Resolução dos problemas pares propostos no Capítulo 5 do Hayt Jr, 8ª Edição, Exercícios de Eletromagnetismo

Baixe Resolução dos problemas pares propostos no Capítulo 5 do Hayt Jr, 8ª Edição e outras Exercícios em PDF para Eletromagnetismo, somente na Docsity! SEL 309 Eletromagnetismo Prof. Dr. Ben-Hur Viana Borges Condutores e Dielétricos Resolução dos problemas pares propostos no Capítulo 5 do Hayt Jr, 8ª Edição 5.2 Dado 𝐉 = −104(𝑦𝐚x + 𝑥𝐚y) A/m2, calcule a corrente que atravessa o plano y = 0 na direção e sentido −𝐚y, entre z = 0 e 1, e x = 0 e 2. Como o problema pede a corrente em y = 0, temos que 𝐉(𝑥, 0) = −104𝑥𝐚y. Assim, a corrente ao longo do plano y = 0 torna-se: 𝐼 = ∮ 𝐉 ∙ 𝑑𝐒 𝑠 = −∫ ∫ 104𝑥𝐚y ∙ (−𝐚y)𝑑𝑥𝑑𝑧 2 0 1 0 𝐼 = 2 × 104 A 5.4 Se a densidade volumétrica de carga é dada por 𝜌𝑣 = (cos𝜔𝑡)/𝑟2 C/m3, em coordenadas esféricas, determine J. É razoável considerar que J não é uma função de θ ou φ. Veja que a densidade de carga é função do tempo, e que não há variação angular. Assim, a melhor maneira de obtermos J é com o auxílio da equação da continuidade em coordenadas esféricas, ∇ ∙ 𝐉 = − 𝑑𝜌𝑣 𝑑𝑡 ∇ ∙ 𝐉 = 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2𝐽𝑟) = − 𝑑𝜌𝑣 𝑑𝑡 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2𝐽𝑟) = − 𝑑 𝑑𝑡 ( cos𝜔𝑡 𝑟2 ) = 𝜔 sin𝜔𝑡 𝑟2 Simplificando, 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2𝐽𝑟) = 𝜔sin𝜔𝑡 Integrando, temos, 𝑟2𝐽𝑟 = 𝑟𝜔sin𝜔𝑡 + 𝐶 Como uma carga variante no tempo não produz uma corrente contínua, temos que 𝐶 = 0. Logo, 𝑟2𝐽𝑟 = 𝑟𝜔sin𝜔𝑡 𝐽𝑟 = 𝜔sin𝜔𝑡 𝑟 Vetorialmente, 𝐉 = 𝜔sin𝜔𝑡 𝑟 𝐚𝑟 A/m2 5.6 Em coordenadas esféricas, uma densidade de corrente 𝐉 = − 𝑘 𝑟sinθ 𝐚θ A/m2 existe em um meio condutor, onde k é uma constante. Determine a corrente total, na direção 𝐚z, que atravessa um disco circular de raio R, centrado no eixo z e localizado em (a) z = 0; (b) z = h. O problema pede a corrente que atravessa um disco. Isso quer dizer que teremos que resolver em coordenadas cilíndricas. Assim, 𝑑𝐒 = 𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙𝐚𝒛 𝐼 = ∮ 𝐉 ∙ 𝑑𝐒 𝑠 = −∫ ∫ 𝑘 𝑟sin𝜃 𝐚θ ∙ 𝐚𝒛𝜌𝑑𝜌𝑑𝜙 𝑅 0 2𝜋 0 Recorrendo às tabelas da Aula 1, temos que, 𝐚θ ∙ 𝐚𝒛 = −sin𝜃 e sabendo que 𝑟 = √𝜌2 + 𝑧2, 𝐼 = ∫ ∫ 𝑘𝜌 √𝜌2 + 𝑧2sin𝜃 sin𝜃𝑑𝜌𝑑𝜙 𝑅 0 2𝜋 0 = ∫ ∫ 𝑘𝜌 √𝜌2 + 𝑧2 𝑑𝜌𝑑𝜙 𝑅 0 2𝜋 0 𝐼 = 𝑘2𝜋√𝜌2 + 𝑧2| 0 𝑅 𝐼 = 𝑘2𝜋 [√𝑅2 + 𝑧2 − 𝑧] Em z = 0, como pedido em (a), temos que, 𝐼(0) = 𝑘2𝜋𝑅 Em z = h, como pedido em (b), temos que, 𝐼(ℎ) = 𝑘2𝜋 [√𝑅2 + ℎ2 − ℎ] 5.10 Uma arruela de latão tem diâmetro interno de 2 cm, diâmetro externo de 5 cm e espessura igual a 0,5 cm. Sua condutividade é σ = 1,5 × 107 S/m. A arruela é cortada ao meio, ao longo do diâmetro, e uma tensão é aplicada entre as duas faces retangulares de uma das partes cortadas. O campo elétrico resultante, no interior da arruela cortada ao meio, é 𝐄 = 0,5 𝜌 𝐚𝜙 V/m, em coordenadas cilíndricas, onde o eixo z corresponde ao eixo da arruela. (a) Qual diferença de potencial existe entre as duas faces retangulares? (b) Qual corrente total está fluindo na arruela? (c) Qual é a resistência entre as duas faces? ∫ 𝑑𝑅 = ∫ 𝑑𝑧 𝜎(𝑧)𝐴 𝑑 0 = ∫ 𝑑𝑧 𝜎0𝑒 −𝑧/𝑑𝐴 𝑑 0 = ∫ 𝑒𝑧/𝑑𝑑𝑧 𝜎0𝐴 𝑑 0 𝑅 = 𝑑 𝜎0𝐴 (𝑒 − 1) 𝑅 = 1,718𝑑 𝜎0𝐴 Ω b) A corrente total entre as placas 𝐼 = 𝑉0 𝑅 = 𝑉0𝜎0𝐴 1,718𝑑 𝐼 = 𝜎0𝐴𝑉0 1,718𝑑 c) Intensidade de campo elétrico E Para isso, é melhor usarmos a Lei de Ohm 𝐉 = 𝜎𝐄. Mas primeiro vamos calcular J, que é a densidade de corrente que flui na direção −𝐚𝑧 tendo em vista o potencial aplicado. Assim, 𝐉 = − 𝐼 𝐴 𝐚𝑧 𝐉 = − 𝜎0𝐴𝑉0 1,718𝑑𝐴 𝐚𝑧 = − 𝜎0𝑉0 