Resolução Capítulo 31 - Halliday, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução Capítulo 31 - Halliday e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:18 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 31 Lei de Ampère 2 31.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 31.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 31.2.1 Cálculo do Campo Magnético – 1/26 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 31.2.2 Dois Condutores Paralelos – 27/39 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4 31.2.3 Lei de Ampère – 40/52 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 31.2.4 Solenóides e Toróides – 53/73 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 31.2.5 Problemas extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 7 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:18 31 Lei de Ampère 31.1 Questões Q 31-7. A Fig. 31-23 mostra uma vista de cima de quatro fios paralelos transportando correntes iguais e de mesmo sentido. Qual é a direção e o sentido da força sobre o fio da esquerda, causada pelas correntes nos outros três fios? I Fios com correntes paralelas atraem-se. Portanto a força atuará na diagonal horizontal, da esquerda para a direita. As componentes verticais cancelam-se. Q 31-12. I Tenderá para uma espira circular, pois fios com cor- rentes anti-paralelas repelem-se. 31.2 Problemas e Exercı́cios 31.2.1 Cálculo do Campo Magnético – 1/26 E 31-3. Um topógrafo está usando uma bússola a 6 m abaixo de uma linha de transmissão na qual existe uma corrente constante de 100 A. (a) Qual é o campo magnético no local da bússola em virtude da linha de transmissão? (b) Isso irá interferir seriamente na leitura da bússola? A componente horizontal do campo magnético da Terra no local é de 20 µT. I (a) A magnitude do campo magnético devido à cor- rente no fio, a uma distância r do fio é dada por B = µ0i 2πr . Para r = 6.0 m encontramos B = (4π × 10−7)(100) 2π6 = 3.3× 10−6 = 3.3 µT. (b) O valor acima é aproximadamente 1/6 da magnitude do campo terrestre. Portanto, ele irá afetar a leitura da bússola. E 31-7. Em uma localidade nas Filipinas, o campo magnético da Terra de 39 µT é horizontal e aponta para o norte. Ex- atamente a 8 cm acima de um fio retilı́neo longo, que transporta uma corrente constante o campo resultante é zero. Quais são (a) a intensidade e (b) o sentido da cor- rente? I (a) O campo devido ao fio, num ponto a 8 cm do fio deve valer 39 µT e deve apontar para o sul, de modo a cancelar o campo dado. Como o B = µ0i/(2πr), en- contramos i = 2πrB µ0 = 2π(0.080)(39× 10−6) 4π × 10−7 = 16 A. (b) A corrente deve fluir do oeste para o leste de modo a produzir um campo direcionado para o sul em pontos abaixo do fio. P 31-11. O fio mostrado na Fig. 31-31 transporta uma corrente i. Que campo magnético B é produzido no centro C do semicı́rculo (a) por cada segmento retilı́neo de compri- mento L, (b) pelo segmento semicircular de raio R e (c) pelo fio inteiro? I (a) O campo produzido por cada segmento retilı́neo é nulo pois o produto vetorial de ds com r é nulo, ao longo de ambos segmentos, uma vez que os dois vetores são paralelos ao longo dos segmentos. (b) Conforme o Exemplo 31-1, página 186, o campo de- vido ao segmento semicircular é dirigido para dentro da página e tem uma magnitude dada por (Veja a Eq. 31-5, na pag. 184): dB = µ0 4π i ds sen 90o R2 , http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:18 Portanto, de B2 = B1, obtemos sem dificuldades que i2 = 0.015 0.015 + 0.0075 i1 = 2 3 i1 = 4.33 A. E 31-30. A Fig. 31-44 mostra cinco fios longos e paralelos no plano xy. Cada fio transporta uma corrente i = 3 A no sentido positivo do eixo x. A separação entre fios ad- jacentes vale d = 8 cm. Determine a força magnética por metro