Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister, Notas de estudo de Engenharia Naval
debora-soares-moreira-6
debora-soares-moreira-6

Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister, Notas de estudo de Engenharia Naval

238 páginas
50Números de download
1000+Número de visitas
Descrição
Eletromagnetismo - Joseph A. Edminister
50 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 238
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 238 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 238 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 238 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 238 páginas
Ei ELETRO AO i Joseph A. Edminister Professor Associado de Engenharia Elétrica da Universidade de Akron Tradutor: Jos Fabiano Rocha Mestra em Ciências pela PUCRI Ex-Professor Pesquisador do CETUC/PUCRS Professor de Transmissão e Propagação da Universidade Senta Úrsula Auxiliar de Pesquisas da Escola Naval do Rio de Janeiro Revisor Técnico: Resdrigo Araês Caldas Faria M, Se, pela COPPE — UFRJ Professor de Eletromagnetismo e Lab. de Princípios de Comu- nicação na Escóla de Engenharia FAAP Professor Assistente da Escola de Engenharia Mauá Professor Assistente da Faculdade de Tecnologia CEETS-UNESP MeGraw-Bil São Paulo Rua T: vã. 1.105. Iramo-Bibi CEP 04533 (011) 881-8605 e (011) 881-8528 Rio de Janeiro O Lisboa & Porto & Bogotá º Buenos Aires 8 Guatemala & Madrid e México 9 ilew York * Panamá & San dum * Santiago Auckland & Hamburg 6 Kuala Lumpur 2 London & Milan e Montreal 8 New Delhi & Paris & Singapore 9 Sydney & Tokyo s Toronto Do original Schaum"s Outline of Theory and Problems of ELECTROMAGNETICS Copyright O 1979 by McGraw-Hill. Inc. Copyright O 1980 da Editora McGraw-Hill do Brasil CIP-Brasil. Catalogacão-na-Fonte Câmara Brasileira do Livro, SP Edminister. Joseph A. EZ6e Eletromagnctismo / Joseph A. Edminister : tradutor José Fabiano Rocha ; revisor técnico Rodrigo Araês Caldas Faria São Paulo : MeGraw-Hill do Brasil. 1980 (Coleção Schaumi 2 Etstromagnetismo 2. Eletromapnetismo — Problemas, exercicios «te, T Titulo. IL. Série CDD-537 Bo-0859 -537.076 indices para catálogo sistemático: 1. Eletromagnctismo : Fisica 537 a 53 Prohiemas : Eletromagaetismo : Física 537.076 to PREFÁCIO Este livro destina-se a completar os textos introdutórios de teoria do campo eletro- magnético para engenheiros; também poderá ser usado como livro-texto para um curso rápido. Como é tradição da Coleção Schaum, é um livro voltado, enfaticamente, a ensinar como resolver problemas. Cada Cap. consiste em um amplo conjunto de problemas com soluções pormenorizadas, e um conjunto posterior de problemas com respostas, precedi- das por um resumo simplificado acerca dos princípios e eventos necessários à assimilação dos problemas e suas soluções. Embora os problemas eletromagnéticos do mundo físico tendam a ser muito complicados, resolvemos, neste livro, apresentar os problemas de for- ma Sintética, com um único conceito envolvido, Sentimos que esta metodologia será pro- veitosa aos estudantes que buscam auxílio em pontos específicos, bem como aos que pro- curam este livro com o propósito de revisão geral. A metemática empregada ao longo de todo o livro é a mais simples possível, e procura- mos evitar um enfoque abstrato. Foram deliberadamente utilizados exemplos concretos e fomecidos diversos gráficos e esboços. Descobri em muitos anos de magistério que a so- lução da maior parte dos problemas começa com um cuidadoso esboço gráfico. Este livro é dedicado aos meus alunos, que me mostraram onde estão as dificuldades do assunto. Quero também expressar minha gratidão a todo O pessoal da McGraw-Hill, pela assistência editorial. Um obrigado sincero a Thomas R. Connell, pelo cuidado com que checou todos os problemas e pelas sugestões oferecidas. A Eillen Kerns os agradeci- mentos pelo cuidado na datilografia do manuscrito. E, por fim, um muito obrigado à toda a minha família, em particular à minha esposa Nina, pela atenção e encorajamento constantes, sem o que teria sido impossível escrever este livro. JOSEPH A. EDMINISTER SUMÁR Capítulo 1 ANÁLISE VETORIAL 1 1.1 Notação Vetorial 1.2 Álgebra Vetorial 1.3 Sistemas de Coordenadas 1.4 Elementos Diferenciais Relativos a Volumes, Superfícies e Linhas 1.5 Campos Vetoriais 1.6 Trans- formações Capítulo 2 FORÇAS DE COULOMB E CAMPO BLÉTRICO 15 2.1 Lei de Coulomb 2.2 Campo Elétrico 2.3 Distribuições de Carga 2.4 Configurações Padronizadas de Cargas Capítulo 3 LEI DEGAUSS E FLUXO ELÉTRICO. 