Baixe Provas Felix Calculo 4 UTFPR e outras Provas em PDF para Matemática, somente na Docsity! UNIVERSIDADE TECNOLÓGICA FEDERAL DE PARANÁ Campus Curitiba - Sede Centro Departamento Acadêmico de Matemática - DAMAT SEMESTRE CÓDIGO DISCIPLINA TURMA CURSO 2016-1 MA74C Cálculo 4 B S21 Engenharias Professor Avaliações Sala, Local e Data Questões Duração Félix Pedro Q. Gómez Todas J-15 CT, 01/07/2016 Quinze 15:30 - 23:00 1 Primeira Avaliação: E-301; CT, 07/04/2016 1. Encontre a expansão em série de Fourier complexa da função f : R → R definida por, f(x) = 0 se − π < x < 0;1 se 0 < x < π. 2. Expandir a função f : R → R tal que f(x) = x no intervalo [0, 2] em séries de senos e em séries de cossenos. Esboçar os gráficos correspondentes. 3. Se tivermos, f(x) = a0 + ∞∑ n=1 ( an cos nπ x L + bn sen nπ x L ) , encontre a substituição apropriada para encontrar que, φ(t) = f ( t L π ) = a0 + ∞∑ n=1 (an cosn t+ bn senn t) . 4. Some a série trigonométrica, utilizando a expansão em série de Fourier da função f(x) = |x| em [−π, π] ∞∑ n=0 cos(2n+ 1)x (2n+ 1)2 . 5. Encontre a função solução u : [0, π]× [0, T [→ R de classe C2 do problema com T > 0, ∂tu(x, t) = α 2 ∂2xu(x, t), 0 < x < π, 0 < t < T ∂xu(0, t) = ∂xu(π, t) = 0, 0 ≤ t ≤ T, u(x, 0) = x, 0 ≤ x ≤ π, onde α = √ 5, pelo método de Fourier e faça um resumo da dedução da solução. 2 Segunda Avaliação: E-108 CT, 25/05/2016 1. Dada a função real definida por, f(x) = 1 se 0 < x < 10 se x ≥ 1 Mostre utilizando a integral de Fourier em cossenos, que, em 0 < x < 1, 1 = 2 π ∫ ∞ 0 senω cosωx ω dω 2. Calcular a seguinte integral, I = ∫ ∞ 0 e−k ω 2 t cosω xdω, da seguinte forma. Calcular a derivada parcial ∂xI, e logo integre por partes. 3. Encontre a solução do problema de Dirichlet no semiplano, ∂2xu(x, y) + ∂ 2 yu(x, y) = 0, −∞ < x < ∞ y > 0 u(x, 0) = 1 se 0 < x0 se x < 0 , u(x, y) é limitado quando y → ∞ u(x, y) e ∂xu(x, y) se anulam quando |x| → ∞. Utilize o teorema de convolução para transformadas de Fourier. 4. Considere a equação de Laplace num quadrante, ∂2xu(x, y) + ∂ 2 yu(x, y) = 0, 0 < x < ∞, y > 0 u(0, y) = g(y), ∂yu(x, 0) = 0 0 ≤ x < ∞ 0 ≤ y Aplicar a transformada de Fourier em senos na variável y para obter a seguinte EDO, ∂2 ∂y2 U(ω, y)− ω2U(ω, y) = − √ 2 π ω g(y) ∂ ∂y U(ω, 0) = 0 e lim y→∞ U(ω, y) = 0 Resolver a EDO não homogênea para U(ω, y). 2
