Equações Diferenciais Ordinárias - apostila equações diferenciais, Notas de estudo de Engenharia Mecânica

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Microsoft Word - Apostila Valeria.doc

EQUAÇÕES DIFERENCIAIS APLICADAS PROGRAMA: 1) Equações Diferenciais de 1a Ordem

a) Definição e classificação das equações diferenciais. b) Solução geral e solução particular. c) Equação de Variáveis Separáveis. d) Equação Homogênea. e) Equações Lineares. f) Equação Diferencial Exata. Fator Integrante. g) Aplicações.

2) Equações Diferenciais Lineares de Ordem n a) Classificação. b) Equações diferenciais lineares homogêneas de 2a ordem com coeficientes constantes. c) Equações diferenciais lineares homogêneas de ordem n com coeficientes constantes. d) Equações diferenciais lineares não-homogêneas de ordem n com coeficientes

constantes. e) Método dos coeficientes a determinar para o cálculo de uma solução particular. f) Método da variação dos parâmetros para o cálculo de uma solução particular. g) Método dos operadores para o cálculo de uma solução particular. h) Equações diferenciais lineares de coeficientes variáveis. i) Equação de Euler-Cauchy, homogênea e não-homogênea. j) Equação de Euler-Cauchy generalizada. k) Método da Redução de Ordem. l) Aplicações.

3) Sistemas de Equações Diferenciais a) Método da Eliminação. b) Método dos Operadores. c) Método Matricial (autovalores e autovetores). d) Aplicações (sistemas massa-mola e circuitos elétricos).

4) Transformação de Laplace a) Definição e propriedades. Cálculo de integrais. b) Definição de Transformada Inversa de Laplace. Teorema de Lerch. Propriedades. c) Cálculo da Transformada Inversa de Laplace: por inspeção e por frações parciais. d) Solução de equações diferenciais e sistemas de equações diferenciais.

5) Seqüências e Séries de Números Reais a) Seqüências. b) Séries Numéricas. c) Critérios de convergência e divergência de séries numéricas. d) Séries de Potências: definição. Intervalo de convergência. e) Série de MacLaurin. Série de Taylor.

6) Resolução de Equações Diferenciais Lineares por Séries a) Resolução em torno de um Ponto Ordinário. b) Resolução em torno de um Ponto Singular Regular (Método de Frobenius).

Livro texto: Equações Diferenciais Elementares e Problemas de Valores de Contorno William Boyce & Richard Diprima

1 Equações diferenciais de 1a ordem

1.1 Equações diferenciais

Definição 1: Uma equação cujas incógnitas são funções e que contém, pelo menos, uma derivada ou diferencial dessas funções é denominada de equação diferencial.

Definição 2: Se uma equação diferencial só contém diferenciais ou derivadas

totais é denominada de equação diferencial ordinária. Definição 3: Se uma equação diferencial contém, pelo menos, uma derivada

parcial é denominada de equação diferencial parcial. Exemplos:

a) 2 dx

dy

dx

yd x

2

2

=−⋅

b) 0dxydyx =⋅−⋅ ordinárias

c) xeyy =+′′

d) ( )yx,zz , 0 y

z

x

z 2

2

2

2

== ∂ ∂+

∂ ∂

parciais

e) ( )zy,x,uu , 0 z

u

y

u

x

u 2

2

2

2

2

2

== ∂ ∂+

∂ ∂+

∂ ∂

Definição 4: Chama-se ordem de uma equação diferencial a ordem da “maior”

derivada que aparece na equação. Definição 5: O grau de uma equação diferencial é o grau da derivada de maior

ordem envolvida na equação. Exemplos:

a) 0y dx

dy

dx

yd 2

2

=++

b) ( ) 0 dt

xd tcos22t

dt

dx 3

3 2

10

=⋅⋅+− 

  



c) x 43

2

2

e dx

dy x

dx

yd = 

  

⋅+  





 





d) 3

2

22

2

3

y

u y

yx

u x

 





 





∂ ∂⋅=

 





 





∂⋅∂ ∂⋅

e) 0 y

u

x

u 2

2

2

2

= ∂ ∂+

∂ ∂

1.2 Resolução

Resolver uma equação diferencial significa determinar as funções que satisfa- zem tal equação. Dessa forma, é pela integração de uma diferencial que se dá a solução e, geometricamente, as curvas que representam soluções são chamadas curvas integrais.

Existem 3 tipos de soluções: 1.2.1 Solução geral: é a solução da equação que contém tantas constantes

arbitrárias quantas forem as unidades da ordem de integração; 1.2.2 Solução particular: é a solução deduzida da solução geral atribuindo-se

valores particulares às constantes; 1.2.3 Solução singular: é uma solução não deduzida da solução geral e que só

existe em alguns casos.

Exemplos:

a) Dada a equação 2x dx

dy = , determine a solução geral e represente geometri-

camente. (esta família de curvas recebe o nome de curvas integrais) b) Sendo dadas as curvas seguintes determinar, para cada uma delas, a equação

diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária: i) ( ) ( )xcoscxsency 21 ⋅+⋅= ii) 2xcy ⋅=

iii) 2 2

1 cxcy +⋅= iv) ( )bxcosay +⋅= , onde a e b são constantes v) 2x2

3x 1 ececy

−⋅+⋅=

Definição 6: Uma condição inicial é uma condição da solução de uma equação diferencial num ponto.

Definição 7: Uma equação diferencial com uma condição inicial apresentada é

chamada problema de valor inicial (PVI). Exemplos: a) Seja a equação diferencial 0yy =+′′ . Verifique que a função

( ) ( )xcoscxsency 21 ⋅+⋅= é solução da equação diferencial e determine o valor das constantes (a solução particular) através do PVI

( ) ( )

=′ =

10y

20y .

b) Idem para 06y dx

dy

dx

yd 2

2

=−− , 2x2 3x

1 ececy −⋅+⋅= ,

( ) ( )

−=′ =

100y

00y .

c) Idem para 04yy =+′′ , ( ) ( )2xsenc2xcoscy 21 ⋅+⋅= , ( ) ( ) 



−=′

−=

54y

34y

π π

.

