Resolução Capítulo 27 - Halliday, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução Capítulo 27 - Halliday e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 27 Capacitância 2 27.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 27.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 27.2.1 Capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 27.2.2 Cálculo da capacitância . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 27.2.3 Capacitores em paralelo e em série . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 27.2.4 Armazenamento de energia num campo elétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 27.2.5 Capacitor com um dielétrico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 10 27.2.6 Os dielétricos e a lei de Gauss . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 27 Capacitância 27.1 Questões Q 27-3. Uma folha de alumı́nio de espessura desprezı́vel é colo- cada entre as placas de um capacitor, como mostra a Fig. 27-18. Que efeito ela produzirá sobre a ca- pacitância se (a) a folha estiver eletricamente isolada e (b) a folha estiver ligada à placa superior? I (a) Como a folha é metálica, aparecerão cargas in- duzidas em ambos lados dela, transformando assim o capacitor original em uma associação em série de dois capacitores cuja distância entre as placas é a metade da distância original “d”: Cc/folha = 1 1 0A/(d/2) + 10A/(d/2) = 0A d/2 + d/2 = 0A d . Esta capacitância coincide com a capacitância origi- nal. Logo, não existe alteração da capacitância pela introdução da folha metálica a meia distância. (b) O efeito é reduzir a distância d, entre as placas, pela metade. Ou seja, duplicar a capacitância original. Q 27-6. Considere um capacitor de placas paralelas, com placas quadradas de área A e separação d, no vácuo. Qual é o efeito qualitativo sobre sua capacitância, de cada uma das seguinte operações: (a) Reduzir d. (b) Introduzir uma placa de cobre entre as placas, sem tocá-las. (c) Du- plicar a área de ambas as placas. (d) Duplicar a área de apenas uma das placas. (e) Deslizar as placas paralela- mente uma à outra, de modo que a área de superposição seja, digamos, 50% do seu valor original. (f) Duplicar a diferença de potencial entre as placas. (g) Inclinar uma das placas de modo que a separação permaneça d numa das extremidades, mas passe a d/2 na outra. I (a) A capacitância aumenta. Para verificar isto, use a relação C = ε0A/d. (b) A capacitância aumenta. Para verificar esta afirmação, note que a nova capacitância dada pela relação C = ε0A/(d− t), onde d é a distância entre as placas e t é a espessura da placa introduzida. O efeito é pequeno quando t for muito menor que d. Tudo se passa como se a nova distância entre as placas fosse (d− t). (c) A capacitância dobra. (d) A carga sobre a placa maior se distribuirá numa área maior. Portanto, a densidade de carga sobre a placa maior é σ/2, onde σ é a densidade de carga sobre a placa menor. O campo elétrico deixará de ser uniforme e, como as linhas de força ficam afastadas, concluı́mos que o campo elétrico torna-se menor e a diferença de poten- cial também diminui. Como C = q/V , concluı́mos que a capacitância aumenta. Contudo este efeito é muito pequeno. (e) Como a área torna-se igual A/2, sendo A a área inicial, concluı́mos que a capacitância se reduz aprox- imadamente a 50% do valor inicial (a capacitância não se reduz exatamente a 50% do valor inicial devido ao efeito de borda). (f) O valor de C permanece inalterado. A carga também dobra. (g) A capacitância aumenta. Pense numa associação em paralelo de capacitores, sendo que para cada capacitor a distância entre as placas vai diminuindo de d até d/2. Ao diminuir a distância entre as placas, a capacitância de cada capacitor vai aumentando. Donde se conclui que a capacitância total é bastante maior do que a ca- pacitância do capacitor de placas paralelas. Q 27-14. Um objeto dielétrico experimenta uma força lı́quida quando é submetido a um campo elétrico não-uniforme. Por