Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros, Notas de estudo de Estatística

Baixe Estatística Aplicada e Probabilidade para Engenheiros e outras Notas de estudo em PDF para Estatística, somente na Docsity! Probabilidade RESUMO DO CAPÍTULO 24 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 211 Experimentos Alestócios 2.2 Espaços Amostais 213 Eventos 2-14 Técnicas de Contagem 22 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIDADE 22 Introdução 22.2 Axiomas da Probabilidade 2.3 REGRAS DE ADIÇÃO 2-4 PROBABILIDADE CONDICIONAL 25 REGRAS DA MULTIPLICAÇÃO E DA PROBABILIDADE TOTAL 2:51 Regra da Multiplicação 2.52 Regra da Probabilidade Total 26 INDEPENDÊNCIA 27 TEOREMA DE BAYES 28 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Depois de um cuidadoso estudo deste capítulo, você deve ser. capaz de: 1. Entender e descrever espaços amosteais e eventos para experimentos aleatórios com gráficos, tabelas, listas ou diagramas em fonna de árvore 2. Interpretar probabilidades e usar probabilidades de resultados para calcular probabilidades de eventos em espaços amostrais discretos 3, Usar permutação e combinações para contar o número de resultados tanto em um evento como no espaço amostral 4, Calcular as probabilidades de eventos conjuntos, tais como uniões e interseções das probabilidades de eventos individuais 5. Interpretar e calcular probabilidades condicionais de eventos é. Determinar à independência de eventos e usar a independência para calcular probabilidades 7. Usaro teorema de Bayes para calcular probabilidades condicionais 8. Entender variáveis aleatórias 2-1 ESPAÇOS AMOSTRAIS E EVENTOS 2-1.1 Experimentos Aleatórios Se medirmos a corrente em um fia fino de cobre, estaremos con- duzindo um experimento. Entretanto, em repetições diárias da medida, os resultados poderão diferir levemente, por causa de pequenas variações em variáveis que não estejam controladas em nosso experimenta, incluindo variações nas temperaturas ambi- entes, leves variações nos medidores e pequenas impurezas na composição química do fio, se diferentes localizações forem selecionadas é se a fonte da corrente oscilar. Conseqientemen- 1e, esse experimento (assim como muitos que conduzimos) é dito ter um componente aleatório, Em alguns casos, as variações aleatórias que experimentamos são suficientemente pequenas, relativas aos nossos objetivos experimentais, que podem ser jg- noradas. No entanto, não importa quão cuidadosamente nosso experimento tenha sido planejado e conduzida, a variação está quase sempre presente e sua magnitude pode ser suficientemen- te grande de tal sorte que as conclusões importantes de nosso experimento podem não ser óbvias. Nesses casos, os métodos apresentados neste livro para modelar e anatisar resultados ex- pesimentais são bem valiosos. Nosso objetiva é compreender, quantificar e modelar o tipo de variações que encontramos com frequência. Quando incompo- ramos à variação em nosso pensamento € análises, podemos fa- zer julgamentos baseados em nossos resultados que sejam vali- dados pela variação. Modelos e análises que incluem variação não são diferentes dos modelos usados em outras áreas de engenharia e ciências, A Figura 2-1 apresenta os componentes importantes. Um modelo (ou abstração) matemática do sistema físico é desenvolvido. Ele não nevessita ser uma abstração perfeita. Por exemplo, as leis de Newton não são descrições perfeitas de nosso universo físico. Além disso, eles são modelos úteis que podem ser estudados e analisados para quantificar o desempenho de uma larga faixa de Medidas Anália Figura 21 Interação contínua entre 0 modelo & o sistema físico.  Varais comido Figura 2-2 Variáveis com mudo afetam à transformação de entradas em saídas. produtos de engenharia. Dada uma abstração matemática que seja validada com medidas de nosso sistema, podemos usar o mode- Jo para entender, descrever e quantificar aproximadamente as- pectos importantes do sistema físico e prever à resposta do siste- ma à alimentação de dados (inputs). Através de todo este texto, discutitemos modelos que permiti- ão variações nas saídas (outputs) de um sistema, muito embora as vartáveis que controlamos não estejam variando proposital- mente durante nosso estudo. A Figura 2-2 apresenta graficamente o modelo que incorpora uma alimentação incontrolada (ruído) que combina com uma alimentação controlada para produzir a safda de nosso Sistema, Por causa da alimentação incontrolada, osmesmos cenários para a alimentação controlada não resultam saídas idênticas cada vez que 0 sistema é medido. Experimento Aleatório Umexperimento que pode fomecer diferentes resultados, muí- fo embora seja repetido toda vez da mesma maneira, é cha- rmado de um experimento aleatório. Para o exemplo da medição de corrente em um fio de cobre, nosso modelo para o sistema deve, simplesmente, sera lei de Ohm. Por causa das alimentações não-controláveis, são espera- das variações nas medicas das correntes. À lei de Ohm pode ser uma aproximação adequada. Entretanto, se as variações forem grandes, relativas ao uso intencionado do equipamento sob es- fado, podemos necessitar estender nosso modelo para incluir a variação. Veja Figura 2-3. Como um outro exemplo, no projeto de um sistema de comu- nicação, tais como uma rede de computadores ou uma rede de telefonia, a capacidade de informação disponível para serviços individuais usando a rede é uma consideração importante de pro- Jeto. Para a telefonia, linhas extemas suficientes necessitam ser compradas de uma companhia telefônica, de modo à encontrar Os requerimentos de um negócio. Supondo que cada linha possa suportar somente uma conversação simples, quantas linhas de- Correm Votagem Figara 2-3 Um exame detalhado do sistema identifica desvios do modelo. Probabilidade 11 me O neo | me LI me ras Figura 2-4 Variação causa interrupções no sistema. vem sercompradas? Se poucas linhas forem compradas, chama- das podem ser atrasadas ou perdidas. A compra de excessivas linhas aumenta o custo. Cada vez mais, o desenvolvimento de projeto e de produto é requerido para encontrar as necessidades dos consumidores a um custo competitivo. No projeto do sistema de telefonia, um modelo é necessário parao número de chamadas e para a duração delas. Não é sufici- ente saber que, em média, chamadas ocorrem a cada cinco mi- “tutos e que elas duram cinco minutos. Se chamadas chegassem precisamente a cada intervalo de cinco minutos e durassem exa- tamente cinco minutos, então uma linha telefônica seria sufici- ente, No entanto, a mais leve variação no número de chamadas ou na duração resultaria em algumas chamadas sendo bloquea- das poroutras. Veja Figura 2.4. Um sistema projetado sem con- siderar variação será pesarosamente inadequado para uso práti- co. Nosso modelo para o número e a duração das cliamadas ne- cessita incluir a variação como um componente integral, Uma anáfise de modelos incluindo a vatiação é importante para o pro- jeto do sistema de telefonia. 2-1.2 Espaços Amostrais Para modelar e analisar um experimento aleatório, temos de en- tender o conjunto de resultados possíveis de um experimento. Nesta introdução à probabilidade, fazemos uso dos conceitos básicos de conjuntos e operações com conjuntos. Considera-se que o leitor esteja familiarizado com esses tópicos. Espaço Amostral O conjunto de tndos os resultados possíveis de um experimen- to aleatório é chamado de espaço amostral do experimento. O espaço amostral é denotado por 5. Um espaço amostral é usualmente definido baseado nos objeti- vos da análise. EXEMPLO 2-1 Peça Plástica Moldada Considere um experimento em que você seleciona uma peça plástica moldada, tal como um conector, é mede sua espessura. Os valores pos- síveis da espessura dependem da resolução do instrumento de medição é também dos limites superior e inferior ds espessura. Entretanto, pode ser conveniente definir o espaço amostral conto simplesmente a linha teal positiva S=Rt=(dr>0) porque um valor negativo para a espessura não pode ocorrer, HM Capítuo? Podemos também estar interessados em descrever novos even- tos a partir de combinações de eventos existentes. Pelo fato de eventos serem subconjuntos, podemos usar operações básicas de conjuntos, tais como uniões, inferseções é complementos, para formar outros eventos de interesse. Algumas das operações bási- cas de conjuíitos são resumidas a seguir, em termos de eventos: * A união de dois eventos é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos em cada um dos dois even- tos. Denotamos a união por E, U E A interseção de dois eventos é o evento que consiste em todos os resultados que estão contidos nos dois eventos, simultancamente. Denotamos a interseção por E) 1 Ep. O complemento de um evento em um espaço amostral é o conjunto das resultados no espaço amostral que não es- tão no evento. Denotamos o complemento do evento E por E". A notação EC é também usada em outra literatura para denotar o complemento. EXEMPLO 2.6 Considere o espaço amostral S = (55, st, ns; ni) no Exemplo 2-2. Su- ponha que o subconjunto de resultados para 6s quais, no mínimo, uma pega é conforme seja denoiado como E, Então, Ej= (ss sm, sh O evento em que ambas as peças são não conformes, denotado como E,. contém somente o único resultado, E; = tr). Outros exemplos de eventos são E, = 85,0 conjunto nulo, e E, = 5, o espaço amostral. Se E,= (em, ns, om), EUE=S ENE=(nn) E inn) BEMPLOZ Medidas da espessura de um conector plástico devem ser modeladas com o espaço amostral S = R*, o conjunto de números reais positivos. Seja E=losr<12) e E=bli<r<1s) Então, EUE=tlOs:<15) e ENB=(ll<r<i2 Temibém, E=(|r<0oul2sa e ENE = GllZsx< 15) EXEMPLO 2-8 Plástico de Policarbenaso “Amostras do plástico de policarbonato são analisadas com relação à sesistência a arranhões e a choque. Os resultados de 50 amostras estão resumidos a seguir ncia à choque alta baixa resistência a arranhões alta ao 4 baixa 1 5 Seja 4 o evento em que uma amostra tem alta resistência a choque e seja Bo evento em que a amostra tem alta resistência a arranhões. De- termine o número de amostrasem À NB, 4' CA UR. O evento AN E consiste em 40 amostras para as quais asreistênciasa arranhões e a choque são alas, O evento 4º consiste as 9 amostras emque aresistênciaa choque é baixa O evento 4 U E consiste nas 45amostrasem quea resistência a choque, a resistência à arranhões ou ambas são atas Diagramas são fregilentemente usados par retratar relações entre conjuntos, sendo esses diagramas também usados para des- crever relações entre eventos, Podemos usar os diagramas de Venn para representar um espaço amostral é eventos em um es- paço amostral, Por exemplo, na Figura 2-8(4), o espaço amos- tral do experimento aleatório é representado como pontos no re- tângulo.S. Os eventos À e B são os subconjuntos dos pontos nas regiões indicadas, As Figuras. 2-8(b) a 2-8(A) ilustram eventos conjuntos adicionais. À Figura 2-9 ilustra dois eventos com ne- nhum resultado em comum. Eventos Mutwamente Excludentes Dois eventos, denotados por E; e E, tal que ENE-O, são chamados de mutuamente excludentes. tm Espaço amoctai com eventos 4 a muBinc Figura 2:8 Diagramas de Venm. «8 «a Probabilidade 15 EXEMPLO 2.9 No projeto de uma proteção para vota caixa de marchas, podemas usar quatro tipos diferentes de amerradores e três diferentes comprimentos. elocalizações de parafusos. Da regra da multiplicação, 4X 3 x 3 = 36 projetos diferentes são possíveis. Figura 2-9 Eventos muvamente excludentes, Permutações Um omtro cáleulo útil é o número de segiências ordenadas dos mai - : nt junto. j é Resultados adicionais envolvendo eventos são resumidos a. “lementos de um conjunto. Considere um conjunto de clemem ae r tos, tal como $ = fa, bc). Uma permutação dos elementos é A definição di : seguir, À definição do complemento de um evento implica que q, enjgência ordenada dos elementos, Por exemplo, abc, acb, EY=E bee, eba, cab e cha são todas permutações dos elementos de 5. A Jei distributiva para operações com conjuntos implica que AUBNC=ANQUENDE Onúmero de permutações den elementos diferentesént!, sendo ANBUC=(AVONÇBUO n=nX(p-DXW-DX..X2X10 (1) A lei de DeMorgan implica que . Esse resultado é decorrente da regra da multiplicação, Uma per- (AUBP=A NB e (ANBY=AUB mutação pode ser construída colocando-se o elemento na primeira Da mesma forma, lembre-se de que posição da segência de n elementos, selecionando então 0 ele- mento para à segunda posição dos » — 1 elementos restantes, ANB=BNA e AUB=BUA colocando o elemento na terceira posição dos n — 2 clementos restantes e assim por diante. Permutações como essas são referi- 2-1.4 Técnicas de Contagem das algumas vezes como permutações lineares. Em muitos dos exemplos no Capítolo 2, é fácil determinar o Bim algumas situações, estamos interessados no número de número de resultados em cada evento. Em exemplos mais com- arranjos de somente alguns dos elementos de um conjunto. O plicados, a determinação de resultados que compreendem o es- Seguinte resultado é decorrente também da regra da multpli- paço amostal (ou um evento) se torna difícil. Em vez disso, a Cação: contagem dos aúmeros de resultados no espaço amostral e os vários eventos são usados para analisar os experimentos aleató- Permutações de Subconjuntos rios. Esses métodos são referidos como técnicas de contagem... | O número de permutações de subconjuntos de r elementos se- Algumas regras simples podem ser usadas para simplificar os | Jecionados de um conjunto de » elementos diferentes é cálenlos No Exemplo 2-4, um fabricante de automóveis fornece vel. | Pr=nX(n>1)X(R-DX..X(n>1+1 culos equipados com opcionais selecionados. Cada pedido de compra de um veículo pode ser Com ou sem transmissão automática Com ou sem ar condicionado EXEMPLO 210 Com uma de três escolhas de sistema estérco RR Com uma de quatro cores exteriores Placa de Circuito Impresso . Uma placa de circuito impresso tera oito localizações diferentes em que O diagrama em forma de árvore da Figura 2-6 descreve O espa- — um componente pode ser colocado. Se quatro componentes diferentes go amostral de todos os tipos possíveis de veículos. O tamanho — forem colocados na placa, quantos projetos diferentes são possíveis? do espaço amosttal é igual ao número de ramos no último nível Cada projeto consiste em selecionar uma localização das oito loca- da árvore, sendo então iguala 2 X 2X 3 X 4= 48. Isso levaao . lizações pará O primeiro componente, uma localização das sete restam- seguinte resultado útil. tes para o segundo componente, uma localização das sis restames para o terceiro componente e uma localização das cinco restames para O quarto componente. Portanto, 1 8 PE=BXTX6X 5 = = 1680 projetos diferentes são possíveis. Regra da Multiplicação (pera técnicas de contagem) Se uma operação puder ser descrita como uma segiência de. ketapase se O niúmiero de maneiras de completar a etapa £ for n; e se o número de maneiras de completar actapa 2 form, pára cada maneira de completar a etapa 1 é sé o númer6 de maneiras de completar a etapa 3 for, para cada marigira de completar à capa 2 e assirt por diante, Algumas vezes estamos interessados em contar o número de sequências ordenadas pera objetos que não são tados diferentes. O seguinte resultado é um cálculo útil e geral. Permutações de Objetos Similares o mímero total de maneiras de completar a operação será O número de permutações den = 1,4 m, + .. + 1, objetos Bm Xm XX dos quais n, são de um tipo, my são de um segundo tipo, ..., e 16 Capítulo? são de rásimo tipo é nt mt rio! el EXEMPLO 2-1] Programação de uma Oficina de Usinagem “Considere uma operação de usinagem em que dois orifícios, comídiâme- tros idênticos, dois encaixes de mesmo tamanho necessitam ser feitosem. uma peça metálica. Seja p uma operação de perfuração e e uma operação de encaixe, Na determinação de uma programação para uma oficina de usimagem, devernos estar interessados no número de possíveis segiências diferentes das quatro operações. O número de segiências possíveis para as duas operações de perfuração e para as duas operações de encaixe são: a na” As seis segiências são facilmente resumidas: ppee, pepe, peep,eppe, epep, espp. EXEMPLO 2.12 Código de Barras Uma peça é marvada pela impressão de quatro inhas espessas, trs li- nas médias e duas linhas finas. Se cada ordenação das nove linhas re- presenta uma marca diferente, quantas marcas diferentes podem ser “geradas pelo usa desse esquema? Da Equação 23, 0 número de marcas possíveis é a arara o Combinações Um outro problema de contagem de interesse € o número de subeonjuntos de r elementos que pode ser selecionado a partir de um conjunto de » elementos. Aqui, a ordem não é importan- te. Esses problemas são chamados de combinações. Cada sub- conjuntode rejementos pode ser indicado pela fistagem dos ele- mentos no conjunto e marcar cada elemento com um “*”, se for para incluí-o no subconjunto. Consegientemente, cada perum- tação de r*'sem — r vazios indica um subconjunto diferente e o número desses subconjuntos é obtido da Equação 2-3. Por exemplo, se o conjunto é 5 = fa, bc, d), o subconjunto fa, e) pode ser indicado como Combinações - “Ó nnierode combinações, subenjtcs de Ein, que pode férselecionádo dé vim corijânio dem elementos, é deno- tado como (3ou Cre (ae 24 EXEMPLO 2.13 Um componente pode ser colocado em oito Iocalizações diferentesem uma placa de circuito impresso, Se cinco componentes idênticos forem. colocados na placa, quantos projetos diferentes serão possíveis? Cada projeto é um subconjunto das oito localizações que devem conter os Componentes. Da Equação 2.4, o número de projetos posst- seis é e EEN O exemplo seguinte usa a regra da multiplicação em combina- ção com a Equação 2-4 para responder a uma questão mais diff- cil, porém comum. EXEMPLO 2-14 Amostragem sem Reposição Um silo de 50 itens ftbricados contêm três itens defeitnosos e 47 itens. não-defeituosos. Uma amostra de seis itens é selecionada dos SO itens. Os itens selecionados não são repostos. Ou seja, cada item pode somente ser selecionado uma única vez e a amostra é um subconjunto dos 50 itens. Quantas amostras diferentes existem, de tamanho seis, que contêm exa- temente dois itens defeituosos? Um subconjunto contendo exatamente dois itens defeituosos pode ser formado escolhendo primeiro os dois itens defeituosos dos três itens defeituosos. Usando a Equação 2-4, essa etapa pode ser completa de Om Então, a segunda eta seleto Os quatro iens restantes dos 47 itens aceitáveis no silo. À segunda etapa pode ser completa de (?) Mm 4 aa Por conseguinte, da regra da multiplicação, o número de subconjuntos de tamanho seis que contêm exatamente dois itens defeituosos é 3X 198.365 = 535.095 “Como um cálculo adicional, o número total de subconjuntos dife- sentes de tamanho seis é () 5 Quando probabilidade é discutida neste capítulo, a probabilidade de umevento é determinada como a razão entre o número de resultados no evento e o número de resultados no espaço amostral (para resultados igualmente prováveis). Consegilentemente, a probabilidade de uma amostra conter exatamente dois itens defeimosos é s35.095 3 maneiras diferentes 8.365 maneiras diferentes E aa T 15890700 0,034 15.890,700 Note que esse exemplo ilustra uma distribuição comum estudada no io Capítulo 3 (di o hipergeométrica). EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2-1 Formeça uma descrição razoável do espaço amostral para cada um dos experimentos aleatórios nos Exercícios 2-1 a 2-18, Poderá haver mais de uma intespretação aceitável de cada experimento. Descreva qualquer suposição que você faça. 2-1. Cada uma das três peças usinadas é classificada como acima ou abaixo da especificação padrão para a peça. 22. Cada um dos quatm bits transmitidos é clasificado como comerro esemerro. 2-3, Na inspeção final de suprimentos eletrônicos de potênci pos de não conformidades podem comer: fancional, menor ou cosméti- Dentro de cada conjunto de cinco, operações podem ser completadas em qualquer ordem. Quantas segências diferentes de produção são possíveis? 2-40. Em uma operação de chapa metálica, três entalhes e quatro do- bramentos são requeridos. Se as operações podem ser feitas em qual- quer ordem, quantas maneiras diferentes são possíveis para completar a Fabricação? 2-4, Um jote de 140 pastilhas (chips) semicondutoras é inspeciona- do, escolhendo-se uma amostra de cinco pastilhas. Suponha que 10 das pastilhas não obedeçam aos requerimentos dos consumidores. (8) Quantas amostras diferentes são possíveis? (b) Quantas amostras de cinco contêm exatamente uma pastilha não conforme? (€) Quantas amostras de cinco contêm no mínimo uma pastilha não conforme? 2-42, Na disposição de uma placa de circuito impresso para um produ- locleiônico, há 12 localizações diferentes que podem acomodar pasti- Tas (8) Se cinco ipos diferentes de pastilhas devem ser colocadas na placa, quantas disposições diferentes são possíveis? (b)Se ascinco pastilhas colocadas na placa são do mesmo tipo, quantas. disposições diferentes são possíveis? 2.43, No laboratório de análises de amostras de um processo químico, cinco amostras do processo são analisadas diariamente, Além disso, uma amostra controle é analisada duas vezes por dia para vesificaracalibra- qão dos instumentos do laboratório. (3) Quantas segdências diferentes de amostras de processo e de contro- Je são possíveis por dia? Suponha que as cinco amostras de proces- so sejam consideradas idênticas e que as duas amostras de controle. sejam consideradas idênticas? 4H) Quantas segiências diferentes de amostras de processo é de contro- Je são possíveis se considerarmos que as cinco amostras de proces- so sejam diferentes e que as duas amostras de controle sejam consi- deradas idênticas? (€) Para a mesma situação do item (b), quantas segUências são possí- veisse o primeiro teste de cada dia tiver de ser uma amostra de con- trole? 2:44, No projeto de um produto eletromecânico, sete componentes di. ferentes devem ser empilhados em um revestimento cilíndrico que pren- de 2 componentes em uma maneira que minimiza 0 impacioachoques. Urma ponta do revestimento é projetada como o fundo é outra como o topo. (8) Quantos projetos diferentes são possíveis? (b)Se os sete componentes forem todos idênticos, quantos projetos di- ferentes são possíveis? 46) Se os sete componentes consistirem em três de um tipo de compo- rente é quatro de outro tipo, quantos projetos diferentes são posst- veis? (mais difícil) 245, O projeto de um sistema de comunicação considerou as seguin- tes questões: (a) Quantos prefixos de telefone de três dígitos que são usados para re- presentar uma área geográfica particular (al como um odigode área) poder ser criados a parti dos digitos de O a 9? (t)Como no item (a), quantos prefixos de telefone de três dígitos são possíveis que não comecem com O ou 1, porém contenham O ou 1 como digitos intermediários? (6) Quantos prefixos de telefone de três dígitos são possíveis em que neniwm dígito apareça mais que uma vez em cada prefixo? 246, Um byte é uma segiiência de oito bis é cada bi é Ou 1 (a) Quantos byres diferentes são possíveis? (b)Se oprimeiro bir de um byte for uma verificação de paridade, ou seja. o primeiro byte for determinado dos outros sete bits, quantos bytes clifexentes são possíveis? 247. Em uma planta química, 24tanques de-retenção são usados para a armazenêgem do produto final. Quatro tanques são selecionados ao acaso e sem reposição. Suponha que seis dos tanques contenham ma- Probabilidade 19 terial em que a viscosidade exceda os requerimentos dos consumido- (0) Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com ala viscosidade? (t) Qual éa probabilidade de no múnimo um tanque na amostra conter material com alta viscosidade? tc) Em adição aos seis tanques com altos níveis de viscosidade, quatro tanques diferentes contêm material com altos níveis de impurezas. Qual é a probabilidade de exatamente um tanque na amostra conter material com alia viscosidade é exatamente um tangue na amostra conter material com altos níveis de impureza? 2.48. Itens plásticos produzidos por uma operação de moldagem por injeção são verificados em relação a conformidades a especificações. Cada ferramenta contém 12 cavidades, em que os itens são produzidos, os quais caem em um transportador quando a prensa se abre. Um inspe- tor escolhe aleatoriamente 3 itens dentre os 12. Duas cavidades são afe- fadas por um mat funcionamento da temperatura, que resulta em itens que não obedecem às especificações. (2) Qual é a probabilidade de que o inspetor encontre exatamente um item não conforme? (b) Qual é a probabilidade de que o inspetor encontre no mínimo um item não conforme? 2-2 INTERPRETAÇÕES DE PROBABILIDADE 2-2.1 Introdução Neste capítulo, introduzimos probabilidade para espaços amos- trais discretos — aqueles com somente um conjunto finito (on infinito contável) de resultados. À restrição para esses espaços amostras nos capacita a simplificar os coneeitos e a apresenta- ção sem matemática excessiva. Probabilidade é usada para quantificar a possibilidade ou chance de ocorrência de um resultado de um experimento alea- tório. “A chance de chover hoje é de 305%" € uma afirmação que quantifica nosso sentimento acerca da possibilidade de chuva. A possibilidade de um resultado é quantificada atribuindo-se um nimero do intervalo [0,1] ao resultado (on uma porcentagem de 0a 100%). Números maiores indicam que o resultado é mais provável que números menores. Um zero indiea que um resulta- do não ocorrerá. Uma probabilidade de 1 indica que um resulta- do ocorrerá com certeza. A probabilidade de um resultado pode ser interpretada como a nossa probabilidade subjetiva, ou grau de crença, de que o resultado ocorrerá. Indivíduos diferentes não duvidarão em atri- buir probabilidades diferentes para os mesmos resultados. Uma outra interpretação de probabilidade está baseada no modelo conceitual de réplicas repetidas do experimento aleatório. A pro babilidade de um resultado é interpretada como o valor limite da proporção de vezes que o resultado ocorre em « repetições do experimento aleatório, à medida que » aumenta além dos limi- tes, Por exemplo, se atribuirmos uma probabilidade de 0,2 ao resultado que contém um pulso corrompido em um sinal digital, podemos interpretar isso como implicando que, se analisarmos muitos pulsos, aproximadamente 20% deles estarão corrompi- dos. Esse exemplo fornece uma interpretação de probabilidade. como sendo uma frequência relativa, A proporção, ou freqiiên- cia relativa, de réplicas do experimento é 0,2. Probabilidades são escolhidas de modo que a soma das probabilidades de todos os resultados em um experimento some um. Essa convenção facili- ta a interpretação de fregiiência relativa da probabilidade. A Fig. 2-10 ilustra o conceito de fregiiência relativa. 20 Capítulo? Voltagem z 5 8 â É Ê ê Tempo Eremiiância relativa o pulo comompido = 2. As probabilidades para um experimento aleatório fregilente- mente são atribuídas com base em um modelo razoável do siste- ma sob estudo. Uma abordagem é basear as designações de pro- babilidade no conceito simples de resultados igualmente pro- váveis. Por exemplo, suponha que selecionemos aleatoriamente um diodo a laser de uma batelada de 00, O espaço amostral é o conjunto de 100 diodos. Aleatoriamente implica que é razoável considerar que cada diodo na batelada tem uma chance iguei de ser selecionado. Porque a soma das probabilidades tem de ser igual a um, o modelo de probabilidade para esse experimento atribui ume probabilidade de 0,01 para cada um dos 100 resulta- dos, Podemos interpretar a probabilidade, imaginando muitas réplicas do experimento. Cada vez começamos com todos as 100 diodos e selecionamos um ao acaso. À probabilidade de 0,07 atribuída a um diodo particular representa a proporção de répli- cas em que um diodo particular seja selecionado. Quando o modelo de resultados igualmente prováveis é considorado, as probabilidades são escolhidas iguais. Resultados Igualmente Provóueis “Toda vez que um espaço amostral consistirem N resultados possíveis que forem igualmente prováveis, a probabilidade de cada resultado é UM. Fregiientemente é necessário atribuir probabilidades a even- tos que sejam compostos por vários resultados do espaço amos- tral. Isso é direto para um espaço amostral discreto. EXEMPLO 2.15 Diodos a Loser Considere que 30% dos diodos a laser em uma balelada de 10 satisfa- 2em os requerimentos xúnimos de potência de um consumidor especi- fico. Se um diodo a Jaser for selecionado ao acaso, so €, cada diodo a Jaser for igualmente provável de ser selecionado, nosso sentimente tuitivo será que a probabilidade de satisfazer os requerimentos do con- sumidor é 0,30. Seja E o evento em que o diodo selecionado satisfaça os requerimen- tos do consumidor, Então E é 0 subconjunto de 30 diodos que satisfaz. os requerimentos do consumidor. Visto que E contém 30 resultados e cada um detes ter a probabilidade igual a 0,01, concluímos que a pro- habilidade de E é 0,3, À conclusão coincide com a nossa intuição. A Figura 2-1] ilustra esse exemplo. Para um espaço amostral discreto, à probabilidade de um evento pode ser definida pelo raciocínio usado no exemplo amerior. 16 216 Prequência relativa dos pulsos corrompidos onviados por um canal do comunicação. PER) = 300,01) = 0,30 Figura 2:41 A probabilidade do evento E € a soma das probabilidades dos ee. sultados em E, Probabilidade de um Evento Para um espaço amostral discreto, à probabilidade de um evento E, denotada por P(E), é igual à soma das probabilida- des dos resultados em E. EXEMPLO 2-16 Um experimento aleatório pode resultar em um dos resultados (a, b, c, ) com probabilidades 0,1: 0,3; 0,5 6 0,1, respectivamente. Seja A O exento (a.b), B o evento fb, €, Je C o evento (a). Então, W+03=0,4 13 +05 +01=09 ' Também, PIA) Ge P(C') = 0,8. Alémdisso, uma vez queANE= (by, Ph Porque AU B = [a.b. cd), PIAU 8)=0,1 403405 +01 = 1, Pelo fato de 4 N C sero conjunto nulo, P(A NC) = 0. EXEMPLO 2-17 Partículas de Contaminação Uma inspoção visual de um sítio em pastilhas de um processo de fabri- cação de semicondutores resultou na seguimte tabela. ou mais Se uma pastilha for selecionada, ao acaso, desse processo e o sítio for inspecionado, qual será a probaf pestículas? Se informação fosse disponível para cada pastilha, podería- mos definir o espaço amostral como o conjunto de fodas as pastilhas inspecionadas e proceder como no exemplo dos diodos. Entretanto, esse nível de detalhamento não é necessário nesse caso. Podemos também apenas considerar o espaço amostral consistindo nes seis categorias que Jesumem o número de partículas contaminantes em uma pastilha. Cada. categoria tem probabilidade igual à proporção de pastilhas na catego- tia. O evento que não tem partícula contaminante no síio inspecionado da pastilha, denotado como E, pode ser considerado como compreen- dendo um único resultado, ou seja, E = (0. Desse modo, PEj=04 Qual é a probabilidade de uma pastilha conter três ou mais partícu- lasno sítio inspecionado? Seja E 0 evento em que à pastilha contém três ou mais partículas no síioinspecionado. Então, E consiste nos três re- Sutados (3, 4, 5 ou mais). Consegientemente, P(E) = 0,10 +0,05 + 0,10 = 025 Frequentemente, mais de um item é selecionado, sem reposi- gão, de uma batelada quando uma produção é inspecionada. Nesse caso, afeatarizmente selecionado implica que cada sub- comjunto possível de itens é igualmente provável. EXEMPLO 2-18 Suponha que uma batelada contenha seis itens (a, », , d, e, f) e que dois itens sejam selecionados aleatoriamente, sem reposição. Suponha que o ilem fseja defeitnoso, porém os outros sejam bons. Qual € a pro- habilidade de que 0 item apareça na amostra? O espaço amostral consiste em todos 0s pares (desordenados) possi- veis selecionados sem reposição. Da Equação 2-4 ou por enumeração, há15 resultados. Seja E oevenlo em que o item festeja na amostra. Então Epode ser escrito como E = (4a Jh (6h). [c), (df). (eJ7). Uma vez que cada resultado é igualmente provável, P(E) = 5/15] 2-2.2 Axiomas da Probabilidade Agora que a probabilidade de um evento foi definida, podemos colecionar as suposições que fizemos relativas às probabilida- des em uma série de axiomas que as probabitidades têm de sa- tisfazer em qualquer experimento aleatório. Os axiomas assegu- ram que as probabilidades atribuídas a um experimento podem ser interpretadas como fregDências relativas e que as atribuições são consistentes com nosso entendimento intuitivo das relações entre fregiiências relativas. Por exemplo, se o evento A estiver contido no evento B, então deveríamos ter P(4)-=< P(B). Os axi omas não determinam probabilidades; as probabilidades são atibuídas, baseadas no nosso conhecimento do sistema sob es- tudo. No entanto, os axiomas nos capacitam a calcular facilmente as probabilidades de alguns eventos, à partir do conhecimento das probabilidades de outros eventos. Axiomas da Probabilidade Probabilidade é um número que é atribuído a cada membro de uma coleção de eventos, a partir de um experimento alea- tório que satisfaça as seguintes propriedades: Se Sfór o espaço amostral é E fr qualquer evento em um experimento aleatório, DPS =1 Bospy=1 Probabilidade 21 (3) Para dois eventos E, e E, com E, N E, = (2) PE, U E) = PE) + P(E) A propriedade de que O = P(E) < 1 é equivalente ao requerimento de que uma fregiiência relativa tem de estar entre zeroeum. A pro- priedade que P(S) = 1 é uma conseqiência do fato de que um re- sultado do espaço amostral ocorre cm cada tentativa de um experi- mento. Conseglientemente, a ieqlência relativa de Sé 1. A pro- priedade (3) implica que se os eventos E, e E, não tiverem resul- tados em comum, então a fregiência relativa dos resultados cr E, U E, será a soma das fregiências relativas dos resultados em Eeb, Esses axiomas implicam os seguintes resultados. As deduções são deixadas como exercícios no fina] desta seção. Agora. P)=0 e para qualquer evento E, PE9=1- PE) Por exemplo, se a probabilidade do evento E for 0,4, nossa in- terpretação de fregiência relativa implica que a iregiência rela- tiva de E será 0,6. Além disso, se o evento E, estiver contido no evento E, RE) SAE) EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2.2 249, O espaço amostral de um experimento aleatório é (ab 6; d é), com probabilidades 0,1; 0,1; 0,2: 0,4 e 0,2, respectivamente, Faça À denotar o evento fa, b, c) e B denotar o evento (e, d, e). Determine o seguinte. (ay PA) to) P(B) te PA) (SPA UB) (and) 2-5), Cada um dos cinco resultados possíveis de um experimento ale- atóro é igualmente provável. O espaço amostral é fa, bc, e). Seja 4 Sevento fa, b) e Bo evento (e, d, e). Determine o seguinte (a) P(A) (AB) (PAN CI PIAU B) (RANB) 251, Se o último dígito de uma medida de peso for igualmente prová- vel de ser qualquer um dos digitos de 0 a 9, (3) Qual é a probabilidade de que o último dígito seja 0? €b) Qual é a probabilidade de que o último dígito seja maior que on iguala 5? 