1.3 Exercícios

1) Sendo dadas as curvas seguintes, determinar para cada uma delas a equação diferencial de menor ordem possível que não contenha nenhuma constante arbitrária:

a) 222 cyx =+ R: 0dyydxx =⋅+⋅

b) xecy ⋅= R: 0y dx

dy =−

c) ( ) 0 xe y x, yxcx 22223 ≠≠−⋅= R: ( ) 0dx3yxdy2xy 22 =⋅−+⋅ d) ( ) ( )2xsenc2xcoscy 21 ⋅+⋅= R: 04y

dx

yd 2

2

=+

e) ( ) 3x21 cexccy +⋅+= R: 0dx dy

dx

yd 2

dx

yd 2

2

3

3

=+⋅−

f) x2 2x

1 ececy −⋅+⋅= R: 02y

dx

dy

dx

yd 2

2

=−−

g) 0y x,, ca ;ay 1 y x

ln te ≠≡+= 

  

 R: 0dy

y x

lnxdxy =⋅ 

  

 ⋅−⋅

2) Em cada caso, verificar que a função dada constitui uma solução da equação:

a) -2xecy ; 02yy ⋅==+′

b) cbxaxy ; 0y 2 ++==′′′ c) ( ) ( )xsenbxcosay ; 0yy ⋅+⋅==+′′ d) xececy ;x yy x2

x 1 −⋅+⋅==−′′

e) cxy ;2x y 2 +==′

f) 2xcy ; x

2y y ⋅==′

g) 2x-ecy ; 02xyy ⋅==+′

h) cy x; y x

y 22 =+−=′

i) 2xx2x eecy ; eyy +⋅==−′

j) ( ) 



=

−⋅= =+′−′

4 x

y

cxcy ; 0yyxy 2

2

2 1

2

k) ( )xcosy ; 0yy ==+′′

l) ( ) ( ) ( ) ( )





−=

+= =

=′

5

4 xseny

3xseny

xseny

; xcosy

3

2

1

m)





⋅−=

⋅= =

=−′ x

3

x 2

x 1

e 5

6 y

e2y

ey

; 0yy

n) 



⋅+⋅= = =

=+′⋅−′′⋅ 3

2 2

13

3 2

2 1

2

xcxcy

xy

xy

; 06yy4xyx

3) Em cada caso, determinar ( ) ⋅= dxxfy e a constante de integração c, de modo que y satisfaça a condição dada:

a) ( ) ( ) 02y ; xxf 2 == R: ( )8x 3

1 y 3 −=

b) ( ) ( ) ( ) 2

y ; xcosxf 2 ππ == R: ( )2xsen

4

1 x

2

1 y +=

c) ( ) ( ) ( ) 10y ; 2xcosxf == R: ( ) 1 2

2xsen y +=

d) ( ) ( ) 00y ; exxf 2x- =⋅= R:   

   +−= − 1e

2

1 y

2x

4) Em cada caso, verificar que a função dada é solução da equação diferencial

correspondente e determinar as constantes de modo que a solução particular satisfaça a condição dada:

a) 3y(0) ; ecy ; 0yy x =⋅==+′ − R: xe3y −⋅=

b) 6y(1) ; 5ecy ; 5yy x =+⋅==+′ − R: 5ey x1 += −

c) 2y(0) ; ecy ; 02xyy 2x −=⋅==+′ − R:

2xe2y −⋅−=

d) 3y(1) ; xcy ; x

2y

dx

dy 2 =⋅== R: 2x3y ⋅=

e) ( ) ( )

=′ −=

+⋅==− 41y

81y ; cxcy ; 0

dx

dy

dx

yd x 2

2 12

2

R: 102xy 2 −=

f) ( ) ( )( )  

=′

= +⋅==+

32 3y

2 a

2 3y

; bxcosay ; 0y dx

yd 2

2

π π

R:  

  

 +⋅= 6

xcos2y π

5) Suponha que r1 e r2 são duas raízes reais e distintas da equação

( ) 0crabar2 =+−+ . Verifique se a função 21 r2r1 xdxdy += , onde d1 e d2 são

constantes arbitrárias, é uma solução da equação diferencial

0cyybxyax2 =+′+′′

1.4 Equações de 1a ordem e 1o grau

São equações do tipo ( )yx,f dx

dy = .

Se ( ) ( )( )yx,N yx,M

yx,f −= , com ( ) 0yx,N ≠ , podemos escrever: ( ) ( )yx,N

yx,M

dx

dy −= 0NdyMdx =+

1.5 Equações de Variáveis Separáveis Se apresentam ou são transformáveis numa equação do tipo 0NdyMdx =+ ,

onde M e N podem ser: 1.5.1 funções de uma variável ou 1.5.2 produtos com fatores de uma só variável ou 1.5.3 constantes. São equações de fácil solução, bastando isolar os termos de x e y e integrar. Exemplos:

a) ( ) ( ) 0dyxy2ydx1y2 =+−− b) 0xdyydx =− c) ( ) 0dyxdxy11x 222 =⋅−⋅−⋅− d) 13x

dx

dy −=

e) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxsecytgdxysecxtg =⋅⋅−⋅⋅

1.6 Exercícios

1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais: a) ( ) 0ydxdy1x =−− R: ( )1xky −=

b) ( )xyx1 y1

dx

dy 2

2

+ += R: 1

1x

kx y

2

2 2 −

+ =

c) ( ) 0xcosy dx

dy =⋅+ R: ( )xsene k

y =

d) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy xtgysecdx ytgxsec 22 =⋅+⋅ R: ( ) ( )xcotgkytg ⋅= e)

dx

dy xy2y

dx

dy xa =



  

 +⋅ R: ( )a2a ykxlny ⋅=

f) ( ) ( ) 0dyxy1dxyx1 3232 =−++ R: k y

1

x

1

2

1

y

x ln

22 = 

   

 +−



  



g) ( )( ) ( )( ) 0dybyaxdxbyax 22222222 =−−+++ R: c

b

y arctg2by

ax

ax lnx

a

= 

  

⋅−+ 

  



+ −+

h) ( ) 0 dx

dy ytg

x

1 =− R: ( ) kycosx =⋅

i) ( ) 0dy1xdx4xy 22 =++ R: ( ) c y

1 1xln

22 =−+

j) ( ) 0dy2y3dxxy =⋅−−⋅ R: ( )122 kylnx6y =− k) 0dyyexdx

2x =+ − R: kye 2x 2

=+ l) ( ) ( ) 0dyx3dxy2 =−−+ R: ( )( ) kx3y2 =−+ m) ( ) 0dyx1dxxy 2 =⋅+−⋅ R: ( )22 x1ky += n)

