VIDEO AULA VIDEO AULAVIDEO AULA VIDEO AULA VIDEO AULA VIDEO AULA VIDEO AULA, Esquemas de Mecânica Aplicada

Baixe VIDEO AULA VIDEO AULAVIDEO AULA VIDEO AULA VIDEO AULA VIDEO AULA VIDEO AULA e outras Esquemas em PDF para Mecânica Aplicada, somente na Docsity! ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS Equações Fundamentais. Conservação de Massa, Quantidade de Movimento e Energia ) [oe + Ae dy dt z pr da dad 4 Antônio Cardoso Neto ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS ÍNDICE 1. INTRODUÇÃO E GENERALIDADES 2. CONCEITOS BÁSICOS 2.1. Regimes Laminar e Turbulento 2.2. Grandezas Instantâneas e Médias 2.3. Nomenclatura Elementar 3. EQUAÇÕES GERAIS DO ESCOAMENTO 3.1. Conservação de Massa 3.2. A Equação de Euler 3.3. A Equação Complementar 4. CINEMÁTICA DOS FLUIDOS 5. FORMULAÇÕES DECORRENTES DA EQUAÇÃO DE EULER 5.1. A Equação de Lagrange 5.2. A Equação de Bernoulli . CONDIÇÕES INICIAIS E DE CONTORNO . DISTRIBUIÇÃO DAS PRESSÕES 8. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI 8.1. Extensão do Teorema de Bernoulli aos Líquidos Reais 8.1.1. O coeficiente de Coriolis 8.1.2. Perda de carga 9. INTERCÂMBIO DE IMPULSO 9.1. O Teorema de Euler 9.2. Aplicações do Teorema de Euler 10. ESCOAMENTO DOS FLUIDOS VISCOSOS 10.1. Viscosidade 10.2. Viscosidade dos Fluidos Reais 10.3. O Teorema do Tetraedro dos Esforços 11. TENSÕES E DEFORMAÇÕES DE ORIGEM VISCOSA NOS FLUIDOS NEWTONIANOS 11.1. Tensões Normais 11.2. Tensões Tangenciais 11.3. Hipóteses de Stokes 11.4. Equilíbrio Dinâmico 12. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA AS VON EUWwI Pra ma SSCOVIANANNANNHOSO O 22 23 24 24 25 Antônio Cardoso Neto Além da velocidade e da viscosidade cinemática do líquido, o número de Reynolds também leva em conta uma dimensão linear característica. No caso de tubos de seção circular, esta dimensão é o diâmetro D da tubulação, como visto na equação 1. Para seções não- circulares, toma-se esta dimensão como sendo o quádruplo do raio hidráulico”. 2.2. Grandezas Instantâneas e Médias Durante o escoamento, uma determinada partícula, que se encontra em um ponto P no tempo t, é dotada de uma velocidade instantânea v. Devido à tridimensionalidade do escoamento, essa velocidade varia tanto temporal como espacialmente, tanto em intensidade como em direção e sentido. O escoamento é dito permanente quando os parâmetros envolvidos são temporalmente invariantes em todo e qualquer ponto do escoamento. Um conceito importante é o da velocidade média, quando se pretende conceituar o movimento permanente em média: trat =— 2 Vo ag 1 Vat 2) onde At é o intervalo de tempo considerado. Analogamente, pode-se definir valores médios e instantâneos para as outras grandezas que intervêm no escoamento, como a pressão e a densidade. Em alguns métodos de simulação numérica de escoamentos não permanentes, utiliza-se este conceito de escoamento permanente em média, durante pequenos intervalos de tempo. Va 2.3. Nomenclatura Elementar OD Chama-se campo de velocidades ao conjunto constituido pelas velocidades instantâneas das partículas, que em determinado tempo t ocupam um volume V no espaço. A curva tangente às velocidades instantâneas de linha de corrente uma partícula individualizada é chamada linha . . . de corrente (figura 2), cuja equação é: Figura 2- Definição de linha de corrente. dx dy dz ul vw o Se o campo de velocidades, de densidade e de pressão for temporalmente invariável, ou seja, se o movimento for permanente, as linhas de corrente coincidem com as trajetórias das partículas. No entanto, se o escoamento não for permanente, o campo de velocidades varia com o tempo provocando variação temporal das linhas de corrente, o que é de se esperar que ocorra. O Tubo de corrente é uma superficie fechada que contém linhas de corrente. Quando se analisa um tubo de corrente de seção transversal infinitesimal, geralmente se refere a ele como um filete de corrente. Q A vazão Q através da seção S de um tubo de corrente, mostrado na figura 3, é definida como: escoamento a uma velocidade de 0,90 m/s, a 20º C (v=0,000001 m2/s) em uma canalização de 50 mm de diâmetro, tem-se um valor de aproximadamente 45.000 para o número de Reynolds. 