1,718𝑑 𝐚𝑧 𝐄 = 𝐉 𝜎(𝑧) = − 𝜎0𝑉0 1,718𝑑(𝜎0𝑒 −𝑧/𝑑) 𝐚𝑧 𝐄 = − 𝑉0𝑒 𝑧/𝑑 1,718𝑑 𝐚𝑧 V m 5.14 Uma placa condutora retangular está posicionada no plano xy, ocupando a região 0 < x < a, 0 < y < b. Uma placa condutora idêntica é posicionada de forma paralela diretamente sobre a primeira, em z = d. A região entre as placas está preenchida com material que possui condutividade 𝜎(𝑥) = 𝜎0𝑒 −𝑥/𝑎, onde 𝜎0 é uma constante. Uma tensão 𝑉0 é aplicada à placa em z = d. A placa em z = 0 está no potencial zero. Encontre, considerando os parâmetros dados: (a) a intensidade de campo elétrico E dentro do material; (b) a corrente total que circula entre as placas; (c) a resistência do material. a) Intensidade de campo elétrico E dentro do material O material é não homogêneo, mas desta vez com a condutividade em função de x. Novamente, vamos começar com a resistência diferencial para depois podermos integrar. Assim, 𝑑𝑅 = 𝑑𝑧 𝜎(𝑥)𝐴 Integrando ambos os lados, temos, ∫𝑑𝑅 = ∫ 𝑑𝑧 𝜎(𝑥)𝐴 𝑑 0 = ∫ 𝑑𝑧 𝜎0𝑒 −𝑥/𝑎𝐴 𝑑 0 = ∫ 𝑒𝑥/𝑎𝑑𝑧 𝜎0𝐴 𝑑 0 𝑅 = 𝑑𝑒𝑥/𝑎 𝜎0𝐴 Ω A corrente total entre as placas 𝐼 = 𝑉0 𝑅 = 𝑉0𝜎0𝐴 𝑑𝑒𝑥/𝑎 𝐼 = 𝑉0𝜎0𝐴 𝑑𝑒𝑥/𝑎 Agora podemos obter a intensidade de campo elétrico E a partir da Lei de Ohm 𝐉 = 𝜎𝐄. Mas primeiro, vamos calcular J, que é a densidade de corrente que flui na direção −𝐚𝑧 tendo em vista o potencial aplicado. Assim, 𝐉 = − 𝐼 𝐴 𝐚𝑧 𝐉 = − 𝑉0𝜎0𝐴 𝐴𝑑𝑒𝑥/𝑎 𝐚𝑧 = − 𝑉0𝜎0 𝑑𝑒𝑥/𝑎 𝐚𝑧 𝐄 = 𝐉 𝜎(𝑥) = − 𝑉0𝜎0 𝑑𝑒𝑥/𝑎(𝜎0𝑒 −𝑥/𝑎) 𝐚𝑧 𝐄 = − 𝑉0 𝑑 𝐚𝑧 V m b) A corrente total que circula entre as placas Observe que agora as placas têm uma área finita. Assim, calcularemos I a partir da relação envolvendo a densidade de corrente, 𝐼 = ∫ 𝐉 ∙ 𝑑𝐒 𝑠 Sabendo que 𝑑𝐒 = −𝐚𝑧𝑑𝑥𝑑𝑦, temos, 𝐼 = −∫ 𝑉0𝜎0 𝑑𝑒𝑥/𝑎 𝐚𝑧 ∙ (−𝐚𝑧)𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑠 𝐼 = ∫ ∫ 𝑉0𝜎0 𝑑𝑒𝑥/𝑎 𝑑𝑥𝑑𝑦 𝑎 0 𝑏 0 𝐼 = 𝑉0𝜎0𝑎𝑏 𝑑 (1 − 𝑒−1) = 0,6321𝑎𝑏𝑉0𝜎0 𝑑 A 𝐼 = 0,6321𝑎𝑏𝑉0𝜎0 𝑑 A c) A resistência do material 𝑅 = 𝑉0 𝐼 = 𝑑 0,6321𝑎𝑏𝜎0 𝑅 = 𝑑 0,6321𝑎𝑏𝜎0 Ω 5.18 Duas placas circulares e paralelas, de raio a, estão localizadas em z = 0 e z = d. A placa superior (z = d) está no potencial 𝑉0, enquanto a placa inferior está aterrada. Entre as placas existe um material condutor que possui condutividade dependente da variável radial, 𝜎(𝜌) = 𝜎0𝜌, onde 𝜎0 é uma constante. (a) Encontre a intensidade de campo elétrico E independente de ρ, entre as placas. (b) Determine a densidade de corrente J entre as placas. (c) Determine a corrente total I entre as placas. (d) Determine a resistência entre as placas. a) Intensidade de campo elétrico E Basta calcular (ignorando efeito de franjas): 𝐄 = 𝑉0 𝑑 (−𝐚𝑧) 𝐄 = − 𝑉0 𝑑 𝐚𝑧 V m b) Densidade de corrente J entre as placas 𝐉 = 𝜎𝐄 𝐉 = −𝜎(𝜌) 𝑉0 𝑑 𝐚𝑧 = −𝜎0𝜌 𝑉0 𝑑 𝐚𝑧 𝐉 = −𝜎0𝜌 𝑉0 𝑑 𝐚𝑧 A m2 c) Corrente total I entre as placas 5.28 Calcule a constante dielétrica de um material no qual a densidade de fluxo elétrico D seja quatro vezes a polarização P. É direto, basta usar 𝐏 = 𝐃/4 na relação: 𝐃 = 𝜀0𝐄 + 𝐏 𝐃 = 𝜀0𝐄 + 𝐃/4 𝐃 − 𝐃/4 = 𝜀0𝐄 3 4 𝐃 = 𝜀0𝐄 𝐃 = 4 3 𝜀0𝐄 Portanto, 𝜀𝑟 = 4 3 5.34 A região 1 (x ≥ 0) é um dielétrico com 𝜀𝑟1 = 2, enquanto a região 2 (x < 0) tem 𝜀𝑟2 = 5. Seja 𝐄1 = 20𝐚𝑥 − 10𝐚𝑦 + 50𝐚𝑧 V/m. (a) Calcule 𝐃2. (b) Calcule a densidade de energia em ambas as regiões. a) Calcule 𝐃2 Primeiro, precisamos calcular 𝐄2. Neste problema, o eixo x é normal à interface. Assim, as componentes 𝐚𝑦 e 𝐚𝑧 do campo 𝐄2 serão as mesmas das de 𝐄1 devido à continuidade dos campos tangenciais. Resta calcular 𝐚𝑥. Para isso, nós devemos aplicar as condições de contorno para a componente