Engenharia Economica 2, Notas de estudo de Engenharia de Produção
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Engenharia Economica 2, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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ENGENHARIA

ECONÔMICA II

Edson de Oliveira Pamplona – http://www.iem.efei.br/edson

José Arnaldo Barra Montevechi – http://www.iem.efei.br/arnaldo

2005

SUMÁRIO

1. Introdução

2. Considerações Sobre Critérios de Decisão

3. Análise de Investimento em Situação de Incerteza

3.1. Introdução

3.2. A Natureza das Incertezas

3.3. Métodos de Decisão em Condições de Incerteza

3.3.1. Análise de Sensibilidade

3.3.2. Métodos Baseados na Teoria dos Jogos

4. Método de Análise Hierárquica

5. Introdução à Programação Linear

6. Análise de Investimento em Situação de Risco

6.1. Probabilidade da Inviabilidade de Investimentos

6.2. Simulação de Monte-Carlo

7. Árvores de Decisão

8. Opções Reais

9. Determinação da Taxa Mínima de Atratividade pelo WACC e CAPM

Referências Bibliográficas

Apêndices

Estudos de Caso

CAPÍTULO 1 - INTRODUÇÃO

O curso de Engenharia Econômica II visa o aprofundamento nas técnicas de

Engenharia Econômica, complementando conhecimentos já obtidos em cursos introdutórios

da área.

O objetivo do curso é que o aluno domine as técnicas apresentadas, obtendo uma base

sólida para tomada de decisão sobre investimentos, considerando todo o ambiente de

incertezas que cerca este tipo de análise.

Aborda-se, inicialmente, a comparação entre os critérios de decisão mais utilizados,

forçando uma revisão do assunto.

Passa-se, então, aos métodos para análise de investimentos em condições de risco e

incerteza. Para enfrentar a incerteza, sempre presente, serão estudados métodos como análise

de sensibilidade e critérios baseados na teoria dos jogos.

Adicionalmente será transmitido o método AHP (Analytic Hierarchy Process) para

análise multicriterial.

Outra técnica apresentada é a Programação Linear, um dos tópicos de Pesquisa

operacional mais utilizados em problemas de otimização. Com aplicação à Engenharia

Econômica, a Programação Linear busca a distribuição eficiente de recursos limitados para

atender determinado objetivo, em geral, maximizar lucros, resultados econômicos e

minimizar custos.

O risco será tratado com a utilização de elementos da estatística. O Valor Esperado e o

risco de VPL’s e TIR’s, a probabilidade de inviabilidade de projetos, a simulação por Monte

Carlo e árvores de decisão serão vistos.

Alguns investimentos podem ser encarados como opções. O curso de Engenharia

Econômica II apresenta a “Teoria de Opções Reais”, uma forma de considerar a flexibilidade

gerencial de exercer, ou não, opções em avaliações de ativos reais com o uso de métodos já

consagrados em opções financeiras.

Finalmente, será abordado o Modelo de Precificação de Ativos (CAPM) que pode

auxiliar no entendimento da inclusão do risco na avaliação de investimentos e na

determinação da taxa de descontos..

Os autores

CAP. 2 – CONSIDERAÇÕES SOBRE OS

CRITÉRIOS DE DECISÃO

1. OS CRITÉRIOS DE DECISÃO Dentre os métodos para avaliar investimentos, que variam desde o “bom senso” até os

mais sofisticados modelos matemáticos, três se destacam por serem exatos e equivalentes,

quando adequadamente utilizados. São eles: Método do Valor Presente Líquido, Método do

Valor Anual e Método da Taxa Interna de Retorno.

1.1 RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

As ferramentas básicas para o auxílio na utilização dos critérios citados acima são os

fatores de equivalência, que transportam quantias no tempo. Tais fatores são demonstrados

com base na Matemática Financeira, utilizando-se do sistema de juros compostos. O quadro 1

apresenta as principais relações de equivalência.

Com base nestas relações pode-se transportar valores para qualquer ponto em um determinado

horizonte de planejamento, permitindo assim as comparações entre alternativas de

investimentos

Forma Mnemônica

Nome do Fator Fator

(F/P, i, n) Fator de Acumulação de Capital de um pagto simples (1+ i)n

(P/F, i, n) Fator de Valor Presente de um pagto simples (1 + i)-n (F/A, i, n) Fator de Acumulação de Capital de uma série uniforme [(1+i)n-1]/i (A/F, i, n) Fator de Formação de Capital de uma série uniforme i /[(1+i)n-1] (P/A, i, n) Fator de Valor Presente de uma série uniforme [(1+i)n-1]/(1+i)n.i (A/P, i, n) Fator de Recuperação de capital (1+i)n.i /[(1+i)n-1] (P/G, i, n) Fator de Valor Presente de uma série gradiente [(1+i)n-1]/i – n

i (1+i)n

Quadro 1 – Fatores de Equivalência

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 2

1.2 EQUAÇÃO GENÉRICA PARA OS CRITÉRIOS DO VALOR PRESENTE LÍQUIDO E DA TAXA INTERNA DE RETORNO VALOR PRESENTE LÍQUIDO – O Valor Presente Líquido de uma proposta de

investimento é a soma algébrica, na data zero, dos saldos dos fluxos de caixa descontados à

Taxa Mínima de Atratividade, conforme mostra a equação 1.

Equação 1:

Se o Valor Presente Líquido for positivo a proposta deve ser aceita, pois sua

rentabilidade cobre a taxa mínima de atratividade i adotada pela empresa.

Considere o seguinte diagrama de fluxo de caixa:

O VPL é dado por:

VPL = -600 –300(1+i)-1 + 400(1+1)-2 + 500(1+1)-3 +800(1+1)-4

O gráfico do VPL versus a taxa de descontos é mostrado na figura 1, com dados da

tabela a seguir:

C0

C1 C2 C3

Cn

∑ =

−+= n

j

j j iC

0 )1( VPL

600

300

400 500 800

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 3

TAXA VPL 0 800

10% 390 20% 103 30% -86,4

Figura 1 – VPL x Taxa

Pode-se observar a influência da taxa na viabilidade de um investimento, pois se neste

caso a TMA fosse de 10% o empreendimento seria viável, mas se a TMA fosse de 30% o

projeto não deveria ser aceito.

TAXA INTERNA DE RETORNO – A Taxa Interna de Retorno é a taxa que torna nulo o

Valor Presente Líquido de um investimento. A vantagem desse método, em relação ao

anterior é expressar os resultados em termos de taxas percentuais, cujo significado é mais

facilmente assimilado do que o valor presente expresso em termos monetários. A despeito da

necessidade de comparação do resultado com uma TMA, o cálculo da TIR independe do

conhecimento desta taxa mínima, o que pode ser considerado também como vantagem em

certas situações.

Considerando o mesmo exemplo utilizado no item anterior, verifica-se que o valor

presente se torna nulo à taxa de 25% ao ano. Esta é a Taxa Interna de Retorno do

investimento.

Normalmente utiliza-se do processo de iteração para a determinação da TIR, o que

torna seu cálculo manual mais trabalhoso, uma desvantagem eliminada pelo uso de

10% 20%

30%

390

800

103

-86,4

25%

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 4

calculadoras financeiras, programas de computadores ou planilhas eletrônicas. Mas problemas

matemáticos, como a possibilidade de encontrar mais de uma taxa que anula o VPL, no caso

de fluxos de caixa com mais que uma inversão de sinal e, ainda, a impossibilidade de calcular

TIR’s em diagramas formados apenas por fluxos negativos, podem inviabilizar seu uso.

No exemplo considerado, a TIR de 25% ao ano tem a seguinte interpretação: o capital

empregado é integralmente recuperado, rendendo uma taxa de juros compostos de 25% ao

ano, ao longo do período considerado.

Só devem ser escolhidos projetos que apresentem taxa interna de retorno superior à

taxa mínima de atratividade da empresa.

Ambos os critérios devem apresentar o mesmo resultado final, apesar de que algumas

vezes tal equivalência não é verificada de imediato, senão vejamos:

Considere dois projetos mutuamente exclusivos e admita que a empresa possua

recursos suficientes para aplicar em qualquer dos dois projetos:

ANOS Projeto A Projeto B 0 -600 -400 1 -300 -200 2 400 300 3 500 400 4 800 500

Observe que o projeto A tem um investimento maior, mas também gera maiores

retornos que o projeto B. Calculando a taxa interna de retorno dos dois projetos, obtém-se:

Projeto A: TIRA = 25% ao ano

Projeto B: TIRB = 28,3% ao ano

Conclui-se que o projeto B é mais rentável que o projeto A. Mas isto não quer dizer

que o projeto B é o melhor para a empresa.

Se a TMA da empresa for de 10% ao ano, o Valor Presente Líquido de cada um dos

projetos é:

Projeto A: VPLA = $ 390,00

Projeto B: VPLB = $ 308,15

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 5

Constata-se que, à taxa de descontos de 10% ao ano, o projeto A tem um VPL maior

que o do projeto B sendo, portanto, o escolhido. Mas os critérios não são equivalentes? Pos

quê então o resultado diferente. O gráfico a seguir permite visualizar o que está ocorrendo:

Figura 2 – VPL versus Taxa

De fato a rentabilidade do Projeto B é maior que a rentabilidade do projeto A.

Entretanto, o critério da TIR considera apenas o capital investido no projeto que, no caso do

projeto B é menor. Este critério não considera o valor da diferença entre os gastos com

investimentos do projeto A em relação ao B.

Ora, se os dois projetos estão sendo analisados é porque existem recursos, ou a

possibilidade de financia-los, para investir em qualquer um dos projetos. Assim, a diferença

entre os investimentos deve também ser considerada. Se a TMA é de 10% ao ano, esta

diferença poderia ser aplicada, ou deixada de ser financiada a esta taxa, e isto não é

considerado pelo critério da TIR. Mas o critério do VPL embute esta consideração, pois

qualquer valor aplicado à TMA gera um VPL igual a zero.

No nosso caso a TMA, de 10%, é menor que a taxa de 18,3%, correspondente ao

ponto em que as curvas se cruzam, fazendo com que ocorra a inversão de preferência pelos

dois métodos. Se a TMA fosse maior, por exemplo, superior à taxa de 18,3%, o projeto

escolhido seria o B, pois a diferença estaria sendo aplicada a taxas compensadoras. E o

critério do VPL mostraria claramente esta afirmativa.

10% 20%

30%

390

800

103

-86,4

25%

600

18,3%

28,3%308,15

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 6

Como devemos então proceder para analisar corretamente através do critério TIR?

Deve-se analisar se vale a pena investir a diferença dos valores na alternativa de maior

investimento. Este processo é chamado de análise incremental, que veremos a seguir:

ANÁLISE INCREMENTAL – Após verificar se as alternativas são atrativas, desenha-se o

diagrama da diferença dos fluxos entre a alternativa de maior investimento e a de menor

investimento (A-B):

A taxa que iguala o VPL do fluxo incremental a zero é 18,3%, ou seja, a taxa interna

de retorno da diferença é de 18,3%. Assim, como esta TIR incremental é maior que a TMA de

10%, pode-se concluir que vale a pena investir na diferença, sendo escolhida a alternativa A.

Se a TIR incremental fosse menor que a TMA, seria mais interessante investir na alternativa

de menor investimento, que no nosso caso seria a B.

Observe que a TIR incremental é exatamente a taxa onde ocorre o cruzamento das

curvas na figura 2. De fato, a TIR incremental é a taxa que iguala o VPL do fluxo das

diferenças a zero, que matematicamente é a mesma taxa que iguala o VPL do projeto A com o

VPL do projeto B. Assim, para a taxa de 18,3%, os VPL’s são iguais.

200 100

100 100 300

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 7

1.3 PROBLEMAS

PROBLEMA 1

Se o diretor da Companhia Catarinense de Tratores viesse lhe solicitar para aconselha-

lo sobre qual dos tornos deveria comprar, a fim de tomar a decisão que maximize a

rentabilidade de sua empresa. Qual seria sua resposta?

São conhecidos os valores da tabela a seguir e o gráfico do VPL em função da taxa.

TORNO A TORNO B Valor da compra $ 10.000,00 $ 10.000,00 Receita do 1º ano $ 2.000,00 $ 10.000,00 Receita do 2º ano $ 4.000,00 $ 3.125,00

Valor residual $ 8.000,00 0 Vida útil 2 anos 2 anos

4000

1548

20%

3125

11 %

25%

i %

VPL

A

B

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 8

PROBLEMA 2

A administração de uma empresa está considerando a possibilidade de automatizar seu

serviço de embalagem. Atualmente os produtos são acondicionados manualmente a um custo

anual de $ 30.000,00. Dois tipos de equipamentos capazes de executar a mesma função de

automatização, gerando a economia do acondicionamento manual, encontram-se disponíveis

no mercado, apresentando as seguintes características:

Discriminação Equipamento A Equipamento B Custo Inicial $ 100.000,00 $ 70.000,00 Custo operacional anual $ 9.500,00 $ 15.000,00 Valor residual Zero Zero Vida Econômica 10 anos 10 anos

Sendo a TMA da empresa igual a 12% ao ano, qual o equipamento deve ser escolhido?

Utilizar o critério da TIR.

PROBLEMA 3

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 9

A Gerência de Marketing de uma firma industrial está analisando duas possibilidades para a

localização de uma central de distribuição para os seus produtos. Cada alternativa exige

diferentes investimentos, devido ao preço do terreno, custo de construção do depósito

necessário. Também são diferentes os valores residuais e reduções anuais nos custos de

distribuição. Admitindo-se um período de utilização igual a 10 anos, foram efetuadas as

seguintes estimativas:

LOCALIZAÇÃ O

INVESTIMENTO NECESSÁRIO

REDUÇÃO ANUAL CUSTOS DISTRIB.

VALOR RESIDUAL

TIR

Gov. Valadares $ 680.000,00 $ 112.000,00 $560.000,00 15,63% Ipatinga $ 880.000,00 $ 160.000,00 $700.000,00 17,28%

Determinar a localização mais interessante economicamente para a central de

distribuição.

PROBLEMA 4

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 10

Numa fábrica de bens de consumo de alta produção está sendo proposta uma alteração no

método de armazenagem dos produtos. Duas alternativas encontram-se em consideração,

sendo que em ambas será exigida a realização de investimentos na compra de sistemas de

transporte e manuseio automatizados.

A primeira alternativa exige um investimento inicial de $ 60.000,00 e são esperadas reduções

de custos da ordem de $ 10.000,00 / ano.

A segunda alternativa proporcionará a eliminação de um número maior de operações manuais

e deverá custar originalmente $ 70.000,00, apresentando reduções de custos de $ 12.000,00

por ano.

A vida estimada para ambas as alternativas é de 8 anos ao final dos quais não haverá valor

residual. O retorno mínimo aceitável pela gerência é de 9% ao ano.

Qual deverá ser a conclusão final do analista encarregado desse estudo, baseado no método da

taxa interna de retorno?

Capítulo 2 – Considerações sobre os critérios ... 2. 11

PROBLEMA 5 (Problema de curso de engenharia econômica I – para revisão dos

métodos de tomada de decisão)

Numa análise realizada em determinada empresa, foram detectados custos operacionais

excessivamente elevados numa linha de produção, em decorrência da utilização de

equipamentos velhos e obsoletos.

Os engenheiros responsáveis pelo problema propuseram à gerência duas soluções alternativas.

A primeira consistindo numa reforma geral da linha, exigindo investimentos estimados em $

10.000, cujo resultado será uma redução anual de custos igual a $ 2.000 durante 10 anos,

após os quais os equipamentos seriam sucatados sem nenhum valor residual. A segunda

proposição foi a aquisição de uma nova linha de produção no valor de $ 35.000 para substituir

os equipamentos existentes, cujo valor líquido de revenda foi estimado a $ 5.000. Esta

alternativa deverá proporcionar ganhos de $ 4.700 por ano, apresentando ainda um valor

residual de $ 10.705 após dez anos.

Sendo a TMA para a empresa igual a 8% ao ano, qual das alternativas deve ser preferida pela

gerência?

CAP. 3 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

EM SITUAÇÕES DE INCERTEZA

1. INTRODUÇÃO

No fluxo de caixa esquemático mostrado na Figura 1, como se sabe na data zero,

normalmente se tem o investimento necessário para o projeto, as demais parcelas são os

resultados da composição de receitas, despesas de manutenção, mão de obra, matéria

prima, energia elétrica, imposto, depreciação, financiamentos, etc... a acontecerem em

cada uma das datas previstas dentro da vida do projeto.

Figura 1 - Fluxo de caixa esquemático de um projeto

Os métodos que permitem avaliar o fluxo de caixa da Figura 1 do ponto de vista

econômico são os métodos: do valor presente (VPL), o método do valor anual (VA) e a

taxa interna de retorno (TIR). Acontece que na maioria das vezes ao analisar estes

fluxos a consideração sobre os diversos dados é determinística. Será que isto ocorre na

realidade? Como se sabe isto não é verdade. Existem variações sobre os diversos

elementos que compõe o fluxo de caixa que precisam ser consideradas para o total

sucesso da escolha da melhor alternativa.

É comum se distinguir duas situações quanto a variação dos dados no fluxo de caixa.

Estas situações são chamadas de análise de risco e análise de incerteza. Na análise de

investimento

0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n

vida do projeto

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 2

risco é possível calcular uma distribuição de probabilidades associada a um resultado do

fluxo de caixa (VPL, VA ou TIR). Com a distribuição probabilística é possível se

calcular as chances do projeto se tornar inviável, fornecendo subsídios para decidir

entre as alternativas que possuem diferentes graus de risco. As técnicas usuais de se

trabalhar com o risco são:

1. Distribuição de probabilidades;

2. Simulação do fluxo de caixa;

3. Árvore de decisão.

Na análise de incerteza não se conhece a distribuição estatística de um fluxo de caixa e

vai se trabalhar com opiniões e sugestões de especialistas que terão de decidir sobre

qual o melhor projeto do ponto de vista econômico. Infelizmente, é esta a situação mais

freqüente e também a qual os analistas estão menos preparados para enfrentar. Como

responder as seguintes perguntas: “Qual será a inflação daqui a três anos?”, “Qual o

valor do KW/h se as companhias de distribuição forem privatizadas?”, “Qual o valor

do petróleo daqui a 5 anos?”..., pode-se notar que situações desta natureza sempre

existem nos projetos. Então, a consideração de incertezas traz com um de seus objetivos

a discussão de como reagir frente a decisões necessárias, em ambientes onde não é

possível se ter valores exatos ou uma distribuição probabilística dos dados. As técnicas

utilizadas para consideração da incerteza são:

1. Análise de sensibilidade;

2. Método de Laplace;

3. Método MAX MIN;

4. Método MAX MAX;

5. Método de Hurwicz;

6. Método de Savage;

7. Técnicas baseadas na teoria sobre Fuzzy Sets.

Os métodos 2, 3, 4, 5 e 6 são baseados na teoria dos jogos, teoria que se consagrou no

ano de 1994, quando o Prêmio Nobel de Economia foi conferido ao americano John F.

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 3

Nash, ao húngaro John Harsanyi e ao alemão Reinhard Selten pelo desenvolvimento

mais rigoroso da teoria dos jogos e sua aplicação em economia. A concepção da teoria

dos jogos em si se deve a John Von Neumann e Oskar Morgenstern que, inspirados em

jogos como os de xadrez e de pôquer, publicaram em 1944 um volume de 640 páginas

de matemática chamado “A Teoria dos jogos e o comportamento econômico”. Von

Neumann foi um dos maiores matemáticos deste século e não recebeu o Nobel com

Morgenstern pelo fato de ambos já se encontrarem falecidos em 1994.

2. A NATUREZA DAS INCERTEZAS

Como mostrado esquematicamente na Figura 2: “O futuro pode revelar surpresas”.

Quanto maior a vida do projeto maior as chances de se ter problemas com estimativas

feitas na época da análise econômica do projeto.

Figura 2 - A incerteza que pode acontecer com os fluxos de caixas

Vários são os fatores que podem contribuir para a incerteza. Alguns destes fatores estão

sintetizados na Figura 3. Como se pode notar alguns fatores, por exemplo, aumento de

impostos, podem afetar a todas empresas e são os chamados sistemáticos. Outros

fatores, como, por exemplo, o aumento de preço de uma matéria prima específica,

atinge empresas em casos isolados e são os não sistemáticos.

investimento

0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n

Aumento das incertezas

Fatores imprevistos

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 4

Econômicos Financeiros Técnicos Outros

• Oferta subdimensionada

• Insuficiência de capital

• Inadequabilidade do processo utilizado

• Fatores políticos

• Demanda superdimensionad a

• Falta de capacidade de pagamento

• Inadequabilidade das matérias primas

• Fatores institucionais

• Dimensionamento incorreto

• Inadequabilidade da tecnologia empregada

• Problema de gerenciamento de projeto

• Alteração dos produtos e subprodutos

• Greve

• Alteração dos preços da matéria prima

• Inflação

• Investimentos imprevistos

Figura 3 - Fatores que levam a incerteza

3. MÉTODOS DE DECISÃO EM CONDIÇÕES DE INCERTEZA Alguns dos conceitos que serão mostrados são problemáticos, mas o conhecimento

destas técnicas pode ser útil em alguns casos.

3.1 ANÁLISE DE SENSIBILIDADE

Técnica bastante prática para se tratar o problema das incertezas. Na verdade é mais um

enfoque que uma técnica. Consiste em medir o efeito produzido na rentabilidade do

investimento, ao se variar os dados de entrada. Deve-se variar cada parâmetro de uma

vez estabelecendo o valor mais provável, o limite inferior e superior da variação. Para

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 5

cada valor calcula-se VPL, VA ou TIR e com isto pode-se ter uma idéia da

sensibilidade do parâmetro em questão.

