Equação do Segundo Grau, Slides de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)
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Equação do Segundo Grau, Slides de Matemática. Centro Universitario Nove de Julho (UNINOVE)

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Material sobre equação do segundo grau - Uninove.
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Matemática Módulo I

Os direitos desta obra foram cedidos à Universidade Nove de Julho

Este material é parte integrante da disciplina oferecida pela UNINOVE. O acesso às atividades, conteúdos multimídia e interativo, encontros virtuais, fóruns de discussão e a comunicação com o professor devem ser feitos diretamente no ambiente virtual de aprendizagem UNINOVE. Uso consciente do papel. Cause boa impressão, imprima menos.

Equação do 2º Grau Completa Objetivo: resolver equações do 2º grau na forma completa, isto é: ax2 + bx + c = 0 (com a ≠ 0).

Anteriormente você aprendeu a revolver equações do 2º grau incompletas,

por faltarem os termos b ou o c. Agora, você vai aprender a resolver as equações do

2º grau completas. Para tanto, vamos partir da seguinte situação problema:

O projeto de jardim retangular prevê que se coloquem pedras ornamentais,

formando com o jardim uma área maior, também retangular. Na figura a seguir, a

região cinza representa o lugar em que as pedras deverão ser colocadas.

Sabendo-se que a área ocupada pelas pedras é de 46 m2, calcule a medida x,

em metros.

Podemos observar que a área (cinza), ocupada pelas pedras, forma dois

retângulos conforme a figura abaixo:

Portanto, a área total que será ocupada pelas pedras será a soma da área

dos dois retângulos: Assim, temos:

Área (ocupada pelas pedras) = (15 + x). x (área do retângulo horizontal) + 6.x (área do retângulo vertical)

Área (ocupada pelas pedras) = 15x + x2 + 6x

Como a área ocupada pelas pedras é de 46 m2, temos a situação problema

equacionada da seguinte forma:

x2 + 21x – 46 = 0

Note que a equação resultante, é uma equação completa do 2º grau. Para a

resolução desse tipo de equação utilizaremos a fórmula de Bháskara.

Resolução de equação do 2º grau completa Exemplo 1: 9x2 - 30x + 25 = 0

1º Passo: identificamos os coeficientes e o termo independente.a = 9

b = -30

c = 25

2º passo: aplicamos a fórmula de Bháskara.

3 5

18 30

18 030"

3 5

18 30

18 030'

18 030

9.2 0)30(

.2

0 900900

25.9.4)30( ..4

2

2

== −

=

== +

=

± =

±−− =

∆±− =

=∆ −=∆ −−=∆

−=∆

x

x

x

x

a bx

cab

Observe que: x’= 3 5 e x”=

3 5 , são as raízes da equação do 2º grau. Quando o

valor do ∆ for igual a zero (∆= 0) as raízes da equação são iguais (x’ = x”).

Exemplo 2: 4x2 + 7x + 3 = 2x2 + 2x

Observe que a equação não está na forma geral. Assim, devemos organizar

todos os termos para identificar os coeficientes a, b e c, ou seja, sempre devemos

colocar a equação na forma geral, com coeficientes inteiros.

4x2 – 2x2 + 7x – 2 x + 3 =0

2x2 + 5x + 3 = 0

a = 2

b = 5

c = 3

2 3

4 6

4 15"

1 4 4

4 15'

4 15 2.2

1)5( .2

1 2425

3.2.4)5( ..4

2

2

−= − =

−− =

−= − =

+− =

±− =

±− =

∆±− =

=∆ −=∆ −=∆

−=∆

x

x

x

x

a bx

cab

Raízes da equação →   

  −−=

2 3,1S

Exemplo 3: x2 – 4x + 5 = 0

a = 1

b = –4

c = 5

4 2016

5.1.4)4( ..4

2

2

−=∆ −=∆ −−=∆

−=∆ cab

Atenção! Nesse caso, 4−→∆ não é um número real. Assim a equação

não possui raízes reais, isto é a equação não tem solução em R.

Exemplo 4: 2x2 - 12x + 10 =0 (÷ 2) x2 – 6x + 5 = 0

Se todos os coeficientes forem múltiplos de um mesmo número, você pode

dividir os dois membros da equação por esse número. É conveniente trabalhar com

coeficientes de menor valor absoluto. Exemplo: 25x2 – 60x + 80 = 0(÷5)5x2 - 12x

+16 =0

Resolvendo a equação:

a = 1

b = –6

c = 5

1 2 2

2 46"

5 2

10 2

46'

2 46

1.2 16)6(

.2

16 2036

5.1.4)6( ..4

2

2

== −

=

== +

=

± =

±−− =

∆±− =

=∆ −=∆ −−=∆

−=∆

x

x

x

x

a bx

cab

Raízes da equação → }{ 5,1=S

Exemplo 5: DICA: quando a equação é fracionária você deve encontrar frações equivalentes às dadas (m.m.c.) e que tenham o mesmo denominador.

0232 6 2

6 3

6 2

3 1

23

2

2

2

=−−

=−

=−

xx

xx

xx

Sendo assim:

a = 2

b = –3

c = –2

2 1

4 2

4 53"

2 4 8

4 53'

4 53

2.2 25)3(

.2

25 169

)2.(2.4)3( ..4

2

2

−=−= −

=

== +

=

± =

±−− =

∆±− =

=∆ +=∆

−−−=∆

−=∆

x

x

x

x

a bx

cab

Raízes da equação →   

  −=

2 1,2S

Voltando à situação problema inicial (o problema do jardim) Depois de vários exemplos você será capaz de resolver o problema do jardim,

a partir da equação:

x2 + 21x – 46 = 0 a = 1 b = 21 e c = – 46

23 2

2 2521

1.2 62521

2

625 184441

)46.(1.4)21( ..4

2

2

−= =

±−=

±−=

∆ ±−=

=∆ +=∆

−−=∆

−=∆

x x

x

x

a bx

cab

Observação: O resultado -23 não satisfaz o problema. Sendo assim, o valor a

ser considerado para x é o número 2.

Acesse o espaço online da UNINOVE para assistir à videoaula referente ao conteúdo assimilado.

REFERÊNCIAS

CASTRUCCI, G. A conquista da Matemática –Ensino Fundamental – 8ªsérie.São Paulo: Editora FTD, 2010.

DANTE, Luiz Roberto. Tudo é Matemática – Ensino Fundamental – 9º ano.3. ed. São Paulo: Editora Ática, 2010.

GUELII, Oscar.Uma Aventura do Pensamento –Ensino Fundamental – 8ª série –São Paulo: Editora Ática, 2004.

MORI, Iracema; ONAGA, Satiko Dulce. Matemática Ideias e Desafios – Ensino

Fundamental – 9º ano. São Paulo: Atual Saraiva, 2011.

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