Resolução Cap. 7 hayt 8ªEd., Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução Cap. 7 hayt 8ªEd. e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! – Página 7.1 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO CAPÍTULO 07 CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 7.1) Calcular B no centro de uma espira quadrada de lado a percorrida por uma corrente I. Resolução: Os lados AB, BC, CD e DA da espira produzem campos magnéticos no mesmo sentido no ponto O (centro da espira). Portanto, o campo magnético total no ponto O ( TH ) será quatro vezes maior que aquele produzido por qualquer um dos lados da espira. DACDBCABT 4444 HHHHH ==== (01)
Cálculo de ABH (campo magnético produzido no ponto O pelo lado AB da espira): Lei de Biot-Savart: ∫ × = 2 R R 4 I π adL H , onde:          = I. de direcão a indica que ocompriment de ldiferencia elemento o é de versor um é R espira da centro aodx corrente de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é R dL Ra R R ; ; ;



(02)            = + +− == +=+−= .x 2 2 yx R 2 2 yx dx ; 4 x 2 x R ; 4 xR ; 2 x adL aa R a aaR a a aa





(03) – Página 7.2 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Substituindo (03) em (02), temos: ∫∫ − =         + =⇒         +       +−× = 2 a 2 a 22 a a a a x 2 3 2 z AB 2 3 2 yxx AB 4 x dx 2 4 I 4 x 4 2 x dx I a H aaa H π π

(04) Substituição de variáveis na integral:             =+ =      °=⇒= °−=⇒−= ⇒= θ θθ θ θ θ 22 2 44 x d 2 dx 45x 45x tg 2 x sec sec 22 aa a 2 a 2 a a Substituindo (05) em (04), temos: [ ] ( )[ ] zAB zABzAB z 45 45ABz 45 45 AB z 45 45 ABz 45 45 3 3 2 AB 2 I 2 2 2 2 2 2 I 4545 2 I 2 I d 2 I sec d 2 I sec 2 d sec 2 8 I aH aHaH aHaH aHaH a aa aa aa a a π ππ θ π θθ π θ θ π θ θθ π θ θ θθ =       +=⇒°−−°= =⇒= =⇒       = ° °−= ° °−= ° °−= ° °−= ∫ ∫∫ sensen sencos Substituindo (06) em (01), temos: zTzTABT I 22 2 I 24 4 aHaHHH aa ππ =⇒=⇒= (07)
Cálculo de TB : z o o a aBHB I 22 TTT π µ µ =⇒= (05) (06) – Página 7.5 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Cálculo de ABH :
Lei de Biot-Savart: ∫ × = 2 R R 4 I π adL H , onde:          = I. de direcão a indica que ocompriment de ldiferencia elemento o é de versor um é R P ponto ao corrente de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é R dL Ra R dL R ; ; ;



(02)          = + +−− == +=+−−= .y 22 zyx R 22 zyx dy ; 2y y R ; 2yR ; y adL aaaR a aaaR a aa a aa







(03) Substituindo (03) em (02), temos: z y 2 3 22 zAB y 2 3 22 zx AB 2 3 22 zyxy AB 2y( dy 4 I dy 2y( 4 I 2y( 4 ) y dy I aH aa H aaaa H ∫∫ ∫ −=−= + =⇒ + + = + +−−× = a a a a a a a a a aa )) )( ) ( ππ π