A análise de sensibilidade é baseada no conceito de elasticidade. Supondo o fluxo de

caixa da Figura 4, onde I é o investimento inicial, C os custos envolvidos, R a receita

prevista, L o valor residual e n a vida útil do projeto.

Figura 4

R é o resultado da venda de X unidades de um produto pelo preço P. C é o custo

composto de duas parcelas, o custo fixo CF e o custo variável CV referente a utilização

de 2 matérias primas, mp1 e mp2. A expressão que permite calcular o custo é a

seguinte:

C = CF + CV = CF + (µ1 P1 + µ2P2) X

Nesta expressão µ1 e µ2 representam a razão com que as duas matérias primas mp1 e

mp2 são utilizadas por unidade de produto. São também chamados de coeficientes

técnicos. P1 e P2 são os preços das duas matérias primas.

O valor presente do fluxo de caixa mostrado na Figura 4 pode ser representado pela

seguinte expressão:

VPL = - I + {PX - [CF + ( µ1 P1 + µ2P2) X]}(P/A, i%, n) + L / (1 + i) n

Trabalhando a expressão, ela pode ser reescrita da seguinte forma:

VPL = - I + [(P - µ1 P1 - µ2P2) X - CF] (P/A, i%, n) + L / (1 + i) n

Ao se variar X na expressão acima se chega no gráfico da Figura 5, onde se nota

perfeitamente o valor mínimo a ser vendido do produto para que VPL possa ser maior

que zero. O ponto de cruzamento da curva com a abscissa é chamado de ponto de

nivelamento.

I

0 1 2 3 4 n-3 n-2 n-1 n

R

C

R + L

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 6

Figura 5 - Ponto de nivelamento

Pela análise da Figura 5 nota-se que quantidades de X abaixo de X0 faz o projeto ser

inviável. O ponto de nivelamento pode ser alterado para qualquer variável do fluxo de

caixa (I, P, P1, P2, i,...) e com isto pode-se estudar a viabilidade para as diversas

alterações, além de se descobrir quais são os parâmetros mais sensíveis, que fazem o

projeto se inviabilizar mais facilmente. Sobre estes parâmetros é que se devem

estabelecer controles mais rígido. É a maneira mais simples de se analisar a incerteza, e

consiste no primeiro passo para a análise de risco, pois se toma conhecimento dos

parâmetros mais sensíveis que necessitam de um estudo mais aprofundado.

3.1.1 EXEMPLO 1

Uma empresa do setor de garrafas térmica esta pensando em lançar uma nova garrafa

para manter líquidos gelados. O investimento necessário é de US$ 100.000,00. A

previsão de vendas é de 10 mil garrafas por mês a um preço de US$ 10,00 por garrafa.

Os custos fixos serão de US$ 20.000,00 por mês e os custos variáveis de US$ 4,00 por

garrafa. Ao final de três meses a empresa venderá a linha por US$ 30.000,00. Analise a

TIR sob a previsão de vendas e sob a possibilidade de erros nesta previsão. A TMA da

empresa é de 10% ao mês.

SOLUÇÃO:

a) Sob a previsão de vendas original:

X quantidade vendida 0 X0

VPL(x)

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 7

Investimento = 100.000

Receita mensal = 10.000 x 10 = US$ 100.000,00 / mês

Custos variáveis = 10.000 x 4 = US$ 40.000,00 / mês

Custos fixos = US$ 20.000,00

Valor residual = US$ 30.000,00

TIR = 20,94 % ao mês

Pela TIR para esta situação pode-se concluir que o projeto é viável.

b) Vejamos o que pode acontecer se a previsão de vendas não for atendida. Imaginando

variações negativas de 10%, 20% e 30%. Os resultados dos três casos são sintetizados a

seguir:

- 10% nas vendas - 20% nas vendas - 30% nas vendas

Receita mensal =

9.000 x 10 = 90.000

Receita mensal =

8.000 x 10 = 80.000

Receita mensal =

7.000 x 10 = 70.000

Fluxo de caixa

100.000

40.000 30.000 + 40.000

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 8

Custos variáveis =

9.000 x 4 = 36.000

Custos variáveis =

8.000 x 4 = 32.000

Custos variáveis =

7.000 x 4 = 28.000

Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram Custos fixos: não se alteram

Fluxo de caixa:

Fluxo de caixa: Fluxo de caixa:

TIR: 13,56 % TIR: 6,02 % TIR: -1.75%

Com as hipóteses de erros na previsão de vendas, pode-se elaborar a seguinte curva:

TIR X Volume de vendas

-5

0

5

10

15

20

25

10000 9000 8000 7000

Volume de vendas

TI R TMA

Ponto de equilibrio

8500

Pelo gráfico é possível visualizar a situação da rentabilidade do projeto em função do

volume de vendas realizadas pela empresa. É necessário que pelo menos 8500 garrafas

sejam vendidas para que o projeto não de prejuízo.

100

34 64

100

28 58

100

22 52

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 9

3.1.2 EXEMPLO 2

Considere o fluxo de caixa da Figura 4 e os seguintes parâmetros:

I = 100 P1 = 2 i = 10 % a.a.

L = 15 µ1 = 0.5 n = 5 anos

X = 20 P2 = 3 CF = 10

P = 9 µ2 = 2

Analise a sensibilidade do fluxo de caixa e calcule os pontos de nivelamento para X e I.

SOLUÇÃO:

I L X P P1 µ1 P2 µ2 CF i n

Valor esperado

Situação

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 10

pessimista

∆VP

VPL

Situação

Tabela de análise de sensibilidade (variações de 10%, exceto para n).

3.1.3 Estudo de caso

ASSUNTO: Sensibilidade – Exemplo extra

Uma empresa está considerando a possibilidade de realizar um novo gasoduto. A

instalação deste novo gasoduto requererá um gasto de US$2.000.000.000,00 em

investimento fixo.

Estima-se uma vida econômica, para o projeto, de 20 anos. A empresa espera contar

com um volume de gás para comercializar de 16 milhões de m3/dia, pagando por este

gás um preço de US$0,90 por Milhão de btu. A empresa espera comercializar este gás a

um valor de US$2,70 por Milhão de btu. O poder calorífico do gás é de 36785,43

(btu/m3).

A empresa que terá um custo de operação de US$13.000.000,00 e um custo de

manutenção de US$32.000.000,00 por ano, de acordo com previsões de especialistas.

O valor dos equipamentos após os 20 anos é estimado que tenham um valor de

US$200.000.000,00.

A empresa tem um custo de capital de 15% ao ano.

Considerando o ano com 365 dias, responder as seguintes questões:

1. Verificar a atratividade do projeto.

2. Analisar a sensibilidade do projeto para uma variação negativa de 15% no

volume de vendas de gás.

3. Calcular o preço de venda mínimo do gás.

4. Verificar a sensibilidade do projeto para um acréscimo de 20% no valor do

investimento fixo.

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 11

3.2 MÉTODOS BASEADOS NA TEORIA DOS

JOGOS

Antes de descrever os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e

Savage, são necessárias algumas considerações. Primeiramente uma definição

importante é sobre o chamado “Estado da natureza”, que é um conjunto de situações

possíveis de ocorrer e sobre as quais não se tem a princípio controle, mas que afetarão o

resultado do projeto. Como exemplo, pode-se citar:

1. Entrada ou não de um novo concorrente no mercado;

2. Aumento desproporcional de um produto;

3. Aumento da inflação, etc...

O problema consistirá em selecionar a alternativa ótima, segundo certos critérios, sem

se conhecer qual o estado da natureza que se verificará no futuro. Para a decisão

representam-se as diversas alternativas e estados da natureza em forma de matriz, como

ilustrado na Figura 6. Rij representa VPL, VA ou TIR da alternativa Ai se a natureza

assumir o estado Ej no futuro. Uma outra consideração importante é que tanto as

alternativas como os estados da natureza são mutuamente exclusivos.

Estado da natureza / eventos

Alternativas / ações

E1 E2 .... En

A1 R11 R12 .... R1n

A2 R21 R22 .... R2n

: : : :

Am Rm1 Rm2 .... Rmn

Figura 6 - Matriz de resultados

Antes de se aplicar qualquer dos métodos deve-se verificar se existem alternativas

dominadas. As alternativas dominadas podem ser eliminadas da análise facilitando os

cálculos. A relação de dominância é dada para a seguinte situação:

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 12

Rik Rjk

Um exemplo de dominância pode ser entendido pelo exemplo seguinte. Uma empresa

esta escolhendo um veículo de comunicação para empreender sua propaganda. Através

de um estudo chegou-se ao número de consumidores que veriam a propaganda em

função do tempo, estes dados estão na Figura 7.

Tempo

Veículo de divulgação

Ruim Moderado Bom Excelente

TV 200 190 170 130

Jornal 180 160 150 130

Outdoors 110 140 140 190

Figura 7 - Número de consumidores que vem a propaganda (em milhares)

Pela análise da Figura 7 pode-se ver que alternativa Jornal é dominada pela TV. Em

nenhuma situação de tempo, a alternativa Jornal será melhor que a TV, por isto pode

ser retirada da análise.

3.2.1 MÉTODO DE LAPLACE

Também conhecido como “princípio da razão insuficiente”. O método se baseia na

consideração que se não se sabe a probabilidade de ocorrência dos eventos, elas devem

ser consideradas iguais. Para entender os métodos vamos estudá-los através de um

mesmo exemplo. A1, A2, A3 e A4 são alternativas que dependem do comportamento da

inflação. A inflação poderá ter três cenários para o futuro, sendo eles:

• E1 = a inflação aumenta no próximo ano;

• E2 = a inflação se manterá no mesmo nível;

• E3 = a inflação cairá.

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 13

Após os cálculos chegou-se a seguinte matriz:

Estado da natureza / eventos

Alternativas / ações

E1 E2 E3

A1 106 60 20

A2 60 100 30

A3 20 40 80

A4 90 50 15

EXEMPLO

Escolher a melhor alternativa para a matriz de resultados anterior pelo método de

Laplace.

SOLUÇÃO:

3.2.2 MÉTODO MAX MIN

Este método é pessimista ao extremo. Baseia-se na escolha do pior caso para cada

alternativa. Em seguida escolhe-se a alternativa “menos pior”. Representa a pior

condição possível para o projeto. Consiste assim em um critério de extrema segurança.

Este é o problema do método, o extremo conservadorismo.

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 14

EXEMPLO

Decidir para a mesma situação do problema anterior através do método MAX MIN.

SOLUÇÃO:

3.2.3 MÉTODO MAX MAX

Ao contrário do método anterior, este é otimista ao extremo. Baseia-se na hipótese que

o “estado da natureza” será o mais favorável ao projeto.

EXEMPLO

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 15

Aplicar o método MAX MAX para o caso.

SOLUÇÃO:

3.2.4 MÉTODO DE HURWICZ

Os métodos anteriores baseiam-se em situações extremas. O primeiro é muito

pessimista e o segundo muito otimista. O método de Hurwicz combina linearmente

estes dois métodos, utilizando um índice de pessimismo relativo α, tal que:

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 16

0 ≤ α ≤ 1

Assim, para cada alternativa Ai obtém-se o melhor resultado Mi e o pior resultado mi.

Pode-se associar a cada Ai um valor H(Ai) dado por:

H(Ai) = α mi + (1- α) Mi

A desvantagem do método e a de que o decisor tem de tomar uma posição quanto ao

valor de α.

EXEMPLO

Aplicar o método de Hurwicz ao problema em discussão.

SOLUÇÃO:

3.2.5 Método de savage

Este método também conhecido como “min max - regret”. Busca minimizar um

possível arrependimento. Baseia-se em determinar os desapontamentos das alternativas

para cada evento, obtendo a matriz de desapontamento. Este procedimento é

representado da seguinte forma:

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 17

Mrj = Rij - Rrj

onde, Rij é o valor máximo para cada evento Ei. A escolha será sobre a alternativa que

minimiza o “desapontamento”.

EXEMPLO

Aplicar o método de Savage ao exemplo.

SOLUÇÃO:

3.2.6 EXEMPLO 01

Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte

caso:

Estado da natureza / eventos

Alternativas / ações

E1 E2 E3 E4

A1 18 11 11 10

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 18

A2 16 16 16 16

A3 17 20 8 17

A4 9 10 17 16

A5 10 13 17 18

SOLUÇÃO:

3.2.7 EXEMPLO 02

Aplicar os métodos de Laplace, MAX MIN, MAX MAX, Hurwicz e Savage ao seguinte

caso:

Alternativas / ações

E1 E2 E3 E4 E5 E6

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 19

A1 39 29 -2 3 10 9

A2 28 32 10 28 -8 10

A3 10 26 42 16 -6 16

A4 27 9 30 12 16 16

A5 15 -3 20 38 15 20

SOLUÇÃO:

3.2.8 Estudo de Caso

Assunto: Teoria dos Jogos

Capítulo 3 - Análise de Investimentos em Situação de Incerteza 3. 20

Uma empresa de gás deseja iniciar imediatamente investimentos em novas redes de

distribuição. Entretanto, existem dúvidas sobre qual a política que será adotada nos

próximos anos, para o setor. Sabe-se que o atendimento a demanda projetada de gás na

área de atuação da empresa, pode ser atendida com três opções diferentes de origens do

gás.

Mas, estas opções são incertas, pois a opção a ser escolhida dependerá de discussões e

política futura. Existem quatro alternativas de se iniciar o investimento, e cada uma tem

um resultado econômico distinto em função da origem do gás.

Os resultados previstos pelos analistas econômicos da empresa encontram-se na tabela a

seguir. Utilizando os conceitos da teoria dos jogos, utilizar os diversos métodos para se

ter um cenário para a discussão e decisão de qual alternativa de investimento deveria ser

escolhida pela empresa.

Cenários possíveis

(resultados em VPL)

Origem do gás GASBOL Bacia de Santos Argentina

Opções de

investimento

Alternativa 1 1200 1000 -200

Alternativa 2 -100 1500 800

Alternativa 3 -300 1000 1700

Alternativa 4 1100 900 -250

CAP. 4 – MÉTODO DE ANÁLISE

HIERÁRQUICA

1. TÉCNICA BASEADA NA TEORIA

SOBRE FUZZY SETS

Será mostrada aqui a utilização de um método, o AHP “Analytical Hierarchy Process

proposto por SAATY. O método se insere dentro dos objetivos de Fuzzy sets que lidar

com a opinião do ser humano. O método será apresentado através de exemplos.

Inicialmente é mostrada uma forma de quantificar opinião de especialistas. Fato sempre

necessário em decisões de investimento, mas muito difícil de se fazer. Esta etapa é

importante para árvores de decisão onde os pesos são atribuídos de uma forma muito

subjetiva. O AHP consiste então num caminho para esta arbitrariedade. Em seguida é

mostrada uma aplicação do método para decisão entre alternativas, empatadas quando

analisadas por VPL, VA ou TIR, mas onde benefícios intangíveis, como por exemplo,

status junto ao cliente ou percepção de risco, poderá ser analisado.

1.1 O CÁLCULO DO AUTO VETOR E

AUTOVALOR

Para a primeira etapa, o exemplo a ser mostrado é o caso de se estimar a distância entre

a cidade da Filadélfia e outras seis cidades, através da opinião de um especialista, que

para o caso é um viajante com grande quantidade de viagens aéreas entre as cidades.

Vai se trabalhar com a sua opinião de sua percepção de quanto tempo passa em avião,

quando se desloca de uma cidade para outra. As cidades analisadas estão mostradas na

Figura 1.

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 2

O AHP através de um exemplo (estimando distância entre 6 cidades e a Filadélfia)

• Cairo; • Tóquio; • Chicago; • São Francisco; • Londres; • Montreal.

Figura 1 - Cidades a serem analisadas pelo AHP

Saaty propõe o uso dos números racionais tirados de um conjunto finito, para montar

uma matriz que será a base dos cálculos. A tabela sugerida por Saaty é mostrada na

Figura 2.

Intensidade de importância

Definição Explicação

1 Igual importância Duas atividades contribuem igualmente para o objetivo

3 Fraca importância de uma sobre a outra

Experiência e julgamento favorecem ligeiramente uma atividade e relação a

outra

5 Essencial ou forte importância Experiência e julgamento favorecem fortemente uma atividade em relação a

outra

7 Importância demonstrada Uma atividade é fortemente favorecida e sua dominância é demonstrada na

prática

9 Absoluta importância A evidência favorecendo uma atividade sobre a outra é a mais alta ordem de

afirmação

2, 4, 6, 8 Valores intermediários entre dois julgamentos sucessivos

Quando se deseja um maior compromisso

Recíprocos dos valores acima

Se uma atividade i tem um dos valores não zero acima quando

comparado com a atividade j , então j tem um valor recíproco quando

comparado com i.

Racionais Razões surgidas da escala Se a consistência foi forçada para obtenção de n valores numéricos para

cobrir a matriz

Figura 2 - Tabela de Saaty

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 3

Com base nesta Tabela o especialista monta uma matriz, comparando as cidades 2 a 2, e

respondendo a seguinte pergunta: “qual a intensidade que a cidade i é mais distante que

a cidade j da Filadélfia?”. Com isto, chega-se a seguinte matriz:

Cairo Tokyo Chicago São Francisco

Londres Montreal

Cairo

Tokyo

Chicago

São Francisco

Londres

Montreal

Utilizando a seguinte fórmula Vi aij n

j

n = = ∏( ) /1

1 , estima-se o autovetor da matriz, que é

calculado como mostrado a seguir:

V1 =

V2 =

V3 =

V4 =

V5 =

V6 =

Em seguida este autovetor deve ser normalizado para que a cidade mais distante receba

valor 1 (máximo) em relação as outras cidades. Este calculo é mostrado a seguir:

Cidade Vi Vetor normalizado

Cairo

Tokyo

Chicago

São Francisco

Londres

Montreal

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 4

O autovetor também deve ser normalizado para que o somatório de seus elementos seja

igual a um. Isto é feito da seguinte maneira:

T = / / / / / /

O resultado é:

T =

Para testar a consistência da resposta, o que indica que os dados estão logicamente

relacionados, é necessário se estimar o autovalor. A estimativa é feita pela seguinte

relação: λmax = T.w. O elemento w é calculado pelo somatório da colunas da matriz

montada pelo especialista, que será:

w

Coluna 1

Coluna 2

Coluna 3

Coluna 4

Coluna 5

Coluna 6

Agora se pode estimar λmax:

[ ]λ max =

⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢ ⎢

⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥ ⎥

=

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 5

Pode-se agora estimar um índice que indicará a consistência da resposta.

Primeiramente, calcula-se CI baseado na seguinte expressão, onde n é o número de

cidades:

IC ( max n)

(n 1) =

− −

= λ

CR é calculado com base na relação RC IC CA = , onde CA é um índice randômico

retirado da seguinte tabela:

n 1 2 3 4 5 6 7 8 9

CA

aleatória

0

0

0.58

0.9

1.12

1.24

1.32

1.41

1.45

Se o índice RC for menor que 0.10, a resposta é baseada numa entrada de dados

coerentes. Para o caso que esta sendo analisado:

RC =

Para se ter uma idéia do julgamento feito, analisemos a seguinte tabela:

Cidade Distância da

Filadélfia (milhas)

Distância

normalizada

autovetor

Cairo

Tokyo

Chicago

São Francisco

Londres

Montreal

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 6

Como se pode notar o método apresentado propicia uma maneira de quantificar opinião

de especialistas.

1.2 A CONSIDERAÇÃO DE INTANGÍVEIS EM

ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

Este método pode ser usado agora para decisão de forma a que benefícios intangíveis

possam ser considerados na análise da melhor alternativa. Vamos imaginar que três

projetos, X, Y e Z estejam próximos do ponto de vista de rentabilidade. Foram

relacionadas algumas características que podem ajudar na decisão, mas que são difíceis

de quantificar, são elas:

Idoneidade do fornecedor principal A

Benefício político interno B

Status junto ao cliente C

Percepção do risco D

Inovação tecnológica E

Segurança

Ergonomia

Risco ambiental

Problemas de mão de obra F

Resistência à mudança

Foram escolhidas as características mais significativas para as alternativas, sendo que

elas foram identificadas de A a F na tabela acima. Como primeiro passo é realizado

uma comparação entre as características, com relação à importância relativa a cada uma

para a escolha da melhor alternativa. Esta comparação gera uma matriz cujas entradas

são baseadas na tabela de Saaty, mostrada anteriormente. A matriz é:

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 7

A B C D E F

A

B

C

D

E

F

Desta matriz é calculado o seu autovetor, autovalor e o índice RC, conforme mostrado

anteriormente, sendo eles:

Autovetor

Autovalor

CR

Deve-se agora comparar as três alternativas de investimento com respeito às seis

características, isto é feito em seguida:

A B

X Y Z X Y Z

X X

Y Y

Z Z

autovetor autovetor

λmax λmax

C D

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 8

X Y Z X Y Z

X X

Y Y

Z Z

autovetor autovetor

λmax λmax

E F

X Y Z X Y Z

X X

Y Y

Z Z

autovetor autovetor

λmax λmax

Para a obtenção do rank das alternativas, multiplica-se a matriz de autovetores relativo

as alternativas e o que representa a importância das características na análise. Isto é

feito a seguir:

=

A B C D E F

X

Y

Z

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 9

X =

Y =

Z =

Com esta resposta pode-se optar pela melhor alternativa segundo a opinião das pessoas

entendidas e envolvidas com a decisão. Com isto se tem uma ferramenta sistematizada e

metodológica para tratar com benefícios intangíveis. A figura abaixo mostra que o

relacionamento entre os diversos elementos desta análise, ficando clara a dificuldade em

optar por um projeto sem um mecanismo metodológico.