32 3.1 Carga Total de uma Região 3.2 Fluxo e Densidade de Fluxo Elétrico 3.3 Lei de Gauss 3.4 Relação entre Densidade de Fluxo Elétrico e Campo Elétrico 3.5 Superff- cies Gaussianas Especiais Capítuio 4 DIVERGÊNCIA E TEOREMA DA DIVERGÊNCIA 46 4.1 Divergência 4.2 Divergência em Coordenadas Cartesianas 4.3 A Divergência de D 4.4 O Operador Nabla 4.5 O Teorema da Divergência Capitulo ENERGIA E POTENCIAL ELÉTRICO DE CONJUNTOS DE CARGAS 59 5.1 Trabalho Necessário para Movimentar uma Carga Pontual 5.2 Potencial Elétrico entre Dois Pontos 5.3 Potencia! de uma Carga Pontual 5.4 Potencial de uma Distri- duição de Cargas 5.5 O Gradiente 5.6 Relação entre E e V 5.7 Energia Associada à Campos Eletrostáticos Capítulo CORRENTE, DENSIDADE DE CORRENTE E CONDUTORES 76 6.1 Introdução 6.2 Cargas em Movimento 6.3 Densidade de Corrente de Convecção 3 64 Densidade de Corrente de Condução ] 6.5 A Condutividade o 6.6 A Corrente 167 4 Resistência R 6.8 Película de Corrente com Densidade K 6.9 Continuidade de Corente 6.10 Condições de Contomo entre Meios Dielétricos e Condutores Gspítulo cj MATERIAIS DIELÉTRICOS E CAPACITÂNCIA 94 7.1 Vetor Polerização P e Permissividade Relativa ey 7.2 D e E sob Tensão Constante 7.3 De E sob Condições de Carga Fixa 7.4 Condições de Contorno para interface entre Dois Dielétricos 7.5 Capacitância 7.6 Capacitores com Dielérricos Múltiplos 7.7 Arma- zenamento de Energia num Capacitor Capítulo ce A EQUAÇÃO DE LAPLACE III 8.1 Introdução 8.2 As Equações de Poisson e de Laplace 8.3 Formas Explícitas da Equação de Lapiace 84 Teorema da Unicidade 8.5 Teoremas do Valor Médio e do Valor Máximo 8.6 Solução Cartesiana a uma Variável 8.7 Solução Cartesiana a duas Variáveis 8.8 Solução a três Variáveis em Coordenadas Cilínáricas 8.9 Solução duas Variáveis em Coordenadas Esféricas Capítulo 9 LEIDE AMPÉRE EO CAMPO MAGNÉTICO 130 9.1 Introdução 9.2 Lei de Biot -Savart 9.3 Lei de Ampére 9.4 Rotacional 9.5 Den- sidade de Cosrente Je Y X E 9.6 Densidade de Fluxo Magnético B 9.7 O Vetor Poten- cial Magnético A 9.8 O Teorema de Stokes Capítulo 10 FORÇAS E TORQUES EM CAMPOS MAGNÉTICOS 147 10.1 Força Magnética sobre Partícutas 10.2 Campos Elétrico e Magnético Combinados 10.3 Força Magnética sobre um Elemento de Corrente 10.4 Trabalho e Potência 10.5 Torque 10.6 Momento Magnético de Espira Plana Capítulo 11 INDUTÂNCIA E CIRCUITOS MAGNÉTICOS 160 11.1 Tensão de Antoindução 11.2 indutores e Indutância 11.3 Formas Padronizadas 114 Indutância interna 11.5 Circuitos Magnéticos 11.6 Não-inearidade da Curva B - H 117 A Lei de Ampêre Aplicada aos Circuitos Magnéticos 11.8 Núcleos Com Enireferro de Ar 11.9 Enrolamentos Múltiplos 11.10 Circuitos Magnéticos Em Paralelo Capítulo 12 CORRENTE DE DESLOCAMENTO E FEM INDUZIDA 183 12.1 A Corrente de Deslocamento 12.2 Relação Entre Je e dp 123 Lei de Faraday 12.4 Condutores: em Movimento através de Campos Estacionários 12.5 Condutores em Movimento através de Campos Variáveis no Tempo Capítulo 13 EQUAÇÕES DE MAXWELL E CONDIÇÕES DE CONTORNO 195 13.1 introdução 13.2 Relações de Contomo para os Campos Magnéticos 13.3 Contommo com Película de Corrente 13.4 Condições de Contorno: Resumo 13.5 Equações de Maxwell Capítulo 14 ONDAS ELETROMAGNÉTICAS 206 14.1 Introdução 14,2 Equações de Onda 14.3 Soluções em Coordenadas Cartesianas 14.4 Soluções para Meios quase Condutores 14.5 Soluções para Iielétricos Perfeitos 14.6 Soluções para bons Condutores 14.7 Profundidade Pelicular 14.8 Reflexão de Ondas 14.9 Ondas Estacionárias 14. 