2:52. Pedidos de compras de um computador são sumarizados pelos itens opcionais solicitados como segue: proporção de pedidos de compras nenhura item opcional 93 um item opcional os mais de um item opcional 2 (a) Qual 6a probabilidade de um pedido de compra soticitarno mínimo um item opcional? (3) Qual é a probabilidade de um pedido de compra não sol de um dem opcional? 2-53, Uma peça moldada por injeção é igualmente provável de ser ob- tida, a partir de qualquer uma das oito cavidades de um molde. tar mais 24 Capítulo? Expandindo P(A U B) através da Equação 2-5 e usando a re- gradisuibutiva para operações de conjunto para simplificar PICA U BJ NC), obtemos P(AUBUC) = P(A) + P(B)- MAN E) + PIO) PAN CU PEN] =P(A) + PB) PANE) + PO) =[PANO+PENO -PANBNO =P +EB+RO -PMANBHMANO -PENO+PANBNO) Desenvolvemos uma fórmula para a probabilidade da união de três eventos. Fórmulas podem ser desenvolvidas para a probabi- Jídade da união de qualquer número de eventos, embora se tor- nem muito complexas. Como um resumo, para o caso de três. eventos PAUBUC) =P(A) + PUB) + P(C) — P(ANB) -PANC-PBNO+PANENO en Resultados para três ou mais eventos são consideravelmente simplificadas se os eventos forem muluamente excludentes. Em geral, uma coleção de eventos, Z,, Es, ..., Ex É dito ser mutua- mente excludente se não houver superposição entre qualquer um deles. O diagrama de Vemn para vários eventos mutuamente exclu- dentes é mostrado na Figura 2-12. Generalizando o raciocínio para à união de dois eventos, o seguinte resultado pode ser ob- tid Eventos Mutuamente Excludentes Uma coleção de eventos, E), E, ..., Ex, É dita ser mutuamente excludente se para todos os pares ENE-0. Para uma coleção de eventos mutuamente excludentes, PEUEU.. UE)=PE)+P(E) +... + PIE) 28) EXEMPLO 27-21 H 1m exemplo simples de eventos mutuamente excludentes será usado com fregência. Seja X o pH de uma amostra. Considere o exento em que X seja maior do que 6,5, porém menor que ou igual a 7,8. Essa pro- balbilidade é a sora de quaiquer coleção de eventos mutuamenteexclu- dentes com a união igual à mesma faixa para X. Um exemplo é POS<XSIBSPOS<KSIDAPIO<KTS) +POS<X=78) Es Figura 212 Diagrama de Vena para quatro eventos mutuamente excludentes. Um outro exemplo é POS<XEIB= PESCAS) PESCAS HP CKETA+POA<KSI8) A melhor escolha depende das probabilidades particulares disponíveis. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2-3 2:65, Se A, Be € focem eventos mutuamente excludentes, com P(A) 02, P(B) = 03€ AC) = 0,4, determine as seguintes probabilidades: (GPAUBUC AANBNO PANE PIAUBNC GA NEC) 2.66. Se P(A) = 0.3, P(B) = 028 P(AN B) = (1, detemmine as se- guintes probabilidades: (PAS (AAUB) (OPANB) (DAANB) (PGAUBY] (DAAUB 2:67. Discos de plástico de policarbonato, provenientes de um fome. cedor, são analisados com relação à resistência a arranhões é a choque, Os resultados de 100 discos estão resumidos 4 seguir: resistência a choque alla baixa resistênciaa amanhões alta E 9 baixa 16 5 (a) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua resistência a arranhões ser alta e de sua resistência a choque ser ata? (b) Se um disco for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de sua resistência a arranhões ser alta ou de sua resistência a Choque ser ala? (6) Considere o evento em gue um disco tenha ala resistência a arra- nhões e o evero em que um disco tenha alta resistência a choque. Esse dois eventos são mutuamente excludentes? 268. Noartigo “Reconstrução ACL usando fixação osso-tendão pate- Far-osso: JO anos de resultados clínicos” (ACL reconstruction using bone- pateliar tensom-bone press: fi fxarion'” L0-year clinica! results), em Krnee Surgery, Sports Traumatology, Arthroscopy (2005, Vol. 13, p. 248-255), foram consideradas as seguintes causas para lesões no joelho: Portentagem de Atividade Lesões no Joelho Esporte de contato 46% Esporte de não cont: 44% Atividade da vida dif 9% Dirigir motocicleta 1% (a) Qual é a probabilidade de uma lesão do joelho ter resultado de um esporte (contato ou sem contato)? (b) Qualé a probabilidade de uma fesão do joelho ter resultado de uma atividade diferente de esporte? 269, A análise de eixos para um compressor está resumida de acordo com as esperificações. atende aos regueri- mentos de aspecto arredondado sim não sim 345 5 não 2 8 atende aos requerimentos de acabamento da superfície (a) Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será à probabilidade de o eixo atender 2os requerimentos de acabamento da superfície? (b) Qual é à probabilidade de o eixo selecionado atender aos requer mentos de acabamento da superfície ou 20s requerimentos de aspecto. airedondado? (€) Qual é a probabilidade de o cixo sefecionado atender aos requeri- mentos de acabamento da superfície ou não atender aos requerimen- tos do aspecto amedondado? (a) Qual é a probabilidade de o eixo refacionado atender tanto aos re- querimentos de acabamento de supesfície como ao de aspecto arre- dondado? 2:70. Cabos de fo de cobre, proveniemes de um fabricante, são anal. sados em relação à resistência e à condutividade. Os resultados de 100 calos são dados a seguir: resistênci alta baixa alta condutividade. u 8 baixa condutividade 15 3 (8) Se um cabo for selecionado aleatoriamente, qual é a probabilidade de sua condutividade ser ala ou sua resistência ser alta? (b) Se um cabo for selecionado aleatoriamente, quai é a probabilidade. de sua condutividade ser baixa ou sua resistência ser baixs? (6) Considere o evento em que um cabo tem baixa condutividade é o evento em que o cabo tem baixa resistência. Esscs dois eventos são mutuamente excludentes? 2:71, Um fabricante de faróis para automóveis testa Lâmpadas sob am- bientes com alta umidade e com alta temperatura, usando intensidade e vida dt como as respostas de interesse. A seguinte tabela mostra o desempenho de 130 lâmpadas: vida útit satisfatória insatisfatória, intensidade satisfatória n7 insatisfatória 8 2 (8) Encontre a probabilidade de ua lâmpada selecionada aleatoriamente fomecer esullados insalisfatórios sob qualquer critério, (BOs consumidores dessas lâmpadas demandam 95% de resultados sa- tisfaórios O fabricante de lâmpadas pode encontrar essa demands? 2:72, Qleode cozinha é produzido em duas variedades principais: mono e poliinsaturado, Duas fontes contuns de óleo de cozinha são milho e canola. A seguinte tabela mostra o número de garrafas desses óleos em um supermercado: Probabilidade 25 mancira útil de incorporar informação adicional em um modelo de probabilidade é considerar que o resultado gerado é um cle- mento de um dado evento. Esse evento, digamos A, define as condições em que se sabe que o resultado é satisfatório. Então, as probabilidades podem ser revistas de modo a incluir esse co- nhecimento. A probabilidade de um evento 3, sabendo qual será o resultado do evento , é dada por: PB, e é cltamada de probabilidade condicional de B dado À Um canal digital de comunicação tem uma taxa de erro de um bit acada mil transferidos. Erros são raros, mas quando ocorrem, eles tendem a acontecer em explosão que afeta muitos bits con- secutivos. Se um único bit é transmitido, poderemos modelar à probabilidade de um erro como 1/1000. No entanto, se 0 bitan- terior estivesse com erra, por causa da explosão, poderíamos acreditar que a probabilidade de que o próximo bit estivesse com erro seria maior que 1/1000. Ein um processo de fabricação de um filme fino, a proporção de itens que não são aceitos é de 2%. Entretanto, o processo é sensível a problemas de contaminação que possam aumentar a taxa de itens que não sejam aceitáveis. Se soubéssemos que du- rante uma determinada mudança tivesse havido problemas com os filtros usados para controlar contaminação, estimaríamos à probabilidade de um item sendo inaceitável como maior que 2%. Em um processo de fabricação, 10% dos itens contêm falhas visíveis na superfície e 25% dos itens com falhas na superfície são itens (funcionalmente) defeituosos. Entretanto, somente 5% dos itens sem falhas na superfície são defeituosos. A probabili- dade de un item defeituoso depende do nosso conhecimento da presença ou ausência de uma falha na superfície. Seja D o evento em quis um item é defeituoso e £ o evento em que um item tenha uma falha na superfície. Então, denotamos a probabilidade de D dado, ou considerando que um item tenha uma falha na superft- cie, como (DIF). Pelo fato de 25% das peças com falhas na su- perfície serem defeituosas, nossa conclusão pode ser estabelecida como P(DIF) = 0,25. Além disso, já que F denota o evento em que um item não (em uma falha na supesficie e que 59% dos itens sem falhas na superfície são defeituosos, então P(D|F') = 0,05. Esses resultados são mostrados graficamente na Figura 2-13. tipo de óleo canola milho tipodeinsaturação mono 7 B poli ” ” (3) Se uma garrafa de óleo for selecionada co acaso, qual será a proba- bilidade de que ela pertença à categoria de poliinsaturado? (t) Qual É a probabilidade de que a garrafa escolhida seja de leo de canola monoinsaturado? 2:73, Ursistema de computadores usa senhas, que são seis caracteres, sendo cada Caractez uma das 26 Jeas (2) ou 1O inteiros (0.9). Letras maiisculas não são usadas. Seja 4 o evento em que uma senha comece. com uma vogal (a, €, à 0, 4) é seja Bo evento em que à senha termine com um número par (0,2, 4,6 ou 8), Suponha que um invasor selecione ua senha 30 acaso, Determine as seguintes probabilidades: tajP(A) (PB) (OAAND (PAUB) 2-4 PROBABILIDADE CONDICIONAL Algumas vezes, as probabilidades necessitam ser reavaliadas à medida que informações adicionais se tornam disponíveis. Uma EXEMPLO 2-2? A Tabela 2-3 forneoe um exemplo de 400 tens classificados por falhas na superfície e como defeituosos (funcionalmente). Para essa tabela, as probabilidades condicionais coincidem com aquelas previamente dis- cutidas nesta seção, Por exemplo, dos itens com falhas na superfície (40 itens), O número de defeituosos é 10. Logo, PID|P) = 10:40 = 0,25 molri=025 25% ( EPE cemme > 5% doletuoeas sotts A eolr)=006 F= peças com ae vem dass na Elfo ra sptioo cuperio Figura 2-13 Probabilidades condiciontis para peças com fathas na superfei 26 Capítulo? Tabela 2-3 Itens Classificados Folhas no Sujerfície Sim'(evento 7) Não: Toi) Defeiuoso Sim (evento D) 10 18 8 Não 3 342 sa Total E 360 400 e dos itens sem falhas na superfície (360 itens), o número de defeituo- Falha na supericie s056 16, Consegientemente, No Exemplo 2-22, as probabilidades condicioneis foram calcu- Jadas diretamente, Essas probabilidades podem também ser deter- minadas a partir da definição formal de probabilidade condicional Probabilidade Condicional A probabilidade condicional de um evento B, dado um even- 10.4, denotada como P(BIA), é PCBIA) = PLAN BYPIA) (2-9) para P(A) > 0. Essa definição pode ser entendida em um caso especial em que todos os resultados de um experimento aleatório são igualmente prováveis. Se houver 1 resultados totais, P(A) = (número de resultados em AJin Também, P(A N B) =(número de resultados em AN Bm Logo, —. número de resultados em 4 NB PA BIA = mero de resutadosem À Por conseguinte, P(8/4) pode ses interpretado como a freguên- cia relativa do evento à entre as tentativas que produzem um resultado no evento À. EXEMPLO 2.23 Falhas na Superfície Novamente, considere os 400 itens da Tabela 2-3. Dessa tabela 10/40 10 PDIP = ADO FIPE = ol 3007 40 Observe que nesse exemplo todas as quatro probabilidades seguintes são diferentes: PF) = 407400 P(F|D) = 10428 PD) = 282400 Peplry = 1080 Aqui, P(D) é PLDÍF) são as probabilidades do mesmo evento, porém clas são caleuladas sob dois diferentes estados de conhecimento. Da mesma forma, P(F7) e P(FAD) são calculados sob dois diferentes esta- dos do conhecimento. O diagrama em forma de árvore da Figura 2-14 pode também ser “usado para dispor as probabilidades condicionais. O primeiro ramo está na falha na superfície. Dos 40 itens com falhas na superíície, 10 são funcionalmente defeituosas e 30 não são. Portanto, PDID=100 e MDIP=2080 Fizava 2:14 Diagrama em forma de árvore para itens classificados. Dos 360 tens sem fathas na superfície, 18 são funcionalmente defeiru. os0s e 342 não são. Consequentemente, PDIFy=18360 é PD'|P)= 342360 Amostras Aleatórias e Probabilidade Condicional Lembre-se de que selecionar um item aleatoriamente de uma bateladaimplica que cada item seja igualmente provável. Se mais de um item for selecionado, aleatoriamente implica que cada clememto do espaço amostral é igualmente provável. Por exem- plo, quando espaços amostrais foram apresentados anteriormente neste capíulo, amostragem com e sem reposição foram defini- das e ilustradas para o caso simples de uma batelada com três itens (a, b, c). Se dois itens forem selecionados aleatoriamente dlessa batelada sem reposição, cada um dos seis resultados em um espaço amostral ordenado Sem = ab, ac, ba, be, ca, ch) tem probabilidade igual a 1/6. Se o espaço amostral desordena- do for usado, cada um dos três resultados em (fa, b), (0,c), (b, €)) tem probabilidade igual a 1/3. “Quando uma amostra é selecionada aleatoriamente a partir de uma batelada grande, é geralmeme mais fácil evitar a numera- são do espaço amostral e calcular probabilidades a partir de pro- babilidades condicionais. Por exemplo, suponha que uma batelada contenha 1Q itens da ferramenta 1 € 40 itens da fesra- menta 2. Se dois itens forem selecionados aleatoriamente, sem reposição, qual é a probabilidade condicional de que umitem da ferramenta 2 seja selecionado na segunda retirada, dado que um item da ferramenta 1 tenha sido selecionado primeiro? Existem 50 itens possíveis para selecionar na primeira retirada e 49 para selecionar na segunda. Logo, o espaço amostral (ordenado) tem 30 x 49 = 2450 resultados. Seja E, o evento em que o primeiro item vem da ferramenta 1 e E, o evento em que o segundo item vem da ferramenta 2. Então, PLEjjES= PEN EjyP(E) em que se necessitam uma contagem do número de resultados em E, ea interseção. Probabilidade 29 EXEMPLO 2.26 Estágios de Usinagem A probabilidade de que o primeiro estégio de uma operação, numerica- mente controlada, de usinagem para pistões com alta pm atenda às es- pecificações é igual a 0,90. Falhas são devido à variações no metal, ali- ahamento de acessórios, condição da lâmina de core, vibração e coi dições ambientais. Dada que o primeiro estágio atende às especifica- ções, à probabilidade de que o segundo estágio de usinagem atenda especificações é de 0,95. Qual é a probabilidado de ambos os estágios encontrarem as especificações? Sejam A e B oseventosem que o prirneiro € o segundo estágios aten- dam às especificações, respectivamente, À proiabilidade requerida é PLAN By= P<ELADPIA) = 0.95(0.50) = 0,855 Embora também seja verdade que P(A 1 8) = P(AIB)P(B), a infor- tação fornecida no problema não coincide com essa segunda formu- lação. 2-5.2 Regra da Probabilidade Total Algemas vezes, a probabilidade de um evento é dada sob cada uma das várias condições. Com o suficiente dessas probabilida- des condicionais, a probabilidade do evento pode ser recupera- da. Por exemplo, suponha que na fabricação de semicondutores, a probabilidade seja 0,10 de que um chip que esteja sujeito a sl- tos níveis de contaminação durante a fabricação canse uma fa- ha no produto. À probabilidade é de 0,005 de que um chip que não esteja sujeito a altos níveis de contaminação durante a fabri- cação cause uma falha no produto. Em uma corrida particular de produção, 20% dos chips estão sujeitos a atos níveis de conta- minação. Qual é a probabilidade de um produto usando um des- ses chips vir a falhar? Claramente, a probabilidade requerida depende se o chip foi ou não exposto a altos níveis de contaminação. Para qualquer evento B, podemos escrever B como uma união da parte de Bem Aea parte de BemA'. Iso é, B=(ANB)U(A NB) Esse resultado é mostrado no diagrama de Venn na Fig, 2-15. Pelo fato de A e A! serem mutuamente excludentes, A 1) B e À NB serão mutuamente excludentes. Conseglentemente, através. do uso do resultado para a probabilidade da união de eventos mutuamente excludentes na Equação 2-6 e pela Regra da Multi- plicação na Equação 2-10, a seguinte regra da probabilidade ntait é obtida. Regra da Probabilidade Total (dois eventos) Para quaisquer eventos 4 e , PB= PENA + PBNA) = P(BAJPIA) + PIBIANP(A) en EXEMPLO 2:27 Contaminação de Semicondutores Considere a contaminação discutida no início desta seção. A informa- ção é resumida aqui Probabilidade Nível de Probabilidade de Falha Contaminação do Nível o Ato 2 0,005 Não Alto 8 Seja F o evento em que o produto falha e seja H O evento em que o chip E exposto a altos níveis de contaminação. À probabilidade solicitada é P(P) e a informação fornecida pode ser representada como Pl =08 e PH) = 020 e Da Equação 2-11, PIE) = 0,10(0.20) + 0,005(0,80) = 0,024 que pode ser interpretada como precisamente a média ponderada das duas probabilidades de falha. Oraciocínio usado para desenvolver a Equação 2-11 pode ser aplicado de forma mais geral, Pelo fato de que 4 U A! = 5, sabe. mos que (4 NB) U (Aº A BJ é igual à B e por causa de À O A! =, sabemos gue A Be A' N B são mutramente exclu- dentes, Em geral, uma coleção de conjuntos E, E... E. tal que BUBU.. UE =, édito ser exaustiva. Um gráfico da di- visão de um evento B entre uma coleção de eventos mutuamen- te excludentes e exaustivos é mostrado na Fig. 2-16. Regra da Probabiidade Total (emltiplos exentos) Suponha que E, E,,.... Eysejam & conjuntos mutuamente ex- cludentes e exaustivos. Então PB =PMBNE)+ABNE) +... +ABNE) = PBIE)P(E) + P(BEP(E) +... + P(BIE)PE) (217 EXEMPLO 2-28 Falhas em Semicondutores Comtinuando com a fabricação de semicondutores, supanha as seguin- tes probabilidades para falha no produto sujeito a níveis de contamina- cão ma fabricação: Probabilidade de Falha Nível de Contaminação [e Alto 091 Médio 0,001 Baixo B=BAEjUBAEJUBABpu BE) Figura 2-6 Dividindo um evento em vários subconjuntos mutuamente excto.. dentes. 30 Capiubo? Comreinação Média Alho Puto rata =010— =080 4 » A 9,1010,20) 0,500,20) 0,0116,30) 2 018 903 050 930 Pica Afheditêco) AfNão FaaifMédio) — AjFobfiairo, AANão Falhas) Ot o 1001 = 0.999 » L 0.390,30) 0,00140,50) D,agatn,50) 0297 — =00005 =0,4995 Afelhay = 0,02 + DOS + 0,0005 = 0,0235 Vigutra 2-1? Diagrama em forma de árvore para o Exemplo 2.28, Em uma comida particular da produção, 20% dos chips estão suji- tos aaltos níveis de contaminação, 305 a níveis médios de contamina- ção e 50% a bixos níveis de contaminação. Qual é a probabilidade de um produto falhar 20 usar um desses chips? Seja. H o evento em que um chip está exposto a altos níveis de contami- nação M 0 evento em que um chip está exposto a níveis médios de conta- sinação £ o evento em que um chip está exposto a baixos níveis de conta- minação Então, PCP) = PeETePtO + PLF]MP(a) + P(FIL)P(L) = 0,10(0,20) + 0,01(0,30) + 0,0010,50) = 0,0235 Os cálcutos estão convenientemente organizados no diagrama de árvore na Fig. 217. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2-5 2:89. Suponha que P(A|E) = 0,4 € P(B) = 0,5. Determine o seguinte (o) PANB) (PA NB) 2:90. Suponha que P(A|B) PAR 2:91, A profabilidade de que um conectorelético que seja mantidoseco falhe durame o período de garantia de um computador portátil é de 1%. Se o conector for molhado, à probabilidade de falha durante o período de garantia será de 5%, Se 90% dos conectores forem mantidos sepos e 109% forem mantidos molhados, qual será a proporção de conectores que falhará durante o período de garantia? 292, Suponha que 2% dos rolos de tecido de algodão « 3% dos rolos “de tecido de néilon contenham falhas. Dos rotos usados por um fabr- cante, 703 são de algodão e 30% são de náilon. Qual será a probabili- dade de um rolo selecionado aleatoriamente, usado pelo fabricante, conter falhas? 2:93. A aspereza nas bordas de produtos de papel cortado aumenta à medida que as lâminas de uma faca vão sendo gastas. Somente 156 dos produtos cortados com novas lâminas tem bordas ásperas, 34% dos pro- dlutos cortados corm lâminas medliamente afiadas exibem rugosidade e 5% dos produtos cortados com luinas gastas exibem ugosidade. Se 25% das lâminas na fabricação forem novas, 60% forem mediamente afiadas « 15% forem gastas, qual será a proporção dos produtos que exibem uma aspereza nas bordas? 2:94, Na eleição presidencial de 2004, a apuração do estado c Ohio fomeceu as seguintes resultados: 02, PB) = 036 P(B) = 0,8. Qualé ico de total sem tereeiro grau (62%) 30% 50% com pós-graduação (389%) E d6% Qual é a probabilidade de um eleitor selecionado aleatoriamente ter votado em Bush? 2.95, Falhas emteclados de compntadores ocortem devido a conexões elétricas imperfeita (12%) ou a defeitos mecânicos (88%). Defeitos mecânicos estão relacionados a teclas soltas (27%) ou a montagens impróprias (735%). Defeitos de conexão elétrica são causados por fios defeituosos (35%), por conexões impróprias (13%) ou por fios mal sol. dados (52%). (a) Encontre a probabilidade de uma falha ocorrer devido a tenfas solos. (b) Encontre à probabilidade de uma falha ocorrer devido a fios conec- tados impropriartente ou mal soldados. 2-96, Falhas no coração são causadas tanto por ocorrências naturais (87%) como por fatoresextemos (13%). Os fatores extemos estão rela- cionados a substâncias induzidas (73) ou a Objetos estranhos (27%. As ocorrências naturais são causadas por bloqueio anerist (56%), do- ênças (27%) einfeeção (porexemplo, infecção porestafilococos) (17%). ta) Detenmine a probabilidade de uma falha ser devido à substância in- duzida. (b) Determine a probabilidade de uma falha ser devido à doença ou in feeção. 2:97, Uma batelada de 25 peças moldadas por injeção contém 5 delas que sofreram excessivo encolhimento. (2) Se duas peças forem selecionadas 20 acaso e sem reposição, qual será a probabilidade de que à segunda peça tenha sofrido excessivo en- colhimento? (b) Se três peças forem escolhidas ao acaso. sem reposição, qual será a pro- babilidade de que a terceira peça tenha sofrido excessivo encolhimento? 2:98. Um lote de 100 chips semicondutores contém 20 que são defei- tuosos. (5) Dois são selecionados, ao acaso e sem reposição, do lote. Determi- ne a probabilidade de o segundo chip selecionado ser defeituoso. (b) Três são selecionados, ao acaso e sem reposição, do lote, Determine a probabilidade de o terceiro chip selecionado ser defeituoso. 2:99, Um artigo na British Medical Journal “Comparison of treatment of renal calculi by operative surgery, percutancous nepbrolithotomy, and extracorporesl shock wave lilhotripsy" — Comparação de tratamento de cálculo renal por cirurgia, por nefrolitotômia percutânea e por Jtotripsia com onda de choque —- (1956, Vol. 82, pág. 879-892) forme- ceu à seguinte discussão de taxas de sucesso na remoção de pedras nos rins. Cirurgia aberta tem uma taxa de sucesso de 789% (273/2350), em. “jnanto um método mais novo, nefrolitotomia percutânea (NP?, tem uma taxa de sucesso de 83% (289/350), Esse novo método pareceu melhor, mas os resultados mudaram quando o diâmetro da pedra foi considera- do. Para pedras tom diâmetros menores do que dois centímetros, 93% (81/87) de casos de cirurgia aberta obtiveram sucesso comparados com. somente 834 (234/270) de casos de NP. Pera pedras maiores do que ou iguais a dois centímetros, as taxas de sucesso foram 73% (192/263) 699% (55/80) para cirurgia aberta é NP, respectivamente. Cirurgia aber- ta é melhor para ambos os tamanhos de pedra, porém tem menos suces- so no total. Bm 1951, E, H. Simpson alertou para essa aparente contra dição (conhecida como Paradoxo de Simpson), porém o tisco ainda hoje persiste. Expligue como a cirurgia aberta pode ser melhor para ambos os tâmanhos de pedra, porém pior para o tola 2-6 INDEPENDÊNCIA Emalgunscasos, a probabilidade condicional de P(BI|A) pode ser igual à P(B), Nesse caso especial, o conhecimento de que o re- sultado do experimenta esteja no evento À não afeta a protabili- dade de que o resultado esteja no evento B. EXEMPLO 2-29 Amostragem com Reposição Suponha que bra produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 peças que não satisfaçam as exigências dos ennsumidores. Suponha que “luas peças sejam selecionadas da batelada, porém a primeira peça é reposta amtes da segunda peça ser selecionada. Qual € a probabilidade de que a segunda peça seja defeituosa, dado que a primeira peça é de- feituosa? A probabitidade necessária pode ser expressa como P(BI4) Pelo fato dea primeira peça ser reposta antes da seleção da segunda peça, a batelada ainda contém 850 peças, 50 das quais são defeituosas. Assim, à probabilidade de E não depende de se à primeira peça é ou não defeituosa, Ou seja, PIBIA) = 50850 Também, a probabilidade de que ambas as peças sejam defeituosas é nana = 20108 (o (E) = 0035 EXEMPLO 2.30 Falhas e Funções A informação na Tabela 2-3 relacionou falhas na superfície a itens fum- cionalmente defeituosos. Naquele caso, determinamos que P(DIF) = 10/40 = 0,25 e P(D) = 28/400 = 0,07. Suponha que a situação seja diferente e siga à Tabela 2-4. Então, PD|D=240=005 e PID)=20400=005 Ou seja, à probabilidade de que o item seja defeituoso não depende se ele tem falhas na superfície. Também, PFID=220=0,10 e Pr) =40/400 = 0,10 Logo, a probabilidade de uma falha na superfície não depende se o item é defeituoso. Além disso, a definição de probabilidade condicional im- plica que MEN D)= ADIDA Tabela 2.4 Itens Classificados Probabilidade 31 porém, no caso especial desse problema. ADRP) PeEnD O exemplo precedente ilustra as seguintes conclusões. No caso especial que P(BIA) = P(B), obtemos P(AN 8) = P(BIAJP(A) = PrBJPIA) AND) PAPMB) AB) PB) Essas conclusões levam a uma importante definição. P(alB)= PA) Independência (dois eventos) Dois eventos são independentes se qualquer uma das seguin- tes afirmações for verdadeira: (DP(als) = P(A) ()P(BIA) = P(B) CIPA NB) = PAR) 013 É deixado, como um exercício para expandir a mente, a de monstração de que independência implica resultados relaciona» dos, tais como PA NB) = MAVPB) O conceita de independência é uma importante relação entre eventos, sendo usado 40 longo de todo este texto. Uma relação mutuamente excludente entre dois eventos é baseada somenie nos. resultados que compreendem os eventos, No entanto, uma rela- ção de independência depende do modelo de probabilidade usa- do para a experimento aleatório. Freqiientemente, independên- cia é considerada ser parte do experimento aleatório que descre- ve o sistema físico em estudo. EXEMPLO 2.31 Suponha que uma produção diária de 850 peças fabricadas contenha 50 peças que não satisfaçam às exigências dos consumidores. Duas peças são selecionadas do scaso e sem reposição, do lots. Seja 4 o evento em quea primeira peçaseja defeituosa e o eventoem que a segunda peça seja defeituosa. Suspeitamos que esses dois eventos não sejam independentes, por- gue o conhecimento de que a primeira peça seja defeitaosa sugere que é menos provável que a segunda peça selecionada seja defeituosa. Na verdade, P(B|A) = 4SH849. Agora, qual é P(B)? Encontrar a incondici- omal P(B) é difícil, de algum modo, porque os valores possíveis da pri- meira seleção necessitam ser considerados: P(B) = PIBIAPIA) + PIBÍAPIA) ASHBASKS0/850) + (50/849)(800/250) sosso Sim (evento D) Não Total Defeituosos 3H Copítuo? 2-7 TEOREMA DE BAYES Os exemplos deste capítulo indicam que informação é fregien- femente apresentada em termos de probabilidades condicionais. Essas probabilidades condicionais comumente fornecem a pro- abilidade de um evento (tal como falha) dada uma condição (tal como alta ou baixa contaminação). Mas, depois de um experi- mento aleatório gerar um resultado, estamos naturalmente inte- ressados na probabilidade de uma condição estar presente (alta contaminação) dado umresultado (uma falha no semicondutor). Thomas Bayes tratou essa questão essencial nos anos de 1700 desenvolveu o resultado fundamental, conhecido como teorema de Bayes. Não permita que a simplicidade da matemática cult a importância. Existe um interesse extensivo em tais probabi dades em uma análise modema de estatística. Da definição de probabilidade condicional, PAN B) = PAIBIPIB)= P(BN A) = PCBLAJPIA) Agora, considerando o segundo e o último termos na expressão amterior, podemos escrever Mais) saio Esse é um resultado útil que nos capacita a resolver P(A|B) em termos de P(B/4). para P(B)>0 (215) EXEMPLO 2.36 Reconsidere o Exemplo 2-27. A probabilidade condicional de um nível alto de contaminação estava presente quando uma falha ocorreu, À in- formação do Exemplo 2:27 é resumida aqui. Probabilidade. Nível de Probabilidade de Falha Contaminação de Níves o Alto o2 0,005 Não Alto og À probabilidade P(HF) é determinada a partir de Fl 9.10(0,20) pur = REED Oa0(020) qo, E] 0,024 O valor de P(F) no denominador de nossa solução foi encontrado de PD = PLEEDPOO + PIREOP(a Em geral, se P(B), no denominador da Equação 2-15, for es- sito usando a Regra da Probabilidade Total da Equação 2-12, obteremos o seguinte resultado geral, que é conhecido como Teorema de Bayes. Teorema de Bayes Se E, Es, -.., E forem eventos mutuamente excludentes e exaustivos e 8 for qualquer evento, então Elm = PBiEyP(Ei) PBIEjPçE) + PrBLEaP(Em + + PBlEjPE) (216) para P(B)>0 Observe que o numerador sempre é igual à um dos termos na soma do denominador. EXEMPLO 2.37 Diagnóstico Médico Pelo fato de um novo procedimento médico ter se mostrado efetivo na detecção prévia de uma doença, propôs-se um rastreamento médico da população. A probabilidade de o teste identificar corretamente alguém coma doença, dando positivo, é 0,99 e a probabilidade de o teste iden- tificar corretamente alguém sem a doença, dando negativo, é 0.95, A incidência da doença na população em gera! é 0,001. Você fez o teste eo resultado foi positivo. Qual é a probabilidade de você ter a doença? Seja Do evento em que você tema doença e seja S oexentoem que oeste é positivo. A probabilidade requerida pode ser denotada como PIDIS). A probabilidade de o teste identificar corcetamente alguém sem a doença, dando negativo, é 0,95. Consegllentemente, a probatilidade de um tese positivo sem a doençaé Prstp)= 005 Do Teorema de Bayes, PAS = PISIDIPIDYLPIS|D)PID) + PAS|DNP(D'] 9H O 0005 [0,9940,0001) + 0.054! — 0,0003)] = 1506 = 0,002 Ou seja, a probabilidade de você ter a doença é obter um resultado positiva do teste é somente 0,002. Surpreendentemente, embora o teste. seja efetivo, no sentido de que A(S|D) é alto e P(S|D') é baixo, por causa daincidênciada doença na população em geral ser baixa, as chaneessão bem “pequenas de você realmente ter a doença, mesmo se 0 Oteste for positivo. EXEMPLO 2-38 Rede Boyeseana Redes bayescamas são usadas nos sites da interner de fabricantes de alta tecnologia pára permitir aos consumidores diagnosticar rapidamente problemas nos produtos. Um exemplo bem simplificado é apresentado aqui, Um fabricante de impressoras obteve as seguintes probabilidades provenientes de um banca de dados de resultados de testes. Falhas nas impressoras estão associadas a uês pos de problemas: máquinê, pro- grama e outros fais como conectores). com probabitidades de 0,1,0,6 “0,3, respectivamente, A probabilidade de uma falha na impressora. devido a um problema de máguina 60.9, devido a um problema de pro- grama é 0,2 e devido à qualquer outro tipo de problema é 0,5, Se um consumidor entrar no site do Fabricante para o diagnóstico da falha da impressora, qual será a causa mais provável do problema? Sejam M, P & O os eventos que representam um problema na má- quina, no programa e um outro tipo, respectivamente, e seja P uma fa- Jha na impressora. A causa mais provável do problema é aquela que comesponde à maior de P(MIF), (PIF)e PLOIF). No Teorema de Bayes, o denominador é PI = PLEIMDPIM) + PIFIPIPIP) + PAFÍOJP(O) = 09/01) + 0,2(0,6) + 0:5(0,3) = 0,36 Então POP = PFIMPIMPIE) = 0,9(0,140,36 = 0,250 P(PIP) = PLE|PIR(PyP(ÃO) = 0,2(0.6)0,36 = 0,333 POIF) = PELO) PÇONAP) = 0,5(0,3)10,36 = 0417  Note que P(MIF) + PII) PLOIF) = 1, porque um dos três tipos de problemas é responsável pela falha, Visto que P(O]F) émaior, a causa mais provável do problema está na categoria outro tipo. Um diálogo no site da internet para diagnosticar rapidamente o problema deseria co- meçar com uma verificação naquele tipo de problema. