Eletricidade Básica - Jorge Augusto, Notas de aula de Mecatrônica
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Eletricidade Básica - Jorge Augusto, Notas de aula de Mecatrônica

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Eletricidade Básica

Jorge Augusto Gonçalves Alves

CIRCUITOS ELÉTRICOS

Curso básico

Professor Jorge Augusto

Professor Jorge Augusto

CIRCUITOS ELÉTRICOS

Fortaleza-CE

2012

Jorge Augusto Gonçalves Alves

1. Circuitos elétricos I. Título.

Jorge Augusto Gonçalves Alves

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ................................................................................................ 7

1.1 Apresentação da disciplina ................................................................... 7 1.2 Sistemas de unidade e notação ............................................................ 7 1.3 Conceitos Básicos: Carga, Corrente, Potência e Energia ................... 10

2 ESTUDO DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS ..................................................... 13 2.1 Lei de Ohm, Resistência e Gráfico V X I ................................................. 19 2.2 Potência de um resistor .......................................................................... 20 2.3 Fontes de tensão e corrente ................................................................... 20 2.4 O circuito elétrico e as leis de Kirchhoff .................................................. 23 2.5 Análise de um circuito de uma só malha ............................................. 24 2.6 Associação de resistores em série ......................................................... 24 2.7 Simplificação de circuitos em série ......................................................... 25 2.8 Associação de resistores em paralelo .................................................... 26 2.9 Simplificação de circuitos em paralelo .................................................... 26 2.10 Transformações Y- e  -Y ................................................................. 28

3 TEOREMAS E TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS. ..................... 30 3.1 Linearilidade e superposição .................................................................. 30 3.2 Teoremas de Thevénin e Norton ......................................................... 31 3.2 Fontes ideais e reais ........................................................................... 38 3.3 Teorema da máxima transferência de potência .................................. 39 3.4 Análise de Nós ........................................................................................ 40 3.5 Análise de malhas .................................................................................. 41

4 ANÁLISE FASORIAL .................................................................................... 42 4.1 Caracterizações da função senoidal ....................................................... 42 4.2 Conceito de fasor ................................................................................ 45 4.3 Relações Fasoriais R, L e C ................................................................ 49 4.4 Conceitos de impedância e admitância ............................................... 52

5 COMPORTAMENTOS DE CIRCUITOS RLC ................................................ 54 5.1 Comportamento de circuitos RC série e paralelo ................................... 55 5.2 Comportamento de circuitos RL série e paralelo .................................... 58 5.3 Comportamento de circuitos RLC série .................................................. 60 5.4 Comportamento de circuitos RLC paralelos ........................................... 62

6 POTÊNCIA, VALORES MÉDIOS E EFICAZES ............................................ 65 6.1 Potência instantânea e potência média .................................................. 66 6.2 Valor eficaz da potência ...................................................................... 66 6.3 Potência aparente, ativa e reativa ....................................................... 67 6.4 Fator de potencia ................................................................................ 68 6.5 Correção do fator de potência ............................................................. 70

7 CIRCUITOS POLIFÁSICOS .......................................................................... 71 7.1 Sistemas Trifásicos ................................................................................. 71 7.2 Potência em Circuitos Trifásicos ............................................................. 75

REFERÊNCIAS ................................................................................................ 78

Jorge Augusto Gonçalves Alves

LISTAS DE FIGURAS

Figuras 1 ao 48 símbolos elétricos da apostila Eletricidade Básica do SENAI-CE

Figura 59 ao 72 símbolos elétricos da apostila Análise Circuitos Elétricos do SENAI-SP

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

1 INTRODUÇÃO

Neste curso abordaremos os fundamentos e comportamento de circuitos elétricos

com resistores, capacitores e indutores sendo alimentados por fontes de tensão e

corrente continua (CC) e alternada (CA). Daremos ênfase às teorias, técnicas e leis que

regem circuitos alimentados com fonte de tensão contínua, fonte de tensão alternada e

no cálculo da potência consumida por esses circuitos.

1.1 Apresentação da disciplina

Para introduzir o aluno nos conceitos relacionados à eletricidade e aos circuitos

elétricos vamos identificar e executar cálculos com grandezas elétricas fundamentais,

saber caracterizar os componentes e circuitos elétricos, aprender a fazer associações de

componentes e calcular valores a ele associados, aprenderemos a ler e desenhar

esquemas e diagramas de circuitos elétricos básicos, elaborar relatórios técnicos com

base nos experimentos em laboratório e interpretar circuitos resistivos, indutivos e

capacitivos, aplicados à corrente continua e alternada.

O curso começa com o sistema de medidas elétricas, com: corrente, tensão,

potência, carga e energia. No segundo capítulo estudaremos o conceito de resistência e

resistor, circuitos com resistores alimentados com fontes de tensão e de corrente. No

terceiro capítulo estudaremos a análise e teoria de circuitos resistivos, logo a seguir

veremos as características e comportamento dos circuitos (RLC) com resistores,

indutores e capacitores. No sexto capítulo analisaremos a potência em circuitos

alimentados com tensão senoidal e circuitos alimentados por sistemas trifásicos. Leiam

com atenção todo o conteúdo, faça os exercícios com dedicação e tire suas dúvidas com

o professor.

1.2 Sistemas de unidade e notação

Quando precisamos contabilizar uma altura, peso ou quaisquer outras medidas,

utilizamos unidades conhecidas e para este curso vamos utilizar a SI (Sistema

Internacional de Unidade) que são formadas por nove unidades básicas e que dão

origem às outras unidades de medida.

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

MEDIDA UNIDADE SÍMBOLO

Comprimento metro m Massa kilograma kg Tempo segundo s Corrente ampère A Temperatura kelvin K Quant. Substância mole mol Intensidade da luz candela cd Ângulo plano radiano rad Ângulo sólido steradiano Sr

Para o nosso curso, vamos utilizar doze “unidades de medidas derivadas” usadas

em medidas elétricas e que vão nos auxiliar a mensurar os cálculos apresentados no

decorrer do curso.

MEDIDA UNIDADE SÍMBOLO

Carga elétrica coulomb C Potencial elétrico volt V Resistência ohm Ω Condutância siemens S Indutância henry H Capacitância farad F Frequência hertz Hz Força newton N Trabalho joule J Potência watt W Fluxo magnético weber Wb Densidade de fluxo tesla T magnético

Algumas unidades de medida apresentam valores ou muito pequenos ou muito

grandes e para facilitar os cálculos utilizamos letras antes dos símbolos, representado

múltiplos (letras maiúsculas) e submúltiplos (letras minúsculas), por exemplo: 1cm

= 10-2 m = 0.01m verificamos que as unidades de medida menores ou maiores vem

sempre acompanhados dos seus multiplicadores.

Múltiplo / Submúltiplo prefixo símbolo

109 giga G 106 mega M 103 kilo k 10-2 centi c

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10-3 mili m 10-6 micro μ 10-9 nano n 10-12 pico p

Exercício:

A- Naturalmente estamos sempre utilizando os múltiplos e submúltiplos em

unidades de medida e vamos agora exercitar o que aprendemos,

transcrevendo em símbolos as seguintes unidades de medidas, seguindo o

exemplo:

a- Cem quilômetros = 100 km

b- Dez gramas =

c- Doze micros segundos =

d- 69.000 volts =

e- 15 * 10-3 ampères =

f- 0,021 * 109 ohms =

g- Mil watts =

h- Cinco mil hertz =

i- 0,000002 farad =

j- 0,015 henry =

B- Utilizando a tabela 03 é fácil transformar um múltiplo ou submúltiplo em uma

unidade ou vice-versa, bastando verificar o exemplo: “ 3 cm = 3 * 10-2 m “,

podemos observar que para encontrarmos o valor de 3cm em metros, foi

substituído o “c” (centi=10-2) e multiplicamos pelo numero para encontrar o

valor em metros. Agora faça essas outras transformações:

a- 3.000 mV = _____ V

b- 0,1 H = _____ mH

c- 15 kHz = _____ Hz

d- 1.200Ω = _____ kΩ

e- 0,002µF = _____ nF

f- 3.400KW = _____ MW

g- 1450 mS = _____ S

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h- 2.100 T = _____ kT

i- 0,20 V = _____ mV

j- 1.200 µA = _____ mA

1.3 Conceitos Básicos: Carga, Corrente, Potência e Energia

Podemos facilmente assimilar os conceitos acima se modificarmos a sequencia

para sua explicação e acrescentando outro conceito: o trabalho. O trabalho elétrico

realizando no tempo, consumiu energia de uma corrente elétrica para determinada

potência de uma carga. Pelo texto podemos concluir que uma quantidade de elétrons

(carga elétrica = coulomb) passou por um condutor (corrente elétrica = ampère) e essa

energia foi transformada em movimento ou calor (potencia = watt) por um período de

tempo (trabalho = joule).

Carga (ou carga elétrica): para entender este termo, temos que lembrar que

quando ouvimos falar que um circuito ou sistema alimenta uma determinada carga

elétrica, está nos informamos que um equipamento deve receber uma quantidade de

energia para produzir algum trabalho, sendo a menor quantidade de carga elétrica

produzida é de um elétron, igual a 1,602 * 10-19C. Ressaltamos que a carga elétrica pode

ser positiva ou negativa (respectivamente à instabilidade elétrica: falta ou presença de

cargas dentro de um meio estável).

e- = 1,602 . 10-19 C

Corrente elétrica (ou amperagem): quando em um meio elétrico instável

(natural = descargas atmosféricas, ou eletricidade estática; artificial = geradores de

tensão, como: dínamos, pilhas, baterias, geradores, células químicas ou fotovoltaicas),

ocorrer um movimento ordenado ou controlado de uma quantidade de cargas elétricas,

motivados pela falta ou presença de elétrons (chamamos de tensão elétrica ou

potencial elétrico = volt), a esse movimento de cargas elétricas em um período de

tempo chamamos de corrente elétrica.

i (A) = q (C) i: corrente elétrica; q: carga elétrica e t: tempo t (s)

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

Devemos sempre interpretar a formula para que possamos entender e utilizar de

forma adequada, assim sendo, a corrente elétrica é proporcional à quantidade de carga

que passa por um período de tempo.

Potência: A potência é a energia necessária (força) para realizar um trabalho ou

a energia que foi consumida na realização do trabalho. Em termos gerais é a potência

a rapidez para se realizar um trabalho. Em circuitos elétricos, essa potência depende da

tensão elétrica (potencial = intensidade de desequilíbrio da estabilidade elétrica) que é

responsável para existir uma corrente elétrica e pela própria intensidade da corrente

elétrica.

P(W) = U(V) . i(A)

Na fórmula apresentada vemos que a potência é proporcional à tensão e a

corrente, e ainda podemos levantar algumas hipóteses: que a potência foi consumida ou

a potência de um equipamento depende da tensão e da corrente em valores

proporcionais para ser efetiva.

Energia elétrica (ou trabalho elétrico): quando falamos em energia, estamos

falando de uma força necessária para realizarmos algo em um período de tempo, a isso

chamamos de Trabalho elétrico e calculamos pela fórmula:

w(J) = p(W) . t (h) O tempo nessa fórmula é dado em horas: t(h)

Vale lembrar que o trabalho realizado necessitou de uma força ao longo de período para

a realização de algo e é essa a definição da fórmula apresentada. Em circuitos elétricos,

a força ou potência que um equipamento recebe por um tempo para deixar uma lâmpada

acesa, ou um motor em funcionamento, ou aquecendo ou refrigerando, ou oscilando um

circuito, está sendo realizado um trabalho.

