Baixe Respostas dos exercícios Cap III de Introdução à Álgebra Linear Steinbruch/Winterle e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Nos problemas 1 a 12, dentre as funções (transformações) dadas, verificar quais delas são lineares. 1) FIR > IR, f(x,y) = (2x-y,3x + Sy) sim DfRSRf(y)=(2,y) Não )ER>Rf(y)=(x+1,y) Não )ER>Rf(xy)=(y-x0) Sim S)ER>IR,f(x,y)=(|x],29) Não 6) ER>IR f(x,y) =xy pç 7) FIR > IR, f (xy) = (39,-24,0) Sim )ER>IR,f(xyz)=(K+yxyx) Sm DfIR-SIR,F(x) = (x.2) Não 10) fIR>IR,f(x,y,2z) =3x-2y + z Sim ID fIR>IR,f(x,y) =x Sim 12) JE R > R,f(x, y) To (y, XY, x) Sim DL:R SR”, flx,y)=-Qx-y,3x+5y) Suponha que: (X,y)DERS fl, y)=(2x— 3% +57) (1,7) RS f(x,,y,))=(2x,— 93,3%, +5%,) Qu D+ (06, 7,) E RÉ flO, y) +06, Y)I= FLOG + 24,34 + Y)]= [DOG +20) O + 5), 304 +29) +50 + 75)] Fx + x,y, +7,))) =x 42x, —y,—),,3x,43x%, +57, +5)%,) FIO, + x,,7, +97) =x — y,,3x, +57) + (Ox, — y,, 43x, +59) HO +, +) = [O yD)+ (7) veR> flo(x,y)]=f(ax,ay)=Qax -ay3ax +5ay,) Flo(x,, y)l= f(ax,ay)=Qax ay, 34x +50 y,)= =0(2x, — 93% +5y)=0f(%,,)) Logo, f é uma transformação linear 9 Ff : Rº SR, TO, ») = (y—x,0) Suponha que: (x, »1) eR' > F(x, »|) =(Y —X,,0) (1%, »») E Rº > f(x, »>) =(Y, —X,,0) CDH 0) ER" > FO y) +06, 7)]- HO +, 7 +) =[09, + 9) — (4, +2,),0)] [(y, —X60)+(Y, — X,,0)] FIO, + x, vu + )= f(x, D+ f(x, »>) ceR>S flo(x,y)l=f(lax,ay)=(ay —ax,0) Floalx, yD)]= f(x,y) Logo, f é uma transformação linear S) FR >IR,f(x,y) = (|x],29) Suponha que: D GuyDeR> fe y)=(x|,27) (x, »>) E Rº > f(x, »>) = (| X, |.29,) AD AO, 0) + Cy )= FO +, +) =x + |, 209, +95) e, de (ID), temos: FO D+ SO, 3) =x + |, 207, +35) donde sabemos que: [x +, | s [x |+|x,| Logo, f não é uma transformação linear DfIR>SIRf(xy)=xy Suponha que: D GoyDeRS FO) =) Cy) RS fm, y) =), > FO D+ Í0G) = + 1) UD fl, D+ (x, ).)] = FIO, FX) +)) = (x, +) +)) HO ID HO, =, +), +, +), Donde podemos notar que: FO, D+ (x,, 7, )D] £ FO D+ f(x, »5) Logo, f não é uma transformação linear 9) fi IR > IR, f(x) = (x, 2) Suponha x=0= f(0) = (0,2) (0,0) xeR>f(x)=(x,2) EeR> f(x,)=(x,,2) FO) + FO) =(1,,2)+(1,,2) = (x, + x,,4) e f(x, +x,))=(x,+x,,2) FO ta) A FO)+ TO) Logo, f não é uma transformação linear 10) IR > IR,f(x,y,2) =3x-2y + z (1) Suponha que: (YZ )ER'S f(x,),2)=3x 27, +42, (1,,Y 5) R'> f(x,,9,,)=3%,-27,+% > FOI DHIO,, Yo )= 3 +) UM, +) ++ HALO D +05, = [0 +, NH + D)= 