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2.7 2436. Suponha que P(4]8) = ne PLBIA) 24117, Suponha que (48) = 0,4, P(A|B') = 0.2, P(B) = 0,8. Deter- mine P(BIA). 2118. Um programa computacional para detectar fraudes em cartões telefônicos dos consumidores rastreia, todo dia, o némero de áreas mesropolitanas onde as chamadas se originam. Sabe-se que 1% dos usuários Jegítimos faz suas chamadas de duas ou mais áreas metropoli- tamas em um único dia. Entretanto, 30% dos usuários fraudulentos fa. zem seas Chamado de duas ou mais áreas metropolitanas em am único dia A proporção de usuários frmudulentos é 0,02%. Seo mesmo usuá- rio fizer as suas chamadas de duas ou mais áreas metropolitanas em um único dia, qual será a probabilidade de 0 usuário ser fraudulento? 2-119. Está sendo testado um novo processo de detectar mais acurada- mente a respiração anserótica em células. O novo processo é impor- tone devido à sua alta acurácia, à sua faia de experimentação extensi- vae ao fato de que ele poderia ser usado para identificar cinco catego- sias diferentes de organismos: aneróbios obrigatórios, anaeróbios fa- cullativos, aerotolerantes, microgerófilos e nanseróbios, em vez de usar um único teste para cada categoria, O processo alega que ele pode iden- tificar anaeróbios obrigatórios com 97,8% de acurácia, anaeróbios fa- cuitativos com 98,1% de acurácia, aerotolerantes com 95,9% de acurá- cia, microserófilos com 96,5%) de acurácia e naneróbias com 99,2% de acurácia, Se qualquer categoria não estiver presente, o processo não sinaliza, Amostras são preparadas para a calibração do processo e 31% delas contêm anaeróbios obrigatórios. 279% contêm anceróbios faculta- tivos, 21% contêm microzerófilos, 13% contêm nanseróbios e 8% con- têmaerotolerantes. Uma amostra de teste é seleciontds aleatoriamente. (6) Qual é a probabilidade de o processo sinalizar” (8)Se o teste sinalizar, qual é a probabilidade de os microaerófios es- arem presentes? 7, PA) = 0,5€ P(B) = 0,2. Determi- 2-120, Na eleição presidencial amesicana de 2004, a apuração no esta- do crítico de Óbio fomeceu os seguintes resultados: Bush kerry Sem terceiro grau (62%) 50% s0% com pós-graduação (38%) Bh 46% Se um eleitor, selecionado aleatoriamente, tiver votado em Bush, qual é à probabilidade de que a pessoa tenha um grau superior? 2121. Consumidores são usados para avaliar projetos iniciais de produ- tos, No passado, 95% dos produtos altamente aprovados recebiam boas revisões, 60%% dos produtos moderadamente aprovados recebiam boas revisões 109% dos produtos ruins recebiam boas revisões, Além disso, 40% dos produtos tinham sido altamente aprovados, 35% moderada. mente aprovados e 25% tinham sido produtos mins. (8) Qual é probabilidade de um produto atingir uma boa revisão? (8) Se um novo projeto atingir uma boa revisão, qual será a probabili- clade de que ele se torne um produto altamente aprovado? (5) Se um produto não atingir uma boa revisão, qual será a probabilida- le de que ele se torne um produto altamente aprovado? 2-122, Um inspetor, que trabalha para uma companhia de manufatura, tem uma chance de 99% de identificar corretamente itens defeituosos e uma chance de 0,5% de classificar incorretamente um tem bom como sendo defeituoso. A companhia tem evidência de que sua linha produz 0,9%% de itens não conformes. Probetilidado 35 (8) Qual é a probabilidade de um item selecionado para inspeção ser classificado como defeituoso? (b) Se um item selecionado ao acaso for classificado como não defeitu- 050, qual é a probabilidade de que ele seja realmente bom? 2-123. Está sendo testado um novo método analítico de detectar poluentes em água. Esse novo método de análise química é importante porque, se adotado, poderia ser usado para detectar três diferemes contaminantes — poluentes orgânicos, solventes voláteis e compostos clorados — em vez de ter de usar um único teste para cada poluente. As. pessoas que elaboraram o teste afirmam que ele pode detectar alts ni- veis de poluentes orgânicos com 99,7% de acurácia, solventes voláteis com 9.95% de acurácia e compostos clorados com 89,7% de acurácia Se um poluente não estiver presente, o teste não sinátiza, Amostras são preparadas para acalibração do teste e 605% delas são contaminadas com poluentes orgânicos, 27% com solventes voláteis e 13% com traços de compostos clorados. Uma amostra teste é selecionada aleatoriamente (3) Qual é a probabilidade de o teste sinalizar? (b) So teste sinalizar, qual é a probabilidade de os compostos elurados estarem presentes? 2-8 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS Estamos fregientemente interessados em resumir 0 restitado de um experimento aleatório através de um simples número. Em muitos exemplos de experimentos aleatórios que temos consi derado, o espaço amostral foi apenas uma descrição de resulta- dos possíveis. Em alguns casos, descrições de resultados são suficientes, mas em outros, é útil associar um número a cada resultado no espaço amostral. Pelo fato do resultado particular do experimento não ser conhecido a priori, o valor resultante de nossa variável não será conhecido a priori. Por essa razão, à variável que associa um número ao resultado de um experimen- to aleatório é referida como uma variável aleatória, Variável Aleatória Uma variável aletória é uma função que confere um núme. roteala cada resultado no espaço amostral de um experimento aleatório. A notação é usada para distinguir entre uma variável aleató- ria e o número real. Uma variável aleatória é denotada por uma letra maiúscula, tal como X. Depois de um experimento ser conduzido, o va- lor medido da variável aleatória é denotado por uma letra mi núscula, tal como x = 70 miliampêres. Algumas vezes, uma medida (ta] como a corrente em um fio de cobre ou o comprimento de uma peça usinada) pode assumir qualquer valor em um intervalo de números reais (no mínimo teoricamente). Então, é possível se ter uma precisão arbitrária na medida. Naturalmente, na prática, podemos arredondar para o décimo ou centésimo mais próximo de uma unidade. A variável aleatória que representa essa medida é dita ser uma variável ale- alória contínua. A faixa de X inclui todos os valores em um in- tervalo de números reais; ou seja, a faixa de X pode ser pensada como um contínuo. Em outros experimentos, podemos registrar uma conta tal coro o número de bits transmitidos que são recebidos com erro. Então, a medida é limitada a inteiros. Ou devemos registrar que 36 Capítulo? uma proporção al como 0,0042 dos 10.000 bits transmitidos foram recebidos com erro. Então, à medida é fracional, porém é ainda limitada a pontos discretos na linha real. Quando quer que a medida seja limitada a pontos discretos na linha real, a vari vel aleatória é dita ser uma variável aleatória discreta. Variáveis Aleatórias Discretas e Comtínas Uma variável aletória discreta é uma variável aleatória com uma faixa finita (ou infinita contável). Uma variável aletória contínua é uma variável aleatória com um intervalo (tanto finito como infinito) de números reais para sua faixa. Em alguns casos, a variável aleatória X é realmente discreta, porém, por causa da faixa de valores possíveis ser muito grande, pode ser mais conveniente analisar X como uma variável aleató- tia contínua. Por exemplo, suponha que as medidas de corrente sejam lidas a partir de um instrumento digital ue mostra a cor- rente com a precisão de um centésimo de múiliampêre, Polo fato de as medidas possíveis serem limitadas, a variável aleatória é discreta. No entanto, pode ser uma aproximação mais conveni- ente e simples considerar que as medidas da corrente sejam va- lores de uma variável aleatória contínua. Exemplos de Variáveis Aleatórias Exemplos de variáveis aleatórias contínuas: corrente elétrica, comprimento, pressão, temperatura, tem- po, voltagem, peso Exemplos do variáveis aleatórias discretas: número de arranhões em uma superfície, proporção de partes defeituosas entre 1.000 testadas, número de bits transmitidos que foram recebidos com erro. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 2-8 2-124, Decida se uma variável discreta ou contínua é o melhor modelo para cada uma das variáveis a seguir. ta) O tempo que um projéil gasta para retormar à Terra. (b) O número de vezes que um transistor em umamemória de computa- dor muda de estado em uma operação. te) 9 volume de gasolina que é perdido por exaporação, durante o en- chimento de um tanque de gasolina. (a) O diâmerro extemo de um eixo usinado. (8) O número de rachaduras que excedem meia polegada em IO milhas de uma auto-estrada interestadual. 40 O peso de uma peça plástica moldada por injeção. (8) O número de moléculas em uma amostra de gás (b) A concentração de saída de um reator. ti) A corrente em um circuito elétrico. Exercícios Suplementares 2125, Amostras de vidrarias de laboratório são embaladas em pacotes pequenos e leves ou em pacotes grandes e pesados. Suponha que 2 e 1% da amostra despachada em pequenos e grandes pacotes, respertiva- mente, quebrem durante à transporte. Se 60% das amostras são despa- chadas em grandes pacotes e 40% são despachadas em pequenos paco- tes, qual a proporção de amostras que quebram durante 0 transporte? 2-126. Uma amostra de ts calculadoras é selecionada de uma linha de fabricação é cada calculadora é classificada como defeituosa ou aceitável. Sejam A, 2 e C'os exentos que a primeira, a segunda ea ter. eira calculadoras sejam defeituosas, respectivamente. () Descreva o espaço amostral para esse experimento. com um diagra- ma em forma de árvore. Useo diagrama em forma de árvore para descrever cada um dos seguin- tes eventos: ta (8 (gAnB (Jguc 2-127, Amostras de uma pegade alumínio fundido são classificadas com base no acabamento (em micropolegadas) da superficie « nas bordas. resultados de 100 peças são cesumidos a seguir: acabamento de borda excelente bom acabamento de superficie excelente 80 2 tom 10 E Seja 4 o evento em que uma amostra tem excelente acabamento na su- perííie e seja B o evento em que uma amostra tem excelente acaba. mento nas bordas. Se um tem for selecionado aleatoriamente, determi ne as seguintes probabilidades ta) 744) tz (P(A (PAN B) (NPAUB) (Dra UB 24128. Eixos são classificados em termos da ferramenta de usinagem que foi usada para fabricar O cixo e obedecer aos requisitos de acaba- rmento de superfície e de bordas asredondadss. 2129. Se A, B e C forem eventos mutuamente excludentes, é possível que P(A) = 0,3, P(8) = 0,4 P(C) = 0,57 Por que sim e por que não? atende aos requisitos de bordas Fecramenta 1 arredondadas sim não atende aos requisitos de sim 20 1 acabamento de superfície não 4 2 atende aos requisitos de bordas Ferramenta 2 arredondadas sim não atende aos requisitos de sim 145 4 acabamento de superfície não 3 6 ts) Sc o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de o cixo satisfazer os requisitos de acabamento na superfície ou de bor- das arredondadas ou de ser proveniente da Ferramenta 1? <b)Se o eixo for selecionado ao acaso, qua] será a probabilidade de o eixo satisfazer os requisitos de acabamento da superfície ou não sa- tisfazer 0s requisitos de bordas arredondadas ou de ser proveniente da Ferramenta 2? te)Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de o eixo satisfazer tanto 08 requisitos de acabamento da superficie como os de bordas arredondadas do aspecto arredondado ou de o eixo ser proveniente da Ferramenta 2? 44)Se o eixo for selecionado ao acaso, qual será a probabilidade de o eixo satisfazer os requisitos de acabamento de superfície ou de o ixo ser proveniente da Ferramenta 2? 2130, A anffise de eixos para um compressor está resumida de acordo com as especificações: atende aos requisitos de bordas arredondadas sim não atende dos requisitosde sim 345 5 acabamento de superfícic não 2 8 Catcule a probatilidade de um fazendeiro selecionado aleatoriamente ter informação suficiente para lida efetivamente com ums explosão da doença 2151. Em uma operação de enchimento automático, a probabilidade de um enchimento incorreto quando o processo for operado a baixa velocidade será 0.001. Quando o processo for operado a alta velocida- de, à probabilidade de um enchimento incorreto será 0,01. Suponhaque 30% dos reservatórios sejam cheios quando o processo for operado a alta velocidade e o restante seja cheio a baixa velocidade, (a) Qualé à probabilidade de um reservatório ser cheio incorretamen- te? (b)Se um reservatório cheio incormetamente for encontrado, qual é à probabilidade de que ele tenha sido cheio durante uma operação a alta velocidade? 2+152, Um sistema de codificação-decodificação consiste em uês ele. mentos: codifica, tramsanite e decoclifica. Uma codificação falha ocorre em 0,59% das mensagens processadas, eros de transmissão ocorrem em 1% das mensagens e um crro de decodificação ocorre em 0,1% dasmen- sagens. Considere os crros como sendo independentes. (a) Qual é a probabilidade de se ter uma mensagem completamente li. vre de defeito? (b) Qual é à probabilidade de uma mensagem ter tanto um defeito de costificação como de decodificação? 2+153, Sabe-se que duas cópias defeituosas de um programa computa- cionst corercial foram enviadas erroneamente para um lote de remes- sa que tem agora um total de 75 cópias do programa. Unia amostra de cópias será selecionada, sem reposição, do lote. (a) Se três cópias do programa forem inspecionadas, determine a probe. bilidade de exatamente uma das cópias defeituosas ser encontrada. (b) Se três cópias do programa forem inspecionadas, determine a pro- babilidade de ambas às cópias defeiniosas serem encontradas. (6) Se 73 cópias forem inspecionadas, determine a probabilidade de “imibas as Cópias Serem encontradas. Sugestão: Trabalhe com as có. pias que continuam no lote 2154, Uma ferramenta de inserção robótica contém LO componentes principais, À probabilidade de qualquer componente falhar durante o período de garantia é 0,07. Considere que os componentes falhem in- dependentemente e que a fesramenta falhe se qualquer componente fa- Jhar. Qual éa probabilidade de que a ferramenta falhe durante o perio- do de garantia? 2-155, Uma mensagem de e-mail pode viajar através de uma a duas rotas de servidores, A probabilidade de erro na transmissão em cada um dos servidores e a proporção de mensagens que viajam em cada rota são mostradas na tabela a seguir. Considere que os servidores sejam inde- pendentes. probabilidade de erro porcentagem servidor servidor servidor servidor demensagens 1 2 3 4 rota 30 001 os rota? 70 002 0903 (a) Qual é a probabilidade de uma mensagem chegar sem emo? (b) Se uma mensagem chegar com erro, qual será a probabilidade dela ter sido mandada através da rota 1? 2-156, Uma ferramenta de vsinagem fia aciosa 15% do tempo. Você Tequer uso imediato da ferramenta em cinco diferentes ocasiões du- zânte 0 ano. Suponha que seus pedidos representem eventos indepen- dentes. (3) Qual éa probabilidade de que a ferramenta esteja ociosa no período de todas as suas solicitações de uso? (b) Qual é a probabilidade de que a ferramenta esteja ociosa no período de exatamente quatro de suas solicitações de uso? (6) Qual é a probabilidade de que a ferramenta esteja ociosa no período de no mínimo três de suas solicitações de uso? Probabilidade 39 2187. Um lote de 50 arueles contêm 30 delas que são mais espessas do que a dimensão desejada. Suponha que ts arruclas sejam selecio- nadas ao acaso, sem reposição no lote. (2) Qual é a probabilidade de todas três arruelas secem mais espessas do que o valor desejado? (b) Qual será a probabilidade de que a terocira amuela selecionada seja mais espessa do que o valor desejado, seas dues primeiras arruejas selecionadas forem mais finas do que a dimensão desejada? (€) Qual é a protatilidade de que a terceira omuela selecionada seja mais espessa do que o salor desejado? 2-158. Contimtação do Exercício 2-157. Anvelas são selecionadas do lote, ao acaso, sem reposição. (a) Qual 0 múmero minimo de arruelas que necessita ser selecionado, para que a probabilidade de todas as arrtelos serem mais finas do que o valor desejado seja menos de 0,10? tb) Qual o múmero mínimo de armuelas que necessita ser selecionado, para que a probabilidade de uma ou mais arruclas ser(em) mais espessa(s) do que o valor desejado seja no mínimo 0,90? 2-159. A tabela seguinte lista à história de 940 pedidos de opcionais de computadores, memória extra não sim processador opeionat não 514 “E de anta velocidade. sim n2 246 Seja À o evento em que um pedido requer o opcional de processador com alta velocidade é seja 8 o evento em que um peitido requer 0 opei- onal de memária extra, Determine as seguintes probabilidades. (DPAUB) DMANB OPA UB) (DMA NB) (6) Qual é à probabilidade de um pedido requerer um processador de alta velocidade, dado que o pedido requer memória extra? €8 Qual é a probabilidade de um pedido requerer memória extra, dado que o pedido reguer um processador de alta velocidade? 2160, O alinhamento entre a fita magnéticae o cabeçote em um siste. ma de armazenagem com fita magnética afeta o desempenho do siste- ma. Suponha que 10% des operações de leite estejam danificadas pelos alinhamentos distorcidos, 5% pelos alinhamentos descentralizados eas operações restantes de leitura estejam apropriadamente alinhadas. 4 probabilidade de um erro de leitura é 0,01 devido ao alinhamento distorcido, 0,92 devido ao alinhamento descentralizado e 0,001 devido ao alinhamento adequado. (a) Qual é & probabilidade de um erro de Jeitura? (b)Se um erro de leitura ocorrer, qual será a probabilidade de ser devi- do a um alinhamento distorcido? 2161, O circuito a seguir opera se, e somente se, houver um caminho de dispositivos funcionais da esquerda para a direita. Considere que os dispositivos fathem independentemente e que a probabilidade de falta di: cada equipamento esteja mostrada na figura. Qual é a probabilidade de o circuito não operar? Go] [E] 2-162. Uma companhia que rastreia o uso de seu site na internet deter- minon que quanto mais páginas um visitante vê, mais provável é queo 40 Coniuto? visitante forneça informação para contato. Use as seguintes tabelas para, responder as questões: Número de páginas vistas: 123 Porcentagem de visitantes: Porcentagem de visitantes em cada categoria de visualização de página que fornece informação de contato: 10 4oumais a 30 20 10 10 20 40 (a) Qual é a probabilidade de um visitante ao site da intemer fornecer informação para contato? (b) Seum visitante fornece informação para contato, qual é a probebi dade de que o visitante tenha visto quatro ou mais páginas? 2163, Um ertigo em Genoma Research “An Assessment of Gene Prediction Aceuracy in Large DNA Sequences” (Uma Avaliação da Acuráeiade Previsão de Genesem Grandes Segências de DNA), (2000, Vol. 10, pág. 1631-1642), considerou à acurácia de um programa com- putacional comercial para prever mucleotídeos em segiências de genes. A tabela seguinte amostra o número de segências para as quais os pro- gramas produziram previsões e o número de nucleotídeos corretamente previsto (calculado globalmente a partir do número total de sucessos e falhas de previsão em todas as segiiências). GenScan (Varredura de Gene) 083 Blast (Algorimo computacionat) 9 BlasiX topcomboN (Comando os “sado no Blast) BlastX em 2 estágios 1975 ago Geneise (Algoritmo m os computcional) Proérustes (Algoritmo 17 os computacional) Considere que os sucessos e falhas de presi entre os programas. (a) Qual é a probabilidade de que todos os programas prevejam core. tamente um necleotídeo? (t) Qual é a probabilidade de que todos os programas prevejam incor- retamente um ucleotídeo? (6) Qualé a probabilidade de que no mínimo am programa Blastx pre- seja corretamente um mucleotídeo? 2-164, Uma batelada contém 36 células de bactérias. Considere que 12 das células não sejam capazes de replicação celular. Seis células são selecionadas ao acaso, sem reposição, para verificar a replicação. ão sejam independentes (8) Qual é a probabilidade de todas as seis cétolas das células sejecio- nadas serem capazes de replicação? 4) Qual éa probabilidade de no mínimo uma das célutas selecionadas não ser capaz de replicação? 2165, Um sistema de computadores usa senhas, que são exatamente sete caracteres, sendo cada caracter uma das 26 letras (2-2) ou 1Q insei- ros (0-9). Letras maiúsculas não São usadas. (a) Quantas senhas são possíveis? (b) Sema senha consistir em exatamente seis letras e um número, quas- tas senhas são possív (c) Se uma senha consistir em cinco les seguidas por dois números, quantas senhas são possíveis? 2166, Cabelos vermelhos naturais consistem em dois genes. Pessoss com cabelo vermelho têm dois genes dominantes, dois genes eessivos ou nm dominante e outro recessivo. Um grupo de 1.000 pessoas foi calegorizado como segue Gene2 Gene 1 Dominante — Recessivo Outro Dominante 5 2 3 Recessivo 7 a 3 Outro 2” 15 E] Seja À O evento em que uma pessoa tem um gene dominante de cabelo vermelho e seja B o evento em que uma pessoa tem um gene recessivo de cabelo vermelho. Se uma pessoa for selecionada ao acaso desse gru- po, calcule o seguinte: (PA) meana) (CBAUB) (DMA NE (DPAIB) 15) Probabilidade de que a pessoa selecionada tenha cabelo vermelho. 2167. Dois fabricantes fomeceram, cada um, 2.000 peças, que foram avaliadas cor elação ao atendimento deespecificações, Um tipa de peça era de maior complexidade que outra. À proporção de peças não con- fosmes de cada tipo é mostrada na tabela. Componente Arranjo Fornecedor simples complexo Total 1 Não conforme 2 10 12 Total 1000 1009 2000 2 Não conforme 4 6 10 Total 1600 E) 2000 Uma peça é selecionada, so acaso, de cada fabricante. Para cada um deles, cafcule separadamente as seguintes probabilidades (a) Qual éa probabilidade de uma peça obedecer às especi (b) Qualéa probabilidade de uma peça obedecer às especificações, dado que ela tenha um attanjo complexo? (c) Qualéa probabilidade de uma peça obedecer às especificações, dado que ela tenha um arranjo simples? (8) Compare suas respostas para cada fabricante no item (a) com aque- as nos itens (b)e (c) e explique qualquer resultado não usual EXERCÍCIOS PARA EXPANDIR A MENTE 2-168. O alinhamento entr a fita magnética é o cabeçote em um sistema de armazenagem com fita magnética afeta o desempenho do sistema. Suponha que 10% das operações de leitura estejam, danificadas pelos alinhamentos distorcidos, 5% pelos alinhamentos. descentralizados, 15% pelos alinhamentos distorcidos e descentrati- zados e as operações restantes de Jeitmra estejam apropriadamente alinhadas, A probabilidade de um erro de leitura é 0,01 devido ao alinhamento distorcido, 0402 devido ao alinhamento descentraliza- do, 0,06 devido a ambas condições e 0,01 devido ao alinhamento adequado. Qual é a probabilidade de am erro de Jeitura? 2169. Suponha que um lote de arrelas seja grande o suficiente para que se possaconsiderar-a amostragem com reposição. Considere que 60% das amuelas excedara à espessura desejada. (a) Qual será o número mínimo de armuelas que deve ser Selecio- nado, demodo que a probabilidade de nenhuma arruela ser mais espessa do que o valor desejado seja menor que 0,10? €8) Qual será o número mínismo de amvelas que deve ser sclocio- nado, de modo que a probabilidade de ama ou mais arructas se. sem mais espessas que o valor desejado seja no mínimo 0,90? 24130, Uma firma de biotecnologia pode produzir kl para testes de disgnósticos, ao custo de US$ 20,00. Cada Kit, do qual há uma demanda na semana de produção, pode ser vendido a US$ 109,00. No entanto, devido à meia-vida dos componentes no kit, o mesmo deve scr jogado fora, caso não seja vendido na semana de produção. Ocusto de jogar fora o kit é de US$ 5. A demanda semanal é resu- mida a seguir demanda semanal Número de unidades º so 100 20 Probabilidade de demanda 005 DA 03 025 Quantos kits devem ser produzidos & cada semana para maximizar a média de ganhos da firma? 2171. Suponha as seguintes carecterísticas do processo de inspe- gão no Exercício 2-147. Se um operador verificar o parafuso, a pro- habilidade de um parafuso rosqueado incorretamente ser idemtfica- Probabilidade 4] do é de 0,95, Se vm parafuso verificado tiver sido rosqueado come- tamente, a conclusão do operador será sempre cometa. Qualé apro- babilidade de no mínimo um parafuso na amostra de quatro ser idem. Sficado como sendo rosqueado incorretamente? 2172, Se os eventos À é B forem independentes, mostre que 4' e B' tambémoo serão. 2-173. Suponha que a tabela de contagem de itens seja generaliza- da como segue: — bedece sim não fornecedor 1 ka w 2 a b em que a, be k são inteiros positivos, Seja À o evento em que um tem é proveniente do forecedor 1 e seja B oevento em que uro tem obedece às especificações. Mostre que 4 e B são eventos indepen- dentes Esse exercício ilustra o resultado de que quando as linhas de uma tabela (com linhas e c colunas) são proporcionais, um evento defi- ado por unia categoria na linha € um evento definido por uma cate- goria na colma são independentes. TERMOS E CONCEITOS IMPORTANTES Ce Axiomas da probabilidade Evento Com ou sem reposição Eventos mutuamente Combinação excludentes Diagrama de Venn Diagrama em forma de árvore Espaços amostrais — discreto econtínvo Experimento aleatório Independência Paradoxo de Simpson Permmutação Resultado Probabilidade Resultados igualmente Probabilidade condicional prováveis Regra da multiplicação Regra da probabilidade total Regra de adição Teorema de Bayes Variáveis alentórias — discreta e contínua  44 Capítulo3 Função de Probabilidade Para uma variável aleatória discreta X, com valores possíveis XysXm «ls à Fimição de probabilidade é uma função tal que Do o rs O f=2x=2) 6-1) Por exemplo, no Exemplo 3-4, AO) = 0,6561, 11) = 0.2916, AO) = 0,0486, (3) = 0,0036e 4) = 0,0001. Verifique que essa soma de probabilidades no Exemplo 3-4 é iguala 1. EXEMPLO 3.5 Contaminação de Pastilhas Seja variável aleatória X o número de pastilhas de semicondutores que necessitam ser analisadas, de modo a detectar uma grande partícula de contaminação. Considere que à probabilidade de uma pastilha conter uma grande partícula seja 0,01 e que às pastilhas sejam independentes. Determine a distribuição de probabilidades de X. Seja p uma pastilha em que uma grande partícula esteja presente > sejaa uma pastilha em que essa partícula esteja ausente. O espaço amos- traldo experimento é infinito, podendo ser representado como todas as segiências possíveis que comecem com um conjunto de caracteres de aºse terminem com p. Istoé, 4p, ap, Gap, egap, aanap, aannap, e assim por diante) Considere alguns poucos casos especiais. Temos P(X = 1) = P(p) = 0,01. Também. usando a suposição de independência, PIX = 2) = Plap) = 0,99(0,01) = 0,0099 Uma fórmula geral é Py==) = Poa Ent ap) = 0997 1(0,01), parax = 1,2,3,.. (= nes Descrever as probabilidades associadas com X em termos dessa fórmula é o método mais simples de descrever a distribuição de X neste exemplo. Claramente fx) = 0. O fato deque a soma das probabilidades é igual a bm é deixada como um exercício, Esse €um exemplo de urta variável aleató- ria geométrica e detalhes serão fomecidos mais adiante neste capítulo. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 3-2 3.14, O espaço amostral de um experimento aleatório é (a, 6, 6,7) e cada resultado é igualmente provável. Uma variável aleatória é defi- nida como se segue: rsulado jajbjc jd jejf x º 1s las lados Determine a função de probabilidade de X. Use a função de probabi dade para delermiciar as seguintes probabilidades (PX=15) AOSSE<2N rX>3 (MPAO=Ê<D CPA=00uX=2) Paraos Exercícios 3-15 2 3:18, verifique que às seguintes fanções são funções de probabilidade é determine as probabilidades requeridas. 338.2 2|alo 1 2 so tie los los las 18 (2x=2) (rua OR-ISIS) GPE<Imt= 36. Az) = (8/2, x = 1,2,3 PXSD QPE>D (OPE<X<6 (DPXSoux>I) sn qy=ESL s=0,12,34 erx=9 O bus) OPR=X<9 (PAS) 3-18. Ax) = (3M4x/ap,x=0,1,2, Ork=) - PME GE) (MRE 3-39, Um artigo na revista Knee Surgery, Sports Traumaiology, Arthroscopy, “Arthroscopic meniscal repair with an absorbable serev: Fesults and surgical technique” — “Reparo artroscópico em meniscocom parafuso absorvíve!: resultados e técnica cirúrgica” — (2005, Vol 13, pp. 273-279) menciona uma taxa de sucesso maior que 90% para rom» pimentos de meniscos com ruptoras com larguras menores que 3 am, porém somente uma taxa de sucesso de 65 para ompimentos de 3-6 mm, Se você for azarado o suficiente para sofrer um rompimento de menisco menor que 3 mi em seu joelho esquerdo um de largura +-6 «mm em seu joelho direito, qual é a função de probabilidade do número de cirurgias com sucesso? Considere as cirurgias como independentes. 3.20, Um sistema de inspeção óptica deve distinguir diferentes tios de peças. A probabilidade de uma classificação correta de qualquer peça é 0,98, Suponha que três peças sejam inspcionades e que es clssifica- ções sejam independentes. Seja a variável aleatória X o número de peças classificadas conetamente, Determine a função de probabilidade de X. 321, Em um processo de fabricação de semicondutores, mês pastilhas de umiote são testadas. Cada pastilha é clasificada como passa oujatha Suponha que a probabilidade de uma pastilha passar no teste seja de 0,5 e que as pastilhas sejam independentes. Determine a função de proba- bilidade do número de pastilhas de um lote que passa no teste. 