Tensão (ou potencial elétrico): deixamosa definição e explanação de Tensão

Elétrica como o último, para que o aluno já tenha assimilado bem o que é corrente

elétrica. A tensão ou potencial elétrico é a diferença entre cargas positivas ou negativas,

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

ou em outras palavras um desequilíbrio da estabilidade de elétrons em um meio. A

tensão elétrica controlada é conseguida quimicamente (baterias e pilhas), fisicamente

(geradores, dínamos) e por células fotovoltaicas, termopares e cristais piezos,

ocasionando um efeito de repulsão ou atração de elétrons com uma intensidade

controlada, cuja unidade é chamada de volt. Quando uma tensão elétrica é aplicada em

um equipamento, aparece uma corrente elétrica que é limitada somente pela dificuldade

de sua passagem, que chamamos de “resistência à passagem de corrente elétrica” ou

resistor. Uma lâmpada incandescente, um ferro de engomar roupas, um forno elétrico,

um aquecedor são exemplos de resistores.

U(V) = R(Ω) . i(A)

Podemos observar pela fórmula que a corrente elétrica é proporcional a tensão,

e sendo constante o valor do resistor (resistência elétrica), a corrente eleva ou reduz

dependente do valor da tensão.

Exercícios:

A- Sabemos do valor da carga de um elétron, então calcule quantos elétrons tem um

objeto com uma carga de 1,602 kC:

B- Se em uma estufa elétrica passam a cada 250 ms uma carga de 1C, calcule a

intensidade de corrente elétrica que está passando pela resistência:

C- Calcule a intensidade de corrente elétrica que está alimentando uma lâmpada,

sabendo-se que 624,22.1016 elétrons passam a cada segundo:

D- A instalação elétrica de uma casa foi projetada para suportar 25A, calcule a máxima

potencia em iluminação e tomadas que posso alimentar, sabendo que a tensão

elétrica é 220V:

E- Em um transformador isolador usado para alimentar um computador, tem entrada

de alimentação 220V e saída para 110V com uma potência de entrada 500W com

eficiência de 99%. Calcule a máxima corrente de saída do transformador:

F- Um ar condicionado de 1500W fica ligado durante o período: 8:00 às 12:00 e das

14:00 às18:00; qual a energia consumida por esse aparelho durante um dia de

funcionamento?

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

G- As fontes de alimentação internas que alimentam os aparelhos elétricos e

eletrônicos, atualmente são projetadas para um fator de potência unitário e

eficiência de quase 99%, significando que qualquer circuito que alimentem se

comportem como se fossem resistores. Uma fonte que alimenta os componentes de

um refrigerador para vinhos, tem potência de entrada de 240W, e gera 24V;

sabendo-se que utiliza 100% de sua potência, calcule a resistência e corrente do

refrigerador:

H- Devemos proteger uma casa contra alguns fatores: descargas atmosféricas, curtos-

circuitos, sobrecargas e choque elétrico (fuga a terra), estes dois últimos devemos

proteger da seguinte forma: sobrecargas com valor acima de 15% do valor máximo

das amperagens das cargas de uma instalação residencial e 10mA de corrente de

fuga. Então, para uma residência com 10 pontos de lâmpadas de 220W e 20 pontos

de tomadas para 10A, qual deve ser o valor em amperes do disjuntor de proteção

contra sobrecarga, sabendo-se que a tensão de alimentação é de 220V, sabendo-

se que sempre 50% das tomadas estão sendo usadas com a potência máxima e

50% das lâmpadas estão acesas?

I- Foi observado que uma lâmpada incandescente de 220V desligada apresenta uma

resistência no valor de 220Ω, porém depois de ligada sua resistência se eleva 50%,

calcule a potência da lâmpada:

J- A amperagem máxima de proteção de um fusível rápido é de 20% do seu valor

nominal e supondo que um fusível rápido de 2A alimenta um circuito de 110V,

quantas lâmpadas de 40W posso alimentar nesse circuito sem perigo do fusível

atuar?

2 ESTUDO DOS CIRCUITOS ELÉTRICOS

Um circuito elétrico é um conjunto de elementos eletricamente interligados, onde

podemos observar seu funcionamento, suas características construtivas e suas

características elétricas. Para nosso curso nos dedicaremos aos elementos básicos da

eletricidade: os resistores, os indutores (bobinas) e os capacitores, funcionando

separados ou em conjunto, alimentados por tensão contínua, pulso ou alternada. Um

circuito elétrico transcrito como desenho é chamar de diagrama elétrico e para isso

normalizamos os símbolos para facilitar o desenho e leitura do diagrama (ou esquema

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

elétrico). Em virtude da iniciação a análise de circuitos, começaremos com os princípios

básicos, conceitos, materiais, desenhos e padrões dos elementos básicos para utilização

prática.

Resistência Elétrica: todo material tem alguma resistência à passagem da

corrente elétrica e dependendo desse valor, chamamos de material condutor ou isolante.

A unidade de medida da resistência elétrica é chamada de OHM (Ω) e o símbolo

apresentado abaixo:

Figura 01

As figuras representam dois símbolos que podemos vamos usar nos nossos

estudos. O nome Ohm é em homenagem a George Simon Ohm (1789-1854) que estudou

as grandezas elétricas e definiu a Lei de Ohm: v(V) = i (A) . R(Ω).

Emprego dos submúltiplos do Ohm:

nome símbolo valor

miliohm m 10-3 

microhm  10-6 

Emprego dos múltiplos do Ohm:

nome Símbolo alor

kilohm K 103 

megaohm M 106 

Mas afinal o que são resistores? São as lâmpadas; as resistências usadas nos

ferros de engomar, nas estufas, nos fornos elétricos resistores variáveis e resistores de

pequena potência usados em eletrônica como componentes discretos.

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

Indutores: enquanto os resistores são usados para produzir energia em forma

de calor ao controlar a passagem da corrente, os indutores produzem energia magnética

na passagem da corrente elétrica. Quando o indutor produz energia magnética, essa

energia também tem a propriedade de dificultar a passagem de corrente elétrica, quando

a corrente muda de sentido. Uma diferença que existe entre resistores e indutores é

percebida quando alimentamos o resistor e o indutor e mudamos a polarização da

corrente elétrica que passa por eles, o valor da resistência no resistor não varia, enquanto

no indutor, quanto maior a variação de polaridade da corrente, maior a resistência no

indutor e menor a corrente.

Figura 02

A unidade de medida de um indutor é o henry (= H) e seu símbolo é o L, que na

realidade é uma constante que depende da característica do material magnético que é

feito a bobina e do meio condutor do fluxo magnético produzido mais o tamanha da

bobina, como na fórmula:

L(H) = µ . m símbolo

Figura 03

Na fórmula observamos que a indutância (L) é o produto de duas constantes: a

permeabilidade magnética (que é uma característica de um material magnético) e o

tamanho do condutor. Verificamos também que a resistência à passagem da corrente

elétrica em um indutor depende da variação de sentido da corrente, criando uma maior

ou menor resistência. A variação da resistência de um indutor depende da variação da

corrente e chamamos de Reatância (X) e a unidade continua sendo o Ohm (Ω), como na

fórmula:

XL(Ω) = 2π . f(Hz) . L(H) onde V(V) = i(A) . XL(Ω)

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

Na fórmula, 2π representa a variação angular (inversão de polaridade) da

corrente que alimenta o indutor com uma frequência “f” multiplicada pela constante

magnetizando de uma bobina “L”, observamos pela fórmula que quanto maior a

frequência maior será a reatância (nome dado a resistência do indutor quando

alimentado por tensão alternada).

nome símbolo valor

microhenry µH 10-6 H

manohenry nH 10-12 H

Com essas características de produzir energia magnética e limitar a corrente

sem produzir calor os indutores são usados em reatores para lâmpadas florescentes, em

eletroímãs para acionamento de travas de portas, em motores, em acoplamentos

magnéticos em tubos de imagens de televisores, em transformadores e na eletrônica

como indutores de precisão, como esse do desenho:

Figura 04

Capacitores: são componentes interessantes porqueutilizam a propriedade que

descreve: duas cargas elétricas de polos iguais se repelem. Os capacitores são formados

por duas lâminas condutoras muito finas e próximas e em alguns capacitores essas

lâminas são separadas por óxidos isolantes ou plásticos e quando é aplicada uma tensão

entre as lâminas do capacitor, as que ficarem com carga positiva (mais elétrons), repelem

os elétrons da outra lâmina e assim, se retirado à tensão das lâminas, fica armazenado

uma determinada carga de igual valor e polos diferentes em cada lâmina do capacitor.

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 05

Uma das principais características dos capacitores está no fato em armazenar

cargas elétricas quando é alimentado por tensão contínua; chamamos capacitância e

sua unidade de medida é o farad, em homenagem a Michael Faraday (1791-1867),

cientista inglês que estudou eletricidade estática.

C(F) = Q(C) v(V) Pela fórmula notamos que a capacitância (C = F fadad) é a carga elétrica (Q=C

coulomb), que o capacitor pode armazenar por unidade de tensão (v= V volt).

Xc(Ω) = 1 . onde V(V) = i(A) . XC(Ω) 2π . f(Hz) . C(F)

Na fórmula, igualmente à fórmula da reatância em uma bobina, 2π representa a

variação angular (inversão de polaridade) da corrente que alimenta o capacitor com uma

frequência “f(Hz)” multiplicada pela capacidade (C = farad) do capacitor, e que

inversamente ao indutor, quanto maior a frequência de oscilação da corrente menor será

a reatância (nome da resistência quando alimentado por tensão alternada) do capacitor.

Podemos ver que, internamente a composição do capacitor é formada por placas

metálicas e o isolante que fica entre as lâminas do capacitor. Algo de grande importância

que podemos observar entre o indutor e o capacitor está na resposta na produção de

energia indutiva e capacitiva quando se aplica nos seus polos uma tensão alternada: a

corrente sofre um atraso de tempo para atravessar a bobina e no capacitor temos um

tempo de avanço da corrente em relação a tensão aplicada ao capacitor.

nome símbolo valor

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

microfadad µF 10-6 F

manofarad nF 10-12 F

Exercícios:

A- Em uma geladeira com degelo automático queimou a resistência de degelo

e no corpo do resistor só está escrito a potência de 110W e sabendo que a

alimentação da geladeira é 220V, qual valor de resistência devo comprar?

B- Tenho um ferro de soldar e não sei qual é a sua potência, com um Ohmímetro

medir a sua resistência e encontrei o valor de 1210Ω, qual o valor da potência

do ferro de soldar?

C- Calcule quantos centímetro preciso comprar de fio níquel-cromo de 1mm para

fazer uma máquina de corte de isopor, sabendo que preciso passar por esse

fio 3 amperes para alcançar a temperatura de corte do isopor. Dados: 1m de

fio níquel-cromo tem 100Ω, fonte para alimentar a máquina de corte de isopor

é de 12 volts.

D- Se em um indutor de 1 Hanry tenho 100 cm de fio magnético enrolado em um

grafite, calcule a permeabilidade magnética dessa bobina:

E- Qual a tensão necessária para deixar um capacitor de 1000πF com uma

carga de 0,1 C (coulomb)?

F- Qual a indutância de um relator (bobina para uma lâmpada florescente) para

alimentar com 220V na rede alternada de 60Hz uma lâmpada florescente de

40W ?

G- Em uma caneta que dar choques, tem um indutor de 100H alimentado com

uma bateria-botão que fornece 200mA máximo, por pulso. Calcule a máxima

tensão produzida por essa bobina:

H- Para limitar a corrente de um vibrador de 220V (alimentador de tampas de

garrafas) de um enchedor de água mineral para 1 A sem produzir calor,

podemos usar um reator (indutor), calcule a reatância necessária:

I- Determine o valor do capacitor para ter a mesma reatância de 100Ω de um

indutor quando alimentado na frequência de 60Hz:

J- Qual a diferença na corrente elétrica quando alimento um capacitor e um

indutor com uma tensão contínua?

