Questões Resolvidas Matemática, Exercícios de Matemática

Baixe Questões Resolvidas Matemática e outras Exercícios em PDF para Matemática, somente na Docsity! Questões Matemática URCA 2021.1 Luiz Carlos Soares Fenandes [email protected] 19 de janeiro de 2022 1 Solução: Observe que foi dada a equação |x|3 + 4|x|2 + |x| − 6 = 0. Para a resolução da equação, precisamo primeira fazer uma substituição. A saber, tome: y = |x| Ora, substituindo, obtemos a y3 + 4y2 + y − 6 = 0 que é do terceiro grau na variável y. Perceba que os coeficientes são 1,4,1 e −6. É fácil ver conforme destacado na equação 1y3+4y2+1y−6= 0. Efetuando a oma de todo os coeficientes, obtemos 1+4+1−6 = 0 donde concluímos que y = 1 é solução, ou seja, basta substituir y = 1 em y3 + 4y2 + y − 6 = 0. É fácil ver: y = 1↔ (1)3 + 4(1)2 + (1)− 6 = 1 + 4 + 1− 6 = 0 Como y = 1 é raiz, vamos aplicar o teorema de D′Alembert. Ora, obtemos um polinômio q(y) = y2+5y+6, ou seja, y3+4y2+y−6 = (y− 1)(y2 + 5y+ 6). Devemos agora encontrar os zeros reais para a equação y2 + 5y + 6 = 0. 2 Perceba que a questão deixa claro que o sistema anterior é (SPD), ou seja, um sistema possível e determinado. Logo, possui única solução. Para a resolução dele, existe vários caminho. Usaremos o métodos de escalonamento de Gauss− Jordan. Vamos retirar a matriz ampliada, conforme vemos a seguir: −1 0 1 3 2 3 −1 1 1 4 −1 −1  Passo 1) Fazendo a troca da linha 3 pela linha 1, ou seja, L3 ↔ L1 temos 1 4 −1 −1 2 3 −1 1 −1 0 1 3  Passo 2) Fazendo a troca da linha 2 por 2 vezes a linha 1 menos a linha 2, ou seja, L2 ↔ 2L1 − L2 e a linha 3 por linha 1 mais a linha 3 , ou seja, L3 ↔ L1 + L3 temos  1 4 −1 −1 0 5 −1 −3 0 4 0 2  Passo 3) Fazendo a troca da linha 2 por linha 2 menos a linha 3, ou seja, L2 ↔ L2 − L3 temos  1 4 −1 −1 0 1 −1 −5 0 4 0 2  Passo 4) Fazendo a troca da linha 1 por linha 1 menos 4 vezes a linha 2, ou seja, L1 ↔ L1 − 4L2 e linha 3 por 4 vezes a linha 2 menos a linha 3, ou seja, L3 ↔ 4L2 − L3 temos  1 0 3 19 0 1 −1 −5 0 0 −4 −22  Passo 5) Fazendo a troca da linha 3 por−1 4 da linha 3, ou seja, L3 ↔ −1 4 L3 temos  1 0 3 19 0 1 −1 −5 0 0 1 11 2  5 Passo 6) Fazendo a troca da linha 1 por linha 1 menos 3 vezes a linha 3, ou seja, L1 ↔ L1 − 3L3 e linha 2 por 2 mais linha 3, ou seja, L3 ↔ L2 + L3 temos  1 0 0 5 2 0 1 0 1 2 0 0 1 11 2  De posse da matriz na forma escada, basta transformarmos numa equação linear. Daí, Efetuando a multiplicação, obtemos o sistema linear x = 5 2 y = 1 2 z = 11 2 Como o enunciado pede a soma dos elementos, temos: x+ y + z = 5 2 + 1 2 + 11 2 = 5 + 1 + 11 2 = 17 2 Portanto, a soma é x+ y + z = 17 2 . Logo, o item correto é item a). A figura a seguir traz um esboço gráfico do problema. 6 Solução: A questão nos fornece a equação f(x) = 1 x2+2 . É fácil ver que o domínio de f é dado por D(f) = R. Mas quero encontrar o conjunto imagem em que a função está definida. A ideia é trabalhar com a função inversa, fazendo um estudo de seu domínio. Para encontrar a função inversa, basta fazer a substituição de f(x) por x ex por f−1(x). x = 1 (f−1(x))2 + 2 Daí, x(((f−1(x))2 + 2) = 1 7 Solução: Primeiro, devemos relembrar os conceitos de relativos ao fato de uma figura plana ser inscritível e circunscritível. Uma figura plana e inscritível se seus vértices pertencem à uma mesma circunferência. Uma figura plana é circunscritível quando os lados são tangentes à uma mesma circunferência. 