3.22, Um sistema de controle de vôo de naves espaciais, chamado de PASS (Primary Avionios Software Sel), usa quatso computadores inde- pendentes trabalhando em paralelo. Em cada etapa crítica, os compata- dores “votanr" para determinar a etapa apropriada. A probabilidade de um computador mandar girar para a esquerda quando o gira para a di- reita seria 0 apropriado é de 0,000]. Seja X o número de computadores: que escolhem o giro para a esquerda quando o giro paraa direita seja apropriado. Qual é a função de probabilidade de X? Um fabricante de discos rígidos estima que em cinco anos um dispositivo de armazeiagem, com uma capacidade de 1 terabyte, será vendido com uma probabilidade de 0,5, um dispositivo de armazena- gem, com uma capacidade de 500 gigabytes será vendido com uma pro- babilidade de 0,3, e um dispositivo de armazenagem com uma capaci- dade de 100 gigabytes será vendido com uma probabilidade de 0,2. A receita associada com as vendas naquele ano é estimada em USS50 milhões, US$25 milhões « US$ lOmilhões, respectivamente. Seja X a venda dos dispositivos de armazenagem durante aquele ano. Detemi- né a função de probabilidade de X. 3:24, O setor de marketing estima que um novo instrumento para aná- lise de amostras de solo terá grande sucesso, sucesso moderado ou não terá sucesso, com probabilidades de 0,3; 0,6 é 0.1, respectivamente. A receita anual associada com um produto de grande sucesso, sucesso moderado ou nenhum sucesso é de US$ LOmilhões, USSSmithões e US$] milhão, respectivamente. Seja a variável aleatória X a renda amu- al do produto, Determine à função de probabilidade de X. 3.25, O disribuidor de uma máquina para estudo de cromossomas de- senvolveu um novo modelo. A companhia estima que quando la for introduzida no mercado haverá om grande sucesso com uma probabili- dade de 06, um sucesso moderado com uma probabilidade de 0,3 e nenhum sucesso com uma probabilidade de 0,1. Q lucro anval estima» “oassociado com o modelo tendo muito sucesso é UISS15 milhgese com aquele de sucesso moderado é US$5 milhões; nenhum sucesso resulta- rá em prejuízo de US$500,000. Seja X o lucro anual do novo modelo. Determine à fiação ce probabilidade de X. 3-26, Um arranjo consiste em dois componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades do primeiro e do segundo componentes satisfazerem as especificações sejam iguais 40.95 e 0,98. Considere que os compo- nentes sejam independentes. Determine à função de probabilidade do número de componentes no aranjo que satisfazem as especificações. 3-2. Un arranjo consiste em três componentes mecânicos. Suponha que as probabilidades do primeiso, do segundo o terceiro componentes satisfazerem as especificações sejam iguais a (1,95; (0,98 e 0,99. Consi- dere que os componentes sejam independentes. Determine a função de probabilidade do número de componentes no arranjo que satisfazem as especificações. 3-3 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA EXEMPLO 3.6 Canal Digitol No Exemplo 3-4, estávamos interessados na probabilidade de encon- trar três OU menos biis com erro. Essa questão pode ser expressa como P4=3. . Oeventoem que (X = 3) é amião de três eventos [X = 0), (x = 1h (4=2)e (X'= 3), Claramente, esses três eventos são munvamente excludentes. Conseqdentemente, PASD=PM=0+PX=D+PX=2+PK=3 0,656] + 0,2916 + 00486 + 0,036 = 0,9999 Essa abordagem pode ser usada para determinar 00036 Pa=9=PX=3-PX=<2) O Exemplo 3-6 mostra que algumas vezes é útil ser capaz de expressar probabilidades cumulativas, tais como P(X = x) é que tais probabilidades cumulativas podem ser usadas para en- contrar a função de probai conseguinte, o uso de probabilidades cumulativas é um método allemativo de descrever a distribuição de probabilidades de uma variável aleatória. Em geral, para qualques vatiável aleatória com valores pos- SÁVeIS Xe. OS VOOS (K = 0), AX = 2), ue (= 5) são mumamente excludentes. Logo, P(X = 1) = Beayflxi). Função de Distribuição Cumulativa A função de distribuição cumulativa de uma variávelakea- tória discreta X, denotada por (x), é Fo =PA=)= ft) Parauma variável aleatória disereta X, F(x) satisfaz as seguin- “tes propriedades: GR) === Lasfa) 2 0<Fy<] (3) Sex<y, então Ff) < FO) e Assim como a função de probabilidade, uma função de dis- tribuição cumulativa provê probabilidades. Note que mesmo se uma variável aleatória X puder assumir somente valores intei- ros, a função de distribuição cumulativa poderá ser definida em Variáveis Aleatórias Diretas e Disbulções de Prolubilidades 45 selores ão tiros. No Exemplo 3 6 FLS) =PX <= =0)+P(X=1)= 0,656] + 0,2916 = 0,9477, As pro. eisdades (e to) de uma função de distribuição cumulativa são provenientes da definição. À propriedade (3) vem do fato deque se x< y então evento em que (X =x) está contido no evento sy O próximo exemplo mostra como a função de distribuição cumulativa pode ser usada para determinar função de probabi- lidade de uma variávei aleatória disereia, EXEMPLO 3-7 Função de Distribuição Cumulativa Detenine a função de probabilidade de X, a partir da seguinte função de distribuição cumulativa: o s<=2 = Jos casaco Fú=toy oex<2 vo ass A Fig. 33 apresenta um gráfico de F(3). A partir dele, pode-se ver que os únicos pontos que recebem probabilidade diferente de zero são =2,0e 2. A função de probabilidade em cada ponto é a mudança na função de distribuição cumulativa no pomto. Logo, 4-D=02-0=02 A)=07-02205 A9)=10-07=03 EXEMPLO Amostragem sem Reposição Suponha que nma produção diária de 850 poças fabricadas contenhaS0 delas que não obedecem 208 requerimentos do consumidor. Duas peças são selecionadas ao acaso, sem reposição, da batelada. Seja à variável aleatória X o número de peças não-confonves na amostra, Qual éafun- ção de distribuição cumulativa de X? A questão pode ser respondida determinando primeiro a função de probabilidade de X. 300 799 Pe o ag — 0886 200 50 =D=2"3 pag o OI EMO PAD tag TOO Consegãentemente, Figura 3-3 Função de distribuição cumuiativa para o Exemplo 3. 46 Capítulo? E 1900 —— os as dês La : Bigura 3-4 Função de distribuição cumulativa para o Exemplo 3-8. A função de distribuição cumulativa para este exemplo é plotada na Fig, 3-4, Note que Pg) é definida para todo x, de —=:< x < es, e não somente para 0, 1 62. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 3-3 3:28, Determine à função de distribuição curmulativa da variável alea- tória do Exercício 3-14, 3.29, Determine a função de distribuição cumulativa da variável alcató- ia do Exercício 3-15, Determine também as seguintes probabilidades: (PA=I2) MP =22) (DPCII<A= (9) px>0) 3:30, Determine a função de distribuição cumulativa da variável aleató- ria do Exercício 3-16, Determine também as seguintes probabilidades: (PX<IS) (PK =3) GrX>7 (i<x<2 3.31, Determine a função de distribuição cumulativa da variável afea- tória do Exercício 321 3.32, Determine a função de distribuição cumulativa da v tória do Exercício 3-22. 3.33, Determine a função de distribuição cumulativa da variável alea- tória do Exercício 3.23 3:34, Determine a função de distribuição cumulativa da variável alea- tória do Exercício 3-24. Vesifique que as seguintes funções são funções de distribuição cumtati- va e detesmine a fonção de probabilidade e as probabilidades requeridas. el alea 33s. 0 x<1 FO=(05 1ex<3 1 38x ras) ras? GPU SXSD (PAD 3:36, Erros em um canal experimenta! de transmissão são encontrados quando a transmissão é verificada por um certificador que detecta pul- sos que faltam. O número encontrado de erros em um byte de 8 bils é una variável aleatória com a seguinte distribuição: o a<1 = Joz I<a<a MO=jos qaz<7 1 Tr Détermine cada uma das seguintes probabilidades: rua PUE>7 GPE=5) (ra>a tpw =<2) 357. 0 x<=10 025 Wex<% 015 3<x<50 1 50<x ta) Pr = 50) CJPUOSX=6O) (a) PX<O) GPO=X<10) QAHO<X<10) 3:38, A espessura (em polegadas) de um painel de madeira que um consumidor requer é uma variável aleatória, com a seguinte função de disibuição curmulativa: (Por = 40) o x<18 02º 18<a<IA 09 J<r<38 1 %8sx Ft Determine as seguintes probabilidades: ePoOsB (DPpr= 1) OPA<SN6 (PA> 18) foPOt= 12) 3.4 MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL ALEATÓRIA DISCRETA Dois números são frequentemente usados para resumir uma dis- iribuição de probabilidades para uma variável aleatória X. A média é uma medida do centro ou meio da distribuição de pro- babilidades e a variância é uma medida da dispersão ou variabi- lidade na distribuição. Essas duas medidas não identificam uni- camente uma distribuição de probabilidades. Ou seja, duas dis- tibuições diferentes podem ter a mesma média variância. Além disso, essas medidas são simples e úteis sumários da distribui- ção de probabilidades de X. Média e Variância A média ou valor esperado de uma variável aleatória dis- creta X, denotada(o) como p. ou E(X), é n=EM= Safe) A variância de X, denota por o? ou Vo, é = 8)=EM- wu) = Zero = Sé o desvio-padrão deXéo= Vo. 83) A média de uma variável aleatória X é uma média ponderada dos valores possíveis de X, com pesos iguais às probabilidades. Se fx) é a função de probabilidade de uma carga em uma longa edelgada viga, B(X) é o ponto no qual a viga se equilibra. Logo, E(%) descreve o “centro” da distribuição de X, de uma maneira similar ao ponto de equilíbrio de uma carga, Veja Fig. 3-5. A variância de uma variável aleatória X é uma medida de dis- persão ou espalhamento nos valores possíveis para X. À variân- cia de X usa o peso fix) como o multiplicador de cada desvio quadrático possível (x, — 4). À Fig. 3-5 ilustraas distibuições de probabilidades com médias iguais, porém variâncias diferen- tes, As propriedades de somatórios e a definição de j podem ser usadas com o objetivo de mostrar a igualdade das fórmulas para a variância. VA) = 5 (x — no) = Dr) — 2 Bafo) + PDA = Efj- nr = Se) a 3-5 DISTRIBUIÇÃO UNIFORME DISCRETA A variável aleatória discreta mais simples é aquela que assume somente um número finito de valores possíveis, cada um com igual probabilidade. Uma variável aleatória X que assume cada um dos valores x, x, ...,X, Com igual protabilidade 14h, é fre- qúentemmente de interesse, Distribuição Uniforme Disereta Uma variável aleatória X tem uma distribuição uniforme discreta se cada uíh dos » valores em sua faixa, isto é, x, xp +.s% tiver igual probabilidade. Então, Ko =4a (35) EXEMPLO 3.13 O primeiro dígito de um múmero seria! de uma peça é igualmente pro- vável de ser qualquer um dos dígitos O a. Se uma peça for selecionada de uma grande batelada e X for 0 primeiro dígito do número seria, en- tão X terá uma distribuição discreta uniforme, com probabilidade igual a 0,) para cada valorem & = (0, 1,2,..,9). Istoé, A9=01 para cada valor em R. À função de probabilidade de X é mostrada na Fig 37 Suponha que a faixa da variável aleatória discreta X seja os inteiros consecutivos a,a + 1, + 2, ..b, para a < b, A faixa de X contém b — a + 1 valores, cada um com probabilidade igual alb— a + 1) Agora, 1 2a) & E Kb+D-(a-a 2 A identidade algébrica D) é = pode ser É Usada para simplificar o resultado para p = (b + a)2. À dedu- ção para à variância é deixada como um exercício. Média e Variância Suponha que X seja uma variável aleatória uniforme discreta nos inteiros consecutivos a, a + 1,a +2,..,b, para = b. À média de Xé A variância de X é guias Variáveis Aleanórias Discreias € Distribuições de Probabilidades 49 EXEMPLO 3.14 Número de Linhas com Vozes Como no Exemplo 3-1, seja a variável aleatória X o número das 48 li nhas telefônicas que estão em uso em um certo tempo. Considere que X Seja uma vasiável aleatória discreta uniforme, com uma faixa de O 2 48. Então, EM) =(48+0)2=24 O =448-0+1P- II2H= 414 A Equação 3-6 é mais útil do que aparenta inicialmente. Se todos os valores na faixa de uma variável aleatória X forem multiplicados por uma constante (sem trocar qualquer probabi- lidade), então à média e o desvio-padrão de X serão multiplica- dos pela constante. Você verificará esse resultado em um exer- cício. Por causa da variância de uma variável aleatória ser o qua- drado do desvio-padrão, a variância de X é multiplicada pela constante ao quadrado. Resultados mais gerais desse tipo serão discutidos no Capítulo 5. EXEMPLO 3.15 Proporção de Linhas com Voxes Sejaa variável aleatória Va proporção das 48 linhas telefônicas que estão em uso em um certo tempo. Seja X o número de linhas que estão em uso em um certo tempo. Ênão, Y = X/48. Portanto, EM= EMA =05 VU) = vugias = 0,087 EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 3.5 =D 3-52. Seja a variável aleatória X tendo uma distribuição discreta unifor- me nos inteiros O == xs 100. Deiermine a média e à variência de X. 353, Seja a variável aleatória X tendo uma distribuição discreta unifor- me nos inteiros 1 5x 3. Determine a média e a variância de x. 3:54, Medidas de espessura em um processo de recobrimento são feitas. com a precisão de centésimo de milímetro. As medidas de espessura estão uniformemente distribuídas, com valores 0,15:0.16;0,17; 0,18 e 8.19. Determine a médiaea variância da espessura de recobrimento para “esse processo. 385, Os códigos de produtos com 2, 3, Ou 4 letras são igualmente pro- váveis, Qual é a média e o desvio-padrão do número de letras em 100 códigos? 3:56. Os comprimentos de peças planas de vidro são medidos com a precisão de décimo de milímetro. Os comprimentosestão tniformemen- te distribuídos, com valores em cada décimo de um milímetro come- cando em 590,0 e continuando até 590,9. Determine a média a variân- cia dos comprimentos. 357, Considere que os comprimentos de onda de radiações fotossinte- ticamente ativas (RFA) estejam distribuídos uniformemente em tanômetros inteiros no espectro do vermelho a partir de 675 a 700 am. (a) Qual é a média é a variância da distribuição de comprimento de onda para essa radiação? (b)Se comprimentos de onda estão uniformemente distribuídos em nanômetros inteiros de 75 a 100 nm, como podemos comparar a média a variância da distribuição de comprimento de onda com o item anterior” Explique. 50 Capas 388, À probabilidade de um operador entrar incorretamente com da- dos alfanuméricos em uca campo de uma base de dados € igualmente provável. À variável aleatória X é o número de campos no formulário de entrada de dados com um erro. O formulário de entrada de dados tem. 28 campos. X é uma variável aleatória uniforme? Por que sim os por quenão? 359. Suponha que X tenha uma distribuição discreta uniforme nos in- teiros de 0a 9. Delerminc a média, a variância e o desvio-padrão da variável aleatória Y = 5X e compére-os aos resultados correspondentes para 3.60, Mostre que para ursa variável aleatória discreta X, se cada um dos. valores na faixa de X for multiplicado pela constante c, então o efeito será o de multiplicar a média de X por ce a variância do X por”. Ou seja, mostre que E(cX) = cE(X) e Vick) = VON. Uma tentativa com somente dois resultados possíveis é usa- da tão frequentemente como um bloco formador de um expei mento aleatório que é chamada de uma tentativa de Bernoul Geralmente considera-se que as tentativas que constituem o ex- perimento aleatório sejam independentes. Isso implica que o resultado de uma tentativa não tem efeito no resultado a ser ob- tido a partir de outra tentativa, Além disso, é fregientemente razoável supor que a probabilidade de um sucesso em cada tentativa é constante. No experimento de múltipla escolha, se a pessoa que for fxzer o teste não tiver conhecimento do materi- al e somente adivinhe cada questão, podemos assumir que a pro- babilidade de uma resposta cometa é 1/4 para cada questão. 3-6 DISTRIBUIÇÃO BINOMIAL Considere os seguintes experimentos aleatórios é variáveis ale- atórias. . Jogue ama moeda 10 vezes. Seja X = número de caras obtidas. Umtear produz 19% de peças defeituosas. Seja X = núme- ro de peças dofeituosas nas próximas 25 peças produzidas. 3, Cada amostra de ar tem 10% de chance de conter uma molécula rara particular. Seja X = número de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas. De todos os bits transmitidos através de um canal digital de transmissão, 109% são recebidos com erro. Seja X número de bits com erro nos próximos 5 bits transmitidos. Umteste de máltipla escolha contêm 10 questões, cada uma com quatro escolhas. Você tenta adivinhar cada questão. Seja X = número de questões respondidas corretamente Nos próximos 20 nascimentos em um hospital, seja X = número de nascimentos de meninas. De todos os pacientes sofrendo de uma determinada do- ença, 35% deles experimentam uma melhora proveniente. de uma medicação particular. Nos próximos 30 pacientes administrados com a medicação, seja X = número de pa- cientes que experimentam melhora. n 6 Esses exemplos ilustram que um modelo geral de probabilida- de, que incluísse esses experimentos como casos particulares, seria muito útil. Cada um desses experimentos aleatórios pode ser pensado como consistindo em uma série de tentativas aleatórias e repeti- das: 10 arremessos da moeda no experimento (1), a produção de 25 peças no experimento (2) e assim por diante. A variável ale- alória em cada caso é uma contagem do número de tentativas que encontram um critério especificado. O resultado de cada tentati- va satisfaz ou não o critério que X conta; consegilentemente, cada tentativa pode ser sumariada como resultando em um sucesso ou uma falha, respectivamente. Por exemplo, em um experimento de múltipla escolha, para cada questão, somente a escolha que seja comeia é considerada um sucesso. Escolher qualquer uma das três opções incorretas resulta em uma tentativa sendo resu- smida como uma falha. Os termos sucesso e falha são apenas designações. Podemos também usar apenas A e Bou0e |. Infelizmente, as designações uswais podem algumas vezes ser enganosas. No experimento (2), devido à X contar peças defeituosas, a produção de uma peça defeituosa é chamada de sucesso. EXEMPLO 3-16 Canel Digital A chance de que um bit transmitido através de um canal digital detrans- missão seja recebido com erro é de 0,1, Suponha tembém que as tenta- tivas de transmissão sejam independesies. Seja X = número de bits com erro nos próximos quatros bits transmitidos, Determino PQY = 2). Seja a letra Eum bit com erro e seja a letra O um bit que esteja bom, ou seja, recebido sem erro, Podemos representar os resultados desse experimento como uma lista de quatro rs. que indicam os bits que estão comerroe aqueles que estão bons, Porexemplo, o resultado OEOE indica que o segundo e o quarto bits estão com esro « que os cutros dois bits estão sem erro (bons). Os valores correspondentes para x são: Resultado x Resultado x oogo º Eo0o 1 Oo0E EOOE 2 cosa 1 EOEO 2 OOEE 2 ECEE 3 oroo 1 EEOO 2 oro 2 EEOE 3 oEEO 2 EEEO 3 OERE 3 EEFE 4 O evento em que X = 2 compreende seis resultados. 1EEOO, EOEO, EOOE, OEEO, OEOE, OOEE) Ussndo a suposição de que as tentativas sejam independentes, apro- habilidade de (EEOO] é PLEEOO) = PEJPLBPLONAO) = (0,170.8 = 0,081 “Além disso, qualquer um dos seis resultados mutuament: excludentes, para o qual X = 2, tem a mesma probabilidade de ocorrer. Logo, PUL=2) = 6(0,0081) = 00486 Em geral, Px= Para completar uma fórmula geral de probabilidade, necessita-so somen- te de uma expressão para o número de resultados que contêm x erros. Um sesuliado que contenha x erros pode ser construído dividindo «s quatro tentativas (letras) no resultado em dois grupos. Um grupo tem tamanho x e comiém os erros e o ouro grupo term tamanho n — xe con- siste nas tentativas que estão sem estos. O número de: maneiras de divi- dir quatro objetos em dois grupos, um dos quais com tamanho x, é = (número de resultados que resultam em x erros X0,140,9"* Ha Por conseguinte, neste emplo re= 0 =(D aros  41/[21 24] = 6, como encontrado anteriormente. A Função de probabilidade de X foi mostrada no Exemplo 3-4e Pig, 3-1 voeçe(!) O exemplo prévio motiva o seguinte resultado. Distribuição Binomíal Umexperimento aleatório consiste em n tentativas de Bemou- Ni, de modo que (1) As tentativas sejam independentes (2) Cada tentativa resulte em somente dois resultados pos- siveis, designados como “sucesso” e “falha” (3) A probabilidade de um sucesso eru cada tentativa, de- notada por p, pertiânecer constante, A variável aleatória X, que é igual ao número de tentativas que resultam em um sucesso, é uma variável aleatória bino- mial com parâmetros O <p < Len = 1,2,... À unção de probabilidade de X é so=(Dott pPTx=0L..,n EN Como no Exemplo 3-16, ( ” ) é igual ao número total de se- qiiências diferemes de tentativas que contêm x sucessos en — x falhas, O número total de segiências diferentes de tentativas que contêm x sucessos e n — x falhas vezes a probabilidade de cada segiência é igual a P(X = x). À expressão anterior de probabilidade é uma fórmula muito útil que pode ser aplicada em vários exemplos. O nome da dis- tribuição é obtido da expansão binomiat. Para as constantes a e +, à expansão binomial é (a+by= Sor 02 el, 200 006 sas | i opere? eme toi li 0123456789 0LLIN BED Figura 3-8 Distribuições binomizis para valores selecionados de rep. Vaiáyes AleatíriasDisoretas e Disibniçõesde Probiliades 51 Seja p a probabilidade de sucesso de uma única tentativa. Então, usando a expansão binomial coma = pe b = 1 — p, “vemos que a soma das probabilidades para uma variável aleató- ria binomial é iguala 1. Além disso, pelo fato de cada tentativa no experimento ser classificada em dois resultados (sucesso, falha), a distribuição é chamada de *bi”-nomial. Uma distribui- ção mais geral, que inclui a binorníal como um caso especial, éa distribuição multinomial, que será apresentada no Capítulo 5. Exemplos de distribuições binoriais são mostrados na Fig. 3.8, Para um fixo, a distribuição se toma mais simétrica à medi- da que p aumentade 20,5 ou diminui de 120,5. Para um p fixo, a distribuição se toma mais simétrica à medida que n aumenta. EXEMPLO 3.17 “Vários exemplos usando o coeficiente binomial (Oscanos a seguir. (19) = 10/[3n]= (10-98) -2)= 120 (3) = US/IOLSA) = (15-14 13 012-11/(5 04 3-2) = 3063 (19 1001/[48961] = (100 - 99-98 -97)H4 3-2) = 3.921.225 Lembre-se de que O! EXEMPLO 3.18 Poluição Orgênica Cada amostra de ar tem 10% de chanco de conter um determinado poluente orgénico. Considere que as amostras sejam indepenctentes com relação à presença do poluente. Encontre a probabilidade de que nas próximas 18 amostras exatamente 2 contenham 0 poluente. Seja X = número de amostras de ar que contêm a molécula rara nas próximas 18 amostras analisadas. Então X &a variável aleatória bino- mial com p= 0,1 en = 18. 0a... - eo alea 54 Capítulo3 vôo que suporta somente 120 passageiros. A probabilidade de que um passageiro não compareça é 0,10 e os passageiros se comportam inde- pendentemente, (a) Qual é a probabilidade de cada passageiro que comparecer possa embarcar? (b) Qual é a probabilidade de que o vôo decole com assentos vazios? 3.80, Este exercfeio ilustra que a baixa qualidade pode afetar o agenda- mentoe os custos, Um processo de fabricação tem 100 pedidos de com- sumidores para preencher. Cada pedido reguer Uma peça componente que é comprada de um fomecedor. No entanto. tipicamente, 2% dos componentes são identificadas como defeituosos, podendo os compo- nentes ser considerados independentes. (a) Se o fabricante estocar 100 componentes, qual será a probabilidade de que as 100 ordens possam ser preenchidas sem refazer o pedido dos componentes? (0) Se o fabricante estocar 102 componentes, qual será a probabilidade de que as 190 ordens possam ser preenchides sem refazer o pedido dos componentes? fe) Se o fabricante estocar 105 componentes, quel será a probabilidade. de que as 100 ordens possam ser preenchidas sem refazer 0 pedido dos componentes? 3-7 DISTRIBUIÇÕES GEOMÉTRICA E BINOMIAL NEGATIVA 3-7.1 Distribuição Geométrica Considere um experimento aleatório que esteja bem relaciona- do àquele usado na definição de uma distribuição binomial. Novamente, suponha uma série de tentativas de Bernoull (tem tativas independentes, com probabilidade constante p de um su- cesso em cada tentativa). Entretanto, em vez de serem em nú- mero fixo, as tentativas são agora realizadas até que um sucesso seja obtido. Seja a variável aleatória X o número de tentativas até que o primeiro sucesso seja atingido. No Exemplo 3-5, pas- tilhas sucessivas são analisadas até que uma partícula grande seja detectada. Então, X é o número de pastilhas analisadas. Na trans- missão de bits, X pode ser o número de bits transmitidos até que um erro ocorra, EXEMPLO 3.20 Carai Digital A probabilidade com que um bit transmitido através de um canal digi- (al de transmissão seja recebido com erro é de 0,1, Considere que às transmissões sejam eventos independentes e seja a variável aleatória X o número de bits transmitidos até que o primeiro erro seja encontrado, Então, P(X = 5) é a probabilidade de que os quatro primeiros bits sejam transmitidos cometamente e de que o quinto bit tenha erro. Esse evento pode ser denotado por £OOOOE), em que O denota um bitcor- reto, Pelo fato de às tentativas serem independentes e a probabilidade de uma transmissão correta ser 59 PR =5) = POOOOE) = 0801 = 0,066 Note que há alguma probabilidade de X ser igual a qualquer vaforintej- ro. Também, sea primeira tentativa for um sucesso, então X = 1. Logo, a faixa de X6(1,2,3, ..), isto é, todos os inteiros positivos. Distribuição Geométrica Em uma série de tentativas de Bernoulk (tentativas indepen- dentes, com probabilidade constante p de um sucesso), seja à variável aleatória X o número de tentativas até que o primei- ro sucesso ocorra. Então X é uma variável aleató trica, com parâmetro <p < le x=1,2,.. fo=0-pop Exemplos de funções de probabilidade para variáveis aleatórias geométricas são mostradas na Fig. 3-9. Note que a altura da li- nham x é (1 — p) vezes a altura da linha em. — 1. Ou seja, as probabilidades diminuem em uma progressão geométrica, À dis- tribuição tem esse nome por cansa desse resultado. EXEMPLO 3.21 A probabilidade de uma pastilha conter uma partícula grande de conta- mimação é de 0,01. Se for considerado que as pastilhas sejam indepem- dentes, qual será a probabilidade de que exatamente 125 pastilhas ne- cessitem ser analisadas antes que uma partícula grande seja detectada? Seja X o número de amostras analisadas até que uma partícula gran- deseja detectada. Então X é uma variável aleatória geométrica, com p= 01. À probabilidade requerida é P(X = 125) = (0,9990,01 ou A média de uma variável aleatória geométrica é n= Emi 2 =paMO emqueg = p= 1. O lado direito da equação prévia é a derivada parcial com relação à q de Be = E sendo a última igualdade obtida a partir da soma conhecida de uma sé- rie geométrica. Logo, E Figura 3-9 Distribuições geométricas para valores selecionados do parê- mero p. ea média é deduzida. De modo a obier a variância de uma variá- vel aleatória geométrica, primeiro deduzimos E(Xº) com uma abor- dagem similar. Isso pode ser obtido a partir de derivadas parciais de segunda ordem com relação a q. Então, a fórmula V(3) = E(X) — (E(X)P é aplicada. Os detalhes dão um pouco meis de trabalho e são deixados como um exercício para expandir à mente. Média « Variência Se X for uma variável aleatória geométrica com parâmetro p, p= EO)=lpeo' Voo 1=py 610) EXEMPLO 3.22 Considera transmissão de bits no Exemplo 3:20. Aqui, mero médio de transmissões até que 0 primeiro ero seja encontrado é igual 1/0,1 = 10. O desvio-padrão do número de transmissões antes do primeiro erro é = [U — 010,17 = 9,49 Propriedade de Falta de Memória Uma variável aleatória geométrica foi definida como o número de tentativas até que o primeiro sucesso fosse encontrado. No entanto, devido ao fato de às tentativas serem independentes, a contagem do número de tentativas até o próximo sucesso pode ser começada em qualquer tentativa, sem mudar a distribuição de probabilidades da variável aleatória. Por exemplo, na trans- missão de bits, se 100 bits forem transmitidos, a probabilidade de o primeiro erro, depois do milésimo bit, ocorrer no bit 106 é a probabilidade de que os próximos seis resultados sejam OOODOE. Essa probabilidade é (0,9)(0,1) = 0,059, que é idên- tica à probabilidade de que o erro inicial ocorra no bit 6. A implicação de usar um modelo geomético é que o sistema presumivelmente não será desgastado. A probabilidade de um erro permanece constante para todas as transmissões. Nesse sen- tido, a distribuição geométrica é dita faltar qualquer memória. A propriedade de falta de memória será discutida novamente no contexto de uma variável aleatória exponencial no Capítulo 4. EXEMPLO 3-23 Falta de Meméria No Exemplo 3-20, a probabilidade de um bit ser transmitido com exro foi igual a 0,1. Suponha que 50 bits tenham sido transmitidos. O náme- to médio de bits até o próximo ero é igual a 140,1 = 10 — o mesmo resultado que o número médio de bits até o prirmeiro erro. 37.2 Distribuição Binomial Negativa Uma generalização de uma distribuição geométrica em que à va- riável aleatória é o número de tentaúvas de Bemoulli requerido para obter 7 sucessos resulta na distribuição binomial negativa. EXEMPLO 3.24 Canal Digital Como no Exemplo 3:20, suponha que seja igual a 0,1 a probabilidade. de um bit iransomitido através de um canal digita) de transmissão ser recebido com erro, Considere que as transmissões sejam eventos inde- Variáveis Alestórias Diseetas e Distribuições de Probilidades 55 pendentes e seja a variável aleatória X 0 número de bits transmitidos até o quarto erro. Então, X tem urma distribuição binomial negativa, com r = 4. Pro» tabiligades envolvendo X podem ser encontradas como se segue. P($'= 10) é a probabilidade de que exatamente três emos ocorram nas nove primeiras tentativas e então a tentativa LO resulte no quarto erro. A probabilidade de que exatamente três ervos ocorram nas nove primeiras tentativas é determinada a partir da distribuição binomial como sendo (euros Uma vez que as tentativas são independentes, a probabilidade de que exatamente três erros ocorram nas nove primeiras tentativas e de que a tentativa 10 resulte no quarto erro é o produto das probabilidades des- ses dois eventos, isto é, 3 conrossam = (Somrosy O resultado prévio pode ser generalizado como se segue. Distribuição Bincmial Negativa Em uma série de tentativas de Bernoulli (tentativas indepen- dentes, com probabilidade constante p de um sucesso), seja à variável aleatória X o número de tentativas até que r sucessos. ocorram. Então X é uma variável aleatória binomial nega- tivacom parâmetros O <p< ler =1,2,3,..,€ no(a pr parax=nr+r+2Z, (3-1) Pelo fato de no mínimo » tentativas serem requeridas para obter r sucessos, a faixa de X é der ac», No caso especialemquer = 1, ao oo o Figura 3-10 Distribuições binomiais negativas para valores selecionados dos parâmeiros re p. 56 Capítuto3 X=N+R+% % x * 12345678 5101112 . Tensatas e indica uma sentotie que resulta em um "sucesso". Eigura 3-1 Variável aleatória binomial negativa representada como uma soma de variáveis aleatórias geométricos. uma variável aleatória binomial negativa é uma variável aleató- ria geométrica, Distribuições binomiais negativas selecionadas são ilustradas na Fig. 3-10. A propriedade de falta de memória de uma variável aleatória geométrica implica o seguinte. Seja X o número total de tentati- vas requeridas para obter 7 sucessos. Seja X, o número de tenta- tivas requeridas para obter o primeiro sucesso; seja X, 0 número de tentativas extras requeridas para obter o segundo sucesso; seja X5 0 número requerido de tentativas extras para obter o terceiro sucesso e assim por diante. Então, o número total de tentativas requeridas paraobter r sucessos éX = X, + X, 4 ... 4X, Devi do à propriedade de falta de memória, cada uma das variáveis aleatórias X, Xp .... X, tem uma distribuição geométrica, como mesmo valor de p. Consegientemente, uma variável aleatória bi- nomiai negativa pode ser interpretada como a soma de r variáveis aleatórias geométricas. Esse conceito é ilustrado na Fig, 3-11. Relembrese do que uma variável aleatória binomial é uma contagem do número de sucessos em x tentativas de Bemoulh. Ou seja, o número de tentativas é predeterminado e o número de sucessos é aleatório. Uma variável aleatória binomial negativa é uma contagem do número requerido de tentativas para obter r sucessos. Isto é, o número de sucessos é predeterminado e o número de tentativas é aleatório. Nesse sentido, uma variável aleatória binomial negativa pode ser considerada o oposto, ou o negativo, de uma variável aleatória binomial. “A descrição de uma variável aleatória binomial negativa como uma soma de variáveis aleatórias geométricas conduz aos seguin- tes resultados para a média e à variância. Somas de variáveis aleatórias serão estudadas no Capítulo 5 Média e Variância Se X for uma variável aleatória binomial negativa cora pará- metros per, r=E0=np e c=YO=Hl-pypPo (1%) EXEMPLO 3.25 Servidores de Rede Um site da ines contém três servidores idênticos. Somente um deles É usado para operar o site; os outros dois são sobressalentes que podem ser ativados nocaso do sistema principal falhar. A probabilidade de uma. falha no computador principal (ou em qualquer sistema sobressalente ativado) é de 9005, Supondo que cada solicitação represente uma ten- tativa independente, qual será o tempo médio para a falha de todos os três servidores? Seja X o número de solicitações até que todos os três servidores fa. hem e seja X,.X, 6 Xy 0 número de solicitações antes de uma falha do primeiro, segundo e terceiro servidores nsados, respectivamente. Ago- 1a, X =X, + Xo4 Xs, Também as solicitações são consideradas tenta. tivas independentes, com probabilidade constante de fatha “Além disso, um servidor sobressalente não é afetado pelo número de solicitações antes deele sor ativado, Por conseguinte, Xtesm uma distribui- ção binomial negaúva, com p = 040005 r = 3 Consegiientemente, EXH) = 3/0,0005 = 6000 sulicitações Qual é a probabilidade de todos os três servidores falharem em 5 tações? A probabilidade é P(X = 5) e PWS9=AN=D+AN=9)+PX=S) 0005? + 0) 0,0005(0,9995) + 0) 0,0005"(0,99957 =1,25 x 1071 43,75 X 107104749 x 10510 1249 x 107% EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 3.7 381, Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição geo- métrica, com p = (15. Determine as seguintes probabilidades: MAX = 4) (DP = (o) pix = 8) Ork>9 3.82. Suponha que a variável aleatória X tenha uma distribuição geo- métrica, com uma média de 2,5. Determine às seguintes probabilida- des: (DP =1) MAX = (PM = 5) (MPR = (Pa>3) 3:83, Considere a segiência de tentativas independentes de Bernoulli, comp = 02. ta) Qual é o múmero esperado de tentativas de modo a se Obter 0 pri- meiro sucesso? 