Resolução Capítulo 28 - Halliday, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução Capítulo 28 - Halliday e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 28 Corrente e Resistência 2 28.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28.2.1 Corrente elétrica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28.2.2 Densidade de corrente . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 28.2.3 Resistência e resistividade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 28.2.4 Energia e potência em circuitos elétricos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 28 Corrente e Resistência 28.1 Questões Q 28-1. I No estado estacionário não pode existir nenhuma carga livre no interior da superfı́cie fechada. Portanto, a taxa de variação da carga que entra (corrente que en- tra) deve ser exatamente igual à corrente que sai. Ou seja, a integral de J · dA ao longo da superfı́cie externa do corpo é igual a zero. Isto será sempre verdade, in- dependentemente do número de condutores que entram ou que saem da superfı́cie considerada. Como a Lei de Gauss também pode ser aplicada no estado estacionário, concluı́mos que o fluxo elétrico também não pode variar através da superfı́cie externa do corpo. Q 28-19. I Este aparente paradoxo possui solução trivial. Você não pode comparar situações diferentes, ou seja, você deve especificar a(s) grandeza(s) que permanece(m) constante(s) em cada situação concreta. Mantendo-se V fixo, a potência P varia de acordo com a relação P = V 2/R. Mantendo-se i fixo, a potência P varia de acordo com a relação P = Ri2. Caso ocorra uma variação simultânea de i e de V , a potência P só pode ser determinada mediante o cálculo integral; neste caso, você não poderá usar nenhuma das duas relações anteri- ores. 28.2 Problemas e Exercı́cios 28.2.1 Corrente elétrica E 28-1. Uma corrente de 5 A percorre um resistor de 10 Ω du- rante 4 minutos. (a) Quantos coulombs e (b) quantos elétrons passam através da secção transversal do resis- tor neste intervalo de tempo? I (a) A carga que passa através de qualquer secção transversal é o produto da corrente e o tempo. Como 4 minutos correspondem a 4× 60 = 240 segundos, temos q = it = 5× 240 = 1200 C. (b) O número de elétrons é dado por q = N e, onde e é a magnitude da carga de um elétron. Portanto N = q/e = (1200 C)/(1.60× 10−19 C) = 7.5× 1021 elétrons. E 28-3. Uma esfera condutora isolada tem um raio de 10 cm. Um fio transporta para dentro dela uma corrente de 1, 0000020 A. Um outro fio transporta uma corrente de 1, 0000000 A para fora da esfera. Quanto tempo levaria para que o potencial da esfera sofresse um aumento de 1000 V? I Suponha que a carga na esfera aumente de ∆q num tempo ∆t. Então neste tempo seu potencial aumenta de ∆V = ∆q/(4π0r), onde r é o raio da esfera. Isto significa que ∆q = 4π0 r∆V . Porém ∆q = (ientra − isai) ∆t. Portanto ∆t = ∆q ientra − isai = 4π0r∆V ientra − isai = (0.10 m)(1000 V) (9× 109 F/m)(1.0000020 A− 1 A) = 5.6× 10−3 s. 28.2.2 Densidade de corrente E 28-5. Um feixe contém 2 × 108 ı́ons positivos duplamente carregados por cm3, todos movendo-se para o norte com velocidade de 1 × 105 m/s. (a) Quais são o módulo, a direção e o sentido da densidade de corrente J? (b) Podemos calcular a corrente total i neste feixe de ı́ons? Em caso negativo, que informações adicionais são necessárias? I (a) A magnitude da densidade de corrente é dada por J = nqvd, onde n é o número de partı́culas por unidade de volume, q é a carga de cada partı́cula, e vd é a ve- locidade de deriva das partı́culas. A concentração das partı́culas é n = 2× 108 cm−3 = 2× 1014 m−3 a carga é q = 2e = 2(1.60 × 10−19 C) = 3.20 × 10−19 C, e a velocidade de deriva é 1× 105 m/s. Portanto J = (2× 1014 m−3)(3.2× 10−19 C) ( 1× 105m s ) = 6.4 A/m2. Como as partı́culas estão carregadas positivamente, a densidade de corrente está na mesma direção do movi- mento: para o norte. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 Quando uma barra metálica é aquecida, varia não só sua resistência, mas também seu comprimento e a área de sua seção transversal. A relação R = ρL/A sugere que todos os três fatores devem ser levados em conta na medida de ρ em temperaturas diferentes. (a) Quais são, para um condutor de cobre, as variações percentu- ais em R, L a A quando a temperatura varia de 1 grau centı́grado. (b) Que conclusões podemos tirar daı́? O coeficiente de dilatação linear do cobre é 1.7 × 10−5 por grau centı́grado. I (a) Seja ∆T a variação de temperatura e β o co- eficiente de expansão linear do cobre. Então, ∆L = βL∆T e ∆L L = β∆T = (1.7× 10−5)×∆T = 1.5× 10−5 = 0.0017 %. Agora, como sabemos que a áreaA é proporcional a L2, qualquer que seja o valor da constante de proporcional- idade, temos sempre que ∆A A = 2L ∆L L2 = 2 ∆L L = 2β∆T. Como R = R(ρ, L,A), uma variação arbitrária de R é dada por ∆R = ∂R ∂ρ ∆ρ+ ∂R ∂L ∆L+ ∂R ∂A ∆A. Da relação R = ρL/A obtemos facilmente que ∂R ∂ρ = L A = R ρ , ∂R ∂L = ρ A = R L , ∂R ∂A = −ρL A2 = −R A . Além disto, da Eq. 28-16, pg. 120, sabemos que ∆ρ/ρ = α ∆T , onde α é o coeficiente de temperatura da resistividade do cobre que, segundo a Tabela 28-1, pg. 119, é dado por α = 4.3× 10−3 por grau. Portanto ∆R R = ρ ρ + ∆L L − ∆A A = (α+ β − 2β)∆T = (α− β)∆T = (4.3× 10−3 − 0.017× 10−3)× 1 = 0.428 % ' 0.43 %. (b) A mudança percentual na resistividade é muito maior que a mudança percentual no comprimento e na área. Mudanças no comprimento e na área afetam a resistência muito menos do que mudanças na resistivi- dade. P 28-42. Um resistor tem a forma de um tronco circular reto (Fig. 28-20). Os raios da base são a e b e a altura é L. Para uma inclinação suficientemente pequena, podemos supor que a densidade de corrente é uniforme através de qualquer seção transversal. (a) Calcular a resistência deste objeto. (b) Mostre que sua resposta se reduz a ρL/A para o caso especial b = a. I (a) Em cada secção do cone circula uma mesma cor- rente i, porém a densidade J é diferente. Chamando de x a distância a partir da face superior do cone, pode- mos expressar o campo elétrico E(x) em cada secção em função da corrente i e usá-lo para achar a diferença de potencial total V através do cone. Então, a resistência será R = V/i. Assumindo que a densidade J de cada secção é uni- forme podemos escrever i = ∫ J dA = πr2 J , onde r é o raio da secção. Sabemos ainda que J = E(x)/ρ. Portanto, i = πr2 E(x)/ρ, de onde obtemos E(x) = iρ/(πr2). O raio r cresce linearmente com a distância x, de r = a para x = 0, até r = b para x = L. Assim sendo, da equação da reta que passa por estes pontos, encontramos r(x) = a+ b− a L x que, realmente, para x = 0 fornece r = a enquanto que para x = L fornece r = b. Substituindo este valor de r na expressão acima para o campo temos E(x) = i ρ π [ a+ b− a L x ]−2 . A diferença de potencial é então dada por V = − ∫ L 0 E(x) dx = − i ρ π [ a+ b− a L x ]−2 dx = i ρ π L b− a [ a+ b− a L x ]−1∣∣∣L 0 = i ρ π L b− a [1 a − 1 b ] = i ρ π L b− a b− a ab = i ρL πab . http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 Com isto tudo, segue facilmente que a resistência é R = V i = ρL πab . (b) Para b = a temos R = ρL πa2 = ρ L A , onde A = πa2 é a área do cilindro ao qual o cone se reduz, coincidindo neste caso com a Eq. 28-15 da pag. 119, como era de se esperar. 