5 Raio hidráulico é a razão entre a seção ocupada pelo fluido, transversal à direção do escoamento, e o perímetro da fronteira desta seção com o conduto que a limita. 8 Em certos problemas de aerodinâmica At é da ordem de minutos, ao passo que na simulação de alguns escoamentos esse intervalo pode ser da ordem de centésimo de segundo. -4- ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS Q=[vids s (4) onde ii é o versor normal à cada ponto da seção S, em um determinado tempo t. Portanto, a vazão média é: trt t+At 1 1 =. . - Q,= A / Qt = A [iva ds = [van ds (5) Logo, a velocidade média de uma corrente liquida pode ser expressa por: Q IA fids v=>T>=8 00 — s s O valor do produto da vazão pela densidade” se denomina descarga ou vazão mássica. 3. EQUAÇÕES GERAIS DO ESCOAMENTO Na dedução das equações fundamentais do escoamento de um fluido ideal, será usada a abordagem de Euler, através de um volume de controle de dimensões infinitesimais. 3.1. Conservação de Massa [or + del dy dt z py dx de dh Figura 4- Volume de controle elementar. variação de massa do volume do paralelepípedo é: 7 Também denominada massa especifica. (6) a”, Figura 3- Tubo de corrente. Nas velocidades de valores práticos, a conservação da massa é um princípio óbvio e intuitivo8. Seja o paralelepípedo invariável e fixo no espaço (figura 4), de arestas dx, dy e dz de dimensões infintesimais, com seu interior totalmente ocupado por um fluido de densidade transitória p. Durante um intervalo infinitesimal de tempo dt, a massa especifica passa de p para p+ Pa Portanto, a a 8 Em Hidráulica Relativistica, ramo da ciência que se ocupa do estudo de explosão de supemovas e do escoamento da matéria inter-galáctica, não se considera a conservação da matéria, devido à transformação de matéria em energia (Ene?) e ao aumento de massa com a velocidade segundo Einstein. -5- Antônio Cardoso Neto VM o) | à am [+ o jaxay de dt= ax dy dz dt D A massa que entra no volume infinitesimal, durante o intervalo dt é: = p(udy dz+v dx dz + w dx dyjdt (8) Montra = E a massa que sai do volume durante e mesmo SS é: [Ápu) (oi, Aowl jp dyded 0) = p(u dy dz+v dx dz+w dx dy)dt+ a Portanto, o balanço de massa fornece: õz dm = Ma — Mi a” ay No caso dos liquidos, considerados incompressíveis (p espacialmente uniforme e temporalmente constante), a equação da continuidade fica simplesmente: YV-0 (11) Ou seja: O divergente do vetor velocidade é sempre nulo para os fluidos incompressíveis. =0 (10) 3.2. A Equação de Euler As forças externas que atuam sobre um fluido em movimento podem ser classificadas em duas categorias distintas, a saber: O Forças relacionadas à superfície. Forças decorrentes da pressão externa sobre as seis faces do paralelepípedo infinitesimal. O Forças dependentes do volume. OD O peso. Ocasionado pela o gravidade, no sentido vertical (z * Eee] Sady descendente. pd dz QD Forças dependentes da massa. Forças dependentes da massa do fluido, cujas componentes cartesianas por unidade de massa são designadas aqui por X, Y e Z que têm, portanto, dimensões de aceleração [ LT- 2. As força causadas pela pressão Y externa nas