4) Depois de oito sucessos ocorrerem, qual é o número esperado de tentativas de modo a se obter o nono sucesso? 384. Suponha que Xseja uma variável aleatóriabinomia! negativa, com p=02er= 4 Deternine o seguinte: (8) EO (Pl = 20) CPX=19 «)AX=20 (e) 0 valor mais provável de X 3.85, A probabilidade de um alinhamento Óptico com sucesso em um arranjo de um produto de armazenamento de dados ópticos é de 0,8 Considere que as tentativas sejam independentos ta) Qual €a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira exatamente quatro tentativas? 4) Que! é a probabilidade de que o primeiro alinhamento com sucesso requeira no máximo quatro tentativas? (6) Qual é a probabilidade de que o primeiro alinhamento cor sucesso requeira no mínimo quatro tentativas? 3-86. Bm um estudo clínico, voluntários são testados em relação a um gene que aumentoo risco de uma doença. À probabilidade de uma pessoa carregar o gene é 0,1 (8) Qual é a probabilidade de 4 ou mais pessoas terem de ser testadas antes que 2 com o gene sejam detectadas? (b) Quantas pessoas São esperadas ser testadas antes que 2 eom o gene sejam detectadas? 3-87, Suponha que cada uma de suas chamadas para uma estação popo- tar de rádio tenha uma probabilidade de 0,02 de se completar, ou seja," de não obter um sinal de ocupado. Considere que suas chamadas sejam independentes. (3) Qual é a probabilidade de que sua primeira chamada a se completar seja sua décima tentativa? (b) Qual é a probabilidade de se necessitar mais de cinco chamadas para que a ligação se complete? EXEMPLO 3.28 Noexemplo prévio, o tamanho da amostra foi 4. A variável aleatória X foi e número de peças na amostra do fornecedor local. Então, p = 100/ 300 = 4/3. Consegientemente, EO) = a(100a00) = 1,33 VOO = AEHINDINIOO — 4299] = 0,58 Para uma variável aleatória hipergeométrica, E(X) é similar ao resultado para uma variável aleatória binomial. Também, V(X) difere do resultado para uma variável aleatória binomial somen- te pelo termo mostrado a seguir. Fator de Correção para População Finita O termo na variância de uma variável aleatória bipergeométrica N-n N-1 15) é chamado de fator de correção para população finita, Amostragem com reposição é oquivalente à amostragem proveni- ente de um conjunto infinito porque a proporção de sucesso perma- nece constante para cada tentativa no experimento. Como mencio- nado anteriormente, se à amostragem tiver sido feita com reposi- são, então X será uma variável aleatória binomial e sua variância será np(t — p) Logo, a correção para população finita epresentaa coreção para a variância binomial que resulta porque a amostra- gem é sem reposição a partir de um conjunto finito de tamanho À Se nor pequeno relativo a A, então a correção será pequena ea distribuição hipergeométrica será similar à binomial. Nesse caso, uma distribuição binomial podo efetivamente ser usada para aproximar a distribuição do número do unidades de um tipo es- pecificado na amostra. Um caso é ilustrado na Fig, 3-13. EXEMPLO 3-29 Asmostra de Consumidores Uma listagem das contas de consursidores de uma grande corporação contém 1000 consumidores. Desses, 700 compraram no mínimo um dos produtos da corporação nos últimos três meses. Para avafiar um novo 93- “4 oz to + + o + oq o od a GU s “ Hiperimomética N = 50,n= 5,K=35 +Bneaialn = 5,9= 0,5 Vatiáveis Aleatórias Iiscretas e Distribeições de Probabilidades 59 projeto de produto, 50 consumidores são amostrados ao acaso da fita “da corporação. Qual é a probabilidade de mais de 45 dos consumidores amostrados terem comprado da corporação nos últimos três meses? A amostragem é sem reposição. Entretanto, porque O tamanho da amostra de 50 é pequeno relativo ao múmero de contas dos oonsumido- res, 1000, a probabilidade de selecionar um consumidor que tenha com- prado da corporação nos últimos três meses permanece aprosimadamen- te constante àmedida que os consumidores são escolhidos. Por exemplo, seja 4 o evento em que o primeiro consumidor seleci- onado não tenha comprado da corporação nos últimos três meses. Seja Bo evento em que o segundo consumidor selecionado tenha comprado da corporação nos últimos três meses. Então, P(4) = 700/1000 = 0,7€ PCBJA) = 699/99 = 0,6997, Isto é, as tentativas são aproximadamente independentes. Seja X o número de consamidores na amostra que compraram da corporação nos últimos três meses. Então, X é uma variável aleatória hipergeomérrica, com N = 1000, a = 506 X = 700. Assim, p = K/N = 0,7. À probabilidade requerida é P(X > 45), Porque o tamanho da amos- tra é pequeno relativo ao tamanho da batelada, a distribuição de X pode ser aproximada como binomial com » = 50e p = 0,7. Usando a apro- ximação binomial para a distribuição de X resulta em a Ax>4)= 3 A probabilidade da distribuição hipergeométrica é 0,0001 3, porém ela sequer um progeama computacional. O resultado concorda bem coma aproximação binomisi. Jor - 09 = 090017 EXERCÍCIOS PARA À SEÇÃO 3-8 3.97. Suponha que X tenha uma distribuição hipergeométrica com N' = 100, n = 4e K = 20, Determine o seguinte: (DPX=D) DPX=6 O PX=4) (d) Determine a média e a variância de X. 3-98, Suponha que X tenha uma disribuição hipergeométrica com A! = 20,n = 42X = 4. Determine o seguinte: (a) Pq = 1 bPx= a PAS?) (a) Determine a média e a variância de X. 3-9, Suponha que X tenha uma distribuição hipergeométrica com W = 10,n= 3eX=4, Esquemetize a função de probabilidade de X. Deter- mine a função de distribuição cumulativa para X. º 1 2 3 a is | pessraenmema” O? Jim Jouto Jolie (nuit Juss lis | Pes Canpanção ts 60 Capílos 3-100, Uma batelada coméra 36 células de bactérias, das quais 12 não são capazes de replicação celutac. Suponha que você cxamine três cê. Intas de bactérias selecionadas aleatoriamente, sem posição. (a) Qual é a função de probabilidade do número de células na amostra que podem se replicar? (b)Qual é 2 média e variância do número de células na amostra que podem se replicar? (e) Qual é a probabilidade de no mínimo uma das céluas selecionadas. não poder se replicar? 3101. Uma compania emprega 800 homens com 55 anos. Suponha que 30% Carreguem um marcador no cromossomo masculino, que in- dique um risco crescente de alta pressão sangúínea. (8) Se IO homens na companhia forem testados em relação ao marca- dor nesse eromossoro, qual será a probabilidade de exatamente um homem ter esse marcador? (b)Se JO homens na companhia forem testados em relação ao marca- dor nesse cromossomo, qual será a probabilidade de mais de um homem ter esse marcador? 3-102. Cartões de circuito integrado são verificados em um teste fonci- one depois de serem preencitidos com chips semicondutores. Um lote contém 140 cartões € 20 são selecionados sem reposição para 0 teste fincional. (a) Se 20 cartões foream defeimosos, qual será a probabilidade de no mínimo 1 cartão defeituoso estar na amostra? (b) Se 5 cartões forem defeituosos, qual será a probabilidade de no m- nino 1 cartão defeituoso aparecer na amostra? 3-103, A análise de resultados de um experimento de transmutação do tuma folha (a folha se transforma em uma pétala) é resumida pelo tipo de transformação completada: Transformação Total Cor Toial Transformação Sim Não Um naturalista seleciona aleatoriamente, sem reposição, três folhas desse conjunto. Determine as seguintes probabilidades: (a) Exatamente uma sofieu ambos os tipos de transformação. (t) No mínimo uma sofreu ambos 05 tipos de transformação. (6) Exatamente vma sofieu um tipo, mas não ambos os tipos de trans- formação. (8) No mínimo uma sofieu no mínimo um tipo de transformação. 3-104, Um estado tem uma loteria em que seis números são seleciona- dos aleatoriamente de 40, sem reposição, Um jogador escolhe seis mú- meros antes da amostra do estado ser selecionada. (8) Qual é a probabilidade de que os seis números escolhidos pelo joga- dor coincidam com todas os seis números na amostra do estado? (h)Qualé a probabilidade de que cinco dos seis números escolhidos pelo Jogador, apareçam na amostra do estado? e) Qual € à probabilidade de que quatro dos seis números escolhidos pefo jogador apareçam na amostra do estado? 6) Se um jogador for aums loteria toda semana, qual é o número espe. tado de semanas até que O jogador coincída todos os seis riúmeros da amostra do estado? 3105. Fita magnética é cortada em pedaços, com uma largura de meia polegada, que são enrolados em cartuchos. Um arranjo contém 48 1ã- minas, Cinco lâminas são selecionadas 30 acaso e avaliadas a cada dia em relação ao afiamento Se alguma lâmina não afiada for encontrada, o astanjo será trocado por um novo conjunto de lâminas afiadas. (a) Se 1O das lâminas em um arranjo não estiverem afiadas, qual será a probabilidade de que 0 axanjo seja trocado no primeiro dia que ele seja avaliado? (b)Se 10 das Tâminas em um arranjo não estiverem afiadas, qual será a probabilidade de que 0 arranjo não seja trocado até lerceiro dia de avelinção? [Sugessão: suponha que as decisões diárias sejam inde- pendemtos o use a distribuição geométrica.) (6) Considere que no primeiro dia de avaliação duas das lâminas este- jam não afiadas, no segundo dia de avaliação seis estejam não afia- das e no terceiro dia de avaliação 1O estejam não afiadas. Qual é a probabilidade de que o arranjo não seja trocado até o terceiro a de avaliação? [Sugestão: suponha que as decisões diárias sejam inde- pendentes. No entanto, a probabilidade de troca muda s caga dia 3106. (a) Caleute as corseções para população finita para os Exercíios 3.97 3-9, Para qual exercício, a aproximação binomial para a distribui ção de X deveria ser melhor? (b) Para o Exercício 3-97, caleule P(K = 1) e P(X = 4), considerando que X tenha uma distribuição binomial e compare esses resultados aos resultados derivados da distribuição hipergeométrica (e) Para o Exercício 3-98, calcule P(X = 1) e P(X = 4), considerando que X tenha uma distribuição binomial e compare esses cesultados aos resultados derivados da distribuição hipergeométrica. (4) Use a aproximação da distribuição binomial para a distribuição hi- pergeonmérrica para aproximar as probabilidades no Exercício 3-J02. Qual é a correção para população finita nesse exercício? 3-9 DISTRIBUIÇÃO DE POISSON Introduzitemos a distribuição de Poisson com um exemplo. EXEMPLO 3-30 Considere a transmissão de » bis através de um canal digital de comu- nicação. Seja a variável aleatória X número de biks com emo. Quando a probabilidade de um bit estar com erro for constante é as transmis- sões forem independentes, X teráuma distribuição binomial. Seja pa pro- babilidade de um bit ter emo, Seja à = pa. Então, EO) = pr = A e Py=0= (º) PO (E ” “Agora, suponha que o número de bis transmitidos aumente e que a pro- dabilidade de um eso diminva exatamente o bastante para que pn per- tmaneça iguat a uma constante, Ou seja, à aumenta é p diminui propor- cionalmente, tal que £0X) = A permaneça constante. Então, comalgum. trabalho, pode ser mostrado que. (al-s de modo que my y tina Ptt= = EE, 2=0,1,3, “Também, porque o número de bils transmitidos tende a infinito, o nó- mexo de crros pode igualar qualquer valor inteiro não negativo. Conse- quentemente, a faixa de X são os inteiros de zero até infinito. A distribuição obtida como. limite no exemplo anterior é mais útil do que a dedução anterior implica. O seguinte exemplo ifus- tra uma aplicabilidade mais ampla. EXEMPLO 3-31 Folhas no Fio Falhas ocomem ao acaso ao longo do comprimento de um fio delgado de cobre. Seja X a variável aletória que conta o número de falhas em. um comprimento de Z milímetros de fio e suponha que o número mé- dio de falhas em Z milímetros seja à,  A distribuição de probetilidades de X pode ser encontrada racioci nando «ke maneira similar âquola do exemplo prévio, Parta o compri- mento do fio em n subintervalos de pequeno comprimento, como | micrômeteo cada. Se o subintervalo escolhido for pequenoo suficiente, a probabilidade de mais de uma falha ocorrer no subintervalo é despre- zível. Além disso, podemos interpretar a suposição de que falhas ocor- Tam 2o acaso como implicando que cada subintervalo tenha a mesma probabilidade de conter ums falha, isto é p. Finalmente, se supusermos quea probabilidade de um subintervalo conter uma falha seja indepen. “lente de outros subintervalos, então podemos modelar a distribuição de X como aproximadamente uma variável aleatória binomial. Pelo fato de EM =" obtemos P=Na Ou seja, a probabilidade de que um subintervato contenha uma falha é Nin. Com subintervalos pequenos o suficiente, n é muito grande e p é mito pequeno. Por conseguinte, a distribuição de X é obtida como no exemplo prévio O Exemplo 3-31 pode ser generalizado para incluir uma am- pla série de experimentos aleatórios. O intervalo que foi dividi- do foi o comprimento do fio, Entretanto, o mesmo raciocínio pode ser aplicado para qualquer intervalo, incluindo um intervalo de tempo, uma área ou um volume. Por exemplo, contagens de (1) partículas de contaminação na fabricação de semicondutores, (2) falhas em rolos de tecidos, (3) chamadas para uma troca de tele- fore, (4) interrupção de energia é (5) partículas atômicas emiti- das a partir de um espécime têm sido todas modeladas com su- cesso pela função de probabilidade na seguinte definição. Distribuição de Poissen Dado um intervalo de números reais, suponha que eventos ecorram ao acaso através de todo o intervalo, Se o intervalo puder ser dividido em subintervalos com comprimentos sufi- clentemente pequenos tal que (1) a probabilidade de mais de um evento em um subinter- valo é zeró, a probabilidade de um evento em um subintervalo é à mesma para todos os subintervalos e proporcional ao comprimento do subintervalo, e O evento em cada subintervalo é independente de ou- tros subintervalos, o experimento aleatório é chamado de processo de Poisson. o 8 A variável aleatória X, que é jgual ao número de eventos no intervalo, é uma variável aleatória de Poisson, com parême- “00 < À, sendo à função de probabilidade de X dada por ex a fo) x=0,1,2, (3-16) A soma de probabilidades é um porque et so —- x £ o somatório do lado direito da equação prévia é a expansão de Taylor de é”, avaliadoem À, Por conseguinte, o somatório é igual agi go lado direito é igual a ee? = 1 Historicamente, o tesmo processo foi usado para sugerir a ob- servação de um sistema ao longa do tempo. Em nosso exemplo Variáveis Aleatórias Discretas « Distribuições de Probabilidades 61 como fio de cobre, mostramos que a distribuição de Poisson póde também 5e aplicar a intervalos tais como comprimentos. A Fig. 3-4 fomeco gráficos de distribuições selecionadas de Poisson. 10 - na oa ts! to liiz 45 No Figura 214 Distribuições de Poisson para valoves selecionados dos pará- metros,  mecanismos de controle foram identificados — um positivo e um ne- gativo — que são usados com jgua! probabilidade. Considere que cada célula use independentemente um mecanismo de controle. Detesmive às Seguintes probabilidades (a) Todas as células usam um mecanismo positivo de controle. (b) Exatamente metade das células usa um mecanismo positivo de con- trole. (c) Mais de quairo. porém menos de set, células usam urs mecanismo positivo de controle 3-124, Umarede congestionada de computadores tem um 1% de chan- ce de pentes um bloco de dados e perdas de blocos são eventos indo. pendentes. Uma mensagem de e-mail cequer 100 blocos. (a) Qual éa distribuição de blocos de dados que devem ser reenvíados? Inelus os valores dos parâmetros. (b) Qual éa proabilidade de no mínimo um bloco ter do serreenviado? (c) Qual é à probabitidade de dois ou mais blocos terem de ser reenviados? 4a) Quais são a média e o desvio-padrão do número de blocos que têm de ser reenviados? te) Se há JO mensagens e cada vma contém 100 blocos, qual éa proba- bilidade de no mínimo ura mensagem requerer que dois ou mais blocos sejam reenviados? 3-125, Em seu caminho matinal, você se aproxima de um determinado sinal do trânsito, que está verde 205% do tempo. Suponha que cada ma- nhê represente uma tentativa independente, (a) Qual éa probabilidade de na primeira manhã em que o sinal esteja verde ser a quarta manhã em que você se aproxime dele? (b)Qual é a probabitidade de a Juz não estar verde durante 10 manhãs s? 3-126, A probabilidade de uma calibração de um transdutor em umins- cumento elerônico obedecer às especificações para o sistema de me- lição é igual 20.6. Suponha que às temtatvas de calibração sejam indo- pendentes, Qual é a probatilidade de no máximo três tentativas de cal bração serem requeridas para encomirar as especificações para osiste- ma de medição? 3-127, Uia balança eletrônica em uma operação automatizada de em- chimento pára a linha de produção depois que três embalagens abaixo do peso sejam detectadas. Suponha que s probabilidade de uma emba- Jagem abaixo do peso seja de 0.001 é que cada enchimento seja inde- pendente. (a) Qual é o número médio de enchimentos antes de a linha ser inter rompida? 4h) Qual é o desvio-padrão do número de enchimentos antes de alinha ? 3.128. A probabilidade de uma águia matar um coclho em um dia de caça é 10%. Considere que resultados sejam independentes entre dias, (a) Qual é adistribuição do número de dias até que a caça ao coelhotenha sucesso? (b) Qual é a probabilidade da águia ter de esperar 5 dias para a sua pri- meira caçada de sucesso? (c) Qual é o número esperado de dias até que a caçada tenha sucesso? (d) Se a águia puder sobreviver até 1O dias sem alimento (isso sêquer uma caçada com sucesso no décimo dia), qual é a probabilidade de a águia estar ainda viva JO dias à parir de agora? 3-129, Tráfego de carros é tradicionalmente modelado como uma dis. tibuição de Poisson. Um engenheiro de tráfego monitora o fluxo de carros em um cruzamento que tem uma média de 6 carros por minuto. Para estabelecer o tempo de um sintl, as seguintes probabilidades são usadas. (a) Qual éa probabi 30 segundos? (0) Qual é a probabilidade de três ou mais carros passarem pelo emza- mento em 30 segundos? (6) Calcule 0 número mínimo de carros que passem pelo cruzamento, de modo que à probabilidade desse múmero ou menos de carros em 30 segundos seja no mínimo 90%. de de nenhum carro passar pelo eruzamentoem (4) Se a sariância do número de caros que passam pelo cruzamento por sunita fa igual 020, a disribuição de Poisson é apropriada? Explique. 3-130, Um carregamento de compostos químicos chega em 15 depósi- tos. Três deles são selecionados ao acaso e sem reposição para uma ins- peção de pureza, Se dois dos depósitos não saisfizerem os requerimen tos de pureza. qusl será a probabilidade de no mínimo um dos depési- tos não-conformes ser selecionado na amostra? 3.131. A probabilidade com que su chamada para uma linha de servi- ga seja respondida em menos de 30 segundos é de 0,75. Suponha que suas chamedas sejam independentes. (a) Se você chamas 10 vezes, qual será a probabilidade de que exatamen- te 9 de suas chamadas sejam respondidas dentro de 30 segundos? (b) Se você chamar 20 vezes, qual será a probabilidade de que no míni- mo 16 chamadas sejam respondidas em menos de 30 segundos? (e) Se você chamar 20 vezes, qual será o nómero médio de chamadas que serão respondidas em menos de 30 segundos? 3-132. Continuação do Exercício 3-131 a) Qual é a probabilidade de você ter de chamar quatro vezes para ob- tera primeira resposta em menos de 30 segundos? (b) Qual é o múmero médio de chamadas até que você tenha respondido em menos de 30 segundos? 3-133. Continvação do Exercício 3-131, (a) Qual é a probabilidade de você ter de chantar seis vezes de modo que duas de suas chamadas sejam respondidas em menos de 30 se- gundos? (b) Quat é o número médio de chamadas para obter duas respostas em menos de 30 segundos? 3.134. O número de mensagens enviadas para um boletim em um com- putador é uma variável aleatória de Poisson, com una média de 5 men- Sagens por hora. (a) Qual é a probabilidade de 5 mensagens chegarem em uma hora? (b) Qual é a probabilidade de JO mensagens chegarem em 1.5 hora? (6) Qual é a probabilidade de menos de duas mensagens chegarem em meia hora? 3-135, Uma página web é operáda por quano servidores idênticos. So- mente um deles é usado para operar a página; os outros são sobressa- lentes que podem ser ativados no caso de o servidor ativo falhar. À pro- babilidade de uma solicitação à página web geraruma falha no servidor ativo é de 0,000]. Suponha que cada solicitação seja uma tentativa in- dependente. Qual € o tempo médio até a falha de todos ós quatro com- putadores? 3-136. O número de erros em um livro-texto segue uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,07 erro por pépina. Qual é a probabilida- de de haver três ou menos exros em 100 páginas? 3-137, À probabilidade de um indivíduo se recuperar de uma doença em um período de uma semana, sem tratamento, é de 0.1. Suponha que 28 indivíduos independentes, sofrendo dessa doença, sejana tratados com “uma droga e 4 se recuperem em um período de uma semana. So a droga não tiverefeito, qual será a probabilidade de 4 ou mais pessoas se recu- perarem no perfodo de uma semana? 3-138, A resposta de um paciente a um medicamento genérico para controlar doré pontuada em uma escala de 5 pontos, em que o 5 indica alívio completo. Historicamente, a distibuição de pontos é 1 2 3 4 5 0,05 o! oz 025 oa Dois pacientes, considerados independentes, são pontuados. (8) Qual é a função de probabilidade da pontuação total? 4) Quest é à função de probabilidade da pontuação média? 3-139, Em um processo de fabricação que lamina várias camadas de cerâmica, 15% dos arranjos tem defeitos, Cor jam independentes (a) Qual é o número médio de arranjos que necessitam ser verificados, de modo a se obrer cinco arranjos com defeitos? (b) Qual é o desvio-padrão do número de arranjos que necessitam ser verificados, de moda a se obter cinen arranjos com defeitos? 3-140, Continuação do Exercício 3-139. Determine o número mínimo de arranjos que necessita ser verificado de modo que a probatilidade de no mítimo um arranjo com defeito exceda 0,95. 3-4], Determine a constante c de modo que a seguinte função seja a tunção de probabilidade: fx) = ex, parar = 1,2,3,4. 3-142, Um fabricante de produtos eletrodomésticos espera que 2%) das unidades falhem durante o período de garantia. Uma amostra de 500 unidades independentes é rastreada para desempenho de garêntia. (a) Qual é a probabilidade de que nenbuma falhe durânte o período de garantia? 42) Qual é o número esperado de falhas durante o período de garantia? (c) Qual é a probabilidade de que mais de duas unidades falhem duran- te o período de garantia? 3-143. Mensagens que chegam em uma central de serviços de um fa- bricante de sistemas de informação foram classificadas com base no número de palavras-chave (usadas pera ajudar o rastreamento de men- sagens) e no ipo de mensagem — exmaitou voz. Além disso, 70% das mensagens chegam via e-mail e o resto é voz. mimerodepalavnchave O 1 2 3 4 e-mail 01 0 2 04 02 voz 03 04 02 01 0 Determine a função de probabilidade do número de palavras-chave em uma mensagem. 3-144, A variável aleatória X tem a seguinte distribuição de probabii- dades, x 2 3 5 8 probabilidade 02 04 03 q Determine o seguinte DEE) Px>25) CJPRI<SA<SN) (1)£00 v00 3-145, Determine a função de probebilidade para a variável sleatória com a seguinte função de distribuição cumulativa: 0 a<2 02º 221<57 Fa)=405 sIsa<6s 08 65=1<85 1 85sr 3-146, Cada cápsula principal do mancal em um motor contém quatro pa- rafusos. Esses parafusos são selecionados, ao acaso « sem reposição, de peças que comém 30 parafusos de um fomecedor e 70 parafusos de outro, (a) Queté a probabilidade de que a cápsula principal contenha todos os parafusos provenientes do mesmo fomecedor? Variáveis Aleanórias Disceetas e Distribuições de Probabilidades 65 (b) Qual é a probabilidade de que exatamente três parafusos sejam pro- venientes do mesmó fornecedor? 3-147, Considere que o número de erros ao longa de uma superfície magnética gravadora seja uma variável aleatória de Poisson, com uma média de um erro à cada 10º bits. Um setor de dados consiste em 4096 bytes de 8 bits. (8) Qual é a probabilidade de mais de um erro em um setor? €b) Qual é o número médio de sctores até que um erro seja encontrado? 3:148, Um técnico de Instalação de um sistema especializado de comu- nicação é enviado para uma cidade somente quando existirem três ou mais ordeus de semviço. Suponha que as ordens de serviço sigam a dis- tribuição de Poisson, com uma média de 0,25 por semana, para uma cidade com uma população de 100.000 e suponha que sua cidade con. tenha uma população de 800.000. (5) Qual é a probabilidade de que um técnico seja requisitado depois de um período de uma semana? (b) Se você for 0 primeiro na cidade a solicitar uma ordem de serviço, qual será probabilidade de que você tenha de esperar mais de duas semanas, à partirdo tempo da solicitação da ordem de serviço, até que o téenico seja despachado? 3-149, De 500 consumidores, um grande fabricante de aparelhos ele. trônicos selecionará aleatoriamente uma amostra sem reposição. A com panhia estima que 25% dos consumidores fomiecerão dados úteis. Se essa estimativa for cometa, qual é a função de probabilidade do número de consumidores que foriecerão dados úteis? (a) Considere que a companhia amostra 5 consumidores (b) Considere que 4 companhia amostea 10 consumidores. 3-150, Suspeita-se de que alguns dos reservatórios de produtos químicos comprados de um fomecedor excedam o conteúdo padrão de umidade, Amostras de 30 reservatórios devem ser testadas em relação o teor de umidade. Considere os reservatórios como independentes, Determine a proporção de reservatórios provenientes do fomecedor que têm de ex- ceder o teor padrão de umidade, de modo que a probabilidade seja 0,90 de no mínimo um reservatório na amostra de 30 falhar no teste, 3-151, Mensagens chegam a um servidor de computadores, de acordo com a distribuição de Poisson, com uma taxa média de 10h, Detenni- neo tarmanho de um intervalo de tempo, (al que 0.50 seja a probabilida- de de nenhuma mensagem chegar durante esse intervalo 3-152, Falhas ocortem no interior de plástico usado em automóveis, seguindo uma distribuição de Poisson, com uma média de 0,02 falha per painel, (a) Se 50 painéis forem inspecionados, qual será probabilidade de que não haja falhas? (b) Qual é o número esperado de painéis que necessitam ser inspecio- nados antes que uma falha seja encontrada? (6) Se 50 painéis forem inspeionados, qual serás probabilidade de que. o múmero de painéis que tenham duas ou mais alhas seja menor que ou igual a dois? EXERCÍCIOS PARA EXPANDIR A MENTE 3-153. Dedura 06 resultados de convergência usados para obter uma distribuição de Poisson como o limite de uma distribuição binomial. 3-454, Mostre que a função fx) no Exemplo 3-5 satisfaz as pro- priedades de uma função de probabilidade através da soma das séries infinitas, 3155, Deduza a Fórmula para a média e o desvio-padrão de uma variável aleatória uniforme discreta sobre a faixa de inteiros a, a + Lobo 3-156, Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de for. necedores, de modo a determinar produtos não-conformes, Consi- dere que um fote contenha 4000 itens, sendo 19% dos produtos não- conformes. Qual é o tamanho necessário da amostra, de modo que a probabilidade de escother no mínimo um item não-conforme na amostra seja no mínimo 0,907 Considere que a aproximação da dis- tribuição hipergeométrica pela binomial seja adequada. 3-157, Uma companhia realiza inspeção em carregamentos de for- mecedores, de modoa determinar produtos não-conformes. A políti- ca da companhia € usar um tamanho de amostra que scja sempre 10% do tamanho do lote. Comente a eficiência dessa política como uma. regra geral para todos 0s tamanhos de lotes. 66 Capíuto3 3-158. Falhas na superfície de um painel exterior de um automóvel Seguem a distribuição de Poisson, com uma méia de 0, falha por painel. Se 100 painéis focem verificados, qual será a probabilidade le que menos de cinco painéis tenham falhas? 3:159, Uma grande padaria pode produeie pães em lotes de 0, 2000, 2000 ou 3000 por dia. O custo de produção por item é US$0,10. À demanda varia alestoriamente de acordo coma seguinte distribuição: 1000 2000 2 03 demanda por pães º probabilidade de demanda 0,3 3000 02 Cada pão para o qual há uma demanda é vendido a USSO.30. Cada pão para o qual não há qualquer demanda é vendido a US$0,05, em ua mercado secundário. Quantos pães à padaria deveria produzir cada dia para maximizar 0 Jucro médio? 3:60. Um fabricante estoca componentes obtidos de um fomece- dor, Suponha que 2% dos componentes sejam defeituosos e que es. Ses eotmporentes ocorram independentemente. Quantos coniponen” fes o fabricante tem de ter em estoque, de modo que a probabilidade “le 100 ordens poderem ser completadas sem pedir mais comporen- tes seja de no mínimo 0,957 TERMOS E CONCEITOS IMPORTANTES Distribuição geométrica Distribulção hipergeométriea Fator de correção para uma Desvio-padrão — variável aleatória discreta Distribuição binomial Distribuição binomial negativa população fi Distribuição de Poisson Função de distribuição de Distribuição de probabilidades probabilidades cumulativas — variável aleatória discreta — variável aleatória discreta Distribuição disereta uniforme Função de probat memória — variável Média — função de uma aleatória disereta variável aleatória discreta Tentativa de Beraouili Média — variável aleatória Valoresperado de uma função discreta Processo de Poisson Propriedade de falta de de uma variável aleatória Variância — variável aleatória discreta Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuições de Probabilidades RESUMO DO CAPÍTULO 4-1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 46 DISTRIBUIÇÃO NORMAL 42 DISTRIBUIÇÕES DE PROBABILIDADES E FUNÇÕES 47 APROXIMAÇÃO DA NORMAL PARA AS DENSIDADES DE PROBABILIDADE DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E DE POISSON 43 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA. 4.8 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL 44 MÉDIA E VARIÂNCIA DE UMA VARIÁVEL 49 DISTRIBUIÇÕES DE ERLANGEGAMA ALEATÓRIA CONTÍNUA 410 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL 45 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA UNIFORME 411 DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Depois de um cuidadoso estudo deste capítulo, você deve ser capaz de: 1, Determinar probabilidades a partir de funções densidades de probabilidade 2, Determinar probabilidades a partir de funções de distribuição cumulativa é funções de distribuição cumulativa a partir de fum- ções densidades de probabilidade e o contrário 3. Calcular médias e variâncias para variáveis aleatórias contínuas 4, Entender as suposições para cada uma das distribuições contínuas de probabilidades apresentadas 5, Selecionar uma distribuição contínua apropriada de probabilidades para calcular probabilidades em aplicações específicas 6. Calcular probabilidades, determinar médias e variâncias para cada uma das distribuições de probabilidades contínuas apresen- tadas 7. Padronizar as variáveis aleatórias normais 8 Usara tabela para à função de distribuição cumulativa de uma distribuição normal padrão para calcular probabilidades 9, Probabilidades aproximadas para as distribuições binomial e de Poisson 4-1 VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS Discutimos proviamente a medida da corrente em um fio delgado de cobre. Notamos que os resultados podiam diferir levemente nas réplicas do dia-a-dia por causa de pequenas variações nas variáveis que não eram controladas em nosso experimento — mudanças nas temperaturas ambientes, pequenas impurezas na composição quí- mica do fio, oscilações na fonte de corrente e assim por diante. Um outro exemplo é a seleção de uma peça proveniente de uma produção diária, com uma medição muito acurada de um comprimento dimensional. Na prática, pode haver pequenas va- riações nos comprimentos reais medidos, devido à muítas cau- sas, tais como vibrações, flutuações na temperatura, diferentes operadores, calibrações, desgaste da ferramenta de corte, desgaste. do mancal e variações na matéria-prima. Mesmo o procedimen- to de medida pode produzir variações nos resultados finais Nesses tipos de experimentos, a medida de interesse — me- dida da corrente em um fio de cobre, comprimento de uma peça usinada — pode ser representada por uma variável aleatória. É razoável modelara faixa de valores possíveis da variável aleató- ria através de um intervalo (finito ou infinito) de números reais. Por exemplo, para o comprimento de uma peça usinada, nosso modelo faz com que a medida, a partir do experimento, resulte em qualquer vator dentro de um intervalo de números reais. Pelo fato de à faixa ser qualquer valor em um intervalo, o modelo fornece qualquer precisão nas medidas de comprimento. Entre- tanto, uma voz que o número de valores passíveis da variável aleatória X é infinito incontável, X tem uma distribuição distin- tamente diferente das variáveis aleatórias discretas estudadas. previamente. A faixa de X inclui todos os valores em ua inter. valo de números reais; isto é, a faixa de X pode ser pensada como “um continuam. Um número de distribuições contínuas aparece fregiientemen- te em aplicações. Essas distribuições são descritas e exemplos de cálculos de probabilidades, médias e variâncias são forneci- dos nas seções restantes deste capítulo. 