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

2.1 Lei de Ohm, Resistência e Gráfico V X I

Lei de Ohm: A intensidade da corrente elétrica num condutor é diretamente

proporcional à força eletromotriz e inversamente proporcional à sua resistência elétrica.

Figura 06

Essa fórmula já é conhecida nos nossos estudos sendo a mesma fórmula da

tensão elétrica, onde:

I = Intensidade da corrente elétrica em Ampères (A);

R = Resistência elétrica em Ohms (Ω);

U = Tensão elétrica em Volts (V).

Figura 07

Observando o desenho, verificamos que podemos reescrever em forma de

símbolos, o esquema da ligação de uma lâmpada com uma fonte, onde no esquema

elétrico aparecem mais três símbolos que ainda não vimos: a fonte e dois aparelhos de

medição, um amperímetro (medir a corrente, ficando em série com a resistência) e um

voltímetro (ficando em paralelo com a resistência). Nesse tipo de circuito temos somente

um elemento constante: a resistência e para observar a variação da corrente elétrica com

a variação da tensão, vamos fazer uma tabela com medições, utilizando a formula da lei

de Hom, que na realidade é uma função de 1º grau:

y = a + bx (onde na lei de Ohm o valor de a = 0)

V = Ri (b = R é o valor constante da função)

I =

U R

20

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Calculando V = Ri temos V = 40i e vamos escolher alguns valores de corrente

para plotar no gráfico:

V

i = 0A v = 0V 80 R

i = 1ª v = 40V 40

i = 2ª v = 80V A

1 2

2.2 Potência de um resistor

Já sabemos que a função do resistor é limitar a corrente elétrica, porém consome

energia em forma de liberação de calor. Em certas aplicações é justamente a produção

de calor, a sua principal utilização, como em ferros de engomar, lâmpadas, estufas,

fornos e aquecedores de modo geral.

P(W) = v(V) . i(A) e i(A) = v(V) substituindo i P(W) = v2(V) R(Ω) R(Ω) Em um resistor comercial, vem indicando sempre a potência máxima que o resistor

consegue dissipar (produzir sem danificar sua estrutura) e pela formula chegamos a

conclusão que a potência de uma resistência, depende da tensão nele aplicada.

nome símbolo Valor

kilowatt kW 103 W

megawatt MW 106 W

Ainda podemos utilizar a unidade americana para potencia:

• CV – Cavalo-vapor que corresponde a 736W;

• HP – Horse Power que corresponde a 746W.

2.3 Fontes de tensão e corrente

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

Um circuito elétrico é necessário ser alimentado por algum tipo de gerador ou

fonte para que o circuito funcione na maneira que foi projetado. As fontes de tensão ou

fontes de alimentação fornecem tensão a um circuito elétrico, podendo ser pilhas,

baterias e fontes de alimentação eletrônica (chamados também de eliminadores de

pilhas) e que convertem a tensão alternada da rede elétrica em tensão contínua. O termo

gerador de tensão é aplicado para duas vertentes: como sendo geradores das usinas

hidrelétricas, termelétricas, eólicas e nucleares; e para conceitos de fontes em projetos

e cálculos. Neste caso quando colocamos no circuito o comportamento de uma fonte de

tensão, estaremos nos referindo aos geradores de tensão ou de corrente. Em um gerador

de tensão ideal a tensão de saída não se altera, mesmo variando a carga e um gerador

de corrente ideal a corrente não varia, mesmo variando a tensão em cima da carga.

GERADOR DE TENSÃO I x V I x V

VS = VEVS = E – Ri . I

Figura 08

Nos desenhos temos a representação de uma fonte de corrente contínua. Na

fonte de cc observamos uma fonte ideal e a resistência interna que é prevista pela

eficiência da fonte. Em seguida observamos os gráficos de uma fonte ideal e outra fonte

real, mostrando a queda de tensão quando a corrente na carga aumenta.

VS = RL . i tensão da saída da fonte;

VRi = Ri . i queda de tensão interna da fonte.

VS = VRi e RL = Ri e i = iMAX .

O ponto Quiescente (“Q”) da fonte é encontrado quando igualamos a tensão de

saída da fonte com a queda de tensão interna da fonte, neste ponto encontramos o ponto

de máxima tensão e corrente quando a resistência de carga for igual a resistência interna

22

Jorge Augusto Gonçalves Alves

da fonte, o ponto “Q” é encontrado a máxima transferência de potência, quando a carga

assumir o valor igual da resistência interna da fonte.

GERADOR DE CORRENTE

V x I V x I

IG IRi Ri IS RS VS

IG = IRi + IS IS = IG – VS / Ri

Um Gerador de corrente não tem muita utilidade prática, mas para nossos

estudos é de fundamental importância para nosso entendimento, na realidade se trata

de uma fonte que fornece uma corrente constante mesmo modificando o valor da carga.

No desenho observamos que a corrente IG é a soma de todas as correntes fornecidas e

depende da corrente de perda IRi da fonte de corrente. Nos dois casos (fonte de corrente

e fonte de tensão) podemos calcular o seu rendimento:

Fonte de tensão: = VS / E . 100 (rendimento em %)

Fonte de corrente: ᶮ = IS / IG . 100 (rendimento em %)

Exercícios:

A- Para um resistor de 20Ω dissipe uma potência de 5W, qual tensão devo aplicar

no resistor?

B- Para proteger um ar condicionado, devemos colocar um disjuntor com uma

amperagem superior a 15% da amperagem nominal do motor, sabendo que o

motor de 1 HP é alimentado em 220V, calcule a amperagem do disjuntor:

C- Calcule a resistência interna da fonte, sabendo que sem alimentar a carga

apresenta 28V e cai para 24 V, quando uma carga consome 4A:

D- Um gerador de tensão tem eficiência de 90%, e sua tensão a vazio é 100V, calcule

a tensão do gerador quando alimenta sua carga máxima:

E- Qual a corrente que passa quando alimento duas Lâmpadas de 100V e 50W em

série com uma fonte de 100V?

F- Sabendo-se que no ponto “Q” de um fonte de 100V com eficiência de 90% tenho

uma corrente de 10 amperes, calcule sua resistência interna:

23

Jorge Augusto Gonçalves Alves

G- Em um gerador de corrente de 4A alimenta uma carga de 10Ω e dando uma queda

de 30V, qual corrente de fuga da fonte?

H- Para proteger uma fonte com transformador, qual amperagem do fusível que devo

colocar na entrada de 220V, sabendo que a saída é de 22V e 10A:

I- Em uma fonte de tensão de 100V, com queda de tensão de 10V, qual o seu

rendimento?

J- Qual tensão que estará em uma carga de 10Ω se esta for alimentada por uma

fonte de corrente de 2A?

2.4 O circuito elétrico e as leis de Kirchhoff

Vamos começar analisar um circuito elétrico com algumas regras de interpretação

dos esquemas utilizando umas leis desenvolvidas em 1845 pelo físico alemão Gustav

Robert Kirchhoff (1824 – 1887), baseadas no princípio da conservação da energia.

Figura 09

Observando o esquema acima, podemos ver uma constituição de uma malha

fechada demarcada pelas letras de maiúsculas. Os pontos BC, AD, EF chamamos de

RAMOS, as letras CDE e BAF estão representando NÒS do circuito, e os pontos ABCD,

ADEF e BCEF representam MALHAS do circuito.

1ª Lei de Kirchhoff: é definida como a soma total das correntes que entram e saem de

um nó é sempre igual a zero.

I1 + I2 = I3 + I4 I1 + I2 - I3 - I4 = 0 ou

24

Jorge Augusto Gonçalves Alves

2ª Lei de Kirchhoff: é chamada lei das malhas e considera que a soma algébrica das

tensões da malha que compõem o circuito elétrico é igual a zero.

Figura 10

Temos que observar que em cada resistor que está passando uma corrente

sempre vai ter uma queda de tensão em oposição a fonte, sendo:

U1 = R1 . I ; U2 = R2 . I ; U3 = R3 . I

UT = U1 + U2 + U3 ou UT = R1 . I + R2 . I + R3 . I

2.5 Análise de um circuito de uma só malha

Igualmente analisamos um circuito de uma só malha e prestando atenção no

sentido da corrente nos resistores e que em um circuito de uma só malha que tem mais

de uma fonte, a corrente circulará no sentido das somatórias da fonte de maior valor.

2.6 Associação de resistores em série

UTOTAL= U1 + U2 + U3 +.. ou U1 + U2 + U3 - UTOTAL = 0

25

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Os resistores em série força a corrente elétrica passar neles, essa corrente

assumirá um único valor como se todos os resistores estivessem fazendo a função de

um só resistor. A tensão que alimenta os resistores será subdividida entre os resistores

proporcionalmente aos seus valores, e damos o nome de queda de tensão de cada

resistor. Concluímos que a corrente que circula os resistores da associação em serie é

a mesma, a tensão na associação é a soma das quedas de tensão década resistor e

mesmo sendo os resistores independentes a corrente que circula, depende da somatória

dos resistores.

Figura 11

2.7 Simplificação de circuitos em série

No circuito acima temos um RAMO AB e pela Lei de Kirchhoff a soma das tensões

parciais nos resistores é igual à tensão total aplicada ao circuito.

Substituindo as tensões nos resistores pela 1ª. Lei de Ohm:

Colocando I em evidência, tem-se:

Dividindo a tensão U pela corrente I, chega-se a:

R1 R2 R3 A B

UTOTAL = R1 x I + R2 x I + R3 x I +... R n x I

UTOTAL = I x(R1 + R2 + R3+...+Rn)

UTOTAL

I

= (R1 + R2 + R3+...+Rn)

26

Jorge Augusto Gonçalves Alves

O resultado UTOTAL/I corresponde à resistência equivale RT da associação em

série, isto é, a resistência que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga

total. Portanto, a resistência elétrica resultante é a soma dos valores parciais das

resistências envolvidas:

Figura 12

RT = resistência total ou equivalente;

R1, R2, R3 , Rn = resistências dos respectivos resistores.

2.8 Associação de resistores em paralelo

Figura 13

Como apresentado no circuito, em uma associação em paralelo, os resistores

estão ligados de forma que a tensão total aplicada ao circuito seja a mesma em todos os

resistores e a corrente elétrica total do circuito é divida entre eles de forma inversamente

proporcional aos seus valores.

Não devemos esquecer que a tensão em todos os resistores é a mesma, a

corrente total é a somatória das correntes de cada RAMO e o valor da resistência total é

menor que o menor valor de resistência do RAMO.

2.9 Simplificação de circuitos em paralelo

R T= R1 + R2 + R3 + ... +Rn

27

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Para simplificar uma associação em paralelo devemos ter o cuidado de verificar

que a corrente que entra no nó que integra os resistores são a somatória de todas as

correntes do circuito.

Figura 14

Dividindo a corrente elétrica ITOTAL pela tensão U teremos como resultado a

condutância equivalente do circuito. Invertendo-se esse valor obteremos a resistência

total RT que a fonte de alimentação entende como sendo a sua carga. Portanto, a

resistência elétrica resultante é o inverso das somas dos inversos dos valores das

resistências parciais envolvidas.

RT = resistência total ou equivalente;

R1, R2, R3,Rn = resistências dos respectivos resistores.

Associação mista de resistores: na associação mista encontraremos as características

do circuito série e do circuito paralelo em um mesmo circuito.

