vetor coluna 0 @ x y z 1 A, onde x, y e z são coeficientes complexos. A Hamiltoniana do sistema, por sua vez, pode ser representada nessa mesma base através de uma matriz quadrada complexa H = 0 @ E1 0 0 0 E2 M23 0 E3 1 A . (a) Qual é o valor do único elemento da matriz H que está faltando? Qual é o valor da parte imaginária de E3? (b) Um certo observável A atua sobre os estados da base da seguinte forma A|1i = 2|1i, A|2i = 2|2i, A|3i = |3i. Escreva a matriz que representa A nessa base. Este observável pode ser medido simultanea- mente com a energia? Justifique. (c) Quais são os autovalores de energia do sistema? (d) Suponha que E1 = 1, E2 = E3 = 3 e M23 = 1 e que o sistema seja preparado no instante t = 0 no estado 0 @ 0 1 0 A. Encontre o estado para t > 0. Q10. Considere um sistema formado por N ı́ons magnéticos localizados de spin 1 em contato com um reservatório térmico à temperatura T . O sistema é descrito de forma simplificada pelo Hamiltoniano H = D NX i=1 2i h NX i=1 i, onde i é a projeção z (adimensional) do spin i, que pode assumir os valores 0,+1 e 1, h > 0 é um campo magnético externo e D > 0 é um termo de anisotropia. (a) Determine a função de partição do sistema. (b) Determine a energia livre de Helmholtz por ı́on como função da temperatura. (c) Determine a energia interna por ı́on como função da temperatura. (d) Suponha agora que h = 0. Determine o calor espećıfico como função da temperatura. 2