exercida sobre cada um dos cinco fios pelos outros fios. I Consideremos a força no fio bem da esquerda. Para simplificar, enumeremos os 4 fios à direita dele, consec- utivamente, da esquerda para a direita, com os números 1, 2, 3 e 4. Temos então B1 = µ0 i 2πd (−k), B2 = µ0 i 2π(2d) (−k), B3 = µ0 i 2π(3d) (−k), B4 = µ0 i 2π(4d) (−k), onde i = 3 A e d = 0.08 m. Note que estes campos magnéticos apontam no mesmo sentido, a saber, no sen- tido negativo de z. Portanto a força total no fio bem da esquerda é Fesq = iL× (B1 +B2 +B3 +B4). Proceda analogamente para os outros fios, prestando sempre atenção ao definir as distâncias relativas entre os fios. Note que devido a simetria do problema, a força total no fio do meio será nula, enquanto que a força total nos fios eqüidistantes do fio central será igual em módulo mas apontando em sentidos contrários. P 31-36. Na Fig. 31-46, qual é a força por unidade de compri- mento, em módulo, direção e sentido, atuando sobre o fio inferior à esquerda? As correntes idênticas i têm os sentidos indicados na figura. I Chamando de B o campo total resultante no fio in- ferior à esquerda e de F a força total resultante, temos F = iL × B. Partindo do fio localizado no canto su- perior esquerdo e numerando-os no sentido horário com rótulos 1, 2 e 3 temos B = B1 +B2 +B3. As componentes horizontal (x) e vertical (y) são, respec- tivamente, Bx = B1 −B2 cos 45o, By = B2 sen 45o +B3. Considerando a figura e a expressão do campo gerado por um fio obtemos B1 = B3 = µ0 i 2πa , B2 = µ0 i 2π √ 2 a . Portanto, observando que cos 45o = √ 2/2, temos Bx = µ0 i 2πa ( 1− √ 2 2 √ 2 ) = µ0 i 4π a By = µ0 i 2πa ( √2 2 √ 2 + 1 ) = 3µ0 i 4π a O módulo do campo resultante é B = √ B2x +B 2 y = µ0 i √ 10 4π a , estando este campo localizado sobre uma reta que faz um angulo θ, contado no sentido anti-horário a par- tir da horizontal, onde tg θ = By/Bx = 3, ou seja, θ = arctg 3 ' 71o. F ` = µ0 i 2 √ 10 4π a , perpendicular ao vetor B, apontando para a esquerda. P 31-37. I (a) O campo Bs devido ao fio que está na parte su- perior da Fig. 31-47 é tangente ao cı́rculo de raio r cen- trado no fio e que passa pelo ponto P . Levando-se em conta a regra da mão direita, ve-se que tal campo aponta para cima e para a direita, e faz um ângulo θ com a hor- izontal, ângulo que é idêntico ao ângulo formado pelo segmento d e o raio r e cujo cosseno é dado por cos θ = d/2√ R2 + d2/4 . Como as correntes são iguais e a distância dos dois fios ao ponto P é a mesma, o campo Bi devido ao fio que está na parte inferior é uma simples reflexão especular do campo Bs, apontando para baixo e para a direita, no http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:18 mesmo ângulo θ. Em P , a magnitude de ambos os cam- pos é a mesma: Bs ≡ Bi = µ0i 2πr . Assim sendo, as componentes verticais de Bs e Bi cancelam-se enquanto que suas componentes hori- zontais (ambas dirigidas da esquerda para a direita) reforçam-se. Portanto, a magnitude do campo em P é B = Bs cos θ +Bi cos θ = 2 µ0i 2π √ R2 + d2/4 d/2√ R2 + d2/4︸ ︷︷ ︸ cos θ = µ0id 2π(R2 + d2/4) = 2µ0id π(4R2 + d2) . (b) Como já dissemos, o campo aponta horizontalmente, da esquerda para a direita. 31.2.3 Lei de Ampère – 40/52 E 31-40. Cada um dos oito condutores mostrados na Fig. 31-50 transporta uma corrente de 2 A para dentro ou para fora da página. Dois caminhos são indicados para a integral de linha ∮ B · ds. Qual é o valor da integral para (a) o caminho pontilhado e (b) para o caminho tracejado? I (a) Duas das correntes saem da página enquanto que uma entra, de modo que a corrente lı́quida englobada pela trajetória pontilhada é de 2 A. Como a trajetória é percorrida no sentido horário, as correntes que entram na página são tomadas positivas enquanto que as que saem são negativas, conforme