Figura 15

Em uma associação mista utilizamos as fórmulas dos Resistores Equivalentes:

Paralelo 1/RTP = 1/R2 + 1/R3 + 1/R4

28

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Série RTS = R1 + R5

Resistencia Equivalente do RAMO AB REQ = RTP + RTS

Exercício:

A- Calcular as resistências equivalentes dos circuitos abaixo:

Figura 16

2.10 Transformações Y- e -Y.

Nos circuitos abaixo, é difícil identificar uma possível simplificação para encontrar a resistência equivalente. Esses circuitos, chamados de estrela e triângulo, são simplificados para ajudar a determinar a resistência equivalente na malha em que estão inseridos. Para isso a simplificação desses circuitos é a sua transformação de estrela para triângulo e de triângulo para estrela. É difícil encontrar uma associação pura estrela ou triângulo como podemos ver abaixo:

Figura 17

Nos circuitos observamos ligações triangulo e se mudássemos essas ligações

para estrela, iriamos facilmente encontrar o valor da resistência equivalente.

29

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 18

Para determinar os valores das resistências da associação em triângulo equivalente a uma associação em estrela, as seguintes equações são usadas:

Temos também casos que precisamos mudar os circuitos em estrela para um

equivalente em triângulo para simplificar uma malha mais complexa. Para determinar os

valores das resistências da associação em estrela equivalente em associação em

triângulo, usam-se as seguintes equações:

Figura 19

Exercícios: A- Encontre o resistor equivalente dos circuitos abaixo:

30

Jorge Augusto Gonçalves Alves

3 TEOREMAS E TÉCNICAS PARA ANÁLISE DE CIRCUITOS.

Quando precisamos descobrir o valor de tensão e corrente em uma parte do

circuito podemos utilizar de instrumentos como o voltímetro, o amperímetro ou um

multímetro. Podemos também utilizar os dados dos componentes e da fonte do circuito

e com a Lei de KIRCHHOFF e com mais algumas teorias que aprenderemos agora,

teremos embasamento para analisar os circuitos e determinar os valores de corrente e

tensão.

3.1 Linearilidade e superposição

Para analisar um circuito é importante simplificar um circuito complexo de forma

a facilitar os cálculos, Para ter sucesso no desenvolvimento dos conteúdos desse

capítulo vamos relembrar.

Figura 20

Definições básicas: Todo circuito elétrico com associações de resistores em

série e em paralelo é composto por:

Ramo ou braço é o trecho do circuito constituído por um ou mais elementos

ligados em série;

Nó ou ponto é a intersecção de três ou mais ramos;

Malha é todo circuito fechado constituído de ramos;

31

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Bipolo elétrico é todo dispositivo elétrico com dois terminais acessíveis, fonte

ou carga.

Na visualização de um circuito elétrico observamos setores (malhas) lineares

(composto por componentes discretos, como os resistores e fontes) que podemos

substituir por um circuito equivalente (simplificado), permanecendo as mesmas

características do setor original, fornecendo a mesma tensão e corrente. Para isso

estudaremos agora os teoremas de Thévenin e Norton que ajuda a encontrar o circuito

equivalente.

3.2 Teoremas de Thevénin e Norton

O Teorema de Thévenin, descreve que qualquer circuito formado por bipolos

elétricos lineares, pode ser substituído por um circuito equivalente simples. O circuito

equivalente simples é constituído de um gerador de tensão denominado gerador

equivalente de Thévenin e a resistência na qual os valores de tensão e corrente serão

determinados. Iremos dividir em passos para facilitar o desenvolvimento do equivalente

Thévenin:

TEOREMA DE THÉVENIN

Figura 21

A O valor de RTh é a resistência equivalente

RTh RL O valor de VTh é a fonte equivalente

VTh

B O valor de RL continua sendo a carga

32

Jorge Augusto Gonçalves Alves

O gerador equivalente de Thévenin é composto por uma fonte de tensão

contínua e uma resistência denominados:

• Tensão equivalente de Thévenin (VTh);

• Resistência equivalente de Thévenin (RTh).

Passos para determinar a equivalência Thévenin:

• Determinar a resistência equivalente de Thévenin: em um circuito onde queremos

encontrar o equivalente Thévenin entre dois pontos de uma malha, devemos curto-

circuitar as fontes de tensão e calcular a resistência equivalente:

1/REQ = 1/(R1+R2) + 1/R3

1/REQ = 1/ (5+195) + 1/ 200

1/REQ = 1 + 1 200

REQ = 100Ω RTh = REQ = 100Ω

• Determinar a tensão equivalente de Thévenin: A tensão equivalente é a queda de

tensão em cima do resistor de carga R3: para isso devemos calcular a corrente elétrica

e depois a queda de tensão em R3:

V – R1.i – R2.i – R3.i = 0

100 – 5.i – 195.i – 200.i = 0

400.i = 100 então i = 0,25ª

VTh = R3.i = 200 . 0,25 então VTh = 50V

• Calcular a corrente e tensão no resistor de interesse a partir dos valores de resistência

e tensão de Thévenin, aplicando a lei de Ohm:

VTh – RTh.iTh – RL.iTh = 0

50 – 100.iTh – 250.iTh = 0

350.iTh = 50 iTh = 50/350 = 0,14A

VRL = RL.iTh VRL = 250.0,14 = 35V

33

Jorge Augusto Gonçalves Alves

• Calcular a potência dissipada no resistor de interesse, conhecendo os valores de

resistência e corrente:

PRL = VRL . iTh

PRL = 35 . 0,14 = 4,9 W

TEOREMA DE NORTON

Figura 22

O valor IN é a corrente equivalente;

O valor RN é a resistência equivalente;

O valor RL é a resistência de carga.

O Teorema de Norton é semelhante ao de Thévenin, e tem o mesmo objetivo,

analisar um circuito complexo de forma simplificada, permitindo descobrir o valor da

corrente ou tensão em um determinado componente no circuito, sem que seja necessário

considerar esses parâmetros elétricos nos outros componentes. O teorema de Norton

demonstra que qualquer circuito formado por bipolos elétricos lineares podem ser

substituído por um circuito equivalente simples. O circuito equivalente simples é

constituído de um gerador de corrente equivalente de Norton e a resistência na qual os

valores de tensão e corrente serão determinados.

A análise de circuitos com auxílio do teorema de Norton é feita a partir de

quatro passos:

• Determinar a resistência equivalente de Norton:Para isso, considera-se o

resistor em estudo RL desligado do circuito e a fonte da tensão curto-circuitada, para

calcular a resistência equivalente REQ que é o valor de RN.

REQ = R1 . R2 = 6 . 9 = 3,6Ω R1+R2 6+9

34

Jorge Augusto Gonçalves Alves

RN = REQ = 3,6Ω • Determinar a corrente equivalente de Norton: para calcularmos a corrente

equivalente Norton, devemos considerar os pontos A e B em curto-circuito. O curto-

circuito entre os pontos A e B elimina a resistências R2. A partir dos valores de tensão e

resistência é possível determinar o valor da corrente equivalente de Norton, utilizando a

Lei de Ohm.

IN = V / R1 = 18 / 6

IN = 3A

• Calcular a tensão e a corrente no resistor de carga: empregando a Lei de Ohm,

sabendo que a tensão em cada resistor, tem o mesmo valor e a soma das correntes em

cima de cada resistor tem o valor de IN:

V = RN.IRN = RL.IRL onde V = 3,6 . IRN = 18 . IRL onde IRN = 5 . IRL

IN = IRN + IRL onde 3 = IRN + IRL

Substituindo 3= 5 .IRL + IRL então IRL = 0,5ª

• Calcular a potência dissipada no resistor de interesse: conhecendo os

valores de resistência de carga e corrente IRL podemos calcular a potencia:

P = VRL . IRL então P = (RL . IRL) . IRL = 18 . 0,5 .0,5 = 4,5W

Exercícios:

A- Calcular a potência dissipada pelo resistor R3:

Figura 23

35

Jorge Augusto Gonçalves Alves

2) Determine a DDP (diferença de potencial, ou queda de tensão) em R4 e a

corrente total do circuito que segue:

a) Pela análise de circuitos por Kirchhoff;

b) Pelo teorema de Thévenin;

c) Pelo teorema de Norton.

TEOREMA DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

Para analisarmos circuitos mais complexos, onde encontramos mais de uma

fonte, utilizamos a Superposição de Efeitos, esse teorema é usado somente em circuitos

compostos por duas ou mais fontes e bipolos lineares. O teorema afirma que a corrente

em qualquer ramo do circuito é igual à soma algébrica das correntes, considerando que

cada fonte atua individualmente, quando eliminados os efeitos dos demais geradores. A

análise da superposição de efeitos é simples, pois envolve apenas um gerador de cada

vez, porém trabalhosa porque são feitas várias análises, de acordo com o número de

geradores envolvidos. A análise de circuito com o auxílio do teorema da superposição

de efeitos é feita a partir de três passos, iremos com ajuda de um exercício, verificar toda

a teoria da superposição:

Figura 24

36

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Cálculo das correntes produzidas pelas fontes, analisando uma fonte por

vez, curto-circuitando as demais:

Observe que no primeiro desenho acima, temos o circuito completo com duas

malhas e duas fontes e o sentido das correntes não é o verdadeiro, somente foi colocado

para indicar a numeração das correntes. Curto-circuitamos a fonte V2 para calcular a

corrente I1-V1, utilizando a lei de Ohm:

Resistor equivalente nos pontos AB: RAB= R3 . R2 = 8Ω R3+R2

Resistor equivalente REQ = R1 + RAB = 16Ω

Corrente I1-V1 = V1 / REQ = 12 / 16 = 0,75A

Figura 25

Tensão em AB VAB = RAB . I1-V1 = 8 . 0,75 = 6V

Corrente I2-V1 = VAB/R2 = 6/12 = 0,5ª

Corrente I3-V1 = VAB/R3 = 6/24 = 0,25ª

Concluímos a primeira parte do circuito:

Figura 26

37

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Agora curto-circuitamos a fonte V1 e com o mesmo principio da primeira parte

vamos calcular a resistência equivalente para calcularmos a corrente que passa pela

fonte V2:

Resistor equivalente nos pontos AB: RAB= R1 . R3 = 6Ω

R1+R3

Resistor equivalente REQ = R2 + RAB = 18Ω

Corrente I2-V2 = V2 / REQ = 36 / 18 = 2A

Tensão VAB = RAB . I2-V2 = 6 . 2 = 12V

Corrente I2-V2 = VAB/R3 = 12/24 = 0,5A

Corrente I1-V2 = VAB/R1 = 12/8 = 1,5A

• Determinação das correntes produzidas pelas fontes, somando

algebricamente as correntes encontradas individualmente:

38

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 27

I1 = I1-V1 - I1-V2 = 0,75 – 1,5 I1 = - 0,75A

I2 = -I2-V1 + I2-V2 = -0,50 + 2,0 I2 = 1,5A

I3 = I3-V1 + I3-V2 = 0,25 + 0,5 I3 = 0,75A

O sentido das correntes são encontrados pelo sentido da maior corrente

de cada corrente em cada RAMO do circuito.

• Cálculo das tensões e potências dissipadas nos componentes.

VR1 = R1 . I1 VR1 = 8 . 0,75 VR1 = 6V

VR2 = R2 . I2 VR2 = 12 . 1,5 VR2 = 18V

VR3 = R3 . I3 VR3 = 24 . 0,75 VR3 = 18V

PR1 = VR1 . I1 PR1 = 6 . 0,75 PR1 = 4,5W

PR2 = VR2 . I2 PR2 = 18 . 1,5 PR2 = 27W

PR3 = VR3 . I3 PR3 = 18 . 0,75 PR1 = 13,5W

Exercícios:

Calcular as tensões e correntes dos circuitos:

3.2 Fontes ideais e reais

Vamos agora relembrar o que é uma fonte ideal e uma fonte real. A fonte ideal

sempre vai fornecer uma tensão independente do valor da corrente que a carga vá

consumir. Na fonte real vários fatores vão influenciar a corrente de saída e

consequentemente a tensão fornecida à carga. Os conceitos aqui estudados têm

39

Jorge Augusto Gonçalves Alves

referência tanto para pilhas, baterias, fontes eletrônicas e geradores, que aqui

chamaremos de fonte.

