provas e gabaritos raciocínio logico e matemática de nive médio, Exercícios de Matemática

Baixe provas e gabaritos raciocínio logico e matemática de nive médio e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! 21 anos de Egetelfei<to em APROVAÇÃO RLM | Prof2: Marluce Coutinho Sumário. Raciocínio Lógico Matemático................................................................................................................................................. Proposição........................................................................................................................................................................... Proposição aberta e proposição fechada:........................................................................................................................ Tipos de proposições........................................................................................................................................................ Representação de proposições:....................................................................................................................................... Valor Lógico de uma proposição:..................................................................................................................................... Princípios que regem o estudo de proposições................................................................................................................ Operadores lógicos.............................................................................................................................................................. Tabela Verdade................................................................................................................................................................ Negação:.......................................................................................................................................................................... Conjunção:....................................................................................................................................................................... Disjunção inclusiva: (ou) v................................................................................................................................................ Disjunção Exclusiva: (ou exclusivo: ou... ou...)................................................................................................................. Condicional ou Implicação: (Se, então) ......................................................................................................................... Condição Necessária e Condição Suficiente..................................................................................................................... Bicondicional (Dupla implicação): (Se e somente se ) ................................................................................................... Leis de De Morgan............................................................................................................................................................... Primeira lei de De Morgan:.............................................................................................................................................. Segunda lei de De Morgan............................................................................................................................................... Operações Lógicas................................................................................................................................................................ Conjunção:....................................................................................................................................................................... Disjunção: (ou) v.............................................................................................................................................................. Disjunção Exclusiva: (ou exclusivo: ou... ou...)................................................................................................................. Condicional: (se, então)................................................................................................................................................... Bicondicional: (se e somente se).................................................................................................................................... Tautologia, contradição e contingência:............................................................................................................................ Tautologia:..................................................................................................................................................................... Contradição:................................................................................................................................................................... 