4x

e

dx

dy 2

2y

+ =

− R: k

2

x arctge2y +



  

=

o) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcosysendxxsenycos2 =⋅+⋅ R: ( )( ) ( ) kysecxsecln =+

2) Resolva os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

a) ( ) ( ) 20y ; 0dydxyy 2 ==−− R: xe

2

1 1

1 y

−− =

b) ( ) 10y ; 0ydydxex ==− R: 12ey x2 −= c) ( ) 41y ; 0dyxdxy ==− R: ( )21xy += d) ( ) ( ) 10y ; 0dy1xdxy2 ==−+ R: y

y1

ex1

=−

e) ( ) ( ) ( )3ln2y ; 0dyxxdx 3 ==−+ R:  





 





− =

1x2

3x lny

2

f) ( ) ( ) ( ) 22y ; 0dyx1dxy1 22 ==−+− R: ( )1x9 1x

1y

1y

− +=

+ −

g) ( ) ( ) 21y ; 0dyxdxy1 32 ==+− R:  





 



 −

⋅= − + 2

2

x

x1

e3 1y

1y

h) ( ) 11y ; 0dyx1dxy1 22 ==−+− R: ( ) ( ) 0yarccosxarccos =+ i) ( ) ( ) ( ) 11y ; 0dyx1dxy1 22 ==+++ R: ( ) ( )xarctg

2 yarctg −= π

j) ( ) ( ) ( ) 17y ; 0dyx6xydx3x 2 ==−++ R: ( ) x

6x7 y

3 2 −=

k) ( ) ( ) 00y ; 0ydy1x2dxxe 2y ==+− R: ( ) ( ) 3

1x

1 1xln1y2e y −

+ ++=+− −

l) ( ) ( ) ( ) 11y ; 0dy1xdxxlny 2 ==+−⋅ R: ( )1xx

2x y

1x

1

+⋅

= +

m) ( ) ( ) 00y ; 0dye1dxe 2xx ==+− − R: ( ) ( )4ln

1e

1 1elney

x

2xx + +

−+−=

n) ( ) ( )( ) ( )( )( ) ( ) ( )3ln3y ; 0dyxtglnydxxtgxcotg ==−+ π R: ( )( )2xtglny = o) ( ) ( ) ( ) 32y ; 0dy3ycosdx2xsen ππ ==+ R: ( ) ( ) 32x3cos3y2sen += p) ( ) 10y ; 0dyyexdx x ==+ − R: ( ) 1x12ey x2 −−= q) ( ) 20r ;r

d

dr == θ

R: θ2er =

r) ( ) 20y ; yxy

2x

dx

dy 2

−= +

= R: ( )[ ]2 222 x1elny += s) ( ) ( ) 10y ; x1xy

dx

dy 2 1

23 =+= −

R: ( ) 212

2

x123

1 y

+− =

t) ( ) 02y ; 2y1

2x

dx

dy = +

= R: ( ) 4xy1y 2 −=+

u) ( ) ( ) 00y ; 0dy1ydxxe 5x 2 ==−+ R: ( ) 36yy3e 5x2 =−+

3) Observe que a equação yx

4xy

dx

dy

− −= não é separável, mas se a variável y for

substituída por uma nova variável v, definida por x

y v = , então a equação se

torna separável em x e v. Ache a solução da equação dada usando esta técnica.

R: ( ) ( ) k2xy2xy 3 =−+

1.7 Equações Homogêneas

Definição 8: Diz-se que uma função ( )zy,x,f é homogênea se, substituindo-se

x por kx, y por ky e z por kz, for verdadeira a igualdade ( ) ( )zy,x,fkkzky,kx,f m ⋅= , onde m é dito grau de homogeneidade.

Exemplos:

f) ( ) 22 y2xyxyx,f +−=

g) ( ) 5 3323 zxyzyxyxzy,x,f −−++=

h) ( )  

  

+ ++ +−=

x

y sen

yxyx

yxyx yx,f

22

22

Definição 9: As equações homogêneas são do tipo, ou podem ser transforma-

das, em 0NdyMdx =+ , onde M e N são funções homogêneas do mesmo grau. Exemplos:

a) ( ) 0dy2xydxyx 22 =⋅−⋅− b) ( ) ( ) 0dy4yxdxy2x =⋅+−⋅− c) ( ) ( ) 0dy4yxdxyx 22 =⋅+−⋅− Seja 0NdyMdx =+ uma equação homogênea.

Então, NdyMdx −= N

M

dx

dy −= .

Como a equação é homogênea, M e N têm o mesmo grau de homogeneidade

m. Daí, se dividirmos M e N por xm, transformaremos N

M− numa função do tipo

 

  



x

y F .

Daí,  

  

= x

y F

dx

dy . (I)

Se fizermos t x

y = ou txy = e derivarmos em relação a x, teremos a equação

dx

dt xt

dx

dy += . (II)

Substituindo (II) em (I), F(t) dx

dt xt =+

x

dx

tF(t)

dt = −

, que é uma equação

de variáveis separáveis. Exemplos:

a) ( ) 0dxx2xyydy2x 222 =⋅−−+⋅ b) ( ) 0dxyxdyxy 332 =⋅+−⋅ c) ( ) 0dy2xydx3yx 22 =⋅+⋅−

1.8 Exercícios

2) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ( ) 02xydydxyx 22 =−− R: k3xyx 23 =− b) ( ) 0xydydxyx 22 =−+ R: 2

2

2x

y

ekx =

c) ( ) ( ) 0dyyxdxyx =+−− R: ky2xyx 22 =−−

d) ( ) ( ) 0ydyy2xdxyx 22 =+++ R: ky3xyx 323 =++ e) ( ) ( ) 0dyxydxyx =−++ R: ( )[ ] 



  

⋅=+ x

y arctg2yxkln 22

f) ( ) ( ) 0dyyxdxy2xx 22 =+++ R: kyy3xx 323 =++ g) 0 x;dx yxydxxdy 22 >+=− R: 222 kxyyx =++

h) ( ) 0xydydxyxyx 22 =−+− R: ( ) k x

y yxln =+−

i) x

y e

dx

dy x y

+= R: 

  

  

  

⋅−= x k

lnlnxy

j) 0xdydxyx x y

senx =− 

  

 ++ 

  

⋅ R: ( )  

  

− 

  