a regra da mão direita as- sociada com a lei de Ampère. Portanto∮ B · ds = −µ0i = −(2)(4π × 10−7) = −2.5× 10−6 T·m. (b) Como a corrente lı́quida é zero neste caso, o valor da integral também é zero. E 31-41. I Analogamente ao caso anterior, temos∮ B · ds = µ0 ( i0 + 3i0 + 7i0 − 6i0 ) = +5µ0i0. P 31-45. I Use a lei de Ampère: ∮ B · ds = µ0i, onde a integral é ao redor de um laço fechado e i é a corrente lı́quida que flui através do laço. Para o laço tracejado mostrado na Fig. 31-54 temos i = 0. A integral é zero ao longo dos trechos superior, à direita e inferior do laço. Ao longo do trecho à direita o campo é zero, enquanto que nos outros dois trechos o campo é perpendicular ao el- emento ds. Se o comprimento do trecho à esquerda for `, então uma integração simples fornece ∮ B · ds = B`, onde B é a magnitude do campo no lado esquerdo do laço. Uma vez que nem B nem ` são nulos, temos uma contradição da lei de Ampère. Concluimos portanto que a geometria das linhas de campo magnético está errada. Na realidade as linhas curvam-se para fora nas extremidades e sua densidade decresce gradualmente, não abruptamente como a figura faz crer. 31.2.4 Solenóides e Toróides – 53/73 E 31-54. I B = µ0ni0 = (4π × 10−7) ( 200 0.25 ) (0.3) = 3× 10−4 T. P 31-55. I O campo num solenóide é B = µ0i(N/`), onde N é o número de espiras e ` é o comprimento do solenóide. Como cada espira tem um comprimento πd, obtemos para o comprimento total L do fio L = 2π d 2 B` µ0i = π × (2.6× 10−2)(23× 10−3)× 1.3 (4π × 10−7)× 18 = 107.97 m ' 108 m. E 31-56. http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 8 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 18:18 I Para um toróide temos B = µ0ioN/(2πr). Portanto (a) para r = 0.15 m temos B = 5.33× 10−4 T ; (b) para r = 0.20 m temos B = 4.0× 10−4 T . P 31-62. I (a) A força magnética deve estar direcionada para o centro da órbita. Para a partı́cula da órbita mostrada a força v × B está direcionada para fora do centro da órbita, de modo que a partı́cula deve ser negativa. (b) Usando a Eq. 16 do Cap. 30, obtemos: R = mv qB , onde q é o valor da carga. Agora, o campo margnético não realiza trabalho sobre a partı́cula, pelo Teorema da Conservação da Energia, a sua energia cinética deve per- manecer constante; portanto, sua velocidade não deve variar. Nos pontos 1 e 2 da trajetória temos RB = mv q = constante, então R1B1 = R2B2. Para um toróide, pela Eq. 31-22, B = (µ0i0N 2π )1 r onde r é a distância da partı́cula ao eixo do toróide. As- sim, R1 r1 = R2 r2 . Portanto, R2 = 9.68 cm. E 31-63. Qual é o momento de dipolo magnético µ do solenóide descrito no exercı́cio 31-54? I µ = NiA = Niπr2 = 200× 0.3× π(0.05)2 = 0.47 A ·m2. E 31-66. I (a) µ = NiA = NiπR2 = 300× 0.4× π × (0.025)2 = 2.36 A ·m2. (b) Da Eq. 31-25 temos que B = µ0 2π µ z3 . Portanto, z = (µ0 2π µ B )1/3 = (4π × 10−7 2π 2.36 5× 10−6 )1/3 = 46 cm. 31.2.5 Problemas extras Coletamos aqui alguns problemas da3a edição do livro que não aparecem mais na 4a edição mas que podem ainda ser úteis. P 31-74∗ Um disco de plástico fino de raio R tem uma carga q uniformemente distribuida sobre sua superfı́cie. O disco gira com uma freqüência angular ω em torno do seu eixo. Mostre que: (a) o campo magnético no centro do disco é B = µ0ωq 2πR , (b) o momento de dipolo magnético do disco é µ = ωqR2 4 . (Sugestão: O disco girando é equivalente a um conjunto de espiras de corrente.) I (a) Considere um pequeno anel de raio r e espessura dr, contendo uma carga dq dada por dq = q πR2 (2πrdr), ou seja, a carga por unidade de área vezes a área do anel. Num tempo T = 2π/ω toda a carga do anel passa por um ponto fixo perto do anel, logo a corrente equivalente é: di = dq T = 2πqrdr/(πR2) 2π/ω = qωrdr πR2 . http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 8