Resolução halliday vl 3, Exercícios de Física

Baixe Resolução halliday vl 3 e outras Exercícios em PDF para Física, somente na Docsity! Capítulo 16 1. Seja y, = 2,0 mm (correspondente ao instante 1) e seja y, = -2,0 mm (correspondente ao instante 1,). Temos: kx + 600%, + & = sen '(2,0/6,0) kx + 600L, + & = sen!(-2,0/6,0). Subtraindo a segunda equação da primeira, obtemos: 600(t, — t») = sen'(2,0/6,0) — sen(-2,0/6,0), oquenos dát,-=0,011s=1,] ms. 2. (a) Como a velocidade de uma onda é a distância percorrida dividida pelo tempo necessário para percorrê-la, temos: y= BSdassentos | 47 assontos/s = 22 assentos/s. 39s (b) Como a largura L é igual à distância percorrida pela onda durante o tempo médio que um espectador leva para se levantar e voltar a se sentar, temos: L=vt=(21,87 assentos/s)(1,8 s) = 39 assentos. 3. (a) O número deonda ck = 22 = 22 3, 49m. À 1,80m 1 q (b) A velocidade da onda é v= Af = jo = $i80m)( Orada) =31,5m/s. 4. A distância d entre o besouro e o escorpião está relacionada à velocidade transversal v, e à velocidade longitudinal v, através das equações d=vt, e d=vi, nas quais (, e t, são os instantes de chegada da onda transversal e da onda longitudinal, respec- tivamente. Para v, = 50 m/s e v,= 150 m/s, temos: 150mis v 50m/s 3,0. Assim, se At=t,-1,=3,0t,-t,=2,01,=4,0x10%s > 1 =2,0x10%s, d= vt, =(150 m/s)(2,0x 10º s) = 0,30 m = 30 cm. 5. (a) A distância entre o ponto de deslocamento máximo e o ponto de deslocamento zero cor- responde a um quarto de ciclo. Se um quarto do período é 0,170 s, o período é T = 4(0,170 s) = 0,680 s. 126 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (b) A frequência é o recíproco do período: =——— = 1,47 Hz. 0,680s (c) Como uma onda senoidal percorre uma distância igual a um comprimento de onda em um intervalo de tempo igual a um período, = A - 140m T 0,680s =2,06m/s. 6. A inclinação mostrada no gráfico da Fig. 16-30 é a inclinação real da corda (que não deve ser confundida com a “inclinação” abstrata da curva que representa a posição de um ponto da corda em função do tempo; a inclinação real é a derivada em relação a x, enquanto a outra “in- clinação” é a derivada em relação a 1). Assim, quando o gráfico mostra uma inclinação máxima (adimensional) de 0,2, está se referindo ao máximo da seguinte função: dy d a E [bmsençhr — wt)] = Ymk cos(kx — qt). O problema informa ainda que a inclinação foi medida no instante t = 0, mas esse dado não é necessário para resolver o problema. O máximo da expressão acima é y,k, na qual =20 2 27 = =15,7 rad/m. A 0,40m Assim, como sabemos que o produto y,Kk é igual a 0,2, temos: 0,2 )Jn=——— = 0,0127 m=1,3 cm. 15,7 rad/fm 7. (a) Como v,, = ymt» (veja o Capítulo 12), temos: w=JÓ -agoradis. 0,040 Como w = 27f, f = w/21 = 64 Hz. (b) Como v=/A,A =v/f=1,26m=1,3m. (c) A amplitude do deslocamento transversal é y, = 4,0 cm = 4,0 x 102 m. (d) O número de onda é k = 27/A = 5,0 rad/m. (e) A frequência angular, calculada no item (a), é 400 rad/s. (f) A função que descreve a onda é da forma »=0,040sen(5x — 4001 + &) na qual a distância está em metros e o tempo em segundos. A constante de fase & deve ser tal que y = 0,040 no ponto x = O e no instante t = 0. Para isso, devemos ter sen & = 1, o que nos dá p=m/2rad. (g) O sinal que precede w é o sinal negativo. 8. Fazendo x = O na equação u = —w ymcos(k x — ot+ &) (veja a Eq. 16-21 ou a Eg. 16-28), temos u=-w Ya cos(—w t+), SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 129 13. O comprimento de onda é À = v/f = 350/500 = 0,700 m = 700 mm e o período é T= 1/f= 1/500 = 2,00 x 10? s = 2,00 ms. (a) Como 27% radianos correspondem a um comprimento de onda, 77/3 rad correspondem a A/6. A distância pedida, é, portanto, À/6 = 700/6 = 117 mm. (b) Como um intervalo de 1,00 ms corresponde a meio período e um período corresponde a uma diferença de fase de 27 radianos, a diferença de fase é 277/2 = 7 rad. 14. (a) Comparando a equação dada com a Eq. 16-2, vemos que k = 20/m e w = 600/s. Assim, de acordo com a Eg. 16-13, a velocidade da onda é v = w/k = 30 m/s. (b) De acordo com a Eq. 16-26, TI u="2=302 = 0017kg/m=17g/m. 15. (a) A amplitude da onda é y,= 0,120 mm. (b) Como a velocidade da onda é dada por v = ./7/u, na qual 7 é a tensão da corda e q é a massa específica linear da corda, o comprimento de onda é À = v/f = /7/u.!f e o número de onda é 622 camp [E -om(100H) =141m'!. À T 10N (c) Como a frequência é f= 100 Hz, a frequência angular é ow =2uf=27(100 Hz) = 628 rad/s. (d) Podemos escrever o deslocamento da corda na forma y = y, sen(kx + wt). O sinal que prece- de w é positivo porque a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x. Para resumir, a onda pode ser expressa na forma y= (0,120 mm)sen[(141m-)x + (628 s)]. 