= x y

sec x y

tgkxln

k) ( ) 0 x; 0dyxxy2ydx >=−⋅+ R: ( ) kyln y

x =+

l) ( ) ( ) 0dyx3xy4ydxy3xy4x 2222 =+++++ R: ( ) ( ) kyxyx 2322 =+⋅+ m) 0dy

y

x cosx

y

x senydx

y

x cosy =



   

  

  

 ⋅−



  

 ⋅+



  

 ⋅ R: 



  

 ⋅=

y x

cossecky

n) ( ) 0ydxdy2yx =+− R: ( ) kxyy =−⋅

2) Resolva os problemas de valor inicial (PVI) abaixo:

a) ( ) ( ) 2y ; 1 x; 0dy4yxdxy2x ===+−− R: 092yxyx 22 =+−− b) ( ) 1y ; 2 x; 02xydydx3yx 22 ===+− R: 322 x

8

3 xy −=−

c) ( ) 



=

+=

11y x

xyx

dx

dy 2

2

R: x xy

ex −

=

d)

( )





=

 

  

⋅− =

4 1y

x x

y cosxy

dx

dy 2

π R: ( )xln1

x

y tg −=



  



e) ( ) 



=

+=

13y x

3xy4y

dx

dy 3

23

R: ( )( ) ( )5 5

4 xy 3

4 x4yxy ⋅=−+

3) Dadas as equações abaixo, verifique que a mudança para coordenadas polares,

( )θcosrx ⋅= e ( )θsenry ⋅= , transforma as equações em variáveis separáveis e, então, resolva as equações:

a) ( ) 0xydydxyx 22 =−+ R: ( ) 2

22

2x

yx kxln

+=

b) x

y

y

x ln

x

y

dx

dy + 

  

 ⋅= R: k

y

x lnx =



  

 ⋅

1.9 Equações Diferenciais Exatas

Definição 10: Uma equação na forma, ou redutível à forma 0NdyMdx =+ é diferencial exata se existe ( )yx,U tal que:

0NdyMdxdU =+= (como 0dU = então ( ) cyx,U = )

Teorema: Sejam M e N funções contínuas e deriváveis. 0NdyMdx =+ é

diferencial exata se, e somente se, x

N

y

M

∂ ∂=

∂ ∂

.

Demonstração: ( ) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que 0NdyMdx =+ é

diferencial exata. Então, ( )yx,U∃ tal que ( ) cyx,U = e 0NdyMdxdU =+= . Pela definição de diferencial total,

dy y

U dx

x

U dU

∂ ∂+

∂ ∂=

dy y

U dx

x

U NdyMdx

∂ ∂+

∂ ∂=+

x

U M

∂ ∂= e

y

U N

∂ ∂=

xy

U

y

M 2

∂∂ ∂=

∂ ∂

e y x

U

x

N 2

∂∂ ∂=

∂ ∂

.

Pelo teorema de Schwartz, xy

U

y x

U 22

∂∂ ∂=

∂∂ ∂

.

Daí, x

N

y

M

∂ ∂=

∂ ∂

.

(⇐) Sejam M e N funções contínuas e deriváveis tais que x

N

y

M

∂ ∂=

∂ ∂

.

Seja 0NdyMdx =+ .

Pelo teorema de Schwartz,  

  



∂ ∂

∂ ∂=



  



∂ ∂

∂ ∂

y

U

x x

U

y .

Daí, x

U M

∂ ∂= e

y

U N

∂ ∂= .

dx x

U Mdx

∂ ∂= e dy

y

U Ndy

∂ ∂= .

0dUdy y

U dx

x

U NdyMdx ==

∂ ∂+

∂ ∂=+ .

Logo, 0NdyMdx =+ é diferencial exata.

Exemplo: Verificar se a equação ( ) 02xydydxyx 22 =−− é diferencial exata.

Resolução: Sabemos que x

N

y

M

∂ ∂=

∂ ∂

e queremos determinar a função ( )yx,U tal que NdyMdxdU += .

Seja = Mdxw a integral parcial de Mdx , isto é, a integral obtida quando se considera y constante ( )( )yx,MM = .

Mostraremos que y

w N

∂ ∂− é função apenas de y:

( ) = 

  



∂ ∂

∂ ∂−

∂ ∂=



  



∂ ∂−

∂ ∂

w y x x

N

y

w N

x

( ) = 

  



∂ ∂

∂ ∂−

∂ ∂= Mdxy x x

N

( ) = 

  



∂ ∂

∂ ∂−

∂ ∂= Mdx xy x

N

( ) = ∂ ∂−

∂ ∂= M

y x

N

0 y

M

x

N =

∂ ∂−

∂ ∂= .

Se tomarmos dy y

w NwU 



  



∂ ∂−+= , teremos:

= 

  



∂ ∂−+

∂ ∂+

∂ ∂= dy

y

w Ndy

y

w dx

x

w dU

( ) = ∂ ∂−+

∂ ∂+

∂ ∂= dy y

w Ndydy

y

w dx Mdx

x

NdyMdx += .

Logo, ( ) cdy y

w Nwyx,U =



  



∂ ∂−+= , ou ainda:

( ) ( ) cdy Mdx y

NMdxyx,U = 

  



∂ ∂−+= é a solução geral da equação.

Exemplos:

i) ( ) 0dy2yxedxe yy =−+ c) ( ) 0dy2xy dx yx 22 =−− j) ( ) ( )( ) 0dy ycos2xydx yx 23 =+++

1.10 Fator Integrante Quando a equação ( ) ( ) 0dyyx,Ndxyx,M =+ não é diferencial exata, isto é,

x

N

y

M

∂ ∂≠

∂ ∂

, pode-se transformá-la em uma diferencial exata multiplicando-se um

( )yx, λ , denominado fator integrante.

Exemplo: ( ) 2y

1 ; 0xdydxxy1y ==−+ λ .

Pesquisa do Fator Integrante: Seja ( )yx, λ fator integrante de 0NdyMdx =+ . Daí,

( ) ( ) x

N

y

M

∂ ∂=

∂ ∂ λλ

(1)

x

N N

x

y

M M

y

∂ ∂⋅+⋅

∂ ∂=

∂ ∂⋅+⋅

∂ ∂ λλλλ

 

  



∂ ∂−

∂ ∂⋅=

∂ ∂⋅−

∂ ∂⋅

y

M

x

N

x

N

y

M λλλ (2)

Esta equação é uma equação diferencial parcial de 1a ordem em λ e, portanto, sua solução não poderia ser efetuada por enquanto.