faces do volume de Figura 5- Forças exercidas pela pressão externa nas faces do controle estão esquematizadas na volume de controle. figura 5. Logo, a força resultante da pressão externa é: - (op op. 2) F= (ee oO dx dy dz a? A resultante das forças externas dependentes da massa é: -6- ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS mc (BE (282 pe (ae (28020 o (28 20 a) w, É Wa Ou seja: o Lo V=V+V-V, (28) Portanto, pode-se considerar que o movimento do ponto P», situado no interior da partícula, é resultante da composição de três movimentos. O Translação. Neste caso, se a velocidade (tanto em intensidade como em direção e sentido) em P2 é a mesma de P4, a partícula sofre uma translação, sem movimento relativo entre os dois pontos. O Rotação. Pode-se observar que: V,=0n(P-P)=(VAV)A(P,-P)= Alroty )n(P, -P) 9 o que representa uma rotação. Ao vetor Ô, dá-se a denominação vetor turbilhão, cujas componentes dependem exclusivamente da velocidade em Pj. Nota-se que o vetor turbilhão, que passa por Pj, tem dimensão de frequência 7-1. Cabe aqui, introduzir o conceito de escoamento a potencial de velocidades. Se u.dx+v.dy+w.dz for uma diferencial exata, existe uma função? q(x,y,) tal que: dq op dq =» VE W=— (30) Ox oy õz Portanto, o vetor turbilhão, neste caso, fica: ij k - 10 0 3d Tonto AL O=5ix ” 22)” 01+0)+0k QL) dp dp dq ox Oy dz o que significa que o movimento é irrotacional, e a equação 10 (da continuidade) fica: Õp j= Ye 2 a (Volvo) + dv q) =0 (32) Logo, no caso de fluidos incompressíveis (2?=0) e homogêneos (Yp=0), escoando a a potencial de velocidades, a equação de LaplacelO (vq=0) é satisfeita. O Deformação. Neste caso, a distância infinitesimal AS, entre Pj e P> tem componentes Ax, Ay e Az, cujos valores são: 9 A funçao q(x,y,7) é chamada finção potencial. 10 Marquês de Laplace (1749-1827). Matemático e astrônomo francês. Mostrou que as órbitas planetárias, como calculadas por Newton, são dinamicamente estáveis e desenvolveu toda uma teoria sobre a ação das marés. Também formulou a chamada Hipótese da Ne bulosa, segundo a qual o sistema solar se condensou a partir de uma nuvem de gás e publicou trabalhos importantes sobre a Teoria das Probabilidades. -9- Antônio Cardoso Neto [orou A A sz das) — ax Ay Z | —- 2 2 2 Ay=vad > uv w, a VU tVa+ Wa (33) Az= wa dt Considere-se a expressão seguinte: [ ôu Ou Ou) (0) xa [mn = 7 = jo Mo a elx, y,2) = (AS) (ay (AS) = (ax Ay 42) x o Ay A (34) (E ow ow ox Oy E Pode-se verificar que: ô ô — =Uyj DO Va 2 Wa A Ax) Ay) Az) Por ser um escoamento a potencial de velocidades, o movimento é irrotacional. No entanto, a velocidade relativa entre os dois pontos não é necessariamente nula, o que produz uma deformação na partícula em torno do ponto P). (5) 5. FORMULAÇÕES DECORRENTES DA EQUAÇÃO DE EULER Há duas equações importantes, que surgem como consegiiência da equação de Euler: a Equação de Lagrange, e a de Bernoulli, sendo que a forma geral desta última já foi apresentada aqui. 5.1. A Equação de Lagrange Seja um escoamento a potencial de forças y(x,y,2), tal que (619) onde X, Y e Z são as forças externas (por unidade de massa) da equação 17, e seja o potencial de velocidades q(x.y,7), como foi definido na equação 30. Então, a equação de Euler fica: fel (o | E ja ão ES | by | ão do ão e | [o | (o) df o [é of co Toa o) 6? [2 B) (E. pp dp e) E 0 õz 9 E oy? oz ho) loza Mas, pode-se facilmente perceber que: -10— ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS de (6)] (os) Hoy) +ee) | 2 2 2 | OX | 2 (Po do Cova) [rr Se raoil) (ANP) EA al) (28) (2) | [| [Po Po do) ôp| 1 Lo) hoy) ho) J aja] (8) lo? o? 02? ay? oy "2 ày | E do do [do ae) ap (28 | avr ox