10 Potências e Vetor de Poynting APÊNDICE 225 ÍNDEE ANALÍTICO 227 AMÁLISE VETORIAL 1.1 NOTAÇÃO VETORIAL Usaremos, como notação. para os vetores (grandezas; definidas por módulo, direção e sentido) letras em negrito, maiúsculas, diferenciando-os assim des quantidades escalares (que possuem apenas módulo e sinal). Para os vetores unitários (que têm módulo 1) empregaremos minúsculas, também em negrito. Para calcular o vetor unitário (ou versor) associado a À basta dividir 4 por seu valor absoluto: A A = É ou É al A onde ja] =A=VA-&A (vejaasSeçãol2) Usaremos os vetores unitários (a,, 3y, 2,) para o sistema de coosdenadas retangulares. De modo que o vetor À, escrito segundo suas componentes cartesianas, será do tipo: &, A=4,8,+A,8,+ 4,8, 12 ALGEBRA VETORIAL 1, Os vetores podem ser somados ou subtraídos. Ou seja: ALB=(Ag,+4,a,+ 4a) + (Ba, + Ba, + B,a,) At Boa, + (A, £ Ba, (A, + Boa, 2. As leis associativa, distributiva e comutativa são válidas, Isto é: A+(B+O)=(A+B)+C ka + B)= kh kB (E +Hh)A=kA+kà ArB=B+rA 3. O produto escalar de dois vetores é, por definição: A-B=ABcos0 (lê-se “A escalar B”) onde 6 é o menor ângulo entre A e B. Usando os vetores expressos por suas compo- nentes retangulares, pode-se demmonsirar que: A B=A.B,+A,B,+ 4,5, Em particular. Ach=JA|I= AZ+ A+ A? 2 ELETROMAGNETISMO 4. Define-se o produto vetorial de dois vetores como: AxB=(ABsnoe, (lê-se “A vetorial B”), onde 8 é o menor ângulo entre A e B,e En O versor normal 20 plano definido por À e B. Todo plano possui duas direções orientadas normais, a partir de um deter- minado ponto. Sendo assim, há que se especificar com maior de- talhe a definição anterior. Escolhe-se a normal correspondente à aplicação da “regra da mão direita”, ou sentido de giro de um parafuso universal, rodando-se A em direção:a B (Fig. 1.1). Devido a isto, não é válido aplicar a lei da comutatividade ao produto vetorial. Ou seja: AxB=-BxA Usando os vetores segundo suas componentes cartesianas: AxB=(Aa+A4a+Aa)x(B.e,+Ba+Ba, =(4,5.-4,B)a +(4,B.- A, Ba, + (A Expressão esta que podemos tornar mais compacta através do emprego da noção de determinante: & 8 8,| AxB=|4, A, 4, B. B, B, 1.3 SISTEMAS DE COORDENADAS Se um dado problema apresentar simetria esférica ou cilíndrica, poder-se-á empregar o sistema carte- siano. Há casos, entretanto, onde as soluções não mostram simetria no sistema cartesiano, assumindo, in- clusive, caracierísticas complicadas se o mesmo for empregado. Sendo assim, sempre que surgir um pro- blema onde seja evidente a simetria esférica, usaremos 6 sistema de coordenadas esféricas, o mesmo ocor- tendo para 6 caso de haver simetria cilíndrica. Examinemos, então, estas três formas de sistemas de coor- denadas. (a) cartesiano (b) cilíndrico (c) esférico Fig. 1-2 ANÁLISE VETORIAL. 3 A Pig, 1-2 mostra um ponto genérico, P, representado nesses três sistemas: o retangular (x, »2)0 cilinárico (1, 6, 2) e o esférico (y, 8,8). É importante manter sempre esta ordem para as componentes. O ângulo q é o mesmo para os sistemas esférico e cilínárico. Mas, em termos de ordem, para O sistema, esférico, & corresponde à terceira coordenada, enquanto que para O sistema cilíndrico aparece como se- gunda. Também » é comum a esses dois sistemas, inclusive no que tange à ordem. E isto devido a duas razões fundamentais. Com relação ao sistema cilíndrico, r corresponde à distância ao eixo z, tomada no plano normal a este, enquanto que, para o sistema esférico » é igual à distância relativa à origem; distân- cias essas em relação ao ponto P. Nunca se deve esquecer tais evidências, quando da resolução de problemas que necessitem de um ou de outro sistema de coordenadas. za za z | r=const 9 = const == const — x = const q x &=const. const, (a) Cartesiano (b) Cilíndrico (c) Esférico Fig. 1.3 Por outra lado, pode-se também definir um ponto como sendo o encontro de três superfícies oriogo- nais, como mostia a Fig. 1-3. No sistema cartesiano, essas superfícies são os planos infinitos: x = const., » = const. e 2 = const. No cilíndrico, z = const. (plano infinito idêntico ao anterior), é = const. (semi- plano que contém o eixo 2) er = const. (superfície cilíndrica circular). E no esférico: r = const. (esfera com centro na origem), U = const. (cone circular reto, de eixo z com vértice na origem) e é = const. (mesmo semiplano do caso cilíndrico). Note que:0 < 8 < 7. “ | (b) Cilíndrico (c) Esférico Fig. 1-4 4 ELETROMAGNETISMO A Fig. 1-4 mostra os três versores de cada sistema, aplicados em P. Os vetores