Assim, ela se simplifica supondo-se λ função apenas de x ou de y.

Suponhamos ( )x λλ = . Então, 0 y

= ∂ ∂ λ

.

Daí e de (2), temos:

 

  



∂ ∂−

∂ ∂⋅=

∂ ∂⋅−

y

M

x

N

x

N λλ ( )N : λ

 

  



∂ ∂−

∂ ∂⋅=

∂ ∂⋅−

y

M

x

N

N

1

x

1 λ λ

 

  



∂ ∂−

∂ ∂⋅=

∂ ∂⋅

x

N

y

M

N

1

x

1 λ λ

(3)

Como x

1

∂ ∂⋅ λ

λ é função apenas de x, seja ( ) 



  



∂ ∂−

∂ ∂⋅=

x

N

y

M

N

1 xR (4)

( ) x

1 xR

∂ ∂⋅= λ

λ ( ) dx

x

1 dxxR 



  



∂ ∂⋅= λ

λ





∂ ∂=

= dx

x

du

u λ

λ

( ) ( ) ( )λlnulndu u

1 dxxR ===

( )dxxRe =λ ou dx

x

N

y

M

N

1

= 

  

  

  



∂ ∂−

∂ ∂⋅

eλ

Analogamente, se ( )y λλ = ,

( )dyyRe =λ ou dy

y

M

x

N

M

1

= 

  

  

  



∂ ∂−

∂ ∂⋅

eλ Observe que, pelo processo adotado, pode-se obter um fator integrante e não

todos os fatores, de modo que as restrições adotadas não prejudicam a pesquisa deste fator.

Exemplos:

a) ( ) 0dy1xydxy2 =++ b) dxexydxxdy x2=−

1.11 Exercícios

3) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ( ) ( ) 0dy23yxdx1y2x =−+−+− R: k4y3y2x2xy2x 22 =+−+−

b) ( ) ( ) 0dy y

1 x2xycosxdx

x

y xycosy =



  

 ++⋅+



  

 +⋅

R: ( ) ( ) Cylnx2yxysen =++

c) 0dy y

3xy dx

y

2x 4

22

3 =−+ R: C

y

1

y

x 3

2

=−

d) ( ) ( ) 0dy4yy6xdx6xy3x 3222 =+++ R: Cyy3xx 4223 =++ e)

22 yx

ydxxdy ydyxdx

+ +=+ R: ( ) k4xyyx 222 =−+

f) ( )( ) ( )( ) 0dyxcos1dxxseny1 =−+⋅+ R: ( ) Cyxcosyx =+⋅− g) ( ) ( )( ) ( ) ( )( ) 0dw2twtgwsecdtwttgtsec =+−⋅+−⋅ R: ( ) ( ) k2wwsecwttsec =++− h) ( ) ( )( ) 0

dt

dy e3yycosteyysen2t t22t3 =⋅+⋅+⋅+⋅

R: ( ) Ceyysent t32 =⋅+⋅ i) ( ) ( ) ( ) ( )( ) 0

dt

dy ttg2yttgtsectsecy 2 =++⋅+⋅ R: ( ) ( ) Ctsecttgyy2 =+⋅+

j) 2222 yxy

xdy

y

dy

yx

dx

+⋅ =+

+ R: kyxx 22 =++

k) yxy

xyx

dx

dy 2

2

+ +−= R: kyyxx 2222 =++

l) ( ) 02xdydx2yx =−− R: ( ) C4yxx =−⋅ m) ( )( ) ( ) 0dyxsendxxcosyx =−⋅− R: ( ) kxsen2yx2 =⋅− n) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy xtgysecdx ytgxsec 22 =⋅+⋅ R: ( ) ( ) Cytgxtg =⋅

o) 0dyyxyxdxyxxy 2222 =  

  +⋅−+

 

  +⋅−

R: ( ) Kyx3xy 2322 =+− p) ( )( ) ( ) ( )( ) 0dyxycosxysendxxycosy2x3x2 =⋅++⋅++ R: ( ) ( ) cycosxysenxx 23 =−++ q) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dy 2ysenh2xsenhdx 2ycosh2xcosh =⋅+⋅ R: ( ) ( ) C2ycosh2xsenh =⋅ r) 0dy2y2xyeexdx2xey2xye

2222 xyyx2xy2yx =  

   +++

 

   ++

R: Cyxee 22xyyx 22

=+++

s) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 0dyxcotgycotgycossec2xyedxxcossecycossece 22 y2y =  

   ⋅−+

 

   −

R: ( ) ( ) Cxcotgycossecxe 2y =⋅+

t) ( ) 0dy2y2xyyx 1

dx2x yxx

y y2 =



  

 ++

+ +



  

 +

+⋅ −

R: K x

yx lnyxxy 222 =



  

 ++++

4) Determine os fatores integrantes para as seguintes equações:

a) ( ) 0xdydxxyx 23 =+− R: 3 x3

e x

1 ⋅=λ

b) ( ) 0dyyxyeydx 2y =−+ R: yee y

1 ⋅=λ

c) ( ) ( )( ) ( ) 0dyxsendxxtgxcosy =−−⋅ R: ( )xcossec2=λ d) ( ) 0dyxdx2xyx 23 =+− R:

4x

1=λ

5) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ( ) 02xydydxyx 22 =+− R: C x

yx 22 =+

b) xdyydxdyy2 =+ R: Cyxy2 =+

c) ( )( ) 0dyxlnydx x

y 3 =−+ R: ( ) kyyxln 32 =+ d) ( ) 0xydydxyxx 22 =−−+ R: ( ) C6y4x3xx 222 =−+ e) ( ) ( ) 0dyyxdxy2xyy3x 2232 =++++ R: ( ) C3xyye 223x =+ f) 1ye

dx

dy 2x −+= R: 1ekey x2x +⋅=−

g) ( ) 0dyysen y

x dx =



  

 −+ R: ( ) ( ) kysenycosyxy =−⋅+

h) ( ) 0dye2xyydx 2y =−+ − R: ( ) cylnxe2y =− i) ( ) ( )( ) 0dyycossec2yycotgedxe xx =⋅++ R: ( ) Kyysene 2x =+ j) ( )( ) 0xdydxxlnxy 4 =−+ R: ( )( ) Cxxln1x9y 34 =−+ k) ( ) 0dy3x2y2xydx 22 =−+ R: 322 Ky2yx =− l) ( ) ( ) 0dy4x2yxydx2yy 434 =−+++ R: ( ) 23 cy2xyxy =++ m) 0dy3xydx3xe2y 2x3