oy? o? ho [Ao Hay) Hz | o) LOC) Então, a equação 37 se reduz a: (00) ( au) [ao] (20) “x ô ELE Lajavr | 16 [9] 12 |,;| du | 1 «DE -jo (39) fã oy | 2| oy El oyet | lo) E) o) 0 (a z (a) õz Sob a suposição de que a densidade p é apenas função da pressão p, ou seja: E 10 48) 14 18) 1x 418) 100 415) E (40) px ox * pôy oy | põôz oz é permitido que se escreva: d V d Li õ d v2 à EE (Pv) (ron =0 (41) x oy õz 2 Vv? à Portanto, a expressão pe, EE independe do ponto (x,y,z) considerado, P sendo dependência exclusiva do tempo t. Finalmente, se o movimento for permanente, conclui- se que: dp v2 . PT y+ 25 Constante (espacial e temporalmente ). (42) A expressão acima demonstra que a integração pode ser feita entre dois pontos quaisquer (não necessariamente pertencentes à mesma trajetória ), se as forças e as velocidades forem oriundas de um potencial. 5.2. A Equação de Bernoulli A equação 23, de Bernoulli, também pode ser deduzida a partir do conceito de potencial de força. Observando que dx=u.dt, dy=v.dt e dz=w.dt e pré-multiplicando a equação 17 pelo vetor linha (dx dy dz), obtém-se: -1- Antônio Cardoso Neto OQ Eixo normal à trajetória (y). O termo da aceleração é simplesmente substituído pela aceleração centrípeta!3: 10p v2 py ER 64 Q Eixo ortogonal ao plano instantâneo da trajetória, ou eixo binormal (=). Como não há projeção das acelerações da velocidade no eixo z, exceto a gravitacional, a equação fica, simplesmente: 19p pat 279 (55) A partir dessas equações, pode-se tirar as seguintes conclusões relativas à distribuição das pressões nos escoamentos, conclusões essas conhecidas como regras de Bresse: O A variação vertical das pressões obedece a lei hidrostática, em escoamentos cujas trajetórias são confinadas a planos horizontais, pois e.g > dap= «ala > p-po=poz,-2) (56) O As pressões se distribuem segundo a lei hidrostática nos escoamentos retilineos e uniformes, devido ao fato de que as acelerações são nulas, resultando em =Yp (67 1: É que são condições de equilíbrio hidrostático. O Se o escoamento de um líquido ideal causar, nas partículas, movimentos idênticos aos que estas teriam se estivessem sob a ação exclusiva das forças externas, a pressão será constante em toda a massa líquida, em um instante qualquer, porque (du) (op) Do eo el (O) | Y | [EI s 1/2 | lol => px, y, z)= Constante. (58) ES aro Cy dB dz oz O Se o escoamento de um líquido natural for dotado de movimentos lentos, a distribuição das pressões é praticamente hidrostática, pois V = 0, o que faz com que as forças inerciais possam ser desprezadas, recaindo no caso O. 6 A distribuição das pressões em uma seção transversal ao escoamento seguirá a lei hidrostática, se as trajetórias das partículas atravessarem normalmente essa seção, e se as 13 O termo da aceleração fica em sentido contrário, pois deve sempre ser lembrado que a aceleração centrípeta ocorre no sentido de atrair a partícula para o centro do raio de curvatura da trajetória, embora haja uma reação centrífuga sobre a partícula, orientada no sentido de escapar da trajetória. -14—- ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS curvaturas!4 dessas trajetórias forem muito pequenas nas cercanias da seção, pois isso também faz que se recaia no caso O. 8. APLICAÇÕES DA EQUAÇÃO DE BERNOULLI O teorema de Bernoulli, que afirma que a soma das alturas (geométrica, piezométrica e cinética) é constante ao longo de qualquer linha de corrente, nada mais é que o princípio de conservação de energia, sendo que cada uma dessas alturas (também denominadas cargas) não passam de formas de energia (potencial, de pressão e cinética) por unidade de peso, o que torna a equação de