16. Como v=/7/ucu'7, temos: 180m/s 2 2 n=m (=) = (120) =135N. vi 's 17. (a) A velocidade da onda é dada por v = À/T = w/k, em que À é o comprimento de onda, Té o período, «w é a frequência angular (277/T) e k é o número de onda (27/A). Como o deslocamento é da forma y =», sen(kx + wt), k = 2,0 m! e w = 30 rad/s. Assim, v=(30 rad/s)/(2,0 m!) = 15 m/s. (b) Como a velocidade da onda é dada por v = ./7/H., na qual 7 é a tensão da corda e u é a massa específica linear da corda, a tensão é T=pv? =(1,6x10* kg/m)(15m/s) =0,036N. 18. O volume de um cilindro de altura 4 é V = 7124 = ad?4/4. As cordas são cilindros longos e estreitos, um de diâmetro d, e outro de diâmetro d, (as massas específicas lineares correspon- dentes são u, e g,). Como a massa é igual à massa específica (volumétrica) multiplicada pelo volume (m = pV), a massa específica linear pode ser escrita na forma om préti4 pd? Mo to 4 130 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS ea razão das massas específicas das duas cordas é 2 ma mpdi/4 (2) m mpdi/4 ld, du jm [30 39 d Vw 0,29 19. A velocidade da onda é dada por v=./7/j, em que 7 é a tensão da corda e y é a massa específica linear da corda. A massa específica linear da corda é a massa por unidade de com- primento: yu = m/L. Assim, a razão dos diâmetros é Assim, v= [EL (600 NX2,00m) (o my. m 0,0600 kg 20. Como v=./7/q.,, temos: Vrova Al Trova | Eenova =J2 Vanga A) Tania /Haniga 21. Os pulsos têm a mesma velocidade v. Suponha que um dos pulsos parte da extremidade esquerda do fio no instante t = 0. A coordenada do pulso no instante t é x, = vt. O outro pulso parte da extremidade esquerda, situada no ponto x = L, sendo que L é o comprimento do fio, no instante 1 = 30 ms. Se esse tempo for chamado de t,, a coordenada do pulso no instante t é x =L— v(t— ty). No instante em que os pulsos se encontram, x, = x,, O que significa que vt = L— v(t — ty). Assim, o instante em que os pulsos se encontram é dado por t = (L + vío)/2v e a coordenada do ponto de encontro é x = vt = (L + vto)/2. A velocidade dos pulsos é dada por v= q C25ON)(0,0m) oops m 0,100kg A coordenada do ponto em que os pulsos se encontram é, portanto, += 10,0m + (158 m/s) (30,0 x 10?s) =7,37m. 2 Essa é a distância da extremidade esquerda do fio. A distância da extremidade direita é L — x= (10,0m — 7,37m)=2,63m. 22. (a) A expressão geral de uma onda progressiva senoidal é > (x, t) = Yy sen(kx — wt), que, para x = 10 cm, se torna y (10, ) = y, sen[k(1O — vn). Comparando com a expressão dada, vemos que w = 4,0 rad/s e f= w/27 = 0,64 Hz. (b) Como k x 10 = 1,0, o número de onda é k = 0,10 cm! c A = 27/k = 63 cm. (c) A amplitude é y,, = 5,0 cm. (d) Como foi visto no item (b), k = 0,10 cm”. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 131 (e) Como foi visto no item (a), w = 4,0 rad/s. (f) O sinal que precede w é o sinal negativo. (g) Como v=w/k=./7/u., a tensão da corda é wu (4,0 glem)(40 s!)? = = ocmip 40 g-em/s? = 0,064 N. ,10 em” 23. (a) De acordo com o gráfico da Fig. 16-34, a amplitude é 5,0 cm. (b) Como a curva da figura passa pelo ponto y = 4,0 cm no ponto x = O e passa novamente pelo mesmo ponto, com a mesma inclinação, no ponto x = 40 cm, o comprimento de onda é 40 cm. (c) Como a velocidade da onda é v=./7/u, em que 7 é a tensão da corda e u é a massa espe- cífica linear da corda, =12m/s. (d) A frequência é f= v/A = (12 m/s)/(0,40 m) = 30 Hz e o período é T=/f=1/(30 Hz) = 0,033 s. (e) A velocidade transversal máxima de uma partícula da corda é Um = 0), = 27yn = 27(30 Hz) (5,0 cm) = 940 cm/s = 9,4 m/s. (f) O número de onda é k = 277/A = 27/(0,40 m) = 16m'!. (g) A frequência angular é w = 27f = 27(30 Hz) = 1,9 x 10º rad/s. (h) De acordo com o gráfico, o deslocamento em x= 0 e 1=0 é 4,0x 10? m. A expressão do deslocamento em função do ângulo de fase é (0, 0) = y, sen &. Como a amplitude da onda é 5,0x 102 m, o valor de & deve ser tal que 5,0x 102 sen & = 4,0 x 1072. As soluções da equação acima são 0,93 rad e 2,21 rad. Como apenas para a primeira solução a curva tem uma inclinação positiva no ponto x = 0, q = 0,93 rad. (1) Como a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x, o sinal que precede w é o sinal negativo. Resumindo, a equação da onda é »(,)=(5,0x 102m)sen[(16m-!)x + (1905!) + 0,93]. 