3 =+

 

   + R: Keyx

3x32 =+

n) ( )( ) 0dyxedxetgxee yxyy =+++ R: ( )( ) Ceseclnxe xyx =++

6) Mostre que as equações abaixo não são exatas mas tornam-se exatas quando multiplicadas pelo fator integrante dado ao lado. Portanto, resolva as equações:

a) ( ) ( ) 3

232

xy

1 yx, ; 0dyy1xdxyx ==++ λ R: ( ) Cyln

y

1 x 2

2 2 =+−

b) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) x

x x yeyx, ; 0dy

y

xcos2eycos dxxsen2e

y

ysen ==  





 



 ++ 

  

 −

− − λ

R: ( ) ( ) kxcosy2ysenex =⋅+

7) Achar a solução particular para 0x = na equação: ( )( ) ( ) 0dyysenxdxeycos2x 2x =−−⋅ R: ( ) 1ycosxe 2x =−

8) Resolver os seguintes problemas de valor inicial (PVI):

a) ( ) 11y ; 0 dt

dy y3t2ty 223 ==+ R: 3

2

ty −

=

b) ( ) ( ) 10y ; 0 dt

dy 2t2y4ty3t 22 ==+++ R: 1yy2tt 223 =++

c) ( ) 11y ; 24y3x

53y2x

dx

dy = +− +−= R: 32y2y5x3xyx 22 =−++−

d) ( ) 20y ; 2y12xyxe

4yye

dx

dy 2xy

3xy

= −+

+−= R: 34xyey 3xy2 =−−

e) ( ) ( ) 51y ;

x

yxxln3x

dx

dy 22 =−+= R: ( ) 5xlnxxy 3 =⋅−

7) Determine a constante a de modo que a equação seja exata e, então, resolva a equação resultante:

a) 0 dx

dy axeyex 2xy2xy =++ R: kex 2xy2 =+

b) 0 dx

dy

y

1ax

y

1

x

1 322

=+++ R: 222 cxyx2y2x =−−

c) ( ) 0 dx

dy ey2xy3xe yax322yax =+++ ++ R: Cyxe 23yx =++

d) ( ) ( ) 0dyxyxdxyaxxy 222 =+++ R: ( ) Kx2yyx2 =+⋅

1.12 Equações Lineares

Se apresentam, ou podem ser transformadas, na forma QPy dx

dy =+ , onde P e

Q são funções de x ou constantes.

Observe que, neste tipo de equação, Pdx

e é fator integrante.

De fato, QPy dx

dy =+ ( ) 0dydxQPy =+−

( ) 0dyedxQPye PdxPdx = +− , onde ( )QPyeM Pdx − =λ e = PdxeN λ . ( ) ⋅= ∂

∂ Pdx eP

y

M λ e

( ) ⋅= ∂

∂ Pdx eP

x

N λ

Daí, transformamos a equação linear em outra diferencial exata. Vamos achar, então, sua solução:

( ) ( ) Cdy dx QPye y

edxQPye PdxPdxPdx =



  

  

  

  

  −⋅

∂ ∂− +

 

  −⋅ (1)

( ) =  

  ⋅ −

 

  ⋅⋅=

 

  −⋅ dxQedxePydxQPye

PdxPdxPdx

 

  ⋅ − ⋅= dxQeey PdxPdx (2)

( ) = 

  

  

  −⋅

∂ ∂

PdxPdx edx QPye

y (3)

De (1), (2) e (3), temos:

=  

  − +

 

  ⋅ − ⋅ CdyeedxQeey PdxPdxPdxPdx

CdxQeey PdxPdx +

 

  ⋅ = ⋅

 



 +  

   ⋅ ⋅ =

− CdxQeey

PdxPdx

que é a solução geral de uma equação linear de 1a ordem e 1o grau.

Exemplos:

k) 4x2y dx

dy x =+ c) 2x

x

y

dx

dy −=−

l) xey dx

dy =−

1.13 Exercícios

1) Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ( ) ( )xsenxtgy dx

dy =⋅− R: ( ) ( )  





 



 +⋅= C

2

xsen xsecy

2

b) ( )( ) ( ) 0dxycosdy1ysenx =−−+ R: ( ) ( )[ ] ( ) ( )[ ]Cyy2tgy2secytgysecx ++−⋅+= c) ( ) ( )xarctgy

dx

dy x1 2 =++ R: ( ) ( )xarctgek1xarctgy −⋅+−=

d) ( )

0 x

xcotg

x

y

dx

dy =−+ R: ( )( )[ ]Cxsenln x

1 y +⋅=

e) ( ) ( )xcosxtgy dx

dy +⋅= R: ( ) ( )  

  

 ++⋅= C2xsen 4

1 x

2

1 xsecy

f) 2xy dx

dy x =− R: 2xCxy +=

g) 3x x

2y

dx

dy =+ R: 2 4

Cx 6

x y −+=

h) ( ) 0dy32xydxy2 =+− R: y

1 Cyx 2 −=

i) xy dx

dy =+ R: xek1xy −⋅+−=

j) ( )xseny dx

dy =+ R: ( ) ( ) xek 2

xcosxsen y −⋅+−=

k) 4x2e3

1 4y

dx

dy

+ =+ R: ( )



  

 ++⋅= − C2e3lney 8

1 4x4x

l) ( ) yyylnx dy

dx =⋅− R: ( )yy ek1yx −⋅+⋅= m) ( ) x22 ex2xy

dx

dy 1x ⋅=++ R: ( )[ ]C22xxe

1x

1 y 2x

2 ++−⋅⋅

+ =

n) ( ) dyysece2xdydx 22y ⋅⋅=+ − R: ( )[ ]Cytgex 2y +⋅= −

o) ( )42 2

2 1y

y x

1y

6y

dy

dx

+ =⋅

+ + R: ( ) ( )[ ]Cyarctgy1y

1 x

32 +−⋅

+ =

p) ( )xarctgxy x

2

dx

dy 2 ⋅=⋅− R: ( )  

