Baixe Respostas dos exercícios de Introdução à Álgebra Linear Steinbruch/Winterle e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Sim Sim Sim Sim Não Não NãoNão Não Não Não Não Não Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim Sim 2 21) : , ( , ) (2 ,3 5 )f f x y x y x y→ = − + 2 1 1 1 1 1 1 1 1( , ) ( , ) (2 ,3 5 )x y f x y x y x y  = − + 2 2 2 2 2 2 2 2 2( , ) ( , ) (2 ,3 5 )x y f x y x y x y  = − + 2 1 1 2 2 1 1 2 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 ( , ) ( , ) [( , ) ( , )] [( , )] [2( ) ( ),3( ) 5( )] x y x y f x y x y f x x y y x x y y x x y y +   + = + + = + − + + + + 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2[( , )] (2 2 ,3 3 5 5 )f x x y y x x y y x x y y+ + = + − − + + + 1 2 1 2 1 1 1 1 2 2 2 2[( , )] (2 ,3 5 ) (2 , 3 5 )f x x y y x y x y x y x y+ + = + + + − + + 1 2 1 2 1 1 2 2[( , )] ( , ) ( , )f x x y y f x y f x y+ + = + 1 1 1 1 1 1 1 1[ ( , )] ( , ) (2 ,3 5 )f x y f x y x y x y         = = − + 1 1 1 1 1 1 1 1[ ( , )] (2 ,3 5 ) ( , )f x y x y x y f x y  = − + = Logo, f é uma transformação linear Nos problemas 13 a 18, dada a transformação linear f: IR? > R?, definida em cada um deles, a) fazer um gráfico de um vetor genérico v = (x,y) e de sua imagem f (v); b) dizer que transformação linear plana os gráficos representam. 13) f(x,y) = (2x,0) 14) f(x,y) = (2x,y) 15) f(x,y) = (2x, 2y) 16) f(x,y) = (3x, -2y) 17) f(x, y) = Cy, x) 18) f(x, y) = -E (x, y) 13) a) 1 14) a) b) Projeção do plano sobre o eixo b) Dilatação na direção do eixo x. dos x seguida de uma dilatação. flv) == ly b) Reflexão em relação ao eixo do y seguida de uma dilatação. Lo) x f(w) b) Reflexão em relação ao eixo dos x, seguida de uma dilatação de fator 2 na direção vertical e, final- mente, uma dilatação de fator 3 na direção horizontal. ) ( , , ) (0, , )a f x y z y z= ) (3, 4,5) (0, 4,5)b f − = − ( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1) ( I )x y z a b c= + + a x b y c z =  =  =Aplicando em ( I )f ( , , ) [ (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)]f x y z f a b c= + + ( , , ) (1,0,0) (0,1,0) (0,0,1)f x y z af bf cf= + + Substituindo o resultados de em ( I ) e os valores dados no encunciado, temos: ( , , ) (2,1) ( 1,0) (1, 2)f x y z x y z= + − + − ( , , ) (2 , 2 )f x y z x y z x z= − + − 2 1 1 1 0 2 f A −  = =   −  ( , , ) (2 , 2 )f x y z x y z x z= − + − (3,4,5) (2(3) 4 5,3 2(5)) (6 4 5,3 10) (3,4,5) (7, 7) f f = − + − = − + − = − ) ( , , ) (2 , 2 )c f x y z x y z x z= − + − ( , , ) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0) ( I )x y z a b c= + + a b c x a b y a z + + =  + =  = a b c x z b y b y z a z + + =  + =  = −  = a b c x z y z c x c x y + + =  + − + = = − Aplicando em ( I )f ( , , ) [ (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)]f x y z f a b c= + + ( , , ) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)f x y z af bf cf= + + Substituindo o resultados de em ( I ) e os valores dados no encunciado, temos: ( , , ) (1,1,1) (1,1,0) (1,0,0)f x y z af bf cf= + + c x y b y z a z = −  = −  = (1,1,1) (1,2) (1,1,0) (2,3) (1,0,0) (3,4) f f f = = = ( , , ) (1,2) ( )(2,3) ( )(3,4)f x y z z y z x y= + − + − ( , , ) ( 2 2 3 3 ,2 3 3 4 4 )f x y z z y z x y z y z x y= + − + − + − + − a) ( , , ) (3 ,4 )f x y z x y z x y z= − − − − b) ( , , ) ( 3, 2)f x y z = − − 3 3 4 2 x y z x y z − − = −  − − = − 3 3 1 4 2 x y z x x y z − + + =  = − − = − 3 3 3(1) 3 6 x y z y z y z − + + = − + = − = − 1 (1,6 , ) ( 3, 2) então (1,6 , ) Logo f z z z z − = − − = − υ c) ( , , ) (0,0)f x y z = 3 0 4 0 x y z x y z − − =  − − = 3 0 0 4 0 x y z x x y z − + + =  = − − = 3(0) 0y z y z − + + = = − 2(0, , ) (0,0) (0, , ) Logo f z z z z− =  = −υ ( , ) (2 ,4 2 )f x y x y x y= + + 1 b) ( , ) (2 ,4 2 ) , 1 2 f x y x y x y   = + + = − −    1 2 2 4 2 1 x y x y  + = −   + = − 4 2 1 4 2 1 x y x y − − =  + = − 0 0 0x y+ = 1 2 2 1 (1 4 ) 2 2 2 x y x y x + = − + = − − = − 1 4 1 , , 1 2 2 x f x  +     − = − −          ( , ) (2 ,4 )f x y x y x y= + + b) ( , ) (2 ,4 ) ( 1,3)f x y x y x y= + + = − 2 1 4 2 3 x y x y + = −  + = 4 2 2 4 2 3 x y x y − − = −  + = 0 0 1( )x y F+ = Nos problemas 25 a 28 são apresentadas transformações lineares. Para cada uma delas determinar: a) o núcleo, uma base desse subespaço e sua dimensão; b) a imagem, uma base desse subespaço e sua dimensão. Verificar ainda, em cada caso, a propriedade 3, item 3.5, relativa à dimensão. 227) ( ) { / ( ) }N f f=  =v v 0 ( , ) ( 2 , ) (0,0)f x y x y x y= − + = 2 0 0 0 e 0 x y x y x y − =  + = = = ( ) {(0,0)}N f = Im( ) [( 2 , )] [( , ) ( 2 , )] Im( ) [(1,1), ( 2,1)] f x y x y x x y y f = − + = + − = − 2Im( ) {( , )}f x y= = 2( ) ( ) Im( ) 2 0 dim Im( ) dim Im( ) 2 Dim DimNuc f Dim f f f = + = +  = 328) ( ) { / ( ) }N f f=  =v v 0 ( , , ) ( 2 ,2 ) (0,0)f x y z x y z x y z= + − − + =2 0 2 0 3 0 3 2 0 2 ( 3 ) 0 5 x y z x y z x y y x x y z x x z z x + − =  − + = + =  = − − + = − − + =  = − ( ) {( , 3 , 5 ) / }N f x x x x= − −  Im( ) [( 2 ,2 )] [( , 2 ), (2 , ), ( , )] Im( ) [(1,2), (2, 1), ( 1,1)] f x y z x y z x x y y z z f = + − − + = − − = − − 2Im( ) {( , )}f x y= = 3( ) ( ) Im( ) 3 1 dim Im( ) dim Im( ) 2 Dim DimNuc f Dim f f f = + = +  = (1,0,0) (2.1 0 0,1 2.0) (2,1) (2, 1,0) (2.2 1 0,2 2( 1)) (3,0) (0,1,1) (2.0 1 1,0 2.1) (0,2) f f f = + − + = − = − + + − = = + − + = (2,1) ( 1,1) (0,1) (3,0) ( 1,1) (0,1) (0,2) ( 1,1) (0,1) a b c d e f  = − +  = − +  = − + 2 1 2 1 3 a a b b b − =  + =  − + =  = 3 0 3 0 3 c c d d d − =  + =  − + =  = 0 2 0 2 2 e e f f f − =  + =  + =  = a c e T b d f   =     2 3 0 3 3 2 T − −  =     ( , ) (2 , 3 , 2 )f x y x y x y y= − + − 3 2 1 1 3 0 2 T −    =    −  1 3 0 9 3 (3,4) 5 2 23 4 3 3 3 T          = =         −    2 3 3 21 3 (3,4) 2 5 26 4 2 2 14 T          = =         − − −    3 2 1 2 3 (3,4) 1 3 13 4 0 2 8 T −         = =         − −    3 1 1 3 (1,0) 1 0 0 1 f      = =     − −     3 1 0 1 (0,1) 1 0 1 0 f      = =     −     1 3 1 ) 1 0 a T A   = =   −  3 1 1 5 (1,2) 1 0 2 1 f      = =     − −     3 1 1 6 (1,3) 1 0 3 1 f      = =     − −     5 1 1 1 2 3 a b       = +      −      6 1 1 1 2 3 c d       = +      −      5 2 3 1 a b a b + =   + = − 2 2 12 2 3 1 13 c d c d d − − = −   + = − = − 2 2 10 2 3 1 11 a b a b b − − = −   + = − = − 3 3 15 2 3 1 16 a b a b a − − = −   + = − − = − 3 3 18 2 3 1 19 c d c d c − − = −   + = − − = − 6 2 3 1 c d c d + =  + = − ( 1,1) ( 1 2.1, 1 1) (1, 2) (1,0) (1 2.0,1 0) (1,1) f f − = − + − − = − = + − = (1, 2) ( 1,1) (1,0) (1,1) ( 1,1) (1,0) a b c d − = − + = − + 1 0 2 a b a − + =  + = − 1 ( 2) 1 1 2 1 a b b b b − + = − − + = = − = − (2, 1) (2 2.( 1), 2 ( 1)) (0,3) ( 1,1) ( 1 2.1, 1 1) (1, 2) f f − = + − − − = − = − + − − = − (0,3) (2, 1) ( 1,1) (1, 2) (2, 1) ( 1,1) a b c d = − + − − = − + − 2 0 3 a b a b − =  − + = 3a = 3 3 6 b b − + = = 2 1 2 c d c d − =  − + = − 1c = − ( 1) 2 2 1 3 d d d − − + = − = − − = − 1 0 1 c d c − + =  + = 1 1 1 2 1 c d d d b − + = − + = = = − Os problemas 35 e 36 se referem às transformações lineares de IR? em IR definidas por f (x,y) = (x-y,2x + y, 2x) ef (x,y) = (2x-y,x-3y,y). 35) Calcular (f, -f,) (x,y) 36) Calcular (3f, - 2f) (x,y) Os problemas 37 a 42 se referem aos operadores lineares fe g definidos porf(x,y) = (x-2y,y) eg (x,7) = (2x, -y). 