A B C D E F

X Y Z

Benefícios intangíveis do projeto

Capítulo 4 – Método de Análise Hierárquica 4. 10

1.3 ESTUDO DE CASO

Assunto: AHP Um grupo de investidores está avaliando alternativas para iniciar um novo projeto em geração de energia

elétrica. Na reunião que aconteceu foram pensadas as seguintes alternativas:

1. Termoelétrica a gás;

2. Hidrelétrica;

3. Usina nuclear.

Houve um consenso que os critérios que deveriam fazer parte da escolha fossem os seguintes:

1. Taxa interna de retorno;

2. Prazo de conclusão da obra;

3. Riscos ambientais;

4. Confiabilidade no fornecimento de energia.

Para o critério 1, se a diferença for de até 2% ao ano, entre duas alternativas quaisquer, ambas são

consideradas iguais e, acima de 6% ao ano, a melhor TIR tem importância muito grande. Se a diferença

entre as taxas for intermediária, a preferência é proporcional.

Para o critério 2, uma diferença entre alternativas de um ano, considera-se que as alternativas estejam

empatadas. Uma diferença de 4 anos à importância absoluta é para a de menor prazo de construção.

Para o critério 3, um projeto considerado de baixo risco ambiental é o de importância absoluta. O de alto

risco é considerado de pouco preferência. Outras designações a preferência é proporcional.

Para o critério 4, uma alternativa com confiabilidade acima de 95% é de importância grande. Entre 95% e

85% considera-se alternativas equivalentes. Abaixo de 85% a preferência é mínima.

Entre os critérios a serem considerados, os investidores consideram que a TIR e a confiança no

fornecimento de energia estão no mesmo nível de importância. Os critérios problemas ambientais e

prazo de conclusão da obra são de mesmo nível de importância, entretanto TIR e confiança no

fornecimento de energia têm importância muito grande sobre estes dois.

A tabela a seguir com informações sobre as alternativas foi montada para os investidores.

Critérios TIR Prazo de conclusão da obra

Riscos ambientais Confiabilidade

Alternativas

Termoelétrica 20% 2 anos Baixo 94%

Hidrelétrica 29% 7 anos Médio 99%

Nuclear 22% 3 anos Alto 85%

Ajudar aos investidores estabelecer a ordem de prioridades entre as alternativas.

CAP. 5 - INTRODUÇÃO A PROGRAMAÇÃO

LINEAR

1. GENERALIDADES Sem dúvida nenhuma a Programação Linear é uma das técnicas da Pesquisa Operacional das

mais utilizadas em se tratando de problemas de otimização.

Os problemas de Programação Linear (PL) buscam a distribuição eficiente de recursos

limitados para atender um determinado objetivo, em geral, maximizar lucros ou minimizar

custos. Em se tratando de PL, esse objetivo é expresso através de uma função linear,

denominada de "Função Objetivo".

É necessário também que se defina quais as atividades que consomem recursos e em que

proporções os mesmos são consumidos. Essas informações são apresentadas em forma de

equações as inequações lineares, uma para cada recurso. Ao conjunto dessas equações e/ou

inequações, denomina-se "Restrições do Modelo".

Normalmente se tem inúmeras maneiras de distribuir os recursos escassos entre as diversas

atividades em estudo, bastando para com isso que essas distribuições estejam coerentes com

as restrições do modelo. No entanto, o que se busca, num problema PL é a função objetivo,

isto é, a maximização do lucro ou a minimização dos custos. A essa solução dá-se o nome de

solução ótima.

Assim, a Programação linear se incube de achar a solução ótima de um problema, uma vez

definida o modelo linear, ou seja, a função objetivo e as restrições lineares.

2. PROBLEMAS DE PROGRAMAÇÃO LINEAR Como foi dito anteriormente, está-se diante de um problema de PL quando os problemas

práticos que se pretende resolver pode ser escrito de forma de maximização (ou minimização)

de uma função objetivo linear, sujeita a um conjunto de restrições que podem ser expressos

sob a forma de inequações ou equações lineares.

Exemplos de problemas que podem ser resolvidos por programação linear:

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 2 a) Um fabricante está iniciando a última semana de produção de quatro diferentes modelos de

consoles em madeira para aparelhos de televisão, designados respectivamente, I, II, III e IV.

Cada um deles deve ser montado e em seguida decorado. Os modelos necessitam,

respectivamente de 4, 5, 3 e 5 horas para montagem e de 2, 1, 5, 3 e 3 horas para decoração.

Os lucros sobre as vendas dos modelos são respectivamente 7, 7, 6 e 9 reais. O fabricante

dispõe de 30.000 horas para a montagem destes produtos (750 montadores trabalhando 40

horas por semana) e de 20.000 horas para decoração (500 decoradores trabalhando 40 horas

por semana). Quanto de cada um dos modelos deve ser produzido durante esta última semana

a fim de maximizar o lucro? Admita que todas as unidades possam ser vendidas.

b) Seja o caso de um investidor que, dispondo de $6000 esteja contemplando a possibilidade

de compra de dois seguintes tipos de ações:

• Tipo 1 - preço unitário de compra de $ 5,00 e rentabilidade anual esperada de 30%.

• Tipo 2 - preço unitário de compra de $ 3,00 e rentabilidade anual estimada em 35%.

Supondo que o investidor não deseje adquirir mais do que 1750 ações, e que seu corretor só

possa conseguir 1000 ações do tipo 1 e 1500 ações do tipo 2, que quantidades deve comprar

de cada tipo de ação, na hipótese de que seja seu objetivo maximizar o total de capital no fim

de um ano?

c) Uma empresa esta analisando um conjunto de alternativas de projetos de investimentos

disponíveis e apresentados na tabela seguir.

Projeto Investimento no ano 1

Investimento no ano 2

Vida útil Economia anual nos próximos 3 anos

1 12 3 5 anos 9.29 2 54 7 5 anos 26.85 3 6 6 5 anos 9.88 4 6 2 5 anos 7.92 5 30 35 5 anos 35.33 6 6 6 5 anos 8.14 7 48 4 5 anos 22.78 8 36 3 5 anos 16.91 9 18 2 5 anos 11.04

O orçamento para investimento é de 50 para o primeiro ano e 20 para o segundo. Sabendo-se

que a TMA da empresa é de 10% a.a., qual a combinação ótima desses projetos.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 3 3. OBTENDO FUNÇÃO OBJETIVO E AS RESTRIÇÕES Antes de discutir as técnicas possíveis para obtenção de resultados, através de um problema

será discutido como obter a função objetivo e as restrições.

Exemplo para discutir a obtenção da função objetivo e as restrições: Giapetto fabrica dois tipos de brinquedos de madeira: soldados e trens. Um soldado é vendido

por $27 e usa $10 de matéria prima. Cada soldado que é fabricado tem um custo adicional de

$14 relativo a mão de obra. Um trem é vendido por $21 e gasta $9 de matéria prima. O custo

de mão de obra adicional para cada trem é de $10. A fabricação destes brinquedos requer dois

tipos de mão de obra: carpintaria e acabamento. Um soldado necessita de 2 horas para

acabamento e 1 de carpintaria. Um trem necessita de 1 hora para acabamento e 1 hora de

carpintaria. Cada semana, Giapetto pode obter qualquer quantidade de matéria prima, mas

tem a disposição até 100 horas de acabamento e 80 de carpintaria. A demanda por trens é

ilimitada, mas a venda de soldados é de no máximo 40 por semana. Giapetto quer maximizar

seu lucro diário (receitas-custos). Formular o modelo matemático que poderá ser usado por

Giapetto para maximizar seu lucro semanal.

Solução:

Sabendo que a matéria prima necessária é obtida sem problemas,

Giapetto tem como objetivo maximizar o lucro semanal (receitas -

custos). Vamos então formular

matematicamente a situação de Giapetto com o objetivo de maximizar

o lucro semanal.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 4

Primeiro ponto importante: Variáveis de decisão

Em qualquer modelo de PL, as variáveis de decisão devem descrever

completamente as decisões a serem feitas.

Caso de Giapetto: quantos soldados e trens devem ser feitos na semana.

Variáveis de decisão

• X1 = número de soldados produzidos cada semana;

• X2 = número de trens produzidos a cada semana.

Segundo ponto importante: Função objetivo

Em qualquer modelo de PL, o decisor quer maximizar ou minimizar alguma

função das variáveis de decisão. Caso de Giapetto: custos fixos (aluguel,

seguro) não depende dos valores de X1 e X2, assim ele pode se concentrar em

maximizar a venda da semana.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 5

Receitas e custos: podem ser expressos em termos das variáveis X1 e X2. Seria tolice

Giapetto produzir mais soldados que ele possa vender, assim assumimos que todos

brinquedos produzidos podem ser vendidos. Assim:

Receita da semana = receita dos soldados + receita dos trens

Receita da semana = $/soldado * soldado/semana + $/trem * trem/semana

Receita por semana = 27*X1 + 21*X2

Também podemos escrever:

• Custos de M.P. = 10*X1 + 9*X2 • Custos de M.O. = 14*X1 + 10*X2

Então Giapetto quer maximizar: (27X1 + 21X2) - (10X1 + 9X2) - (14X1 + 10 X2) = 3X1 + 2X2

Assim o objetivo de Giapetto é escolher X1 e X2 para maximizar 3X1 + 2X2

Objetivo: maximizar Z = 3X1 + 2X2

ou max Z = 3X1 + 2X2

Variável usualmente

utilizada

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 6

Terceiro ponto importante: restrições

Se X1 e X2 aumentam, a função objetivo de Giapetto será sempre maior. Mas infelizmente X1

e X2 são limitados pelas seguintes restrições: • 1 - cada semana, não mais que 100 horas de

acabamento; • 2 - cada semana, não mais de 80 horas de

carpintaria; • 3 - limitação de demanda, não mais de 40

soldados por semana.

M.P. ilimitada, portanto não há restrições. Como, próximo

passo, é necessário expressar as restrições 1, 2 e 3, em termo das

variáveis de decisão: X1 eX2.

Restrição 1: não mais de 100 h de acabamento

Total de h de acab./semana = horas de aca./sold. * sold. feitos/semana + horas de acab./trem * trens feitos/semana

Total de h de acab./semana = 2*X1 + 1*X2

Restrição 1 - 2X1 + X2 <= 100

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 7

Restrição 2: não mais de 80 h de carpintaria

Total de h de carp./semana = horas de carp./sold. * sold. feitos/semana + horas de carp./trem * trens feitos/semana

Total de h de carp./semana = 1*X1 + 1*X2

Restrição 2 - 1X1 + X2 <= 80

Restrição 3: venda máxima de soldados: 40

Restrição 3 - X1 <= 40

Restrições:

• 1 - 2X1 + X2 <= 100 • 2 - X1 + X2 <= 80 • 3 - X1 <= 40

Restrições para o problema de PL

de Giapetto

Usualmente representam a quantidade de

recursos disponíveis.

Coeficientes tecnológicos:

refletem a quantia usada para

diferentes produtos.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 8

Quarto ponto importante: Restrições adicionais

Para completar a formulação do problema: • X1 >= 0 • X2 >= 0

Resumindo

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a:

• 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)

Significa que X1 e X2

precisam satisfazer todas as restrições P.L. - todos os

termos X são de expoente 1 e as restrições são

inequações lineares

O problema de Giapetto é tipico de muitos outros,

onde precisa-se maximizar lucros sujeitos a recursos

limitados

4. SOLUÇÃO DE UM PROBLEMA DE P.L. - MÉTODO GRÁFICO Um problema de P.L. só pode ser resolvido graficamente desde que o modelo, em estudo,

apresentar duas variáveis.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 9

O fato de que a função objetivo para um PL precisar ser uma função linear de variáveis tem

2 implicações: • 1 - A contribuição para a função objetivo

de cada variável de decisão é proporcinal ao valor da variável de decisão;

• 2 - A contribuição para a função objetivo para cada variável é independente dos valores de outras variáveis de decisão.

Definição: região de solução - para um problema de PL é

o conjunto de todos os pontos que satisfazem todas as restrições do problema.

Restrições: • 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*40+20<=100 • X1 + X2 <= 80 (3), ok 40+20<=80 • X1<= 40 (4), ok 40<=40 • X1 >= 0 (5), ok 40>=0 • X2 >= 0 (6), ok 20>=0

Giapetto: X1 = 40 X2 = 20 região de solução

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 10

Giapetto: X1 = 15 X2 = 70 não é região de solução

Restrições: • 2X1 + X2 <= 100 (2), ok 2*15+70<=100 • X1 + X2 <= 80 (3), não ok 15+70> 80 • X1<= 40 (4), ok 15<=40 • X1 >= 0 (5), ok 15>=0 • X2 >= 0 (6), ok 70>=0

região de solução

Pontos que atendem e onde será procurada a solução ótima

Solução ótima

Ponto da região de solução, que leva ao maior valor da função objetivo.

• A maioria dos problemas de PL, tem somente uma solução ótima;

• Alguns não tem solução ótima; • Alguns tem infinitas soluções.

Para o problema de Giapetto, solução ótima: X1=20 e X2 = 60

Z = 3*20 +2*60 = 180 lucro = 180 - 100 = 80/semana

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 11

Solução gráfica para o problema de 2 variáveis

Um PL com 2 variáveis pode ser resolvido

graficamente. Nós sempre nomeamos as variáveis X1

e X2 e os eixos coordenados por X1 e X2.

Se nós queremos delimitar em um gráfico o conjunto de

pontos que satisfaça a:

2X1+3X2 <= 6 (1)

3X2 <= 6 - 2X1

X2<=1/3*(6 - 2X1) = 2 - 2/3X1 (2)

O conjunto de pontos que satisfaz (1) e (2) cai sobre a reta ou abaixo dela

X2

X11

2

3

4

5

6

1 2 3 4 5 6

X2 = 2 - 2/3X1

Região onde: 2X1+3X2<=6

Região onde: 2X1+3X2>=6

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 12 A solução gráfica para o problema de Giapetto é a seguinte:

Encontrando a região de solução do problema de Giapetto:

• 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)

Para um ponto (X1, X2)

pertencer a região de solução é preciso satisfazer todas

estas inequações.

(5) e (6) indicam o primeiro quadrante

X2

X120

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

(2)

(3)

(4)

A

B

C

D

E

F

G

H

Poligono DGFEH - região de solução

Encontrando a solução ótima

Após a identificação da região de solução, nós devemos procurar a

solução ótima, que será o ponto da região que levar ao maior valor de

Z = 3X1+2X2

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 13

Para encontrar a solução ótima, nós precisamos desenhar uma linha sobra

a qual todos os pontos levem ao mesmo valor de Z.

Escolhe-se qualquer ponto da região de solução:

(20, 0) - Z = 3X1+2X2 = 60 Assim (20, 0) cai sobre a reta:

Z = 3X1 + 2X2 = 60 X2 = 30 - 3/2X1

3X1 + 2X2 = 60 tem coeficiente angular = -3/2

Assim todas as retas 3X1+2X2 = constante terão o mesmo coeficiente

angular.

Importante: uma vez desenhada a reta, podemos encontrar

todas as outras pelo movimento paralelo da reta que desenhamos.

X2

X120

40

60

80

100

120

20 40 60 80 100 120

(4)(2)

(3)

A

B

C

D

E

F

G

H X2 = 30 - 3/2 X1

Indica o ponto ótimo - G (20, 60)

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 14

Ponto ótimo: Z = 3*20 + 2*60 = 180

5. PROBLEMAS INTERESSANTES QUE PODEM SER FORMULADOS PARA SEREM RESOLVIDOS POR PROGRAMAÇÃO LINEAR

O que será visto a seguir é a formulação de vários problemas complicados da Programação

Linear. O passo mais importante na formulação de um modelo é a escolha apropriada das

variáveis de decisão. Se as variáveis de decisão forem selecionadas adequadamente, a função

objetivo e as restrições devem ser obtidas sem muita dificuldade. Problemas na determinação

da função objetivo e restrições normalmente são devido a uma escolha incorreta das variáveis

de decisão.

5.1 Exemplo 1: Problema de orçamento de capital Uma empresa de petróleo esta considerando 5 diferentes oportunidades de investimento. O

fluxo de caixa e valor presente (em milhões de reais) é dado na tabela a seguir.

A empresa tem no momento $ 40 milhões para investir; e estima-se que no primeiro ano

estarão disponíveis $ 20 milhões para investimento. A empresa pode comprar qualquer fração

de cada investimento. Neste caso, o fluxo de caixa e valor presente são ajustados de acordo

com a proporção do investimento realizado. Por exemplo, se a empresa comprar 1/5 do

investimento 3, então o pagamento necessário será de 1/5 ($5) = $1 nos tempos 0 e 1. O valor

presente do investimento 3 será de 1/5 (16) = $3.2 milhões. A empresa quer maximizar o

valor presente que pode ser obtido pelos investimentos realizados entre as opções 1 a 5.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 15 Formular o problema para atingir este objetivo. Assumir que qualquer fundo não usado no

instante 0 não poderá ser usado no primeiro ano (instante 1).

Inv. 1 Inv. 2 Inv. 3 Inv. 4 Inv. 5 Desembolso instante 0

11 53 5 5 29

Desembolso instante 1

3 6 5 1 34

Valor presente

13 16 16 14 39

5.2 Exemplo 2: planejamento financeiro de curto prazo Uma empresa eletrônica que fabrica gravadores e rádios têm seus custos de mão de obra,

matéria prima e preço de venda de cada produto discriminados na tabela a seguir.

Gravador Rádio Preço de venda 100 90 Mão de obra 50 35 Custo matéria prima 30 40

Em primeiro de dezembro de 98, a empresa terá matéria prima que é suficiente para fabricar

100 gravadores e 100 rádios. Na mesma data, o balancete previsto da empresa é o mostrado a

seguir, e a razão entre ativo circulante e as suas obrigações (dívida com banco) será 2

(20000/10000).

Ativo circulante Obrigações Caixa 10000 Contas a receber 3000 Estoques 7000 Dívidas em bancos 10000

A empresa precisa determinar quantos gravadores e rádios deverão produzidos em Dezembro.

A demanda é alta o suficiente para garantir que todos os produtos fabricados serão vendidos.

Todas as vendas são feitas a crédito, pagamentos por produtos fabricados em Dezembro não

serão recebidos até primeiro de Fevereiro de 99. Durante Dezembro, a empresa irá receber

$2000 e precisará pagar $1000 devido ao empréstimo bancário e $1000 referente ao seu

aluguel. Em primeiro de janeiro de 99, a empresa receberá um carregamento de matéria prima

no valor de $2000, que será pago em Fevereiro de 99. A gerência decidiu que em primeiro de

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 16 janeiro de 99 precisa ter pelo menos $4000 em caixa. Também o banco exige que a razão

entre dinheiro disponível e financiamento seja de pelo menos 2. Para maximizar o lucro da

produção em Dezembro, o que deveria empresa produzir durante este mês?

5.3 Exemplo 3: Modelos de financiamento multi período O exemplo a seguir ilustra como a programação linear pode ser usada para problemas de

gerenciamento de fluxo de caixa. A chave é determinar as relações de dinheiro nas mãos

durante diferentes períodos.

Uma empresa de investimentos precisa determinar a estratégia de investimento para os

próximos 3 anos. Atualmente a empresa tem $100.000 disponível para investir. Os

investimentos A, B, C, D e E estão disponíveis. O fluxo de caixa associado com investir $1

em cada opção é dado na tabela a seguir.

0 1 2 3 A -$1 $0.50 $1 $0 B $0 -$1 $0.50 $1 C -$1 $1.2 $0 $0 D -$1 $0 $0 $1.9 E $0 $0 -$1 $1.5

Por exemplo, 1$ investido na opção B requer um pagamento de $1 no ano 1 e retorna $0.50

no ano 2 e $1 no ano 3. Para assegurar que o portifólio da empresa seja diversificado, a

política da empresa é a de aplicar até $ 75.000 em um único investimento. Adicionalmente

aos investimentos A-E, a empresa pode obter taxas de 8% ao ano mantendo o dinheiro não

investido em fundos do mercado. Ganhos dos investimentos podem ser imediatamente

reinvestidos. Por exemplo, o dinheiro recebido no ano 1 do investimento C pode ser

imediatamente reinvestido na opção B. A empresa tem como diretriz não emprestar dinheiro

de fundos, assim o dinheiro disponível para investimento a qualquer tempo é limitado ao

disponível. Formular a programação linear que maximiza o dinheiro em mãos no ano 3.

6. SOLUÇÃO DE PROBLEMAS DE P.L. - MÉTODO SIMPLEX

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 17 Nas formulações anteriores, problemas com mais de 2 variáveis não poderiam ser

solucionados com o método gráfico. Desta forma é necessário o estudo de outro procedimento

para a busca de soluções.

Agora, será apresentado mais um procedimento geral para resolução de problemas de

programação linear, denominado "Método Simplex" e que foi desenvolvido em1947 por

George B. Dantzig.

O método simplex é um método interativo (algoritmo) utilizado para achar, algebricamente, a

solução ótima de um problema de P.L..

6.1 Teoremas Básicos Teorema 1 - O conjunto de todas as soluções compatíveis do modelo de programação linear é

um conjunto convexo cujos vértices (pontos extremos) correspondem a soluções básicas

viáveis.

Teorema 2 - Se a função objetiva possui um máximo (mínimo) finito, então pelo menos uma

solução ótima é um ponto extremo do conjunto convexo do teorema1.