24. (a) Como a tensão de cada corda é dada por 7 = Mg/2, a velocidade da onda na corda 1 é u= [2 = [Me [COPOS on mo N2m 243,00 g/m) (b) A tensão na corda 2 é v = | Me - | S00g(9,80m/s?) | 2 Nm 2(5,00 g/m) or 134 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 35. A figura a seguir mostra o diagrama fasorial apropriado, no qual y,, € Y»m representam as ondas originais e y, representa a onda resultante. Como os fasores que representam as ondas originais são mutuamente perpendiculares, o triân- gulo da figura é um triângulo retângulo e podemos usar o teorema de Pitágoras: Ya = Vim + Bm = (3,0 cm)? + (4,0cm)? = (25cm)?. Assim, Y, = 5,0 cm. Nota: Ao somar duas ondas, é conveniente representar as ondas através de fasores. O mes- mo resultado, porém, pode ser obtido escrevendo as ondas na forma y, = 3sen(kx — wt) e »» = 4sen(kx — wt + 77/2) = 4 cos(kx — wt), o que nos dá, depois de algumas manipulações al- gébricas, y=) +) = 3sen(kx — wt) + 4cos(kx — wt) = [5 sen(kx — mt) + Scos(kr — an] = Ssen(kx — wt + 4) nas quais & = tan!(4/3). Para determinar o valor da constante de fase &, fazemos cos & = 3/5, sen & = 4/5 e usamos a relação cos q sen O + sen p cos 0 = sen(0 + q). 36. Podemos ver que y, ey; cancelam (estão defasadas de 77 rad = 180º) e y, e y, se cancelam (também estão defasadas de 7 rad = 180º). Assim, a onda resultante tem amplitude zero, ou seja, não existe onda resultante. 37. (a) Usando a técnica dos fasores, construímos dois fasores, o primeiro com 4,60 mm de comprimento e o segundo com 5,60 mm de comprimento, formando entre si um ângulo & de 0,807 radianos = 144º. Usando as regras da soma vetorial, obtemos um fasor resultante com 3,29 mm, que corresponde à amplitude da onda resultante. (b) O ângulo do fasor resultante em relação ao primeiro fasor, que corresponde ao ângulo de fase da onda resultante em relação à primeira onda, é 88,8º = 1,55 rad. (c) Para que a amplitude da nova onda resultante seja máxima, a terceira onda deve estar em fase com a onda resultante calculada no item (b). Assim, o ângulo da terceira onda deve ser 88,8º = 1,55 rad com a primeira onda. 38. (a) Como é mostrado na Fig. 16-13b do livro, a amplitude da onda resultante é a menor possível quando a diferença de fase é 7 rad. (b) Na situação do item (a), a amplitude é 8,0 mm — 5,0 mm = 3,0 mm. (c) Como é mostrado na Fig. 16-13a do livro, a amplitude da onda resultante é a maior possível quando a diferença de fase é O rad. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (d) Na situação do item (c), a amplitude é 8,0 mm + 5,0 mm = 13 mm. (e) Nesse caso, o ângulo entre os fasores que representam as duas ondas é 7/2 rad = 90º e po- demos usar o teorema de Pitágoras. A amplitude é, portanto, (8,0 mm)? + (5,0 mm)? = 9,4 mm. 39. A figura a seguir mostra o diagrama fasorial. Vamos usar um teorema da trigonometria: ha = Yi + Yho — 2Ymi ma COS O = Ya + Yo + 2Ymi mo COS À. Explicitando cos &, obtemos: =0,10. 2Ymi ma 25,0mm)(7,0mm) cosg = A constante de fase é, portanto, = 84º. 40. A corda fica reta toda vez que passa pela posição de equilíbrio. Como, durante um ciclo completo, uma partícula passa duas vezes pela posição de equilíbrio, T = 2(0,50 s) = 1,0 s. As- sim, a frequência é f = 1/T = 1,0 Hz e o comprimento de onda é v 10cm/s | f 1,0Hz 10 cm. 41. (a) A velocidade das ondas é dada por v = ./7/H,, na qual 7 é a tensão da corda e q é a massa específica linear da corda. Como a massa específica linear é a massa por unidade de compri- mento, u = M/L, em que M é a massa e L é o comprimento da corda. Assim, v= [TE - [060N 64 qo o my, M 0,120 kg (b) Como o maior comprimento possível de uma onda