68 capíios 4-2 DISTRIBUIÇÕESDE PROBABILIDADES E FUNÇÕES DENSIDADES DE PROBABILIDADE Funções densidades de probabilidade são comumente usadasem engenharia para descrever sistemas físicos. Por exemplo, consi- dere a densidade de uma carga em uma longa e delgada viga, conforme mostrado na Fig. 4-1. Para qualquer ponto xao longo daviga, a densidade pode ser descrita por uma função (em gem). Intervalos com grandes cargas correspondem a valores grandes peraa função. À carga total entre os pontos a e b é determinada como uma integral da função densidade, de a a b. Essa integral é aárea soba fnção densidade zo longo desse intervalo, podendo ser aproximadamente interpretada como a soma de todas as car- gas ao longo desse intervalo. Similarmente, uma função densidade de probabilidade fx) pode sex usada para descrever a distribuição de probabilidades. de uma variável aleatória contínua X. Se um intervalo for pro- vável de conter um valor para X, então sua probabilidade é gran- de e ela corresponde a valores grandes para fx). A probabilida- de de X estar entre a e b é determinada pela integral de fix) de a ab Veja Fig. 4-2. Fenção Densidade de Probabilidade Pata uma variável aleatória contínua X, uma função densi- dade de probabilidade é uma função tal que O tj=0 o Í Ioyd=1 - Ê 0 PMasy=b= [na dx = área sob fu), de aeb, para qualquera e b (e Uma função densidade de probabilidade fornece uma descri- ção simples das probabilidades associadas a uma variável alea- tória, Desde que fx) seja não-negativae [7 Axldx = 1, entãoO =P(g<X< b) = !, de modoque as probabilidades sejam apro- priadamente restritas. Uma função densidade de probabilidade Figura 4-1 Função densidade de uma carga ao longo de uma viga longa delgada. ro» Pluexes) SEN igura 4-2 Probabilidade determinada a partir da área sob fx fd Figura 4:30 histograma aproxima a função densidade de probabilidade, é zero para valores de x que não possam ocorrer e é considerada igual a zero onde ela não for especificamente definida. Um histograma é uma aproximação da função densidade de probabilidade. Veja Fig. 4-3. Paracaga intervalo do histograma, a área da barra é igual à fregiência relativa (proporção) das medidas no intervalo. A regência relativa é uma estimativa da probabilidade da medida cair no intervalo. Similarmente, a área sob fx) ao longo de qualquer intervalo é igual à probabilidade verdadeira da medida cair no intervalo. O ponto importante é que fix) é usada para calcular uma área que representa a probabilidade de X ser um volor em [a, 6). Para o exemplo da medida de corrente, a probabilidade de X re- sultar em [lá mA, 15 mA) é a integral da função densidade de probabilidade de X, f(x), ao longo desse intervalo. A probabili- dade de X resoltar em [14,5 mA, 14,6 mA] é a integral da mes- ma função fa) ao longo de um intervalo menor. Pela escolha apropriada da forma de fx), podemos representar as probabili- dades associadas com qualquer variável aleatória contínua X. A forma de X determina como a probabilidade de que X seja um valor em [145 mA, 14,6 mA) se compara à probabilidade de qualquer outro intervalo de comprimento igual ou diferente. Para à função densidade de probabilidade de uma carga em uma viga longa e delgada, a carga em qualquer ponto é zero, devido a cada ponto ter Jargura zero. Similarmente, para uma variável aleatória contínua X e qualquer valor x, P=9=0 Baseado nesse resultado, pode parecer que nosso modelo de uma variável aleatória contínua seja inútil. No entanto na prática, quando uma medida particular de comente for observada, tal como 14,47 miliampêres, esse resultado pode ser interpretado como o valor arredondado de uma medida da corrente, que está realmente na faixa 14,465 < 1-5 14,475. Consegõentemente, à probabilidade de que o valor arredondado 14,47 seja observado como o valor para X é a probabilidade de X ser um valor no in- tervalo [14,465; 14,475], que não é zero, Similarmente, uma vez que cada ponto tem probabilidade zero, não se necessita distin- gmir entre desigualdades, tais como < ou -<, para variáveis ale- atórias contínuas. Se X foruma variável aleatória contínua, então para qualquer H8%p PnSXEm=Pa<Xsa) Py<K<%) EXEMPLO 4.1 Corrente Elétrica Seja a variável aleatória contínua X a comente em um fio delgado de cobre, medida em miliampêres. Suponhaque a faixa de X seja [0,20 mA]  o 1 mw 4 Figura 4.4 Função densidade de probabilidade para o Exemplo 4-1 e considere que a função densidade de probabilidade de X seja fx) = 0,405 paraO = x< 20, Qual é a probabilidade de que uma medida da comente seja menor que 1Q miliampêres? A função densidade de probabilidade é mostrada na Fig, 4-4. É su- posto que 5) = O, onde quer quecla não esteja definida especificamente A probabilidade requerida é indicada pela área sombreada na Fig, 4-4 " ” pa<19= [pare [008á ê ' os Como um outro exemplo, a Ps <x<2)= |fAydr=035 Íria ca 5 EXEMPLO 4.2 Diâmetro do Orifício Seja a variável aleatória continua X o diâmetro de um orifício perfura- doem uma placa com um componente metálico. O diâmetro-alvoé 12.5 milímetros, À maioria dos distúrbios aleatórios no processo resulta em diâmetros maiores. Dados históricos mostram que a distribuição de X pode ser modelada por uma função densidade de probabilidade fx) = 200 Men xx 12,5, Se uma peça com um diâmetro maior que 12,60 milímetros for des- cartada, qual será a proporção de peças descartadas? A função densida- de ea probabilidade requerida são mostradas na Fig. 4-S. Uma peça é descartada se X >> 12,60. Agora, Px > 12,60) [ foge = E ds Ré cem) =0135 as Que proporção de peças está entre 12,5 é 12,6 milímesros? Agora, ns - [não cem úês us = 0,865 ns PMS <x< 126) Uma vez que a área total sob fl) € igual a um, podemos também caleu- lc PS<X<126=1-MX>126)=1-0,135= 0865. Variáveis Aleatórias Contínuas e Distribuições de Probabilidades 69 EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4-2 4-1. Suponha que (x) = e-* para O < x, Determine as seguintes prob. bilidades: (PO <m Pd <X<2s) PX=) dpx<a (P3=% 4-2. Suponha que fty) = e-* para < x (a) Determine x tal que (x < X) = 0.10. (b) Determine xtal que 21X = x) = 0.10. 4-3, Suponha que fx) = x/8 para 3 < x < 5 Determine as seguintes probabilidades: mPu<a (Pa=25) (PE <X<5) (Pl <a5) (PA<ISaX>45) 4-4. Suponhaque Ai) e pasad-< x Determine as seguintes pro- babilidades: MPU<M) (MAs x<s) (DPS <A (Ps <x<Im (6) Determine x tl que P(X < 2) = 0,90. 4-5, Suponha que fa) = 1,5xº para —] <x< E Determine as seguin- tes probabilidades (a) P(O <X) (DPCOS=<05) (PX<00ux>—0,5) (D Detecmine x tal que P(x < 2) = 0,05. 4-6. À função densidade de probabilidade do tempo (em horas) de fa. dba de um componente eletrônico de uma copiadora é fx) = e "9% 1000 para x > D. Determine a probabilidade de (a) Um components durar mais de 3000 horas antes da falha. (b) Um componente falhar no intervalo de 1090 a 2000 horas. (6) Um componente falhar antes de 1ODO horas. (4) Determine o número de horas em que 10% de todos os componen- tes falharam 47. A função densidade de probabilidade do peso líquido, em libras, de um pacote de herbicida químico é fx) = 2,0, para 49,75 < x < 5025 fibras. (a) Determine a probabilidade de um pacote pesar mais de 50 Jíbras, (b) Quanto hebicida químico está contido em 90% de todos os pacotes? 4:8, À função densidade de probabilidade do comprimento de uma do- bradiça para fechar uma porta é fx) = 1,25, para 74,6 < x < 75,4 mie límetros, Determine o seguinte (a) POE 748) DAK< EU 752) (6) Se às especificações para esse processo forem de 74,7 à 75,3 mil. metros, que proporção das dobradiças se ajusta às especificações? 4-9, À função densidade de probabilidade do comprimento de um tas- tão metálico Elo) = 2 para 2,3 < x < 2,8 metros. (a) Se as especificações para esse processo forem de 2,25 a 2,75 me- tos, que proporção das barras não se ajusta às especificações? (b) Suponhaquea função densidade de probabilidade seja 4x) = 2 para um intervalo de corprimento 0,5 metro. Sobre que valor a densida- de deveria ser centrada, de modo à atingir a maior proporção de bastões dentro das especificações? 4-10.SeX for uma variável afeatória contínua, demonstre que A(x, =X sam=PncX<a= PA SX<=PR<X<*) tb) PS < (mea <- 4-3 FUNÇÕES DE DISTRIBUIÇÃO CUMULATIVA Um método alternativo de descrever a distribuição de uma variá- vel aleatória discreta pode também ser usado para variáveis alea- tórias contínuas. 72 Captolos tantes ae b, ELHÇO] = 200 + . Isso pode ser mostrado a partir das is propriedades de integr EXEMPLO 4.8 Diâmetro do Orifício Para a operação de perfuração no Exemplo 4-2, a média de X é Em = [atra = [ 20 MRI do us Bs A integração por parts pode ser usada para mostrar que emana een EMO -usv00s a io A variância de X é uN- í (x — 12,55Pfx) dr ns integração por partes pode ser usada duas vezes 0025. para mostrar que VOS EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4.4 4:23, Suponha que fz) variância de X. 4:24. Suponha que fi) = 0,125 paraO < x < 4. Determine a médiaca variância de X. 425. Suponha que 09) = 1.5t para —1 <x< 1. Determine a média e a variância de X 4:26, Suponha que fx) = x/8 para 3 < x < 5, Determine a média e à variância de X. 0,25 para 0< x< 4, Determine a média a 4:27. Suponha que o tamanho (em micrômenos) de uma partícula de contarcinação possa ser modelado como fa) = 2º para 1 < x. Deter- mine à média de X. 4:28, Suponha que uma função densidade de probabilidade do comp mento de cabos de compradores seja (3) = 0,1, de 1200 a 1210 milk. metros (a) Determine a média e o desvio-padrão do comprimento do cabo. (0) Se as especificações do comprimento forem 1195 < x < 1205 mil metros, que properção dos cabos estará dentro das especificações? 4:29] À espessura, em micrômetros, de um revestimento condutivo tem uma função densidade de 60x? para 100 jm <x < 120 um. (4) Determine a média e a vairiôncia da espessura de revestimento (b) Se o revestimento custar US$ 0,50 por micrômetro de espessura em cada peça, qual será o custo médio de revestimento por peça? 4:30, A função densidade de probabilidade do peso de pacotes entre- gues pelo correio é fx) = 70/(69xº) para 1 <'x< 76 libras. (ã) Determine a mélia e a variância do peso. 4b)Se o custo para despachar for US$ 2,50 por ibra, qual será o custo médio para despachar um pacote? (e) Determine a probabilidade de o peso de um pacote exceder 50 ibras, 431, A integração por partes é requerida. A função densidade de pro- babilidade parao diâmetro, em milímetros, de um orifício é 10e-"%-3 para x > 5 mm. Embora o diâmetro-alvo seja 5 milímetros, vibrações, desgaste da ferramenta é outros inconvegientes produzem diâmetros. maiores que 5 nam. (4) Determine a média e a variância do diâmetro dos orifícios. (b) Determine a probabilidade de o diâmetro exceder 5,1 milímetros, 4.5 DISTRIBUIÇÃO CONTÍNUA UNIFORME A distribuição contínua mais simples é análoga à sua correspon- dente discreta. Distribuição Continua Uniforme Uma variável aleatória contínua X, com uma função densida- de de probabilidade o=lkb- d,g=srsb tem uma variável alealória contínua uniforme. (46) A função densidade de probabilidade de uma variável aleatória contínua uniforme é mostrada na Fig. 4-8. 4 média de uma vari- ável aleatória contínua uniforme X é ES) os Xt-0) bn Esses resultados estão sumariados a seguir. . Média e Variância Se X é uma variável aleatória contínua uniforme para a = x=b, = por) = St n=BM) = EXEMPLO 4.9 Corrente Uniforme Sejaa variável aleatória contínua X a corrente medidaem um fio delga- dode cobre em miliampêres. Considere que a faixade Xseja [0,20 mA] esuponha que a função densidade de probabilidade de X seja flw) = 0.05, 021520 Qual é a probabilidade da medida da corrente estar entre 5 e 10 mi- liampêres? À probabilidade requerida é mostrada como uma área sombreada na Fig. 49. o PS <a<i)- [na 5 5(0,05) = 0,25 in z b Figura 4-8 Punção densidade de probabilidade contínia uniforme. fm dos 9 5 40 15 2 « Figura 4-9 Probabilidade pars o Exemplo 4.9, As fóemutas da média e da variância podem ser usadas com « = 0 cb = 20. Por conseguinte, EM) = IOmA c VOO =2yI2= Conseqiientemente, o desvio-padrão de X é 5,77 má. 3 mA? A função de distribuição cumulativa de uma variável aleató- ria contínua uniforme é obtida por integração. Se a < x < b, fino ade =" -a)-afb-a) Ry= Por conseguinte, a descrição completa da função de distribuição cumulativa de uma variável alestória contínua uniforme é º x<a Fo)=Sk-a/lb-a) azx<b 1 b=r Um exemplo de F(x) para uma variável aleatória contínua uni- forme é mostrado na Fig. 4.6. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4.5 ===» 3:32. Suponha que X tenha usa distribuição contímus uniforme no in- e a média, a variância e O desvio-padrão de X (b Qual é POX< 2,5? (e) Determine a função de distribuição cumulativa 433, Suponha que X tenha uma distribuição continue uniforme no in- tervalo [-1, 11 (a) Determine a média, à variância c O desvio-padrão de X. (t) Determine o valor de x, tal que P(-1 < X <=) = 0,90 (0) Determine à função de distribuição cumulativa, 4:34 O peso líquido, em libras, de um pacote com herbicida químico é uniforme para 49,75 < x < 50,25 libras. (a) Determine a média e a variância do peso dos pacotes. (b) Determine a função de distribuição cumulativa do peso dos pacotes (6) Determine P(X < 501) 435. A espessura de um flange em um componente de espaçonave é uniformemente distribuída entre 0.95 e 1,05 mitímeros. (8) Determine a função de distribuição cumulativa da espessura do fange. (9) Determine a proporção de flanges que excedem 1,92 milímetro, (6) Qual o valor da espessura que é excedida por $05% dos flanges? (6) Determine a média e a variância da espessura do flange. 436, Suponha que o tempo que um operador de coleta de dados leva para preencher um formulário eletrônico para uma buse de dados esteja. timiformemente entre 1.5 2,2 minutos. (8) Qual é a média e a variância do tempo que o operador leva para pre- encher o formulário? (b) Qual € a probabilidade de levar menos de dois minutos para preen- cher 0 formulário? (e) Determine a função de distribuição cumulativa do tempo que leva para preencher o formulário, Variáveis Aleatórias Contimvase Disrribuições de Probabilidades 73 4:37. A espessura de um filme fotorresistente aplicado a pastilhas na fabricação de semicondiores, em uma certa localização a pasiílha, está uniformemente distribuída entre 0,2050 e 0,2150 micrômeiros. (s) Determine à função de distribuição cumulativa da espessura do fl. me fotorresistente. 4b) Determine a proporção de pastilhas que excedem 0,2125 micrôme- tros na espessura do filme fotoresistente (e) Que espessura é excedida por 103% das pastilhas? 8) Detesimine a média e a variância da espessura do filme fotoresistente. 4:38, Um adulto pode ganhar ou perder duas libras do água durante o ia, Considere que as mudanças na massa de água sejam distribuídas uniformemente entre menos duas € mais duas librasem um dia. Qual é o desvio-padrão de seu peso ao longo do dia? 4:39. Um show de goifinhos está marcado para começar às 9h, 9h 30 min e 10 h. Quando 0 show começa, o portão é fechado. Um visitante chegará to portão no tempo uniformemente distribuído entre 8 h 30 min e 10h. Dexermine: fa A função de distribuição cumulativa do tempo (em minunos) entre à chegada e 8 h 30 min, (b)A médiae a variância da distribuição do item anterior. (634 probabilidade de o visitante esperar menos de 10 minutos para o início do sho. (64 probabilidade de o visitante esperar mais de 20 minutos para o iníeio do show. 4.40, Erro de medida, que é distribuído contínua e uniformemente de 34 +3 milivolts, é adicionado ao valor verdadeiro da tensão de um cireuito, Então, à medida é arredondada para o milivoltmais próximo, de modo à torná-la discreta, Suponha que a tensão verdadeira seja 250 mitivols (2) Qual é a função de probabilidade da tensão medida? (b) Quais são a média é a variância ds tenção metida? ——eee eee 4-6 DISTRIBUIÇÃO NORMAL Indubitavetmente, o modelo mais largamente utilizado para a distribuição de uma variável aleatória é a distribuição normat Toda vez que um experimento aleatório for replicado, a variável aleatória que for igual o resultado médio (ou total) das réplicas fenderá a ter uma distribuição normal, à medida que o número de réplicas se torne grande. De Moivre apresentou esse resulta- do fundamental, conhecido como o teorema do limite central, em 1733, Infelizmente, seu trabalho ficou perdido por algum tempo e Gauss, independentemente, desenvolveu uma distribui- gão normal cerca de 100 anos depois. Embora De Moivre tives- se recebido posterionmente o crédito pela dedução, uma distr buição normal é também referida como uma distribuição gaus- sina. Quando fazemos à média (ou totalizamos) resultados? Quase sempre. Por exemplo, um engenheiro de automóveis pode pla- nojar um estudo para obter à média das medidas de força de re- moção de vários conectores. Se considerarmos que cada medida seja proveniente de uma réplica de um experimento aleatório, a distribuição normal poderá ser usada para tirar conclusões apro- ximadas em tomo dessa média. Essas conclusões serão 0s tópi- cos principais dos capítulos subsegiientes deste livro. Al6m disso, algumas vezes 0 tcorema do limite central é menos óbvio. Por exemplo, considere que o desvio fou erro) no comprimento de uma peça usinada seja a soma de um grande número de efeitos infinitesimais, tais como pulsos na tempera- tora e oa umidade, vibrações, variações no ângulo de corte, des- gaste da ferramenta de corte, desgaste do mancal, variações na velocidade rotacional, variações de montagem e fixação, varia- ões nas inúmeras cargeterísticas das matérias-primas variação 74 Copias fo am Í u=5 e=15 : Figora 4:10 Funções densidades de probabilidade normal para valores selecionados dos parâmetros pe o? nos níveis de contaminação. Se os erros dos componentes forem independentes e igualmente prováveis de serem positivos ou negativos, então se pode mostrar que o erro total terá uma distr- buição normal aproximada. Além disso, a distribuição normal aparece no estudo de inúmeros fenômenos físicos básicos. Por exemplo, o físico Maxwell desenvolveu uma distribuição nor- mala parti de suposições simples, considerando as velocidades das moléculas Abaseteórica de uma distribuição normal é mencionada para justificar a forma um tanto complexa da função densidade de probabilidade. Nosso objetivo agora é calcular as probabilida- des parauma variável aleatória norma!. O teorema do limite cen- tra) será estabelecido mais cuidadosamente adiante, Variáveis aleatórias com diferentes médias e varjânci dem ser modeladas pelas fonções densidades de probabilidade normal, com escolhas apropriadas do centro e da largura da cur- va, O valor de EX) = determina o centro da função densida- de de probabilidade e o valor de V(X) = o? determina a lacgura. A Fig, 4-J0 ilustra as várias funções densidades de probabilida- de, com valores selecionados de | e 0º, Cada uma tema curva característica siméttica e em forma de sino, porém os centros e as dispersões diferem. A seguinte definição forneoe a fórmula para funções densidades de probabilidade normal. Distribuição Normal Uma variável aleatória X com função densidade de probabi- Jídade e<x<o (48) 1 ad çã fo)= é uma variável aleatória normal, com parâmetros q, emque -e<p<o,e0>0. Também, EM=u e VO-o 149) e a notação Mu, 0) é usada para denotar a distribuição. A média e variância de X-são mostradas como iguais a pe 0º, Tespectivamente, no final desta Seção 4-6. EXEMPLO 4-10 Suponha que as medidas da corrente em tm pedaço de fio sigam a dis- tribuição normal, com uma média de 10 miliampêres e uma variância de à (iiliampêres)?. Qual é a probabilidade da medida exceder 13 mi- liampéres? Seja X a corrente em miliampêres. A probabilidade requerida pode Ser representada por P(X > 13), Essa probabilidade é mostrada como a área sommbreada sob a função densidade de probabilidade normal na Fig, 4-11, Infelizmente, não há uma expressão exata para a integral de uma função densidade de probabilidade nonual, sendo as probabilidades, Dasgadas nadistibuição normal. tipicamente encontradas numericamen- te on a pair de uma tabela (que introduziremos mais adiante). ft o» 2 1 Figura 4+t] Probabilidade de X > 13 para uma variável aleatória nommal, comp=10e0'=4, Alguns resultados úteis relativos à distribuição normal são sumariados na Fig. 4-12. Para qualquer variável aleatória nor- mal, Pu-o<X<p+o)=06827 Pu-20<X< | + 20)= 09545 Pu-30<X<|+30)=09973 Além disso, da simetria de fx), AX > 1) = PX <n)=05. Como ft) é positiva para todo x, esse modelo atribui alguma probabilidade para cada intervalo da linha dos números reais. Entretanto, à função densidade de probabilidade diminui quan- do x se move para mais longe de ps. Consegientemente, a proba- bilidade de medida cair longe de p é pequena; a alguma dis- tância de j à probabilidade de um intervalo pode ser aproxima- da como zero. Além de 3 da média, a área sob a função densidade de pro- babilidade normal é bem pequena. Esse fato é conveniente para esquemas aproximados e rápidos de uma função densidade de probabilidade normal. Os esquemas nos ajudam a determinar probabilidades. Pelo fato de mais de 0,9973 da probabilidade de uma distribuição normal estar dentro do intervalo (p. — 30, + 30), 6 é fregientemente referida como a largura de uma dis- tribuição normal, Os métodos de integração avançada podem ser usados para mostrar que a área sob a função densidade probabi- lidade normal de —» <, x < so é igual a 1 Variável Aleatória Normel Padrão Uma variável aleatória normal com n=0 e a'=] é chamada de variável aleatória normal padrão e denotada porZ. A função distribuição cumulativa de uma variável aleató- ria normal padrão é denotada por Pl) =PZ=a Fios Cade pode poo putz ntZo pkão x Figura 4-12 Probabilidades associadas com uma distribuição normal  10 x Figura 4-16 Determinando o valor de x para encontrar a probabilidade esperificada. EXEMPLO 4-15 Deseoção de Sinal Considere que na detecção de um sinal digital o ruído segue uma distri- buição normal, com uma média de O Y e um desvio-padrão de 0.45 V. O sistema considera que um Sins digital será transmitido quando a ten- são exceder 0,9. Qual será a probabilidade de detectar am Sinal di quando nada tiver sido enviado? Sejaa variável aleatória N'a tensão do ruído. A protabilidade regue sida é mom (o mesm 1- 097725 = 0,02275 Essa probabilidade poe ser descrita como a probabilidade de uma fal- su detecção. Determine os limites simétricos, em tomo de 0, que incluem 99% de todas as leituras do ruído. À questão requer encontrar tal que P(-x SN'<2) = 0,99. Um gráfico é mostrado na Fig, 4-17. Agora, Px <N<2)= P(-3/085< N/0,45 <x/045) =M-2/045<2<2/045)= 099 Da Tabela IN do Apêndice P(-258<Z<2,58) = 0,99 Logo, x0AS=2,58 x=258045)= 116 Suponha que quando um sinal digital seja transmitido a média da distribuição do reído mude para 18 V. Qual será a probabilidade de o Sinal digita não ser detectado? Seja a variável aleatória Sa tensão quando um sinal digital é transmitido. Então, Dio ora do Variáveis Aleatórias Comtinuas e Distribuições de Probabilidades 77 =p(SD18 =18) o Ps< osy=e( Tas 5a )eze< 2) = 00225 Essa probabilidade pode ser interpretada como a probabilidade de um sinal perdido. « EXEMPLO 4.16 Diâmetro do Eiso O diâmetro de um eixo de um dispositivo óptico de armazenagem é normalmente distribuído, com média 0,2508 polegada e desvio-padrão de 0,0005 polegada. As especificações do eixo são 0,2500 + 00015 polegada. Que proporção de eixos obedene às especificações? Seja X o diâmetro, em polegadas, do eixo. A probabilidade requeri- da é mostrada na Fig. 4-18 P(0,2485 <X< 02515) 0.2485 — 0,2508 0,005 0,005 =M-46<Z<14)-A2 Ay -HE<-46) 0,91924 — 0,0000 = 091904 A maioria dos eixos não-conformes é muito grande, por causa da mé- dia do processo estar localizada muito perto do limite superior da es- pecificação. Se o processo estivesse centralizado de modo que sua mé- dia fosse igual aq valor-alvo de 0,2500, então cg BB o) P(02485<4< 02515) = - (Sosa pasto 0,0005 =K-3<2<3) =Mi<)-Pg<-) = 099865 — 0,00135 assa Através da recentralização do processo, o resultado é aumentado para aproximadamente 99,73%. O2SIS — 02500 0,0005 «z< ro 02485 / 02508 nasis x 02 Figura 4-18 Distribuição para o Exemplo 4-16. Distibuição de Nº Figura 417 Determinando o valor de x para encontrar a probabilidade especificada. 78 Capitulod EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4.6 4.47. Use a Tabela Ildo Apêndice para determinar as seguintes proba- bilidades para a variável aleatória normal padrão Z: WAZSLM) AZ < 30) CJ PZ> 145) (DAZ>-219 P-2M<7<17) 4.42. Use a Tabela IN do Apêndice para determinar as seguintes proba- bilidades para a variável aleatória normal padrão 2: mA-I<SZ<]) (DPCI<Z< WA-I<Z<) (DPMZ>3 ePO<Z<I 4.43, Suponha que Z tenha uma distribuição normal padrão. Use a Ta- bela HI do Apêndice para determinar o valor de z que resolve cada um dos seguintes itens: PZ<a OAZ>0=0] (A-M<Z<9=08 4.44, Suponha que Z tenha uma distribuição normal padrão. Use a Ta- bela II do Apêndice pera determinar 0 valor de que resolve cada um dos seguintes ilens: mP(-E<Z<] dP-i<2<)=099 (Pl-i<Z<a tM-i<z<)=0893 4.45. Suponha que Xseja distribuída normalmente, com uma média de 10 € urm desvio-padrão de 2. Determine 0 seguinte: (PR <13) trx>9) (Pe<X<I) (P<X<a (JP-2<x<8 4.46, Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de. 10 é um desvio-padrão de 2. Determine 0 valor de x que resolve cada um dos seguintes Itens (xa) Max>0=095 (Pr<x<10=-02 (P(-I<x-10<D= 0,95 (Px SX-10<9=099 4:47, Suponha que X seja distribuída normalmente, com uma média de 5 e um desvio-padrão de 4. Determine o seguinte: a PR<I) mar>0) (CPB<XED (PCI<X< CPR<X<8 4.48. Suponha que X sea distribuída normalmente, com uma média de 5 e um desvio-padrão de 4. Determine o valor de x que resolve cada um dos seguimtes itens (DP >) =05 (Pu<x<9-02 (JP-a<x-5<9=099 4.49, À resistência à compressão de amostras de cimento pode ser mo- delada por uma distribuição normal, com uma média de 6000 quilogra- mas por centímetro quadrado e um desvio-padrão de 100 quilogrames por centímetro quadrado. (a) Qual é a probabilidade da resistência da amostra ser menor do que 6250 kgfemê? (b) Qual é a probabilidade da resistência da amostra estar entre 5800 e 5900 kgfm?” (6) Que resistência é excedida por 95% das amostras? 4.58. O tempo de recarga, sob condições normais, de uma bateria de um faptop é distribuído normalmente, com mécia de 260 minutos e um desvio-padrão de 50 minutos. (a) Qual é a probabilidade da bateria durar mais de'quatra horas? (2) Quais são os quartis (os valores de 25% e 75%) da vida da bateria? (6) Quai é o valor da vida, em miantos, que é excedido com 95% de probabilidade? ! ' 1 4:51, Um arigoem Ánee Surgery Sports Traymaiol Arthrosc, Rios i oi MPZ<-05 (DAZ>)=09 (PD) = 0,85 (DPB<H<)=085 ofprovider volume on résource utlizarion for surgical procedures” — Eleitos do volume de cirurgias na utilização de recurso para procedi- mentos cirúrgicos (2005, Vol. 13, pp, 273-279) enostrou umtempo médio die 129 minutos e Um desvio-padrão de 14 minutos para a cirurgia de reconstrução ACL em hospitais com alto volume de cirurgias (com mais de 300 de tais cirurgias por ano) (a) Qual é a probabilidade de sua cirurgia ACL, em um hospital com alo volume de cirurgias, requerer um tempo maior do que dois des- vios-padrão acima da média? (6) Qualé a probabilidade de sua cirurgia ACL em um hospital comaito volume de cirurgias ser completada em menos de 100 minutos? (e) Em qual tempo, à probabilidade de sua cirurgia ACL em um hospi- tal com alto volume de cirurgias é igual à 0,957 (8)Se sua cirurgia requer 199 múnuros, o que você conclui acerca do volume de tais cirurgias em seu hospital? Explique. 4.52. Colesterol é uma substância gordurosa que é uma parte importan- te da ligação (membrana) extema das células do corpo de animais. Sua faixa normal para um adulto é 120-240 mg/dl. O Instituto de Alimen- tose Nunrição das Filipinas (The Food and Nitrision Institute of the Pkillippines) encontrou que o nível de colesterol total para adultos lipinos ten uma média de 159,2 mg/dl 84,1% de adultos têm-um nível de colesterol abaixo de 200 mg/dl (htrp:/nri dostgov.ph. Suponha que onível de colesterol total seja distribuído normalmente. (3) Determine o desvio-padrão dessa distribuição. (e) Quais são os quartis (os valores de 25% e 7596) dessa distribuição? (0) Quaté o valor do nível de cotestero! que excede 90% da população? (8) Um adulto term um nível moderado de risco se o nível de colesterol formais do que um, porém menos de dois desvios-padrão acima da média, Qual É a porcentagem da população que tem risco moderado de acordo com esse critério? te) Um adulto tem alto risco se seu nível de colesterol for maior do que dois desvios-padrão acima da média, Qual é a porcentagem da po- pulação que tem alto risco? £f) Um adulto tem baixo risco se seu nível de colesterol for um desvio- pndrão ou mais baixo do que a média, Qual é a porcentagem da po- putação que tem baixo risco? 4.53, A largura de uma linha para a fabricação de semicondutores tem supostamente uma distribuição nocmal, com uma méia de 0,5 micró- mero e um desvio-padrão de 0,05 micrômetro. (a) Qual é a probabilidade da largura da linha ser maior que 0.62 micrô- metro? £b)Qual é a probabilidade dk largura da linha estar entre 0,47 e 0,63 micrómenro? tc) Abaixo de que valor está a largura da linha de 90% das amostras? 454, O volume de enchimento de uma máquina automática de enchi- mento usada para encher latas de bebidas gasosas é disribuído nornial- mente, corm uma média de 12,4 onças fluidas e um desvio-padrão de Ol onça finida (6) Qual é a probabilidade do volume de enchimento ser menor que 12. onças fluídas? (8) Se todas as latas menores que 12,1 ou máiores que 12,6 onças forem rejeitadas, que proporção de Istas será rejeitada? (6) Determine às especificações que sejam simétricas em tomo da mé- dia que incluam 995% de todas as latas 455, No exercício anterior, suponha que à média da operação de en- chimento possa ser ajustada facilmente, porém o desvio-padrão peru neça 0,1 onça. (a) Qual o valor da média que deveria ser estabelecida, de modo que 99,9% de todas as lstas excedessem 12 onças? £b)Qual o valor da média que deveria ser estabelecida, de modo que 99,9% de todas as latas excedessem 12 onças, se o desvio-padrão pudesse ser reduzido para 0,05 onça fluida? 