37) Calcular E +g 35) (h-fo) (x,9) = (x,x + 4y, 2x -y) 36) (Gfh - 2h) (x,y) = (xy, 4x + 9y, -6x- 2y) 38) Calcular g-f 37) (f +2) (x,y) = (3x- 29,0) 39) Calcular 2f +4g 38) (8-1) (1,9) = (x + 2y, -2y) 39) (2f + 46) (5,9) = (10x 49,29) RO MEalcular ron 40) (F 08) 65,9) = (2x + 29,-9) 41) Calcular gof 41) (go) (4,7) = (2x-4y, -y) 42 o Nú =(x-4 5 42) Calcular fof ) Fo (6,3) = (x-4y,9) cos cos sen R sen      −  =     cos cos sen R sen      −  =     1 0 0 1 R −  =   −  2 1 0 2 ( 2,4) (2, 4) 4 0 1 4 f − − −     →  − = −     −     ( , ) ( , )f x y x y = − − cos cos sen R sen      −  =     4 cos 4 4 cos 4 4 sen R sen        −  =         4 2 2 2 2 2 2 2 2 R   −   =       2 2 2 2 4 2 2 22 2 2 2 ( 2,4) ( 3 2, 2) 4 42 2 2 2 4 2 2 2 2 2 f     − − −   − −       → =  − = −           − +        2 2 2 2 ( , ) , 2 2 2 2 f x y x y x y    = − +     ( , ) (2, 1) ( 2, 1) ( ', ') ( 1,4) ( ' 1, ' 4) AC BD AC C A x y x y BD D B x y x y =  = − = − − = − +   = − = − − = + − 90º cos90º 90º 0 1 90º cos90º 1 0 sen R sen − −    = =        ( 1,4) (2, 1) ( 3,5)AB B A= − = − − − = − 90º 2 0 1 3 1 1 0 5 2 5 1 3 AC R AB x y x y = − − −     =     +     − −    =    + −    2 5 e 1 3 5 2 3 4 ( 3, 4) x y x y C − = − + = − = − + = − = − = − − ( ' 1, ' 4) ( 5, 3) ' 1 5 e ' 4 3 ' 6 ' 1 BD x y x y x y = + − = − − + = − − = − = − = 75º 75º ( 1,5) (1,1) ( 2,4)AB B A= − = − − = − 30º 30º cos30º 30º 30º cos30º sen R sen −  =     30º 3 1 2 2 1 3 2 2 R   −   =       ( ) 3 1 22 2 3 2, 1 2 3 41 3 2 2   −  −    = − − − +         ( , ) (1,1) ( 1, 1)AC C A x y x y= − = − = − − ( )( 1, 1) 3 2, 1 2 3 C ( 1 3,2 3) x y− − = − − − + − − 75°75° ( 1,5) (1,1) ( 2,4)AB B A= − = − − = − 30° 30º cos30º 30º 30º cos30º sen R sen −   =   −  30º 3 1 2 2 1 3 2 2 R−      =   −    ( ) 3 1 22 2 3 2,1 2 3 41 3 2 2     −    = − + +     −    ( , ) (1,1) ( 1, 1)AC C A x y x y= − = − = − − ( )( 1, 1) 3 2,1 2 3 C (3 3,2 2 3) x y− − = − + + − + 1 60º 1 3 cos60º 60º 2 2 60º cos60º 3 1 2 2 sen T R sen   − −   = = =         2 1 0 0 1 T −  =     2 1 1 3 1 0 2 2 0 1 3 1 2 2 T T   − −   =          2 1 1 3 2 2 3 1 2 2 T T   −   =       49) Reflexão em relação à reta y = -x, seguida de uma- dilatação do fator 2 na direção 0x e, finalmente, de um cisalhamento de fator 3 na direção vertical. e) Reflexão em relação à reta y = -x b) Cisalhamento na direção do eixo dos y fIR>IR, f(x,y) = (y,-x) (Figura38.1.e) fR-Rf(xy)=(gy+ax =(xax+y) A matriz canônica dessa transformação é: A matriz canônica desse cisalhamento é: pira: a=be di b) Dilatação ou contração na direção do eixo dos x fR>IR, f(x,y) = («x,y),a >0(Fig. 3.8.2.b) A matriz canônica dessa transformação é: =| 0 A = [o ) a 1303 1 0 1 1 0 T −  =   −  2 2 0 0 1 T   =     3 1 0 3 1 T   =     3 2 1 1 0 2 0 0 1 3 1 0 1 1 0 T T T −    =     −    3 2 1 2 0 0 1 0 2 6 1 1 0 1 6 T T T − −     = =     − − −    

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