Resolução Capítulo 34 - Halliday, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução Capítulo 34 - Halliday e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 Exercı́cios Resolvidos de Fı́sica Básica Jason Alfredo Carlson Gallas, professor titular de fı́sica teórica, Doutor em Fı́sica pela Universidade Ludwig Maximilian de Munique, Alemanha Universidade Federal da Paraı́ba (João Pessoa, Brasil) Departamento de Fı́sica Baseados na SEXTA edição do “Fundamentos de Fı́sica”, Halliday, Resnick e Walker. Esta e outras listas encontram-se em: http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Contents 34 Propriedades Magnéticas da Matéria 2 34.1 Questões . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 34.2 Problemas e Exercı́cios . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 34.2.1 O Magnetismo e o Elétron – (1/5) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 34.2.2 A Lei de Gauss do Magnetismo – (6/9) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 34.2.3 O Magnetismo da Terra – (10/17) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3 34.2.4 Paramagnetismo – (18/25) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 34.2.5 Diamagnetismo – (26/27) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 34.2.6 Ferromagnetismo – (28/38) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 6 34.2.7 Problemas Extras . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8 Comentários/Sugestões e Erros: favor enviar para jasongallas @ yahoo.com (sem “br” no final...) (listaq3.tex) http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 1 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 34 Propriedades Magnéticas da Matéria 34.1 Questões Q 34-1. Duas barras de ferro têm aparências exata- mente iguais. Uma delas está imantada e a outra não. Como identificá-las? Não é permitido suspender nen- huma delas como se fosse agulha de bússola, nem usar qualquer outro aparelho. I Segure com a mão esquerda uma das barras numa direção horizontal (por exemplo, apoiando-a sobre uma mesa). Com a outra mão, segure a outra barra numa posição ortogonal à primeira. Coloque uma das extrem- idades da segunda barra encostada sobre a barra fixa na direção horizontal. A seguir, percorra com a exter- midade da segunda barra a periferia da primeira barra desde a extremidade até o meio desta primeira barra. Duas coisas podem ocorrer: (a) Se a barra fixa na mão esquerda for o imã, você sentirá uma atração forte na extremidade; porém, esta atração irá diminuir à medida que a barra da mão direita se aproximar do centro da barra da mão esquerda (que supostamente é o imã). Por- tanto você poderia identificar as duas barras neste caso. (b) Se a barra fixa na mão esquerda não for o imã, você sentirá sempre a mesma atração, pois, neste caso, a barra da mão direita será o imã e, como você sabe, a extremi- dade de um imã atrai sempre com a mesma intensidade a barra de ferro (em qualquer posição). 34.2 Problemas e Exercı́cios 34.2.1 O Magnetismo e o Elétron – (1/5) P 34-3. Uma barra imantada está suspensa por um fio como mostra a Fig. 34-19. Um campo magnético uni- forme B apontando horizontalmente para a direita é, então, estabelecido. Desenhe a orientação resultante do fio e do ı́mã. I O conjunto ı́mã+fio irá deslocar-se para a direita, per- manecendo inclinado num certo ângulo θ. Para entender por que isto ocorre, basta calcular o torque ~τ = ~µ × ~B que atuará no ı́mã devido ao seu momento de dipolo magnético ~µ. Como se pode perceber da Fig. 34-3 (pág. 259), o mo- mento magnético do ı́mã é dado por um vetor centrado no centro de massa do ı́mã, apontando de Sul para Norte (isto é, para baixo, antes do campo ser ligado). O pro- duto vetorial nos diz que o torque magnético é um vetor que aponta para fora