456, O tempo de reação de um motorista para o estímulo visual énormal- mente distribuído, com uma média de (,4 5 é um desvio-padrão de 0,05 5, (6) Qual é a probabilidade de que uma reação requeira mais de 0,5 s? (b) Qual é a probabilidade de que uma reação requeira entre 0,456 0,557 (e) Qual o tempo de reação que é excedido em 90% do tempo? 4.57. A velocidade de transferência de um arquivo de um servidor da universidade para um computador pessoal na casa de um estudante, em uma noite de dia de semana, é distribuído nonualmente, com média de 60 bits por segundo e um desvio-padrão de 4 Kits por segundo. (8) Qual é a probabilidade de o arquivo se transferir à uma velocidade de 70 kits por segundo cu ma (b) Qual é a probabilidade de O arquivo se transferir à uma velocidade menor que 58 Kbits por segundo? te) Se 9 arquivo tiver | MB. qual será 0 tempo médio que o arquivo Jevará para se lransferir? (Considere oito bis por byte) 4:58. À altura média de uma mulher na faixa de 20-74 anos foi 64 po- Jegadas em 2002, tendo aumentado aproximadamente uma polegada a partir de 1960 (hrp:/usgovinfo about. com/odihealibcare), Suponha que aaltura de unia mulher seja normalmente distribuída, com um desvio- padrão de 2 polegadas. (8) Qual é a probabilidade de uma mulher selecionada aleatoriamente. dessa população ter entre 58 e 70 polegadas? (5) Quais são os quartis dessa distribuição? (6) Determine a altura simétrica em torno da média que inclui 90% des- sa população. (8) Qual é a probabilidade da altura de cinco mulheres selecionadas ao acaso dessa população exceder 68 polegadas? 4:59, Em um centro acelerador, um experimento necessla de um eilin- dro de alumínio, com 1 AI em de espessura (htp:!/puhepi princeton-edul mumu/target'Solenoid Coil pdf). Suponha que a espessura de um cilin- dio lenha uma distribuição noumal, com média igual a 1.41 em e um desvio-padrão igual a 001 cm (2) Qual é a probabilidade da espessura ser maior do que 1,42 cm? 1b) Que espessura é excedida por 95% das amostras? te) Se as especificações requerem que a espessura esteja entre 1,39 em € 1,43 em, que proporção das amostras satisfazem as especificações? 460, A demanda por uso de água em Fênix, em 2003, alcançou um alto valor, de cerca de 442 milhões de galões por dia em 27 de junho de 2003 (Dup:tphoenis. gov WATER wrfacts html). O consumo de água no serão é distribuído nocmalmente, com uma média de 310 milhões de grlões por dia e um desvio-padrão de 45 milhões de galões por dia Reservatórios da cidade têm uma capacidade combinada de armazena- gem de aproximadamente 350 milhões de galões. (8) Quat é a probabilidade de que um dia requeira mois água que aqueja armazenada nos reservatórios da cidade? (b) Que capacidade do reservatório é necessária para que a probabilida- de dela ser excedida seja 197 te) Qual é a intensidade de uso de água que é excedida com 95% de probabilidade? (4) Água é fornecida para aproximadamente 1,4 milhão de pessoas. Qual é 9 consumo médio diário por pessoa no qual 4 probabilidade da demanda exceder capacidade aval do reservatório seja igual a 1957 Considere que o desvio-padrão da demanda continve o mesmo. 461, A vida de um semicondutor à laser, a uma potência constante, é normalmente distribuída, com uma média de 000 horas « desvio-pa- drão de GU horas. (3) Qual é a probabilidade do laser falhar antes de 5000 horas? (B) Qual é 0 tempo de vida em horas que 95% dos lasers excedem? (6) Se três lasers forem usados em um produto ese eles falharem inde- pendentermente, qual será a probabilidade de todos os rês estarem ainda operando depois de 7000 horas? 4.62, O diâmetro do ponto produzido por uma impressora é normalmente distribuído, com uma média de 0.002 polegada e um desvio-padrão de 0,0004 polegada. (x) Qual é a probabilidade do diâmetro de um ponto exceder 0,0026 polegada? (b) Qual é a probabilidade de um di&imetro estar entre 00014 e 0,0026 polegada? fc) Que desvio-padrão do diâmetro é necessário para que a probabili- dade do item (b) seja 0,995? 4.63, O peso de um sofisticado sapato de corrida é normalmente distri- duldo, com uma média de 12 onças é um desvio-padrão de 0,5 onça. Vai is Aleatórias Contínuas e Distribuições de Probabilidades 79 (8) Qual é a probabilidade de o sapato pesar mais de 13 onças? (tb) Qual tem de ser o desvio-padrio do peso para que a compartia esta. Peleça que 9.99% de seus sepalos sejam menores do que 13 onças? (€) Se o desvio-padrão permanecer em 0,5 onça, qual tem de soro peso médio para que à companhia estabeleça que 99,9% de seus sapatos sejam menores que 13 onças? 4-4, Erro de medida, que é distribuído normalmente com uma média igual aero é um desvio-padrão iguala 0.5 grama, é adicionado «o peso verdadeiro de uma amostra. Então, a medida é arredondada para o gra- ma mois próximo. Suponha gue a peso verdadeiro de uma amostra seja 165,5 gramas. (a) Qual é a probabilidade do resultado arredondado ser 167 gramas? (b) Qual é a probabilidade do resultado arredondado ser 167 gramas ou maior? 4:7 APROXIMAÇÃO DA NORMAL PARA AS DISTRIBUIÇÕES BINOMIAL E DE POISSON Começamos nossa seção sobre a distribuição normal com o teoremado limite central e a distribuição normal comouma apro- ximação para uma variável alestória binomial, com um grande número de tentativas. Consegjentemente, não seria surpresa usar distribuição normal para aproximar as probabilidades binomiais. paracasos em que n seja grande. O exemplo seguinte ilustra que para muitos sistemas físicos o modelo binomial é apropriado com um valor extremamente grande de x. Nesses casos, é difícil cal- cular probabilidades usando a distribuição binomial. Felizmen- te, a aproximação pela normal é mais efetiva nesses casos. Uma ilustração é dada na Fig. 4-19. A área de cada barra é igual à pro- babilidade binomial de x. A área das barras pode ser aproxima- da pelas áreas sob a função densidade normal, A partir da Fig, 4-19, pode ser visto que uma probabilidade taicomo P(3 = X'< 7)é melhor aproximada pela áreasob acurva normal de 2,5 a 7,5. Essa observação fornece um método para melhorar a aproximação de probabilidades binomisis. Pelo fato de uma distribuição contínua normal ser usada para aproximar uma distribuição discreta binomial, a modificação é referida como uma correção de continuidade. A 02 — - 015 005 - a 210 Figura 419 Aproximação da distribuição binomial pela normal 82 Capítulos 4-8 DISTRIBUIÇÃO EXPONENCIAL A discussão da distribuição de Poisson definiu uma variável ale- atória como o número de falhas o longo do comprimento de um fio de cobre. A distância entre as falhas é uma outra variávelale- atória froquentemente de interesse. Seja a variável aleatória * o comprimento de qualquer ponto inicial no fio até o pomoemque uma falha seja detectada. Como você pode esperar, a distribuição de X pode ser obtida do conhecimento da distribuição do número de falhas, A chave para avelação é o seguinte conceito. À distância para a primeira falha excederá 3 milímetros se, e somente se, houver falhas den- tro de um comprimento de 3 milímetros — simples, mas sufci- ente para uma análise da distribuição de X. Em geral, seja a variável aleatória No número de falas em x múlímeiros de fio. Se o número médio de falhas for X por milf- metro, então N terá uma distribuição de Poisson, com média hu. Consideramos que o fio seja mais longo do que o valor de x. Agora, as o! às Px>3)=PN=0) Logo, Pw=PXSM=I-C", +20 é à função de distribuição cumulativa de X. Diferenciando Pç), a função densidade de probabilidade de X é calculada como Aoy=hes, A derivação da distribuição de X depende somente da suposi- gãodas falhas no fio seguirem o processo de Poisson. Também, o ponto inicial para medir X não importa, porque a probabilida- de do número de falhas em um intervalo de um processo de Poisson depende somente do comprimento do intervalo e não da localização. Para qualquer processo de Poisson, o seguinte re- sultado geral se aplica. 1=0 Distribuição Exponencial A variável aleatória X, que é igual à distância entre contagens sucessivas de um processa de Poisson, com média À > 0, é umavariável aleatória exponencial com parâmetro . A fum- gão densidade de probabilidade de X é RO= A" paadsa< 0 A distribuição exponencial tem esse nome por causa da fun- ção exponencial na função densidade de probabilidade, Gráficos da distribuição exponencial para valores selecionados de à são mostrados na Fig. 4-22. Para qualquer valor de à, a distribuição exponencial é bem distorcida. Os seguintes resultados são facil- mente obtidos e deixados como um exercício. (414) Média e Variância Se à variável aleatória X tiver uma distribuição expones com parâmetro à, n=En=Led=mo-k 9 É importante usar unidades consistentes no cálculo de pro- babilidades, médias e variâncias envolvendo variáveis aleató- Figura 4-22 Função densidade de probbilidade de uma variável aleatória exponencial para valores selecionados de à, rias exponenciais. O seguinte exemplo ilustra as conversões de unidades. EXEMPLO 4.21 Uso de Computador Em uma grande rede corporativa de computadores, as conexões dos usuários ao sistema podem ser modeladas como um processo do Poisson, com uma média de 25 conexões porhora, Qual éa probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos? Seja X'o tempo, em horas, do início do intervalo até a primeira co- nexão. Então, X tem uma distribuição exponencial, com À = 25 cone- xões por hora, Estamos interessados na probabilidade de X exceder 6 minutos, Uma vez que À é dado em conexões por hora, expressamos todas as unidades de tempo em horas. Ou seja, 6 minutos = 0,1 hora, A probabilidade requerida é mostrada como a área sombreada sob a fus- ção densidade de probabilidade na Fig. 4-23. Logo, E dg = EMO = RX>01)= Í 25 % Além disso, a função distribuição cumulativa pode ser usada para obter o mesmo resultado, como se segue: PX>01)=1— K01)= ee Uma resposta idêntica é obtida expressando o número médio de conexões como 0.417 conexão por minuto e calculando a probabilida- + de de o tempo exceder 6 minutos até a próxima conexão, Tente. 082 nos Figura 4-23 Probabilidade para a distribuição exponencial no Exemplo 4-2] Qual é a probabilidade de que o tempo sté a próxima conexão esja entre 2.c 3 minutos? Convertendo todas às unidades para horas aos P(O033 <X<005)= | 250 Prdr= ams Uma solução alternativa é PO33<X<0,05)=F(0,05) — F(0,033) = 0,152 Determine o intervalo de tempo tal que a probabilidade de nenhuma conexão ocorrer no intervalo seja 0,90. À questão pergunta o comp mento de tempo «tal que P(X > x) = 0,90. Agora, cos Px) =090 Aplique os logaritmos neperianos de ambos os lados para obter —25% = In(0,90) = —0,1054. Consegientemente, x = 0,00421 hora = 0,25 minuto AJém disso, o tempo médio até a próxima conexão é u=425=0Mhon= A minutos O desvio-padrão do tempo até a próxima conexão é 1725 hora a 2,4 minutos No exemplo prévio, a probabilidade de não haver conexões em um intervalo de 6 minutos foi igual a 0,082, independene- mente do tempo inicial do intervalo. Um processo de Poisson supõe que eventos ocorram uniformemente através do intervalo de observação; isto é, não há agrupamento de eventos. Sc as conexões forem bem modeladas por um processo de Poisson, probabilidade de que a primeira conexão depois do meio-dia ocorra após 12 h 06 min é a mesma probabilidade com que a primeira conexão depois das15 h ocorra após 15 h 06 min. E se alguém se conectar às 14 h 22 min, a probabilidade de a próxi ma conexão ocorrer depois das 14 h 28 min será ainda 0.082, Nosso pomto inicia] de observação no sistema não importa Entretanto, se houver períodos de nso intenso durante o dis, tal como imediatamente depois das 8 h, seguido de um período de baixo uso, um processo de Poisson não será um modelo apropria- do para as conexões e a distribuição não será apropriada para calcular probabilidades. Pode ser razoável modelar cada umeos períodos de uso intenso e uso baixo por um processo separado de Poisson, empregando um valor grande de À durante os perio- dos de uso intenso, e um valor pequeno de X, caso contrário. Então, uma distribuição exponencial como valor corresponden- te de À pode ser usada para calcular as probabilidades de cone- xão para os períodos de alto e baixo usos. Propriedade de Falta de Memória Uma propriedade ainda mais interessante de uma variável alea- tória exponencial está relacionada com as probabilidades condi- cionais. EXEMPLO 4.22 Propriedade de Falta de Memória Seja X o tempo entre detecções de uma partícula rara em um contador Geiger e considere que X tenha Uma distribuição exponencial com BK) = 1 minuto, A probabilidade de detectarmos uma partícula dent de 30 segundos à partir do começo da contagem é PC <0,5 minuto) = F(0,5) — eos = 030 Variáveis Aleatórias Contínuas é Distribuições de Probabilidades 83 Nesse cálculo, convestemos todas as unidades para minctos. Agora, suponha gue liguemos o contador Geiger e esperemos 3 minutos sem derectar uma partícula. Qua] é a probabilidado de uma partícula ser do- tectada nos próximos 30 segundos? Visto que já esperamos 3 minutos, sentimos que já é tempo sui ciente, Ito é, à probabilidade de uma detecção nos próximos 30 segun- dos deveria ser maior do que 0,3. No estanto, pera uma distribuição exponencial, isso não é verdade. A probabilidade requerida pode ser expressa como uma probabilidade condicional de que CX < 3,s|x > 3), Da definição de probabilidade condicional, PESISK>D-PO<A<IDPA>3) emque P3<X<35)= 35) - 3) =[1= e) = (1 = 314) = 0985 PK>3 Assim, Depois de esperar por 3 minutos sem uma detecção, a probabilidade de uma detecção nos próximos 30 segundos é a mesma probabilidade de uma detecção nos 30 segundos imediatamente depois de começar a contagem. O fato de que você esperou 3 minutos sem uma deiscção não muda a probabilidade de uma detecção nos próximos 30 segundos, O Exemplo 4-22 ilustra a propriedade de falta de memória de uma variável aleatória exponencial e uma afi propriedade é dada a seguir. De fato, a distribui é a única distribuição contínua com essa propriedade. Propriedade de Falta de Memória Para uma variável aleatória exponencial X, PX<ntex>)=Px<t (4-16) A Fig. 4-24 ilustra a propriedade de falta de memória. A área da região A dividida pela área total sob a função densidade de pro- babilidade (A+ B+C + D= )éigualaP(X< t). À área da região C dividida pela área C + Déiguala AX < 4 + 6|x> +). À propriedade de falta de memória implica que a proporção da área total que está em À é igual à proporção da áreaem Ce D que estáem C. A verificação matemática da propriedade de fal- ta de memória é deixada como um exercício para expandir a mente. A propriedade de falta de memória não é surpresa quando você considera o desenvolvimento de um processo de Poisson. Nesse desenvolvimento, consideramos que um intervalo poderia ser fis iSTET & Re Te Figura 4-24 Propriedade de falta de memória de uma distribuição expo- nencial. 84 Capíuloa dividido em pequenos intervalos que fossem independomes. Esses subintervalos são similares às tentativas independentes de. Bernoulli, que compreendem um processo binomial; o conheci mento dos resultados prévios não afeta as probabilidades de even- tosem futuros subintervalos. Uma variável alearóriaexponenci- aléa análoga, no caso contínuo, à variável aleatória geométrica, no caso discreto, é elas compartilham uma propriedade similar de falta de memória, A distribuição exponencial é fregientemente usada em estu- dos de confiabilidade como o modelo para o tempo até a falha de um equipamento. Por exemplo, o tempo de vida de um chip semicondutor pode ser modelado como uma variável aleatória exponencial, com uma média de 40.000 horas. 4 propriedade de falta de memória da distribuição exponencial implica que o equi- pamento não se desgasta. Ou seja, independememente de quan- to tempo o equipamento tenha operado, a probabilidade de uma falha nas próximas 1000 horas é a mesma gue a probabilidade de uma falha nas primeiras 1000 horas de operação. O tempo de vida L de um equipamento com falhas causadas pelos impactos aleatórios pode ser modelado apropriadamente como uma vari- ável aleatória exponencial. Entretanto, o tempo de vida £ de um equipamento que softe um lento desgaste mecânico, tal como desgaste no mancal, é melhor modelado por uma distribuição tal que P(L< t+ AilL > 9) aumenta com o tempo. Distribuições, tal como a distribuição de Weibull, são fregiientemente usadas na prática para modelar o tempo de falha desse tipo de equipa mento. A distribuição de Weibull será apresentada em uma se- ção mais adiante, EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 48 4:76. Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com À = 2 Determine o seguinte: DRA=O) DP =2) OPa=<1) DPI <X<2) fe) Encontre o vetor de xtal que P(X < x) 4:77. Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com média fguat a 10. Determine o seguinte (PO >10) tew>20) (9 POr < 30) (4Encontre o valor de xtal que P(X < x) = 0,95, 4:78, Suponha que X tenha uma distribuição exponencial, com média iguel a 10, Determine o seguinte: WAX<S) DPOC < 15X > 10) (6) Compare os resultados dos itens (a) e (b) é comente sobre o papel da propriedade de falta de memória. 4:79, Suponha que as contagens registradas por um contador Geiger sigam o processo de Poisson, com uma média de duas contagens por minuto, (8) Qual é à probabilidade de não haver contagens em um intervalo de 30 segundos? (b) Qual é a probabilidade de que à primeira contagem ocorra em me- nos de 10 segundos? (6) Qual é a probabilidade de que a primeira contagem ocorra entre 1 e 2. minutos depois do início? 4:80, Suponha que às conexões à uma rede de computadores sigam um processo de Poisson, com uma média de 3 contagens por minuto. (8) Qual é o tempo mésio entre as contagens? Gb) Qual é o desvio-padrão do tempo entre as contagens? (c) Determine x tal que a probabilidade de no mínimo uma contagem ocorrer antes do tempo x minutos seja de 0.95. 4:81, O tempo entre as chamadas para uma loja de suprimento de enca- namentos é distribuído exponencialmente. com um tesnpo médio de 15 minutos ente as chamadas. 44) Qual € a probabilidade de não haver chamadas dentro do intervalo 6 30 minutos? (b) Qual é probabilidade de que no nínimo a chamada chegue den- tro do intervalo de 1O minutos? (6) Qual é a probabilidade de que a primeira chamada chegue dentro de 5e JO minutos depois da loja aberta? (8) Determine o comprimento de um intervalo de tempo, tt que exista uma probabilidade igual a 0,90 de haver no máiimo uma chamada no intervalo, 4:82. A vida de reguladores de tensão para automóveis tem uma disti- dução exponencial, com uma vida média de seis anos. Você compra. um automóvel com 6 anos de uso, com um regulador de tensão funcio- nando e planeja ficar cora o carro por seis anos. (5) Qual € a probabilidade de que 0 regulador de tensão falhe durante sua viagem de posse? (8) Seo seu regulador falhar depois de você possuir o carro por três anos e sele for trocado, qual é o tempo médio até a próxima falha? 4:83, Suponha que O tempo (em horas) de falha de ventiladores em om computador pessoal possa ser modelado por uma distribuição exponen- cial, com = 0,003. (a) Quala proporção de ventiladores que dorará no mínimo 10.000 ho- ras? (6) Qual a proporção de ventiladores que durará no máximo 7000 ho- ras? 484,0 lempo entre a chegada de mensagens eletrônicas em seu compo- tador é distibuído exponencialmente, com uma média de duas horas. (8) Queléa probabilidade de você não receber uma mensagem durante o período de duas horas? (b)Se você não tiver tido urna mensagem nas últimas quatro horas, qual é aprobabilidade de você não receber uma mensagem ns próximas duas horas? (c) Qual € o tempo esperado entre sua quinta e sexta mensagens? 4:85. tempo entre as chegadas de tóxis a uma interseção movimenta- da é distribuído exponencialmente, com uma média de 10 minutos. (3) Qual Ea probabilidade de você esperar mais de uma hora por um táxi? (t) Suponha que você já estivesse esperando uma hora por um tá, qual será a probabilidade de que um táxi chegue dentro dos próximas JO minutos? (c) Detenmine x tal que a probabilidade de você esperar mais de x mi- nutos seja 0,10. (4) Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0,90. (e) Determine x tal que a probabilidade de você esperar menos de x minutos seja 0,50. 4:86. O número de aparições de cegonhas em uma rota na Carolina do Sul segue um processo de Poisson, com uma média de 2,3 por ano. (a) Qual to tempo médio entre as aparições? (P) Qual Ea probabilidade de não haver aparições dentro de três meses 1025 an? (c) Qual ga probabilidade de que o tempo até a primeira apasição exce- da seis meses? (4) Qual é a probabilidade de não haver aparições dentro de três anos? 4:87, Deacordo cons os vesultados da análise de barras de chocolate no. Capínlo 3, o múmero médio de fragmentos de insetos foi 14,4 em 225 gramas, Considere que o número de fragmentos segue uma distribui- ção de Poisson. (a) Qualo número médio de gramas de chocolate até que um fragmento seja detectado? (B Qual é a probabilidade de não haver fragmentos em ums berra de chocolate de 28,35 gramas (uma onça)? 0) Suponhaque você consuma sete barras de ema onça (28,35 gramasjessa semana, Qual é a probabilidade de não ter fragmentos de insetos? Além disso, a distribuição qui-quadrado é um caso especial da distribuição gama, em que À = 1/2 e ré iguala um dos valo- res 1/2, 1, 32,2,.. em estimação de intervalo e em testes de hipóteses que serão discutidos em capítulos subsegõentes. À distribuição qui-quadra- do será discutida no Capítulo 7. EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4.9 4.95. Use as propriedades da função gama para avaliar o seguinte: aro TG) (TO 4.96. Dada a função densidade de probabilidade A) = 0,017xe-"84 T(3), determine a média é a variência da distribuição. 4.97. Chiamadas para o sitema telefônico seguem uma distribuição de Poisson, com uma média de cinco chamadas por minuto. (5) Qual é o nome aplicado à distribuição e quais São os valores dos parâmetros do tempo eté a décima chamada? (b) Qual € o tempo médio até a décima chamada? (6) Qual é o tempo médio entre a nona e a décima chamadas? 48)Qual é a probabilidade de exatamente quatro chamadas ocorrerem dentro de um minuto? te) e 10 intervalos separados por um minuto forem escolhidos, qual será a probabilidade de que todos os intervalos contenham mais de. duas chamadas? 4.38, Matérias primas são estudadas para contaminação. Suponha que onúimero de partículas de contaminação por Ib de materia] seja uma va- riável aleatória de Poisson, com uma média de 0,01 partícula por libra. (a) Qual é o número esperado requerido de libras de material para obter 15 partículas de contaminação? (b) Qual é o desvio-padrão requerido das libras de materiais para obter 15 partículas de contaminação? 4:99. Q tempo entre falhas de uro Jaser em uma máquina citogênica é distribuído exponencialmente, com uma média de 25 000 horas. (8) Qual € o tempo esperado até que a segunda falha ocorra? (6) Qual é à probabilidade de que o tempo até a terceira falha exceda 50,000 horas? 4-100. Em um sistema de comunicação de dados, várias mensagens que chegam a um nó são agrupadas em um bloco antes de serem transmáti- das ao longo da rede. Suponha que às mensagens cheguem ao nó de acordo com um processo de Poisson, com + = 30 mensagens por minu- to. Cioco mensagens são usades para formar um bloco. (8) Qual é o tempo médio até que um bloco seja formmdo, isto é, até que cinco mensagens cheguem 20 n6? 1b)Qual é o desvio-padrão do tempo até que um bloco seja formado? (6) Qual é a probabilidade de um pacote ser formado em menos de IO segundos? (8) Qual é a probabilidade de um pacote ser formado em menos de 5 segundos? 4202. Erros causados pela contaminação em discos. uma taxa de um erro a cada 10 bits, Suponha que os erros sigam a dis- tibuição de Poisson. (a) Qual é o múmero médio de bits até que cinco erros ocorram? 1b) Qual é o desvio padrio do número de bits até que cinco esros ocorram? e)O programa de corteção de extos deve ser ineficiente se houver três ou mais erros denirode 1Oºbits. Qual é a probabilidade desse evento? 4102. Chamadas para o serviço de atendimento de um grande dis buidor de computadores seguem a distribuição de Poisson, com média de 20 chamadas por minuto. (8) Qual é o tempo médio até a centésima chamada? (8) Qual é o tempo médio entre as chamadas de números 50 e 80? (6) Qual é a probabilidade de tês ou mais chamadas ocorrerem no in- tervalo de [5 segundos? Verfveis Aleatórias Contímvas e Distribuições de Probsbilitades 87 4-193. O tempo entre chegadas de usuários em um caixa eletcônico é “uma variável aleatória exponencial, com uma média de 5 minutos. (a) Qual é a probabilidade de mais de três usuários chegarem em 10 minutos? (b) Qual é a probabilidade de que o tempo até que o quinto usuário che- gue seja menor que 15 minutos? 4-104, Use a integração por partes para mostrar que Tr) = (7 — DT (=> 4-105. Mostre que a função densidade de gama fix, À, 1) integrada é gusta 4.406. Use o resultado pars a disribuição gama de modo a determinar ae variância de uma distribuição qui-quadrado com 1 = 2. 4-10 DISTRIBUIÇÃO DE WEIBULL Como mencionado anteriormente, a distribuição de Weibul] é freqiientemente usada para modelar o tempo até uma falha de muitos sistemas físicos diferentes. Os parâmetros na distribui- ção fornecem uma grande flexibilidade para modelar sistemas em que o número de falhas aumenta com o tempo (desgaste de rolamento), diminui com o tempo (alguns semicondutores) ou permanecem constantes com o tempo (falhas causadas pelos choques externos ao sistema). Distribuição de Weiball A variável aleatória X com função densidade de probabilidade ao co (oe em é uma variável aleatória de Weibull com parâmetro de es- cata 8 > 0 e paráâmetrá de forma | > 0. [DO SD A flexibilidade da distribuição de Weibull é ilustrada pelos grá- ficosdas funções densidade de probabilidade selecionadas na Fig, 4-26, Por inspeção da função densidade de probabilidade, vê-se que quando = 1, a distribuição de Weibull é idêntica à distri- nos Figura 4-26 Funções densidades do probabilidade de Weibull para vato- res selecionados de 8 e B. 88 Captulos buição exponencial. Também, a distribuição de Raleigh é um caso especial, quando o parâmetro de forma é 2. A função de distribuição cumulativa é freqilentemente usada para caleutar as probabilidades. O seguinte resultado pode ser obtido, Função de Distribuição Cumulativa Se X tiver uma distribuição de Weibull, com parâmetros B e B, então a função de distribuição cumulativa de X será “dd Também, o seguinte resultado pode ser obtido. Ft) (421) Média e Veriância Se X tiver uma distribuição de Weibull, com parâmetros 3 e B, P ma-sr(1+ des x) = er(1 + 3 - ele: + 5 (421) EXEMPLO 4.25 Desgaste de Mancal O tempo de falha (em horas) de um mancat em um eixo mecânico é satisfatoriamente modelado como uma variável aleatória de Weibul, com 8 = 1/2€ 8 = 5000 horas. Determine o tempo médio até falhar. Da expressão para a média, EX) = SO0OT]H + (1/0,5)] = s000F[3] SODO X 2! = 10.000 horas Determine a probabilidade de um mancal durar no minimo-400 horas. Agora 600031 Ple > 6000) = 1 — P(6000) = os] o) ] = MS = 03% Consegiientemente, 33,4% de todos os mancais duram no mínimo 6000 horas, EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4-10 4-167, Suponha que X tenha uma distribuição de Weibul com 8 = 0,2 28 = 100 horas. Determine a méliae a variância de X. 4-108, Suponha que X tenha uma distribuição de Weibuil, com = 0.2 8 = 100 horas, Determine o seguinte: ta) POX < 10,000) Cb) POL > 5000) 4109, Se X for uma vasiável aleatória de Weibull, com 6 = | ed = 1000 horas, qual será um ouro nome para a distribuição de X e qual será a média de X? 4-I1O. Suponha que a vida de um mancal de rolamento siga ta distri. buição de Weibull, com parâmetros B = 2.e à — 10.000 horas. (a) Determine a probabilidade de um mancal durar no mínimo 8000 horas. (t) Determine o tempo médio até haver uma falha de um mancal (e) Se 1 mancais estiverem em usoe às falhás ocorrerem independen- temente, qual será a probabilidade de que todos os 10 mancais du- rem no mínimo 8090 horas? A. JU, À vida (em horas) de uma unidade de processamento de um com- putador (CPU) é modelada por uma distribuição de Weibul, com parã- metros À = 3e 8 = 900 horas. (a) Determine a vida média da CPU. (b) Determine a variância da vida da CPU. (6) Qual é a probabilidade da CPU falhar antes de 500 horas? 4112, Suponha que a vida de um disco magnético de armazenamento exposto à gases comosivos tenha uma distribuição de Weibull, com & = 0,5 e com vida média igual a 600 horas. (8) Determine à probabilidade de um disto de armazenamento durar no tmínimo 500 horas (b) Determine a probabilidade de um disco de amazenamento falhar antes de 400 horas. 4-113,A vida (em horas) de um aparelho de intagem por ressonânc magnética (RM) é modelada por uma disteibuição de Weibull, com parâmetros B = 2 8 = 500 horas. (a) Determine a vida média de IRM, (b) Determine a variância da vída de IRM. (6) Qual é a probabilidade de IRM falhar antes de 250 horas? 4114, Um artigo na revista Journal of ie Indian Geophysical Union, intitulado “Weibuil and gama distribuitions for wave parameter precisions” — "Distribuições de Weibull e gama para especificações dos parâmetros da onda” (2005, Vol. 9, pp. 55-64) usou a distribuição de Weibu!l para modelar as alturas das ondas do oceano. Considere que a mééia da altura da onda na estação de observação seja 2,5 m e o parámme- tro de forma seja igual a 2. Determine o desvio-padrão da altura da onda. 4115, Um anigo na revista Journal of Geophysical Research, “Sparial and temporal distributifons of U.S. of winds and wind power at 80 m derived from measurements” — “Distribuições espacial e temporal de ventos e potências de ventos americanos” (2003, Vol. 108, pp. 10-1: 10-20) consideroi a velocidade do vento em estações em todos os Esta- dos Unidos. Uma distribuição de Weibull pode ser usada para modelar a distribuição de velocidades de vento em uma dada focalização. Cada Jo- calização é caracterizada por um parâmetro particular de forma e de es- cala. Para umaestaçãoem Amesilo, Texas, a velocidade média do ventoagO m (a altura do ponto mais alo de grondes turbinas de vento) em 2000 era de 10.3 ms, com um desvio pao de 4,9 rn, Determincos parâmetros de forma e de escala de uma disibuição de Wejbull com essas propriedades. 4-11 DISTRIBUIÇÃO LOGNORMAL Variáveis em um sistema seguem, algumas vezes, uma relação exponencial como x = exp(w). Se o expoente for uma variável aleatória, isto é W X = exp(19) será uma variável aleatória e está- se interessado na distribuição de X. Um importante caso especi- al ocorre quando W tem uma distribuição normal. Nesse caso, à ibuição de X é chamada de uma distribuição lognormal. O nome é proveniente da transformação Ia(k) = W. Ou seja, o logaritmo natural de X é normalmente distribuído. Probabilidades para X são obtidas a partir da transformação de W, porém necessitamos reconhecer que a faixa de X é (0, e7). Suponha que W seja normalmente distribuído, com média e va- riância «o então, a função de distribuição cumulativa para X é FG) = Pl <3] = Pexp(0) <2]= FLW < In(9] -8 n()-8 set) jet para x > 0, em que Z é uma variável aleatória normal padrão. Logo, a Tabela II do Apêndice pode ser usada para determinar à probabilidade. Também, F(X) = 0, para 0. A função densidade de probabilidade de X pode ser obtida a partir da derivada de F(X). Essa derivada é aplicada ao último termo da expressão para F(X), a integral da função densidade. normal padrão. Além disso, a partir da função densidade de pro- babilidade, a média c a variância de X podem ser deduzidas. Os detalhes são omitigos, mas segue um sumário dos resultados. Distribntição Lognormal Seja W tendo uma distribuição normal, com média O e va- riância «?; então, X = exp(W) é uma variável aleatória log- normal com função densidade de probabilidade (Inx — 0) 2? | sro 1 Mo = a A média e a variência de X são EM) = Re va) = (a 1) (422) Os parâmetros de uma distribuição lognormal são O c 65º. porém, necessita-so cuidado para interpretar que eles se referem à mé- dia e à variância da variável aleatória normal W. A média e à variância de X são funções desses parâmeiros mostrados em (4-2). A Fig. 427 ilustra as distribuições lognormais para va- lores selecionadas das parâmetros. + O tempo de vida de um produto que degrada no longo do tem- po é fregientemente modelado por uma variável aleatória lognor- mal, Por exemplo, essa é uma distribuição comum para o tempo de vida de um laser semicondutor. Uma distribuição de Weibull pode ser usada nesse tipo de aplicação e, com uma escolha apro- priada de parfmetros, ela pode aproximar uma distribuição log- normal selecionada, Entretanto, uma distribuição Tognormal é deduzida de uma simples função exponencial de uma variável ale- atória normal; assim, é fácil entender e avaliar as probabilidades. EXEMPLO 4-26 Laser Semicondutor O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribuição log- normal, com = 10 horas e 4» = 1,5 hora. Qual é a probabilidade de tempo de vida exceder 10.000 horas? Da função de distribuição cumutativa para X PK > 10,000) = 1 — Plexp() < 10.000) PL <t5(10.090)) (ue, =d4-05)=1-030=070 Figura 4-27 Funções densidades de probabilidade lognormal com 6 = O para valores selecionados de q Variáveis Aleatórias Continuas e Distribuições de Probabilidades 89 Qual o tempo de vida que é excodido por 99% dos lasers? A questão é determinar x tal que P(X > x) = 0,99. Logo, PU > a) = Plexp(88) > x] = PP > In()) a -o (e - 8) 15 Da Tabeia HI do Apêndice, 1 — e segjlentemente, Info 10. 