Bemoulli uma ferramenta utilissima na resolução de problemas relativos à engenharia hidráulica. Duas experiências interessantes += que ilustram este importante teorema, Q ; idealizadas e realizadas por Froude em h o 1875, são mostradas a seguir. vê A primeira demonstração utiliza 129 piezômetros instalados em uma tubulação Pp lisa, horizontal e de diâmetro variável, eg que parte de um reservatório no qual o nível foi mantido constante, como ilustra a figura 9. Pode-se observar que a água dos piezômetros sobe mais nas seções de diâmetro maior, pois nelas a velocidade é menor, resultando menor carga cinética e, portanto, maior carga piezométrica. A constância da carga total pode ser verificada pela equação de Bemoulli, uma vez que as seções são conhecidas. Pode-se também calcular a vazão desta forma. No segundo experimento, são utilizados vasos providos de bocais, chamados vasos de Froude, em sua homenagem. Os bocais são justapostos, com a água passando de um para o outro, como está esquematizado na figura 10.a. A pressão exercida pelo liquido na seção S2 é p Figura 9- Conservação da energia total. gho, ao passo que se admite uma pressão igual a pghy na seção Sj. Tomando como referência o eixo dos bocais e aplicando o teorema de Bernoulli, obtém-se: vz vz H=ogt= 29" he (59) A seção Sj do bocal é construída de tal forma que reduz toda a carga H à energia cinética, ou seja: Vem 29 (60) que é a conhecida equação cinemática de TorricellilS. Portanto, resulta que hy = 0, o que implica que a pressão no bocal é a atmosférica. Desta forma, pode-se separar os vasos (figura 14 Curvatura À da função f no ponto x=a é definida como o inverso do raio de curvatura, ou seja: difíta) 2é 15 Torricelli (1608-1647). Matemático italiano. Conhecido como sendo o inventor do barômetro de mercúrio. Seu teorema se aplica a bocais e orifícios nos quais y - Veh- -15- Antônio Cardoso Neto 10.b) que a água continuará para o outro bocal por meio de um jato, sem que haja água escapando para o exterior dos bocais. ta by 8.1. Extensão do Teorema de Bernoulli aos Líquidos Reais 8.1.1. O coeficiente de Coriolis Seja uma corrente líquida que atravessa perpendicularmente uma seção S, na qual o escoamento se apresenta com uma distribuição Figura 10- A experiência dos vasos de Froude. qualquer de velocidades transversais a ela, como é mostrado na figura 11. Sendo dQ = v.dS a vazão que um filete elementar, dotado de velocidade média local v no ponto em que o filete atravessa a seção, a potêncial6 total do filete neste ponto é: p e) P=|2+—+— |pg. dQ pg 29 pg (61) Portanto, se o fluido for incompressível, a pressão for uniformemente distribuída em S e z for a cota do centro geométrico da seção em relação a um plano horizontal de referência, a potência total de toda a corrente líquida é: 2 2 P= pol(2+ BP elouas > P-(p+pgz)a+ pol Lv.ds= (p+ pg7a+L fv'as (62) s Pg s29 25 29 Então, a energia total por unidade de pesoll fica: Pp Pp, E="L -2,O vids poa pg" gas xa (63) Como pode ser visto na figura 11, va = V+E. “atgms escoamentos em tubos de seção circular, como será visto mais adiante, apresentam um perfil de velocidades parabólico, onde 2 = elveaft Ss) onde V é a velocidade média na seção e R é o raio da mesma, suposta circular. Logo, > V=e (64) Portanto, (65) o que conduz a: 2 fras- 16nV d-6) rdr= 20R?Vº = 2QV? (66) o que substituída na equação 63 fomece: 16 Potência é a taxa de dissipação de energia, ou seja, a razão da energia pelo tempo. 