  ++−⋅⋅= Cx1lnxarctgxxy 22

q) ( ) ( )( ) 0dxxln2ydyxlnx =⋅−+⋅⋅ R: ( ) ( )xln C

xlny +=

r) ( ) ( )2ysenycosx dy

dx =⋅+ R: ( )( ) ( )yseneC1ysen2x −⋅+−⋅=

s) ( ) ( ) ( )

( )xsen xcosy1xsen

dx

dy ⋅−−=

R: ( ) ( ) ( )( ) ( )[ ]Cxcossecxcotgxcosseclnxseny ++−⋅=

t) ( ) ( )θθ θ

2sen5cotg3r d

dr ⋅−=⋅+ R: ( ) ( )θθ 32 cossecksen2r ⋅+⋅−= u) ( ) ( ) ( )( )[ ] 0dx1xcosxsenxydyxcosx =⋅−+⋅⋅+⋅⋅ R: ( ) ( )[ ]xcoskxsen

x

1 y ⋅+⋅=

v) ( ) 1x

x y

dx

dy 1xx

2

2 2

− =+−⋅ R:





  

 + 

   



+ −⋅

− = C

1x

1x ln

1x

x y

2

w) ( ) ( ) ( )xsecxtgxsecy dx

dy 22 ⋅=⋅+ R: ( ) ( )xtgeC1xtgy −⋅+−=

x) ( ) ( )( )xlnlny dx

dy xlnx =+⋅⋅ R: ( )( ) ( ) 1xln

k xlnlny −+=

y) ( ) ( )θθ θ

4sen2cos2r d

dr =⋅+ R: ( ) ( ) 1ek2senr 2sen −⋅+= − θθ

2) Achar a solução particular para 0y = e 0x = na equação:

( ) ( )xsecxtgy dx

dy =⋅− R: ( )xsecxy ⋅=

3) Achar a solução particular para by = e ax = na equação:

0ey dx

dy x x =−+⋅ R: ( )ax eabe

x

1 y −+⋅=

1.14 Equações Redutíveis às de Variáveis Separáveis

Equações da forma  

  



++ ++=

222

111

cybxa

cybxa F

dx

dy (1) , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são

constantes e o determinante 0 ba

ba

22

11 = , podem ser redutíveis a variáveis separá-

veis. Se o determinante acima é zero, então 0baba 1221 =− .

Daí, 1221 baba = mb b

a

a

1

2

1

2 == , onde 1

2

c

c m ≠ (caso fosse igual seria possí-

vel uma simplificação na forma da equação, não sendo necessário, então, o processo em descrição).

Desta forma,  

⋅= ⋅=

12

12

bmb

ama (2).

Levando (2) em (1), temos:

 

  



++ ++=

211

111

cymbxma

cybxa F

dx

dy ( ) 

  



++ ++=

211

111

cybxam

cybxa F

dx

dy (3)

Seja ybxat 11 += (4) xatyb 11 −= ( )xatb

1 y 1

1 −=

 

  

 −= 1 1

a dx

dt

b

1

dx

dy (5)

Levando (5) e (4) em (3), temos:

G(t) cmt

ct Fa

dx

dt

b

1

2

1 1

1 =



  



+ +=



  

 − G(t)a dx

dt

b

1 1

1 =



  

 −

11 aG(t)bdx

dt +⋅= dx aG(t)b

dt

11 =

+⋅ , que é uma equação de variáveis

separáveis.

Exemplos:

m) ( ) ( ) 0dx52y4xdy4y2x =+−++− c) 13y6x

1y2x

dx

dy

−− +−=

n) ( ) ( ) 0dy12y2xdx1yx =−++++

1.15 Equações Redutíveis às Homogêneas

Equações da forma  

  



++ ++=

222

111

cybxa

cybxa F

dx

dy (1) , onde a1, a2, b1, b2, c1, c2 são

constantes e o determinante 0 ba

ba

22

11 ≠ , podem ser reduzidas à forma das homogê-

neas.

Considerando o sistema  

=++ =++

0cybxa

0cybxa

222

111 (2) , com solução genérica α=x

e β=y .

Reintroduzindo x e y na equação (1) como  

=∴+= =∴+=

dydvvy

dxduux

β α

(geome-

tricamente equivale a uma translação dos eixos coordenados para o ponto ( )βα, que é a interseção das retas componentes do sistema (2), o que é verdadeiro, uma vez que o determinante considerado é diferente de zero).

( ) ( ) ( ) ( ) =

  



++++ ++++=



  



++++ ++++=

22222

11111

222

111

cbvbaua

cbvbaua F

cvbua

cvbua F

du

dv

βα βα

βα βα

( ) ( )

  



++++ ++++=

22222

11111

cbavbua

cbavbua F

βα βα

(vemos, em (2), que α e β são soluções

do sistema)

 

  



+ +=

vbua

vbua F

du

dv

22

11 que é uma equação homogênea.

Exemplos: a) ( ) ( ) 0dy5y2xdx42yx =−+−−+ b) ( ) ( ) 0dy4yxdx2yx =+−+−+

1.16 Exercícios

Determine, se possível, a solução geral das seguintes equações diferenciais:

a) ( ) ( ) 0dy23y2xdx13y2x =+++−+ R: ( ) k73y2xln3y3x 9 =+−−++ b)

1yx

13y3x

dx

dy

++ +−−= R: ( ) k1yxlny3x 2 =+−−++

c) 3y42x

12yx

dx

dy

++ ++= R: ( ) k58yx4ln4y8 =+++− x

d) ( ) ( ) 0dy13y9xdx2y3x =+−++− R: ( ) k1y2x6lny62x =+−++ e)

2y3x

13y2x

dx

dy

−+ −−= R: k4y2xy6xy2x 22 =+−−−

f) ( ) ( ) 0dy85yxdxx3y =−+++ R: ( ) ( )( ) ( )[ ] ( ) k2

12x

4y5 2arctg12x4y12x44y5ln 22 =



  

 + + −−++−++−

g) ( ) ( ) 0dx5y2xdy4y2x =+−++− R: ( ) 3xy1yxC 3 −−=−+ h) ( ) ( ) 0dy56yxdx34yx =−−−−− R: ( ) 2x3y1x2yC 2 +−=+−

1.17 AplicaçõesProblemas, fenômenos, processos etc. que dependem (são funções) de uma variável contínua (independente) podem sempre ser representados (modelados) por uma equação diferencial. Geralmente a variável (contínua) independente é tempo, distância, tamanho, velocidade, volume, etc. A variável dependente (função) deve ser aquela que melhor caracteriza (descreve) o fenômeno ou processo que se deseja modelar. A modelagem – representação matemática de um enunciado em palavras – de um fenômeno, processo etc. é facilitada se forem levadas em consideração as seguintes sugestões:

a – no enunciado do problema reconheça a variável dependente e represente-a por uma função ( f ) da variável independente ( x ) b – Represente uma “taxa de variação” pela derivada da função em relação à variável independente df x dx( ) 

c – Represente a frase “proporcional a ...” por “ = k g x( ) ” onde g x( ) pode ser a própria f(x) ou o x ou uma outra função ( g ) de f e/ou de x , conforme especificado no enunciado. d – A constante de proporcionalidade k pode ser positiva ou negativa, dependendo se f(x) cresce ou decresce – de acordo com o enunciado.