6.2 Procedimentos do Método Simplex Supondo o seguinte problema para maximização:

Max z = 5X1 + 2X2

Sujeito a:

X1 ≤ 3

X2 ≤ 4

X1 + 2X2 ≤ 9

X1, X2 ≥ 0

A solução gráfica do problema é a seguinte:

X2

E(0, 4) D(1, 4)

C(3, 3)

Z

ZB = 15

ZE = 8

ZD = 13

ZB = 15

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 18

Sabe-se que a solução ótima do modelo é uma solução compatível básica do sistema, ou seja,

um ponto extremo do polígono A,B,C,D,E.

O método simplex, para ser iniciado, necessita conhecer uma solução compatível básica

(solução inicial) do sistema, isto é, um dos pontos A,B,C,D,E do trapézio. Suponha-se que

essa solução seja o ponto A.

O método simplex verifica se a presente solução é ótima. Se for o processo está encerrado. Se

não for ótima, é porque um dos pontos adjacentes fornece um valor maior que o ponto A.

Neste caso, o método simplex faz então a mudança do ponto A para o ponto extremo

adjacente que mais aumente o valor da função objetivo. No caso o ponto B.

Agora, tudo que foi feito para o ponto extremo A é feito para o ponto extremo B. O processo

finaliza quando se obtém um ponto extremo onde todos os pontos extremos a ele adjacentes,

fornecem valores menores que a função objetivo.

Como fazer, algebricamente, a mudança de um ponto extremo para outro, a ele adjacente?

Achar, portanto, a próxima solução básica (ponto extremo adjacente) exige a escolha de uma

variável básica para deixar a base atual, tornando-se não básica, e a escolha de uma variável

não básica para entrar na base em sua substituição.

O método simplex compreenderá, portanto, os seguintes passos:

1. Achar uma solução compatível básica inicial.

2. Verificar se a solução atual é ótima. Se for, pare. Caso contrário siga para o passo III.

3. Determinar a variável não-básica que deve entrar na base.

4. Determinar a variável básica que deve sair da base.

5. Achar a nova solução compatível básica, e voltar ao passo II

6.3 O Método Simplex

Pontos extremos

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 19 A seguir será mostrado passo a passo o método simplex.

Definição Geral de Programação Linear:

Maximizar ou Minimizar Z = C 1X 1 + C2 X2 + .... + Cn Xn sujeito a:

a11X1 + a12X1 + ..........+ a1nXn (≤ ou = ou ≥) b1

a21X1 + a22X1 + ..........+ a2nXn (≤ ou = ou ≥) b2

a31X1 + a32X1 + ..........+ a3nXn (≤ ou = ou ≥) b3

am1X1 + am2X1 + ..........+ amnXn (≤ ou = ou ≥) bm

X1, X2, X3, Xn ≥ 0

O Método Simplex é aplicado diretamente quando:

1. todas as restrições são ≤ bi

2. todos os bi ≥ 0

3. se quer maximizar Z

Quando uma dessas condições não é atendida estamos em presença de um caso particular.

O Método Simplex será estudado, acompanhando a seguinte formulação:

Maximizar Z = 3x1 + 2x2 + 5x3

Sujeito a

x1+ 2x2 + x3 ≤ 430

3x1 + 2x3 ≤ 460

xl + 4x2 ≤ 420

x1, x2, x3 ≥ 0

Primeiro passo: Transformar o sistema de M desigualdades lineares restritivas em um

sistema de M equações lineares.

Para isso adiciona-se a cada uma das desigualdades uma variável não-negativa chamada

“Variável de Folga".

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 20 Obs: Tem-se tantas variáveis de folga quantos forem as restrições.

Representação das Folgas = xn+1 , xn+2 , ... , xn+m.

Assim temos:

x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

3x1 + 2x3 + x5 = 460

xl + 4x2 + x6 = 420

Segundo passo: Colocar as equações em forma de tabela

Z - 3x1 - 2x2 - 5x3 = 0

x1+ 2x2 + x3 + x4 = 430

3x1 +2x3 + x5 = 460

xl + 4x2 + x6 = 420

Terceiro passo: Determinar uma solução inicial viável.

Pode ser demonstrado que a solução ótima de um problema de programação linear é uma

solução básica. Una solução básica para um sistema de M equações e N incógnitas.

Possui M variáveis diferentes de O (zero) e (N - M) variáveis iguais a 0 (zero). As variáveis

diferentes de 0 (zero) são chamadas "Variáveis Básicas" e aquelas iguais a 0 (zero) são as

"Variáveis Não Básicas".

No Método Simplex escolhe-se como variáveis básicas aquelas em cuja coluna aparece um

valor igual a 1 e os demais iguais a 0 (zero).

Quarto passo: verificar se a solução é ótima.

Examinar os valores dos coeficientes das Variáveis não básicas na la linha (no exemplo, linha

de Z) e concluir:

a. Se todos os valores forem positivos a solução é ótima e única.

b. Se aparecerem valores positivos e alguns nulos a solução é ótima mas não única.

c. Se aparecer algum valor negativo a solução não é ótima. Deve-se, então executar o 5o

passo.

Como pode se verificar na tabela a seguir, existem números negativos na primeira linha,

assim a solução não é ótima, e precisa-se continuar os passos do método.

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 21

Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

Quinto passo: Determinar a variável que entra (xe )

A variável que entra deve satisfazer as seguintes condições:

- ser igual a 0 (zero) na solução atual (ou seja deve ser não básica)

- ter coeficiente menor ou igual a 0 (zero) na linha de Z (na la linha)

- possuir em sua coluna, pelo menos um coeficiente positivo. Escolher para entrar na base

aquela que apresentar, na linha de Z, o coeficiente negativo de maior valor absoluto. Marcar a

coluna na tabela.

Sexto passo: Determinar a variável que sai (xs).

Calcula-se o valor de bi/aie para cada linha da tabela e escolhe-se para sair a variável para a

qual o quociente tiver o menor valor não negativo.

Marcar na matriz a linha de xs. O quinto e sexto passos podem ser vistos nesta tabela:

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Z 1 -3 -2 -5 0 0 0 0 0 X4 0 1 2 1 1 0 0 430 430 1 X5 0 3 0 2 0 1 0 460 230 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 ind. 3

Sétimo passo: Calcular a nova matriz de coeficientes, executando as operações convenientes

nas linhas da matriz.

Os coeficientes da nova matriz podem ser calculados da seguinte maneira:

10 - Dividir todos os elementos da linha marcada pelo pivô (esta linha não muda mais).

20 - Multiplicar a linha marcada pelo fator Fi= aie / ase Subtrair a linha i da matriz, da linha marcada e multiplicada pelo fator Fi.

entra

sai Pivô

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 22 30 - Substituir na coluna base a variável que sai pela variável que entra.

O resultado destas operações na tabela anterior resulta em:

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac.

Z 1 4.5 -2 0 0 2.5 0 1150 0 X4 0 -0.5 2 0 1 -0.5 0 200 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 ind. 2 X6 0 1 4 0 0 0 1 420 105 3

Como na primeira linha da coluna de X2 aparece um número negativo, a solução ainda não é a

ótima.

Oitavo passo: Repetir todos os passos, do 40 ao 70, tantas vezes quanto forem necessárias, até

que a solução ótima seja encontrada. O resultado final da tabela anterior aparece na próxima

iteração, e como não existem mais números negativos na primeira linha a solução é ótima. O

resultado é mostrado a seguir.

Base z X1 X2 X3 X4 X5 X6 b bi/aie equac. Z 1 4 0 0 1 2 0 1350 0 X2 0 -0.25 1 0 0.5 -0.25 0 100 1 X3 0 1.5 0 1 0 0.5 0 230 2 X6 0 2 0 0 -2 1 1 20 3

O máximo Z é 1350, para X2 = 100, X3 = 230 e X6 = 20.

6.4 EXEMPLO - Resolver o problema do GIAPETTO pelo simplex.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 23

Resolvendo o problema de Giapetto pelo simplex

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a:

• 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)

Primeiro passo importante: converter o problema de PL na

forma canônica • max Z = 3X1 + 2X2 (1)

sujeito a: • 2X1 + X2 + X3 = 100 (2) • X1 + X2 + X4 = 80 (3) • X1 + X5 = 40 (4) • X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a:

• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2) • X1 + X2 + X4 = 80 (3) • X1 + X5 = 40 (4) • X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

Variáveis não básicas: X1 = X2 = 0 Variáveis básicas: X3 = 100 X4 = 80 X5 = 40

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 24

O problema pode ser representado assim:

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 -3 -2 0 0 0 0 (1) X3 0 2 1 1 0 0 100 (2) X4 0 1 1 0 1 0 80 (3) X5 0 1 0 0 0 1 40 (4)

Pivo

100/2=50 80/1=80 40/1=40

Indica que X1 entra no lugar de X5

Solução parcial: (0, 0, 100, 80, 40)

Próximo quadro - Base: X3, X4 e X1

Devem se colocadas na forma canônica

Pivo

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 -2 0 0 3 120 (1)+3(4) (1) X3 0 0 1 1 0 -2 20 (2)-2(4) (2) X4 0 0 1 0 1 -1 40 (3)-(4) (3) X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

Ainda não é a solução ótima

20/1=20 40/1=40

40/0

Indica que X2 entra no lugar de X3

Solução parcial: (40, 0, 20, 40, 0)

Próximo quadro - Base: X2, X4 e X1

Devem se colocadas na forma canônica

Ainda não é a solução ótima Pivo

-10 20 40

Indica que X5 entra no lugar de X4

Solução parcial: (40, 20, 0, 20, 0)

Próximo quadro - Base: X2, X5 e X1

Devem se colocadas na forma canônica

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 2 0 -1 160 (1)+2(2) (1) X2 0 0 1 1 0 -2 20 (2) (2) X4 0 0 0 -1 1 1 20 (3)-(2) (3) X1 0 1 0 0 0 1 40 (4) (4)

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 25

solução é ótima

Z X1 X2 X3 X4 X5 b Razão Base 1 0 0 1 1 0 180 (1)+(3) (1) X2 0 0 1 -1 2 0 60 (2)+2(3) (2) X5 0 0 0 -1 1 1 20 (3) (3) X1 0 1 0 1 -1 0 20 (4)-(3) (4)

Valor máximo possível para a função objetivo

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20)

A restrição 4 tem um folga de 20

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a:

• 2X1 + X2 + X3 = 100 (2) • X1 + X2 + X4 = 80 (3) • X1 + X5 = 40 (4) • X1, X2, X3, X4 e X5 >=0

Solução do problema de Giapetto pelo simplex

Solução ótima: (20, 60, 0, 0, 20) Z = 3*20 + 2*60 = 180

A restrição 4 tem um folga de 20

Resolver pelo Simplex a seguinte formulação:

Max Z = 5X1 +2X2

Sujeito a:

X1 ≤ 3

X2 ≤ 4

X1 + 2X2 ≤ 9

X1 ≥ 0

X2 ≥ 0

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 26 7. SOFTWARES COMPUTACIONAIS A utilização de programação linear é recomendada para problemas de maior porte, em que

muitas variáveis e restrições devem ser consideradas. Por isso, o desenvolvimento de

algoritmos computacionais eficientes e precisos têm sido a maior preocupação entre os

pesquisadores. Programas adequados existem, virtualmente, para cada sistema computacional

comercial desenvolvido nos últimos 20 anos.

Problemas de grande porte requerem sistemas computacionais potentes e, portanto, sistemas

paralelos têm sido utilizados nos últimos anos. Entretanto, problemas menores podem ser

resolvidos em um computador pessoal utilizando um dos softwares desenvolvidos para

resolução de problemas de programação linear, como por exemplo XPress-MP LINDO e

MINOS.

Para problemas considerados médios, é recomendável a utilização de planilhas eletrônicas

com recursos para resolução de problemas. Exemplos destas planilhas são o "What's Best?"

(LINDO Systems) para Lotus 1-2-3, o Microsoft Excel e Borland Quattro e ainda o solver

para microsoft Excel. Todos eles são ferramentas poderosas, apesar de sua aparência simples.

O Solver do Excel será utilizado em alguns exemplos apresentados. Outro programa que

também será visto é o LINDO.

O instituto de pesquisa operacional e ciências administrativas (INFOR-MS) publica,

eventualmente, pesquisas sobre os softwares de programação matemática em seu periódico

OR/MS Today. O relatório de 1995 apresenta softwares que rodam em computadores pessoais

e destaca softwares capazes de atacar problemas maiores tanto quanto extensões de planilhas

eletrônicas.

7.1 Uma introdução ao uso do LINDO LINDO (Linear Interactive and Discrete Optimizer) foi desenvolvido por Linus Schrage

(1986). Ele é um programa de computador que pode ser usado para resolver problemas de

programação linear, inteira e quadrática. Para ilustrar seu uso, vamos usar o exemplo de

Giapetto, discutido anteriormente, e que foi sintetizado na seguinte formulação:

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 27

O programa executável tem o nome LINDO.EXE, apesar dele ser originalmente desenvolvido

para o ambiente DOS, pode-se executá-lo pelo WINDOWS. O LINDO assume que todas as

variáveis são não negativas, e as restrições adicionais não precisam ser fornecidas.

7.1.1 Comandos do LINDO São os seguintes os comandos do LINDO:

MAX – entrada inicial para o problema de maximização;

MIN – entrada inicial para o problema de minimização;

END – finalização da formulação, deixando o LINDO pronto para aceitar outros comandos;

GO – resolve a formulação corrente e apresenta a solução;

LOOK – mostra seleção estabelecida da atual formulação;

ALTER – altera um elemento da formulação corrente;

EXT – soma uma ou mais restrições ao modelo;

DEL – retira uma ou mais restrições do modelo;

DIVERT – saída para um arquivo, de tal forma que possa ser impresso;

RVRT – finaliza o comando DIVERT;

SAVE – salva uma formulação, de tal forma que possa ser recuperada para uso futuro;

RETRIEVE – recupera um arquivo anteriormente salvo;

EDIT – chama o editor do programa;

SOLU – mostra a solução da formulação (usar o comando GO antes do SOLU);

TABLEAU – mostra a tabela da formulação pelo simplex;

TAKE – habilita o LINDO a trabalhar com arquivos gerados por outros editores.

Uma lista completa dos comandos pode ser obtida através do comando COMMAND.

• max Z = 3X1 + 2X2 (1) sujeito a: • 2X1 + X2 <= 100 (2) • X1 + X2 <= 80 (3) • X1<= 40 (4) • X1 >= 0 (5) • X2 >= 0 (6)

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 28 7.1.2 Usando o LINDO O programa assume que todas as variáveis precisam ser não negativas. Assim, usando o

programa não é necessário digitar as variáveis de não negatividade. Para entrar com ≥ ou ≤,

basta digitar > ou <. O problema de Giapetto no programa fica da maneira ilustrada na figura

abaixo.

Depois de inserida a formulação no programa, pode-se usar qualquer dos comandos

mostrados anteriormente. Para problemas com muitas variáveis, a função objetivo ou as

restrições podem se estender por mais de uma linha. Se algum equivoco é cometido durante o

processo de entrada da formulação, o LINDO acusará o erro e instruções de correção.

Uma vez a formulação tenha sido programada, é sempre útil verificar se houve algum erro de

digitação. Para o programa mostrar a formulação, o comando LOOK, pode ser usado. Ele irá

perguntar qual a linha que se deseja verificar. Responda com um número de uma determinada

linha, por exemplo, 3; ou por uma faica de linhas, 1-3; ou todas (ALL). Lembre que o LINDO

considera a função objetivo como a linha 1.

Para alterar algum aspecto da formulação, usar o comando ALTER. O programa irá

perguntar qual o número da linha, nome da variável, e o novo coeficiente, nesta seqüência.

Para trocar o lado direito de uma restrição, digitar RHS quando o programa perguntar pela

variável. Para trocar o sinal da restrição (por exemplo ≥ para ≤), digitar DIR quando o

programa perguntar pela variável. Mudanças adicionais podem ser feitas usando EXT (para

adicionar novas linhas), DEL (apagar uma linha) e APPC (para somar uma variável a uma ou

mais linhas).

Uma vez que o programa esta digitado, para salvar basta digitar SAVE e dar um nome para o

problema. Para recuperar o arquivo basta usar RETRIEVE.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 29 Para verificar o resultado do problema, basta digitar GO. Para obter uma impressão é preciso

criar um arquivo e imprimir este arquivo. Isto é realizado com o comando DIVERT.

Para resolver o problema, basta usar GO. Apenas a solução ótima é mostrada na tela, mas a

solução inteira pode ser vista no arquivo de saída para impressão. Em seguida o programa

pergunta se é desejo fazer uma análise de sensibilidade. Digitar NO ou YES. Para sair do

programa é necessário digitar QUIT.

Qualquer problema no uso do programa, o comando HELP fornece algumas informações.

Finalmente, o LINDO não aceita parênteses e virgulas. Assim 400(X1+X2) precisa ser

digitado como 400X1+400X2.

7.1.3 O editor do LINDO Em versões mais novas do LINDO usando o comando EDIT, um editor para corrigir e

verificar a formulação inteira é uma ferramenta bastante interessante. Neste editor as teclas

tem as seguintes funções:

Home – manda o cursor para o inicio da formulação;

End – manda o cursor para o fim da formulação;

PgUp – movimenta uma página a frente;

PgDn– movimenta uma página a trás;

Setas – movimenta o cursor de uma posição;

Esc – sai do editor;

Del – apaga caracter;

Backspace – apaga o caracter a esquerda do cursor;

Enter – muda o texto a direita para a próxima linha;

Crtl – seta direita – manda o cursor para o fim da próxima palavra;

Crtl – seta esquerda – manda o cursor para o fim da palavra anterior;

Crtl-S – move o cursor para o início da linha;

Crtl-E – move o cursor para o fim da linha;

7.2 UTILIZANDO O SOLVER DO EXCEL Como foi dito anteriormente, a aplicação de programação linear não é mais limitada pela

necessidade de um software especialista. Planilhas eletrônicas geralmente possuem

ferramentas que podem ser utilizados para atacar problemas de programação linear de

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 30 tamanho considerável. Talvez as duas planilhas mais utilizadas sejam o Excel, que contém um

opcional conhecido como solver, e o Lotus 1-2-3, que possui o módulo What's best?. Ambos

os sistemas são muito simples de serem utilizados e, embora sejam um pouco mais lentos que

os softwares especialistas, podem resolver problemas de tamanho razoável. Existem, é claro,

alguns perigos na sua facilidade de uso, assim como existem armadilhas que devem ser

evitadas quando modelos de programação linear são construídos e rodados, as quais podem

ser encobertas neste software amigável. Entretanto, a disponibilidade deste software é algo

passível de ser elogiada.

A discussão apresentada a seguir é baseada no Microsoft Excel v7. Versões mais recentes ou

mais antigas deste software poderão apresentar pequenas diferenças na estrutura, mas as

idéias básicas são as mesmas.

7.2.1 Formulação para o Solver Na base de qualquer modelo de programação linear existe um conjunto de restrições às quais

uma função objetivo a ser otimizada está submetida. O exemplo simples de Giapetto foi

formulado anteriormente, neste capítulo, através das equações algébricas representadas a

seguir:

Max Z = 3X1+ 2X2

Sujeita a:

2X1 + X2 ≤ 100

X1 + X2 ≤ 80

X1 ≤ 40

Função objetivo

Restrição quanto a tempo de acabamento

Restrição quanto a tempo de carpintaria

Restrição de venda máxima de soldados

Estas equações podem ser representadas de maneira diferente, através da utilização de

matrizes. Esta representação está exposta a seguir:

X1 = número de soldados

X2 = número de trens

maximizar 3 2 Sujeito as restrições limite 2 1 ≤ 100 1 1 ≤ 80 1 0 ≤ 40 Lucro bruto

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 31 Solução 0 0 0

Com exceção da última linha, denominada solução, as demais restrições expostas nas matrizes

já eram conhecidas. A linha de solução representa os valores atribuídos a X1 e X2 antes de

qualquer otimização. No estado atual, ambos X1 e X2 são definidos como zero, o que resulta

em um lucro bruto de zero unidades.

O primeiro estágio de uso Solver é escrever esta matriz na planilha, como apresentado na

Figura 1. Como em qualquer planilha, é muito importante observar que algumas células

contêm valores constantes, mas outras contêm fórmulas as quais assumem os valores que são

exibidos nas mesmas. Neste exemplo, as células D4, D5, D6 e E8 contêm fórmulas. As

demais contêm textos, que são utilizados para deixar o exemplo mais claro, ou contêm

valores.

Figura 1 - formulação básica do problema.

Uma rápida explicação da Figura 1 é dada abaixo:

1. Neste exemplo, as colunas B e C possuem os valores dos coeficientes das expressões

utilizadas na formulação algébrica e na tabela anteriormente.

2. A linha 2 contém os valores dos coeficientes da função objetivo (2 e 1).

3. As linhas 4 a 6 apresentam os valores dos coeficientes das restrições descritas

anteriormente.

4. A linha 8 contém os valores dados inicialmente para X1 e X2 antes de qualquer

otimização.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 32 5. A coluna D possui suas linhas com valor zero, porém suas células representam a

utilização das três restrições. Assim, a célula D4 contém a fórmula:

= $B$8*$B4 + $C$8*$C4

Observe que as referências às células B10 e C10 são ambas absolutas. Assim, esta fórmula

estendida da célula D4 a à D6 é dada por:

D4 = $B$8*$B4 + $C$8*$C4

D5 = $B$8*$B5 + $C$8*$C5

D6 = $B$8*$B6 + $C$8*$C6

A coluna E foi utilizada para que os limites máximos e mínimos das restrições fossem

observados, a qual é freqüentemente conhecida como right-hand-sides (abreviada como RHS

por muitas pessoas). Assim, existe um limite de 100 horas para acabamento, de 80 horas para

carpintaria e venda máxima de 40 soldados. A coluna D, como mencionado anteriormente, é

usada para armazenar a utilização atual dos recursos. Assim, a célula D4 representa a

quantidade da restrição horas de acabamento que foi utilizada e seu valor é zero, uma vez que

as células B8 e C8 contêm valor zero antes de qualquer otimização.