2 policial Disjunção exclusiva v (ou... ou...) Ou p ou q Ou Ana é professora ou Maria é policial Implicação ou Condicional  (se... então) Se p então q Se chover então eu levo guarda chuva. Dupla implicação ou Bicondicional  (se e somente se) p se e somente se q Eu levo o guarda chuva se e somente se chover Tabela Verdade É um dispositivo utilizado para determinar o valor lógico de uma proposição composta, analisando as possíveis combinações de cada uma das suas proposições. O número de linhas da tabela-verdade dependerá do número de proposições simples que compõe a proposição composta e será sempre: 2n linhas {Porquê? É necessário julgar cada valor lógico de cada proposição (V ou F) e fazer todas as combinações com as demais proposições.} O valor lógico da proposição dependerá do conectivo que está sendo usado na proposição. Ex.: Comprei laranjas e maçãs. p: Comprei laranjas. q: Comprei maças. p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Negação: A negação de uma proposição consiste em negar o que foi dito na proposição. Ex: p: Marcos é feio. ~p: Marcos não é feio. {A negação não será o inverso, o oposto, mas sim todos os casos diferentes do que está sugerindo. Não podemos dizer Marcos é bonito.} O valor lógico da negação de uma proposição é o inverso do valor da proposição. p ~p V F F V OBS: Para negar uma proposição, acrescentamos o não na proposição. Para negar uma negação, excluímos o não. Ex.: p: Malu é morena. ~p: Malu não é morena. ~(~p): Malu é morena. A negação de uma negação é uma afirmação. Conjunção: A conjunção de duas (ou mais) proposições induz a ideia de simultaneidade da veracidade das proposições. É utilizado o conectivo “e” e pode ser representado pelo símbolo “ ^ ” . Seu valor lógico é a verdade quando ambas forem verdadeiras e a falsidade nos demais casos. 5 Ex.: Eu estudei e fui aprovado. p: Eu estudei. q: Eu fui aprovado. p q p ^ q V V V V F F F V F F F F Disjunção inclusiva: (ou) v A disjunção inclusiva de duas (ou mais) proposições induz a ideia de veracidade de, pelo menos, uma das proposições. É utilizado o conectivo “ou” e pode ser representado pelo símbolo “ v ” . Seu valor lógico é a verdade quando alguma delas for verdadeiras e a falsidade quando ambas forem falsas. Ex.: O presente de natal será uma meia ou uma camiseta. p: O presente de natal será uma meia q: O presente de natal será uma camiseta p q p v q V V V V F V F V V F F F OBS: cuidado com a linguagem coloquial! Comumente usa-se o “ou” para representar a escolha de uma das opções. O “ou” lógico vale para uma opção, outra opção e as duas opções. Disjunção Exclusiva: (ou exclusivo: ou... ou...) A disjunção exclusiva de duas (ou mais) proposições induz a ideia de veracidade de apenas uma das proposições. É utilizado o conectivo “ou... ou...” e pode ser representado pelo símbolo “ v ” . Seu valor lógico é a verdade quando apenas uma das proposições for verdadeira e a falsidade quando ambas forem falsas ou ambas verdadeiras (ou seja, tiverem o mesmo valor lógico). Ex.: Ou eu compro um carro ou eu compro uma moto. p: Eu compro um carro. q: Eu compro uma moto. p q p v q V V F V F V F V V F F F Condicional ou Implicação: (Se, então)  A condição (ou implicação) entre proposições induz a ideia de dependência entre elas. Assim, a validade da primeira é condição para a verificação da validade da segunda. São utilizados os conectivos “Se, então” e pode ser representado pelo símbolo “  ” . Seu valor lógico é a falsidade somente quando a primeira proposição é verdadeira e a segunda é falsa. Nos demais casos, é verdadeira. Ex.: Se chover então eu levo o guarda- chuva. p: Chover. (Condição suficiente) q: Levar guarda-chuva. (Condição necessária) p q p  q V V V V F F F V V 6 F F V Casos em que p é falso: Eu não posso afirmar nada caso a minha primeira proposição seja falsa. Ou seja, eu posso “levar o guarda-chuva” ou não. A lógica diz que, se uma condição nunca se cumpre, então não se podem verificar suas consequências. Se a hipótese for falsa (p), o valor lógico da proposição sempre será verdadeiro. OBS: em alguns casos, a vírgula substitui o “então”: Se chover, levo o guarda-chuva. Condição Necessária e Condição Suficiente p  q: p é condição SUFICIENTE para q (basta p acontecer para que q aconteça). q é condição NECESSÁRIA para p (basta ocorrer q para saber que aconteceu p). OBS: Dada uma proposição condicional p  q, temos que: RECÍPROCA: q  p CONTRÁRIA OU INVERSA: ~p  ~q Bicondicional (Dupla implicação): (Se e somente se )  A bicondicional (ou dupla implicação) entre proposições também estabelece uma ideia de dependência entre as proposições. Contudo, o valor lógico é verdadeiro sempre que ambas possuírem o mesmo valor lógico. Ou seja: é verdadeiro quando ambas forem falsas ou ambas forem verdadeiras. São utilizados os conectivos “Se e somente se” e pode ser representado pelo símbolo “  ” . Ex.: Eu irei para a praia se e somente se eu tirar férias no verão. p: Irei para a praia q: tirar férias no verão. p q p  q V V V V F F F V F F F V Obs: Uma Bicondicional pode ser escrita como duas condicionais. Podemos “separar” as setas e ambas as condições têm que ser verdadeiras. Ou seja: p  q  (p  q) ^ (q  p)  Essas sentenças são equivalentes, possuem o mesmo valor lógico. Resumindo: Proposição composta Verdadeira se... Falsa se... E (conjunção) p ^ q Ambas são V Pelo menos uma for F OU (disjunção) p v q Pelo menos uma for V Ambas são F OU... OU... p v q Apenas uma for V Ambas for V ou F 7 Qual a única forma de me chamar de mentiroso? Choveu e eu saí sem guarda-chuva! A dependência é para as duas proposições: Se eu tirei férias no verão, então fui para a praia. SE eu fui para a pr ia, então tirei férias no verão. p q p  q ~q ~p ~q  ~p V V V F F V V F F V F F F V V F V V F F V V V V Mais exemplos: Se as aves voam, então a galinha voa. A estrutura lógica é dada por: p → q A negação da condicional é dada pelo uso do E e se nega apenas a segunda parte da estrutura. Assim: ~ (p → q) = p ∧ ~q Por exemplo:  A negação de “Se as aves voam então a galinha voa” é dada por: (As aves voam) E Não (a galinha voa), Que pode ser convertido para As aves voam e a galinha não voa, ou ainda, As aves voam, mas a galinha não voa. Bicondicional: (se e somente se) Para negar uma bicondicional, usa-se a disjunção exclusiva (ou... ou...) Ou seja: ~ (p  q)  p v q Ex.: Eu irei para a praia se e somente se eu tirar férias no verão. p: Irei para a praia q: Tirar férias no verão. ~ (p  q): Ou irei para a praia ou vou tirar férias no verão. p q p  q ~ (p  q) p v q V V V F F V F F V V F V F V V F F V F F Alguns cuidados:  A negação de era o mais jovem não é era o mais velho e sim não era o mais jovem.  A negação de futebol me dá alegria não é futebol me dá tristeza e sim futebol não me dá alegria.  Alguns termos são equivalentes. Por exemplo, “nem” significa “e não”: Não gosto de praia nem de cinema. É igual a: Não gosto de praia e não gosto de cinema. Resumindo: Proposição composta Negação E (conjunção) p ^ q ~p v ~q OU (disjunção) p v q ~p ^ ~q OU... OU... p v q p ^ q ou ~p ^ ~q Se, então (condicional) p  q p ^ ~q Se e somente se (bicondicional) P  q p v q 10 Tautologia, contradição e contingência: Tautologia: O valor lógico da proposição é sempre verdade, independente do valor lógico das proposições componentes. Ex. João estuda ou ele não estuda. p p p ~p p  p V F V F V V Contradição: O valor lógico da proposição é sempre falso, independente do valor lógico das proposições componentes. Ex. João estuda e não estuda. p p p ~p p  p V F F F V F Contingência (ou Indeterminadas): Não são Tautologias nem Contradição. Ou seja, todas aquelas que o resultado pode ser V ou F dependendo do valor lógico das proposições que a compõem. p p p ~p p  p V F F F V V Proposições equivalentes ou Equivalência Lógica: São proposições equivalentes (ou logicamente equivalentes) aquelas formadas pelas mesmas proposições simples e os resultados das tabelas verdades são iguais. Podemos dizer que proposições equivalentes são maneiras diferentes de dizer a mesma coisa. Usa-se o símbolo ≡ para representar a equivalência. Exemplo: Se eu estudo, então 7 não é primo. Verificar a equivalência: p q ≡ p q p q ≡ ~(p ~q) p q ~p ~q ~p v q pq p ^ ~q ~(p^~q ) V V F F V V F V V F F V F F V F F V V F V V F V F F V V V V F V  p  q : Eu não estudo ou 7 não é primo. ~(p ^ ~q): Nego que eu estudo e 7 é primo. Equivalências importantes: 1. p  q  ~ q  ~ p (Contrapositiva) 2. p  q  ~ p v q Ex: Se chover então eu levo o guarda- chuva. ~q  ~p : Se não levo guarda-chuva então não choveu. ~ p v q : Não choveu ou eu levo guarda-chuva. p q pq ~ q ~ p ~q~p ~p v q V V V F F V V V F F V F F F F V V F V V V F F V V V V V 11 Obs: Para saber qual equivalência utilizar, deve-se analisar o enunciado da questão. A contrapositiva (1) transforma um “Se, então” em outro; já a segunda equivalência (2) transforma um “Se, então” em “OU”. Proposições categóricas: Proposições categóricas são aquelas que contêm quantificadores lógicos (Algum, todo, nenhum...) Quantificadores Lógicos: Universais: Expressa a ideia de todo, totalidade. Símbolo: x (para todo x; para qualquer elemento x; qualquer que seja x) Ex.: Todo homem é esperto. Existenciais: Expressa a ideia de existência. Afirma que, pelo menos um elemento tem aquela característica. Símbolo:  x (Existe x tal que, para algum elemento x, para algum x) Ex.: Existe número primo par. Negações de Quantificadores: Ex.: Todo homem é esperto. Negação: Algum homem não é esperto. Para negar essa proposição, basta encontrar pelo menos um homem que não é esperto. Troca o quantificador e nega o restante da proposição. Ex.: Existe número primo par. (algum número primo é par) Negação: Todo número primo não é par. Para negar essa proposição, precisamos garantir que tudo seja negado, pois a afirmação diz que pelo menos um número primo é par. Então, para negar, precisamos afirmar que todos os primos não são pares. Troca o quantificador e nega o restante da proposição. Resumindo: Quantificador Negação Equivalência Diagrama Todo p é q Algum p não é q Pelo menos um p não é q Existe p que não é q Nenhum p não é q. Nenhum p é q Algum p é q Pelo menos um p é q Existe p que é q Todo p não é q. Algum p é q Nenhum p é q Não existe p que é q Pelo menos um p é q Existe p que é q 12