Substituição de variáveis na integral:             + = =     =⇒= =⇒−= ⇒= 22 2 2 1 2y y d 2dy y y tg 2y a a a a a θ θθ θθ θθ θ sen sec Substituindo (05) em (04), temos: z 2 1 zABz 2 1 zAB z 2 1 zABz 2 1 33 2 zAB 8 I d 8 I sec d 8 I sec 2 d sec 8 I aHaH aHaH θθ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θθ θ π θθ π θ θ πθ θθ π = = = = = = = =       =⇒= =⇒= ∫ ∫∫ sencos aa aa 2aa (05) (04) – Página 7.6 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO zzABzzAB zzABz -y 22 zAB 34 I 3 2 8 I 33 8 I 2y y 8 I aHaH aHaH aa a a a a a a a a a a a ππ ππ =⇒⋅=       − −⋅=⇒         + ⋅= = Substituindo (06) em (01), temos: zPzABP 3 I 4 aHHH aπ =⇒= 7.4) Seja [ ] m A y(xx y(xy y 22 x 22 aaH )) +++−= no plano z = 0. a) Determinar a corrente total passando através do plano z = 0, na direção za , no interior do retângulo 1x1 <<− e 2y2 <<− . b) Se o potencial magnético mV é nulo no vértice P(-1; -2; 0) do retângulo RSPQ, determinar mV no vértice R(1; 2; 0), utilizando um percurso que passa pelo vértice Q(1; -2; 0). Resolução: a) De acordo com a Lei Circuital de Ampère e com o Teorema de Stokes, temos: ( ) ( )∫∫∫∫ =•×∇=•⇒•×∇==• Ret. SRSPQS enl I I dSHdLHdSHdLH (01)
Cálculo do Rotacional: [ ] z 22 z 2222 z xy y4x4 y3xyx3 yx aHaH aH )()( HH +=×∇⇒−−−+=×∇         ∂ ∂ − ∂ ∂ =×∇ Substituindo (02) em (01), temos: z 2 2y 1 1x z 22 dxdy onde , y4x4I adSdSa =•+= ∫ ∫ −= −= )( (02) (06) – Página 7.7 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO [ ]A 3453 3 160 I 3 64 3 16 3 64 3 16 Iy 3 8 y 3 8 Idyy8 3 8 I dyy4 3 4 y4 3 4 Idyxy4 3 x4 I dxdy y4x4I dxdy y4x4I 2 2y 3 2 2y 2 2 2y 22 2 2y 1 1x 2 3 2 2y 1 1x 22 2 2y 1 1x zz 22 , )()( ==∴       +++=⇒      +=⇒      +=       +++=⇒         += +=⇒•+= −=−= −=−= −= −= −=−= −= ∫ ∫∫ ∫ ∫∫ ∫ aa b) VmRP = VmRQ + VmQP, onde ∫ •−= a b ab mV dLH (01) Trecho P→Q: [ ] [ ] [ ]A 3 52 V8 3 2 8 3 2 V x8 3 x2 Vdx yx yV dx yx x yx yV mQPmQP 1 1x 3 mQP Q P 2y 22 mQP Q P xy 22 x 22 mQP −=⇒−−−−=         −=⇒+−−= •+++−−= −=−= ∫ ∫ )( )()( aaa Trecho Q→R: [ ] [ ] [ ]A 3 28 V 3 8 2 3 8 2V 3 y yVdy yx xV dy yx x yx yV mRQmRQ 2 2y 3 mRQ R Q 1x 22 mRQ R Q yy 22 x 22 mRQ −=⇒−−−−=         −−=⇒+−= •+++−−= −== ∫ ∫ )( )()( aaa Substituindo (02) e (03) em (01), temos: [ ]A 6726 3 80 V 3 28 3 52 V mRPmRP ,=−=⇒−−= (02) (03) – Página 7.10 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO [ ] [ ]       = = ⇒=⇒+= =⇒=⇒=∴ A I 13 12 I A 13 I I I13II12II Logo, I12IR12R12 R R 2 1 111 1221 2 1 b) Lei Circuital de Ampère: enlI ∫ =• dLH
Cálculo de H para ρ < a: [ ] m A 26 I 2 I I 2I 1 2 1enl 222 aaa π ρ π ρ π ρπ ρπ =⇒=⇒⋅=⋅⇒=•∫ HHHdLH
Cálculo de H para a < ρ < 2a: [ ] m A 34 26 I 26 4 I4 I 3 ( I 13 12 13 I 2 4( ( II 2I 2 22 2 21enl )(H H ) H ) ) H 2 2 2 22 2 2 22 2 a a a aa a a aa a −=∴ −+ =⇒ − ⋅+=⋅ − − ⋅+=⋅⇒=•∫ ρ ρπ ρπ ρρ ρπ π ρπ ρπdLH
Cálculo de H para 2a <ρ < 3a: [ ] m A 2 I II 2I 21enl ρπ ρπ =⇒+=⋅⇒=•∫ HHdLH 7.7) Um cabo coaxial consiste de um fio central fino conduzindo uma corrente I envolvido por um condutor externo de espessura despresível a uma distância a conduzindo uma corrente na direção oposta. Metade do espaço entre os condutores é preenchido por um material magnético de permeabilidade µ e a outra metade com ar. Determinar B , H e M em todos os pontos do condutor. Resolução:
Cálculo de B :
Lei Circuital de Ampère para ρ < a: ( ) enlmatarenl I I ∫∫ =•+⇒=• dLHHdLH (01) – Página 7.11 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Mas       ==⇒= ≠⇒≠ φaBBB HH matar 2 N 1 N matar 2 N 1 N BB HH (02)      = = ⇒= matmat aroar HB HB HB µ µ µ (03) Substituindo (02) e (03) em (01), temos: φφρ µµ adLdL BB d onde , I o enl =•         += ∫ ( ) φ π πφ π φ φ µµπρ µµ π µ ρ π µ ρ φρ µ φρ µ φρ µµ aBBB a BB + ===⇒⋅+⋅= +=⇒•         += ∫∫∫ == o o matar o 2 0 oo I I d d I d I BB BB
Cálculo de H :
No ar: ( ) φ µµπρ µ µ aH B H + =⇒= o ar o ar I
No material magnético: ( ) φ µµπρ µ µ aH B H + =⇒= o o matmat I
Cálculo de M :
No ar: 0 arar o ar =⇒−= MH B M µ
No material magnético: ( ) ( ) φ φφ µµπρ µµ µπρπρµ µ µπρπρµ µ µ aM aaMH B M + − = + − + =⇒−= o o mat o o o matmatmat I I I – Página 7.12 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO 7.8) Uma película infinita de corrente com [ ] m A 10 x1 aK = estende-se no plano z = 0. Duas outras películas de corrente com [ ] m A 5 x32 aKK −== são colocadas nos planos z = h e z = -h. a) Determinar o campo vetorial H em todo o espaço; b) Determinar o fluxo magnético líquido que cruza o plano y = 0 na direção ya , entre 0 < x < 1 e 0 < z < 2h. Resolução: a) Campo magnético para um plano infinito: N 2 1 aKH ×= . Pela análise da figura acima, nota-se que, em qualquer ponto do espaço, o campo magnético terá a seguinte forma: 321 HHHH ++= , onde 321 e HHH , são os campos gerados pelas películas 321 e KKK , respectivamente. Portanto,      ×+×+×= 3 N3 2 N2 1 N1 2 1 aKaKaKH (01)
Cálculo de H para z > h: ( ) 0 5 5 10 2 1 zxzxzx =⇒×−×−×= HaaaaaaH
Cálculo de H para 0 < z < h: [ ] [ ]m A 5 5 5 10 2 1 yzxzxzx aHaaaaaaH −=⇒×−−×−×= )(
Cálculo de H para -h < z < 0: [ ] [ ]m A 5 5 5 10 2 1 yzxzxzx aHaaaaaaH +=⇒×−−×−−×= )()( – Página 7.15 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Portanto: z2 )-y( 4 I aH dπ = . para (y ≠ d) (07)
Cálculo de 3H : O segmento condutor localizado em x = 0 não pode gerar um campo magnético no ponto P, pois 03R3 =× adL .Logo, 03 =H (08) Substituindo (06), (07) e (08) em (01), temos: ( ) ( )    d dd ≠≠ +=⇒++= y z 0y zzz -y 4 I y 4 I 0 -y 4 I y 4 I aaHaaH ππππ a) Neste caso, 01 =H e )z2 ( 4 I aHH −== dπ b) Neste caso, 02 =H e z1 4 I aHH dπ == c) 0 4 I 2 4 I 2 zz21 =⇒−=⇒+= HaaHHHH dd ππ d) zzzz21 8 I 3 1 2 1 4 I 4 I 8 I aHaHaaHHHH dddd ππππ =⇒      +⋅=⇒+=⇒+= 7.10) Calcular B no ponto P(0; 0; 2a) gerado por uma espira circular de raio ρ = a, situada no plano xy, percorrida por uma corrente I no sentido horário e por um condutor filamentar passando pelo ponto (2a; 0; 0), conduzindo uma corrente I o sentido ya+ . Resolução: (01) x 2a condB a I I P (0; 0; 2a) espB z y condespP BBB += – Página 7.16 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO
Cálculo de B para a espira: Lei de Biot-Savart: ∫ × = 2 R R 4 I π adL H (02) onde:         = I. de direcão a indica que ocompriment de ldiferencia elemento o é de versor um é R (P) ponto ao de dirigido vetor o é R dL Ra R dLR ; ; ;