Após a montagem da equação diferencial esta deve ser resolvida. Os valôres da

constante k e da constante arbitrária (proveniente da solução da equação diferencial) serão determinados pelas condições iniciais dadas no enunciado do problema

- 1.18 Exemplos

1. A taxa de crescimento de um investimento na bolsa de valores é proporcional ao

investimento a cada instante. Determine a equação (modelo matemático) que rege o investimento com o tempo.

Seja t - tempo ( variável independente)

f ( t ) - valor do investimento no instante t (variável dependente)

df t

dt ( )

- taxa de crescimento do investimento com o tempo

= k f t( ) - representando o “proporcional ao investimento” Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema:

df t dt

k f t ( )

( )= onde k> 0 por ser a taxa deinvestimento crescente (pelo

enunciado do problema)

2. Experiências mostram que uma substância radioativa se decompõe a uma taxa proporcional à quantidade de material radioativo presente a cada instante. Obtenha a equação diferencial que modela o fenômeno.

Seja t - tempo ( variável independente) f ( t ) - quantidade (massa) de substância presente no instante t

df t

dt ( )

- taxa de variação da quantidade de substância

= k f t( ) - representando o “proporcional à quntidade de substância” Logo, do enunciado temos a equação diferencial que modela o problema: df t

dt k f t

( ) ( )= onde k<0 por haver decaimento (pelo enunciado do problema)

3. Qual a equação diferencial que vai permitir determinar a velocidade inicial mínima de

um corpo o qual é disparado na direção radial da terra e que é suposto escapar desta. Despresar a resistência do ar e a atração gravitacional de outros corpos celestes.

Seja t - tempo ( variável independente) v ( t ) - velocidade do corpo no instante t

Aqui o problema é mais complexo por não enunciar a proporcionalidade. Mas, sabemos da Física Classica (Lei de Newton) que a aceleração radial a uma distância r do centro da terra ( a(r) ) é inversamente proporcional ao quadrado da distância ( r ) do corpo ao centro da terra. Assim, temos

a r k r

 = 12 onde k < 0 por ser a aceleração dirigida para o centro da terra. A constante k é facilmente determinada lembrando que

a R g m s

 = − = − 9 81 2, onde R é o raio da terra ( R m= 6 38 106, . ) Assim,

− =g k R 1

2 donde

k g R= − 2

Por outro lado, sabemos que

a r d v d t

( ) = onde v t d r d t

 = - taxa de variação da distância radial com o tempo. Logo, juntando tudo e notando que desejamos a variação de v com r ( e não com t )

a r d v d r

d r d t

d v d r

v = = =

= = −k r

g R r

1 1 2

2 2

Assim , finalmente, a equação procurada será

4 – Sabendo que o volume de uma gota, suposta esférica , decresce por evaporação a uma taxa proporcional à área de sua superfície, determine a equação do raio da gota em função do tempo

Seja t - tempo ( variável independente) V ( t ) - volume da gota no instante t

S( t ) - superfície da gota no instante t

Então do enunciado temos d V d t

k S= onde k < 0 pois V decresce com o tempo

Como a gota é esférica, V r= 4 3

3π e S r= 4 2π

onde r ( t ) = raio da gota no instante t Substituindo V e S na equação diferencial teremos d dt

r k r 4 3

43 2π π   = , k <0

d v d r

v g R r

= − 2 2 1

Derivando

4 3

3 42 2π πr dr dt

k r=

Simplificando, temos finalmente d r d t

k= , k < 0

Integrando, temos a equação que exprime o raio da gota em função do tempo

r t k t r = + 0 onde r0 = raio da gota no instante t = 0 ( constante de integração) - 1.19 Exercícios 1- No Exemplo n° 1 sabe-se que um investimento de R$ 100 rendeu R$ 44 após 6 anos.

Determine qual foi o rendimento deste investimento nos 3 primeiros anos.

Resposta: R$ 20 2- No Exemplo n° 3 determine:

a) a distância radial do centro da terra na qual o corpo pára e começa a retornar à terra em queda livre sabendo que a velocidade inicial no lançamento foi de 3600 km/h

b) a velocidade inicial mínima necessária para o corpo escapar da gravitação terrestre e nunca mais retornar.

Resposta: a) 6431 km; b) 4027 km/h

3- No Exemplo n° 4 determine o tempo necessário para a gota evaporar por completo, sabendo que a gota inicialmente tinha 1 mm de diâmetro e que o tempo em que uma outra gota de 0,5 mm diâmetro evaporou foi de 10 minutos

Resposta: 20 minutos

4- a) Determine a equação diferencial cujas curvas integrais são círculos de raio e cujos

centros estejam sobre o eixo das ordenadas.

b) Quais são as duas soluções singulares da equação diferencial determinada no item (a)

Resposta: a) d y d x

x x

    = −

2 2

2 210 ; b) Retas x = ±10

5- Um tanque vertical tem uma pequena fenda no fundo. Supondo que água escape do

tanque a uma taxa proporcional à pressão da água sobre o fundo e sabendo que 5 % de água escapou no primeiro dia, determine o tempo necessário para que o nível da água no tanque chegue á metade.

Resposta: 13,5 horas

6- De acordo com a Lei de Newton, a taxa a que uma substância se resfria é proporcional

à diferença das temperaturas da substância e do ar. Se a temperatura do ar é de 20°C e a substância se resfria de 100°C para 60°C em 30 minutos, quando a temperatura da substância atingirá 40°C ?

Resposta: 60,2 minutos

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