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Respostas dos exercícios 05 à 18 do Capítulo V Boldrini, Exercícios de Álgebra

Capítulo V Transformações Lineares

Tipologia: Exercícios

2023

Compartilhado em 02/05/2023

marcelo_pontes
marcelo_pontes 🇧🇷

4.3

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Baixe Respostas dos exercícios 05 à 18 do Capítulo V Boldrini e outras Exercícios em PDF para Álgebra, somente na Docsity! 5.6 EXERCICIOS Seja TF —» W uma função, Mostre que: q) Se T é uma transformação linear, então T(0) = 0, b) Se T(0) + O, então T não é uma transformação linear. - Determine quais das seguintes funções são aplicações lineares: a) fR'>R? Co y)elrx ty x =p) b) g;RP>R (x yr xy o) hM, >R qb det ab cd cd dy k:P, > P, ut br+tci— ax! 4 bx! + ex e) MIRÊSR? l a xD (x, y, af à| 1 1 fNR=>R x lx] ) Como ( I ), aplicanto em ambos os membros da equação ( I ), temos: ( ) ( ) ( ) ( ) ) ( ) ( ) , i T T T T T ii T T    − = − = − = = = =  0 = v v 0 v v v v 0 0 0 0 0 ) Suponha por absurdo que é uma transformação Linear e, pelo item (a) (0) 0. O que é uma contradição. b T T = Se tal que ( ) 0V V V  −  + − = v v v v Não, note que 1 2 1 0 2 2 | | 14 6 8 2 5 1 2 3 7 A B A B       + = + =  + = − =            | | | | 1 2 3 | | | | | | A B A B A B + = + = +  + 1 2 1 0 | | 1 e | | 2 2 5 1 2 A A B B     =  = =  =        2 3 2 2 1 1 1 2 1 1 1 2 3 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 3 2 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( ) K[ ( )] e ( ) K[Q ( )] ( ) ( ) ( ) ( ) x ( ) [ ( ) ( )] [( ) ( ) x ( )]=( ) ( ) ( ) P x a x b x c P x a x b x c x Q x a x b x c x a x b x c x P x Q x a a x b b c c K P x Q x K a a x b b c c a a x b b x c c x = + +  = + + = + +  = + + + = + + + + + + = + + + + + + + + + + 3 3 2 2 1 2 1 2 1 2 3 2 3 2 1 1 1 2 2 2 2 2 = = [ ( )] [ ( )] a x a x b x b x c x c x a x b x c x a x b x c x K P x K Q x + + + + + + + + + + = + 2 2 1 1 1[ ( )]P x a x b x c   = + + 3 2 3 2 2 1 1 1 1 1 1 2 K[ ( )] [ ] = ( ) P x a x b x c x a x b x c x P x       = + + = + + Logo, K é uma transformação linear. ( )3 2 2 3 Se : [ ]M M  →  = A matriz apresentada no exercício e uma matriz do tipo 3 2 ( , , ) (2 , )T x y z x y y z= + − Fazendo T(x,y,z)=(3,2), temos ( , , ) (2 , ) (3,2) 2 3 2 2 2 (2 ) 3 1 2 1 2 T x y z x y y z x y y z y z x z z x z x = + − = + =  = + − = + + = − + =  = Logo, temos 1 ,2 z, (3,2), z 2 z T z −  + =      ( , ) (1,1) (0, 2) ( ) 2 2 2 ( ) ( , ) [ (1,1) (0, 2)] ( , ) (1,1) (0, 2) x y a b I a x a y x y a b y b Aplicando T em ambos os membros da equação I T x y T a b T x y aT bT = + − =   − − − =  = =  = + − = + − Pelo teorema 5.3.1 Substituindo os valores de a, b e T, temos: ( , ) (3,2,1) (0,1,0) 2 ( , ) 3 ,2 , 2 5 ( , ) 3 , , 2 x y T x y x x y T x y x x x x y T x y x x − = + −  = +    −  =     Substituindo os valores de a, b e T, temos: 5.1 0 5 (1,0) 3.1, ,1 3, ,1 2 2 T −    = =        5.0 1 1 (0,1) 3.0, ,0 0, ,0 2 2 T −    = = −       

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