estacionária está relacionado ao compri- mento da corda através da equação L = À/2, temos: À = 2L = 2(8,40 m) = 16,8 m. (c) A frequência é f = v/A = (82,0 m/s)/(16,8 m) = 4,88 Hz. 42. De acordo com as Egs. 16-26 e 16-66, temos: nv n |7 h=5L"2L w o que nos dá 135 136 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) Se 7,= 47, a nova frequência é 3 2L (b) O novo comprimento de onda é vv 2 g=L="=4. = 673 4 43. Os comprimentos de onda possíveis são dados por À = 2L/n, em que L é o comprimento do fio en é um número inteiro. As frequências correspondentes são dadas por f = v/A = nv/2L, nas quais v é a velocidade da onda. A velocidade da onda é dada por v = Viu = TLI/M, na qual 7 é a tensão do fio, q é a massa específica linear do fio e M é a massa do fio. Assim, potjtonji cn] BONO om 2L VM 2VIM 24 (100m)(0,100kg) (a) A menor frequência é f, = 7,91 x 1 = 7,91 Hz. (b) A segunda menor frequência é f, = 7,91 x 2 = 15,8 Hz. (c) A terceira menor frequência é f; = 7,91 x 3 = 23,7 Hz. 44. (a) A velocidade da onda é v=[2=|— DON com w 2,00 x 107kg/1,25m (b) O maior comprimento de onda de ressonância da corda é À, = 2L. Assim, f =L . Solmis o, Hz. A 21,25m) 45. (a) Os comprimentos de onda de ressonância são dados por À = 2L/n, em que L é o com- primento da corda e n é um número inteiro; as frequências de ressonância são dadas por f = v/A = nv/2L, nas quais v é a velocidade da onda. Suponha que a menor das duas frequências de ressonância esteja associada ao número n. Como não existem outras frequências de ressonância entre as duas frequências dadas, a maior frequência está associada ao número n + 1. Assim, se f, = nv/2L é a menor frequência, a maior frequência é f, = (n + 1)v/2L e a razão das duas frequências é n+1 Explicitando n, obtemos n fo 315 Hz o b-h 420Hz-315Hz A menor frequência de ressonância possível é, portanto, f = v/2L = f/n = (315 Hz)/3 = 105 Hz. (b) O maior comprimento de onda possível é À = 2L. Se fé a menor frequência possível, v=Af=21f=2(0,15 m)(105 Hz) = 158 m/s. 46. A frequência do enésimo harmônico da corda A é ago [7 ha" 21 gp SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (d) Como as duas ondas se propagam em sentidos opostos e o sinal que precede w na primeira onda é o sinal positivo, o sinal que precede w na segunda onda é o sinal negativo. Resumindo, as equações que descrevem as duas ondas são » =(5,0x 10º m)sen[(3,14 m-!)x —(3,1x 102 s-!)t] »» =(5,0x 10º m)sen[(3,14m-!)x+(3,1x 102 s!)t] 52. Como a corda está fixa nas duas extremidades, a expressão “segundo harmônico de uma onda estacionária” descreve a oscilação mostrada na Fig. 16-20b, em que, de acordo com a Eg. 16-65, (a) Comparando a função dada com a Eg. 16-60, obtemos k = 77/2 e w = 127 rad/s. Como k = 2m/A, 27 Zi > 4=40m > L=40m 22 (b) Como v=Afe f=w/27%, temos: (c) De acordo com a Eg. 16-26, ve E Ss dama [ONO u m/(4,0m) o que nos dám = 1,4kg. (d) Como -3v I2Ams) | 9,0Hz, 2L YU4,0m) o período é T=1/f=0,11s. 53. (a) Como a amplitude das ondas progressivas que compõem uma onda estacionária é metade do deslocamento máximo da onda estacionária, a resposta é 0,25 cm. (b) Como as ondas progressivas têm uma frequência angular w = 407 rad/s e um número de onda k = 7/3 cm”, a velocidade das ondas é v = w/k = (407 rad/s)/(m/3 cm!) = 1,2 x 10º cm/s. (c) A distância entre os nós é igual a meio comprimento de onda: d=/2 = m/k = m/(m/3 em!) = 3,0 cm. (d) A velocidade dos pontos da corda é dada por u(x, 1) = dy/dt = —wy,sen(kx)sen(wt). Assim, u=-(407 rad/s) (0,50 cm) sen (E cm Jasem sn [(tor st (e s)] =0. 139 140 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 54. Como o ponto A é chamado de antinó, sabemos que se trata de uma onda estacionária e que, portanto, as ondas estão se propagando em sentidos opostos. Assim, esperamos que uma seja da forma y = y, sen(kx + wt) e a outra seja da forma y = y, sen(kx — wt). (a) De acordo com a Eq. 16-60, ym = (9,0 mm)/2 = 4,5 mm, já que a amplitude da onda estacio- nária é (1,80 cm)/2 = 0,90 em = 9,0 mm. (b) Como o comprimento de onda é 40 cm, k = 27/A = 16m”!. (c) Como, de acordo com o enunciado, um intervalo de tempo de 6,0 ms corresponde à metade do período, T = 12 ms e a Eq. 16-8 nos dá w = 5,2 x 10? rad/s. (d) Como na equação da primeira onda o sinal que precede w é positivo e as ondas estão se propagando em sentidos opostos, o sinal que precede w na segunda onda é o sinal negativo. Resumindo, as equações das duas ondas são v1(x, t) = (4,5 mm) sen[(16 mx + (5,2 x 10? st] (x, 1) = (4,5 mm) sen[(16 m-!)x — (5,2 x 102 sz] . 