17 Também chamada de energia específica. -16— ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS A conservação da quantidade de movimento implica que a diferença entre a quantidade de movimento que entra pela seção dSj e a que sai por dS2 é igual à variação da quantidade de movimento do volume envolto pela superfície (1) 5(2)5(9)5(3)> (1). Como a equação da conservação de massa fornece dm=p.dVol=pdS,. V,dt= pdS,. Vydt= pdQ.dt, — deduz-se que: dmy)- paa(Vo-Vi at > ZE, = -V, ha (2) Esta equação, conhecida como Equação de Euler, não leva em consideração as forças internas, uma vez que o sistema formado por elas tem resultante nula. No campo gravitacional, essas forças são: O o Figura 14- Transporte de quantidade de movimento de A para B. peso da massa líquida dF, ; D as forças de pressão dE, sobre as paredes laterais do filete e sobre as seções de entrada e de saída do volume; e Q as forças de atrito dE, sobre as paredes laterais do filete. Portanto, a equação de Euler fica: 555 dE dE + dF = fpVV.nd gt dE, + r=dP .nds (3) 5 onde n é o versor da direção e sentido do escoamento. Através deste teorema, é possível determinar a resultante das forças externas, conhecendo-se a distribuição de velocidades sobre a superfície fechada que envolve o líquido (independente se ideal ou real), sem se preocupar com o que ocorre em seu interior. 9.2. Aplicações do Teorema de Euler Seja um certo volume envolto por uma superficie S fechada e fixa, através da qual um fluido se movimenta em regime permanente, como ilustra o esquema da figura v 15. ds A al. A quantidade de movimento que sai pela superficie elementar ds, por unidade de tempo é: sdm > > 555 v—— = vpdQ=vp(v.dS)=pvv.ndSs (14) dt . a . . Figura 15- Líquido contido em uma Então, a variação da quantidade de movimento superfície fechada. do fluido contido emS, durante o intervalo de tempo dt, é dado por: dmv) =dtlpvv.ndS= dt/pdsv > VF= fpydsv 5 s s s A equação de Euler foi apenas deduzida a partir do escoamento ao longo de um filete de seção transversal infinitesimal. Torna-se, portanto, imperativo que se defina a aplicação do teorema às correntes líquidas. Pode-se imaginar a corrente como sendo composta de filetes que não se cruzam, sendo nula a velocidade em toda a superficie lateral da corrente, como pode ser observado na figura 16. Chega-se, portanto, à seguinte expressão: -19- Antônio Cardoso Neto > > > SE, fps vas [pv vas 9 S, S, Se o fluido for incompressível e a seção transversal for normal à direção geral da corrente, o valor de vn é igual ao módulo de v. Neste caso, a variação da quantidade de Ss, movimento no volume delimitado por S1, S2 e as paredes laterais, fica plvas. Entretanto, é S preferível que se utilize a velocidade média V, para efeitos de aplicação prática. Portanto, fv'as sfv?ds BpV?s = pjv?ds > B- Vs = (17) s [vas s 8, sendo que B é o coeficiente de quantidade de movimento. E deixado como exercício, a aplicação desta relação ao perfil parabólico (equação 65), que resulta em B = 4/3. Portanto, a quantidade de movimento real é maior que a quantidade de movimento do escoamento fictício médio, resultando que a fórmula de Euler aplicada às correntes líquidas fica: 94? DF. = eA(B,V, — BM) (78) Figura 16- Distribuição de velocidades em uma corrente. 10. ESCOAMENTO DOS FLUIDOS VISCOSOS Até aqui, não se preocupou com o que ocorre no interior dos fluidos em movimento. Entretanto não apenas o atrito entre o fluido e as paredes dos condutos são relevantes, como também o atrito entre os filetes que compõem a corrente. 