1 = —233e x = exp(6,505) = 668,48 horas, Determine a média e o desvio-padrão do tempo de vida. Agora, EX) = UR = exp(10 + 1,125) = 678463 WU) = tva! = 1) = exp(20 + 225Jexp(2,25) — 1] 9,070.059.886,6. Logo, O desvio-padrão de X € 197.661,5 horas. Note que o desvio-pa- dão do tempo de vida é grande relativo à média, EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 4.11 4116, Soponha que X tenha uma disteibuição iognormal, com parôme. tros 6 = Se u?= 9, Determine o seguinte: (a) POX < 13.300) (bJO valor paca x, tal que PU = x) = 0,95 fe) A média e a variência de X jponha que X tenha uma distribuição fognormal, com parâme- —2e wt= 9, Determine o seguinte: (a) (500 < x < 1000) 1b)0 valor para x, tal que PX < 2) = 0,1 (9) média e a variância de X 4118. Suponha que X tenha uma distribuição lognormal, com parâme- tros = 2e w?= 4. Determine o seguinte: 48) Px < 500) (b)A probabilidade condicionel de X < 1500, dado que X > 1000 16) O que a diferença entre as probabilidades dos itens (a) e (b) interfo- se nos tempos de vida das variáveis aleatórias lognormais? 419.0 período de tempo (em segundos) em que um usuácio visualiza uma página ná internet antes de mudar para outra é uma variável alea- tória Jognormal, com parâmetros 6 = 0,5 e ut ta) Qual é a probabilidade de a página ser vista e mais de 10 segun- dos? <b) Ducante quanto tempo S0% dos usuários se movem para outra pági- na? (6) Quais amédia e o desvio-padrão do tempo alé que um usuário mude a página? 4128, Suponha que X tenha uma distribuição lognoral e que à média ea variância de X sejam iguais a 100 e 85.000, respectivamente. Deter- mine 05 parâmetros 8 e «da distribuição lognomal (Sugestão: defina = exp(0) é y = expúu?je escreva duas equações em termos de x e.) 4121, O tempo de vida de um laser semicondutor tem uma distribui são lognormal e é sabido que a média e o desvio-padrão do tempo de vida são 10.000 e 20.090, respectivamente, (a) Calcule os parâmensos da distribuição lognormal (b) Determine a probabilidade de um tempo de vida exceder 10.000 horas. (c) Detecmine o tempo de vida excedido por 90% dos lasers. 4-122, Um antigo na revista Health and Popudation: Perspectives and Issues (2000, Vol. 23, pp.28-36) usou a distibuição lognormal para modelar a pressão sangiínea em humanos. A pressão sangiinea sistóli- ca(PSS) média em homens com 17 anos foi 120,87 mmHg. Se o coef- ciente de variação (100% x desvio-padrão/média) for 9%, quais serão os valores dos parâmetros da distribuição lognomal? 92 Capítuios (8) Se urna mádia do processo for centralizada entre as especificações. superior inférior, a uma distância de seis desvios-padrão de cada uma, qual será a probebilidade de um produto não encontrar as especificações? Usando o resultado que 0,00000% é iguala uma parte por milhão, expresse a resposta em partes por milhão. (Pelo fato de ser dificil manter uma média do processo centrati. zada exitre as especificações, a probabilidade de um produto não encontrar as especificaçães é frequentemente caiculada depois. de supor que o processo varia Se a média do processo, posício- nada como no item (a) variar para cima por 1,5 desvio-padrão, cual seré a probabilidade de um produto não encontrar suas es- pecificações? Expresse a resposta em partes por milhão. (e) Refnça o item (4). Considere que a média do processo esteja a tuma distância de três desvios-padrão. (dy Refaça o item (b). Considere que a média do processo esteja à uma distância de três desvios: padrão e então varia para cima por 15 desvio-padrão. te) Compare os resultados dos itens (b) e (d) e comente. TERMOS E CONCEITOS IMPORTANTES Aproximação das Distribuição de Weibull probabilidades binouniale — Distribuição exponencial de Poisson pela normal Distribuição gama Correção de continuidade Distribuição Jognormal Desvio-padrão — variável Distribuição normal aleatória contínua Distribuição de Erlang Distribuição de probabilidades — variável aleatória contínua Distribuição normal padrão Distribuição qui-quadrado Distribuição uniforme contínua! Função de distribuição de Média — variável aleatória probabilidade cumulativa contínua — variável aleatória Padronizando contínua Propriedade de falta de Função densidade de memória — variável probabilidade aleatória continua Vartância — variável aleatória continua Média — função de uma variável aleatória contínua  Distribuições de Probabilidades Conjuntas RESUMO DO CAPÍTULO 5-1 DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 511 Distibuições de Probabilidades Conjuntas 54.2 Distribuições de Probabilidades Marginais 54,3 Distribuições de Probabilidades Condicionais 5:14 Independência SAS Variáveis Aleatórias Discretas Múltiplas 5:16 Distribuições do Probabilidades Multinomiais 5-2 DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS CONTÍNUAS 5:21 Distribuições de Probabilidades Conjuntas 2 Distibuições de Probabilidades Marginais 5-2.3 Distribuições de Probabilidades Condicionais 5:24 Independência 5-2.5 Variáveis Aleatórias Contínuas Múltiplas 5-3 COVARIÂNCIA ECORRELAÇÃO 5.4 DISTRIBUIÇÃO NORMAL BIVARIADA 5.5 FUNÇÕES LINEARES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS 5.6 VÁRIAS FUNÇÕES DE VARIÁVEIS ALEATÓRIAS OBJETIVOS DE APRENDIZAGEM Depois de um cuidadoso estudo deste capítulo, você deve ser capaz de: 1. Usar as funções do probabilidade conjuntas e as funções densidade de probabilidades conjuntas para calcular probabilidades 2. Caleularas istribuições de probabilidades marginais e condicionais a partir de distribuições de probabilidades conjuntas 3. Usara distribuição multinomial para determinar probabilidades 4. Interpretar e calcular covariâncias e correlações entre variáveis aleatórias 5. Entender propriedades de uma distribuição normal bivariada e ser capaz de desenhar os gráficos para a função densidade de probabilidade 6. Calcularmédias e variâncias para combinações lineares de variáveis aleatórias ecaleular probabilidades para combinações lineares de variáveis aleatórias normalmente distribuídas 7, Determinar a distribuição de uma função geral de uma variável aleatória Nos Capítulos 3 e 4, estudamos as distribuições de probebilida- des para uma única variável aleatória. Entretanto, é fregjiente- mente útil ter mais de uma variável aleatória definida em um experimento aleatório. Por exemplo, na classificação de sinais transmitidos e recebidos, cada sinal pode ser classificado como de alia, média ou baixa qualidade. Podemos definir a vesiável aleatória X como o número de sinais recebidos de alta qualidade & a variável aleatória Y como o número de sinais recebidos de baixa qualidade, Em outro exemplo, a variável aleatória contí- mua X pode denotar o comprimento de uma dimensão de uma peça moldada por injeção, enquanto a variável aleatória contínua Y pode denotar o comprimento de uma outra dimensão. Podemos estar interessados em probabilidades que possam ser expressas em termos de Xe Y. Por exemplo, se as especificações para X e Fforem(2,95a 3,05) e (7,604 7,80) milímetros, respectivamen- te, então podemos estar interessados na probabilidade de uma peça satisfazer ambas as especificações; ou seja, P(2,95 < X < 305e260<Y< 780). Em geral, se X e Y forem duas variáveis aleatórias, a distri- buição de probabilidades que define seus comportamentos simul- tâneos é chamada de distribuição de probabilidades conjun- tas, Neste capítulo, investigaremos algumas propriedades impor- tantes dessas distribuições conjuntas. 5-1 DUAS OU MAIS VARIÁVEIS ALEATÓRIAS DISCRETAS 5-1.1 Distribuições de Probabilidades Conjuntas Por simplicidade, começamos considerando experimentos aleató- ros, em que somente duas variáveis aleatórias são estudadas. Nas seções seguintes, peneralizaremos a apresentação para distribuição de probabilidades conjuntas de mais de duas variáveis aleatórias. EXEMPLO 5-1 Barras de Sinais Chamadas são feitas para verificar o horário de aviões na cidade de sua partida. Você monitora o múmero de barras de potência de sinal emseu telefone celular e o número de vezes em que você tem de dizer o nome da cidade de sua partida antes de o sistema de vozes reconhecer o nome. Nos quatro primeiros bits transmitidos, seja X o número de barras da potência de sinal em seu telefone celular Y o núrtcro de vezes que você tem de dizer o nome da cidade de sua partida. Especificando a probabilidade de cada um dos pontos na Fig, 5-1, espe- cificamos à disribuição de probabilidades conjuntas de X e Y. Similar- mente para uma variáve] aleatória individual, definimos a faixa das.  96 Capítulos ») = Alaf(9). À função de probabilidade condiciona! (9) é mostrada na Fig, 5-4(b). Note que para qualquer 96) = F65). OU seja, o conheci. mento de que se a peça obedece ou não às especificações de cor não muda a probabilidade de que ela encontre as especificações de comprimento. Por analogia com eventos independentes, definimos duas variáveis aleatórias como independentes se fdx, 3) = SO) para todo x é y. Note que independência implica que f(x, ) = SANA) para todo x e y. Se encontrarmos um par de x e y em que a igualdade falhe, X e Y não serão independentes. Se duas variáveis aleatórias forem independentes, então feto) BOBO no) ho SO) Com cálculos simitares, as seguintes afirmações equivalentes podem ser mostradas. Independência Para variáveis aleatória discretas Xe Y, se qualquer uma das seguin- tes propriedades for verdadeira, então as outras secão tarabém ver- dadeiras e Xe Y serão independentes, (1) fx 3) = AGO) para todo xe y (2) fg) = 6/0) para todo x e, com o) > O (3) fg) = ft) para todo x ey, com fg) > O (4 PCA Te B)= PX e AP(X E B) para quaisqer conjuntos 4 e 2, na faixa de X e Y, respectivamente. ss Faixa Retangular para (XY) Se o conjunto de pontos em um espaço bidimensional que rece- be probabilidade positiva sob f(x, p) não forma um retângulo, então Xe Y não são independentes, porque o conhecimento de X pode restringir a faixa de valores de Y que recebe probabilidade positiva, Se o conjunto de pontos em um espaço bidimensional que recebe probabilidade positiva sob f(x, 3) forma um retân- pulo, então à independência é possível, porém não demonstrada. Uma das condições na Equação 5-6 tem de ser ainda verificada. Em vez de verificar a independência de uma distribuição de probabilidades conjuntas, o conhecimento do experimento alea- tório é frequentemente usado para considerar que duas variáveis aleatórias são independentes. Então, a função de probabilidade conjunta de X e Y é calculada a partir do produto das funções de probabilidades marginais. Por exemplo, o tempo para completar uma busca em um computador deveria serindependente da alto- sa do usuário! 5-1.5 Variáveis Aleatórias Discretas Máltiplase EXEMPLO 5-7 Canal Digitat Em alguns casos, mais de duas variáveis aleatórias são definidas em um experimento aleatório e os conceitos apresentados anteriormente no capítulo podem ser facilmente estendidos, A notação pode ser incômo- dae, se dúvidas aparecerem, será útil se referir ao conceito equivalente para duas variáveis aleatórias, Suponha que a qualidade de cada bit re- cebido em um canal digital seja categorizada em uma das quatro clas- ses excelente, boa, razoével ou pobre, denotadas por E, 8, R e £, respeo- tivamente, Além disso, sejam as variáveis aleatórias X1,X, X; é X, 0 nG- mero de bits que são E, 8, R e P, respectivamente, em uma transmissão de 20 bits. Neste exemplo, estamos interessados na distribuição de pro- habilidades conjuntas de guatro variáveis aleatórias. Pelo fato de cada um dos 20 bits ser calegorizado em uma das quatro clhsses, somente valores para Xe, o al que x + Xs + y + 4a = 20 recebem proba- bilidade positiva na distribuição de probabilidades, Eu geral, dadas as variáveis aleatórias discretasX, Xy Xi... Xy à distribuição de probabilidades conjuntas de X, XX, .-, X, é uma descrição do conjunto de pontos (x, xa %y «.» X,) Ná faixa de Xy XX «.-, Xp juntamente com a probabilidade de cada ponto. À função de probabilidade conjunta é uma simples extensão de uma função de probabilidade bivariada. Função de Probabilidade Conjunta A função de probabilidade conjunta de X,, Xy ..., X, É Sd aà o vee vo) = PU6 = 2046 = xp, =) sn pera todos os pontos tm, ..., 15) ma faixa de X,, Xy ..-, Xp Uma distribuição de probabilidades marginais é uma sim- ples extensão do resultado para duas variáveis aleatórias, Função de Probabilidade Marginal Se Xy XX, «.., X, forem variáveis aleatórias discretas, com função de probabilidade conjunta fe, x, ap(% as 2), Então a função de probabilidade marginal de qualquer X é Sud) = PG = 2) =D fan x6não esmo) (58) em que o somatório é feito para todos os pontos sa faixa de (X | Xoseo Xo) para qual = x EXEMPLO 5-8 Pontos que têm probabilidade posiiva na distribuição de probabilidades conjuntas de três variáveis aleatórias Xi, Xa, Xy São mostrados na Fig. 5-5, A faixa é de inteiros não-negativos, com 3, + x, + tuição de probetilidades marginais de X; é encontrada como se segue. PlXa = 0) = froças(3,0,0) + Hran (O, 0,3) + Sra(1, 0,2) + fes (2,0,1) PÓ = 1) = fisaza3 1,0) + Sara (0,1, 2) + Sigma 1, 1) Pla es 2) = Srgag(1, 2.0) + Sa (0, 2, 1) PA = 3) = fyaa(0,3,0) Além disso, E(X) e ViX) para i = 1,2. terminados a partir da distribuição de proba p podem ser de- idades marginais Figura 5.5 Distribuição de probabilidades conjuntas de X,.X,e Xy de X, ou a partir da distribuição de probabilidades conjuntas de Xe Kas «+, Ko COMO Se Segue. Média e Variância de Distribuição Conjunta E) = Donfga gta vã) vOD= E ue o(a) (5-9) em que o somatório é feito para todos os pontos na faixa de XX ros Xp o Com muitas variáveis aleatórias, podemos estar interessados na distribuição de probabilidades de alguns subconjuntos da cole- ção de variáveis. A distribuição de probabilidades de X,, Xy, . Xu, k-< p, pode ser obtida a partir da distribuição de probabitida- des conjuntas de X, Xp, ..., Xy COMO à seguir. Distribuição de um Subeonjunto de Variáveis Aleatórias Se X, Xi -.., X, forem variáveis aleatórias discretas, com função de probabilidade conjunta fc. a(%) Fm. %), então a função de probabilidade conjunta de X, Xp... X,k <p, será Le brisa eos) = POA = 11,20 = 1, =5PMrad=. =) (510) em que o somatório é feito com todos os pontos na faixa de Xu Xo KH Ip Ki dp My = 84) Ou seja, PQX, = x, X4 =... Xy = 8) É a soma das probabili- dades de todos os pontos na faixa de Xy Xo ....X para os quais X1= 4, Ma = Rap. Ae = e Um exemplo é apresentado na pró- xima seção. Quaisquer & variáveis aleatórias podem ser usadas na definição. As primeiras k simplificam a notação. Distribuições de Probabilidades Condicionais Distribuições de probabilidades condicionais podem ser desen- volvidas para múltiplas variáveis aleatórias disoretas, através de uma extensão das idéias usadas para duas variáveis aleatórias. Porexemplo, a função de probabilidade conjunta condicional de X gs Xy Xy, SadoS Kg Xo, É Pta 3401 No, Ke Kyo 5) Sha x8) para Fa, (25) > O. A função de probabilidade conjunta con- dicional de X,, Xp Xy, dados X,, X,, provê as probabilidades con- dicionais em todos os pontos na faixa de Xy Xy Xy Xi Xo, para osquaisX = xe X, =x, O conceito de independência pode ser estendido para múlti- plas variáveis aleatórias discretas, Ls sro Xana) — Independência Variáveis aleatórias discretas Xy, Xn tes se, e somente se, 19) E fado) Sea) «ef O0o) (5-1) X, são independen- Sit lana Para todo XX vã Disituições de Probabilidades Conjutas 97 Similar ao resultado para variáveis aleatórias bivariadas, inde- pendência implica que a Eguação 5-11 se mantém para todos os pontos x, Xa, «.., X,- Se encontrarmos um ponto para o qual a igualdade falhe, então X,, Xp .., X, não serão independentes. Pode ser mostrado que se X,, Xz, ..., X, forem independentes, AM EA, EA, KH EA)= PM E APG E A)... MM, E 49) para quaisquer conjuntos 4,, Ag ..., A, 5-1.6 Distribuições de Probabilidades Multinomiais Uma disteibuição de probabilidades conjuntas para múliplas va- riáveis aleatórias discretas, que é bem útil, constitui uma exten- são da binomial. O experimento aleatório que gera a distribuição de probabilidades consiste em uma série de tentativas indepen- dentes. Entretanto, os restttados de cada tentativa podem ser ca- tegorizados em uma das & classes. EXEMPLO 5-9 Canal Digital Podemos estar interessados em uma probabilidade tal qual a seguinte, Dos 20 bits recebidos, qual é a probabilidade de 14 seremexcelentes, 3 serem boos, 2 serem razoáveis E ser ruim? Considere que as ctassifi- cações de bits individuais sejam eventos independentes e que as proba- bilidades de E, 8, R e Rx sejam iguais a 0,6; 0,3; 0,08 é 0,02, respecti- vamente. Uma Seglência de 20 bits que produz os números especifica- dos de bits em cada classe pode ser representada como EFEEFEEREFEECEBBBARRa Usando independência, encontramos que a probabilidade dessa seiên- ad REEEEEEEEEEEEEEBBBRARa) = 0,6"0,90,08/0,02! = 2,708 x 10º Claramente, todas as segdências que consistem nos mesmos números de E's,B's, R'se Ru's lêm a mesma probabilidade. Consegjientemente, a probabilidade requerida pode ser encontrada multiplicando 2.708 X 16º pelo número de sequências com 14 E's, três Bºs, dois R'se um Ri. Onúmero de sequências é encontrado a partir do Capímto 2, como sendo 20! 1astant Por conseguinte, a probabilidade requerida é PUJSE'S, $ês B'5, dois R'se um Rag — 2325600(2,208 X 10 325600 ooo O Exemplo 5-9 conduz à seguinte generalização de umenpe- rimento binomial e uma distribuição binomial. Distribuição Mltimomial Suponha que um experimento aleatório consista em uma sé- rie de n tentativas, Considere que (1) O resultado de cada tentativa é classificada em uma das k classes. (2) A probabilidade de uma tentativa gerando um cesul- tado na classe 1, classe 2, ..., clusse É é constante ao longo das tentativas e igual à pj. as... Pr fespectiva- mente. (3) As tentativas são independentes. As variáveis aleátórias X, Xp ..., Xy que denotam o múmero de tentativas que resultam na classe 1, classe 2, ..., classe k,  98 Capítalo5 respectivamente, têm uma distribuição multinomial, sendo a função de probabilidade conjunta dada por Pd, = 2000 =X... = 49) m (642) Do ph miolo oh prantntetm=neptpnto+p A distribuição multinomial é considerada uma extensão multi variável da distribuição binomial. EXEMPLO 5:10 Canal Digital No Exemplo 5-9, considere as variáveis aleatórias X,, X», X4 E X, como o número de bits que são E, B, R e Ru, respectivamente, em uma trans- missão de 20 bits. À probabilidade de que 12 dos bits recebidos sejam E. 6 sejam 8, 2 sejam R e O seja Ru é Rh=12h=65=24=0) 2% Traz 0,680,3%0,080,02º «= 0,0358 Cada tentativa em um experimento aleatório multinomial pode ser considerada como gerando ou não gerando um resultado na classe i, para cada é = 1,2, .., k. Devido à variável aleatória X, ser 0 número de tentativas que resultam na classe é, X;tem uma distribuição binomial. x z Lots) 1 t ua 15 2 8 ts 3 1/4 2 4 14 3 5 148 Determine o seguinte: MDPX<2ZSY<I r<3 (e) EÇÃO, EQO, Vote O) (£) A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória X. (8) À distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1,5. (h) A distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y = 2. to Etix = 1,5) 6) Xe Y são independentes? 5-2. Determine o valor de « que faz a função fix) = elx + 3) ser uma função de probabilidades conjuntas em nove pontos com x = 1,2,3€ y=1,2,3. Determine o seguimte: (DPX=LI<M) (MPX=D rr=2) (PE <2r<2 (6) EX, EO, VOQ e WO) CB) A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória X. (E) A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X'= 1. (NA distribuição de probabitidades condicionais de X, dado que Y = 2. DEQx=1) ()) Xe Y' são independentes? 5-3, Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma fun- ção de probabilidades conjuntas. Px<25) (DPX>18,7>47) Média e Variância Se Xp Xos... Xy têm uma distribuição multinomial, a distribui são de probabilidades marginais de X,é binomial com EO = npçe VOO = np(l — p) 613 EXEMPLO 5-11 Distribuições de Probabilidades Marginais No Exemplo 5-10, a distribuição de probabilidades marginais de X, é binomial com x = 20 e p = 0,3. Além disso, a distribuição de proba- bilidades conjuntas marginais de X, e X, é determinada a seguir. À P(X, = %a, Xy = 35) é a probabilidade de que exatamente x tentativas resultem em Be de que tentativas resultemem R, As n — x, — xa tentativas res. tantes têm de resultar em E ou em Au. Consegentemente, podemos con- Siderar que cada tentativa no expeximento resulta em uma das três clas. ses, (BJ, (Ry ou (E.Ru), com probabilidades 0.3; 0,08 e 0,6 + 0,02 0,62, respectivamente. Com cssas novas classes, podemos considerar que as tentativas compreendem um novo experimento multinomial. Logo, Las) (o3px0.08) (0,62 aa east tn — 2 = A distribuição de probabilidades conjuntas de outros conjuntos de vari- áveis pode ser encontyada de modo similar EXERCÍCIOS PARA A SEÇÃO 5-1 5-1. Mostre que a seguinte função satisfaz as propriedades de uma fun- ção de probabilidade conjunta. -1 -2 18 os a! 1/4 os 1 12 1 2 us Determine o seguinte: MDPX<OS,F<15) (MPX< 05) (PI <15) (DPX> 025, 1<45) (e) ECO), EO), Ve) e VO) (O) A distribuição de probabilidades marginais da variável aleatória X. (E) A distribuição de probabilidades condicionais de Y, dado que X = 1. (8) À distribuição de probabilidades condicionais de X, dado que Y (Ec = 1) 4) Xe Ysão independentes? 5-4. Quatro impressoras eletrônicas são selecionadas, provenientes de re grande lote de impressoras danificadas. Cada impressora é inspe: onada e classificada como contendo um grande é um pequeno defeito. Sejam as variáveis aleatórias X e Y 0 número de impressoras com gran- dee pequeno defeitos, respectivamente. Determine a faixa de distribui- ção de probabilidades conjuntas de Xe F. 5.5. Na transmissão de informação digital, a protabilidade de um bit teralta, moderada baixa distorção é 0,01,0,04 € 0,95, respectivamen- te. Suponha que três bils sejam transmitidos e que a quantidade de distor- ção de cada bit seja considerada independente. Sejam X e Fo número de bits com altae moderada distorção, respectivamente. Determine (AD fanta, 9) DA) (EO) (Dio) (O EO=D (9) Xe Y são independentes? 5-6. Um site da interne de pequenos negócios tem 100 páginas, em que 60%, 30% e 10% das páginas contêm baixo, moderado e alto conteúdo gráfico, respectivamente. Uma amostra de quatro páginas é seleciona- fovta Figura 5-7 Função densidade de probabilidade conjunta para cs compri- mentos das dimensões diferentes de uma peça moldada por injeção. Tipicamente, f(x, y) é definida ao longo de todo o espaço bidi- mensional, considerando que f(x, y) = O para todos os pontos para os quais f(x, 3) não seja especificada, No começo deste capítulo, os comprimentos de diferentes di- mensões de uma peça moldada por injeção foram apresentados como um exemplo de duas variáveis aleatórias. Cada comprimento pôde ser modelado por uma disibuição normal. Eniretamo, como as medidas são da mesma peça, as variáveis aleatórias non são tipicamente não-independentes. Uma distribirição de pro- babilidades para duas variáveis aleatórias normais que não se- jam independentes é impostante em muitas aplicações e será apre- Sentada posteriormente neste capítulo. Se as especificações para XeYforem2.95a3,05€7,60a7,80 milímetros, respectivamente, então podemos estar interessados na probabilidade de quea peça satisfaça ambas as especificações istoé, P(2,95 < X < 3,05,7,60 <Y<7,80). Suponha que fri, 3) seja mostrada na Fig. 5-7. A probabilidade requerida é o volume de f(x, y) dentro das espe- cificações. Fregitentemente, uma probabilidade tal como essa tem de ser determinada a partir de uma integração numérica. EXEMPLO 5.12 Tempo de Acesso q um Servidor Seja a variável aleatória X o tempo (em milissegundos) até um servidor se conectar com sua máquina e seja Yo tempo (em milissegundos) até ser- vidorautorizá-lo como um usuário válido. Cada uma dessas variáveis ale- atórias mede a espera a partir de umtempo inicial comume X < Y.Supo- nha quea função densidade de probabilidade conjunta para Xe F seja fotos ) = 6X 10-exp(0,001x — 0,029) Suposições razoáveis podem ser usadas para desenvolver tal distibui- ção, mas por ora nosso foco está somente na função densidade de pro- batilidade comjunta. A região com probabilidade não-zero está sombreada na Pig. 5-8. A propriedade da integral dessa função densidade de probabilidade con- paax<y. o z Figura 58 A função densidade de probabilidade conjunta de Xe Y não é zero sobre a área sombreada. Distribuições de Probabilidades Conjunias FOI 2000 0 1900 : Figura 5-9 A região de integração para a probabilidade de X < 1000e 7< 2000 é a área somiecada mais escura junta ser igual a um pode ser vesificada pela integral de f(x, ) ao Jon- go dessa região, como apresentado a seguir: | Jima [ fextrenmena d& eee e - cones oom( a) s003(c0) a A probabilidade de X < 1000 e Y < 20 é determinada como a integral sobre a área sombreada mais escura na Fig. 5-9. togozono | fintronaras 2 PIX = 1000, Y < 2000) = toa proa xe [entra Jesma ! 1-9 fice osmall 006 ) é ( 0,001 ]I = 0,003(316,738 — 11,578) = 0,915 Mie 5.2.2 Distribuições de Probabilidades Marginais Similarmente às variáveis aleatórias discresas conjuntas, pode- mos encontrar as distribuições de probabilidades marginais de Xe Y a partir da distribuição de probabilidades conjuntas. Fienção Densidade de Probabilidade Marginal Sé o função densidade de probabilidade conjunta de variáveis aleatórias contínuas X e Y for fofa, ») então as funções den- sidade de probabilidades marginais de X e Y serão  102 Capítulos sto = | fotr ndo e AO) | filo) de (515) Y em que a primeira integral é para todos os pontas na faixa de (%, P), para os quais X = x, e à segunda integral é para todos os pontos na faixa de (X, Y), para os quais Y = ». Uma probabilidade envolvendo somente uma variável alea- tória, como por exemplo Pla < X < b), pode ser encontrada & partir da distribuição de probabilidades marginais de X ou a par- da integral da distribuição de probabilidades conjuntas de X e Y.como Pla<x<») E = NIE o js = [sons Além disso, E(%) e VlX) podem ser obtidos calculando primeiro a distribuição de probabilidades marginais de X. EXEMPLO 5.13 Tempo de Acesso q um Servidor Para &s variáveis aleatórias que denotam tempos de vida no Exemplo 5.12, calcule a probabifidade de Y exceder 2000 milissegundos. Essa probabilidade é determinada como a integra! de f(x, 3) sobre aregião fortemente sombreada na Pig, 5-10. À região é dividida em duas. partes e diferentes limites de integração são determinados para cada. parte. nojo 2(r> 200) | ( 6x esco a “| ( foxrs o ja mas A primeira integral é o Tfes Vcom 6x0 [ la | E o Tema «LEIS (15) q oo * ( opit 0 2000", x Figura 5-10 À região de integração para a probabilidade de Y =< 2000 é a área sombreada mais escura, sendo dividida em duas regiões com x < 2000 ex> 2000. A segunda integral é [promos q, — SO ) = ogoz sp 6 e Lopo, Altemetivamente, a probabilidade pode ser calculada a partir da distri- buição de probabilidades marginais de Y, como se segue. Para y > O Ht)= Is x 10890-000 dy = 6 x 107% "MAM festas raca (EM) matei = 6X 10-2e"MM — er) para y>0 Obtivemos a função densidade de probabilidade marginal de Y. Agora, EO > 2000) = 6X 109 | et erotorgay A = 6x 103] E sx lisa 5.2.3 Distribuições de Probabilidades Condicionais Analogamente às variáveis alestórias discretas, podemos definir a distribuição de probabilidades condicionais de Y, dadoque X =x. Função Densidade de Probabilidade Condicimal Dadas as variáveis aleatórias contínuas X e Y, com função densidade de probabilidade conjunta fo(x, 3), a função den- sidade de probabilidade condicional de Y, dado que X = x é Sta) fre) = FD sms DO (610 A função densidade de probabilidade condicional fomece as proixibilidades condicionais para os valores de Y,dado que X = x. Pelo fato de a função densidade de probabilidade conjunta fn(9) ser uma função densidade de probabilidade para todo y em R, as Seguintes propriedades são satisfeitas: O fo)z0 e [atra 6) plreRIr=3)= | fnalyhdy equiqrco junto B na faixa de 7 ” em | É importante estabelecer a região em que uma função densi- dade de probabilidade conjunta, marginal ou condicional não é zero. O seguinte exemplo ilustra isso. 1500 o . 0 Iso x Figura 5-1] A função densidade de probabilidade condicional para », dado quex = 1590, não é 2ery ao fongo da linha sólida. EXEMPLO 5-14 Probabilidade Condicional Para as variáveis aleatórias que denotam tempo no Exemplo 5-12, de- termine a função densidade de probabilidade condicional para Y, dado qei=s. Primeiro, a função densidade marginal de x é determinada. Para x > O mto= fo xaortesmem Togo xote (a Essa é uma distribuição exponencial com A — 0,003, Agara, para O < x ex<, a função densidade de probabilidade condicional é rop morte sx ice 0002 0,0036-0Ur para > 0 6% 1orterote-amy SinooiHh(O) = ag — ,902e NE -0000r papa O < 1 6 1<y A função de probabilidade condicional densidade de Y, dado que x = 1590, não é zero na linha sólida na Fig. 5-1 Determine à probabilidade de Y exceder 2000 horas, dado que x = 1500. Ou seja, determine P(Y > 2000Jx = 1500), A função densidade de probabilidade condicional é integrada como se segue: Sb) = P(F > 2000]x = 1500) = [nemorar ão = aos Da) E =0, ore (E onty 4,002 = ane (ii ) 0,002, Média é Veriância Condicionais Amédia condicional de Y, dado que X = x, denotada por E(Y |x) OU ço é EO) = [sat dy ca variância condicional de F, dado que X por V(F |x) ou cê, é x, denotada Distribuições de Probabifidades Conjumtas 103 Í Dun) | [rimtio = ta em) EXEMPLO 5-15 Condicionais Passas variáveis aleatórias que denotam tempos no Exemplo 5-12, deter. mine a média condicional para F, dado que x = 1500. A função densidade de probabilidade condicional para Y foi deter- minada no Exemplo 5-14, Porque fggo()) não é zero para y > 1500, EQIX = 1500) = | y(0,002020011500-0.002m q, tão = 00078 [erre &y to Integrando por partes como a seguir. emp ferro raala tm sm 1500 Eid e mom" — (rms E) 1500 e 0002” * TOMo2KODOD ” 0,62 moça (00) Com a constante 0,002e? reaplicada EXÁX = 1500) = 2000 5.2.4 Independência A definição de independência para variáveis aleatórias contínuas é similar à definição para variáveis aleatórias disoreias. Se f(x, 3) = f4R/(9) para todo x e y, então X e Y são independentes. Independência implica que fnís. 3) = f(2//9) para todo xe. Se encontrarmos um par de xe yem que a igualdade falhe, Xe não serão independentes. Independência Para variáveis aleatórias continuas X e F, se qualquer uma das. seguintes propriedades for verdadeira, então as outras serão também verdadeiras e X e F serão independentes. (0 fdx3) = AGIA) para todo x e y (2) fo) = 49) para todo xe y, com 09) > O (3) flu) = Atx) para todo x e y, com f49) > O (8) PXe Ave B)=PXe AP(Y e B), para quais. quer conjuntos de Ae B na faixa de X e F, respectiva- mente, (519) EXEMPLO 5-16 Variáveis Aleatórias Dependentes Para a distribuição conjunta de tempos de falha ho Exemplo 5-12, a * Distribeição marginal de foi determinada no Exemplo 5-13. * Distribuição condicional de Y, dado que X = x, foi determinada no Exemplo 5-14.