As fontes reais têm perdas internas causadas pela resistência interna do

eletrólito de pilhas e baterias, a resistência de contato dos eletrodos, dos terminais de

contato, que chamaremos de resistência interna.

Figura 28

E Força eletromotriz gerada

Ri Resistência interna

Ri = RE + RP + RT

RE Resistência do eletrólito

RP Resistência das placas

RT Resistência dos terminais

V = E – VRi

3.3 Teorema da máxima transferência de potência

Como vimos no capítulo anterior, as fontes reais tem uma deficiência no

fornecimento de corrente, pois está dependente das resistências internas da mesma,

neste ponto temos um problema em saber qual a máxima potencia que determinada

40

Jorge Augusto Gonçalves Alves

fonte pode fornecer. Quanto maior a corrente fornecida da fonte para a carga maior a

potencia consumida pela resistência interna da fonte e por conseguinte, menor a

potencia fornecida a carga.

PRi = I2 . Ri Potência dissipada pela resistência interna da fonte

PRL = I2 . RL Potência fornecida à carga

Para haver um equilíbrio entre o fornecimento de potência e a perda de potência,

os valores entre eles devem ser iguais:

PRL = PRi onde I2 . RL = I2 . Ri então RL = Ri

Neste caso, a transferência de potencia máxima que uma fonte pode fornecer a

carga será no caso quando a resistência de carga for igual à resistência interna da fonte.

3.4 Análise de Nós

Relembrando; para entendermos o que acontece em um NÓ de um circuito temos

que relembrar os pontos: RAMO (ou braço) e MALHA.

Figura 29

Ramo é um trecho do circuito elétrico constituído por um ou mais elementos

ligados em série e Malha é um trecho do circuito que estra fechado por ramos. Na

primeira lei de Kirchhoff diz que a soma das correntes que então e saem de um NÓ,

correspondem a soma algébrica das correntes e sempre será igual a zero.

A

41

Jorge Augusto Gonçalves Alves

B Figura 30

3.5 Análise de malhas

Em todos os circuitos elétricos onde os elementos são lineares são compostos

por RAMOS que se interligam, formando MALHAS e temos a necessidade de

encontrarmos valores de corrente, tensão e quedas de tensão, precisamos utilizar os

teoremas de Thévenin, Norton e da Superposição de Efeitos.

Exercícios:

A- Em um conjunto de baterias utilizamos um voltímetro para medir a tensão da

fonte sem esta alimentando a carga e encontramos o valor de 22V, foi

colocado uma carga e a tensão lida no voltímetro caiu 2 voltes, encontre a

resistência interna do conjunto de baterias, e a corrente que está circulando

pela carga, sabendo que na carga esta dissipando 10W.

B- Em um NÓ de circuito elétrico encontramos a seguinte equação das

amperagens que circulam por esse NÓ: I1 – I2 = I3 + I4, de termine qual

amperagem é a maior, e qual sentido das correntes nesse NÓ:

42

Jorge Augusto Gonçalves Alves

C- No circuito abaixo sabemos que a corrente em R1 é 1ª, a resistência de R2 é

10Ω, a potencia em R3 é 1W e a tensão que alimenta o circuito é 10 volts,

calcule em cada RAMAL: corrente, tensão, resistência e potencia:

Figura 31

4 ANÁLISE FASORIAL

4.1 Caracterizações da função senoidal

Figura 32

A função senoidal se caracteriza pela periodicidade e variação da amplitude

entre máxima e mínima ao longo do tempo, que tem constância em sua frequência. A

43

Jorge Augusto Gonçalves Alves

corrente e a tensão senoidaissão grandezas elétricas que obedecem a uma função

senoidal, cuja expressão matemática é definida como:

v = VM.sen(t + ) = VM. sen(2ft + )

i = IM.sen(t + ´) = IM.sen(2ft + ´)

Onde:

VM e IM (em V e A) são os valores máximos (pico) da tensão e da corrente

respectivamente;

 (em rd/s) é a freqüência angular, sabe-se que  = 2f;

 e ´ (em rd) são os ângulos de fase;

t (em s) é o tempo;

f (em Hz) é a freqüência linear.

Vamos analisar a onda senoidal através de alguns novos termos:

Ciclo: são valores representados pela senóide que se renovam de forma periódica, conhecido também como onda completa. + V máx: tensão máxima positiva alcançada no semi-ciclo positivo. - V máx: tensão máxima negativa alcançada no semi-ciclo negativo.

V p.p: tensão pico a pico, que representa o valor entre a tensão máxima positiva e negativa e, que corresponde 2 vezes o valor da tensão máxima. Frequência (f): é o número de ciclos produzidos por segundo. Sua unidade de medida é o Hertz (Hz). Período (T): é o tempo necessário para se realizar uma onda completa. O periodo pode ser determinado utilizando a equação a seguir:

Onde: T = período em segundos (s); f = freqüência em Hertz (Hz).

O valor da corrente C.A. para produzir o mesmo efeito de uma corrente C.C, em

termos de dissipação de potência, chama-se valor eficaz (Vef) ou valor RMS (Root Mean

Squared). O valor eficaz definido na matemática é a raiz quadrada da média dos

quadrados dos valores instantâneos da corrente. O resultado da definição mostra que o

44

Jorge Augusto Gonçalves Alves

valor eficaz está relacionado com o valor máximo da corrente, como mostra a fórmula a

seguir:

Onde: I ef = valor eficaz da corrente em Ampère (A); I máx = valor máximo da corrente em Ampère (A).

De forma análoga pode-se obter também o valor eficaz da tensão:

Onde: Vef = valor eficaz da tensão em Volts (V); Vmáx = valor máximo da tensão em Volts (V).

Vale salientar que os valores geralmente medidos por instrumentos de medidas

elétricas e os que são especificados em descrições técnicas de corrente e tensão

alternadas são valores eficazes.

Figura 33

Para a tensão representada na figura 33 os seus parâmetros serão :

VM=10V

VRMS =7,07V

T = 0,01s = 10ms

f = 1/0,01 = 100 ciclos/s = 100Hz

 = 2  .100 = 200.  rd/s

Observe que o ângulo de fase () e t são medidos nas mesmas unidades para

resultados particulares. Quando a freqüência angular () é usada, o ângulo de fase é

medido em radianos; e quando usamos a freqüência linear (f), o ângulo de fase é medido

em graus.

45

Jorge Augusto Gonçalves Alves

4.2 Conceito de fasor

Quando precisamos registrar e analisar uma unidade que varia ao longo do

tempo, utilizamos indicadores de fases (FASORES). Do estudo da Física, sabemos que

um ponto se deslocando em um movimento circular uniforme (movimento harmônico)

pode ser representado através de suas projeções num plano cartesiano formando uma

senóide, como mostra como mostra a figura 34. A recíproca também é verdadeira, ou

seja, uma senóide pode ser representada pelas projeções de seus pontos como um

ponto girando em um movimento circular uniforme.

Figura 34

Cada ponto de uma senóide pode ser representado por um vetor de módulo

constante numa posição diferente, como indicado na figura 34. À medida que a senóide

é descrita o vetor assume posições diferentes. Quando a senóide completa um ciclo, o

vetor descreveu um giro completo e se encontra na mesma posição inicial novamente.

Este vetor é, portanto, um vetor girante. Se o ciclo da senóide foi descrito num dado

intervalo de tempo (período T), o vetor deu uma volta completa no mesmo período da

senóide. Assim, podemos concluir que para uma dada frequência f do sinal senoidal, o

movimento harmônico (giratório) do vetor possui a mesma frequência e, portanto, o

vetor gira no sentido anti-horário com a mesma frequência ou velocidade angular ω da

senóide. Se o ciclo da senóide iniciar adiantado, o ângulo de fase inicial será positivo. Se

o ciclo da senóide iniciar atrasado, o ângulo de fase inicial será negativo.

Considerando que este vetor radial:

 gira à mesma frequência angular ω constante da senóide de origem;

 possui mesma frequência f e período que a senóide de origem;

 a cada volta se encontra na mesma posição inicial correspondente ao

ângulo de fase inicial θ da senóide de origem;

46

Jorge Augusto Gonçalves Alves

 possui um módulo constante e igual ao valor de pico Vp da senóide de

origem.

Então esse vetor girante possui os mesmos parâmetros que descrevem a

senóide e considerando uma dada frequência, para defini-lo basta o seu módulo e o seu

ângulo de fase inicial. A este vetor radial girante chamamos de Fasor.

Assim, os sinais senoidais de tensão e corrente também podem ser

representados através de vetores girantes, chamados Fasor Tensão e Fasor Corrente.

Um fasor pode ser entendido como um vetor preso em uma das suas extremidades e

girando, como os ponteiros de um relógio, à uma velocidade angular ω dada em radianos

por segundo.

Um fasor representa um número complexo (A = a + jb) com a magnitude e a fase

de uma função senoidal. A notação fasorial simplifica a resolução de problemas

envolvendo funções senoidais no tempo.

Quando dois fasores formam ângulos retos entre si, podemos representar suas

projeções no eixo real e no eixo e no eixo imaginário utilizando-se das variáveis

complexas. Por exemplo, se duas tensões senoidais diferem em fase de 90º, podemos

representar sua soma escrevendo:

Graficamente teríamos:

A equação acima representa a forma retangular de uma variável complexa. O

termo j refere-se a um operador que gira um dado fasor de 90º e faz com que ele não

possa ser somado algebricamente.

47

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Em textos matemáticos o operador j é representado por i e referido como

imaginário. Quando o operador j é multiplicado por ele mesmo, o resultado é uma rotação

de 180º; por isso j2 = -1.

Sabemos que

V1 = VT . cos e  V2 = VT . sen , logo podemos escrever que

VT = VT . cos j VT . sen  (Forma de Euler)

Aplicando-se a regra do paralelogramo determinamos o módulo do fasor:

Além da forma retangular, as variáveis complexas podem ser escritas na forma

polar, na qual o fasor é expresso pelo seu módulo e o ângulo que forma com um eixo

real, denominado de argumento. Deste modo temos:

A soma e subtração de variáveis complexas são efetuadas facilmente na forma

retangular, enquanto a multiplicação e a divisão são mais facilmente efetuadas na forma

polar. A tabela a seguir mostra as operações aritméticas básicas para dois fasores V1 e

V2, onde:

V1 = Vr1  jVy1 = V1 1

V2 = Vr2  jVy2 = V2 - 2

48

Jorge Augusto Gonçalves Alves

A representação fasorial é importante na análise de circuitos elétricos pois

permite realizar facilmente diversas operações matemáticas entre tensões, correntes e

potências, sem usar a função do domínio do tempo (expressões trigonométricas) ou a

representação gráfica da onda. A representação trigonométrica permite algumas

operações matemáticas usando equações chamadas identidades trigonométricas, mas

dificultam os cálculos. Considerando que sinais senoidais de tensão e de corrente podem

ser representados através de fasores e estes, por sua vez, podem ser representados por

números complexos, podemos operá-los através da álgebra aplicável aos números

complexos. Feito isso podemos converter novamente o fasor resultante para o domínio

do tempo e encontrarmos novamente uma função senoidal. O diagrama a seguir

representa esse procedimento.

A representação fasorial através de números complexos na forma retangular e

na forma polar, permite todas as operações matemáticas mais direta e facilmente e

segue as mesmas regras para operações com números complexos estudadas em

matemática.