10.1. Viscosidade Viscosidade é o atrito que se observa no interior de um fluido real em escoamento, causando uma força de AF arrasto entre duas camadas adjacentes. E : — devido a este efeito que os escoamentos de fluidos naturais se apresentam com uma distribuição não-uniforme de velocidades. Para se compreender este fenômeno, se faz ABA uma analogia com o movimento relativo Figura 17- Exemplificação da viscosidade. de duas placas planas separadas por uma distância infinitesimal An, como as da figura 17. Enquanto a placa inferior está em repouso, a superior se move horizontalmente em movimento uniforme, arrastando as partículas líquidas que estão em contato com ela, em consegiiência do atrito; ao passo que as partículas que estão -20— ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS em contato com a placa inferior permanecem imóveis, pelo mesmo motivo, admitindo que o líquido se movimenta laminarmente. Tem-se observado experimentalmente, que a velocidade varia linearmente de zero até Av. A força de resistência ao deslocamento da placa é proporcional à velocidade relativa e à área da placa, e inversamente proporcional à distância entre as placas, ou seja: 5 > Av AF=pASo dF dv dv v v SS =ueL 79) ds Pan "gn 09 O coeficiente u [ML-IT-1] é chamado coeficiente de viscosidade absoluta, que depende da temperatura, pressão e da natureza do líquido, e T é a tensão de cisalhamento. Com frequência se emprega o coeficiente de viscosidade cinemática v =u/p [ D3T-1]. 5 Pode-se notar que = é uma medida da deformação do líquido, uma vez que p » q] q a) dé) dltgo) 1 do dn dn dt dt “cosod (80) que para pequenas deformações (cos26 x 1) se reduz a dv do 0. 81 dn dt 6 10.2. Viscosidade dos Fluidos Reais Os fluidos que se comportam da forma descrita são chamados de newionianos. Há, porém, alguns outros que não têm comportamento similar. Os chamados fluidos não- newtonianos podem ser classificados em três grupos: OD Fluidos que apresentam características simultâneas de sólidos e líquidos. Um exemplo característico dos fluidos deste grupo é o piche que, quando em escoamento à temperatura ambiente, apresenta características de um fluido de grande viscosidade, porém se verifica que surge uma ruptura no piche, ao sofrer o impacto de uma batida brusca, como se fosse um sólido. O piche se enquadra no grupo dos fluidos viscoelásticos. Q Fluidos nos quais a relação entre a taxa de deformação e a tensão de cisalhamento depende das condições iniciais do escoamento. A viscosidade aparente desses fluidos não pode ser descrita analiticamente através de uma relação entre 6 e t, pois depende também da história prévia do escoamento. Q Fluidos nos quais a taxa de deformação é apenas função da tensão de cisalhamento. Aqui será feita apenas uma abordagem sumária dos fluidos do terceiro grupo, pois apresentam uma viscosidade aparente, com um significado análogo ao da viscosidade propriamente dita. Pode-se, portanto, abordar conjuntamente os fluidos newtonianos e os do terceiro grupo que, por este motivo, é chamado de grupo dos fluidos não-newtonianos viscosos. Já o tratamento analítico do escoamento de fluidos pertencentes aos dois primeiros grupos constitui um capítulo especial da Mecânica dos Fluidos, chamada Reologia?o. A figura 18 mostra o comportamento da taxa de deformação com a tensão de cisalhamento, para diferentes tipos de fluidos, a saber: 20Reologia = pe'o (escorrimento) + Al yom (discurso). > Antônio Cardoso Neto Logo, as forças viscosas conduzem apenas à deformação da massa fluida. Será feita uma analogia com os corpos sólidos deformáveis, para se atingir uma expressão geral do escoamento dos fluidos newtonianos. Observando as equações 25, 26 e 27, verifica-se que a velocidade de deformação pode ser decomposta em dois tipos: O Velocidade de deformação linear ou de dilatação. Altera apenas o comprimento dos eixos, sendo representada pelo seguinte vetor: ou Ov. 2) ox ' dy! dO (92) O Velocidade de deformação angular. Altera o ângulo dos eixos, segundo o vetor: ow O O Ow O du) (Ee .