que não há uma força lı́quida quando o campo é uni- forme? I Num campo elétrico uniforme a polarização também é uniforme, de modo que o dielétrico funciona como se fosse um corpo carregado apenas na sua superfı́cie ex- terna. A carga total é nula, ou seja, as cargas superficiais são iguais e contrárias. Portanto, a força total que age sobre o dielétrico é igual a zero. Q 27-17. Um capacitor de placas paralelas é carregado por meio de uma bateria que, logo a seguir, é retirada. Uma http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 a taxa de variação da capacitância C com a temperatura T é dada por dC dT = C ( 1 A dA dT − 1 x dx dT ) , onde A é a área de cada placa e x a separação entre as placas. (b) Se as placas forem de alumı́nio, qual deverá ser o coeficiente de expansão térmica dos separadores a fim de que a capacitância não varie com a temperatura? (Ignore o efeito dos separadores sobre a capacitância.) I (a) A capacitância C é uma função de duas varáveis: (i) da área A das placas e (ii) da distância x entre as placas: C = 0 A x . Portanto, a disciplina de Cálculo nos ensina que as variações da capacitância C com a temperatura T são determinadas pela equação dC dT = ∂C ∂A dA dT + ∂C ∂x dx dT . Calculando-se as derivadas parciais, encontramos ∂C ∂A = 0 x = C A , ∂C ∂x = −0A x2 = −C x , que, substituidas da expressão para dC/dT acima, nos fornecem dC dT = ∂C ∂A dA dT + ∂C ∂x dx dT = C A dA dT − C x dx dT = C ( 1 A dA dT − 1 x dx dT ) , que é o resultado pedido. (b) Da Eq. 19-9 sabemos que a variação ∆L de um com- primento L qualquer quando submetido a uma variação ∆T de temperatura é dado pela equação ∆L = Lα∆T, onde α é o chamado ‘coeficiente de expansão térmica’ do material em questão. Esta equação pode também ser re-escrita como 1 L ∆L ∆T = αs onde αs já representa agora o valor do coeficiente de expansão térmica do separador. Analogamente (veja o Exercı́cio 19-37), a variação ∆A de uma área A em função de uma variação ∆T de tem- peratura pode ser escrita como 1 A ∆A ∆T = 2αAl, onde αAl = 46 × 10−6 /oC representa o coeficiente de expansão térmica do alumı́nio (veja a Tabela 19-3) de que são feitas as placas, e o fator 2 leva em conta a bidi- mensionalidade das áreas. Para que a capacitância não varie com temperatura é preciso que dC/dT = 0, ou seja, que 1 A dA dT − 1 x dx dT = 2αAl − αs = 0, onde consideramos variações ∆A e ∆T infinitesimais. Da igualdade mais à direita vemos que, para evitar variações de C com T , o coeficiente de expansão térmica dos separadores deverá ser escolhido tal que αs = 2αAl = 92× 10−6 /oC. 27.2.3 Capacitores em paralelo e em série E 27-15. Quantos capacitores de 1 µF devem ser ligados em par- alelo para acumularem uma carga de 1 C com um po- tencial de 110 V através dos capacitores? I Para poder armazenar 1 C a 110 V a capacitância equivalente do arranjo a ser construido deverá ser: Ceq = q V = 1 110 ' 9091 µF. Para uma conexão em paralelo sabemos que Ceq = n C onde C é a capacitância individual de cada capacitor a ser usado. Portanto, o número total de capacitores será: n = Ceq C = 9091 µF 1 µF = 9091. E 27-16. Na Fig. 27-24, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha C1 = 10 µF, C2 = 5 µF e C3 = 4 µF. I Os capacitores C1 e C2 estão em paralelo, formando um capacitor equivalente C12 que, por sua vez, está em série com C3. Portanto, a capacitância equivalente total é dada por Ceq = C12 × C3 C12 + C3 = (10 + 5)× 4 (10 + 5) + 4 = 60 19 ' 3.15 µF. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 E 27-17. Na Fig. 27-25, determine a capacitância equivalente da combinação. Suponha C1 = 10 µF, C2 = 5 µF e C3 = 4 µF. I Os capacitores C1 e C2 estão em série. Portanto C12 = 1 1 10 + 1 5 = 10 3 µF. O capacitor equivalente total é dado pela ligação em par- alelo de C12 e C3: Ceq = 10 3 + 4 = 10 3 + 12 3 = 22 3 ' 7.33 µF. E 27-18. Cada um dos capacitores descarregados na Fig. 27-26 tem uma capacitância de 25 µF. Uma diferença de po- tencial de 4200 V é estabelecida quando a chave é fechada. Quantos coulombs de carga passam então através do amperı́metro A? I Basta usar a fórmula q = Ceq V , onde Ceq é o ca- pacitor equivalente da ligação em paralelo, Ceq = 3C, onde C = 25 µF, e V = 4200 Volts. Portanto, a carga total medida é q = 3× 25× 10−6 × 4200 = 315 mC. P 27-19. Uma capacitância C1 = 6 µF é ligada em série com uma capacitância C2 = 4 µF e uma diferença de po- tencial de 200 V é aplicada através do par. (a) Calcule a capacitância equivalente. (b) Qual é a carga em cada capacitor? (c) Qual a diferença de potencial através de cada capacitor? I (a) A capacitância equivalente é Ceq = 1 1/6 + 1/4 = 24 4 + 6 = 12 5 µ F. (b) A carga no capacitor equivalente é q = Ceq V = 12× 10−6 5 × 200 = 0.48× 10−3 C. Como os capacitores estão em série, este valor é o módulo da carga que está sobre cada uma das placas dos dois capacitores. Ou seja, q1 = q2 = 0.48 mC. (c) V1 = q1 C1 = 0.48× 10−3 6× 10−6 = 80 Volts, e V2 = q2 C2 = 0.48× 10−3 4× 10−6 = 120 Volts. P 27-26. A Fig. 27-28 mostra dois capacitores em série, cuja seção central, de comprimento b, pode ser deslocada verticalmente. Mostre que a capacitância equivalente dessa combinação em série é independente da posição da seção central e é dada por C = 0A a− b . I Chamando-se de d a distância entre as placas da parte superior da figura, obtemos as seguintes expressões para as capacitâncias individuais de cada um dos dois capac- itores: C1 = 0A d , C2 = 0A a− b− d . Ligando-os em série obtemos Ceq = 1 1 C1 + 1C2 = 1 d 0A + a−b−d0A = 0A a− b . Desta expressão vemos que a capacitância equivalente não depende de d, ou seja, não depende da posição da seção reta central. P 27-28. Na Fig. 27-29, os capacitores C1 = 1 µF e C2 = 3 µF são ambos carregados a um potencial V = 100 V mas com polaridades opostas, como é mostrado. As chaves S1 e S2 são, então fechadas. (a) Qual é a diferença de potencial entre os pontos a e b? (b) Qual é a carga sobre C1? (c) Qual é a carga sobre C2? I (a) Após as chaves serem fechadas as diferenças de potencial são as mesmas e os dois capacitores estão em paralelo. A ddp de a até b é Vab = Q/Ceq , one Q é a carga lı́quida na combinação e Ceq é a capacitância equivalente. A capacitância equivalente é Ceq = C1 + C2 = 4× 10−6 F. A carga total na combinação é a carga lı́quida sobre cada par de placa conectadas. A carga sobre o capacitor 1 é q1 = C1V = (1× 10−6)(100 V) = 1× 10−4 C http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 e a carga sobre o capacitor 2 é q2 = C2V = (3× 10−6)(100 V) = 3× 10−4 C, de modo que a carga lı́quida sobre a combinação é (3− 1)× 10−4 C = 2× 10−4 C. Portanto, a diferença de potencial pedida é Vab = 2× 10−4 C 4× 10−6 F = 50 V. (b) A carga no capacitor 1 é agora q1 = C1Vab = (1× 10−6)(50) = 5× 10−5 C. (c) A carga no capacitor 2 é agora q2 = C2Vab = (3× 10−6)(50) = 1.5× 10−4 C. P 27-29. Quando a chave S, na Fig. 27-30, é girada para a esquerda, as placas do capacitor C, adquirem uma diferença de potencial V0. Os capacitores C1 e C2 estão inicialmente descarregados. A chave é, agora, girada para a direita. Quais são as cargas finais q1, q2 e q sobre os capacitores correspondentes? I As cargas nos capacitores 2 e 3 são as mesmas, de modo que eles podem ser substituidos por um capacitor equivalente dado por 1 Ceq = 1 C2 + 1 C3 = C2 + C3 C2C3 . Portanto Ceq = C2C3/(C2 +C3). A carga no capacitor equivalente é a mesma que em qualquer um dos capac- itores da combinação. A diferença de potencial através do capacitor equivalente é q2/Ceq. A diferença de po- tencial através do capacitor 1 é q1/C1, onde q1 é a carga em C1. A diferença de potencia através da combinação dos ca- pacitores 2 e 3 tem que ser a mesma diferença de poten- cial através do capacitor 1, de modo que q1 C1 = q2 Ceq . (a) Quando fechamos a chave pela segunda vez, parte da carga originalmente no capacitor 1 flui para a combinação de 2 e 3. Sendo q0 é a carga original, a lei da conservação da carga nos fornece q1 + q2 = q0 = C1V0, (b) onde V0 é a diferença de