Finalmente, uma célula da planilha deve ser utilizada para armazenar o resultado da

otimização (neste caso, o valor do lucro semanal obtido); nesta planilha, este valor está

contido na célula E8.

7.2.2 Janela de Parâmetros do Solver Utilizando os botões do mouse ou o teclado, devemos selecionar o Solver a partir do menu de

ferramentas do Microsoft Excel. A Figura 2 apresenta a janela que irá aparecer na tela. Esta

janela de parâmetros do Solver é utilizada quando o usuário fornece ao Solver as informações

necessárias para que o mesmo busque a solução otimizada.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 33

Figura 2 - Janela de parâmetros do Solver.

Para chegarmos à solução ótima do exemplo, o Solver precisa das seguintes informações:

1. Onde o valor da função objetivo será armazenado? Este valor representa o resultado da

otimização dado pela combinação de valores de X1 e X2 determinada. Neste caso, o

resultado será armazenada na célula E8. Isto significa que a célula E8 deve conter a

fórmula apropriada para a otimização, a qual, neste caso, é dada por: = $B$2*$B$8 +

$C$2*$C$8. Observe que as células de referência são absolutas - o que é recomendável,

porém não é necessário.

2. Quais são as restrições e que forma as mesmas possuem? Para fornecer estas informações

para o Solver, clique no botão adicionar da subjanela de restrições da janela dos

parâmetros do Solver. Uma caixa de diálogo, como a apresentada na Figura 3, irá

aparecer. Neste caso, a caixa de diálogo corresponde à primeira restrição, a restrição das

horas de acabamento, a qual possui seus coeficientes nas células B4 e C4 e sua expressão

está contida na célula D4. Assim, a célula $D$4 deve ser digitada na caixa referência de

célula, uma vez que a mesma contém a expressão da restrição. Esta restrição é do tipo

menor ou igual a, assim devemos selecionar este símbolo da caixa central da janela.

Finalmente, o valor máximo para esta restrição encontra-se na célula $E$4 e esta célula

deve ser indicada na caixa à esquerda da janela. Aperte o botão OK e a caixa de diálogo

irá fechar-se retornando à janela de parâmetros do Solver. Cada uma das restrições deve

ser descrita do mesmo modo como a anterior.

Figura 3 - janela para entrada das restrições.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 34 3. Quais células irão conter os valores de X1 e X2, os quais serão modificados até que se

otimize a função objetivo, e qual tipo de otimização deve-se procurar? Esta informação

deve ser fornecida pelo usuário através da janela de parâmetros do Solver. As células

cujos valores serão variados são a B8 e a C8 e, como mostra a Figura 4, devem ser

descritas como células de referência na caixa células variáveis. Como se busca a

maximização destas variáveis, a opção Máx deve ser selecionada.

Figura 4 - entrada das células que irão variar para que a solução ótima seja encontrada (células variáveis).

Antes de executar a otimização, é interessante informar ao Solver que todas as restrições são

expressões lineares, assim como a função objetivo. Estas informações devem ser fornecidas,

pois estamos tratando de um problema de programação linear. Para entrar com esta

informação, clique o botão opções da janela dos parâmetros do Solver. Uma nova janela irá

aparecer onde a opção presume modelo linear deve ser selecionada. Isto irá aumentar a

velocidade da otimização e, também, fará com que os relatórios fornecidos sejam adaptados

para o formato de problemas de programação linear (veja a seguir).

Para executar a otimização, retorne à janela de parâmetros do Solver e aperte o botão resolver.

A Figura 5 apresenta o resultado da otimização.

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 35

Figura 5 - solução do problema

É importante observar que muitas outras informações, além do valor ótimo das variáveis

estudadas, podem ser obtidas a partir da solução fornecida para um problema de programação

linear. Um bom pacote computacional como o Solver fornece relatórios que ajudam o usuário

a entender muito mais sobre a solução apresentada. O Solver fornece três relatórios padrão e

permite que sua solução seja exportada para outro pacote se uma análise mais detalhada for

necessária.

7.2.3 O Relatório de Resultados do Solver O relatório resume os resultados da pasta de trabalho e também fornece algumas informações

a mais. Estas informações extras podem ser calculadas pelo usuário, mas é importante guardá-

las em algum lugar. O relatório da otimização para o problema apresentado é mostrado na

Figura 6 e possui três partes, como descrito abaixo:

• 1.Célula de destino (Máximo): apresenta o máximo lucro obtido pelo Solver. Se este fosse

um problema de minimização, esta seção iria conter o valor mínimo.

• Células ajustáveis: mostram as variáveis de entrada, seus valores após a solução ótima e

seus valores iniciais (zero, neste caso).

Restrições: indicam a utilização de cada um dos recursos ao final da otimização. A coluna de

status classifica as restrições como obrigatória (restrição com utilização máxima) ou não-

Capítulo 5 - Introdução a Pesquisa Operacional 5. 36 obrigatória, estas últimas são as que apresentam algum recurso que não foi utilizado -

indicado pelo valor diferente de zero na coluna diferencial (slacks - folgas).

Os outros dois relatórios fornecem mais informações sobre a sensibilidade da solução ótima,

informações que podem ser importantes por várias razões. Primeiro, porque são raros os casos

de programação matemática em ciências administrativas nos quais todos os coeficientes ou

valores do modelo são conhecidos com precisão. Geralmente, alguns coeficientes são

conhecidos e vários serão aproximações, estimativas ou até mesmo hipóteses. O que fazer, se

os valores tomados forem errados? Qual será o efeito destes erros na solução? Assim, uma

solução alternativa não tão ótima pode ser, algumas vezes, melhor que uma solução ótima que

se toma sensível aos valores atribuídos aos coeficientes. A segunda razão que torna

importante a análise de sensibilidade está relacionada à idéia de que o mundo é dinâmico e,

por isso, as coisas estão mudando constantemente. Por exemplo, pode ser verdade que esta

semana a matéria-prima tenha um certo custo, porém, se o período observado for um mês,

este custo pode ser diferente. Assim, é importante conhecer quais são os efeitos que as

mudanças nos coeficientes podem gerar na solução ótima.

Figura 7 - relatório de resposta para o problema

CAP. 6 - ANÁLISE DE INVESTIMENTOS

EM SITUAÇÃO DE RISCO

1. APRESENTAÇÃO Neste capítulo serão abordados vários métodos que levam em conta o uso das

probabilidades na análise de investimentos. Estes métodos visam subsidiar as decisões

informando o valor esperado dos resultados econômicos e, também, o risco das alternativas

de investimentos, através da dispersão destes resultados. Outra informação de interesse é a

probabilidade de inviabilidade dos investimentos.

2. FLUXOS DE CAIXA INDEPENDENTES NO TEMPO Esta hipótese, a mais simplificada, supõe que o valor e o sinal do fluxo de caixa no

período “k” são independentes do fluxo de caixa no período “k - 1”, ou seja, a variação do

fluxo das receitas (e/ou despesas) de um período nada tem a ver com a variação do fluxo

das receitas (e/ou despesas) do período anterior.

2.1 MÉDIA E VARIÂNCIA DO VPL DE UM FLUXO DE CAIXA

Considera-se que, em cada período, no lugar de um valor para o fluxo líquido,

podem ocorrer vários fluxos líquidos possíveis (Atk), cada um com sua respectiva

probabilidade de ocorrência (Ptk), conforme mostrado na figura 1.

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 2

Figura 1 - Fluxo de Caixa

O valor médio de cada fluxo de caixa, em cada período t é:

A P At tj j

k

tj= = ∑

1

(1)

e o desvio-padrão (raíz quadrada da variância) de cada fluxo de caixa, de cada período, é

dado por:

σ( ) ( )A P A At tj tj t j

k

= − = ∑ 2

1

(2)

Com estes dois dados (média e desvio-padrão) do fluxo de cada período, pode-se,

então, calcular a média e variância da distribuição do valor presente.

A01

A0k

A02

P0k

P02

P01

A11

A1k

A12

P1k

P12

P11

An1

Ank

An2

Pnk

Pn2

Pn1

At1

Atk

At2

Ptk

Pt2

Pt1

n

t

1

0

F.C.

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 3

A média desta distribuição de probabilidade nada mais é do que o somatório das

médias de cada período, descontadas à taxa de juros “ï”. Assim:

E(VPL) = t=0

n A i t

t( )1+∑ (3)

O desvio-padrão do valor presente líquido, σ(VPL), é calculado a partir da

variância da distribuição:

σ σ σ2

0

2 2

2 01 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) VPL

A i

A i

t t

t

n t

t t

n

= +

⎣ ⎢

⎦ ⎥ = += =

∑ ∑ (4)

2.1.1 Exemplo 1 Seja um investimento de valor inicial de $ 10.000.000, analisado por uma empresa

cujo custo de capital é de 5 % a. p.. Este investimento deve gerar fluxos de caixa positivos

nos três períodos posteriores. Os valores possíveis desses fluxos e suas respectivas

probabilidades de ocorrência foram estimados assim:

. . . . . .

1 t n

A 1

A 0

A nA t

. . . . . .

1 t n 0

σ(A0) σ(An)σ(At)σ(A1)

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 4

Período 1 Período 2 Período 3

Valor ($1000)

Probabilidade Valor ($1000)

Probabilidade Valor ($1000)

Probabilidade

2.000 0,05 2.000 0,10 1.000 0,20

4.000 0,20 3.000 0,25 2.000 0,20

5.000 0,50 6.000 0,40 4.000 0,30

6.000 0,15 7.000 0,20 5.000 0,20

8.000 0,10 8.000 0,05 6.000 0,10

Se os fluxos são independentes, qual a probabilidade do investimento se tornar

inviável ?

Solução:

a) Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido E(VPL):

A P At tj j

k

tj= = ∑

1

A1 =

A 2 =

A 3 =

E(VPL) = t=0

n A i t

t( )1+∑

E(VPL) =

b) Cálculo do desvio-padrão do VPL “σ(VPL)”:

σ( ) ( )A P A At tj tj t j

k

= − = ∑ 2

1

σ(A1) =

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 5

σ(A2) =

σ(A3) =

σ σ σ2

0

2 2

2 01 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) VPL

A i

A i

t t

t

n t

t t

n

= +

⎣ ⎢

⎦ ⎥ = += =

∑ ∑

σ2(VPL) =

σ(VPL) =

c) Cálculo da probabilidade do investimento se tornar inviável:

Trabalha-se com a distribuição normal padronizada “z”, onde:

z = VPL - E(VPL) (VPL)σ

(5)

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 6

2.2 USO DA DISTRIBUIÇÃO BETA

Uma forma bastante utilizada para se chegar aos parâmetros da distribuição do

valor presente líquido, em se tratando de fluxos de caixa independentes no tempo, é o

método dos três estimadores.

Esse método, que é bastante utilizado em pesquisa operacional e pert-cpm, aplica-

se ao caso em que não é possível estabelecer a distribuição de probabilidades para cada

fluxo de caixa. Neste caso, é comum estabelecer 3 estimativas para cada fluxo:

• Uma estimativa mais provável - m

• Uma estimativa alta possível, embora pouco provável - b

• Uma estimativa baixa possível, embora pouco provável - a

Neste caso, os valores estimados seguem uma distribuição estatística Beta (β),

cujos parâmetros estatísticos são dados por:

µ = b + 4m + a 6

(6)

e

σ 2 2

6 =

−⎡ ⎣⎢

⎤ ⎦⎥

b a (7)

Desta forma, chega-se com certa facilidade aos valores de E(VPL) e σ2(VPL).

A média e o desvio padrão do fluxo de caixa em um período t são:

A t = b + 4m + a

6 t t t (8)

e

σ 2 2

6 ( )A

b a t

t t= −⎡

⎣⎢ ⎤ ⎦⎥

(9)

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 7

Já a média e a variância da distribuição de probabilidades do valor presente líquido

da alternativa de investimento, da mesma forma que no item anterior, é dado por:

E(VPL) = t=0

n A i t

t( )1+∑ (3)

e

σ σ σ2

0

2 2

2 01 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) VPL

A i

A i

t t

t

n t

t t

n

= +

⎣ ⎢

⎦ ⎥ = += =

∑ ∑ (4)

2.2.1 Exemplo 2 Uma empresa pretende adquirir uma máquina que custa atualmente $ 300.000. De

acordo com um estudo criterioso, chegou-se às seguintes previsões de lucro para os

próximos 3 períodos:

Lucro Período 1 Período 2 Período 3

Máximo 250.000 220.000 150.000

Mais provável 200.000 200.000 150.000

Mínimo 150.000 120.000 90.000

. . . . . .

1 t n

A 1

A 0

A nA t

. . . . . .

1 t n 0

σ(A0) σ(An)σ(At) σ(A1)

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 8

Se a TMA da empresa é de 10% a. p., qual o risco de inviabilidade que a empresa

está sujeita com a compra da máquina ?

Solução:

a) Cálculo de E(VPL):

b) Cálculo de σ(VPL):

c) Cálculo do risco do investimento se tornar inviável:

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 9

3. FLUXOS DE CAIXA DEPENDENTES NO TEMPO Neste caso, ou seja, na hipótese da correlação perfeita entre os fluxos de caixa no

tempo, nada muda em relação ao cálculo do valor esperado do valor presente líquido. Será

alterado, no entanto, o valor da variância da distribuição, que será sempre maior do que

quando se considera independência entre os fluxos de caixa.

Na prática, entretanto, esta hipótese de correlação perfeita não ocorre, mas pode ser

utilizada como uma boa base para um estudo de análise de sensibilidade onde se testa o

limite máximo da variância de um investimento.

A vaiância da distribuição do valor presente líquido é igual a:

σ σ σ σ2

2 0 2

2 1 2 1

2

2 0 1

0 1 0 2

0 21 1 1 2 1 1

2 1 1

( ) ( )

( ) ( )

( ) ....

( ) ( )

cov( , ) ( ) ( )

cov( , ) ( ) ( )

....*0 * *nVPL A i

A i

A i

A A i i

A A i i

n= +

+ +

+ + +

+ + +

+ + +

+

onde:

cov (Aj,Ak) = ρjk . σ(Aj).σ(Ak)

e

ρjk = 1 , hipótese de correlação perfeita

Fazendo o desenvolvimento da expressão, chega-se a:

σ σ σ σ2 0

0 1

1

2

1 1 1 ( )

( ) ( )

( ) ( )

.... ( )

( ) VPL

A i

A i

A i n

n= + +

+ + +

+ ⎡

⎣ ⎢

⎦ ⎥

Assim, no caso de correlação perfeita, os estimadores da distribuição dos valores

presente são:

E(VPL) = t=0

n A i t

t( )1+∑

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 10

e

σ σ2

0

2

1 ( )

( ) ( )

VPL A

i t

t t

n

= +

⎣ ⎢

⎦ ⎥

= ∑ (10)

3.1.1 Exemplo 3

Resolver o exemplo 1, considerando correlação perfeita entre os fluxos de caixa.

Solução:

a) Cálculo do Valor Esperado do Valor Presente Líquido

E(VPL) = (igual ao do exemplo 1)

b) Cálculo do desvio-padrão do VPL:

σ σ2

0

2

1 ( )

( ) ( )

VPL A

i t

t t

n

= +

⎣ ⎢

⎦ ⎥

= ∑

c) Cálculo do risco do investimento se tornar inviável:

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 11

4. FLUXOS DE CAIXA COM DEPENDÊNCIA MODERADA Nos casos anteriores o coeficiente de correlação é igual a 0 (zero) ou 1 (um), ou

seja, ocorre independência ou dependência dos fluxos. Assim os cálculos são facilitados e

não há a necessidade de estimar a correlação entre os fluxos de caixa, o que nem sempre é

possível. De qualquer forma os resultados extremos auxiliam a análise. Mas para resolver o

problema, pode-se utilizar outro método de solução: A SIMULAÇÃO.

Será apresentado aqui um modelo de simulação bastante simples e conhecido, o

Método de Monte-Carlo, bem como a aplicação desse método na análise de

investimentos, desenvolvida por David B. Hertz.

4.1 MÉTODO DE SIMULAÇÃO DE MONTE-CARLO

O mátodo se divide em quatro fases:

Fase 1:

Para cada variável que influencia o diagrama de fluxos de caixa do investimento,

estimar o seu intervalo de variação possível. Estabelecer, então, uma distribuição de

probabilidades correspondente e transformá-la em uma distribuição de probabilidades

acumulada.

Fase 2:

Selecionar, ao acaso, valores para cada variável, de acordo com as suas

probabilidades de ocorrência. Calcular o Valor Presente Líquido ou Taxa interna de

Retorno ou qualqur outra medida de de atratividade para o projeto, para cada combinação

de valores obitida. Se houver dependência entre variáveis, esse fato deve ser considerado

de forma a existir correspondência entre os valores selecionados.

Fase 3:

Efetuar esta operação repetidas vezes, até obter uma distribuição de probabilidades

do retorno do investimento.

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 12

Fase 4:

Acumular a distribuição de probabilidades do retorno, para se ter uma visãi melhor

do comportamento da curva. Em alguns casos pode ser interessante calcular a m’dia e o

desvio-padrão da distribuição, para auxiliar a comparação entre alternativas. Pode ser

preferível escolher uma alternativa de retorno inferior, porém de menor variabilidade.

4.2 EXEMPLO 4

Uma firma consultora, contratada para desenvolver um projeto de viabilidade,

estimou os seguintes valores prováveis para o empreendimento:

• Investimento necessário: $ 70.000

• Benefícios anuais esperados $ 14.000

• Valor residual $ 5.000

• Vida econômica 10 anos

Sendo a taxa mínima de atratividade igual a 10 % ao ano, determinar:

a) O valor presente líquido do projeto para suas estimativas mais prováveis.

b) Analisar o projeto, considerando que os valores envolvidos podem variar de acordo com

as distribuições de probabilidades apresentadas a seguir:

Investimento Benefícios anuais Valor Residual Vida Econômica

Valor Médio ($)

Probabili dade (%)

Valor Médio ($)

Probabili dade (%)

Valor Médio ($)

Probabili dade (%)

Valor Médio ($)

Probabili dade (%)

65.000 12 12.000 5 4.000 30 9 35

70.000 35 13.000 15 5.000 40 10 45

75.000 25 14.000 50 6.000 30 11 20

80.000 15 15.000 20

85.000 13 16.000 10

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 13

Solução:

a) Considerando valores mais prováveis:

b) Simulação:

As distribuições de probabilidades acumuladas são preparadas conforme a seguir:

INVESTIMENTO RECEITA VALOR RESID. VIDA Taxa Valor Dist. acum. Valor Dist. acum. Valor Dist. acum. Anos Dist. acum. 65000 12 12000 5 4000 30 9 35 10% 70000 47 13000 20 5000 70 10 80 75000 72 14000 70 6000 100 11 100 80000 87 15000 90 85000 100 16000 100

Para ser obtida uma combinação de valores, seleciona-se números aleatórios entre 0

e 100 para cada variável, representando probabilidades. Os números aleatórios são usados

como entradas nas distribuições cumulativas, a fim de obterem-se os valores das variáveis.

A tabela a seguir apresenta 50 de 100 VPL’s simulados, a partir dos quais foi

preparada a distribuição de freqüência cumulativa, para o Valor Presente Líquido.

A título ilustrativo, a seleção dos valores da primeira linha desta tabela foi indicada

com traços de tonalidade forte na tabela de distribuição de probabilidades acumuladas.

Para a variável investimento, por exemplo, o número aleatório de 87 corresponde a um

valor de investimento de $ 80.000, para a receita, 68 representa R$ 14.000,00 e assim por

diante. Cada linha da tabela representa um diagrama de fluxos de caixa, cujo VPL é

calculado na última coluna.