normal à interface, 𝐷𝑥1 = 𝐷𝑥2 𝜀𝑟1𝜀0𝐸𝑥1 = 𝜀𝑟2𝜀0𝐸𝑥2 𝐸𝑥2 = 𝜀𝑟1 𝜀𝑟2 𝐸𝑥1 = 2 5 𝐸𝑥1 = 2 5 20 = 8 𝐄2 = 8𝐚𝑥 − 10𝐚𝑦 + 50𝐚𝑧 V/m 𝐃2 = 𝜀𝑟2𝜀0𝐄2 𝐃2 = 𝜀𝑟2𝜀0(8𝐚𝑥 − 10𝐚𝑦 + 50𝐚𝑧) 𝐃2 = 5𝜀0(8𝐚𝑥 − 10𝐚𝑦 + 50𝐚𝑧) C m2 𝐃2 = 𝜀0(40𝐚𝑥 − 50𝐚𝑦 + 250𝐚𝑧) C m2 b) Densidade de energia em ambas as regiões 𝑤1 = 1 2 𝜀𝑟1𝜀0𝐄1 ∙ 𝐄1 𝑤1 = 1 2 (2)𝜀0[202 + 102 + 502] 𝑤1 = 3000𝜀0 J m3 𝑤2 = 1 2 𝜀𝑟2𝜀0𝐄2 ∙ 𝐄2 𝑤1 = 1 2 (5)𝜀0[8 2 + 102 + 502] 𝑤1 = 6660𝜀0 J m3 Capacitância Resolução dos problemas pares propostos no Capítulo 6 do Hayt Jr, 8ª Edição 6.2 Seja S = 100 mm2, d = 3 mm e 𝜀𝑟 = 12 para um capacitor de placas paralelas. (a) Calcule a capacitância. (b) Após conectar uma bateria de 6V no capacitor, calcule E, D, Q e a energia eletrostática total armazenada. (c) Com a fonte ainda conectada, o dielétrico é cuidadosamente retirado da região entre as placas. Sem dielétrico, recalcule E, D, Q e a energia armazenada no capacitor. (d) A carga e a energia encontradas na parte (c) são menores que os respectivos valores encontrados na parte (b), como você já deve ter descoberto; então, o que foi feito da carga e da energia perdidas? a) Capacitância 𝐶 = 𝜀𝑆 𝑑 = 𝜀𝑟𝜀0𝑆 𝑑 = 12𝜀0(100 mm2) 3 mm 𝐶 = 0,4𝜀0 = 3,542 pF 𝐶 = 3,542 pF b) E, D, Q e a energia eletrostática total armazenada 𝐸 = 𝑉0 𝑑 = 6 V 3 mm = 2000 V m 𝐸 = 2000 V 𝐷 = 𝜀𝐸 = 𝜀𝑟𝜀0𝐸 = 12𝜀0(2000 V/m) 𝐷 = 2,125 × 10−7 C/m2 𝐷 = 0,2125 𝜇C m2 𝑄 = 𝜌𝑠𝑆 = 𝐃 ∙ 𝐧|𝑠 = 𝐷𝑆 = 0,2125 ( 𝜇C m2) 100(mm2) 𝑄 = 0,2125 × 10−4 C 𝑄 = 21,25 pC 𝑊𝑒 = 1 2 𝑄𝑉0 = 1 2 21,25 (pC)6(V) 𝑊𝑒 = 6,375 × 10−11 J 𝑊𝑒 = 63,75 p J c) Recalcule E, D, Q e a energia armazenada no capacitor sem o dielétrico 𝐸 = 𝑉0 𝑑 = 6 V 3 mm = 2000 V m 𝐸 = 2000 V Com o dielétrico removido, temos que a permissividade deve ser suposta como a do vácuo, 𝜀0. Assim, 𝐷 = 𝜀𝐸 = 𝜀0𝐸 = 𝜀0(2000 V/m) 𝐷 = 1,771 × 10−8 C/m2 𝐷 = 17,71 nC m2 𝑄 = 𝜌𝑠𝑆 = 𝐃 ∙ 𝐧|𝑠 = 𝐷𝑆 = 17,71 ( nC m2) 100(mm2) 𝑉0 = −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 = −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 ∞ 𝑑𝐋 = 𝑑𝑟𝐚𝑟 𝑉0 = − 𝑄 4𝜋𝜀0 ∫ 𝑑𝑟 𝑟2 𝐚𝑟 ∙ 𝐚𝑟 𝑎 ∞ 𝑉0 = 𝑄 4𝜋𝜀0𝑎 Assim, 𝐶 = 𝑄 𝑉0 = 𝑄 4𝜋𝜀0𝑎 𝑄 = 4𝜋𝜀0𝑎 𝐶 = 4𝜋𝜀0𝑎 F b) determine d tal que a capacitância seja o dobro daquela da parte (a). O problema sugere que a esfera seja recoberta com um dielétrico de espessura d e constante dielétrica 𝜀𝑟 = 3 Observe que embora tenhamos uma camada dielétrica recobrindo a esfera, esta camada é finita, o que nos diz que temos que considerar também o condutor externo em r → ∞. Assim o cálculo de V0 deve levar isso em conta, 𝑉0 = − 𝑄 4𝜋𝜀0 ∫ 𝑑𝑟 𝑟2 𝑏 ∞ − 𝑄 4𝜋𝜀𝑟𝜀0 ∫ 𝑑𝑟 𝑟2 𝑎 𝑏 A primeira integral se refere ao potencial entre a casca dielétrica e o condutor em r → ∞, enquanto que a segunda integral se refere ao potencial entre a esfera de raio a e a casca dielétrica de raio b. 𝑉0 = 𝑄 4𝜋𝜀0 [ 1 𝑏 + 1 𝜀𝑟 ( 1 𝑎 − 1 𝑏 )] A capacitância deve ser o dobro da de (a), logo, 𝐶 = 8𝜋𝜀0𝑎 F Da definição de 𝐶 = 𝑄/𝑉0, C = 𝑄 𝑄 4𝜋𝜀0 [ 1 𝑏 + 1 𝜀𝑟 ( 1 𝑎 − 1 𝑏 )] Como precisamos determinar d = b – a, precisamos isolar b da equação acima, 𝑏 = 𝑎(𝜀𝑟 − 1) 𝑎𝜀𝑟 ( 4𝜋𝜀0 𝐶 ) − 1 = 𝑎(3 − 1) 𝑎3 ( 4𝜋𝜀0 8𝜋𝜀0𝑎 ) − 1 = 4𝑎 𝑑 = 𝑏 − 𝑎 = 4𝑎 − 𝑎 = 3𝑎 𝑑 = 3𝑎 6.16 Considere um arranjo de duas superfícies condutoras isoladas, de qualquer formato, que formam um capacitor. Use as definições de capacitância [Equação (2) neste capítulo] e resistência [Equação (14) no Capítulo 5] para mostrar que, quando a região entre os condutores é preenchida com material condutivo (condutividade 𝜎) e com um dielétrico perfeito (permissividade 𝜀), a resistência