Questões Resolvidas Exame Unificado de Física 2015-1, Provas de Física

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Uma casca ciĺındrica, também dielétrica, de raio b > a, com eixo comum ao cilindro, tem uma densidade de carga superficial uniforme e negativa σ, de forma que a carga total do cilidro mais casca, em certo comprimento, é zero, e portanto σ = −ρa2/2b. Calcule o campo elétrico ~E(r) para as regiões r < a, a < r < b e b < r sendo r a distância ao eixo do cilindro. b) Considere em seguida que o conjunto cilindro mais casca se move para a direita com ve- locidade ~v. O movimento dá origem a uma corrente elétrica I = πa2ρv no cilindro maciço, para a direita e uniformemente distribuida na seção reta, de forma que a densidade de corrente fica sendo dada por ~J = ρ~v. Da mesma forma, a casca em movimento dá origem a uma cor- rente de mesma intensidade I, mas em sentido contrário (para a esquerda). Calcule a indução magnética ~B para as regiões r < a, a < r < b e b < r. a σ ρ b Q2. O campo elétrico de uma onda plana monocromática no vácuo é dado por ~E(z,t) = (E1 x̂+ E2 ŷ)ei(kz−ωt). onde x̂ e ŷ são versores cartesianos nas direções x e y, respectivamente, e E1 e E2 são constantes. a) Encontre a indução magnética ~B(z,t). b) Mostre que o campo elétrico e a indução magnética são ortogonais entre si. c) Encontre o vetor de Poynting da onda. Q3. Considere um gás de moléculas diatômicas com frequência de oscilação ω e momento de inércia I. À temperatura ambiente, as energias dos estados moleculares vibracionais são muito maiores do que kBT . Portanto, a maioria das moléculas se encontra no estado vibracional de menor energia. Por outro lado, a energia caracteŕıstica dos estados rotacionais é muito menor do que kBT . A energia rotacional-vibracional E(n,`) do estado de uma molécula diatômica é caraterizada pelo número quântico n, para a energia vibracional, e pelo número quântico `, para a energia rotacional. a) Escreva E(n,`) para n = 0 e ` qualquer. b) Suponha que uma molécula sofra uma transição de um estado inicial com n = 0 e ` qual- quer para um estado excitado com n = 1. Determine as duas energias totais permitidas para a molécula após a transição, lembrando que a regra de seleção impõe ∆` = ±1. Calcule a diferença de energia entre esses dois estados permitidos e o estado inicial, bem como as respectivas frequências de transição. c) Considere o estado da molécula no qual n = 0 e ` qualquer. Sabendo que a degenerescência do estado é 2`+ 1, determine a população do estado rotacional-vibracional, N(E), como função de E, a partir da distribuição de Boltzmann. 1 d) Obtenha a energia ES e o momento angular LS do sistema satélite-part́ıcula, depois da colisão, em termos de m0 e das grandezas que caracterizam o movimento do satélite antes da colisão. Q8. Seja o estado do spin de um elétron dado por |ψ〉 = α ( |z+〉 − √ 2 2 |z−〉 ) |z+〉 = ( 1 0 ) , |z−〉 = ( 0 1 ) . Lembrando que os operadores de spin Ŝx, Ŝy, Ŝz podem ser escritos em termos das matrizes de Pauli como Ŝ = ~ ~σ/2 (veja formulário), onde Ŝx|x+〉 = + ~ 2 |x+〉, Ŝx|x−〉 = −~ 2 |x−〉, Ŝy|y+〉 = + ~ 2 |y+〉, Ŝy|y−〉 = −~ 2 |y−〉, Ŝz|z+〉 = + ~ 2 |z+〉, Ŝz|z−〉 = −~ 2 |z−〉, a) Qual é o valor de α ∈ R para que |ψ〉 fique normalizado? b) Qual é a probabilidade de se medir −~/2 para o spin na direção z? c) Qual é a probabilidade de se medir +~/2 para o spin na direção x? d) Qual é o valor esperado do spin no plano y = 0 em uma direção de 450 entre os eixos x e z? Q9. Seja o operador  associado a um certo observável f́ısico A de um sistema satisfazendo [Â,Ĥ] 6= 0, onde Ĥ é um operador hamiltoniano independente do tempo. Sejam agora os autovetores normalizados, φ+, φ−, e autovalores correspondentes, a+, a− (a+ 6= a−) de Â: Âφ+ = a+φ+, Âφ− = a−φ−, com φ+ = u+ + u−√ 2 , φ− = u+ − u−√ 2 onde Ĥu+ = E+u+, Ĥu− = E−u− a) Calcule o valor esperado de  no estado φ+. b) Calcule a projeção de Ĥu+ no estado u−. c) Admitindo que o sistema esteja inicialmente em um estado arbitrário, ψ(0) escreva quanto valerá o estado ψ(t) em um instante posterior como função de Ĥ. d) Calcule o valor esperado do observável A no instante t = ~π/[3(E+−E−)] admitindo que o sistema esteja inicialmente no estado ψ(0) = φ+ e E+ 6= E−. Q10. Considere N osciladores harmônicos tridimensionais clássicos não-interagentes, de massa m e frequência angular ω, em contato com um reservatório térmico à temperatura T . a) Escreva a hamiltoniana do sistema e obtenha a função de partição canônica. b) Obtenha o valor médio da energia por oscilador. Qual a capacidade térmica do sistema? 2 E 4 la) Campo ELETRICO E(a) Para RAS , ale b E - CARGAS POSMVA vo comfemenço Li Cuz Q ma L . CARES RElAnUA VO Comiupuo LL CE TaTbl como 4 canta tom E zero [Cy = [€-| E o pá E Tab D+ Yes a «Sho ) pa 2! e VOO Cxsapro intervo DEMO À Simetria , E É conSTAME E TEM OuEçã PO. Aftichto A té de Gauss vA SwBrFÍcie Do Culto de Aeio néa Déda: fu - Soct O : do £o -4 E enupao É E lda ms base) do Ciurtdho = E (da - Esrnl (1) q RARE -. 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