Observação:

49

Jorge Augusto Gonçalves Alves

É possível transformar números complexos da forma de polar para a forma

retangular e vice-versa. Por exemplo, podemos transformar um fasor tensão na forma

polar para a forma retangular e vice-versa, como demonstrado no diagrama a seguir.

4.3 Relações Fasoriais R, L e C

Resistores: sabemos que a equação básica da Lei de Ohm é V = R.i quando

alimentado por uma fonte de tensão contínua. Quando alimentado por uma tensão

alternada a equação passa a ter uma variante temporal e a expressão passa a ser: V(t)

= R . i(t). Em circuitos de corrente alternada (CA) puramente resistivos, as ondas de

tensão e de corrente elétrica estão em fase, ou seja, mudando a sua polaridade no

mesmo instante em cada ciclo.

O resistor alimentado em corrente alternada tem um comportamento que

chamamos de comportamento resistivo, pois seu valor é constante mesmo na variação

da tensão e corrente que passa por ele.

Figura 35

Chamamos de impedância, o valor fasorial Z = VR / IR da corrente e da tensão,

significando que, no plano dos números complexos, a resistência é real, isto é, não

possui parte imaginária, sendo o resistor uma resistência pura.

Indutores e capacitores são dispositivos que quando alimentados com tensão

alternada, apresentam oposição à passagem da corrente elétrica, denominada de

50

Jorge Augusto Gonçalves Alves

reatância e medida em Ohm, porém tem comportamentos opostos em relação a variação

da tensão e corrente.

Figura 36 No gráfico acima observamos o comportamento de uma carga indutiva pura

alimentada em tensão alternada. Quando a tensão chegar ao valor máximo positivo a

corrente leva um tempo “t” para chegar ao seu valor máximo positivo e no instante em

que a tensão da fonte chega ao valor zero a corrente elétrica levará um tempo “t” para

chegar a zero, e assim por diante. Chegamos à conclusão que a tensão elétrica é

adiantada da corrente elétrica ou que a corrente é atrasada em relação a tensão elétrica.

Essa defasagem entre a corrente e a tensão em um indutor ideal (sem resistência

elétrica) é de 90º.

XL = Reatância indutiva em Ohms (Ω);

f = Frequência em Hertz (Hz); XL = 2π . f . L

L = Indutância em Henrys (H).

Reatância Indutiva em função da frequência

XL = ῳ . L ou XL = 2π . f . L

ῳ = Frequência angular, em rad/s

Impedância Z = jXL (forma retangular)

Capacitor: vamos relembrar um pouco os capacitores. Quando ligamos um

capacitor em uma tensão contínua (tensão CC), comporta-se como um curto-circuito, isto

é, a corrente terá um valor máximo, após um tempo “t” nas placas do capacitor surge

uma DDP que em função do deslocamento de cargas elétricas passará a ter o mesmo

valor da fonte, com isso cessando a passagem da corrente elétrica, como se o circuito

estivesse aberto. Quando o capacitor é desligado da fonte, este permanecerá carregado,

pois não há um caminho condutor para as cargas elétricas que estão nas placas

51

Jorge Augusto Gonçalves Alves

circularem.

Para analisarmos o funcionamento do capacitor ligado a uma fonte de tensão

alternada devemos observar que o valor da tensão varia de máximo positivo a máximo

negativo, passando pelo zero, com uma função senoidal. Inicialmente as cargas elétricas

fluirão da fonte para o capacitor e depois de um tempo “t”, cessará. Isto ocorrerá por que

a DDP do capacitor passa a ter o mesmo valor da DDP da fonte. Podemos perceber que

o capacitor inicialmente facilita a passagem de corrente e logo após dificulta, a essa

dificuldade apresentada à passagem da corrente elétrica chamamos de reatância

capacitiva. A reatância capacitiva é a oposição ao fluxo de corrente CA devido à

capacitância no circuito. A unidade de reatância capacitiva é o Ohm.

Figura 37

Pelo gráfico acima, deduz-se que a corrente elétrica em um capacitor é adiantada

da tensão elétrica, ou interpretando de outra forma, que a tensão é atrasada em relação

a corrente. Essa defasagem entre a corrente e a tensão em um capacitor é de 90º

elétricos, representada fasorialmente.

Conforme descrito anteriormente o fenômeno de oposição que o capacitor oferece

à variação da corrente elétrica chamamos de Reatância Capacitiva (XC). Esta é

inversamente proporcional à frequência a qual o capacitor é submetido e a sua

capacitância, logo a equação a seguir expressa a forma de como se calcular a reatância

capacitiva:

Reatância Capacitiva em função da frequência

XC = 1 / ῳ . C ou XC = 1 / 2π . f . C

XC = Reatância capacitiva em Ohms ();

f = Freqüência em Hertz (Hz);

C = Capacitância em Farad (F).

ῳ = Frequência angular, em rad/s

Impedância Z = - jXC (forma retangular)

52

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Exercícios:

A- Qual a tensão máxima de uma fonte CA que marca 10V no ângulo de fase de

45 Graus:

B- Qual a minha tensão mínima de uma fonte CA que chega a 20V no pico de

tensão positiva:

C- Qual é o período da nossa rede elétrica?

D- Demostre a soma retangular dos fasores: A = -a + jb e B = a +jb

E- Qual a impedância de um resistor de 1KΩ quando alimentado com uma tensão

de 100V, 120Hz:

F- Qual valor do capacitor que apresenta a Reatância de 1KΩ quando alimentado

na rele elétrica de 220V?

G- Calcule o ângulo de defasagem entre a corrente e tensão de cada impedância:

a) Z =100 +j30

b) Z = j30

c) Z = -j40

d) Z = 50 + j80

4.4 Conceitos de impedância e admitância

Impedância (Z): é a oposição que um circuito oferece à passagem de uma

corrente elétrica alternada, cujo símbolo é a letra Z e a unidade de medida é em Ohm

(). Desta feita o módulo da impedância para qualquer circuito pode ser determinada

modificando-se a Lei de Ohm para:

O triângulo da impedância juntamente com os diagramas fasoriais é utilizado para

o entendimento das relações de fase nos circuitos de corrente alternada. A partir deste

triângulo podemos determinar o valor em módulo da impedância do circuito recorrendo

também ao Teorema de Pitágoras:

53

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 38

Z = R + jX (forma retangular do triângulo da impedância)

/Z/ = √ (R2 + X2) módulo da impedância

/Z/ = √ (R2 + (XL – XC)2)

Onde: R(Ω) é a resistência

X(Ω) é a reatância capacitiva ou indutiva

XL = ῳL XC = 1 / ῳC onde: ῳ = 2π f

De acordo com os valores do indutor e do capacitor o triângulo das impedâncias

pode sofrer algumas variações:

Quando XL > XC: Quando XC > XL:

Figura 39

Cos = cateto adjacente

hipotenusa

Cos = R

Z

54

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Admitância (Y): o conceito de admitância está em verificar a reação contrária à

impedância. A admitância é a razão entre o fasor da corrente e o fasor da tensão,

quantificando em Siemens (S, mho ou Ω-1) a facilidade que este circuito oferece à

passagem da corrente elétrica em CA, assim como a condutância em CC. Da mesma

forma que a impedância, a admitância também é um número complexo. A parte real da

admitância é a Condutância (G), e a parte imaginária da admitância é a Susceptância

(B), assim:

Y = G + jB

Y = 1/ Z

Exercícios:

A- A condutância de um metro de cabo é de 1000S, qual a resistência elétrica

desse cabo para 10km?

B- Um teste neon para eletricistas é composto de uma resistência em série com

uma lâmpada neon que começa a acender com 70V. Sabendo que para essa

lâmpada acender sem dar choque no eletricista quando passa no máximo

1μA em 220V, calcule a condutância do teste.

C- Uma lâmpada em série com um reator legado a rede de 220V CA, tem uma

queda de 120V na lâmpada. Calcule a indutância do reator e a corrente que

passa pela lâmpada.

D- Depois da partida de uma lâmpada florescente de 40W, está se comporta

como um curto, sabendo que a lâmpada fica em série com um reator e o

circuito é alimentado em 110V CA, calcule a reatância do reator.

E- Uma fonte sem transformador, utiliza uma capacitor em série com um resistor

de 100Ω, para alimentar um LED que consome 20mA, que dá uma queda de

tensão de 3V, sabendo-se que a fonte está ligada em 220V CA, calcule o

valor do capacitor da fonte.

F- Colocar na forma retangular as expressões: da impedância e da admitância

de um circuito que tem resistência de 10Ω e reatância de 20Ω.

5 COMPORTAMENTOS DE CIRCUITOS RLC

55

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Na figura a seguir temos o circuito em série alimentado em C.A. com a respectiva

representação vetorial das grandezas: resistência R, reatância indutiva (XL), reatância

capacitiva (Xc) e impedância (Z).

Figura 45

Pela complexidade das operações matemáticas envolvidas nos circuitos elétricos

para corrente alternada, vamos estuda-los de forma minuciosa para entendermos

melhor.

5.1 Comportamento de circuitos RC série e paralelo

Circuito RC em série

Como visto no tópico anterior, em um circuito puramente resistivo a tensão e a

corrente estão em fase, e num circuito puramente capacitivo a corrente esta 90º

adiantada em relação à tensão. Num circuito RC em série, como o da figura 46, a

corrente permanece adiantada da tensão mas de um ângulo menor do que 90º. O

diagrama fasorial resultante está representado também na mesma figura.

Figura 46

A corrente na resistência (I) está em fase com a tensão na resistência(VR) e

defasada de 90º em relação à tensão no capacitor(VC), conforme mostra o gráfico

vetorial do circuito RC série. Portanto, não se pode simplesmente somar as quedas de

56

Jorge Augusto Gonçalves Alves

C

tensão VC e VR para obter a tensão total (VT) porque as tensões são defasadas,

resultando em uma soma vetorial. Devemos efetuar a soma quadrática das quedas de

tensões nos componentes para obter o quadrado da tensão aplicada ao circuito.

Figura 47

VT2 = VC2 + VR2

A corrente no circuito RC série depende da tensão aplicada e da impedância que

o circuito apresenta. Os valores V, I e Z se relacionam segundo a Lei de Ohm:

VT = I . Z

VT é a tensão eficaz aplicada em volts (V);

I é a corrente eficaz em ampères (A);

Z é a impedância, em ohms (Ω).

A impedância do circuito RC série é a soma dos efeitos de XC e R, ou seja, a

soma quadrática entre os vetores XC e R:

Z2 = R2 + Xc 2

Z é a impedância em ohms;

R é a resistência do resistor em ohms;

XC é a reatância capacitiva em ohms.

A circulação de corrente provoca o aparecimento de uma queda de tensão sobre

o resistor. Como a corrente tem a forma senoidal, a queda de tensão sobre o resistor

também é senoidal e está em fase com a corrente.

VR = I . R e VC = I . XC

VC é a tensão no capacitor em volts;

VR é a tensão no resistor em volts;

I é a corrente em ampères;

57

Jorge Augusto Gonçalves Alves

R é a resistência do resistor em ohms (Ω);

XC é a reatância capacitiva em ohms (Ω).

Circuito RC em paralelo

Figura 48

Como no circuito paralelo a tensão aplicada é a mesma em todos os

componentes. A aplicação de tensão alternada ao circuito provoca o aparecimento de

uma corrente no resistor (IR). Essa corrente está em fase com a tensão aplicada. A

mesma tensão aplicada ao resistor é aplicada sobre o capacitor, dando origem a uma

corrente IC. Considerando que a corrente no capacitor está sempre adiantada 90º em

relação à tensão, pode-se desenhar o gráfico senoidal completo do circuito RC paralelo.