e a capacitância resultantes da estrutura são relacionadas por meio da fórmula simples RC = 𝜀/𝜎. Quais propriedades básicas relativas ao meio dielétrico e condutor devem ser verdadeiras para que esta fórmula permaneça válida? A capacitância é definida de forma geral como, 𝐶 = ∮ 𝜀𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 Por sua vez, a resistência é definida como, 𝑅 = −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 ∮ 𝜎𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 Assim, fazendo o produto RC, temos, lembrando que o meio é uniforme e o dielétrico é perfeito, 𝑅𝐶 = −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 ∮ 𝜎𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 × ∮ 𝜀𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 = −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 𝜎 ∮ 𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 × 𝜀 ∮ 𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 −∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 𝑅𝐶 = 𝜀 𝜎 ∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 ∮ 𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 × ∮ 𝐄 ∙ 𝑑𝐒 𝒔 ∫ 𝐄 ∙ 𝑑𝐋 𝑎 𝑏 = 𝜀 𝜎 𝑅𝐶 = 𝜀 𝜎 6.24 Um campo potencial, no espaço livre, é dado em coordenadas esféricas como 𝑉(𝑟) = { [𝜌0/(6𝜀0)] [3𝑎2 − 𝑟2] (𝑟 ≤ 𝑎) (𝑎3𝜌0)/(3𝜀0𝑟) (𝑟 ≥ 𝑎) onde 𝜌0 e a são constantes. (a) Use a equação de Poisson para encontrar a densidade volumétrica de carga em toda a parte. (b) Determine a carga total presente. a) Densidade volumétrica de carga em toda a parte O operador Laplaciano em coordenadas esféricas é dado por, ∇2𝑉 = 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑉 𝜕𝑟 ) + 1 𝑟2sin𝜃 𝜕 𝜕𝜃 (sin𝜃 𝜕𝑉 𝜕𝜃 ) + 1 𝑟2 sin2 𝜃 𝜕2𝑉 𝜕𝜙2 Como o potencial só varia em r, temos que, ∇2𝑉 = 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑉 𝜕𝑟 ) Começando com r ≤ a, a equação de Poisson torna-se, ∇2𝑉 = − 𝜌𝑣 𝜀0 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 𝜕𝑉 𝜕𝑟 ) = − 𝜌𝑣 𝜀0 𝜕𝑉 𝜕𝑟 = 𝜕 𝜕𝑟 ([ 𝜌0 6𝜀0 ] [3𝑎2 − 𝑟2]) = [ 𝜌0 6𝜀0 ] (−2𝑟) = − 𝜌0𝑟 3𝜀0 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 [− 𝜌0𝑟 3𝜀0 ]) = − 𝜌0 3𝜀0𝑟 2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟3) = − 𝜌0(3𝑟2) 3𝜀0𝑟 2 = − 𝜌𝑣 𝜀0 − 𝜌0(3𝑟2) 3𝜀0𝑟 2 = − 𝜌𝑣 𝜀0 𝜌𝑣 = 𝜌0 (𝑟 ≤ 𝑎) Para 𝑟 ≥ 𝑎, 𝜕𝑉 𝜕𝑟 = 𝜕 𝜕𝑟 ( (𝑎3𝜌0) 3𝜀0𝑟 ) = 𝑎3𝜌0 3𝜀0 𝜕 𝜕𝑟 ( 1 𝑟 ) = − 𝑎3𝜌0 3𝜀0𝑟 2 1 𝑟2 𝜕 𝜕𝑟 (𝑟2 [− 𝑎3𝜌0 3𝜀0𝑟 2]) = − 𝑎3𝜌0 3𝜀0 𝜕 𝜕𝑟 (1) = 0 = − 𝜌𝑣 𝜀0 𝜌𝑣 = 0 (𝑟 ≥ 𝑎) b) Determine a carga total presente O volume de uma esfera é igual a: 4 3 𝜋𝑟3 Assim, a carga total será a densidade de carga 𝜌𝑣 multiplicada por esse volume. Como apenas a esfera de raio a possui uma densidade de carga, 𝑄 = 4 3 𝜋𝑟3𝜌𝑣 = 4 3 𝜋𝑎3𝜌0 𝑄 = 4 3 𝜋𝑎3𝜌0 está localizado em um ponto x0. A ideia é resolver apenas este lado do triângulo, porque a contribuição final em x0 será este resultado multiplicado por 3. Da Lei de Biot-Savart, temos que, 𝑑𝐇 = 𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 4𝜋𝑅2 No segmento z, temos que 𝐼𝑑𝐋 = 𝐼𝑑𝑧𝐚𝑧 O unitário 𝐚𝑅 que conecta este segmento ao ponto x0, é dado por: 𝐚𝑅 = 𝑥0𝐚𝑥 + 𝑧𝐚𝑧 √𝑥0 2 + 𝑧2 𝑅 = √𝑥0 2 + 𝑧2 𝑑𝐇 = 𝐼𝑑𝑧𝐚𝑧 4𝜋(𝑥0 2 + 𝑧2) × 𝑥0𝐚𝑥 + 𝑧𝐚𝑧 √𝑥0 2 + 𝑧2 = 𝐼𝑑𝑧𝑥0𝐚𝑦 4𝜋(𝑥0 2 + 𝑧2)3/2 Agora precisamos integrar esta equação para encontramos H. Assim, 𝐇 = ∫ 𝐼𝑑𝑧𝑥0𝐚𝑦 4𝜋(𝑥0 2 + 𝑧2)3/2 𝑙/2 −𝑙/2 = 𝐼𝑥0𝐚𝑦 4𝜋 ∫ 𝑑𝑧 (𝑥0 2 + 𝑧2)3/2 𝑙/2 −𝑙/2 = 𝐼𝑥0𝐚𝑦 4𝜋 𝑧 𝑥0 2√𝑥0 2 + 𝑧2 | −𝑙/2 𝑙/2 𝐇 = 𝐼𝐚𝑦 4𝜋𝑥0 [ 𝑙/2 √𝑥0 2 + (𝑙/2)2 + 𝑙/2 √𝑥0 2 + (𝑙/2)2 ] 𝐇 = 𝐼𝑙𝐚𝑦 4𝜋𝑥0 [ 1 √4𝑥0 2 + 𝑙2 + 1 √4𝑥0 2 + 𝑙2 ] 𝐇 = 𝐼𝑙𝐚𝑦 4𝜋𝑥0 [ 2 √4𝑥0 2 + 𝑙2 ] 𝐇 = 𝐼𝑙𝐚𝑦 