55. De acordo com a discussão da Seção 16-12, as ondas se combinam para produzir uma onda estacionária. O tempo que o antinó leva para passar da posição de deslocamento máximo para a posição de deslocamento mínimo, At, corresponde a meio período da onda estacionária. Como, durante esse intervalo, o deslocamento de uma das ondas é dado por d = vAt, na qual v é a ve- locidade da onda, concluímos que d = vT/2. Como v = w/k e T = 27/w, chegamos à conclusão de que d = 7/k, na qual k é o número de onda de uma das ondas. Assim, d=/4,007 = 0,25 m. 56. Os nós estão situados nos locais em que o fator espacial sen 57x é zero. As soluções da equação sen Sax = 0 são 57x=0,7,27,37,... > x=0, 123 555 (a) O menor valor de x que corresponde a um nó é x = 0. (b) O segundo menor valor de x que corresponde a um nó é x = 0,20 m. (c) O terceiro maior valor de x que corresponde a um nó é x = 0,40 m. (d) Todos os pontos (exceto os nós) descrevem um movimento harmônico simples cuja fre- quência é f = w/27 = 407/27 = 20 Hz. Assim, o período do movimento oscilatório é T = 1/f= 0,050 s = 50 ms. (e) Comparando a Eq. 16-58 com a Eg. 16-60, concluímos que as ondas progressivas que com- põem a onda estacionária são representadas pelas equações » =0,020sen(57x —- 407t) e y=0,020sen(S7x+ 407t) Assim, a velocidade das ondas é v = w/k = 407/57 = 8,0 m/s. (f) A amplitude das ondas é y,, = 0,020 m = 2,0 cm. (g) A derivada em relação ao tempo da função que representa a onda estacionária é 3» a —[(0,040) (407) sen(57x) sen(4071) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 141 que se anula (em qualquer instante 1) para sen(40771) = 0. A solução desta última equação é 123 4071=0,7,27,:::37,... > 1=06,—,—,—,... 40 40 40 Assim, O primeiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nulaét=0s. (h) O segundo instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula ét=1/40s=0,025s=25 ms. (1) O terceiro instante em que todos os pontos da corda possuem velocidade transversal nula é t=2/40 s = 0,050 s = 50 ms. 57. (a) Como a frequência angular é w = 8,007/2 = 4,007 rad/s, a frequência é f= wl2x = (4,007 rad/s)/2a = 2,00 Hz. (b) Como o número de onda é k = 2,007/2 = 1,007 m”!, o comprimento de onda é A = 2m/k = 27/(1,007 mm") = 2,00 m. (c) A velocidade de cada onda é v=Af =(2,00m)(2,00 Hz) = 4,00 m/s. (d) Precisamos somar duas funções cosseno. Para isso, usamos as identidades cosa+cosB= sen[a+ T )rsen( 64 7) = 2sen [SL tE )cos(2TÊ) 2 = 2oos(ETÊ Jcos (2-8), 2 2 Fazendo à = kx e B = wt, obtemos Ym COS(kx + wt) + Ym Cos(kx — wt) = 2y,, cos(kx) cos(wt). Os nós são os pontos em que cos(kx) = 0, o que nos dá kx = nx + 7/2, na qual n é zero ou um número inteiro. Como, de acordo com o item (b), k = 1,07 m'!, isso significa que x= (n + 1/2) (1,00 m). Assim, o menor valor de x que corresponde a um nó é x = 0,500 m = 50,0 em (n=0). (e) O segundo menor valor de x que corresponde a um nó é x = 1,50 m = 150 cm (n = 1). (f) O terceiro menor valor de x que corresponde a um nó é x = 2,50 m = 250 cm (n = 2). (g) Os antinós são os pontos em que cos(kx) = +1, o que nos dá kx = n7, na qual n é zero ou um número inteiro. Assim, x = n(1,00 m) e o menor valor de x que corresponde a um antinó é x=0(n=0). (h) O segundo menor valor que corresponde a um antinó é x = 1,00 m = 100 cm (n = 1). (1) O terceiro menor valor que corresponde a um antinó é x = 2,00 m = 200 cm (n = 2). 58. De acordo com as Egs. 16-26 e 16-66, as frequências de ressonância são dadas por DB n=1,2,3,. 