unitários do sistema “retangular apresentam direções fixas, independentemente do ponto P de interesse, o que não ocorre para os dois outros (exceto quanto a a,). onde cada vetor unitário é normal à sua superfície coordenada, em sen- tido coerente com o crescimento da coordenada à quai se associa. Cumpre também notar que: axa-a axa=a, a xm= (ou seja, possuem “orientação dexirógira”). A decomposição de um vetor genérico, A, segundo as coordenadas desses três sistemas resulta nas seguintes expressões: A=hAa+Aa,+A a. (cartesiano) AÁ=4,8,+ 4,4, + 48. (cilíndrico) A=A 9, + Açã + Agãs (esférico) Nem sempre as componentes 4,, 4,. Ag ete., são constantes, mas quase sempre são funções das coordena- das do sistema correspondente. 14 ELEMENTOS DIFERENCIAIS RELATIVOS A VOLUMES, SUPERFICIESE LINHAS Analisemos, então, o que se usa chamar de volume incremental (ou diferencial). Incrementando as coordenadas dos três sistemas para (x + dx, y + dr cz +d),lW+ar, 4 +dgz+delr+ dr 9 + dê, & + dg), os volumes assim gerados constituem, em primeira ordem, qualquer que seja o sistema, uma caixa retangular. À Fig. 1-5 apresenta esses três casos, indicando o d» correspondente a cada um. Nessa mesma figura também se pode ler as áreas superficiais incrementais, limitado os volumes men- cionados. Para, por exempio, as coordenadas esféricas, o elemento de área normal a a, vele: as r dorsen0 db) = r? send dó do do = dx dy ds du=rdrdde: du = rÊseng dr de do (2) Cartesiano (b) Cilíndrico tc) Esférico Fig. 1.5 Quanto aos elementos incrementais de linha, di, diagonal ligada a P. temos: dx + dy? + do (cartesiano) dr + rap! 4 do? (cilíndrico) “pr de? 4 rsen7 Dag? (esférico) ANÁLISE VETORIAL 5 15 CAMPOS VETORIAIS É comum aparecerem expressões, no Eletromagnetismo, onde os coeficientes dos vetores unitários contêm variáveis, de modo que tais expressões variam, de ponto a ponto, em módulo, direção e sentido, nas regiões de nosso interesse. Como exemplo, seja o vetor: E=-xa,+ya, Ou seja, para obter o valor real de E, em y cada ponto, deve-se substituir as coorde- nadas desic em x e y. Após calcular para um certo conjunto de pontos, obtém-se uma configuração semelhante à indicada na Fig. 1-6. Além disso, um campo vetorial pode, também, variar com o tempo. Dad Exprimindo, assim, o campo vetorial bidimensional acima em função do / a = | tempo, podemos obter uma expressão do tipo: Tl E=(-xa, + ya, )senot —xa, + ye x Os campos elétricos e magnéticos dos , últimos capítulos serão todos variáveis À y 4 no tempo, potendo, como era de se es- perar, ser diferenciados e integrados em relação ao tempo. Operações que apare- Fig 16 cerão naturalmente e não ocasionarão grandes dificuidades. 15 TRANSFORMAÇÕES O campo ou campos vetoriais que surgem nos diversos problemas existem na realidade física, e o sis- iema de coordenadas empregado para expressálos é uma mera questão de referencial. Quanto mais apro- priada for a escolha do sistema coordenadas, mais direta será a solução € a expressão final, mais compacta, evidenciará à possível simetria presente no problema. Às vezes, entretanto, torna-se necessário transformar um campo vetorial de um sistema a outro. EXEMPLO 1 Seja o campo: A = Srs, + 2senda, + 2cosBe, expresso em coordenadas esféricas. Pode-se transformar as coordenadas r, O e q nas cartesianas, x, ) 6 Z, usando a Fig. !-2 e as noções clementares de Trigonometria. Assim, 5 . ELETROMAGNETISMO Podemos escreves, portanto, as componentes esféricas do campo vetorial 4 em termos de x, pe z: 2 A=5/2 +43 + 2a, + + Ea, = a 24 ya? Por outro lado, os versozes 2,, ag e aq podem, também, ser transformados nos seus equivalentes cartesianos usando a Fig. 1-4 6 aplicando trigonometria básica. Portanto: x y z = 2 õ 7ês + 2 ê 78, + 2 2 z X+y+z vxX+y+z x tyi+r a, = + ZE a, p= =8 = a,— A Repare dose fdryra = +—E-s, = — sro Dir Combinando as componentes e os vetores unitários transformados acima, obtemos, por fim, a expressão de A em coordenadas retangulares. Ou seja: 2xyz 2yz VS d+) dra fes) 2x; + (sy PA —— e z , FS)» Ge 9) 5 +73 + 2? Ca ETA + [se e erp = fm» PROBLEMAS RESOLVIDOS 2.i Mostre que o vetor ligando M(x,, y1, 24) aM(x>, )2, Z2), indicado na Fig. 