2𝜋𝑥0√4𝑥0 2 + 𝑙2 Como 𝑥0 = 𝑙 2√3 𝐇 = 𝐼𝑙𝐚𝑦 2𝜋 𝑙 2√3 √4( 𝑙2 12 ) + 𝑙2 𝐇 = 𝐼𝑙𝐚𝑦 2𝜋 𝑙 2√3 𝑙 2 √3 𝐇 = 3𝐼𝐚𝑦 2𝜋𝑙 Portanto, a contribuição total vinda dos 3 lados do triângulo será, 𝐇T = 3 × 3𝐼𝐚𝑦 2𝜋𝑙 𝐇T = 9𝐼 2𝜋𝑙 𝐚𝑦 7.4 Duas espiras circulares estão centradas no eixo z, em z = ±h. Cada espira tem raio a e conduz uma corrente I na direção 𝐚𝜙. (a) Determine H no eixo z na faixa −h < z < h. Considere I = 1 A e faça o gráfico de |H| em função de z/a se (b) h = a /4; (c) h = a/2; (d) h = a. Qual valor de h fornece o campo mais uniforme? Esse sistema é denominado bobinas de Helmholtz (neste caso, as bobinas correspondem às duas espiras*), utilizadas para oferecer campos uniformes. a) Determine H no eixo z na faixa −h < z < h. Da Lei de Biot-Savart, temos que, 𝑑𝐇 = 𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 4𝜋𝑅2 Para a espira em z = h, temos, 𝐼𝑑𝐋 = 𝐼𝑎𝑑𝜙𝐚𝜙 𝐚𝑅 = −𝑧𝐚𝑧 − 𝑎𝐚𝜌 √𝑎2 + 𝑧2 𝑅 = √𝑎2 + 𝑧2 𝑑𝐇 = 𝐼𝑎𝑑𝜙𝐚𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2) × −𝑧𝐚𝑧 − 𝑎𝐚𝜌 √𝑎2 + 𝑧2 = 𝐼𝑎𝑑𝜙(−𝑧𝐚𝜌 + 𝑎𝐚𝑧) 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝑑𝐇 = − 𝐼𝑎𝑧𝑑𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝜌 + 𝐼𝑎2𝑑𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝑧 O primeiro termo terá contribuição zero, por conta da simetria. Assim, 𝑑𝐇 = 𝐼𝑎2𝑑𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 Integrando, temos, 𝐇 = 𝐼𝑎2 2(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝑧 A/m Fazendo z = z – h, temos, 𝐇 = 𝐼𝑎2 2(𝑎2 + (𝑧 − ℎ)2)3/2 𝐚𝑧 A/m Para a espira em z = -h, temos, 𝐼𝑑𝐋 = 𝐼𝑎𝑑𝜙𝐚𝜙 𝐚𝑅 = 𝑧𝐚𝑧 − 𝑎𝐚𝜌 √𝑎2 + 𝑧2 𝑅 = √𝑎2 + 𝑧2 𝑑𝐇 = 𝐼𝑎𝑑𝜙𝐚𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2) × 𝑧𝐚𝑧 − 𝑎𝐚𝜌 √𝑎2 + 𝑧2 = 𝐼𝑎𝑑𝜙(𝑧𝐚𝜌 + 𝑎𝐚𝑧) 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝑑𝐇 = 𝐼𝑎𝑧𝑑𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝜌 + 𝐼𝑎2𝑑𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝑧 Idem para o primeiro termo da expressão acima, 𝑑𝐇 = 𝐼𝑎2𝑑𝜙 4𝜋(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝑧 Integrando, temos, 𝐇 = 𝐼𝑎2 2(𝑎2 + 𝑧2)3/2 𝐚𝑧 A/m Fazendo z = z + h, 𝐇 = 𝐼𝑎2 2(𝑎2 + (𝑧 + ℎ)2)3/2 𝐚𝑧 A/m O campo HT torna-se, 𝐇 = 𝐼𝑎2 2 [ 1 (𝑎2 + (𝑧 − ℎ)2)3/2 + 1 (𝑎2 + (𝑧 + ℎ)2)3/2] 𝐚𝑧 A partir daqui fica fácil para vocês encontrarem o restante das soluções. 7.6 Um disco de raio a pertence ao plano xy, com o eixo z passando pelo seu centro. Uma carga superficial de densidade uniforme 𝜌𝑠 está presente no disco, que gira em volta do eixo z em uma velocidade angular de Ω rad/s. Calcule H em todos os pontos no eixo z. Começamos com a Lei de Biot-Savart, 𝑑𝐇 = 𝐼𝑑𝐋 × 𝐚𝑅 4𝜋𝑅2 Como temos uma carga superficial, devemos usar a densidade de corrente superficial K, onde, 𝐊 = 𝜌𝑠𝐯 Precisamos converter a velocidade angular para velocidade linear. Logo, 𝐯 = 𝜌Ω𝐚𝜙. Substituindo, 𝐊 = 𝜌𝑠𝜌Ω𝐚𝜙 𝐇 = 71,4𝐚𝜙 A/m c) PC(2,7 cm, π/2, 2 cm) Neste caso, 𝜌 = 2,7 cm está dentro da seção do toroide, 𝐇 = 3𝜋 2𝜋(0,027) 𝐚𝜙 = 55,6𝐚𝜙 A/m 𝐇 = 55,6𝐚𝜙 A/m d) PD(3,5 cm, π/2, 2 cm) Neste caso, 𝜌 = 3,5 cm está fora da seção do toroide, 𝐇 = 0 7.16 Um condutor filamentar conduz uma corrente I na direção −𝐚𝑧 e se estende ao longo de todo o eixo z positivo. Na origem, ele é conectado a uma lâmina condutora que forma o plano xy. (a) Determine K na lâmina condutora. (b) Use a lei circuital de Ampère para encontrar H para z > 0. (c) Determine H para z < 0. a) Determine K na lâmina condutora Como o fio se conecta com o plano condutor, a direção da corrente neste plano deverá ser radial. Assim, K é a