5 3 E “5 144 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 64. (a) Emx=2,3met=0,16s, o deslocamento é »(x,1) =0,15sen[(0,79/(2,3)- 13(0,16)]Jm = — 0,039 m = 3,9 cm. (b) Para que seja produzida uma onda estacionária, é preciso que a amplitude da segunda onda seja igual à da primeira, ou seja, devemos ter y, = 0,15 m. (c) Como a segunda onda deve ter o mesmo número de onda que a primeira, k = 0,79 m”!. (d) Como a segunda onda deve ter a mesma frequência angular que a primeira, o = 13 s!. (e) Como a segunda onda deve estar se propagando no sentido contrário ao da primeira, o sinal que precede w deve ser o sinal negativo. A equação da segunda onda é, portanto, 3" (52) = (0,15 m)sen(0,79x + 137). (f) O deslocamento da onda estacionária em x= 2,3 me t=0,16s é (2,1) = 0,039 m + (0,15 m)sen[(0,79)(2,3) + 13(0,16)] = -0,14m. 65. (a) A amplitude é y,, = 2,0 mm. (b) Como w = 600 rad/s, a frequência é f = 600/27 = 95 Hz. (c) Como k = 20 m”!, a velocidade da onda é v = w/k = 600/20 = +30 m/s. (d) O comprimento de onda é À = 27/k = 0,3] m =31 cm. (e) Derivando a equação da onda em relação a t, obtemos: u= db =-W) COs(kx — 0!) > U, = WYm dt e, portanto, a velocidade transversal máxima é u, = (600)(2,0) = 1200 mm/s = 1,2 m/s. 66. Fazendo x = 0 na equação y = y, sen(k x — w t + &), obtemos y = y, sen(—w t + &) como a função cujo gráfico aparece na Fig. 16-43. Note que a inclinação da curva é positiva no instante t=0,ou seja, dy d = —| ymsen(—wt + &)|= —Ymw cos(—wt + +) > O de dg USEM at + 6] = yo cos (cr + &) no instante t = O. Isso significa que —cos & > O e, portanto, que q está no segundo ou no terceiro quadrante. De acordo com a figura, y = 2,00 mm no instante t = O e passa por um máximo y, = 6,00 mm em um instante posterior. Assim, ) = Ymsen(—o t + [o > g=sen'(1/3)=0,34rad ou 2,8 rad Convém observar que sen6 = sen(7 — 0) e que devemos escolher & = 2,8 rad porque este ân- gulo, que corresponde a cerca de 160º, está no segundo quadrante, enquanto o outro ângulo, & = 0,34 rad = 19º, está no primeiro quadrante. Naturalmente, podemos obter outras respostas válidas somando ou subtraindo de & múltiplos inteiros de 27, de modo que, por exemplo, & = 2,8-2m=-3,5 rad também é uma resposta válida. 67. Comparando a onda resultante com a equação geral (Eg. 16-51), constatamos que 2y,cos ($/2) = 3,0 mm, k = 20 m! e &/2 = 0,820 rad. Assim, (a) A =27/k=0,31 m. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 145 (b) 4 = 1,64 rad. (c) Ym = 3,0 mm/2cos(0,820 rad) = 2,2 mm. 68. (a) Como foi visto na Seção 16-5, a velocidade de qualquer função da forma y(x,º) = A(kx + wt) é dada por —w/k. Assim, a velocidade do pulso h(x — 5t) é (1 em)/(5 s) = 5,0 em/s. (b) Como o sinal que precede a frequência angular é positivo, o pulso está se propagando no sentido positivo do eixo x. (c) A figura do item (c) mostra o pulso no instante t = 2 s. A escala horizontal está em centíme- tros e a escala vertical está na mesma unidade que a da Fig. 16-44, que não foi especificada no enunciado do problema. 1 TT TT 2 4 6 8 10 12 14 (d) A borda dianteira do pulso chega ao ponto x = 10 em no instante + = (10 — 4,0)/5 = 1,2 s. O ponto de máximo deslocamento do pulso (h = 2) chega ao ponto x = 10 cm no instante t = (10 — 3,0)/5 = 1,4. Finalmente, a borda traseira do pulso chega ao ponto x = 10 cm no instante t=(10 — 1,0)/5 = 1,8. A figura a seguir mostra o gráfico resultante. A escala horizontal está em segundos e a escala vertical está na mesma unidade que a da Fig. 16-44. 4 18 L6 14 12 I 08 06 04 02 69. (a) A figura a seguir mostra o diagrama fasorial usado para analisar a situação, em que y,, )» € Y; representam as três ondas componentes e y,, representa a onda resultante. x: X 146 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS A componente horizontal da onda resultante é Ym 91 95 =1 — Di/3 = 2/3. A componente vertical é Ymy = Ja =)i/2. De acordo com o teorema de Pitágoras, a amplitude da onda resultante é MY (MS Im = Via + Im = ( +) «(8) =921=0,83n. (b) A constante de fase da onda resultante é ó= tam [de | = tan [ 22 | = tan (5) =0,644 rad=37º. mk 291/3 4 (c) A onda resultante é 7=0,83y, sen (kx — wt + 0,644 rad). A figura a seguir mostra a onda resultante no instante t = 0. A onda se move para a direita com uma velocidade v = w/k. Nota: Para somar ondas senoidais, é conveniente representar as ondas por fasores e transformar o problema em um problema de soma vetorial. Entretanto, o problema também pode ser resol- vido algebricamente como é mostrado a seguir. NH IAESNA sena) + >» sen(he = art 712453 sen(kx — wt + 7) 1 1 = y sen(kx — wt) + 7» cos(kx — o)=-5 x sen(kx — wt) = 5% sen(kx — wt) + > cos(kx — wt) 5. [4 3 = ç x [5 sen(kx — wt) + a cos(hr — an) =0,83y sen(kx — wt+ &) em que & = tan!