3, +) UV +Y)+7 + FO Yo 2) + (06,5, 2) = [06 Yp 2)+ Í06,,75,%) UT) (XY 2) > f(ax,ay, az) =30x — 20x, + Az, =0(3x, 2x +2)=4f(%,)2%) Logo, f é uma transformação linear ID fIR>R,f(x,y) =x (1) Suponha que: (O y)ERS fl yD)= E I)ERS f(x,y) = > 1, ID) + f(x, V) = +X, FO, y) +(x,, Y>)]= f(x, FX) +),) =X +X, f(x, ID + (1, V)= [O yD)+ IO, »>) dI) (XY) > fax, ay) = ax, = af(x, ») Logo, f é uma transformação linear flv) == ly b) Reflexão em relação ao eixo do y seguida de uma dilatação. Lo) x f(w) b) Reflexão em relação ao eixo dos x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção vertical e, final- mente, uma dilatação de fator 3 na direção horizontal. b) Reflexão em relação ao eixo dos x seguida de uma reflexão em relação à reta y = x. 20) Dada a transformação linear fIR>IR talque f(1,0,0) = (2,1), f(0,1,0) = (1,0) e f(0,0,1) = (1,-2), a) determinar a matriz canônica de f; b) calcular f(3, 4,5); c) calcular f (x, y, z). (x, y, 2) = a(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1) (1) Aplicando f em (1) O Ss q II Nota a f(x,y, 2) = fla(1,0,0) + b(0,1,0) + c(0,0,1)] f(x, y,2) = af (1,0,0)+bf(0,1,0) + cf(0,0,1) Substituindo o resultados de em (1) e os valores dados no encunciado, temos: f(x,y, 20) = x(2,D + y(—1,0) + z(1,-2) »2 41 fO,y,D)=Qx—y+zx—22) r=4-[ flO,yD)=Qx—-y+2z,x—22) f3,4,)=(2(3)-4+5,3-2(5) =(6-4+5,3-10) f(3,4,5) = (7,7) f(x,y, D)=Qx—y+zx—22) 21) Uma transformação linear f:IR > IR étalque f(-1,1) = (3,2,1) é f(0,1) = (1,1,0) Determinar: a) O 3 b) f(x, y); o) vE Rtal quef(v) = (-2,1,-3). (1,7) =a(-1,D+b(0,1) (1) a +b=y>-x+b=y>b=x+ Aplicando f em (1) q ? * ? +» f 0, ) = Fla(-1,1)+D(0,D] FO, y, )=af(-1,D+bf(0,1) Substituindo o resultados de em (I) e os valores dados no encunciado, temos: f(x,y) =—x(3,2,1) + (x + )(1,1,0) FO,y)=(-3x+x+y,—-2x+X+Y,—x) f(x, 3,2) = af (D+ (,1,0) +cf(1,0,0) [HOP AOLD=0D b=y-z f(1,0=(2,3) a=z f(1,0,0) = (3,4) E 067,0) =20,0)+0— 22,3) + (1 9)(3,4) fl, y,0)=(2+2y-22+3x-3y,22+3y—-372+4x—4y) VI, yo)=(0Ox—-y—2,4x—y—z) b)f (6, y,2)=(-3,-2) bo E = x=1 4x—-y-z7=-2 —-3x+y+72=3 Logo 3D+y=3-7 0 f06-20)=(-3,-2) y=6-—z então v, =(1,6-z,z) If (x, 7,2) =(0,0) PA -3x+y+72=0 > x=0 4x-y-z=0 4x-y-—-z=0 -3(0)+ y+2z=0 Y=0Z Logo f(0,-z,20)=(0,0)> v, =(0,-z,2) 23) Dado o operador linear f: IR > IRÊ, f (x,y) = (2x + y,4x + 2y), dizer quais dos seguintes vetores pertencem a N (f): a) v, = (1,-2); 23) v, ev; b) v, = (2,-3); c) vs = (-3,6). f(x,y) =Qx+ y,4x+29) sf (1,2) =(UAD -2,4D+U-2) =(02-2,4-4) > f1,-D)=(06,0)>(1,-2)e N(f) bF O, =) -3,40)+U-3) =(4-3,8-6) > fO-D=)>D-De Nf) (3,6) = (4-3) +6,4-3) + 2(6)) = (6-6,12-12) > f(39)=00> (3) NC) 24) Para o mesmo operador linear do problema anterior, verificar quais dos seguintes vetores pertencem à Im (f): a) uy = (2,4); 24) mem bm = (5 1) c) Hs e E). FO, y)=(2x+y,4x+ 3) b)f(x,y)=(2x+ y,4x+ 7) =(-1,3) o =— Los =—2 0x+0y=I(F 4x+2y=3 4x+2y=3 x+0y =1(5) Nos problemas 25 a 28 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas determinar: a) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão; b) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão. Verificar ainda, em cada caso, a propriedade 3, item 3.5, relativa à dimensão. 25) FIRE > IR, f(x,y) = (3x-y, -3x+y) F0,y)=0Ox—y,-3x+9y)=(0,0) N(D=tveR"/ f(v)=0) 3x—-y=0 -“3x+y=0 3x-y=05 y=3x 0x+0y=0 N( 1 =[(10,3x)/xe R) Im(f)=[Gx— y,-3x+9)]=[02x,-32) +(—7,9)] Inf) =[(-»,0)]> In) =((-7,9)/xeR) Prop 3: Dim(Domínio)=Dimensão(núcleo)+Dimensão(imagem) Dim(R?) = DimNuc(f)+ Dim Im(f) 2=1+dimIm(f) > dimIm(f)=1 28) fIR>IRZ, f(x,y,2) = (x + 2y-2,2x-y + 2) N(D=(veR'/f(v)=0) FO, y,o)=(x+2y-2,2x-y+2)=(0,0) x+2y-z=0 o 3x+7y=0>5D y=-3x 2x-y+27=0 2x—(-30)+72=0>z7=-5x Im(f)=[(x+2y—2,2x—y +20] =[(1,220),(27,-3),(-2,2)] In UC In(D= = R? N($S)=((x,-3x,-5x)/xe RJ Dim(R*) = DimNuc(f)+ Dim Im(f) 3=1I+dimImn(f) > dimIm(f)=2 29) Dadas a transformação linear f: IR=IR2,f(x,y,2) = (2x + y-Z,x + 2y)e as bases A = ((1,0,0), (2,-1,0), (0,1, 1)) doIReB = ((-1, 1), (0, 1)J do IR, determinar a matriz de f na bases A e B. f(1,0,0)=(2.1+0-0,1+2.0)= (2,1) > (2,1) = a(-1,1) + b(0,1) Ff 1,0)=(22-1+0,2+4-D)=(30) > 60)=d-LD+d(0,1) f(0,1,1) = (2.0+1-1,0+2.D = (0,2) = (0,2) = e(-1,D + f(0,1) io. a cl e a+b=1>-2+b=1>5b=3 [5 d ) —C=3 i-os sed c0 de) nr 3 j 3 3 2 -e=0 e+f=250+f=2>5f=2 Ds dei) mT=[5 a | 30) Seja a transformação linear f: IR> IR, f (x,y) = (2x -y, x + 3y, -2y) e as bases A = ((-1, 1), (2, 1)J eB = ((0,0, 1), (0, 1,-1), (1, 1,0)+. Determinar: a) a matriz de f nas bases A e B; b) a matriz de f nas bases A e €, sendo C a base canônica do IR; c) a matriz canônica de f: d) f(3, 4) usando as matrizes obtidas em a), b) e c). fEeLD=Q(D-1,-1+31,-2.D=(-3,2,-2) fCOD)=(0.2-1,2+31,-20)=(3,5,-2) = (-3,2,-2) = a(0,0,D+b(0,1,-D + c(1,1,0) => (3,5,-2) = d(0,0,D+e(0,1,-D+ f(1,1,0) c=-3 c=—3 - “ o 3 0 b+c-2 b-3=2>55b=5 T= a-b=-2 a-5=25a=3 =| 92 -3 3 e+f=5 e+f=55e+3=55e=2 30) a) T, = d-e=-2 d-e=2>d-2=2>d=0 31) Seja a matriz DaiLsÃe Se di. pra | 3 ) E E Es dan pne[4.8 efo operador linear no IR detinido por f(v) = Av. Determinar a matriz de f em cada uma das seguintes bases: En ras o)lo)=(21) om =4=[" ) Dema rafif() 10 0 3 Wm/1 5 raz-[ / H 5 o 1 1 a+b=5 “4 - =a| .|+b > , : : “) “ojla 2443b=-1 1,3)= = — 14,3) Ê 55) s, -b) sab) = ]-2a-2p=10 = 2 3 2a+3b=—1 c+d=6 e -“3c-3d =-18 = > > 2c+3d=-1 (lc+3d=+1 2c+3d =+1 -“3a-3b=-15 >> =-13 -c=-19 aa -a=-16 32) Re o operador Re RS IR, f(xy) = (x+2y,x-y) e as bases = [(-1, 1), (1, 0)), = ((2, A), (-1, Dj e C a canônica do IR, E Ta The a matrizes do f nas bases A,B e C, respectiva- mente. FCLD=(+21-1-D=(1,-2) fQ-D=(2+2(-1),2-(-D)=(0,3) fL0)=(1+2.0,1-0)=(1,1) FELD=(+21,-1-D=(1,-2) (1,-2) = a(-1,D+b(,0) (0,3) = a(2,-D + b(-1,1) LD=c(-LD+da,0) (1-2) =c(2,-D+ d(-1,1) “a+b=1 -c+d=1 2a-b=0 E a+0=-2 c+0=1 -a+b=3 =c+d=-2 -a+b=1 -c+d=1 a=3 c=-1 +A(-9)+b=1 -I+d=1 34b=3 —(—D+d=—2 b=1-2 d=2 b=6 d=-2-1 =-1 b=-—1 d =-3 33) Sabendo que a matriz de uma transformação linear f: IRº > IRº nas bases A = ((-1,1), (1,0)J doReB = ((1,1,-1), (2, 1,0), (3,0, 1) do IR é 3 1 T, = |2 5 1º Ce determinar a expressão de f (x,y) e a matriz canônica de f. FC LD=30,1,-D+2(2,1,0)+1(3,0,1) = (10,5,-2) FO =1(1,1,-D+5(2,,0)+(-D(3,0,1) = (8,6,-2) (x,y) = a(—1,1D) + D(1,0) -a+b=x —atb=x oo, A+X+Y=X > f(x,y) = fla(-1,1) +b(1,0)] Fx, y) = af(-1,D+Df(,O0) f(x,)) = y(10,5,-2) + (x + y)(8,6,-2) b=x+) to f(x,)=(107,5y,-2y)+(8x+8y,6x+6y, -2x— 27) f(x,y)=(8x+18y,6x+11ly,-2x—4y) 8 18 33) f(x,y) = (8x + 18y,6x + 1ly,-2x-4y); T = 6 n =D A A 43) Dado o operador linear f: IR? > IR? que produz uma rotação do plano de um ângulo 0, calcular f (-2, 4) e f(x,y) nos casos de: a) 0 =; b)0=Z, mx ne = cos0 -—senô cosm7 —senm -1 0 R,= R,= R,= senO cosô senz cost 0 —l —o 1 0/0 rh = rera- ea ". fm, )) = (—x,—)) 43) Dado o operador linear f: IR? > IR? que produz uma rotação do plano de um ângulo 0, calcular f (-2, 4) e f(x,y) nos casos de: a) O =; JT o= 90=5. cos? -senZ 2 2 R- cos0 —senô R = 4 4 Rel? 2 º | sen cos0 + |senZ cosf 4 2 2 4 2 2 2/2 DB aê 2 lo 2 5) R . - HI) = (32,2) E) Bs : nã, ab 2 2 2 2 esc (E, > 2a "ta? 43) Dado o operador linear f: IR? > IR? que produz uma rotação do plano de um ângulo 0, calcular f (-2, 4) e f(x,y) nos casos de: a)0=a; b)0=Z. 90=5. x x 1 3 (5 5] R - cs Sen R- 2 O 8 — La zo senO cos0 3 sent cof 3a 3 2 2 153 2.3 -2 2 2 5) 2 2 / |1, o = 129) =(1-3,1443) EPja 1 4 2,48 2 2 22 1 31 53 )=|>1->y, =X +— FO) : 7 > 5) 45) Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75º cada um. Sendo A (1, 1)e B(-1,5), calcular as coordenadas do vértice C. AB=B-A=(LS9)-(LD=(-2,4) AC=C-A=(x,))-(LD=(x-1,y-1) * (cos30º —sen30º 3 1 Wo lsen3oº cos30º) p 2 2 30º | 8 Ba 2 2 2 2026 Ro. 1 & A 3-2, 14243) E) (e=1,y-D=(/3-2,-1+243) 1€ (13,203) 45) O(-1- 3, 2V3) ou CG - V3, 2 + 2/3) 45) Em um triângulo ABC, os ângulos B e C medem 75º cada um. Sendo A (1, 1)e B(-1,5), calcular as coordenadas do vértice C. 75º 75º 30º AB=B-A=(LS9)-(LD=(-2,4) AC=C-A=(x,))-(LD=(x-1,y-1) *[ cos30º sen30º 3 1 Pr l-sen3oº cos30º) p |2 2 —30 a 3 Et x 4 lo Sra) 2 2 (e=1,y-D=(-[3+2,1+243) ? C(3-3,2+4243) 45) O(-1- V3, 23) ou C(3 - V3, 2 + 243) Nos problemas 46 a 49, determinar a matriz da transformação linear em IRº que representa a segiência de transformações dadas em cada um deles. 46) Reflexão em relação ao eixo dos y, seguida de um cisalhamento de fator 5 na direção horizontal. b) Reflexão em relação ao eixo dos y -1 0 FIRS>IR, f(x,y) = (x,y) (Figura 3.8.1b) T = 0 |) r=(15 2101 oa (as a) Cisalhamento na direção do eixo dos x 2 10 0 1 0 1 . 0 1 FR >IR,f(xy) = (x + ay,y) A matriz canônica desse cisalhamento é: a=ho ') | ma= [0 | 49) Reflexão em relação à reta y = -x, seguida de uma- dilatação do fator 2 na direção 0x e, finalmente, de um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. e) Reflexão em relação à reta y = -x b) Cisalhamento na direção do eixo dos y fIR>IR, f(x,y) = (y,-x) (Figura38.1.e) fR-Rf(xy)=(gy+ax =(xax+y) A matriz canônica dessa transformação é: A matriz canônica desse cisalhamento é: pira: a=be di b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x fR>IR, f(x,y) = («x,y),a >0(Fig. 3.8.2.b) A matriz canônica dessa transformação é: =| 0 A = [o ) a 1303 49) Reflexão em relação à reta y = -x, seguida de uma- dilatação do fator 2 na direção 0x e, finalmente, de um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. 0 — 2 0 10 T = T, = T = -1 0 01 3 1 1 0)/2 — TT, eT,= 0/0 + 3 1Ã0 IA-1 0 2 0 —1 — LoT,oT = 0 = 0 2 6 1A-1 0 -1 —6 49) E E