       = +− == =+−= .φ ρ ρ φ adL aaR a aaR d ; 5 2 R ; 5R ; 2 z R z a a aa





(03) Substituindo (03) em (02), temos: φ ππ φ ρ ρφ d 2 5 20 I 5 20 ) 2 d I zesp z esp ∫∫ +−=⇒ +−× = )( ()( aaH aaa H



aa a 2 (04) A inspeção da figura nos mostra que elementos de corrente diametralmente opostos produzem componentes radiais de campos que se cancelam. Portanto, espH possui somente componente na direção de za , reduzindo a equação (04) a: zespz 2 0 esp 10 I d 20 I aHaH

5a5a − =⇒ − = ∫ = π φ φ π (05) z o espespoesp 10 I aBHB 5a µ µ − =⇒=∴ (06)
Cálculo de B para o condutor: φ ρπ µ aB 2 Io cond = , onde ρφ aa ⊥ (07)                  + =∴       +− ×=⇒×= +− == =+−= 2 2 ; 2 ; 22 ; 2 2 zx zx yy zx zx aa a aa aaaaa aa a aa







a aa φ φρφ ρ ρ ρ ρρ (08) P dL I espH R a y z x – Página 7.17 – EXERCÍCIOS RESOLVIDOS DE ELETROMAGNETISMO CAPÍTULO 07 – CAMPO MAGNÉTICO ESTACIONÁRIO Substituindo (08) em (07), temos: )( zx o cond zxo cond 8 I 2 24 I aaB aa B



a a +⋅=⇒      + ⋅= π µ π µ (09) Substituindo (06) e (09) em (01), temos: ( )zx o Pxz o P zx o z o condespP 00490 03980 I 8 1 80 810 I 8 I 510 I aaBaaB aaaBBB






,, )( −⋅=⇒         +        − ⋅= +⋅+ − =+= a 5 5 a a a µ ππ πµ π µµ 7.11) a) Demonstrar, utilizando a lei de Biot Savart, que a expressão para o cálculo de um campo magnético H em um ponto P qualquer devido a um elemento de corrente de tamanho finito é dada por: ( ) φαα πρ aH 4 I 21 sensen += , onde ρ é a menor distância do ponto P ao elemento de corrente. b) Encontre a indução magnética B no centro de um hexágono regular de lado a, conduzindo uma corrente I. Resolução: a)
Lei de Biot-Savart: ∫ × = 2 R R 4 I π adL H , onde:          = I. de direcão a indica que ocompriment de ldiferencia elemento o é de versor um é R P ponto ao dz corrente de ldiferencia elemento do dirigido vetor o é R dL Ra R R ; ; ;



(01)          = + − == +=−= .z 22 z R 22 z dz ; z z R ; zR ; z adL aaR a aaR ρ ρ ρρ ρ ρ





(02) Substituindo (02) em (01), temos: φ ρ ρ π ρ ρπ ρ aH aaa H z( dz 4 I z( 4 ) z dz I 2 3 222 3 22 zz ∫∫ + =⇒ + −× = )) (

(03)