1-7, pode ser escrito ss N(xo, Vas Za) como: * 2: 42,22 A ent A Ca — xa + ty — Ja, + (72 — 2) Solução. Usando as coordenadas de M e N para es- crever os vetores posição A e B, obtemos, de acordo com a Fig. 1-7: A=xa +), +za, Fig, 1-7 B=,8, +28, +28, & E, sendo assim: B-A= (x —xet(yo ya + (zo za, 1.2 Encontre, em coordenadas cartesianas, o vetor A que liga (2, —4, 1) a (0,—2, 0), calculando, tam- bém, o vetor unitário associado a A. Solução. A=(0-2)a,+ (2 —(=S)a,+(0- 1), = —28,428,-2, =(=2P + (EP +(-1) A 2 2 1 By ção «+ 3 13 i4 16 1.7 ANÁLISE VETORIAL 7 Calcule a distância entre (5,37/2, 0) e (5, m/2, 10), em coordenadas cilíndricas. Solução. Obiêm-se, primeiramente, os vetores posi- ção (em coordenadas cartesianas) À e B: z | (5.072,10) A=-5Sa, B=52,+10, Deonde: E — B = 103, + 102, E, sendo assim, a distância pedida entre os dois pontos será a seguin- te: jE-Aj= 10,2 Não é possível usar os pontos em coordenadas cilíndricas para calcular a distância entre ambos, tal como se fez para coordenadas cartesianas, no Pro- blema 1,1 Fig. 18 Mostre Solução. =A,B, + AB, + 4,8. pressando o produto escalar em termos das componentes desses vetores, obtemos: A-B=(A,s,+4,0,+4,8,)'(B,2, + B,9, + B.9,) = (4,85) '(B,85) + (Az az) * (Br 85) + (4ça,) -(B.9,) Ay8,) (Braz) + (Açao) (Ba) + (As,) (Boa) + (4,85) -4B,8,) + (4,80) (B,2,) + (4,9,):(B. 8.) Entretanto:a, 1 a, =2, «ay =a, «a = 1.devido zo fato de o coseno do ângulo entre quais- quer desses versores, agrupados em par, ser “unitário, pois os mesmos são paralelos (ou seja, os ângulos entre a, 62,2, 0d, 08,02 são nulos), Mas, quando é = 90º, seu co-seno vale O. de maneira que são nulos todos os produtos cruzados, ou seja, todos os demais produtos entre os vetores unitários. Portanto: AB-A4,B,+4,B,+4.B, Dados: A * Soiução. e B=a, - a, calcule À - BA x B = (XI) + (4K= 1) + (3x0) = —2 3l=3a,- 3a, — 6a, dio ol Mostre que À = 43, — 2a, —a e B-a + 4a, — 4a, são perpendiculares. Soksção: Corno o produto escalar envolve o fator cos EM para que seja nulo, sendo os vetores diferentes de zero, o ângulo entre os mesmos deverá ser de 90º. Portanto, como verificação: -B=(UD+(-2X)4(-IK-48=0 Dados A =22, + 4, eB=6a, da, calcule o menor ângulo entre ambos, usando (ay o produto vetorial entre eles e (b) o produto escalar. 8 ELETROMAGNETISMO Solução. (2) Para o produto vetorial: lã & & AxB=|2 4 0/=-l6n+8,+ 12, | 0 6 —4 lal= BE + (+ (0 = 447 IBl=0P +66 +47 = 721 já xBl= 167 + (8P +02 =2154 Logo, como: |A x B/=IA| | | seno: sen 6 = 0,668 ou 8=419º (b) Por outro lado, para o produto escalar: A-B= (20) + (a)(6) + (0X 4) = 24 A-B 24 ê= RR =a19º 50 = ij tan 8 ou B=41,9 1.8 Dados F=(p -— Da, + 2xa,,, calcule o valor desse vetor aplicado ao ponto (2,2,1), bem como sua projeção sobre B, dado por:B = Sa, — a, + 2a, Solução. FEL =(0 1a, + CX, =a+4a, A ça Como mostra a Fig. 1-9, pode-se obter a projeção de um Sal A vetor sobre outro calculando o vetor unitário da direção e es B deste último e efetuando um produto escalar, entre o vetor ; ' dis ias . Proj. de A sobre E unitário e o primeiro vetor. Ou seja: Fig 8 AB Proi. de AsobreB = A-as= [E Desse modo, em (2, 2, 1): Proj. de E sobre B = Fi” (DO + (AD +, + 5 = 1.9 Dados: À a, + apB=a +2a e C= 2a, + a,, calcule: (A x B) x € e compare-este resultado com O de À x (Bx o. Solução. [Be & a] AxB=|1 1 0 [=22,—2a, -a, 10 2) Sendo assim: lar a al (AxBjxC=|2 -2 “1 lo 1.36 ra a 112 Liz ANÁLISE VETORIAL s Usando o mesmo raciocínio, obtém-se: 4 x (B x C) = 2a, — 2a, + 3a,. Portanto, con- cluímos ser de suma importância observar a ordem indicada pelos parênteses que aparecem em um produto vetorial triplo. Use os vetores 4, B e C do Problems 1.9 para calcular A « B x €, e compare esse resultado com o deA nx Be. € Solução. Usando o método e os resultados do problema anterior: B x € = —4a, — ày + 2a, Sendo assim: ABxC= MDA +) = —S Do mesrao modo, do Problema 1.9: À x:B = 28, — 2a, — a, oque, portanto, fornece: AxB.C= (ADE DMUDACN) = —S5 Dessa maneira, os parênteses não são elementos essenciais em um produto escalar triplo, apresen- tando importância apenas quando houver, antes, um produto vetorial. Genezalizando, pode-se mostrar B. B que: À cc | z €, €& A