ã. a ox" x O (23) 11.1. Tensões Normais Sabe-se, pela lei de Hooke, que a relação entre as tensões normais e as deformações lineares de um corpo homogêneo e isotrópico leva em conta o efeito da deformação transversal nos dois sentidos ortogonais ao sentido da deformação longitudinal, por uma questão de continuidade e coesão, ou seja: o 4 = —— (e) | | [e 6, (9, (5,+0,+6,] : [0/11 1 4 a, fe desiç As +0,+6, 94 Eur fo lo repara 09 E, (E) (+ 1 5, 5, G,+9,+06, õz CG na qual E, mn e € são as componentes do deslocamento ao longo das direções x, y e z, respectivamente; E é o Módulo de Elasticidade e ç é o Coeficiente de Poisson23. Mas, através da Teoria da Elasticidade, sabe-se que: ç+1) E-= e. G (95) em que G é o módulo de torção. Fazendo E=E+E,+E, “4 (96) = 318 +9,+0,) obtém-se: po HS q Merc c- 2Ge+65 2(c+ NG 3(ç- 2) 36 - 2Ge (97) Substituindo as equações 93, 94 e 95 na equação 92, obtém-se: 235. D. Poisson (1781-1840). Geômetra e físico francês. Escreveu grande quantidade de tópicos em Magnetismo, Astronomia, nos estudos de Escoamentos Viscosos, Elasticidade, Potencial Gravitacional e na Teoria das Probabilidades. -24— ELEMENTOS DE MECÂNICA DOS FLUIDOS ( 35 ( 26 [= 265, +70 |9,=266, +55 EG - 265, + 2 - 266, + 2 -5+26s,-26 [o qr > [SO gts = 0+ 3 E (98) 30 2Ge 2 [o 268, +08 [o 265, +25 =— 368 ou seja: f é 2 (E. a |[,=5+26-5 38 % a, z l -c,26%1 2 dE. m 1) (99) pn dy 3 lx dy dO aca 2dE2,8) | ô 3 lx ay” õz 11.2. Tensões Tangenciais As tensões de oisalhamente são consequências diretas dos momentos torçores, portanto: di) Fw õz le dEs a) (100) l ox" dz dg sax oy. 11.3. Hipóteses de Stokes Stokes24 formulou as seguintes hipóteses: OD O módulo de torção de um corpo sólido equivale à viscosidade de um corpo fluido. QD A tensão normal média deve ser substituida pela pressão -p do escoamento. Q Como as tensões são proporcionais às derivadas temporais das deformações, isso corresponde a substituir e poru, a porv e = por w. Portanto, estas hipóteses resultam em: f ou 2) ou 2 25 Ao ANE [ ta v 2 20 ow =-p+2u>->uUV.V 101 [No P+Zn ar So [mM -£) (101) ow 255 | ow a) =-p+2u-2UV.MV —+— jo. pru! [e Hot e 24 George Stokes (1819-1903). Matemático inglês. Trabalhou a vida toda na Universidade de Cambridge, onde fez grandes contribuições à Hidrodinâmica e à Teoria Eletromagnética da Luz. -25- Antônio Cardoso Neto 11.4. Equilíbrio Dinâmico Zug A figura 20 mostra as forças de superficie em um elemento de volume de um fluido em movimento. Aplicando a segunda lei de Newton a esse volume, se obtém: . % Sea F a 4 dm PY - o dm Y|+ E y Dt z) 1% (102) o, dz Figura 20- Equilíbrio dinâmico de forças. [9/4 Mas, como Ea Oy Ea | ox Vox ay Taz NE OF, (ow O, dy ay = ( x a Ce (103) õ [E = E sãe, Es xay oe lx o & a equação 100 fica: [du (ês E — = pgX x, 9 Soxz E PSA Ca ay “az dv sy do, A = = poY y, Oy e) (104) [Par PS (Su das [ dw (à x õs, — -og+| DL, E, [Par Pa Toy “a Portanto, sob a forma vetorial, a equação 104 pode ser escrita como: DV >> LA? O > PT PISa+VP—S VV|-uv?V=0 (105) A expressão acima é a equação mais importante da dinâmica dos fluidos newtonianos e foi obtida sucessivamente por Navier (1827), Poisson (1831), Saint-Venant (1843) e Stokes (1845), recebendo a denominação atual de Equação de Navier-Stokesll 12. BIBLIOGRAFIA RECOMENDADA AZEVEDO NETO, J. M. (1973) - Manual de Hidráulica. Editora Edgar Bliúcher, São Paulo (SP). GARCEZ, L. N. (1960)- Elementos de Mecânica dos Fluidos - Hidráulica Geral. Editora Edgar Blicher, São Paulo (SP). PIMENTA, C. F. (1977)- Curso de Hidráulica Geral Vol. 1, Centro Tecnológico de Hidráulica, São Paulo (SP). -26—