28.2.4 Energia e potência em circuitos elétricos E 28-44. Um estudande deixou seu rádio portátil de 9 V e 7 W ligado das 9 horas às 14 horas. Que quantidade de carga passou através dele? I A corrente que circulou no rádio era de i = P V = 7 9 = 0.78 Ampères. Portanto, a quantidade de carga que passou através do radio em 5 horas é q = it = 7 9 (5× 3600 segundos) = 14 kCoulombs. E 28-45. Um determinado tubo de raios-X opera na corrente de 7 mA e na diferença de potencial de 80 kV. Que potência em Watts é dissipada? I A potência dissipada pelo tubo de raios-X é P = i V = 7× 10−3 × (80× 103) = 560 W. E 28-46. A taxa de dissipação de energia térmica num resistor é igual a 100 W quando a corrente é de 3 A. Qual é o valor da resistência envolvida? I Da fórmula P = i2R obtemos que a resistência en- volvida é R = P i2 = 100 32 = 11.11 Ω. E 28-48. Uma diferença de potencial de 120 V é aplicada a um aquecedor cuja resistência é de 14 Ω, quando quente. (a) A que taxa a energia elétrica é transformada em calor? (b) A 5 centavos por kW·h, quanto custa para operar esse dispositivo durante 5 horas? I (a) A taxa de transformação de energia elétrica em calor é P = V 2 R = 1202 14 = 1028 W ' 1 kW. (b) o custo de operação do dispositivo é Custo = 1 kW× 5 horas× 5 centavos kW·hora = 25 centavos. P 28-56. Um aquecedor de 1250 W é cosntruido para operar sob uma tensão de 115 V. (a) Qual será a corrente no aque- cedor? (b) Qual é a resistência da bobina de aqueci- mento? (c) Que quantidade de energia térmica é gerada pelo aquecedor em 1 hora? I (a) A corrente no aquecedor é i = P V = 1250 115 = 10.87 A. (b) A resistência da bobina de aquecimento é R = V i = 115 10.87 = 10.58 Ω; R = P i2 = 1250 (1250/115)2 = 1152 1250 = V 2 P = 10.58 Ω. (c) A quantidade de energia térmica gerada é E = P t = 1250× 3600 = 4.5× 106 J. P 28-58. Um aquecedor de Nicromo dissipa 500 W quando a diferença de potencial aplicada é de 110 V e a temper- atura do fio é 800o C. Qual será o valor da potência dis- sipada se a temperatura do fio for mantida em 200o C pela imersão num banho de óleo? A diferença de poten- cial permanece a mesma e o valor de α para o Nicromo a 800o C é 4× 10−4/ oC. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 7 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:19 I SejaRH a resistência na temperatura mais alta (800o) e seja RL a resistência na temperatura mais baixa (200o). Como a ddp é a mesma para as duas temper- aturas, a potência dissipada na temperatura mais baixa é PL = V 2/RL e, analogamente, PH = V 2/RH . Mas RL = RH +αRH∆T , onde ∆T = TL−TH = −600o. Portanto PL = RH RH + αRH∆T PH = PH 1 + α∆T = 500 1 + (4× 10−4)(−600) = 660 W. P 28-60. Um acelerador linear produz um feixe pulsado de elétrons. A corrente do pulso é de 0.5 A e a sua duração é de 0.10 µs. (a) Quantos elétrons são acelerados por pulso? (b) Qual é a corrente média de uma máquina operando a 500 pulsos por segundo? (c) Se os elétrons forem acelerados até uma energia de 50 MeV, quais serão as potências média e de pico desse acelerador? I (a) A carga q acelerada em cada pulso é dada por q = it = 0.5× (0.1× 10−6) = 5× 10−8 C. Portanto, o número N de elétrons acelerados é N = q e = i t e = 5× 10−8 C 1.6× 10−19 C = 3.125× 1011 elétrons. (b) A carga total que passa numa secção qualquer do feixe durante um intervalo de tempo τ é Q = nqτ , onde n é o número de pulsos por unidade de tempo e q é a carga em cada pulso. Assim, a corrrente média im por pulso é im = Q τ = n q = (500 s−1)(5× 10−8 C) = 25 µA. (c) A voltagem aceleradora é V = K/e, onde K é a energia cinética final de um elétron. Portanto V = K e = 50 MeV 1e = 50 M Volts. Com isto, a potência por pulso é P = iV = 0.5× (50× 106) = 25 MW, que é a potência de pico. A potência média por pulso (i.e. por segundo) é Pm = im V = 25× 10−6 × 50× 106 = 1250 W ' 1.3 kW. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 7