Figura 49

Sendo a corrente no resistor (IR) e a corrente no capacitor (IC), devemos efetuar

a soma quadrática das correntes elétricas nos componentes para obter o quadrado da

corrente total aplicada ao circuito (IT). Portanto, teremos: IT2 = IR2 + IC2

Impedância do circuito RC paralelo: é a oposição que o circuito apresenta à

circulação da corrente, numa determinada frequência. Em circuitos paralelos reativos, ou

seja, que têm reatâncias envolvidas, a impedância somente pode ser calculada se a

corrente total for conhecida, por meio da Lei de Ohm:

58

Jorge Augusto Gonçalves Alves

IT = VT/Z onde Z = VT / IT

Z = VT / IT e IT2 = IR2 + IC2 onde (VT/Z)2 = (VT/R)2 + (VT/XC)2

5.2 Comportamento de circuitos RL série e paralelo

Circuito RL em série

Figura 50

Quando um circuito série RL é conectado a uma fonte de CA senoidal, a corrente

que circula também é senoidal. A circulação de corrente através do resistor dá origem a

uma queda de tensão sobre o componente.

Essa queda de tensão (VR = I . R) está em fase com a corrente.

Figura 51

A corrente, ao circular no indutor, dá origem a uma queda de tensão sobre o

componente. Devido à auto-indução, a queda de tensão no indutor está adiantada 90o

em relação à corrente do circuito. A equação para calcular esta impedância pode ser

encontrada a partir da análise do gráfico vetorial do circuito.

59

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 52

Tensões no circuito RL série em CA: no gráfico vetorial do circuito RL série, a

tensão no indutor (VL) está defasada 90o da tensão no resistor (VR) devido ao fenômeno

da auto-indução. A resultante do sistema de vetores fornece a impedância do circuito RL

série:

VT2 = VR2 + VL2

VL = IL . XL e VR = IL . R

Z2 = R2 + XL2

Z é a impedância do circuito em ohms (Ω);

R é a resistência do resistor em ohms (Ω);

XL é a reatância indutiva em ohms (Ω).

Com o auxílio da Lei de Ohm e sabendo-se o valor da impedância do circuito,

pode-se calcular sua corrente: VT = I. Z .

Circuito RL paralelo em CA:

Figura 53

Quando se conecta um circuito RL paralelo a uma rede de CA, o resistor e o

indutor recebem a mesma tensão. Por isso, a tensão é utilizada como referência para o

estudo do circuito RL paralelo. A tensão aplicada provoca a circulação de uma corrente

no resistor (IR) que está em fase com a tensão aplicada. Essa tensão é aplicada sobre

o resistor e o indutor. Isso provoca a circulação da corrente IL atrasada 90o em

relação à tensão aplicada devido à auto-indução.

60

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 54

O gráfico senoidal mostra que o circuito RL paralelo se caracteriza por provocar

uma defasagem entre as correntes. Essa defasagem é visualizada mais facilmente

através do gráfico vetorial do circuito RL paralelo. Ele mostra que a corrente no indutor

está atrasada 90o em relação à corrente do resistor.

Correntes no circuito RL paralelo: existem três correntes a serem

consideradas: corrente no resistor (IR), corrente no indutor (IL) e corrente total (IT).

Figura 55

IR = V/R e IL = V/XL

VT = VL = VR

IT2 = IR2 + IL2

Impedância no circuito RL paralelo:

A impedância de um circuito RL paralelo é determinada através da Lei de Ohm

se os valores de tensão (V) e corrente total (IT) forem conhecidos.

Z = VT / IT e IT2 = IR2 + IL2 onde (VT/Z)2 = (VT/R)2 + (VT/XL)2

Z2 = R . XL √(R2+XL2)

5.3 Comportamento de circuitos RLC série

61

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 56

Os gráficos abaixo mostram que a tensão no indutor e do capacitor está em

oposição de fase. Isso é mostrado claramente retirando dos gráficos às linhas

correspondentes à corrente e à queda de tensão.

Figura 57

As tensões VL e VC em oposição de fase atuam uma contra a outra, subtraindo-

se (vetores de mesma direção e sentidos opostos). Admitindo-se valores para VL e VC

isso pode ser compreendido mais facilmente.

Essa subtração entre VL e VC pode ser observada na prática, medindo-se os

valores de VC e VL isoladamente e depois medindo o valor VC e VL. Com base nessa

subtração entre VL e VC o sistema de três vetores (VR, VL e VC) pode ser reduzido

para dois vetores:

Figura 58

VT2 = VR2 + (VL – VC)2

62

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Nesta equação, os termos VL e VC devem ser colocados sempre na ordem maior

menos menor (VL - VC ou VC - VL), de acordo com a situação. Isso é importante no

momento em que for necessário isolar um dos termos (VL ou VC) na equação.

Impedância do circuito RLC série: para determinar a impedância de um

circuito RLC série pode ser encontrada a partir de um estudo do seu gráfico vetorial.

ZT2 = R2 + (XC – XL)2

Corrente no circuito RLC série: depende da tensão aplicada e da impedância

do circuito, conforme estabelece a Lei de Ohm para circuitos CA:

I = VT / Z

5.4 Comportamento de circuitos RLC paralelos

O circuito RLC paralelo é essencialmente defasador de correntes. Como em

todo circuito paralelo, a tensão aplicada aos componentes é a mesma e serve como

referência e serve como referência para o estudo do comportamento do circuito.

Figura 59

63

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Para a construção dos gráficos senoidal e vetorial do circuito RLC paralelo, a

tensão é tomada como ponto de partida. A aplicação de tensão ao circuito RLC paralelo

provoca a circulação de corrente nos três componentes:

Figura 60

A corrente no resistor está em fase com a tensão aplicada ao circuito, a corrente

do indutor está atrasada 90º em relação à tensão aplicada, a corrente do capacitor está

adiantada 90º em relação à tensão aplicada.

Figura 61

Correntes no circuito RLC paralelo: as correntes individuais no resistor,

indutor e capacitor de um circuito RLC paralelo são determinadas diretamente através

da Lei de Ohm para circuitos de CA.

64

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 62

IT = √(IR2 + (IC-IL)2)

Impedância do circuito RLC paralelo: A impedância de um circuito RLC

paralelo é determinada pela lei de Ohm para circuitos de CA se a tensão e a corrente

total forem conhecidas:

Z = VT / IT onde IT2 = TR2 + (IC-IL)2

1/Z2 = 1/R2 + (1/XC -1/XL)2

Exercícios:

A- Determinar os valores de IR, IC e IT do circuito a seguir:

B- No circuito a seguir, determinar IR, IC, IT e Z:

C- No circuito a seguir, determinar o ângulo entre IR e IT (ϕ) e entre IC e IT

(α):

D- Determinar o valor de IT, R, L e Z no circuito abaixo.

65

Jorge Augusto Gonçalves Alves

E- Determinar IT e Z no circuito a seguir.

6 POTÊNCIA, VALORES MÉDIOS E EFICAZES

Como já estudamos, a potência corresponde à transferência de energia da fonte

para o circuito. Em CA a potência difere um pouco, pois podemos ter potência positiva e

negativa. Na potência positiva, a uma transferência de energia da fonte geradora para a

rede de distribuição elétrica, e na potência negativa a um retorno de potencia da rede

para a fonte. Naturalmente em uma distribuição passiva, a transferência de energia

potência deve ser da fonte para a rede.

Um gerador de CA pode alimentar uma carga com impedância diversificada

onde a tensão pode esta atrasada, ou em fase ou adiantada da corrente. Vimos que a

corrente assim como a tensão são grandezas que oscilam com frequência ω, que podem

variar desde alguns Hz , como na rede elétrica (60Hz), até a ordem de MHz como nos

circuitos de rádio e TV. Assim, para medirmos os valores instantâneos destas grandezas,

necessitamos de instrumentos adequados, tais como os osciloscópios, que respondam

com precisão a estas variações. No entanto, em diversas ocasiões não nos interessamos

por estes valores instantâneos, mas sim pelo valor médio ou valor eficaz. Antes de

definirmos estas grandezas, precisamos conhecer como calcular a média temporal de

uma grandeza.

66

Jorge Augusto Gonçalves Alves

6.1 Potência instantânea e potência média

Média temporal: Suponha que uma pessoa com sua bicicleta uma estrada com

velocidade v1 durante um tempo Δt1, com velocidade v2 durante um Δt2, com v3 durante

Δt3 e assim sucessivamente. Para calcular a velocidade média desenvolvida pelo

ciclista, simplesmente dividimos a distância total percorrida pelo tempo total de percurso.

Podemos generalizar este conceito para uma grandeza f qualquer. Seja f(t) uma

grandeza que varie discretamente com o tempo, ou seja, ela assume um valor constante

f1 durante um tempo Δt1, f2 durante Δt2 e assim por diante.

No caso de potência, podemos verificar a potência instantânea: P = V.I, a

potência média ( PM = VM(t).IM(t) ), que é a potência média ao longo do tempo, conceito

que já trabalhamos no decorrer do curso.

6.2 Valor eficaz da potência

A potência eficaz em tensão alternada está relacionada a um determinado valor

médio de tensão contínua, capaz de realizar a mesma potência, diferente da potência

média, que é calculada entre as medias das potências ao longo do tempo, a potência

eficaz calcula a média aritmética da forma de onda, que é responsável pelo mesmo

efeito, se a corrente tensão fosse contínua.

Potência Média: PM = VM. IM

Potência Eficaz: Pef = Vef . Ief

Quando falamos que a rede elétrica é 110V ou 220V, estamos nos referindo a

valores eficazes da rede, ou valores RMS (do inglês Root Mean Square – medida

estatística da magnitude de uma quantidade variável) onde a potência eficaz é o produto

da VE (tensão eficaz) pelo IE (corrente eficaz).

Tensão Eficaz: Vef = VP / √2

Corrente Eficaz: Ief = IP / √2

Onde: VP é o ponto máximo da tensão alternada

67

Jorge Augusto Gonçalves Alves

IP é o valor máximo da corrente alternada

6.3 Potência aparente, ativa e reativa

Em corrente alternada há três modalidades de potência elétrica envolvidas em um

circuito: a aparente (S), a ativa (P) e a reativa (Q). As equações que exprimem essas

potências podem ser desenvolvidas a partir de um triângulo retângulo chamado triângulo

das potências. Dado um circuito alimentado em corrente alternada, poderemos

representar o triângulo das potências conforme a seguir.

Figura 63

Potência elétrica aparente: a potência elétrica associada a qualquer circuito é

definida como o resultado do produto da tensão total pela corrente total. Em corrente

alternada, o produto U * I é denominado de potência aparente e representa-se pelo

símbolo S, sendo a unidade de medida o volt-ampère (VA), portanto, temos:

Esta fórmula indica o valor da potência total instalada no sistema, que corresponde

à parcela realmente dissipada pelo componente do circuito adicionada à parcela da

potência referente às perdas ocorridas no circuito. Lembramos que por se tratar de

circuito em C.A. devemos aplicar os conceitos de fasores em qualquer cálculo sugerido.

Sabendo que o Fator de Potencia (FP=cos)

Figura 64

S = U x I

Q S

P

S 2 = P2 + Q 2

S

P

Q

Cos = PS

68

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Potência elétrica ativa: a componente real da potência aparente é chamada de

potência ativa ou P, e é medida em Watt (W). Ela é a parcela da potência aparente que

é dissipada pela resistência do circuito. Lembrando-se das relações trigonométricas de

um triângulo retângulo, essa potência pode ser representada pela fórmula a seguir.

Potência elétrica reativa: o fator imaginário da potência aparente é chamado

de potência reativa (Q), e é medida em VAr (Volt-ampères reativos). Representa a

energia armazenada pela reatância do circuito. Matematicamente, temos:

6.4 Fator de potencia

Como sabemos, a energia elétrica é gerada em uma usina e distribuída aos

consumidores, que a transformam em outras formas de energia, como a luminosa, a

térmica e a mecânica, entre outras.

