Solution Exame Unificado de Física 2016-1, Provas de Física

Baixe Solution Exame Unificado de Física 2016-1 e outras Provas em PDF para Física, somente na Docsity! Não podemos prever tudo. Temos que ser criativos diante do inesperado. Marcos Pacheco [email protected] Questões resolvidas Exame Unificado de Física – EUF 2016-1 Q1. Definindo-se o vetor de Hertz ~Z pelas expressões: ~∇ · ~Z = −φ; ~A = µ0ε0 ∂ ~Z ∂t , (1) onde φ e ~A são, respectivamente, os potenciais escalar e vetor. a) Mostre que os potenciais satisfazem o calibre de Lorentz: ~∇ · ~A+ µ0ε0 ∂φ ∂t = 0; (2) b) Demonstre que para um meio sem fontes (ρ = 0, ~J = 0) e de µ = µ0 o vetor ~Z satisfaz às seguintes expressões: ∇2 ~Z − 1 c2 ∂2 ~Z ∂t2 = − ~P ε0 ; ~B = 1 c2 ~∇× ∂ ~Z ∂t ; ~E = ~∇× ~∇× ~Z − ~P ε0 , (3) onde ~P é o vetor de polarização. Q2. Considere um disco vazado muito fino, com raio interno r1 e raio externo r2, deitado sobre o plano xy e com o eixo centrado em z = 0 (conforme ilustrado na figura 1). Figura 1: Disco vazado. O anel tem densidade superficial de carga dada por: σ(r) = σ0 r , (4) onde r = √ x2 + y2. a) Encontre o campo elétrico ~E(x = y = 0,z) sobre o eixo z; b) Suponha agora que o anel comece a girar com velocidade angular ω0. Encontre a densidade de corrente ~Js = σ~v, onde ~v é a velocidade linear; c) Encontre o campo magnético ~H(x = y = 0,z) sobre o eixo z, gerado pela densidade de corrente ~Js. 1 a) Para o caso em que o objeto descreva uma órbita circular (de equiĺıbrio) encontre o raio da órbita em função dos parâmetros k, q, M e L, do sistema. b) Para as mesmas condições do item a), encontre a energia total, E, em função dos parâmetros k, q, M e L, do sistema. c) Ao identificar o potencial efetivo para o movimento radial como Vef (r) = L2 2mr2 − k r − q 2r2 , verifique sob quais condições sobre as constantes q, L e M , a coordenada radial da órbita circular obedece uma configuração de equiĺıbrio estável. d) No caso da coordenada radial da part́ıcula se deslocar da condição de equiĺıbrio (estável) e passar a oscilar de forma aproximadamente harmônica (em torno do raio da órbita circular), encontre a relação entre o peŕıodo de oscilação radial e o peŕıodo de revolução (movimento angular) em função das constantes q, M e L. Q8. Seja um sistema composto por um par A e B de spins 1/2 descrito pelo estado |ψ〉 = α|A+〉 ⊗ |B−〉+ β|A−〉 ⊗ |B+〉+ γ|A−〉 ⊗ |B−〉+ δ|A+〉 ⊗ |B+〉 (com α,β,γ,δ ∈ C) pertencente ao espaço de Hilbert HA ⊗ HB, onde o estado |A±〉 satisfaz 〈A±|A±〉 = 1, 〈A±|A∓〉 = 0 e ŜA z |A±〉 = ±~ 2 |A±〉, ŜA ∓ |A±〉 = ~|A∓〉, ŜA ± |A±〉 = 0. E analogamente para |B±〉. Lembrando que Ŝz ≡ ŜA z ⊗ ÎB + ÎA ⊗ ŜB z assim como Ŝx ≡ ŜA x ⊗ ÎB + ÎA ⊗ ŜB x , Ŝy ≡ ŜA y ⊗ ÎB + ÎA ⊗ ŜB y com IA,IB sendo operadores identidade atuando nos respectivos espaços de Hilbert, responda: a) Qual é a dimensão do espaço de Hilbert HA ⊗HB do par de spins A e B? b) Seja o estado |ψ〉 com α = β = γ = 0. Qual é o valor de δ ∈ C mais geral que normaliza |ψ〉. c) Seja o estado |ψ〉 com α = −β = 1/ √ 2 e γ = δ = 0. Qual é o valor esperado do operador Ŝz nesse estado? d) Seja o estado |ψ〉 com α = β = 1/ √ 2 e γ = δ = 0. Determine se |ψ〉 é um auto-estado do operador de spin Ŝ2 ≡ Ŝ2 x + Ŝ2 y + Ŝ2 z . Se for, qual é o auto-valor correspondente? (Sugestão: lembrar que Ŝ± = Ŝx ± iŜy e que [ Ŝx,Ŝy ] = i~Ŝz.) 2 Q9. Seja um oscilador harmônico com frequência ω, massa m e com hamiltoniana Ĥ = (1/2 + n̂)~ω, (5) onde n̂ ≡ â†â com n̂|n〉 = n|n〉 e lembramos que os operadores de abaixamento e levantamento satisfazem â|n〉 = √ n|n− 1〉 â†|n〉 = √ n+ 1|n+ 1〉 Supondo que o oscilador esteja em um estado coerente |z〉 definido por â|z〉 = z|z〉, responda a) Qual é o valor de 〈z|n̂|z〉 para z = 1 2 exp(iπ/4), supondo que |z〉 esteja normalizado? b) Supondo que em t = 0 o oscilador esteja no estado fundamental |0〉, calcule a forma do estado no instante t = 1/10 s para ω = 5π s−1. c) Quanto vale cn (como função de n e z) para que o estado coerente |z〉 = ∑+∞ n=0 cn|n〉 (expandido na base de auto-estados |n〉 do operador número n̂) esteja normalizado? (Lembre- se que ex = ∑+∞ n=0 x n/n!) d) Use o resultado do item anterior e calcule o valor numérico de |〈z′|z〉|2 para z = 1/2 exp(iπ/4) e z′ = 1/4 exp(iπ/4). Q10. Considere um sistema de N spins 1/2 não-interagentes, com momento de dipolo magnético de módulo µ, na presença de um campo magnético uniforme B. a) Escreva a hamiltoniana do sistema. b) Considerando o sistema em equiĺıbrio térmico a temperatura inversa β = 1/kBT , calcule a função de partição Z(β,B). c) Calcule a magnetização M como função de T e B. d) Obtenha a expressão para M no limite de altas temperaturas e campo magnético fraco. 3 + / ) 0 VErDR de Herz Z E O ver forencial eLbmico Que AQUA A Pereamimim OS CAMPO] ELETRO - 4 9) E 8] mat vêr vo) (E, E), qo tum po ma pi Cro sm Fa porêmeint VETOR À E foriacial ESCALAA ó, vZ--d OD) Rms 12 6) df 0.) mostrt Que OS POTÊNCIA e A DE FiMDO! fELO veror dE NEar2 2, sonsrazem O CALIBRE dE LoreuT? VA cut2dio GD dA . 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