potencial original através do capacitor 1. Da Eqs. (b) tiramos que q2 = C1V0 − q1 que, quando substituida na Eq. (a), fornece q1 C1 = C1V0 − q1 Ceq , que, finalmente, nos fornece q1: q1 = C21 V0 Ceq + C1 = C11 V0 C2C3 C2+C3 + C1 = C21 (C2 + C3)V0 C1C2 + C1C3 + C2C3 . As cargas nos capacitores 2 e 3 são q2 = q3 = C1V0 − q1 = C1V0 − C21 (C2 + C3)V0 C1C2 + C1C3 + C2C3 = C1C2C3V0 C1C2 + C1C3 + C2C3 . I Segunda solução: Considere a figura abaixo: As cargas iniciais estão indicadas à esquerda de cada ca- pacitor. As cargas finais estão indicadas à direita de cada capacitor. Inicialmente, podemos escrever a seguinte relação: q = C1V0. De acordo com a Lei da Conservação da Carga, ao conectarmos os capacitores C2 e C3, a carga total−q no condutor, X indicado na figura da solução deste prob- lema, deve permanecer constante. Logo, −q = −q1 − q3 Donde se conclui que http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 de onde tiramos facilmente que q2 = 32π2R4p ( 1− R 3 0 R3 ) = 32π20pR(R 3 −R30). I Em outras palavras: As forças que atuam sobre o elemento de área da bolha carregada são causadas pelas seguintes pressões: (a) A pressão do gás pg do interior da bolha (atuando de den- tro para fora), (b) A pressão atmosférica p (atuando de fora para dentro), (c) A tensão eletrostática mencionada no Problema 27-12 (atuando de dentro para fora). No equilı́brio, como a soma das forças é igual a zero, can- celando a área comum considerada, podemos escrever: pg + 0E 2 2 = p. (∗) De acordo com o enunciado do problema, temos: pg = V0 V p = 4 3πR 3 0 4 3πR 3 p = R30 R3 p. O campo elétrico da distribuição de cargas esferica- mente simétrica existente na superfı́cie da bolha é dado por E = 1 4π0 q R2 . Substituindo-se pg e E na Eq. (*) acima obtemos R30 R3 p+ 0 2 ( 1 16π220 q2 R4 ) = p de onde se tira facilmente que o valor pedido é q2 = 32π20pR(R 3 −R30). 27.2.5 Capacitor com um dielétrico E 27-53. Dado um capacitor de 7.4 pF, cheio de ar, pedimos convertê-lo num capacitor que armazene 7.4 µJ com uma diferença de potencial máxima de 652 V. Qual dos dielétricos listados na Tabela 27-2 poderia ser usado para preencher a lacuna de ar do capacitor? I Com o dielétrico dentro, a capacitância é dada por C = κC0, onde C0 representa a capacitância antes do dielétrico ser inserido. A energia armazenada é dada por U = 1 2 CV 2 = 1 2 κC0V 2. Portanto, κ = 2U C0V 2 = 2 (7.4× 10−6) (7.4× 10−12)(652)2 = 4.7. Da Tabela 27-2 vemos que poderı́amos usar pirex para preencher a lacuna do capacitor. E 27-56. Um cabo coaxial usado numa linha de transmissão tem um raio interno de 0.1 mm e um raio externo de 0.6 mm. Calcular a capacitância por metro de cabo. Suponha que o espaço entre os condutores seja preenchido compolie- stireno. I Usando as Eqs. 27-14 e 27-30 encontramos que a ca- pacitância do cabo é C = κCar = κ 2π0L ln(b/a) . Portanto, por unidade de comprimento temos C̃ ≡ C L = κ 2π0 ln(6/1) = 80.7 pF/m. onde usamos κ = 2.6 (que corresponde ao poliestireno, veja Tabela 27-2, pág. 101). P 27-57. Uma certa substância tem uma constante dielétrica de 2.8 e uma rigidez dielétrica de 18 MV/m. Se a usar- mos como material dielétrico num capacitor de placas paralelas, qual deverá ser a área mı́nima das placas para que a capacitância seja de 7 × 10−2 µF e para que o capacitor seja capaz de resistir a uma diferença de po- tencial de 4 kV? I A capacitância é C = κC0 = κ0A/d, onde C0 é a capacitância sem o dielétrico, κ é a constante dielétrica do meio, A a área de uma placa e d a separação das pla- cas. O campo elétrico entre as placas é E = V/d, onde V é a diferença de potencial entre as placas. Portanto, d = V/E e C = κ0AE/V , donde tiramos A = CV κ0E . Para que esta área seja mı́nima, o campo elétrico deve ser o maior possı́vel sem que rompa o dielétrico: A = (7× 10−8 F)(4× 103 V) 2.8 (8.85× 10−12 F/m)(18× 106 V/m) = 0.63 m2. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 10 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 P 27-64. Um capacitor de placas paralelas, de área A, é preenchido com dois dielétricos como mostra a Fig. 27- 35 na pág. 111. Mostre que neste caso a capacitância é dada por I O valor pedido corresponde à capacitância C do ca- pacitor equivalente da ligação em série de C1 = κ10 A d/2 e C2 = κ20 A d/2 , cuja única diferença é o dielétrico: 1 C = d/2 κ10A + d/2 κ20A = d/2 0A κ1 + κ2 κ1κ2 . Portanto C = 20A d ( κ1κ2 κ1 + κ2 ) . Solução alternativa: I O campo elétrico uniforme para cada uma das ca- madas dielétricas entre as placas do capacitor é dada por E1 = q/A κ10 e E2 = q/A κ20 . Sabemos que C = q/V , onde V = V1 + V2 = d 2 E1 + d 2 E2. Portanto C = q d 2 (E1 + E2) = 2q d ( q/A κ10 + q/Aκ20 ) = 20A d ( κ1κ2 κ1 + κ2 ) . Note que, no caso de um capacitor no ar (sem os dielétricos), temos κ1 = κ2 = 1 e a relação acima se reduz a C = 0A/d, conforme esperado. Quando os dois dielétricos forem iguais, isto é, para κ1 = κ2 = κ, a relação anterior também fornece o resultado esperado: C = κ0A/d. 27.2.6 Os dielétricos e a lei de Gauss E 27-66 Um capacitor de placas paralelas tem uma capacitância de 100 pF, placas de área igual a 100 cm2 e usa mica como dielétrico (κ = 5.4). Pra uma diferença de po- tencial de 50 V, calcule: (a) E na mica; (b) o módulo da carga livre sobre as placas, e (c) o módulo da carga superficial induzida. I (a) O campo elétrico na região entre as placas é E = V/d, onde V é a diferença de potencial entre as placas e d a separação das placas. Como C = κ0A/d, onde A é a área de uma placa e κ a constante dielétrica, temos que d = κ0A/C e, portanto, que E = V d = V C κ0A = 50 (100× 10−12) 5.4 (8.85× 10−12)(100× 10−4) = 1× 104 V/m. (b) A carga livre nas placas é q` = V C = (100× 10−12)(50) = 5× 10−9 C. (c) O campo elétrico é produzido por ambas cargas, livre e induzida. Como campo devido a uma camada grande e uniforme de carga é q/(20A), o campo entre as placas é E = q` 20A + q` 20A − qi 20A − qi 20A . O primeiro termo deve-se c̀arga livre positiva em uma das placas, o segundo deve-se à carga livre negativa na outra placa, o terceiro deve-se à carga induzida positiva em uma das superfı́cies do dielétrico o quarto deve-se à carga induzida negativa na outra superfı́cie do dielétrico. Observe que o campo devido a carga induzida é oposto ao campo devido à carga livre, de modo que eles tendem a cancelar-se. A carga induzida é, portanto, qi = q` − 0AE = 5× 10−9 C −(8.85× 10−12)(100× 104)(1× 104) C = 4.1× 10−9 C = 4.1 nC. P 27-71 http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 11 de 12 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 Uma lâmina dielétrica de espessura b é introduzida en- tre as placas de um capacitor de placas paralelas de separação d. Mostre que a capacitância é dada por C = κ0A κd− (κ− 1)b . (Sugestão: Deduza a fórmula seguindo o modelo do Exemplo 27-10.) Esta fórmula prevê o resultado numérico correto do Exemplo 27-10? Verifique que a fórmula está de acordo com os casos especiais quando b = 0, κ = 1 e b = d. I Seja E um campo elétrico na região vazia e Ed o campo elétrico no interior do dielétrico. Da Eq. 27- 32 sabemos que Ed = E/κ. Portanto, observando a Fig. 27-17 que corresponde à situação deste problema, vemos que a diferença de potencial através do capacitor é dada por V = xE + bEd + (d− b− x)E, ou seja V = (d− b+ b κ )E. Como sabemos queE = q/(A0) (veja Eq. 27-7), segue que V = q A0κ [ κd− (κ− 1)b ] , donde tiramos sem dificuldades que, realmente, C ≡ q V = κ0A κd− (κ− 1)b . Note que este resultado não depende da posição exata da lâmina dentro do dielétrico. A lâmina tanto poderá estar tocando qualquer uma das placas como estar no meio delas, sem que se altere o valor acima. Tanto para b = 0 quanto para κ = 1 a relação anterior fornece corretamente a capacitância no vácuo, ou seja, C = 0A/d. Quando b = d, situação em que o dielétrico preenche totalmente o espaço entre as placas do capacitor, a ex- pressão acima também fornece o resultado correto, a saber, C = κA0/d. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 12 de 12