do plano da págian do livro e, por- tanto, que o ı́mã desloca-se um certo ângulo θ para a direita. P 34-5. Uma carga q está uniformemente distribuı́da em torno de um fino anel de raio r. O anel gira com ve- locidade angular ω em torno de um eixo central ortogo- nal ao seu plano. (a) Mostre que o momento magnético devido à carga em rotação é dado por: µ = 1 2 qωr2. (b) Quais são a direção e o sentido deste momento magnético, se a carga é positiva. I (a) No instante t = 2π/ω s corrente que passa no anel é: i = q t = q 2π/ω = ωq 2π . Donde se conclui que o módulo do momento magnético é dado por µ = NiA = (1) (ωq 2π ) (πr2) = 1 2 ωqr2. (b) Pela regra da mão direita, o vetor momento magnético ~µ é paralelo ao vetor velocidade angular ~ω. 34.2.2 A Lei de Gauss do Magnetismo – (6/9) P 34-7. O fluxo magnético através de cinco faces de um dado vale ΦB = ±N Wb, onde N (= 1 a 5) é a quantidade dos pontos escuros [que representam os números] sobre cada face. O fluxo é positivo (para fora) para N par e negativo (para dentro) para N ı́mpar. Qual é o fluxo através da sexta face do dado? http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 2 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 estão baseadas na aproximação dipolar, que não repre- senta adequadamente a distribuição real do campo ter- restre perto da superfı́cie. (A aproximação melhora sig- nificativamente quando calculamos o campo magnético terrestre longe do seu centro.) 34.2.4 Paramagnetismo – (18/25) E 34-18. Um campo magnético de 0.5 T é aplicado a um gás paramagnético cujos átomos têm um momento de dipolo magnético intrı́nseco de 1 × 10−23 J/T. A que temperatura a energia cinética média de translação dos átomos do gás será igual à energia necessária para inverter completamente este dipolo neste campo magnético? I A equação a ser satisfeita é a seguinte: E = 3 2 kT = |~µ · ~B − (−~µ · ~B)| = 2µB, onde k = 1.38×10−23 J/K é a constante de Boltzmann. Desta expressão obtemos a temperatura T = 4µB 3k = 4(1× 10−23)(0.50) 3(1.38× 10−23) = 0.48o K. Perceba que como esta temperatura é muitissimo baixa (da ordem de −272, 5 oC) vemos que é muito fácil para a agitação térmica usual inverter os momentos de dipolo. E 34-19. Uma barra magnética cilı́ndrica tem compri- mento de 5.0 cm e um diâmetro de 1.0 cm. Ela possui uma magnetização uniforma de 5.3 × 103 A/m. Qual é o seu momento de dipolo magnético? I A relação entre a magnetização M e o momento magnético µ é: M = µ V onde V é o volume da barra. Portanto, µ = MV = M(πr2h) = 20.8 mJ/T. P 34-21. O sal paramagnético a que a curva de magnetização da Fig. 34-11 se aplica deve ser testado para verificar se obedece à lei de Curie. A amostra é colocada num campo magnético de 0.5 T que per- manece constante durante toda a experiência. A seguir, a magnetização M é medida na faixa de temperatura de 10 até 300 K. A lei de Curie será obedecida nestas condições? I Para as medidas sendo feitas a maior razão entre o campo magnético e a temperatura é (0.5 T)/(10 K) = 0.05 T/K. Verifique na Fig. 34-11 se este valor está na região onde a magnetização é uma função linear da razão B/T . Como se vê, o valor está bem perto da origem e, portanto, concluimos que a magnetização obe- dece a lei de Curie. P 34-24. Um elétron com energia cinéticaKe desloca- se numa trajetória circular que é ortogonal a um campo magnético uniforme, submetido somente a ação do campo. (a) Mostre que o momento de dipolo magnético devido ao seu movimento orbital tem módulo µ = Ke/B e sentido contrário ao de B. (b) Calcule o módulo, a direção e o sentido do momento de dipolo magnético de um ı́on positivo que tem energia cinética Ki nas mesmas circunstâncias. (c) Um gás ionizado tem 5.3 × 1021 elétrons/m3 e o mesmo número de ı́ons/m3. Considere a energia cinética