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 14

N INVEST RECEITA VALOR

RESIDUAL VIDA V.Neg VPL aleat Valor aleat Valor aleat Valor aleat Anos Valor Valor

1 73 80000 68 14000 52 5000 36 10 R$ 87.951,66 R$7.951,66 2 91 85000 40 14000 86 6000 80 11 R$ 93.033,82 R$8.033,82 3 5 65000 12 13000 23 4000 99 11 R$ 85.837,77 R$20.837,77 4 32 70000 61 14000 68 5000 98 11 R$ 92.683,32 R$22.683,32 5 91 85000 46 14000 81 6000 82 11 R$ 93.033,82 R$8.033,82 6 28 70000 57 14000 63 5000 10 9 R$ 82.746,82 R$12.746,82 7 48 75000 2 12000 7 4000 28 9 R$ 70.804,68 (R$4.195,32) 8 18 70000 94 16000 31 5000 36 10 R$ 100.240,79 R$30.240,79 9 51 75000 28 14000 69 5000 88 11 R$ 92.683,32 R$17.683,32

10 25 70000 11 13000 30 4000 96 11 R$ 85.837,77 R$15.837,77 11 58 75000 65 14000 73 6000 23 9 R$ 83.170,92 R$8.170,92 12 28 70000 91 16000 70 5000 57 10 R$ 100.240,79 R$30.240,79 13 87 85000 76 15000 54 5000 85 11 R$ 99.178,38 R$14.178,38 14 69 75000 71 15000 68 5000 60 10 R$ 94.096,22 R$19.096,22 15 56 75000 97 16000 48 5000 25 9 R$ 94.264,87 R$19.264,87 16 37 70000 79 15000 6 4000 3 9 R$ 88.081,75 R$18.081,75 17 10 65000 58 14000 80 6000 12 9 R$ 83.170,92 R$18.170,92 18 20 70000 22 14000 59 5000 72 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 19 92 85000 96 16000 70 5000 38 10 R$ 100.240,79 R$15.240,79 20 87 85000 9 13000 39 5000 59 10 R$ 81.807,09 (R$3.192,91) 21 75 80000 22 14000 76 6000 28 9 R$ 83.170,92 R$3.170,92 22 59 75000 24 14000 94 6000 97 11 R$ 93.033,82 R$18.033,82 23 21 70000 57 14000 48 5000 59 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 24 93 85000 86 15000 70 5000 5 9 R$ 88.505,85 R$3.505,85 25 24 70000 63 14000 71 6000 38 10 R$ 88.337,20 R$18.337,20 26 18 70000 18 13000 12 4000 48 10 R$ 81.421,55 R$11.421,55 27 72 75000 56 14000 56 5000 74 10 R$ 87.951,66 R$12.951,66 28 25 70000 15 13000 31 5000 38 10 R$ 81.807,09 R$11.807,09 29 47 70000 8 13000 80 6000 22 9 R$ 77.411,90 R$7.411,90 30 79 80000 25 14000 57 5000 46 10 R$ 87.951,66 R$7.951,66 31 22 70000 68 14000 44 5000 77 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 32 1 65000 20 13000 62 5000 75 10 R$ 81.807,09 R$16.807,09 33 81 80000 24 14000 71 6000 84 11 R$ 93.033,82 R$13.033,82 34 88 85000 60 14000 57 5000 100 11 R$ 92.683,32 R$7.683,32 35 51 75000 45 14000 7 4000 57 10 R$ 87.566,11 R$12.566,11 36 32 70000 50 14000 38 5000 56 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 37 45 70000 70 14000 63 5000 1 9 R$ 82.746,82 R$12.746,82 38 36 70000 48 14000 63 5000 39 10 R$ 87.951,66 R$17.951,66 39 36 70000 55 14000 40 5000 91 11 R$ 92.683,32 R$22.683,32 40 79 80000 50 14000 35 5000 70 10 R$ 87.951,66 R$7.951,66 41 70 75000 32 14000 16 4000 69 10 R$ 87.566,11 R$12.566,11 42 76 80000 53 14000 4 4000 28 9 R$ 82.322,72 R$2.322,72

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 15

43 40 70000 76 15000 22 4000 3 9 R$ 88.081,75 R$18.081,75 44 74 80000 28 14000 98 6000 41 10 R$ 88.337,20 R$8.337,20 45 91 85000 34 14000 87 6000 86 11 R$ 93.033,82 R$8.033,82 46 2 65000 32 14000 6 4000 87 11 R$ 92.332,83 R$27.332,83 47 15 70000 14 13000 15 4000 51 10 R$ 81.421,55 R$11.421,55 48 20 70000 30 14000 38 5000 9 9 R$ 82.746,82 R$12.746,82 49 13 70000 13 13000 90 6000 66 10 R$ 82.192,63 R$12.192,63 50 78 80000 2 12000 25 4000 18 9 R$ 70.804,68 (R$9.195,32)

Pode-se calcular agora a média dos VPL, ou seja, o E(VPL) -Valor Esperado dos

VPL. Calcula-se, também o risco do projeto através de seu desvio-padrão (DP(VPL)). O

Valor Esperado, para os 100 valores da amostra é de R$ 14.000, bem abaixo dos 17.952

encontrados anteriormente. O desvio-padrão, que é o risco do projeto, é de R$ 9.200.

A partir dos 100 resultados simulados gera-se as seguintes distribuição de

freqüência dos VPL’s:

De a Freqüência Freqüência Acumulada -20000 -10000 0 0 -10000 0 6 6

0 10000 32 38 10000 20000 41 79 20000 30000 15 94 30000 40000 4 98 40000 50000 2 100

Estas freqüências oferecem uma aproximação da distribuição de probabilidades

para o valor presente líquido do projeto, grafada a seguir. Tal aproximação será tanto

melhor quanto maior for o número de dados simulados.

0 5

10

15 20 25 30

35 40 45

-10000 0 10000 20000 30000 40000 50000

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 16

Analisando a distribuição cumulativa de probabilidades, observa-se que a chance

de falha do projeto (probabilidade de VPL < 0) é baixa, situando-se ao redor dos 6 %.

0

20

40

60

80

100

120

-20000 -10000 0 10000 20000 30000 40000 50000 60000

Entretanto, existe 63 % de probabilidade de que o valor presente líquido do projeto

seja inferior ao valor de $ 17.952, calculado com base nas estimativas mais prováveis.

Esta informação é de extrema relevância para a decisão, principalmente quando se

comparam alternativas.

5. PROBLEMAS PROPOSTOS

5.1 PROBLEMA 1

Uma empresa do setor de energia estuda um investimento em uma termelétrica a gás de

350 MW e levantou os seguintes dados:

Investimento $ 500.000,00 por MW instalado

Produção de energia 2.800.000 MWh por ano

Preço da energia elétrica produzida $30,00 por MWh

Custos de Operação e Manutenção $ 4,00 por MWh

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 17

Outros Custos (Transporte de energia, etc.) $ 1.000.000,00 por ano

Consumo de gás 500.000.000 m3 por ano

Custo do gás $ 0,06 por m3

O horizonte de planejamento é de 20 anos, após os quais a termelétrica será vendida por

$35 milhões.

A taxa mínima de atratividade da empresa é de 15% ao ano após o imposto de renda.

Pede-se

1. Analise a viabilidade do investimento sem considerar risco

2. Qual a tarifa mínima de energia elétrica para o investimento ser viável?

3. Analise o investimento com risco considerando que as seguintes variáveis podem

tomar os valores abaixo:

Invest Prob Produca o Prob Tarifa Prob Custos OM Prob Custo gas Prob

450000 10 2600000 30 25 30 3 8 0,05 5 500000 60 2800000 60 30 40 4 70 0,06 70 550000 30 3000000 10 35 30 5 22 0,07 25

Calcule o Valor esperado e o risco do VPL, a probabilidade de inviabilidade e faça o

histograma da distribuição dos VPL’s.

Calcule, também, o Valor Esperado e o Risco das TIR’s, além de sua probabilidade de

inviabilidade.

5.2 PROBLEMA 2

A empresa de eletrônica SRS desenvolve um novo tipo de placa eletrônica em SMD e

avalia a possibilidade de iniciar sua produção. A nova forma de produção, com o uso de

um robô, agiliza e reduz o custo de produção. A intenção é instalar esta nova linha de

produção em sua fábrica no Sul de Minas. Os dados são os seguintes:

• Investimentos adicionais para instalar linha: • Robô: 150.000, • Máquina solda: 60.000, • Computadores, Bancadas e outros: 60.000. • Investimento em Capital de Giro: R$ 65.000,00

• Produção e venda das placas: 500 placas por dia em 360 dias no ano • Preço da placa R$ 4,10 • Aluguel: R$ 60.000,00 por ano

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 18

• Mão-de-obra: R$ 100.000,00 por ano • encargos: R$ 70.000,00 por ano • Componentes: R$ 0,60 por placa • Base: R$ 0,30 por placa • Despesas administrativas: R$ 50.000,00 por ano • Despesas de vendas: R$ 40.000,00 por ano • ICMS, IPI, PIS, Cofins: 18% • IRPJ + CSSL = 35% • Taxa de depreciação sobre os equipamentos: 10% por ano

A Empresa tem garantias de compra das placas durante os próximos 10 anos, no final dos

quais os investimentos fixos terão um valor residual de venda de R$ 80.000,00. A taxa

mínima de atratividade da empresa é de 18% ao ano.

Elaborar a Projeção da demonstração de resultados e do fluxo de caixa, calcular o Valor do

Negócio, o VPL e a TIR com os dados acima. Realizar a análise de risco por Simulação de

Monte-Carlo, considerando as seguintes probabilidades:

ProduçãoProbPreçoProbcv compProb 450 15 3,9 25 0,8 30

500 75 4,1 60 0,6 50

550 10 4,3 15 0,5 20

5.3 PROBLEMA 3

Seja o caso de uma empresa que fará investimentos para lançar um produto para a

próxima temporada de verão: um novo modelo de ventilador doméstico.

O investimento, em ajuste de equipamentos, treinamento de pessoal, pesquisa de

mercado e projeto do produto, monta a $ 3 milhões.

O estudo de mercado previu, para os meses de novembro, dezembro, janeiro,

fevereiro e março, as seguintes quantidades de unidades vendidas.

Quantidade (unidades)

Novembro Dezembro Janeiro Fevereiro Março

Máxima 1200 1600 2500 1800 1000

Mais provável 1000 1300 2000 1600 800

Mínima 500 1100 1700 1200 500

Capítulo 6 - Análise de Investimentos em Situação de Risco 6. 19

Estudos anteriores demonstraram que a venda de cada mês normalmente

independem das vendas dos meses anteriores. A dependência maior é das condições

climáticas. O preço de venda do produto é de $ 1.000. O custo variável unitério é de $ 200.

O custo fixo total é de $ 300 mil.

A empresa deseja conhecer o risco que correrá em não conseguir atingir sua TMA,

que é de 6% ao mês.

5.4 PROBLEMA 4

Resolver o problema anterior, supondo que as parcelas sejam dependentes entre sí,

ou seja, que os erros de previsão aconteçam de forma uniforme para todos os meses.

CAPÍTULO 7 - ÁRVORES DE DECISÃO

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

A árvore de decisão é uma maneira gráfica de visualizar as consequências de decisões

atuais e futuras bem como os eventos aleatórios relacionados. Ela permite a conceptualização

e o controle de um bom número de problemas de investimentos sujeitos a riscos.

Veja a estrutura de uma árvore de decisão:

Os nós quadrados representam decisões, e os nós redondos, nós de incerteza,

representam eventos aleatórios.

Nos ramos de uma árvore de decisão devem ser anotados:

• as probabilidades após os nós de incerteza

• os valores de investimentos nos nós de decisão

• os retornos no final dos ramos

Através de um exemplo ilustra-se o uso da árvore de decisão:

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 2

2. EXEMPLO 1* :

Um vendedor ambulante está considerando a possibilidade de vender camisas

esportivas. As camisas seriam compradas por $ 10.00 e vendidas por $ 35.00. Como a

qualidade do material é baixa estima-se que haja 30% de perda para o vendedor ambulante.

Independente da quantidade adquirida, seus custos de transporte e manutenção serão

de $ 1000.00 por dia.

As camisas não vendidas terão um valor residual de $ 2.00.

A demanda diária pelas camisas depende das condições de vigilância nas ruas: se a

vigilância for ostensiva, o vendedor somente consegue vender 50 camisas, vendendo 4 vezes

mais se a vigilância das ruas for fraca. Caso a vigilância for média, o vendedor consegue

colocar 120 camisas.

As camisas só podem ser compradas em lotes pré - determinados: 80, 160, 240 ou 320

unidades. A experiência tem mostrado que há 40% de chance de que a vigilância seja fraca

contra 30% de vigilância ostensiva. Em consequência ela é média 30% das vezes.

Calcule:

a) Qual a quantidade de camisas que o vendedor ambulante deverá comprar para

maximizar o seu lucro esperado?

b) Disponha os resultados sob forma de matriz de receitas.

Solução:

a) Quantidade de camisas que maximiza o lucro esperado.

Alternativas:

A. compra de 80 camisas

B. compra de 160 camisas

C. compra de 240 camisas

* Adaptado de: CAZAROTTO FILHO, Nelson e KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 5o ed. Vértice, São Paulo, 1992.

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 3

D. compra de 320 camisas

Alternativa A:

Custo da alternativa: 80 x 10.00 + 1000.00 = 1800.00

Camisas vendáveis: 80 x 0,7 = 56

Receitas: para vigilância ostensiva: 50 x 35.00 + 6 x 2.00 = 1762.00

para vigilância média: 56 x 35,00 = 1960.00

para vigilância fraca: 56 x 35.00 = 1960.00

Receita líquida: Para vigilância ostensiva (o): 1762.00 - 1800.00 = -38.00

para vigilância média (m): 160.00

para vigilância fraca (f): 160.00

Calcula-se as receitas líquidas das outras alternativas de forma análoga.

A árvore de decisão apresenta-se assim:

As receitas líquidas esperadas são as seguintes:

-38.00

160.00

160.00

-726.00

1320.00

1320.00

-1414.00

896.00

2480.00

-2102.00

208.00

2848.00

o:0,3

f:0,4

m:0,3

o:0,3

f:0,4

m:0,3

o:0,3

f:0,4

m:0,3

o:0,3

f:0,4

m:0,3

A

B

C

D

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 4

E(A) = 0,3 x (-38) + 0,3 x 160 + 0,4 x 160 = 100.60

E(B) = 706.20

E(C) = 836.60

E(D) = 571.00

Desta forma, a melhor alternativa é a C, que consiste na compra de 240 camisas.

b) Matriz de decisão.

Pode-se, também, apresentar o problema sob a forma de matriz de decisão:

Vigilância

Alternativas Ostensiva Média Fraca

A -38.00 160.00 160.00

B -726.00 1320.00 1320.00

C -1414.00 896.00 2480.00

D -2102.00 208.00 2848.00

P(v) 0,3 0,3 0,4

A partir destes dados pode-se, por exemplo, calcular o valor de uma informação

adicional. Vejamos o caso de uma informação perfeita:

Até quanto o vendedor ambulante poderá pagar a um hipotético policial corrupto para

que lhe informe qual o tipo de vigilância que irá ocorrer com certeza?

Deve-se verificar, neste caso, qual a melhor opção quando se sabe o que vai ocorrer:

• Caso a vigilânciaseja ostensiva a melhor alternativa é a A, ou seja, o prejuízo será

de $38.00.

• Caso a vigilância seja média a melhor alternativa é a B, com lucro de 1320.

• Caso a vigilância seja fraca a melhor opção é a alternativa D, com lucro de 2848.

Assim o valor esperado da receita líquida, com informação perfeita, é de:

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 5

V(p) = -38 x 0,3 + 1320 x 0,3 + 2848 x 0,4 = 1523,80

Ora, o valor esperado sem esta informação era de $836,60, correspondente à

alternativa C. Assim o vendedor deve estar disposto a pagar ao policial no máximo:

1523,80 - 836,60 = 687,20.

3. EXEMPLO 2* :

Deseja-se decidir entre várias alternativas a respeito do nível de produção de um

determinado produto levando-se em conta as incertezas do lado da demanda.

Considere que há dois tamanhos de plantas como alternativas de investimentos:

a) Uma planta de grande capacidade que exigiria investimentos da ordem de $ 40 milhões e

b) Uma planta de pequena capacidade que exigiria investimentos, bem menores, de cerca de

metade do investimento anterior. Optando-se pela planta pequena, pode-se ainda daqui a

três anos atingir a capacidade da planta grande através de um projeto de expansão cujos

investimentos valem, atualizados para a época de referência, cerca de $ 25 milhões.

Supõe-se que o mercado tem um comportamento aleatório, não se sabendo com

certeza se a demanda ao longo da vida útil do projeto será elevada, média ou pequena, nem

suas taxas de crescimento. Foram, no entanto, estimadas probabilidades a respeito da

ocorrência desses diversos tipos de comportamento.

Se a empresa optar pela planta grande e o mercado se revelar insuficiente no início da

vida do projeto, poderá ter perdas da ordem de $ 10 milhões, optando pelo fechamento da

fábrica. O grupo investidor poderá, também, esperar o crescimento da demanda. Caso espere

* Adaptado de: NEVES, Cesar das. Análise de Investimentos: Projetos Industriais e Engenharia Econômica. Zahar Editores, Rio de Janeiro, 1982.

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 6

o crescimento da demanda e esta se mantenha pequena, o grupo não terá condições de arcar

com os prejuízos de cerca de $ 30 milhões. Este tipo de raciocínio é estendido a todas as

situações possíveis.

A figura a seguir apresenta as probabilidades de ocorrência dos eventos aleatórios,

bem como os investimentos necessários e os lucros previstos para cada situação:

Escolha a melhor alternativa para a empresa.

4. APLICAÇÕES:

1. As Fibras Mágicas

Você é o analista de investimentos da transmission and distribution corporation (TDC).

O grupo de desenvolvimento acaba de criar tecnologia para transmitir energia por fibras

ótico-infra-plus-red. O grupo de marketing propõe que a TDC construa alguns protótipos e

faça testes de mercado das fibras. O grupo de planejamento, incluindo representantes das

Produzir

Não produzir (0)

Planta grande (-40)

Planta pequena (-20)

Dem. alta (0,2)

Dem. média (0,5)

Dem. peq. (0,3)

Dem. alta (0,2)

Dem. média (0,5)

Dem. peq. (0,3)

Fechar planta

Manter planta

Dem. cresce (0,6)

Mantém (0,3)

Demanda diminui (0,1)

Fechar

Expandir (-25)

Não expandir

Dem. mantém alta (0,9)

Dem. diminui (0.1)

Dem. mantém alta (0,9)

Dem. diminui (0.1)

(95)

(70)

(60)

(-30)

(-10)

(90)

(60)

(50)

(30)

(55)

(30)

(-10)

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 7

áreas de produção, marketing e engenharia, recomendou que a empresa prosseguisse com a

fase de teste e desenvolvimento. Estima-se que essa fase preliminar durará um ano e custará

$100 milhões. Além do mais, o grupo acredita que há uma probabilidade de 65% de que os

testes de produção e marketing sejam bem sucedidos.

A venda destas fibras, porém, está sujeita a:

• Incertezas quanto à demanda por energia elétrica no futuro

• Incertezas quanto ao preço futuro da transmissão de energia

• Incertezas quanto à participação da TDC no mercado de fibras

• Incertezas quanto ao aparecimento de outras formas de geração e transmissão de energia

Se os testes iniciais de mercado forem bem sucedidos, a TDC poderá investir em terrenos,

construção e equipamentos ao final do primeiro ano. Essa fase custará $1.500 milhões. A

produção se dará nos próximos cinco anos. O fluxo de caixa líquido por ano é de $900

milhões. A TMA é de 15% ao ano

Se o teste for malsucedido o fluxo de caixa líquido do investimento será de -630 milhões por

ano.

As decisões a serem tomadas são as seguintes:

1. Deve-se testar e desenvolver a fibra?

2. Deve-se investir na produção em escala?

2. Uma empresa está considerando a compra de um processo industrial. O preço solicitado

pelo processo é de 1300 u.m. Não se sabe exatamente se o processo funcionará sem

problemas quando implantado em regime normal de produção. Melhores garantias de

funcionamento podem ser obtidas se a empresa construir uma planta em pequena escala,

testando o novo processo nesse projeto piloto. O custo desse projeto piloto é estimado em

5900 u.m. Caso o processo funcione a contento, o lucro obtido será, em termos de valores

atuais, da ordem de 25000 u.m. Caso o processo tenha problemas de funcionamento, haverá

um prejuízo de 10000 u.m. Esses valores incluem os gastos de investimentos na planta, custos

operacionais, receitas geradas etc., excluindo porém os gastos referentes à compra do

processo e os gastos com o projeto piloto. As probabilidades de funcionamento, com e sem os

gastos em pesquisa no projeto piloto são:

Capítulo 7 - Árvores de Decisão 7. 8

Sem projeto piloto Com projeto piloto

Funcionamento normal 0,50 0,70

Funcionamento com problemas 0,50 0,30

1,00 1,00

Estabeleça a árvore de decisão levando em consideração todas as alternativas

possíveis. Determine o curso de ação mais recomendável.

CAPÍTULO 8 – OPÇÕES REAIS

1. CONSIDERAÇÕES INICIAIS

Segundo Copeland, Koller e Murrin “Os métodos de precificação de opções são

superiores às abordagens DCF (Discounted Cash Flow) tradicionais porque captam

explicitamente o valor da flexibilidade. Assim, cremos que estas técnicas eventualmente

substituam os métodos tradicionais no que se refere a decisões de investimento em que haja

considerável flexibilidade no futuro”

Veja na figura 1 o fluxo de caixa (em $1.000) que pode exprimir as entradas e saídas

de caixa de um desenvolvimento de um novo produto:

Fig. 1 – Fluxo de caixa do desenvolvimento de um “bom” produto

Se o investimento no desenvolvimento surtir em possíveis bons resultados para a empresa, os

fluxos líquidos anuais resultantes do investimento na produção do produto desenvolvido serão

de R$ 900.000 por ano. O Valor do Negócio (Valor presente dos fluxos líquidos de caixa sem

considerar os investimentos) no ano 1 (um) será de R$3.017.000 com os fluxos descontados a

15%. O VPL será de R$1.517.000,00 em 1.

-$100

-$1.500

$900

0 1 62 Valor do negócio em 1 = 3.017

VPL em 1 = 1.517

3.017

Investimento em Ativos para produção

Fluxos líquidos de caixa

Desenvolvimento

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 2

Dessa forma o investimento na produção seria considerado viável e poderia ser realizado.

Entretanto o desenvolvimento do produto pode não trazer os resultados esperados e a

produção de um produto “não interessante” poderia levar a fluxos líquidos de caixa negativos,

como na figura 2.

Fig. 2 – Fluxo de caixa do desenvolvimento de “mal” produto

Supondo que os fluxos líquidos de caixa sejam de R$650.000,00 negativos por ano, o Valor

do Negócio seria Negativo (-R$2.111.000,00) e o VPL seria de - R$3.611.000,00. Ou seja,

inviável a produção.