(3/4) = 0,644 rad. Para calcular a constante de fase &, fizemos cos& = 4/5, seng = 3/5 e usamos a identidade cos q sen O + sen p cos O = sen(9 + &). O resultado é igual ao que foi obtido no item (c). 70. Derivando duas vezes a função y = y, sen(k x — w t + &) e fazendo x = 0, obtemos a, =? ya sen(—0 t + &) SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 149 76. Repetindo os passos usados para chegar da Eg. 16-47 à Eg. 16-53, mas usando a relação cosa+cosB= 2eos [SE os[ 2-8) (veja o Apêndice) em vez da Eg. 16-50, obtemos, em unidades do SI, y'=[0,10cosmx]cos47i. (a) Como o menor valor positivo de x para o qual cos mx = 0 é x = 1/2, a resposta é x = 0,50 m. (b) Derivando a equação da onda estacionária em relação ao tempo, obtemos: u'= a =[0,10cosmx](-4m sen 4x1). tr Como o segundo fator é zero para t= 0, 1/4, 1/2, 3/4, ..., o primeiro instante em que a partícula situada em x = O tem velocidade nula é t = 0. (c) De acordo com o resultado do item (b), o segundo instante em que a partícula situada em x = 0 tem velocidade nula é t = 0,25 s. (d) De acordo com o resultado do item (b), o terceiro instante em que a partícula situada em x = 0 tem velocidade nula é t = 0,50 s. 77. (a) A velocidade da onda é v= F. kAA = [KAMA+ AA) u mi(A+AA) m . (b) O tempo necessário é po MAS IMÃ + AM) em A. v VkAMA+AN/m k AA Assim, se A/AA >> 1, ta VA / AA al/ AA esc A/A << 1, t=27mik = constante. 78. (a) No caso da luz visível, 3,0x 10º m/s mn = = =4,3x 104 H; fin =72"700x102m xd0 Hz e c 3,0x10m/s = =D" — =7,5x10" Hz. Jos Ain 400x10ºm (b) No caso de ondas de rádio, 3,0x 10º m/s = =>)" >=10 Ann =700 7 300x10%Hz — Om e c 3,0x10 m/s = =)D———— =2,0x10ºm. Ani L5xXI0Hz m (c) No caso de raios X, 3,0x10º m/s = =D — =6,0x 10H; fm =700" 5,0x100m — 0X100Hz e s fas == HOXIOM/S 3 0 rg py, 1,0x10!m 150 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 79. (a) A velocidade das ondas é ve E. 120N o. wu 8,70x102kg/1,50m (b) No caso de meio comprimento de onda, À, = 2L = 2(1,50 m) = 3,00 m. (c) No caso de um comprimento de onda, À, = L = 1,50 m. (d) No caso de meio comprimento de onda, f, = v/A, = (144 m/s)/(3,00 m) = 48,0 Hz. (e) No caso de um comprimento de onda, f; = v/A, = (144 m/s)/(1,50 m) = 96,0 Hz. A figura a seguir mostra as ondas estacionárias de meio e um comprimento de onda. k L X L=-N2 80. De acordo com a Eg. 16-66, os harmônicos superiores são múltiplos inteiros da menor frequência de ressonância, que é conhecida como frequência fundamental ou primeiro harmô- nico. (a) A frequência do segundo harmônico é f; = 2(440) = 880 Hz. (b) A frequência do terceiro harmônico é f; = 3(440) = 1320 Hz. 81. (a) De acordo com o enunciado, y,, = 1,00 cm. (b) Como a frequência é f = 550 Hz, a frequência angular é w = 27f = 3,46x10º s!. (c) O número de onda é k = w / v = (3,46x10º rad/s) / (330 m/s) = 10,5 m”!. (d) Como a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x, o sinal que precede w é o sinal negativo. Para resumir, a equação da onda é y(x,1)= ym Sen(kx+ ot) = ym sen[2m/(2+1)] v =(0010m em) m(sson z ) 330m/s = (0,010m) sen[(10,5 m!) x +(3,46x 10º st]. 82. Desenhamos um diagrama fasorial com o fasor que representa a onda 1 coincidindo com o eixo x e o fasor que representa a onda 2 fazendo um ângulo de 70º (no sentido anti-horário) com o eixo x. Somando as componentes, obtemos: (3,0 mm) + (5,0 mm)cos(70º) = 4,7Imm para as componentes x (5,0 mm)sen (70º) =4,70 mm para as componentes y. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS (a) De acordo com o teorema de Pitágoras, a amplitude da onda resultante é (4,71 mm)? + (4,70 mm)? = 6,7mm. (b) A constante de fase é tan”! (4,70/4,71) = 45º. 83. (a) Se o deslocamento de um ponto da corda é dado por y (x, t) = ym sen(kx — wt), a velo- cidade de um ponto da corda é dada por u(x, £) = dy/dt = —wy,, cos(kx — wt) e, portanto, a velo- cidade máxima é u, = wy,: A velocidade da onda é dada por v = À/T = w/k. A razão pedida é, portanto, Um Om po Nm vo ok bm Ao (b) A razão das velocidades depende apenas da razão entre a amplitude e o comprimento de onda. Ondas diferentes em cordas diferentes podem ter a mesma razão de velocidades se tive- rem a mesma amplitude e o mesmo comprimento de onda, independentemente da velocidade das ondas, da massa específica linear das cordas e da tensão das cordas. 