corrente total dividida pela circunferência, 𝐊 = 𝐼 2𝜋𝜌 𝐚𝜌 A/m b) Use a lei Circuital de Ampère para encontrar H para z > 0 𝐼 = ∮ 𝐇 ∙ 𝑑𝐋 = 𝐻 ∫ 𝜌𝑑𝜙 2𝜋 0 𝐼 = 2𝜋𝜌𝐻𝜙 Lembre que a corrente flui no sentido −𝐚𝑧. Assim, 𝐻𝜙 = − 𝐼 2𝜋𝜌 𝐇 = − 𝐼 2𝜋𝜌 𝐚𝜙 A/m c) Determine H para z < 0 Como o filamento se estende ao longo de todo o eixo z positivo, a corrente envolvida na região negativa é zero. Logo, 𝐇 = 0 7.18 Um fio de 3 mm de raio é constituído de um material interno (0 < ρ < 2 mm) para o qual σ = 107 S/m, e de um material externo (2 mm < ρ < 3 mm) para o qual σ = 4 × 107 S/m. Se pelo fio passa uma corrente contínua total de 100 mA, determine H em todos os pontos como uma função de ρ. Os materiais têm condutividades diferentes, logo, as correntes em cada fio serão diferentes. Precisamos achar o campo elétrico, que sai pela Lei de Ohm 𝐉 = 𝜎𝐄, sabendo que neste caso o campo E é constante. Mas antes, vamos calcular a corrente sai diretamente da relação entre as áreas dos condutores e a densidade de corrente J em cada fio, 𝐼 = 𝜋(0,002)2𝐽1 + 𝜋[(0,003)2 − (0,002)2]𝐽2 𝐼 = 𝜋(0,002)2𝜎1𝐸 + 𝜋[(0,003)2 − (0,002)2]𝜎2𝐸 100 × 10−3 = [𝜋(0,002)2107 + 𝜋[(0,003)2 − (0,002)2](4 × 107)]𝐸 𝐸 = 1,33 × 10−4 V/m Podemos usar a Lei de Ampère em um caminho circular, primeiro com um raio ρ < 2 mm, 𝐻𝜙1 = 𝐼 2𝜋𝜌 = 𝜋𝜌2𝐽1 2𝜋𝜌 = 𝜋𝜌2𝜎1𝐸 2𝜋𝜌 𝐻𝜙1 = 𝜋𝜌2107(1,33 × 10−4) 2𝜋𝜌 = 𝜌107(1,33 × 10−4) 2 = 665𝜌 𝐇1 = 665𝜌𝐚𝜙 A/m Agora para um raio 2 mm < ρ < 3 mm, 𝐻𝜙2 = 𝐼 2𝜋𝜌 = 𝜋(0,002)2𝜎1𝐸 + 𝜋[𝜌2 − (0,002)2]𝜎2𝐸 2𝜋𝜌 𝐻𝜙2 = 2,7 × 103𝜌 − 8 × 10−3 𝜌 A/m Agora para um raio ρ > 3 mm, 𝐻𝜙3 = 𝐼 2𝜋𝜌 = 100 × 10−3 2𝜋𝜌 𝐻𝜙3 = 1,6 × 10−2 𝜌 A/m 7.20 Um condutor sólido de seção reta circular, com raio de 5 mm, tem uma condutividade que varia com o raio. O condutor tem 20 metros de comprimento e existe uma diferença de potencial contínua de 0,1 V entre suas duas extremidades. Dentro desse condutor, 𝐇 = 105𝜌2𝐚𝜙 A/m. (a) Calcule σ como uma função de ρ. (b) Qual é o valor da resistência entre as duas extremidades? a) Calcule σ como uma função de ρ Usamos a equação de Maxwell e depois aplicamos a Lei de Ohm, 𝐉 = ∇ × 𝐇 𝐉 = 1 ρ 𝑑 𝑑ρ (𝜌𝐻𝜙)𝐚𝑧 = 1 ρ 𝑑 𝑑ρ (105𝜌3)𝐚𝑧 = 3 × 105ρ𝐚𝑧 A/m2 𝐉 = 3 × 105𝐚𝑧 A/m2 Temos que, 𝐄 = 0,1 20 𝐚𝑧 𝐄 = 5 × 10−3𝐚𝑧 V/m Aplicando agora a Lei de Ohm 𝐉 = 𝜎𝐄, 𝜎 = 𝐉 𝐄 = 𝐽 𝐸 = 3 × 105ρ 5 × 10−3 = 6 × 107ρ S/m 𝜎 = 6 × 107ρ S/m b) Qual é o valor da resistência entre as duas extremidades? Para isso, calculamos a corrente no fio, 𝐼 = ∮ 𝐉 ∙ 𝑑𝐒 = 2𝜋 ∫ 3 × 105ρ𝐚𝑧 ∙ 𝐚𝑧ρdρ 𝑎 0 = 6 × 105𝜋 ∫ ρ2dρ 𝑎 0 𝐼 = 6 × 105𝜋 ρ3 3 | 0 𝑎 = 2 × 105𝜋𝑎3 = 2𝜋 × 105(5 × 10−3)3 𝐼 = 79 mA Com isso, obtemos a resistência da lei de Ohm, 𝑅 = 𝑉0 𝐼 = 0,1 79 × 10−3 = 1,3 Ω 𝐻𝜙 = 0,6 2𝜋𝜌2 A/m (em magnitude) 𝐇 = − 0,6 2𝜋𝜌2 𝐚𝜙 (sinal pela regra da mão direita) c) Calcule o fluxo total dentro do toroide. Φ = ∫ 𝐁 ∙ 𝑑𝐒 𝑠 = μ0 ∫ 𝐇 ∙ 𝑑𝐒 𝑠 Wb 𝑑𝐒 = 𝑑𝜌𝑑𝑧𝐚𝜙 Φ = −μ0 ∫ 0,6 2𝜋𝜌2 𝐚𝜙 ∙ 𝐚𝜙𝑑𝜌𝑑𝑧 𝑠 Φ = −μ0 ∫ ∫ 0,6 2𝜋𝜌2 𝑑𝜌𝑑𝑧 0,03 0,02 0,04 0,01 Φ = −μ0(0,03)∫ 0,6 2𝜋𝜌2 𝑑𝜌 0,03 0,02 Φ = − μ0(0,03)(0,6) 2𝜋 [− 1 𝜌 ] 0,02 0,03 Φ = μ0(0,03)(0,6) [ 1 0,03 − 1 0,02 ] Φ = −μ00.3 Wb 7.36 Seja 𝐀 = (3𝑦 − 𝑧)𝐚𝑥 + 2𝑥𝑧𝐚𝑦 Wb/m em uma certa região do espaço livre. (a) Mostre que ∇ ∙ 𝐀 = 0. (b) Em P(2, −1, 3) calcule A, B, H e J. a) Mostre que ∇ ∙ 𝐀 = 0 ∇ ∙ 𝐀 = 𝜕 𝜕𝑥 (3𝑦 − 𝑧) + 𝜕 𝜕𝑦 (2𝑥𝑧) = 0 b) Em P(2, −1, 3) calcule A, B, H e J 𝐀𝑃 = (3(−1) − 3)𝐚𝑥 + 2(2)(3)𝐚𝑦 Wb/m 𝐀𝑃 = −6𝐚𝑥 + 12𝐚𝑦 Wb/m 𝐁 = ∇ × 𝐀 𝐁 = −2𝑥𝐚𝑥 − 𝐚𝑦 + (2𝑧 − 3)𝐚𝑧 𝐁𝑃 = −2(2)𝐚𝑥 − 𝐚𝑦 + (2(3) − 3)𝐚𝑧 𝐁𝑃 = −4𝐚𝑥 − 𝐚𝑦 + 3𝐚𝑧 Wb/m2 𝐇 = 1/μ0𝐁 = 1 μ0 (−2𝑥𝐚𝑥 − 𝐚𝑦 + (2𝑧 − 3)𝐚𝑧) 𝐇𝑃 = 1 μ0 (−4𝐚𝑥 − 𝐚𝑦 + 3𝐚𝑧) A/m 𝐉 = ∇ × 𝐇 = 1 μ0 ∇ × 𝐁 = 𝟎 𝐉 = 0 Forças Magnéticas, Materiais e Indutância Resolução dos problemas pares propostos no Capítulo 8 do Hayt Jr, 8ª Edição 8.2 Compare as intensidades das forças elétrica e magnética exercidas sobre um elétron que atinge uma velocidade de 107 m/s. Considere uma intensidade de campo elétrico de 105 V/m e uma densidade de fluxo magnético associada à densidade do campo magnético da Terra em latitudes temperadas, equivalente a 0,5 gauss (G). Começamos com a equação da força de Lorentz, 𝐅 = 𝑄(𝐄 + 𝐯 × 𝐁) de onde força eletrostática é dada por 𝐅𝑒 = 𝑄𝐄 e a magnetostática por 𝐅𝑚 = 𝑄𝐯 × 𝐁. |𝐄| = 105 V/m |𝐁| = 0,5 G = 5 × 10−5 T Assim a aplicação destas forças é imediata, |𝐅𝑒| = |𝑄𝐄| = (1,6 × 10−19 C)(105 V/m) = 1,6 × 10−14 N |𝐅𝑚| = |𝑄𝐯 × 𝐁| = (1,6 × 10−19 C)(107 m/s)(5 × 10−5 T) = 8 × 10−17 N Portanto, a razão entre as forças elétrica e magnética é dada por, |𝐅𝑒| |𝐅𝑚| = 1,6 × 10−14 N 8 × 10−17 N |𝐅𝑒| |𝐅𝑚| = 200 Ou seja, a força eletrostática é 200 vezes maior que a magnetostática neste caso. 8.6 Mostre que o trabalho diferencial ao mover um elemento de corrente IdL ao longo de uma distância dl em um campo magnético B, é o negativo do trabalho realizado no movimento do elemento IdL em uma distância dL no mesmo campo. Comecemos pela definição de trabalho, que é força multiplicada por uma distância. Assim, um diferencial de trabalho é dado por, 𝑑𝑊 = 𝐅 ∙ 𝑑𝐋 Já sabemos que 𝐅𝑚 = 𝐼𝑑𝐋 × 𝐁. Logo, para um elemento de corrente 𝐼𝑑𝐋 passando por uma distância dl 𝑑𝑊1 = (𝐼𝑑𝐋 × 𝐁) ∙ 𝑑𝐥 Agora, tomando o segundo caso, como sugerido no problema, para um elemento de corrente 𝐼𝑑𝐥 passando por uma distância dL, 𝑑𝑊2 = (𝐼𝑑𝐥 × 𝐁) ∙ 𝑑𝐋 Observe que o lado direito dessas duas equações está relacionado à seguinte identidade vetorial, (𝐀 × 𝐁) ∙ 𝐂 = (𝐁 × 𝐂) ∙ 𝐀 Com isso, podemos escrever o lado direito de 𝑑𝑊1 como, (𝐼𝑑𝐋 × 𝐁) ∙ 𝑑𝐥 = (𝐁 × 𝑑𝐥) ∙ 𝐼𝑑𝐋 = −(𝐼𝑑𝐥 × 𝐁) ∙ 𝑑𝐋 Na equação acima foram utilizadas apenas identidades vetoriais. Com isso, 𝑑𝑊1 = −(𝐼𝑑𝐥 × 𝐁) ∙ 𝑑𝐋 = −𝑑𝑊2 8.8 Duas fitas condutoras, de comprimentos infinitos na direção z, estão situadas no plano xz. Uma ocupa a região d /2 < x < b + d /2 e conduz uma densidade de corrente superficial 𝐊 = 𝐾0𝐚𝑧, enquanto a outra está situada em −(b + d /2) < x < −d /2 e conduz uma densidade de corrente superficial igual a −𝐾0𝐚𝑧. (a) Encontre a força por unidade de comprimento em z que tende a separar as duas fitas. (b) Considere que b se aproxima de zero enquanto a corrente é mantida constante (𝐼 = 𝐾0𝑏), e mostre que a força por unidade de comprimento tende a μ0𝐼 2/(2𝜋𝑑) N/m. a) Encontre a força por unidade de comprimento em z que tende a separar as duas fitas. 𝐅2 = − 𝑧𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [( 𝑑 2 + 𝑏 + 𝑑 2 + 𝑏) ln( 𝑑 2 + 𝑏 + 𝑑 2 + 𝑏 𝑑 2 + 𝑏 + 𝑑 2 ) + (b) ln ( 𝑑 2 + 𝑏 + 𝑑 2 ) − ( 𝑑 2 + 𝑑 2 + 𝑏) ln( 𝑑 2 + 𝑑 2 + 𝑏 𝑑 2 + 𝑑 2 ) − (b) ln ( 𝑑 2 + 𝑑 2 )] 𝐚𝑥 𝐅2 = − 𝑧𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(𝑑 + 2𝑏) ln ( 𝑑 + 2𝑏 𝑏 + d ) + (b) ln(𝑏 + d) − (d + 𝑏) ln ( d + 𝑏 𝑑 ) − (b) ln(𝑑)] 𝐚𝑥 Força por unidade de comprimento, pode supor z =1 m, 𝐅2 𝑧 = − 𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(𝑑 + 2𝑏) ln ( 𝑑 + 2𝑏 𝑏 + 𝑑 ) + (𝑏) ln(𝑏 + 𝑑) − (𝑑 + 𝑏) ln ( 𝑑 + 𝑏 𝑑 ) − (𝑏) ln(𝑑)] 𝐚𝑥 É possível simplificar ainda mais a equação acima, mas deixo para vocês fazerem. Veja que a força sobre a fita 2 produzida pela fita 1 vai no sentido −𝐚𝑥, indicando que esta força é repulsiva. b) Considere que b se