Certos equipamentos, tais como a lâmpada incandescente, conseguem

transformar toda a energia elétrica fornecida em outras formas de energia (luminosa e

térmica). Outros, no entanto, transformam apenas parcela da energia elétrica fornecida.

Este é o caso dos motores de indução muito utilizados nas indústrias. Sendo assim, uma

indústria em geral transforma em trabalho útil apenas parte da energia elétrica

consumida, existindo sempre um desperdício de energia elétrica, que é taxado na conta

mensal pela concessionária de energia elétrica.

O fator de potência (Cos) é um número que indica o quanto da energia elétrica

que é transformada em outras formas de energia. Esse número pode variar entre “zero

e um”, ou seja, em termos percentuais, de 0 a 100%. Um fator de potência igual a 100%

indicaria que o equipamento utilizou toda a energia elétrica consumida, transformando-a

em outras formas de energia. Um equipamento com fator de potência igual à zero não

transformaria nenhuma energia elétrica, ou seja, estaria desperdiçando toda a energia

elétrica recebida. Portanto, podemos deduzir que quanto menor é o fator de potência,

com menos eficiência está funcionando o sistema elétrico.

Q = S . Sen

P = S . Cos

69

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Quando um sistema elétrico tem baixo fator de potência, ele requer que a

concessionária lhe forneça uma grande quantidade de energia elétrica, mesmo quando

o sistema só utiliza parte dela. Para evitar tal desperdício e obrigar a melhoria do sistema

elétrico foi instituída a multa por baixo fator de potência. Atualmente, é regulamentado

pelo organismo governamental o valor mínimo para o fator de potência de 0,92 ou 92%.

A potência é a quantidade de energia consumida (ou fornecida) por unidade de tempo.

Como vimos nos itens anteriores, quando estamos tratando de circuitos em Corrente

Alternada, a potência pode ser dividida em parcelas. Uma delas, chamada de potência

ativa, é aquela parcela da potência que o sistema elétrico usa para realizar um trabalho

útil; a outra denominada de potência reativa, é a parcela que não realiza trabalho útil.

Figura 65

No entanto, a potência reativa é necessária para o funcionamento de certos

equipamentos elétricos que possuem elementos ditos indutivos. Esses equipamentos

necessitam armazenar a potência, em determinados instantes, sem transformar, e em

seguida, devolver à rede elétrica, não sendo aproveitada em forma de trabalho útil. Veja

a ilustração a seguir.

Podemos deduzir que a potência aparente é a máxima potência ativa que pode

ser obtida com dadas tensões e corrente, o que ocorre para um fator de potência unitário

(100%). Logo, podemos dizer que o fator de potência é a relação entre a potência ativa

consumida para determinada tensão e corrente, e a máxima potência que poderia ser

obtida com as mesmas tensões e corrente. Através de uma análise do triângulo das

potências poderemos deduzir a fórmula para o cálculo do fator de potência. A razão entre

a potência ativa e a potência aparente de qualquer instalação se constitui no "Fator de

Potência (FP ou cos )" do circuito.

DISTRIBUIDORA DE ENERGIA

ELÉTRICA

ELEMENTO

INDUTIVO

ENERGIA TRANSFORMADA EM

TRABALHO ÚTIL

ENERGIA FORNECIDA

ENERGIA DEVOLVIDA

70

Jorge Augusto Gonçalves Alves

6.5 Correção do fator de potência

Do que já foi exposto, fica claro que é desejável se ter um alto fator de potência.

Como o capacitor é um equipamento que recebe e guarda energia elétrica para devolvê-

la quando solicitada, este pode ser utilizado para auxiliar o sistema elétrico nesta tarefa.

Diz-se que os capacitores são geradores de potência reativa. Na realidade eles não são

geradores, pois são elementos passivos que acumulam energia estaticamente. Para

tanto, deve-se instalar capacitores em paralelo com a carga (o mais próximo possível)

com a finalidade de armazenar energia reativa, para em seguida retomá-la, propiciando

assim a troca de energia, não mais entre a carga e a fonte externa, mas sim, entre a

aquela e o capacitor. Analise a ilustração a seguir que serve como exemplo de correção

do fator de potência através do uso de capacitores.

Figura 66

Note que com o uso dos capacitores a potência reativa total será então igual à soma

vetorial dos KVAr negativos referentes às perdas do circuito com os KVAr positivos

fornecidos pelos capacitores. Assim, o valor da potência reativa será diminuído,

causando o decréscimo da potência aparente necessária para o sistema, mas o valor

correspondente à potência ativa continua o mesmo, aumentando o valor do fator de

potência. Outro fato que convém chamar atenção é que ao aumentarmos o fator de

potência, o ângulo de defasagem entre a potência aparente e a potência ativa diminui;

supondo a tensão constante, então a corrente elétrica, que é proporcional à potência

aparente, também diminuirá o seu valor liberando mais capacidade elétrica para o

sistema. Como consequências de um baixo fator de potência numa instalação elétrica

podemos citar: solicitação de uma corrente maior para alimentar uma carga com a

mesma potência ativa, aumento das perdas por efeito Joule e aumento das quedas de

tensão.

71

Jorge Augusto Gonçalves Alves

7 CIRCUITOS POLIFÁSICOS

Vamos estudar agora sistemas com mais de uma fonte de energia alternada,

com defasagem na tensão entre elas. Chamamos de sistemas polifásicos quando

existem dois ou mais fontes de energia alternada com defasagem de tensão. Os

sistemas polifásicos possuem a flexibilidade de poder atender cargas monofásicas, ou

mais, sem qualquer alteração em sua configuração. Porém os sistemas trifásicos

possuem a facilidade de ter melhor ponto de equilíbrio.

Figura 67

Onde : Vaa’ + Vbb’ + Vcc’ =0

Desde a geração até a nossa rede elétrica a transmissão é polifásica a três fios.

E como a potencia instantânea eficaz é P = Vef . Ief. cosⱷ, por isso para economia é

necessário que a transmissão seja feita com uma elevada tensão para reduzir as perdas

na resistência da fiação.

7.1 Sistemas Trifásicos

72

Jorge Augusto Gonçalves Alves

Figura 68

O estudo dos circuitos trifásicos é um caso particular dos circuitos polifásicos.

Por razões técnicas e econômicas o sistema trifásico tornou-se padrão em geração,

transmissão e distribuição dentre todos os sistemas polifásicos. Os sistemas trifásicos

possuem a flexibilidade de poder atender cargas monofásicas, bifásicas e trifásicas sem

qualquer alteração em sua configuração, porém as cargas não trifásicas ocasionam

desequilíbrio no sistema.

Razões que levam a preferência pelo sistema trifásico:

 permite transmissão de potência de forma mais econômica;

 em sistemas trifásicos o módulo do campo girante total é constante, o que

não ocorre em outros sistemas polifásicos (todos os sistemas polifásicos

com 3×n fases apresentam esta característica, mas com n>1 estes

sistemas não são interessantes economicamente);

 a potência p(t) é constante (no monofásico é pulsante).

As tensões no sistema trifásico equilibrado são defasadas de 120º uma da outra

onde o somatório dos vetores em cada ponto é igual a zero. Podemos expressar

matematicamente as defasagens da seguinte forma:

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Figura 69

Onde:

Vm = Tensão de pico ou máxima

ω = Velocidade angular

θ = Ângulo de referência

Antes de começar a analisar um circuito trifásico, vamos conhecer alguns termos

relativos à rede trifásica:

Tensão de fase: tensão medida em cada uma das bobinas do gerador ou

impedância da carga.

Tensão de linha: é a tensão medida entre dois terminais (com exceção do

centro da estrela) do gerador ou da carga.

Corrente de fase: corrente que percorre cada uma das bobinas do gerador ou

impedância da carga.

Corrente de linha: corrente que percorre os condutores entre o gerador e a

carga (com exceção do neutro).

As ligações elétricas das cargas em sistemas trifásicos podem ser realizadas de

duas formas: triângulo ou estrela.

Ligação triângulo

A figura a seguir mostra como deverá ser ligada a carga trifásica, e também a

relação entre tensões e correntes de linha e fase nesse tipo de ligação.

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Figura 70

Onde: U F = Tensão de fase em Volts (V); U L = Tensão de linha em Volts (V); I F = Corrente de fase em Ampères (A); I L = Corrente de linha em Ampères (A).

Ligação estrela

A figura a seguir mostra como deverá ser ligada a carga trifásica, e também a

relação entre tensões e correntes de linha e fase nesse tipo de ligação.

Figura 71

U F = U L

I F = I L

U F =1,73

U L

I F =1,73

I L

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Onde: U F = Tensão de fase em Volts (V); U L = Tensão de linha em Volts (V); I F = Corrente de fase em Ampères (A). I L = Corrente de linha em Ampères (A)

7.2 Potência em Circuitos Trifásicos

Antes de analisarmos as potências em circuitos trifásicos vamos relembrar esta

grandeza no sistema monofásico.

Figura 72

De acordo com a lei de Ohm, temos:

No sistema trifásico, devemos fazer a mesma analogia, então:

Quando mencionamos V e I, temos que deixar claro que os valores são de FASE,

ou seja, os valores que estão aplicados diretamente sobre a impedância, desta forma

temos:

Ligação Estrela

Como geralmente não dispomos do valor Vf, vamos referenciar a equação

para valores de linha (geralmente possíveis de medição).

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Substituindo:

Ligação Triãngulo

Substituindo:

Exercícios:

A- Identificar e calcular a tensão e corrente de linha, tensão e corrente de fase

para um circuito trifásico de 380V CA:

B- Sabendo que o pico de uma tensão senoidal é 235 V CA e quando alimenta

uma lâmpada passa uma corrente de 100 mA. Calcular a potencia eficaz da

lâmpada.

C- Qual valor da saída de um transformador abaixador CA para fazer uma fonte

de corrente contínua de saída de 24 volts?

D- Em uma das fases d um motor trifásico é lido a corrente de 1ª, qual a corrente

total desse motor?

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E- Uma fonte com transformador de potência aparente de 1000 VA tem o fator

de potencia de 0,78, qual potencia que eu posso utilizar para alimentar

lâmpadas incandescentes?

F- Em um circuito foi verificado uma potencia ativa de 3 kW, uma potencia

reativa capacitiva de 1 kVA e uma potencia indutiva de 5 KVA, calcular o

fator de potência desce circuito.

G- Em uma máquina é necessário elevar o seu fator de potência que é

atualmente 0,75 para 1, sabendo-se que a potência reativa é 200KVA,

calcular o valor reativo dos capacitores.

H- Em uma rede trifásica a tensão de fase é 110 VCA, sabendo que a rede esta

equilibrada e a corrente em um das fases é de 10A, calcular a tensão de linha

e a corrente total.

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Jorge Augusto Gonçalves Alves

REFERÊNCIAS

MARKUS, Otávio. Circuitos elétricos: corrente contínua corrente alternada. Porto Alegre: Globo, 1975. NILSSON, Riedel. Circuitos Elétricos. 8. ed. São Paulo: Pearson, 2008. OTÁVIO MARKUS. Circuitos Elétricos. 8. ed. São Paulo: Érica, 2009.

SCHAUM0 MCGRAN-HILL, Joseph A. Edminister. Circuitos Elétricos. 2. ed. São Paulo: Ed. Afiada, 2009. SERVIÇO NACIONAL DE APRENDIZAGEM INDUSTRIAL. Departamento Regional do Ceará. Centro de Formação Profissional Waldyr Diogo de Siqueira. Eletricidade Básica: módulos instrucionais. 2. ed. Fortaleza, 2008.

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Elaboração e Formatação

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