A, ABxC= » nte Desde que Os vetores apareçam na mesma ordem cíclica, o resultado será idêntico a este. Mudando-se a ordem, a única alteração será quanto ao sinal. Expresse o vetor que aponta dez = A, noeixoz, & (7, 6,0) em coordenadas cilíndricas. Veja a Fig. 1-10. . Sohsção. O vetor R é a diferença enire dois vetores, ou , i seja: Notase que o ângulo é não aparece explícito nestas ex- pressões obtidas. Eníxetanto, tanto R com ap dependem de à, através dee, . Obtenha o vetor que parte de um ponto arbitrário do plano z = —5 e vai até a origem, conforme indicado na ig. Lil, Solução. Usando covrdenadas cartesianas, podemos apli- car, com toda certeza, a fórmula obtida no Problema 1.1 Sendo assim: Fig Use o sistema esférico para calcular a área da região « < O < $, sobre a casca esférica de raio « (Fig. 1.12). Qual o resultado quando a = 0 e 6 = 7? 19 1,14 ELETROMAGNETISMO Solução. O elemento diferencial de área é o seguinte [veja a Fig. 1-5 (0)]: ds = "send do dy A 7 Desse modo: +. 32 48 pr = 2, /. 4= [5 1.0 sendavas 7 = 2ma?fcosa — cos f) — Quandoa =06 8 =4,4 =4ma?,ouseja, a área super. Fig 212 ficial de uma esfera de saio a. Obtenha a equação correspondente ao volume de uma esfera de raio a, a partir do elemento diferen- cial de volume. Solução, Usando a Fig. 1-5 (c), obtemos que o elemento diferencial de volume vale: dy =? sen 6 dr do dp . Portanto, 2x Es 4 | | send dr de db =; no? o dot 3 Utilize o sistema cilíndrico de coordenadas para calcular a área la- teral de um cilindro circular reto com r=2m, h=5me 30º < 6 < 120º (veja a Fig. 1-13). Solução. Usando o elemento diferencial de área ds = r do dz, obtemos, pois: 5 ,2w3 A4=[ [ 2dgdz O “ai6 Transforme o vetor: A=ya +xa, + vx + do sistema cartesiano ao cilíndrico. Solução. Usando a Fig. 1-2 (b), x=rcosg y=rseng refe +y Portanto: A=rsenga, +reosga, +rcosiga, Calculando, agora, as projeções dos versores cartesianos sobre a, , age 2, obtemos: Sendo assim: 1iT RE 119 1.26 1.23 1.24 ANÁLISE VETORIAL “ e, portanto: A = sengcosga, + (reos? p — rserf dja, + eos pa, Um vetor com módulo 10 vai do ponto (5,57/4.0) até a origem de um sistema coordenado cilíndrico (Fig. 1-14). Expresse-o em coordenadas cartesianas. Solução. Em coordenadas cilíndricas pode-se representar esse vetor por 102, com 6 = x/4. Sendo assim: 19 A, = 10sen- A,=10cosi=—— z so “A y 4 A, “als de tal maneira que: A 10 4 10 a = a, +— 20 42º Note que o valor da componente radial, 5, pouca importância tem Fig. |-14 sobre o resultado final. não influenciando o mesmo. PROBLEMAS PROPOSTOS Dados: A = 4a, + 10a, e B = 2a, + 3a,, calcule a projeção de Asobre B, Resposta. 12h/13 Dados A = (10N/Dta, + 2,)e B = 3a, + a,), expresse a projeção de B sobre à, segundo a direção de A. Resposta. 1,50 (a, + à) Calcule o ângulo entre A = 102, +24, e B= —4a, + 0,52,, usando as definições de produto escalar e de produto vetorial. Resposta. 161,5º Repita o problema amerior para: A = 58a, + 1,55a, e B = —6,93a, + 4,04. Resposta. 135º 2 Ache o vetor unitário normal ao plano 4, + 3, + 2, = 12 (para direção afastando-se da origem). Resposte. (4a, + 3a, + 22) 29 Mostre que, para que os campos vetoriais A e B sejam perpendiculares em qualquer ponto, A By + +AA, + AB, = 0. Obtenha as relações que devem ser satisfeitas entre as componentes cartesianas de dois campos vetoriais À e B para que sejam paralelos em todos os pontos do espaço. Resposta. Caicule o vetor unitário que vai de um ponto genérico da reta x = 0,» = 3,atéa origem. — 28, Resposta a 12 1.26 1.27 1.28 1.29 1.30 131 132 133 1.36 137 1,38 1.39 ELETROMANGETISMO Calcule o vetor unitário que liga um ponto genérico do Piano y = —5 ao ponto (X1, 4, 21). Resposta Obtenha a expressão do vetor unitário que liga um ponto arbitrário do plano z = —2a0 ponto (O, 0, A). Explique o resuitado para quando h > —2. Resposta. a Dados À = Sa e B = da, + By Ay, calcule B, de modo que O ânguio entre A e E seja 45º, Se B contiver, ainda, um termo B, à,, qual a relação que deve haver entre ByeB;? Resposta. B,=t4;VB; + B=4 Mostre que o valor absoluto do produto triplo escalar A - B x € é igual ao volume do paratelepí- pedo cujas arestas são A, Be C. (Sugestão: Mostre primeiramente que a área da base é igual a |5 x € |. Dados: A = 2a, — az,B = 3, ta,eC= 2, + 6a, —da, mostre que C é perpendicular, mutuamente, a AecaB. Dados: A =a, ca, B=2a,eC=-a, + 3a,, calcule A * B x €. Examine outras variações do produto triplo escalar. Resposta. —4 Usando os vetores do Problema 1.31, calcule o produto triplo: (4 x B) x €. Resposta. — 8a, Calcule o vetor unitário que liga (2. 