84. (a) Como a onda estacionária tem dois comprimentos de onda, À = 1/2, em que À é o com- primento de onda e L é o comprimento da corda. Como o comprimento de onda está relaciona- do à frequência fe à velocidade da onda v através da equação À = v/f, L/2 = vife L=2v/f=2(400 m/s)/(600 Hz) = 1,3 m. (b) O deslocamento da corda é descrito por uma equação da forma Y=)m sen(kx)cos(wt), na qual y,, é o deslocamento máximo, k é o número de onda e w é a frequência angular. O nú- mero de onda é k=27/A = 2aflv = 27(600 Hz)/(400 m/s) = 9,4 m! ea frequência angular é wo =2mf'=27(600 Hz) =3,8x 10º 51, Para y,, = 2,0 mm, o deslocamento é dado por »(x,t) = (2,0 mm) sen[(9,4m-")x]cos[(3,8 x 10º s!)r]. 85. Podemos usar a Eq. 16-65 com L = 120 cm. (a) O maior comprimento de onda para o qual existem ondas estacionárias é A =2L/1=240 cm. (b) O segundo maior comprimento de onda para o qual existem ondas estacionárias é A =2L/2=120 cm. (c) O terceiro maior comprimento de onda para o qual existem ondas estacionárias é A =2L/3=80,0 cm. A figura a seguir mostra as três ondas estacionárias. O UM 151 154 SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS O período das oscilações é T = 1/f= 0,20 s. A figura a seguir mostra a onda estacionária nos instantes t = 7/4 = 0,05 se t=37T/4= 0,15 s. Nos instantes t = T/2 e t = T, o deslocamento é zero em todos os pontos da corda. Ra t=1/4=0,05s 92. (a) Como o número de onda das duas ondas é k = 25,1 rad/m, À = 27/k = 250,3 mm. Como a frequência angular é «w = 440/s, o período é T = 271/w = 14,3 ms. Os gráficos a seguir mostram a onda resultante, y = y, + y», em função de 1, no intervalo 0 <1 < 15 ms. Os primeiros dois grá- ficos mostram a onda nos pontos x = 0 (o gráfico da esquerda) e x = A/8 = 31 mm (o gráfico da direita). A escala de tempo está em milissegundos e a escala de distância em milímetros. º| + Os três gráficos a seguir mostram a onda nos pontos x = À/4 = 62,6 mm = 63 mm (o gráfico da esquerda, x = 31/8 = 94 mm (o gráfico do meio) e x = À/2 = 125 mm (o gráfico da direita). ed ds GA ds (b) Podemos pensar na onda y, como a soma de duas ondas que se propagam no mesmo sentido, uma onda y,, de amplitude 1,50 mm (a mesma da onda y;) e uma onda y,, de amplitude 1,00 mm. De acordo com a Seção 16-12, duas ondas de mesma amplitude e comprimento de onda que se propagam em sentidos opostos formam uma onda estacionária. Assim, as ondas y,, €)> formam uma onda estacionária, o que deixa y,, como uma onda progressiva. Como os sinais que precedem k e «w na expressão de y,, são diferentes, a onda y,, se propaga no sentido positivo do eixo x. (c) Se a onda y,, que se propaga no sentido negativo do eixo x, tivesse uma amplitude maior que a onda y,, a onda total poderia ser decomposta em uma onda estacionária e uma onda que se propagasse no sentido negativo do eixo x. Assim, uma forma simples de mudar as ondas originais para obter a condição proposta seria permutar as amplitudes das duas ondas. (d) Observando os gráficos acima, vemos que a amplitude máxima das oscilações é ax = 4,0 mm, no ponto x = À/4 = 62,6 mm. SOLUÇÕES DOS PROBLEMAS 155 (e) Observando os gráficos acima, vemos que a amplitude mínima das oscilações é Yin = 1,0 mm, nos pontos x=0ex=A/2 = 125 mm. (f) A amplitude máxima é dada por Y ax = Yim + Yom CM que Yim = 2,5 mm e y,w= 1,5 mm são as amplitudes das ondas originais. (g) A amplitude mínima é dada por Yin = im — Yam eM que Y;m = 2,5 mm e y,,= 1,5 mm são as amplitudes das ondas originais. 93. (a) O gráfico pedido é mostrado na figura a seguir, onde as escalas dos eixos x e y estão em centímetros. , = To" Ehp Tão ido : , / J (c) A equação da onda é da forma y(x,t) = Ym sen(kx + wt), em que v = w/k é a velocidade de propagação. Comparando essa equação com a que aparece no enunciado, vemos que w = 27/0,40 = 57 rad/s e k = 27/80 = 7/40 rad/cm. Isso nos dá v = 2,0 x 10? cm/s = 2,0 m/s. (d) O fato de que os sinais que precedem t e x são iguais mostra que a onda está se propagando no sentido negativo do eixo x.