A análise da viabilidade em 1 (um) é mais fácil de ser realizada do que avaliar o

desenvolvimento do produto em 0 (zero). Em 1 já se tem idéia do sucesso ou fracasso do

desenvolvimento e a decisão será por investir ou não na produção. Mas quando se analisa se o

produto deve ser desenvolvido ou não, não se tem idéia se o resultado das pesquisas será um

ou outro.

Se forem consideradas as duas possibilidades, de desenvolvimento bem e mal sucedido, em

uma mesma análise através do cálculo do Valor Esperado de seus VPLs, incorre-se no erro de

não considerar a flexibilidade que se tem de optar por não investir quando o desenvolvimento

não se sair bem.

Dessa forma o uso de Árvores de decisão pode ser útil ao considerar a decisão de não investir.

Veja na figura 3 a solução por Árvore de Decisão.

-$100

-$1.500

-630 0 1 6

-2.111

Valor do Negócio em 1 = -2.111

VPL em 1 = -3.611

Desenvolvimento

Investimento em Ativos para produção

Fluxos líquidos de

caixa

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 3

Fig. 3 – Árvore de Decisão

Nos cálculos da Árvore de Decisão foram consideradas as probabilidades de sucesso no

desenvolvimento em 65% e de insucesso em 35%. A TMA ainda é de 15% ao ano.

O Valor esperado do VPL em zero é de R$757.000,00 e, o investimento no desenvolvimento

do produto deveria ser realizado. Agora se o desenvolvimento não der certo o investimento na

produção não será feito e se perderá os valores gastos no desenvolvimento.

Esse é um caso típico de opção de compra e é um direito do investidor. O direito de optar tem

valor e deveria ser valorizado da forma correta.

Os métodos tradicionais de avaliação de investimentos, como o VPL ou TIR, são do tipo

“faça ou não faça” e não consideram a flexibilidade de optar por não fazer em algum

momento posterior a zero.

Mesmo quando se usa métodos mais formais como a Simulação de Monte Carlo, o resultado

incorpora as possibilidades de resultados negativos caso o investimento na produção seja

realizado, mesmo com desenvolvimento malsucedido do produto.

Veja na figura 4 a solução por simulação de monte Carlo.

Fazer Desen

Não Fazer Desenv.

Fim = 0

Desenv Bem Sucedido

0,65

Desenv Mal Sucedido

0,35

Investir

Não Investir

Não Investir

Investir

-

0 1

Valor Negócio em 1 =

Valor Negócio em 1 = -

VPL em 1 =

VPL em 1 = -

VPL = 0

E(VPL) em 0 = 986 / 1,15 – 100 = 757

1.517

0

1517x0,65 + 0x0,35 = 986

757

986

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 4

Fig. 4 – Resultado de uma Simulação de Monte Carlo

Se o desenvolvimento não der certo não se investirá em ativos para produção!!! Os resultados

negativos são abortados!!!

O Valor do Negócio é maior por se ter a possibilidade de fazer a opção de investir. Como

calcular o Valor de poder fazer a opção por investir?

Quanto vale a opção?

2. UMA PALAVRA SOBRE OPÇÕES

FINANCEIRAS

Uma opção é um contrato que dá a seu titular o direito, mas não a obrigação, de comprar

ou vender um ativo a um preço pré-fixado em certa data ou antes disso. O titular da opção

usa a opção somente se é interessante fazê-lo; em caso contrário, a opção pode ser jogada

fora.

-

-

0 1 6 2 Valor esperado do negócio em 1 = 1.222 E(VPL) em 1 = -278 E(VPL) em 0 = -278/1,15 – 100 = -341

E(V.Negócio) =

Desenvolvimento

Investimento em Ativos para produção

A decisão seria por não investir no desenvolvimento.

Mas deve-se avaliar com mais cuidado!!!!!!

DP

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 5

As Opções de Compra (Call Options) dão ao titular o direto, mas não a obrigação, de comprar

um ativo. As Opções de Venda (Put options) dão ao titular o direito, mas não a obrigação, de

vender o ativo.

Alguns termos utilizados na área são mostrados a seguir:

Exercício da Opção

– O ato de comprar ou vender o ativo-objeto por meio do contrato de opção.

Preço de Exercício

– Preço fixado no contrato da opção, ao qual o titular pode comprar ou vender o

ativo-objeto.

Data de Vencimento (Expiry)

– Data a partir da qual a opção não existe mais, ou expira.

Opções americanas e européias.

– Opções Européias podem ser exercidas só na data de vencimento.

– Opções Americanas podem ser exercidas a qualquer momento, até a data de

vencimento

Dentro do dinheiro (In-the-Money)

– O preço de mercado (St - spot price) do ativo-objeto é maior que o preço de

exercício (E).

No dinheiro (At-the-Money)

– O preço de mercado do ativo-objeto é igual ao preço de exercício..

Fora do Dinheiro (Out-of-the-Money)

– O preço de mercado (spot price) do ativo-objeto é menor que preço de exercício.

Como calcular o valor de uma opção?

Opções de Compra

O Valor da Opção de Compra na data de vencimento depende do preço da ação-objeto (ST) na

data de vencimento. ST não éconhecido antes do vencimento. Se a Opção está dentro do

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 6

dinheiro, seu valor é STE. Se a Opção está fora do dinheiro, ela não tem valor, ou seja é

zero.

CaT = CeT = Max[ST - E, 0] Eq. 1

Onde

ST é o valor da ação no vencimento (data T)

E é o preço de exercício.

CaT é o valor de opção de compra americana no vencimento

CeTé o valor da opção européia no vencimento

O valor da opção de compra na data de vencimento é apresentado na figura 5.

Fig. 5 – Valor de uma opção de compra na data de vencimento

O valor de uma opção de compra, na data de vencimento, é zero se o preço da ação é menor

que o preço de exercício. Mas, se o preço da ação for superior ao de exercício, a opção terá

-

10090 80 7060 0 10 20 30 40 50

-

20

0

-

40

60

Preço da ação ST

Valor da Opção no vencimento (C) ($)

Valor de uma opção de compra (Compra de uma opção de compra)

Preço de Exercício (E) = $50

Se Preço da Ação é $60, O valor da opção no vencimento é $10.

(E) Prêmio

ST

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 7

valor. Antes de ver formas para se calcular o preço da opção antes da data de vencimento que,

aliás, é o que interessa, veremos o básico sobre opções de vendas

Opções de Venda

Opções de Venda dão ao titular o direito, mas não a obrigação, de vender o ativo a um preço

prefixado durante certo período.

Quando você vende o Ativo você exerce o direito de venda.

Se a Opção de Venda está Dentro do Dinheiro, o valor de mercado é menor que o preço de

exercício e a opção será exercida. Seu valor é E - ST.

Se a Opção de Venda está Fora do Dinheiro, seu valor de mercado é maior que o preço de

exercício, ela não tem valor e não será exercida.

PaT = PeT = Max[E - ST, 0] Eq. 2

Fig. 6 – Valor de uma opção de venda no vencimento

-

10090 80 7060 0 10 20 30 40 50

-

20

0

-

40

60

Preço da Ação - ST ($)

Valor de uma Opção de Venda – P - ($)

Compra de uma Opção de

Preço de Exercício = $50

Se ST = $60 o valor da opção no vencimento é zero

Se ST = $40 o valor da opção no vencimento é de $10

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 8

Uma questão de interesse maior é determinar o valor da opção antes do vencimento.

Os fatores que determinam o valor da opção de compra são os seguintes:

Valor da opção (C0)

1. Preço ação ou do ativo objeto (St) +

2. Preço Exercício (E) –

3. Taxa juros (r) +

4. Volatilidade preço ação (s2) +

5. Data de vencimento (T) +

O valor de uma opção de compra C0 deve cair entre

max (S0 – E, 0) < C0 < S0.

E a posição correta dependerá dos fatores acima.

A figura 7 mostra o Valor de Mercado, Valor no Tempo e Valor intrínseco de uma opção de

compra americana.

Fig. 7 – Valor de uma opção de compra

CaT > Max[ST - E, 0]

Valor

E ST

Valor Mercado

Valor intrínseco

ST - E

Fora do dinheiro Dentro do dinheiro

ST

O valor de uma opção de compra C0 deve cair entre max (S0 – E, 0) < C0 < S0.

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 9

O Modelo Black-Scholes para avaliar opções

O Modelo Black-Scholes é expreso pela equação 3.

Eq. 3

Onde

C0 = o valor de uma opção européia na data t = 0

r = a taxa de juros livre de risco.

N(d) = Probabilidade de uma variável aleatória, normalmente distribuída, padronizada, ser

menor ou igual a d.

O modelo Black-Scholes permite-nos avaliar opções no mundo real.

Exemplo de Opções Financeiras:

Encontre o valor de uma opção de compra Microsoft com um preço de exercício de $150. O

valor corrente da ação da Microsoft é $160. A taxa de juros disponível nos EUA é r = 5%.

O vencimento da opção é de 6 meses. A volatilidade do Ativo-objeto é de 30% por ano.

Antes de iniciarmos note que o valor intrínseco da opção é $10 — nossa resposta deve ser no

mínimo essa quantia.

Primeiro calcule d1 e d2

Então,

)N()N( 210 dEedSC rT ×−×= −

T

TσrES d

σ

) 2

()/ln( 2

1

++ =

Tdd σ−= 12

T TσrESd

σ )5.()/ln( 2

1 ++

=

5282.0 5.30.0

5).)30.0(5.05(.)150/160ln( 2 1 =

++ =d

31602.05.30.052815.012 =−=−= Tdd σ

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 10

N(d1) = N(0.52815) = 0.7013

N(d2) = N(0.31602) = 0.62401

O valor de uma opção da microsoft com preço de exercício de $150 e Valor corrente de $160

com vencimento em 6 meses é de $20.92

3. OPÇÕES REAIS

Suponha o diagrama de fluxos de caixa da figura 8 que representa o investimento no

desenvolvimento de um produto e o subseqüente investimento em ativos como terrenos,

construções e equipamentos, além do fluxo líquido gerado pela venda dos novos produtos.

Fig. 8 – Diagrama de Fluxos de Caixa de um investimento em desenvolvimento de produto

Compare a figura 8 com a figura 9, onde está representada o investimento em uma opção de

compra.

-

-$1.500

0 1 6 2

E(V.Negócio) = Valor de Mercado (St)

Desenvolvimento

Investimento em Ativos para produção

DP

)N()N( 210 dEedSC rT ×−×= −

92.20$ 62401.01507013.0160$

0

5.05. 0

= ×−×= ×−

C eC

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 11

Fig. 9 – Fluxo de Caixa de uma opção de compra

A analogia é clara, pois, como em opções, o investimento em desenvolvimento é um prêmio

pago para se ter a opção ou não de investir. O investimento nos ativos é análogo ao preço de

exercício e o Valor do Negócio pode ser comparado ao valor de mercado.

Como o investimento no desenvolvimento de produtos não é uma atividade financeira, a

aplicação da teoria de opções financeiras para avaliar este investimento é chamada de teoria

de Opções Reais.

Uma das principais preocupações em opções é calcular o valor intrínseco do prêmio que deve

ser pago pela opção. No caso de opções reais é de interesse o cálculo de qual seria o valor

intrínseco de um desenvolvimento de um produto. Esse valor intrínseco pode ser calculado

pelos métodos adotados em opções financeiras, como binomial ou Black and Scholes.

Se o gasto em desenvolvimento do produto for maior que seu valor intrínseco na mesma data,

então não vale a pena realizar o investimento. Mas, se ao contrário, o gasto em

desenvolvimento for menor que o valor calculado, o VPL será positivo e haverá interesse no

investimento.

Dessa forma: “Pode-se usar os modelos para avaliação de opções financeiras para se dar o

valor de uma opção em ativos reais”

O valor da opção é o valor da Flexibilidade Gerencial que o decisor tem para:

– Investir ou não na produção de um produto gerado por pesquisa e desenvolvimento

– Investir ou adiar um investimento a espera de melhores preços ou condições

-

-

0 T – Data de

Valor de Mercado

Prêmio

Preço de exercício (E)

Se o valor de mercado do ativo objeto for menor que o preço de exercício a

opção não será exercida.

DP

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 12

– Abandonar ou não um projeto que não está indo bem

– Mudar ou não a forma de operação de um projeto

– Prorrogar ou abreviar a vida de um ativo

EXEMPLO 1:

Suponha que os fluxos gerados por um investimento na produção, após uma simulação de

Monte Carlo, apontem o Valor esperado do Valor do Negócio de R$1.390 no período 1 e um

risco de 20%.

O investimento em ativos para produção é de R$ 1.500 em 1, gerando um Valor esperado do

VPL em 1 de - R$ 110 e na data zero de – R$ 195, já considerando o investimento no

desenvolvimento.

Verifica-se, conforme mostrado na figura 10, que o investimento é considerado inviável.

Fig. 10 – Fluxos de caixa do exemplo 1

De outra forma pode-se trazer o Valor Esperado do Valor do Negócio para a data zero:

E(Valor do Negócio) em zero = 1390 / 1,15 = 1209

Este valor esperado pode ser comparado ao valor de mercado na data zero S0. Dessa forma S0

será considerado igual a 1209

O valor do investimento em ativos na data um seria: 1500

-

-

0 1 6 2 Valor esperado do negócio em 1 = 1.390 E(VPL) em 1 = 1390 - 1500 = -110

E(V.Negócio) =

DP = 20% do

Custo da pesquisa E

Investimento em ativos para a produção

E(VPL) em 0 = -110/1,15 - 100 = -195

E(VPL) = - Inviável ?

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 13

Esse é o preço de exercício na data um.

Considerando, então, os seguintes dados:

• Valor do ativo objeto (S) =1209

• Preço de exercício (E) = 1500

• T = 1 ano

• Variância = (0,2)2 = 0,04

• Taxa livre de risco = 10%

d1 = (ln(1209/1500) + (0,1+ 0,04/2).1) / 0,2 *1 = - 0,47962

d2 = - 0,47962 – 0,2 * 1 = -0,67962

N(d1) = 0,31575

N(d2) = 0,24837

Valor da opção = 1209 * 0,31575 – 1500*e -0,1* 1 * 0,24837

Valor da opção = $44.54 mil

O projeto é viável ou não? Qual a sua posição?

EXEMPLO 2

Investir ou adiar um investimento a espera de melhores preços ou condições

Suponha um investimento de $ 1600 mil em um novo projeto. O fluxo de caixa depende do

preço do produto e hoje é de $200 mil, mas poderá passar para $300 mil ou $100 mil no fim

do ano, com igual probabilidade para cada lado. Depois continuará para sempre nos novos

níveis.

O custo de capital é de 10% ao ano. Admita que os fluxos de caixa são gerados

imediatamente.

Solução:

Investir agora:

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 14

O critério VPL adota a premissa implícita de que o investimento deve ser realizado

imediatamente ou não deve ser realizado (se o VPL fosse menor que zero)

Mas, se avaliarmos o projeto com a opção de adiar até que tenhamos maiores informações

sobre o preço:

Dessa forma pode-se fazer a seguinte análise:

Se investir agora: VPL = $600 mil

Investir no fim do ano: VPL = $773 mil

Valor da flexibilidade = $173 mil

Que é o valor da opção

Fluxo esperado = 300 x 0,5 + 100 x 0,5 =

-

$1 600

0 1

VPL = -1600 + 200 + 200 / 0,1 =

300

-

0 1

VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [-1600/1,1 + 300 / 0,1 , 0 ] +

100

VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [1545 , 0 ] + 0,5 * MAX [ -455 , 0] = 0,5 * 1545 + 0,5 *

VPL com flexibilidade =

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 15

Se o risco for maior, melhor. Veja o caso que, ao invés de fluxos de caixa de 300 ou 100

tivéssemos 400 ou zero:

Que é maior por ter risco maior.

Aplicações:

1. Opção de expansão em uma usina hidroelétrica (Brasil, 2004).

Suponha uma oferta de investimento por uma agência reguladora do mercado de energia. Ela

está propondo para investidores projeto de investimento em uma usina hidrelétrica no estado

do mato Grosso do Sul. O quadro abaixo apresenta as linhas componentes dos fluxos de caixa

operacionais esperados do investimento, cuja vida útili é de 30 anos, coincidente com o prazo

de concessão.

Ano 0 1 a 5 6 a 15 16 a 30 Fluxo de Caixa (R$ mil) - 9.800 2000 1500 1000

Para WACC de 18% ao ano o VPL é de –R$ 174 mil.

A volatilidade anual do empreendimento σ é de 20% e a taxa livre de risco é de 10% ao ano.

Esse projeto possui uma opção de expansão da capacidade de geração da usina em 40% da

potência inicial instalada. Essa expansão só poderá ser feita a partir do quinto ano da

concessão. O VP (no ano 5) dos fluxos de ingresso dessa expansão deverá ser de R$ 3.000

mil, para um investimento no ano 5 de R$ 2.800 mil e a volatilidade dessa expansão é a

mesma daquela apurada pela simulação. Os fluxos de caixa da etapa inicial e da etapa de

expansão são perfeitamente correlacionados.

400

-

0 1

VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [-1600/1,1 + 400 / 0,1 , 0 ] +

0

VPL c/ flexibilidade = 0,5 * MAX [2545 , 0 ] + 0,5 * MAX [ -1455 , 0] = 0,5 * 2545 + 0,5 *

VPL com flexibilidade =

Capítulo 8 – Opções Reais 8. 16

Avalie o valor da opção de expansão e o VPL do projeto final considerando a opção de

expansão por Black & Scholes.

2. Considere uma jazida petrolífera offshore com reservas de petróleo estimadas em 50

milhões de barris, em que o valor presente do custo de desenvolvimento é de $ 12.00 por

barril e a defasagem de desenvolvimento é de dois anos. A empresa detém os direitos de

exploração sobre esta jazida pelos próximos 20 anos, e o valor marginal atual por barril de

petróleo é de $12.00 (preço por barril – custo marginal por barril). Uma vez desenvolvido, a

receita líquida de produção será de 5% do valor das reservas. A taxa livre de risco é 8% ao

ano e a variância em ln (preço do petróleo) é de 0,03.

Preço de exercício =

Tempo a decorrer até o vencimento da opção=

Variância do valor do ativo subjacente=

Taxa livre de risco=

Rendimento de dividendos = receita líquida de produção/valor da reserva =

d1=

d2=

N(d1) =

N(d2) =

Valor da opção =

CAP. 9 – DETERMINAÇÃO DA TMA PELO

WACC E CAPM

1. INTRODUÇÃO O estudo do risco em análise de ações será útil para um entendimento mais

aprofundado da taxa de descontos a ser utilizada nas avaliações de investimento

2. CLASSIFICAÇÃO FUNDAMENTAL DO RISCO O risco total de um investimento, medido pela dispersão dos retornos previstos, pode

ser desdobrado em dois componentes distintos:

2.1 RISCO SISTEMÁTICO

Tem origem nas flutuações a que está sujeito o sistema econômico como um todo. No

mercado de ações, portanto, o risco sistemático afeta todas as ações.

Mudanças no ambiente econômico, político e social são fontes de risco sistemático.

Essencialmente, o risco sistemático é relacionado à taxa de juros, ao poder de compra

e ao mercado.

2.2 RISCO NÃO SISTEMÁTICO

Éa parcela do risco total que é característica de um empreendimento ou de um setor

de atividade. Este tipo de risco está associado às particularidades de uma empresa ou

a um grupo de empresas similares, como, por exemplo, aceitação de seus produtos

pelo mercado, greves, invenções e obsoletismo. Uma importante função é

desempenhada pela administração neste tipo de risco, pois, em grande parte, as

perdas provocadas podem ser atribuídas a erros de previsão dos executivos

responsáveis pela condução do empreendimento.

As principais fontes de risco não sistemático são o risco financeiro, o risco de

administração e os riscos do setor.

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 2

O risco sistemático é também chamado de risco não diversificável, enquanto que o

risco não sistemático é o risco diversificável.

O desmembramento do risco total entre risco sistemático e não sistemático será de

grande interesse prático.

3. DIVERSIFICAÇÃO DO RISCO - TEORIA DE MARKOWITZ Pode-se afirmar que a diversificação do risco é a estratégia fundamental para a

proteção contra a incerteza.

A análise teórica do risco foi impulsionada pelo clássico artigo de Harry Markowitz -

“Portfolio Selection”, escrito para The Journal of Finance, volume VII, n. 1, em março de

1952, onde o autor propõe estratégias de diversificação que podem ser consideradas como

um marco histórico na evolução da teoria financeira.

Esta teoria pode ser estendida para análise de qualquer tipo de ativos, e não só para

ativos financeiros (títulos e ações).

3.1 O PRINCÍPIO DA DOMINÂNCIA

Admite-se que, por mais informais que sejam os métodos de seleção de

investimentos, eles estão sujeitos ao Princípio da Dominância.

As hipóteses fundamentais deste princípio são:

• Os investidores procurarão minimizar o nível de risco, dentro de certa classe de

retorno esperado.

• Eles procurarão maximizar o nível de retorno esperado, dentro de determinada

classe de riscos

3.2 A DIVERSIFICAÇÃO SIMPLES (“NAIVE”)

Antes de discorrermos sobre a diversificação de Markowitz, vejamos o tipo de

diversificação que pode ser designada por “simples”. A diversificação simples é a tentativa

de colocar em prática a recomendação implícita no ditado “não ponha todos os ovos numa só

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 3

cesta”. Pode-se inferir que, quanto maior o número de cestas, menor será a chance de

quebrar todos os ovos.

Assim, aqueles que buscam uma diversificação simples esperam reduzir o nível de

risco do portfólio, repartindo ao máximo a sua aplicação entre as alternativas de

investimentos oferecidas.