5, -2)a (14, 5,3). Resposta. a = (12/13)a, + (5/13)a, Mostre ser impossível usar o método do Problema 1.1 para coordenadas cilíndricas, para os pontos (ri, 61, 21) e (ra, >, 22). Verifique o mesmo problema para coordenadas esféricas. Verifique que a distância entre os dois pontos dados no Problema 1.34 vale: G=rirri=Zrracos(d, — di)+ (ta — x) Calcule o vetor que liga (10.37/4, 1/6) a (5, n/4, m), pontos expressos em coordenadas esféricas. Respostas. —9,664, — 3,54a, + 10,6la, Ache a distância entre (2, 7/6,0) e (1, x, 2), pontos expressos em coordenadas cilináricas. Resposta. 3,53 Calcule a distância entre (1, w/4,0) e (1,37/4, 7), pontos expressos em coordenadas esféricas. Resposta. 20 Calcule a área da região O < é < a, de uma casca esférica de raio a, usando coordenadas esféricas, efetuando cálculo integral. O que ocorre para o caso de a = 27? Resposta. 200" ,A = 4a? 140 do 142 1.46 1.48 -ANÁLISEVETORIAL 13 Calcule a área da superfície curva de um cilindro circular reto de raio q e altura À usando coordena- das cilíndricas. Resposta, Zueh j Use coordenadas cilíndricas para obter o volume do cilindro circular reto do Problema 1.40. Resposta. na2h Use coordenadas esféricas para Obter as áreas diferen- ciais, ds; e ds,, integrando-as depois para calcular as áreas superficiais da Fig. 1-15, marcadas com 1 e 2, respectivamente. Resposta. n/4; 1/6 Calcule o volume de uma casca hemisférica de raio in- temo 2,00 m e raio extemo 2,02'm, usando coorde- nadas esféricas. Fig 1-15 Respostas. 0 162mmº + Calcule o elemento diferencial de volume inerente ao volume definido por 1 ; orientado de Q, para O, 18 ELETROMAGNETISMO EXEMPLO 1 Ache a força que atua sobre uema-carga O, = 20uC devido à presença de ouira, O = = —300u€. A primeira carga está na posição ( 2).e a segunda em (2,0, 0), todas as distâncias expressas em metros. : Solução. Devido ao fato de IC corresponder a um armazenamento excessivamente acentuado de unidades de cargas elétricas é comum expressãr as cargas em HC, isto é, microcoulombs. Ou ainda: nano- coulombs, n€, ou picocoutombs, pC. (Veja 0 Apêndice A, onde estão registradas as normas de unidades do SL) Usando a Fig. 2-1: Ra=-22,+ s,+2a, 1 Bo =(-2a, +a,-+2a,) Logo: p 20 x 10784-360 x 3076) (2 +a, 2) 1 Am(10"*/36m)(3) 3 temia) =6— Lin (eos O módulo da força é 6N e sua direção é tal que O, é Fig 23 atraído para Q.. Na região circunvizinha a uma carga pontual isolada, existe um campo de forças com simetria esférica. Este fato fica evidenciado quando a carga Q é fixada na origem como na Fig. 2.2 e uma segunda carga, Oy, é movimentada ao redor da região. Em cada posição uma força atua 20 longo da reta que suporta as duas cargas, e afastando-se da origem se as cargas são de mesmo sinal. Em coordenadas esféricas, tudo isto corres- ponde a escrever que: Fig 2.3 + Ressaltendo-se que, a menos que O << Q, o campo simétrico circunvizinho 2 O será periurbado por Q7- Na posição 1, Fig. 23,4 força F, será a soma vetorial: F=Fo,+Fo . FORÇAS DE COULOMBE'CAMPO ELÉTRICO 17 Esto este que não deve apresentar qualquer surpresa, pois, se Q possui um campo de força, Oz também o tem. Quando duas cargas situarem-se na mesma região, o campo resultante necessariamente será um vetor soma ponto a ponto de dois campos,-Este é o princípio de superposição para forças de Coulomb, e que pode ser aplicado para qualquer número de cargas. 22 CAMPO ELÉTRICO Suponha que, na situação acima, a carga de prova (27 seja suficientemente pequena, capaz de não pertur- bar significativamente o campo da carga pontual fixa Q. O campo elétrico E, devido a Q), é definido como ax, força por unidade de carga em Or: a, TÊ4S Amor E Gras y2,22) R= (x, -x,)a, + 02 —y)ay + (2) 2a, Ol, 71,21) (g) Esférico (b) Cartesiano Fig. 24 A expressão apresentada, para E, acha-se em coordenadas esféricas, a origem coincidente com Q [Fig. 2-4(2)]; pode ser iransformada em outro sistema de coordenadas peio método da Seção 1.6. Para um sistema de coordenadas cartesiano arbitrário: ——3 8 dncgR? * onds o vetor separação E. está indicado na Fig. 2-4 (b). As unidades de E são newtons/coulomb (N/C), ou o equivalente, volts por metro (V/m). 