média dos elétrons igual a 6.2 × 10−20 J e a energia cinética média dos ı́ons igual a 7.6×10−21 J. Calcule a magnetização do gás para um campo magnético de 1.2 T. I (a) Usando a Eq. 34-9 e a Eq. 30-17 (Cap. 30, pag. 165), obtemos: µ = (1 2 ev ) (mv eB ) ︸ ︷︷ ︸ raio = (1 2 mv2 ) 1 B = Ke B . Um elétron circula no sentido horário em um campo magnético direcionado para dentro do papel, por exem- plo. O vetor velocidade angular resultante ~ω é também direcionado para dentro do papel. Mas a carga do elétron é negativa; assim, ~µ é antiparalelo a ~ω e, por- tanto, antiparalelo a B. (b) O valor da carga cancela-se no cálculo de µ no item (a). Assim, para um ı́on positivo, vale a mesma relação: µ = Ki B . Um ı́on positivo circula no sentido anti-horário num campo magnético direcionado para dentro do papel. Portanto, ~ω tem sentido para fora do papel. Como o ı́on tem carga positiva, ~µ é paralelo a ~ω e, portanto an- tiparalelo a B, como o elétron. (c) Os dipolos magnéticos devidos aos elétrons e, aos ı́ons possuem o mesmo sentido. Portanto, http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 5 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 µ = Neµe +Niµi = 1 B ( NeKe +NiKi ) onde Ne e Ni são, respectivamente, o número de elétrons e o número total de ı́ons. ComoNe = Ni = N , obtemos para a magnetização: M = µ V = 1 B (N V ) (Ke +Ki) = 307 A/m. 34.2.5 Diamagnetismo – (26/27) P 34-26. Uma substância diamagnética é fracamente repelida por um pólo de um ı́mã. A Fig. 34-22 apresenta um mod- elo para o estudo deste fenômeno. A “substância dia- magnética” é uma espira de corrente L, que está colo- cada no eixo de um ı́mã e nas proximidades do seu pólo norte. Como a substância é diamagnética, o momento magnético ~µ da espira se alinhará antiparalelamente ao campo B do ı́mã. (a) Faça um esboço das linhas de B em virtude do ı́mã. (b) Mostre o sentido da corrente i na espira quando ~µ estiver antiparelelo a B. (c) Usando dF = i ds ×B, mostre a partir de (a) e (b) que a força resultante sobre L aponta no sentido que se afasta do pólo norte do ı́mã. I P 34-27∗. Um elétron de massa m e carga de módulo e se move numa órbita circular de raio r ao redor de um núcleo. Um campo magnético B é, então, estabelecido perpen- dicularmente ao plano da órbita. Supondo que o raio da órbita não varie e que a variação da velocidade escalar do elétron em conseqüência do campo B seja pequena, determine uma expressão para a variação do momento magnético orbital do elétron. I Um campo elétrico com linhas de campo circulares é induzido quando o campo magnético é ligado. Supon- hamos que o campo magnético aumente linearmente de 0 até B num tempo t. De acordo com a Eq. 32-24 a magnitude do campo elétrico na órbita é dada por E = r 2 dB dt = r 2 B t , onde r é o raio da órbita. O campo elétrico induzido é tangente à órbita e muda a velocidade do elétron, sendo tal mudança dada por ∆v = αt = e m E t = e m (r 2 B t ) t = erB 2m . A corrente média associada com cada volta do elétron circulando na órbita é i = ∆carga ∆tempo = e (2πr)/v = ev 2πr de modo que o momento de dipolo correspondente é µ = N iA = (1) ( ev 2πr ) (πr2) = 1 2 e r v. Portanto, variação do momento de dipolo é ∆µ = 1 2 er∆v = 1 2 er (erB 2m ) = e2r2B 4m . 