10 Outra coisa curiosa é que, quando uma figura plana é inscritível e cir- cunscritível ao mesmo tempo, ela é chamada de bicêntrica. Para a resolução da questão basta você pegar um contra exemplo. Para item a) Observe que a figura a seguir, temos dois trapézios,ambos equiláteros, porém um é inscritível e não circunscritível e o outro é inscritível e circunscritível, ou seja, bicêntrico. Logo, o item a) está incorreto, pois temos um contra exemplo. Para o item b) Perceba que o losango é circunscritível, mas não é inscritível 11 Logo, o item b) é incorreto. Para o item c) Perceba que o quadrado é circunscritível e inscritível. Logo, é bicêntrico. Logo, o item c) é correto. Para o item d) Perceba que o retângulo é inscritível, mas não é circuns- critível. 12 Solução: Para resolvermos a questão, basta aplicarmos a regra das torneiras. Po- demos estabelecer a seguinte relação: Caso 1) T1 = 1 6 t, onde t é o tempo gasto pela torneira T1 para encher o tanque. Caso 2) T2 = 1 8 t, onde t é o tempo gasto pela torneira T2 para encher o tanque. Note que a torneira T1 foi ligada durante 1 hora. Logo, ela enchei 1 6 do tanque. Falta encher 1 − 1 6 = 5 6 do tanque. Agora basta montar a equação. Daí, 1 6 t− 1 8 t = 5 6 Resolvendo, temos: 4t− 3t 24 = 5 6 t 24 = 5 6 t = 20 Observe que as duas torneiras ligadas enchem 5 6 do tanque em 20h. Po- rém, a torneira T1 já estava ligada uma horas antes. Logo, o tempo para que o tanque fiquei cheio é de 20h+1h = 21h. Portanto, o item correto é o item c). 15 Solução: Observe que foi dada a equação: 2 cos2 x+ cosx− 1 = 0 Para a resolução, devemos fazer a substituição de y = cosx donde obtemos: 2y2 + y − 1 = 0 Ora, A = 2, B = 1 e C = −1 4 = B2 − 4.A.C 4 = (1)2 − 4.(2).(−1) = 1 + 8 = 9 Devemos aplicar, agora na relação dada por: y = −B ± √ 4 2.A y = −1± √ 9 2.(2) = −1± 3 4 com y′ = −1 + 3 4 = 2 4 = 1 2 16 e y” = −1− 3 4 = −4 4 = −1 Como havíamos substituído y = cosx temos dois casos: cosx = 1 2 e cosx = −1 Devemos observar a tabela de ângulos notáveis pra auxiliar-nos na reso- lução. Observe que para termos cosseno igual a 1 2 , ou seja, um dos valores que x pode assumir é 600, ou seja, cos 600 = 1 2 . Daí, para encontrarmos todos os valores possíveis, temos: x = ±π 3 + 2kπ Observe que para termos cosseno igual a −1, ou seja, um dos valores que x pode assumir é 1800, ou seja, cos 1800 = −1. Daí, para encontrarmos todos os valores possíveis, temos: x = π + 2kπ O conjunto solução é dado por: S = {x ∈ R|x = π + 2kπ ou x = ±π 3 + 2kπ} Portanto, o item correto é o item b). 17 Observe que o polinômio é do terceiro grau, ou seja, escrevendo ele em função das raízes, temos: p(x) = a(x− x1)(x− x2)(x− x3) A questão forneceu 1 e 1 + i como raízes. Note que, uma das raízes é um número complexo. Logo, a outra é o seu conjugado, ou seja, 1 − i. De posse das raízes, sabemos que p(1) = 0, p(1 + i) = 0 e p(1 − i) = 0. Ora, substituindo as raízes temos: p(x) = a(x− 1)(x− (1 + i))(x− (1− i)) Desenvolvendo, temos: p(x) = a(x− 1)(x2 − x+ xi− x− xi+ 1− i+ i− i2) Observe que i2 = −1. p(x) = a(x− 1)(x2 − 2x+ 2) ora, p(x) = a(x3 − 3x2 + 4x− 2) O enunciado da questão deixou claro que p(−1) = 5. Substituindo x = −1 na equação anterior surge: p(−1) = a(−1)3 − 3(−1)2 + 4(−1)− 2 5 = a(−1− 3− 4− 2) 5 = −10a a = − 5 10 = −1 2 Substituindo na equação: p(x) = a(x3 − 3x2 + 4x− 2) temos p(x) = −1 2 (x3 − 3x2 + 4x− 2) Fazendo a distributiva surge p(x) = −1 2 x3 + 3 2 x2 − 2x+ 1 20 Portanto, o item correto é o item e). Solução: O enunciado nos fornece a inequação: ( 1 3 )log2(x−1) ≤ ( 1 3 ) log 1 2 (x−2) Como temos uma desigualdade de mesma base, ou seja, podemos escrever a = 1 3 → 0 < a < 1 (troca o sentido da desigualdade) log2(x− 1) ≥ log 1 2 (x− 2) Aplicando a mudança de base no segundo membro da inequação, temos: log2(x− 1) ≥ log2(x− 2) log2 1 2 = log2(x− 2) log2 2 −1 = log2(x− 2) −1 log2 2 = − log2(x− 2) Ora, log2(x− 1) ≥ − log2(x− 2) = log2(x− 2)−1 = log2 ( 1 x− 2 ) Note que temos log2(x− 1) ≥ log2 ( 1 x− 2 ) 21 Observemos alguns casos. A saber: caso 1) Condição de existência: x−1 > 0 e 1 x−2 > 0, ou seja, x > 2. Caso 2) Observemos que log2(x− 1) ≥ log2 ( 1 x− 2 ) Note que a base a = 2 > 0 a desigualdade permanece. Daí, x− 1 ≥ 1 x− 2 Ora, passando a fração que está no segundo membro para o primeiro, surge x− 1− 1 x− 2 ≥ 0 Daí, (x− 1)(x− 2)− 1 x− 2 ≥ 0 x2 − 2x− x+ 2− 1 x− 2 ≥ 0 x2 − 3x+ 1 x− 2 ≥ 0 Agora, devemos fazer o estudo do sinal de p(x) = x2− 3x+1 e q(x) = x− 2. Para p(x) = x2 − 3x + 1 surge que A = 1, B = −3 e C = 1 com 4 = B2 − 4AC = (−3)2 − 4.1.(1) = 9− 4 = 5.Substituindo em x = −B ± √ 4 2A temos x = −(−3)± √ 5 2.(1) = 3± √ 5 2 donde obtemos x1 = 3− √ 5 2 e x2 = 3 + √ 5 2 Como a função polinomial p(x) = x2 − 3x + 1 tem A = 1 > 0 segue que a concavidade é voltada para cima. Daí, 22 Solução: A questão nos forneceu a equação geral da elipse. A saber: 9x2 − 18x+ 4y2 + 8y − 167 = 0 Primeiro devemos completar os quadrados. Daí, 9(x2 − 2x) + 4(y2 + 2y) = 167 9(x2 − 2x+ 1) + 4(y2 + 2y + 1) = 167 + 9 + 4 9(x− 1)2 + 4(y + 1)2 = 180 Dividindo toda a equação por 180 temos: (x− 1)2 20 + (y + 1)2 45 = 1 Perceba que o segmento F1F2 é paralelo a Oy. O centro é C = (1,−1).Observe que a equação obtida é da forma (x− x0)2 b2 + (y − y0)2 a2 = 1 Donde tiramos que a2 = 45 com a = 3 √ 5, b2 = 20 com b = 2 √ 5. Lembre que, os focos da elipse nesse caso são dado por F1 = (x0, y0 + c) e 25 F2 = (x0, y0 − c). Devemos encontrar c. Veja que a2 = b2 + c2. Daí, c2 = a2 − b2 c2 = 45− 20− 25 c = ±5 Ora, c = 5. Os focos são F1 = (x0, y0 + c) = (1,−1 + 5) = (1, 4) e para o o foco F2 temos F2 = (x0, y0 − c) = (1,−1− 5) = (−1,−6) Para encontrarmos a excentricidade devemos aplicar a fórmula: e = c a Donde temos e = 5 3 √ 5 = 5 3 √ 5 . √ 5√ 5 = 5 √ 5 15 = √ 5 3 Observemos a figura a seguir: Portanto, o item correto o item a). 26 Solução: Observe que a questão está cobrando o conteúdo de sólidos, em particular o tetraedro. Daí, devemos lembrar quem em um tetraedro regular algumas relações são muito importantes. Observemos a figura a seguir: Observando a figura, temos as seguintes relações: Caso 1): Área total AT = a2 √ 3 Caso 2): Altura do Tetraedro regular ht = a √ 6 3 Caso 3): Altura relativa de cada face, ou seja, h = HN h = a √ 3 2 27