2.3 DISTRIBUIÇÕES DE CARGA Volume Carregado Quando wma carga se distribui por um volume especificado, cada elemento de carga contribuirá para o campo elétrico num ponto extremo. Portanto, haverá necessidade de efetuar um somatório, ou integral, para calcular o campo elétrico total. Mesmo sabendo que a mais ínfima divisão de carga elétrica se apresenta em prótons ou elétrons, será conveniente usarem-se distribuições contínuas (isto é, diferenciáveis) de cargas e definir uma densidade volumétrica de cargas: =-E tm? e= (Cm) 18 ELETROMAGNETISMO Note as unidades entre parênteses. Ou seja, p está expresso em C/m”, todas as variáveis envolvidas coerentes com o SI(C para a carga Q,e m? para »). Esta convenção será isolada por toda a extensão deste livro. Reportemo-nos, então, à Fig. 2-5. Cada'diferencial de carga dQ produz um campo-eléirico diferencial: do =“ q Ac Rê R tomando P como ponto de observação. Supondo que a única carga da região considerada se acha dentro do volume, o campo elétrico total em P poderá ser obtido por integração em todo o volume: = | Pê Joan Rº Plano Carregado Também é possível encontrar as cargas elétricas distribuídas por um plano, superfície ou película. Cada carga diferencial dQ sobre a película produz um campo elétrico diferencial: ag = = amo REP no ponto P (veja Fig. 2-6). Se a densidade superficial de cargas for ps(C/m?), e não havendo nenhuma outra carga presente na região de interesse, o campo elétrico total em P será: Distribuição Linear . Se a carga está distribuída sobre uma linha, cada carga diferencial dO ao longo da linha produz um campo elétrico diferencial: do dE = E Amro R$PR em P (veja Fig. 2-7), Se a densidade linear de cargas for Pe(Cim), não havendo qualquer outra carga na região, o campo elétrico total em P será: 1 PrBa E=j ! LAneçR? a Cumpre enfatizar que em todas as irês distribui- gães de carga apresentadas, bem como nas integrais resul- tantes para E, o vetor unitário ap é variável, dependente das coordenadas do elemento de carga dO. Portanto, ap não pode ser removido do integrando. FORÇAS DE COULOMB E CAMPO ELÉTRICO 18 24 CONFIGURAÇÕES PADRONIZADAS DE CARGAS Em três casos especiais a integração discutida na seção 2.3 ou é desnecessária ou fácil de resolver. Quanto a estas configurações padronizadas (e para outras com as quais lidaremos neste Cap.) deve-se obser- var que a carga não se acha “sobre um condutor”. Quando um problema estabelecer que a carga está dis- tribuída na forma de um disco, isto não significa, necessariamente, um condutor na forma de disco com à carga ocupando sua superfície. (No Cap. 6, serão examinadas distribuições superficiais em condutores.) Embora isso possa agora requerer suave toque de imaginação, suporemos as cargas suspensasno espaço, fixades na configuração especificada. Cargas Pontuais Conforme se escreveu na Seção 2.3, 0 campo de uma carga pontual isolada O é dado por: 2 âmor? Observe a Fig. 2-4(0). Existe um campo com simetria esférica que segue a lei do inverso do quadrado (como gravitação). Cargas em Linhas infinitas Se a carga está distribuída com densidade unifor- me p/(Cim) ao longo de uma linha reta infinita — a qual será escolhida como o eixo z — então o campo será dado (coodenadas cilíndricas) Veja a Fig. 2. O campo possuí simetria cilíndrica e éin- versamente proporcional à primeira potência da distância em selação à tinha carregada. Para obtenção de E, veja Problema 2.9, Plano Infinito Carregado Se a carga está distribuída com densidade umifor- me B, (Cjm?) sobre um plano infinito, então o campo será dado por: Veja a Fig. 2-9. Este campo é de módulo constante e apresenta simetria especular em relação ao plano carre- gado. Para obtenção do E, veja Problema 2.12. Atos Fig 28
Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 238 páginas