aproxima de zero enquanto a corrente é mantida constante (𝐼 = 𝐾0𝑏), e mostre que a força por unidade de comprimento tende a μ0𝐼 2/(2𝜋𝑑) N/m Supondo que b tende a zero na equação da força, temos, 𝐅2 𝑧 = − 𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(𝑑 + 2𝑏) ln( 1 + 2𝑏 𝑑 1 + 𝑏 𝑑 ) + (𝑏) ln(𝑏 + d) − (𝑑 + 𝑏) ln (1 + 𝑏 𝑑 ) − (𝑏) ln(𝑑)] 𝐚𝑥 𝐅2 𝑧 = − 𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(𝑑 + 2𝑏) ln( 1 + 2𝑏 𝑑 1 + 𝑏 𝑑 ) + (𝑏) ln (1 + 𝑏 𝑑 ) − (𝑑 + 𝑏) ln (1 + 𝑏 𝑑 )] 𝐚𝑥 𝐅2 𝑧 = − 𝑑𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(1 + 2𝑏 𝑑 ) ln( 1 + 2𝑏 𝑑 1 + 𝑏 𝑑 ) + ( 𝑏 𝑑 ) ln (1 + 𝑏 𝑑 ) − (1 + 𝑏 𝑑 ) ln (1 + 𝑏 𝑑 )] 𝐚𝑥 𝐅2 𝑧 = − 𝑑𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(1 + 2𝑏 𝑑 ) ln( 1 + 2𝑏 𝑑 1 + 𝑏 𝑑 ) − ln (1 + 𝑏 𝑑 )] 𝐚𝑥 Para 𝑏 𝑑 ≪ 1, temos que 1 1 + 𝑏 𝑑 ≅ 1 − 𝑏 𝑑 + ( 𝑏 𝑑 ) 2 𝐅2 𝑧 = − 𝑑𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(1 + 2𝑏 𝑑 ) ln [(1 + 2𝑏 𝑑 ) (1 − 𝑏 𝑑 + ( 𝑏 𝑑 ) 2 )] − ln (1 + 𝑏 𝑑 )] 𝐚𝑥 𝐅2 𝑧 = − 𝑑𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(1 + 2𝑏 𝑑 ) ln [1 − 𝑏 𝑑 + ( 𝑏 𝑑 ) 2 + 2𝑏 𝑑 − 2𝑏2 𝑑2 + 2𝑏3 𝑑3 ] − ln (1 + 𝑏 𝑑 )] 𝐚𝑥 Olhando o argumento dos logaritmos, para 𝑎𝑟𝑔 = 1 + 𝑓 ( 𝑏 𝑑 ) para 𝑓 ( 𝑏 𝑑 ) ≪ 1, temos que o log(𝑎𝑟𝑔) = 𝑎𝑟𝑔. Assim, 𝐅2 𝑧 = − 𝑑𝜇0𝐾0 2 2𝜋 [(1 + 2𝑏 𝑑 )(1 − 𝑏 𝑑 + ( 𝑏 𝑑 ) 2 + 2𝑏 𝑑 − 2𝑏2 𝑑2 + 2𝑏3 𝑑3 ) − (1 + 𝑏 𝑑 )] 𝐚𝑥 Expandindo, 𝐅2 𝑧 = − 𝜇0(𝑏𝐾0) 2 2𝜋𝑑 𝐚𝑥 N/m 8.10 Uma linha de transmissão plana consiste em dois planos condutores de largura b separados por d m no ar, pelos quais circulam correntes iguais e opostas de I A. Se b >> d, encontre a força de repulsão por metro de comprimento entre os dois condutores. Temos que, 𝐅2 = ∫ 𝐊2 × 𝐁1𝑑𝑆 𝑠 Que é a força na linha 2 devido ao campo da linha 1. Assim, 𝐇2 = ∫ 𝐊1 × 𝐚𝑅12𝑑𝑆 4𝜋𝑅12 2 𝑠 𝐚𝑅12 = 8.12 Dois anéis circulares condutores são paralelos, compartilham do mesmo eixo, possuem raio a e estão separados por uma distância d, onde d << a. Cada anel conduz uma corrente I. Determine a força de atração aproximada e indique as orientações relativas das correntes. 8.14 Um solenoide, com 25 cm de comprimento e 3 cm de diâmetro, conduz 4 A de corrente contínua em sua bobina de 400 espiras. Seu eixo é perpendicular a um campo magnético uniforme de 0,8 Wb/m2 no ar. Usando uma origem no centro do solenoide, calcule o torque que age sobre ele. 8.20 Calcule H em um material onde (a) μr = 4,2, no qual existem 2,7 × 1029 átomos/m3 e cada átomo tem um momento de dipolo de 2,6 × 10−30𝐚𝑦 A · m2; (b) M = 270𝐚𝑧 A/m e μ = 2 μH/m; (c) χm = 0,7 e B = 2𝐚𝑧 T. (d) Calcule M em um material onde existem densidades superficiais de corrente ligada de 12𝐚𝑧 A/m e −9𝐚𝑧 A/m em ρ = 0,3 e 0,4 m, respectivamente. 8.22 Sob certas condições, é possível aproximar os efeitos de materiais ferromagnéticos assumindo linearidade na relação entre B e H. Seja μr = 1000 para certo material do qual um fio cilíndrico de raio 1 mm é feito. Se I = 1 A e a distribuição de corrente é uniforme, calcule (a) B; (b) H, (c) M, (d) J e (e) JB dentro do fio. 8.28 Para valores de B abaixo do joelho da curva de magnetização para o aço-silício, aproxime a curva por uma linha reta com μ = 5 mH/m. O núcleo mostrado na Figura 8.16 possui áreas de 1,6 cm2 e comprimentos de 10 cm em cada perna externa, e uma área de 2,5 cm2 e comprimento de 3 cm na perna central. Uma bobina de 1200 espiras, que conduz 12 mA, é enrolada na perna central. Calcule B na: (a) perna central; (b) perna central se um gap de ar de 0,3 mm está presente nessa perna.