Com efeito, a diversificação simples consegue a redução do risco não sistemático, e

até sua anulação. Entretanto, estudos empíricos demonstram que portfólios construídos

apenas com 10 a 15 ações são suficientes para reduzir a variabilidade total ao nível de

variabilidade média atribuível ao risco sistemático. Portanto, a busca à diversificação

máxima pode levar à diversificação supérflua, que poderá reduzir o retorno da carteira de

investimentos.

Fig. 1 - Relação entre a variância do retorno de uma carteira e o número de títulos contidos na carteira

3.3 RETORNO E RISCO DE UMA AÇÃO

O retorno esperado é dado pela seguinte fórmula:

E (r) = P x rj j=1

n

j∑

Variância do Retorno da Carteira

Risco não Sistemático

Risco Sistemático

Número de Ações

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 4

Como pode-se observar E(r) é a média ponderada dos retornos rj, tais retornos podem

ser meras opiniões (probabilidades subjetivas) ou, então, retornos de uma série histórica

suficientemente grande (probabilidades objetivas).

O risco é avaliado pela variabilidade dos retornos em torno de E(r):

σ 2

1

= =

∑P [r - E(r)]j j 2 j

n

e σ σ= 2

Exemplo 1 (Ross, 2002):

Suponha que os analistas financeiros achem que há quatro situações futuras possíveis

e equiprováveis para a economia do país: depressão, recessão, normalidade e expansão.

Os retornos da Supertech Company devem acompanhar de perto o comportamento da

economia, mas o mesmo não acontecerá com os da Slowpoke Company. As predições de

retorno são fornecidas a seguir.

Retornos da Supertech Retornos da Slowpoke

Depressão -20% 5%

Recessão 10 20

Normalidade 30 -12

Expansão 50 9

O retorno esperado da Supertech é de 17,5% enquanto que o da Slowpoke é de 5,5%.

O desvio Padrão da Supertech é de 25,86% e da Slowpoke de 11,50%.

O retorno esperado e o desvio padrão de uma ação também pode ser calculado

através de uma série histórica.

Exemplo 2:

Suponha duas ações, A e B, que tenham tido o seguinte comportamento nos últimos 5

anos:

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 5

A B

Ano -5 15% -18

Ano -4 -15 10

Ano -3 17 50

Ano -2 5 45

Último ano 30 65

O retorno esperado da ação A, baseado na média aritmética dos anos anteriores, é de

10% e, da ação B, de 30%. O desvio padrão da ação A é de 15% e da ação B de 30%.

Aplicação

Calcular o Valor esperado dos retornos, o desvio padrão e correlação das ações da Ambev e

da Cemig considerando a série histórica dos últimos 24 meses

(usar planilha eletrônica)

3.4 O MODELO DE DIVERSIFICAÇÃO DE MARKOWITZ

O retorno esperado, para o caso de um portfólio formado por dois ativos (A e B), é

:

E(rp) = wA x E(rA) + wB x E(rB)

Onde:

w é a participação de um ativo no portfólio

O risco de um portfólio é avaliado da seguinte maneira:

σ2p = w2A x σ2Α + w2B x σ2Β + 2 x wA x wB x rA,,B x σΑ x σΒ

Onde:

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 6

rA,B é o coeficiente de correlação entre A e B, e pode ser calculado da seguinte forma:

r

P x [r - E(r x [r - E(r

x A,B

t A,t A B,t B t = 1

n

A B = ∑ )] )]

σ σ

Em que:

Pt é a probabilidade de ocorrência do evento t.

rA,t é o retorno para o ativo A na hipótese t.

Exemplo 3:

Suponha duas ações com as seguintes características:

Ações E(r) σ

A 10%15%

B 30%30%

Calcule o valor esperado do retorno do portfólio para várias combinações dos ativos

A e B, e o desvio padrão para as hipóteses de correlação igual a (-1), (0) e (1).

Faça um gráfico do valor esperado em função do risco para os três coeficientes de

correlação.

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 7

Solução:

Combinações E(rp) Desvio - Padrão

wA wB r = 1 r = 0 r = -1

0 1,00 30% 30,0% 30,0% 30,0%

0,10 0,90 28 28,5 27,0 25,5

0,20 0,80 26 27,0 24,2 21,0

0,30 0,70 24 25,5 21,5 16,5

0,40 0,60 22 24,0 19,0 12,0

0,50 0,50 20 22,5 16,8 7,5

0,60 0,40 18 21,0 15,0 3,0

0,65 0,35 17 20,2 14,3 0,7

0,70 0,30 16 19,5 13,8 1,5

0,80 0,20 14 18,0 13,4 6,0

0,90 0,10 12 16,5 13,8 10,5

1,00 0 10 15,0 15,0 15,0

E o gráfico é o seguinte:

E(rp)

20%

30%

10%

16,7%

15% 30% σp

rA,B= -1

rA,B= 0

rA,B= 1

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 8

O gráfico representa o modelo de Markowitz, e auxilia a visualizar a principal

conclusão deste modelo:

“É possível anular o nível de risco através da formação de carteiras

diversificadas de ações, uma vez que, se duas ações tiverem correlação

perfeitamente negativa (r = - 1), haverá determinada combinação de

ambas em que o risco é nulo.”

É possível, portanto, reduzir o risco abaixo do nível sistemático, desde que o analista

possa localizar investimentos cujas taxas de retorno tenham correlação suficientemente

baixas.

A conseqüência prática da teoria de Markowitz é a determinação do efeito da

correlação entre as variabilidades de retorno dos ativos sobre a variabilidade do portfólio.

A diversificação não deve ser feita aleatoriamente (naive diversification). Não se trata

apenas de pôr os ovos no maior número de cestas que seja possível. Trata-se de considerar o

grau de correlação entre as variabilidades dos ativos ao compor o portfólio.

Pode-se concluir também que os portfólios dominam os ativos individuais, pois a

diversificação implica na redução de riscos e otimização dos retornos.

Exemplo 4:

Se o coeficiente de correlação entre as ações A e B do exemplo anterior é de 0,453,

qual o retorno e risco de um portfólio formado por 60% de A e 40% de B ?

Aplicação

Qual o retorno e o risco de uma carteira formada por 70% de ações da Ambev e 30%

de ações da Cemig (usar planilha eletrônica)

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 9

3.5 A FRONTEIRA EFICIENTE E A CML (CAPITAL MARKET LINE) No gráfico a seguir os pontos representam ativos individuais ou portfólios

ineficientes, e a linha curva - a Fronteira Eficiente - representa os portfólios diversificados.

Pela teoria de Markowitz, os portfólios diversificados dominarão os portfólios

construídos através da diversificação randômica.

Se aplicarmos a diversificação de Markowitz a todos os ativos do mercado, todos os

portfólios possíveis estariam representados sobre a fronteira eficiente.

Em 1963, William Sharpe estendeu a teoria de Markowitz para uma conceituação

mais ampla: a inclusão de ativos “livres de risco” em portfólios diversificados.

Suponhamos um ativo livre de risco, como títulos do governo federal (?), cuja taxa de

retorno seja “R”. O portfólio formado por este ativo e um outro “j” (sujeito a risco) tem os

seguintes parâmetros:

E(rp) = wR x R + wj x E(rj)

σp = wj x σj

E(r)

R

σ

M

CML

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 10

Pois o ativo livre de risco tem variabilidade nula e, portanto, ri,R = 0.

Ambas as equações são lineares, resultando na representação linear dos portfólios,

que são possíveis de ser montados, variando-se wR e wj.

Supondo, ainda, que seja possível tomar emprestado à taxa R, pode-se estender as

retas para além dos pontos marcados que representam ativos arriscados. Ao adotarmos esta

hipótese, estamos admitindo que wR < 0 .

Observa-se ainda que os portfólios que estão representados pela linha RM são mais

eficientes do que todas as demais alternativas, uma vez que esta linha tangencia a fronteira

eficiente no ponto M. Esta linha é denominada de CML (Capital Market Line).

A CML antes do ponto M representa portfólios formados com ativos livres de risco e

o portfólio M diversificado. O segmento à direita de M indica o portfólio alavancado

(“leveraged portfolios”), onde wR < 0 .

A reta CML passa a ser a verdadeira fronteira eficiente do mercado. Sua forma linear

indica que os portfólios por ela representados estão positiva e perfeitamente correlacionados.

O portfólio M representa o portfólio do mercado. Portanto a sua taxa de retorno pode

ser avaliada através da análise das médias do mercado.

Exemplo 5:

Qual o retorno e o risco de um portfólio formado pela composição do exemplo 4 com

um ativo livre de risco (R) com retorno igual a 6%:

a) se R é 30% do total

b) se utiliza-se a taxa de R para financiar 40% dos fundos iniciais para aplicação no portfólio

que combina A e B.

3.6 A TOMADA DE DECISÃO

O comportamento de aversão ao risco deve caracterizar a decisão de um investidor

racional. Isto nos leva às curvas de indiferença.

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 11

As curvas U1 , U2 e U3 , no gráfico a seguir, representam, cada uma, combinações

possíveis de risco e retorno que proporcionariam o mesmo nível de utilidade total ao

investidor. U3 apresenta as combinações que proporcionam utilidade maior que U2 e U1 .

Onde houver tangência entre a curva de indiferença de maior índice e a CML,

teremos a combinação ideal de risco e retorno.

Neste ponto, o portfólio escolhido apresentará apenas risco sistemático, pois se trata

de portfólio diversificado combinado com o ativo livre de risco. Trata-se de um portfólio

eficiente. Também neste ponto, o investidor encontra o mais alto grau de satisfação possível.

4. MODELO DE PRECIFICAÇÃO DE ATIVOS (CAPM) O risco sistemático está associado à incerteza que envolve o mercado como um todo,

assim ele pode ser avaliado pela correlação que existe entre o risco de determinado ativo e o

risco do portfólio do mercado. Através de uma regressão entre os retornos de um ativo e dos

retornos do mercado, encontraríamos a seguinte equação:

ri,t = αi + βi x rm,t + et

σ

E(r)

U3 U2 U1

M

R

CML

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 12

Onde:

ri,t : retorno do ativo i no período t

αi : parâmetro linear da regressão

βi : parâmetro angular da regressão

et : erro

rm,t : retorno do portfólio do mercado no período t (taxa de variação de uma média do

mercado)

Esta reta é chamada de “linha característica” do ativo i .

A variância dos retornos é dada pela equação:

Var (ri) = Var(αi) + Var(βi x rM) + Var(e)

ou:

Var (ri) = Var(βi x rM) + Var(e)

em que o primeiro termo representa o risco sistemático e o segundo termo o risco não

sistemático.

Se considerarmos β o indicador do risco sistemático, pode-se traçar a SML (Security

Market Line) como é apresentada no gráfico a seguir:

E(r)

E(rM)

R

A

B

SML

1,0 β

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 13

A equação da SML, denominada CAPM (Capital Asset Pricing Model), pode ser

escrita da seguinte forma:

E (ri) = R + β [ E (rM) - R ] (CAPM)

Assim:

β pode ser calculado por:

β = Cov( ri , rM ) / (σΜ)2

Os ativos com β menor que a unidade são considerados ativos defensivos, pois a

variação em seu retorno é menor que a variação do mercado como um todo, enquanto que os

ativos com β maior que a unidade são os agressivos.

Se:

Valor teórico do ativo = (rendimento no final de um período + variação no preço)/ TIR

A decisão de comprar seria tomada quando o mercado subavaliasse esse ativo. No

gráfico, A (com β menor que a unidade) se encontra subavaliado. A médio prazo o mercado

reconhecerá esta incoerência, e a demanda por este ativo aumentará sensivelmente, fazendo

o seu preço aumentar e, com isso, reduzindo o retorno esperado até a SML. Pode-se analisar

B por analogia.

Aplicação

Calcular o Beta das ações da Ambev e Cemig em relação ao Ibovespa, utilizando a

fórmula de beta e utilizando a inclinação da linha característica.

Retorno esperado de

um título

Retorno do ativo sem

risco

Diferença entre o retorno da carteira de mercado e

a taxa livre de risco

Beta do

título = + x

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 14

Calcular o valor esperado do retorno das ações da Ambev e da Cemig, considerando

que o investimento livre de risco no Brasil é de 8% ao ano e o prêmio pelo risco de mercado

é de 5%.

5. A TAXA DE DESCONTOS PARA AVALIAÇÕES ECONÔMICAS (WACC) Um dos modelos mais utilizados para determinação da taxa de desconto é o WACC

(Weighted Average Cost of Capital) ou Custo Médio Ponderado de Capital. O WACC é

mensurado através de uma ponderação entre custo de capital próprio e custo das dívidas em

função do nível de endividamento da empresa, como na equação abaixo.

Onde: E: Valor do capital próprio;

D: Valor da Dívida;

RE: Custo de Capital Próprio;

RD: Custo das Dívidas (taxa de juros antes do imposto de renda)

τ : alíquota do IRPJ / CSL

Atualmente, um dos modelos mais utilizados para cálculo do custo de capital próprio é o

CAPM, já apresentado nesse trabalho. A equação do CAPM apresentada anteriormente

apresenta o cálculo da taxa de retorno exigida de um ativo qualquer (Ri) em função de três

variáveis, o índice beta (β) a taxa de retorno do ativo livre de risco (Rf) e o prêmio por risco

de mercado (Rm – Rf). Pode-se dizer que o custo de capital próprio de uma empresa deve

refletir a taxa de retorno exigida para esse investimento, dessa forma pode-se elaborar a

equação a seguir que substitui o custo de capital próprio (RE) pela equação do modelo

CAPM.

)1(** τ− +

+ +

= DE RDE DR

DE EWACC

( )( ) )1(**** τβ − +

+−+ +

= Dfmf RDE DRRR

DE EWACC

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 15

Aplicação

Qual o Custo Médio Ponderado de Capital da Ambev e da Cemig se as estruturas de capital

das duas empresas são:

Ambev: 50% de endividamento

Cemig: 40% de endividamento

O custo de capital de terceiros é de 14% ao ano e a alíquota de imposto de renda é de 34%

5.1 EXEMPLO 1 :

São apresentadas a seguir as taxas de retorno da ação A e do índice de mercado nos

anos de 1 a 12:

Anos Índice Bovespa (x)

Ação A (y)

1 5,0% 7,0%

2 2,5 3,75

3 1,0 1,8

4 0,5 1,15

5 3,0 4,5

6 -2,5 -2,75

7 -2,1 -2,2

8 -3,2 -3,7

9 2,1 3,1

10 4,1 5,9

11 -3,0 -3,5

12 -1,5 -1,4

Calcular α, β e r da ação e analisar os resultados.

Calcular o retorno esperado da ação A se o Rf é 7% e (Rm – Rf) é 6%.

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 16

5.2 EXEMPLO 3:

Veja alguns exemplos retirados do anuário do Bovespa:

Ações αβ r

Villares 1,08 0,94 0,57

Brahma 0,98 0,95 0,67

BB 0,59 1,07 0,67

Petrobrás -1,94 1,19 0,85

Souza Cruz 1,82 0,72 0,68

5.3 APLICAÇÕES:

1. Calcule os coeficientes de correlação dos retornos das três ações no período considerado:

AnoAção AAção BAção C

1 10% 6% -5%

2 -5 10 15

3 -7 12 20

4 15 8 25

5 20 14 30

6 -30 7 -35

7 12 8 20

2. Calcule os desvios - padrão das ações, considerando o período de amostra.

3. Qual o retorno esperado de um portfólio feito com 20% de A, 40% de B e 40% de C. Considere os retornos anuais dos sete anos.

4. Determine o desvio - padrão de um portfólio feito de 20% do ativo A, 40% do B e 40% do C.

5. Qual o retorno esperado para um portfólio que tem 50% investido em A e 50% em B ? Use todos os sete anos dos dados históricos.

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 17

6. Determine o desvio - padrão do portfólio igualmente ponderado de dois ativos sugerido no problema 5.

7. Determine a covariância dos retornos das ações A e B na amostra de 7 anos. (As informações dos problemas 1 e 2 podem ser úteis)

8. Se a correlação entre D e G é 0,1, determine o desvio padrão mínimo para o portfólio formado por D e G. Qual o retorno esperado deste portfólio ? Dica: A seguinte fórmula

determina a proporção de D para o desvio padrão mínimo de um portfólio:

w = - r

+ - 2rD G 2

D,G D

G D,G D

σ σ σ

σ σ σ σ

G

D G 2 2

Ação E(r) Desv. Padrão

D 10% 15%

G 18% 30%

9. Usando as informações do problema 8, qual o retorno e o risco do investidor se ele (a) investir apenas em um ativo livre de risco com R = 8%, (b) investir metade dos fundos no

ativo livre de risco e a outra metade no portfólio de mercado m, e (c) emprestar 50% de seus

fundos iniciais para uma inversão adicional e investir todos os fundos no portfólio de

mercado.

10. Qual a alocação ótima de ativos entre ações ordinárias, títulos de longo prazo do tesouro e obrigações do tesouro nacional ? use as estatísticas abaixo:

A. Valor esperado do retorno:

Ações ordinárias: 12%

Títulos do tesouro: 4,6%

Obrigações do tesouro : 3,5%

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 18

B. Matriz de variância e covariância

Ações Ordinárias Títulos Obrigações

Ações σ = 21,1% cov(a,t) = 19,7% cov(a,t) = -5,02%

Títulos σ = 8,5% cov(t,o) = 6,07%

Obrigações σ = 3,4%

C. Matriz de correlação:

Ações Títulos Obrigações

Ações 1,0 0,11 -0,07

Títulos 1,0 0,21

Obrigações 1,0

11. Calcule o coeficiente beta para a IBM dos 12 trimestres abaixo:

Trimestre Retorno trimestral IBM S & P 500 return

1 6,61% 10,02%

2 19,12 11,10

3 6,3 -0,1

4 -3,09 0,4

5 -5,78 -2,4

6 -6,4 -2,61

7 18,53 9,68

8 -0,02 1,76

9 4,04 9,18

10 -1,69 7,34

11 0,99 -4,10

12 26,42 17,19

12. Calcule a variância dos retornos da IBM, os componentes de risco sistemático e não sistemático, o coeficiente de determinação da IBM com o S & P 500. Qual a relação entre

o risco sistemático da IBM e seu coeficiente de determinação ? mostre a relação

matematicamente. Dica: particione a variância.

Capítulo 9 - Risco em Análise de Ações 9. 19

13. Uma ação tem beta igual a 0,9. Um analista especializado nesta ação espera que seu retorno seja de 13%. Suponha que a taxa livre de risco seja igual a 8% e que o prêmio de

mercado por unidade de risco seja de 6%. Qual sua opinião: o analista é otimista ou

pessimista em relação a esta ação, comparativamente às expectativas do resto do

mercado?

REFERÊNCIAS BIBLIOGRÁFICAS

1. BEKMAN, O. R. e COSTA NETO, Pedro L. Análise Estatística da Decisão. São Paulo, Edgard Blucher, 1980.

2. BRASIL, Haroldo G. Avaliação Moderna de Investimentos. Rio de Janeiro: Qualitymark, 2004.

3. CASAROTTO FILHO, Nelson e KOPITTKE, Bruno H. Análise de Investimentos. 9o ed. Atlas, São Paulo, 2000.

4. COPELAND, KOLLER e MURRIN. Valuation. Makron Books, 2002

5. DAMODARAM, A. Avaliação de Investimentos. Qualitymark, 1997

6. DIXIT e PINDYCK. Investment Under Uncertainty. Princeton University Press, 1994

7. EHRLICH, Pierre J. Engenharia Econômica. Editora Atlas, São Paulo, 1983

8. GRANT, Eugene L. et Alli. Principles of Engineering Economy. New York: Wiley, 1990.

9. HERTZ, David B. Risk Analysis in Capital Investment.Harvard Business Review, Jan. 1964.

10. HILLIER, F. S. et alli, Introduction to Operations Research. San Francisco, Holden Day, 1967.

11. HIRSCHFELD, Henrique. Engenharia Econômica e Análise de Custos. São Paulo, Atlas, 2001.

12. MONTEVECHI, J. A. B. Contribuição para Identificação de Similaridades entre Peças - Abordagem Baseada na Lógica Fuzzy em Sistemas de Apoio Computadorizados. Tese de Doutorado. USP, SP, 1995.

13. NEVES, Cesar das. Análise de Investimentos: Projetos Industriais e Engenharia Econômica. Rio de Janeiro, Zahar, 1982.

14. OLIVEIRA, J. A. N. Engenharia Econômica: Uma Abordagem às Decisões de Investimentos. São Paulo, Mc Grow-Hill, 1982.

15. PAMPLONA, E. O. Abordagem da Inflação na Análise Econômico-Financeira de Investimentos. Dissertação de Mestrado, UFSC, 1984.

16. PAMPLONA, E. O. Contribuição para o Sistema de Custos ABC Através da Avaliação dos Direcionadores de Custos. Tese de Doutorado. FGV / SP. 1997.

17. ROSS, Stephen, WESTERFIELD, Randolph e JAFFE, Jeffrey. Administração Financeira: Corporate Finance. São Paulo: Atlas, 2002.

18. SANTOS, Elieber M. e PAMPLONA, Edson de O. Teoria das Opções Reais: uma atraente opção no processo de análise de investimentos. Revista de Administração da USP - RAUSP. ISSN 0080-2107. V. 40, n. 3, julho/setembro de 2005

19. WISTON, Wayne L. Introduction to Mathematical Programming: Applications and Algoritms. Duxbury Press. 1995.

20. WOILER, S et Alli. Projetos. São Paulo, Atlas, 1983.

APÊNDICE A

ÁREAS SOB A CURVA NORMAL

APÊNDICE B

NÚMEROS ALEATÓRIOS

APÊNDICE C

FATORES DE JUROS COMPOSTOS

PARA RELAÇÕES DE EQUIVALÊNCIA

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