34.2.6 Ferromagnetismo – (28/38) E 34-28. Medições realizadas em minas e em furos de prospecção mostram que a temperatura na Terra au- menta com a profundidade na taxa média de 30o C/km. Supondo que a temperatura na superfı́cie seja de 10o C, a que profundidade o ferro deixaria de ser ferro- magnético? (A temperatura Curie do ferro varia muito pouco com a pressão.) I A temperatura de Curie do ferro é 770o C. Se chamar- mos de x a profundidade na qual a temperatura atinge esta valor, então 10o C + (30o C/km)x = 770o C, ou seja, isolando-se o valor de x, x = 770o C− 10o C 30o C/km = 76 3 = 25.33 km. E 34-29. O acoplamento de troca mencionado na secção 34-8 como responsável pelo ferromagnetismo não é a interação magnética mútua entre dois dipolos magnéticos elementares. Para mostrar isto, calcule: (a) o campo magnético a uma distância de 10 nm ao longo do eixo do dipolo de um átomo com momento de dipolo magnético igual a 1.5×10−23 J/T (cobalto) e (b) a ener- gia mı́nima necessária para inverter um segundo dipolo idêntico neste campo. Compare com o resultado do Ex- emplo 34-4. O que se pode concluir? I (a) O campo de um dipolo ao longo do seu eixo é dado pela Eq. 31-25: B = µ0 2π µ z3 , http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 6 de 9 LISTA 3 - Prof. Jason Gallas, DF–UFPB 10 de Junho de 2013, às 17:43 onde µ é o momento de dipolo e z é a distância a partir do meio do dipolo. Portanto B = (4π × 10−7 T·m/A)(1.5× 10−23 J/T) 2π(10× 10−9 m)3 = 3× 10−6 T. (b) A energia de um dipolo magnético ~µ num campo magnético ~B é U = ~µ · ~B = µB cosφ, onde φ é o ângulo entre o momento de dipolo e o campo. A ener- gia necessária para inverte-lo (de φ = 0o até φ = 180o) é ∆U = 2µB = 2(1.5× 10−23 J T )(3× 10−6 T) = 9× 10−29 J = 5.6× 10−10 eV. A energia cinética média de translação a temperatura ambiente é da ordem de 0.04 eV (veja o Exemplo 34-4). Portanto se interações do tipo dipolo-dipolo fossem re- sponsáveis pelo alinhamento dos dipolos, colisões iriam facilmente “randomizar” [id est, tornar aleatórias] as direções dos momentos e eles não permaneceriam al- inhados. E 34-30. A magnetização na saturação do nı́quel vale 4.7 × 105 A/m. Calcule o momento magnético de um único átomo de nı́quel. (A densidade do nı́quel é 8.90 g/cm3 e sua massa molecular é 58.71 g/mol.) I A magnetização de saturação corresponde ao com- pleto alinhamento de todos os dipolos, dado por Mmax = µN V . Fazendo V = 1 m3, a massa do nı́quel em 1 m3 é (8.90 g/cm3) · (106 m3) = 8.90× 106 g; portanto, n = 8.90× 106 58.71 g/mol = 1.5159× 105 mol. Através da Eq. 2 do Cap. 21, temos: N = nNA = 9.126× 1028 átomos/m3. Assim, µ = MmaxV N = 5.15× 10−24 A·m2. P 34-32. O momento de dipolo magnético da Terra é 8 × 1022 J/T. (a) Se a origem deste magnetismo fosse uma esfera de ferro magnetizada, no centro da Terra, qual deveria ser o seu raio? (b) Que fração do volume da Terra esta esfera ocuparia? Suponha um alinhamento completo dos dipolos. A densidade do núcleo da Terra é 14 g/cm3. O momento de dipolo magnético de um átomo de ferro é 2.1× 10−23 J/T. (Nota: consideramos a região mais interna do núcleo da Terra formada de partes lı́quida e sólida e parcialmente de ferro, porém o hipótese de um ı́mã permanente como fonte do mag- netismo da Terra foi completamente afastada por diver- sas razões. Uma delas é que a temperatura está certa- mente acima do ponto de Curie.) I (a) Se a magnetização da esfera está saturada, o mo- mento de dipolo total é µtotal = Nµ, onde N é o número de átomos de ferro na esfera e µ é o momento de dipolo de um átomo de ferro. Desejamos determinar o raio de uma esfera de ferro contendo N átomos de ferro. A massa de tal esfera é Nm, onde m é a massa de um átomo de ferro. Ela também é dada por 4πρR3/3, onde ρ é a densidade do ferro e R é o raio da esfera. Portanto Nm = 4πρR3/3 e N = 4πρR3 3m . Substitua isto na relação µtotal = N µ para assim obter µtotal = 4πρR3µ 3m , ou seja, R = (3mµtotal 4πρµ )1/3 . A massa de um átomo de ferro é m = 56u = (56u)(1.66× 10−27 kg/u) = 9.3× 10−26 kg. Com isto, obtemos R = ( 3(9.3× 10−26)(8× 1022) 4π(14× 103)(2.1× 10−23) )1/3 = 1.8× 105 m. (b) O volume da esfera é Ve = 4π 3 R3 = 4π 3 (1.82× 105 m)3 = 2.53× 1016 m3 e o volume da Terra é VT = 4π 3 (6.37× 106 m)3 = 1.08× 1021 m3, http://www.fisica.ufpb.br/∼jgallas Página 7 de 9