Estatistica aula I, Notas de aula de Engenharia Civil
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Aula 1

Aula 1 Apresentação: Introdução, bibliografia básica, carga horária formas de avaliação, arredondamento de dados, Organização de Dados 1. Introdução

A Estatística consiste de um conjunto de técnicas utilizadas em diversas situações com o propósito de simplificar e facilitar a interpretação de um determinado fenômeno que está sendo estudado. O método estatístico surge com a necessidade da ciência em satisfazer uma série de indagações que não era possível com o método experimental. Neste contexto, este método atua como uma ferramenta importante nos trabalhos de pesquisa das mais diversas áreas do conhecimento como: Engenharia, Ciências Sociais, Educação, Medicina entre outras.

A expansão da aplicação das técnicas estatísticas foi possível graças ao grande avanço da Ciência na área de Informática a partir do Século XX que possibilitou a criação de softwares que facilitaram a execução de cálculos e forneceram visualizações gráficas a respeito do fenômeno estudado. O impacto da evolução tecnológica faz-se, sobretudo, sentir na rapidez com que se analisa uma base de dados de grande dimensão e relativa complexidade. Em um período anterior ao desenvolvimento de softwares estatísticos, muitas técnicas, sobretudo as multivariadas, eram evitadas devido a complexidade de seus cálculos e na demora na obtenção dos resultados.

O desenvolvimento da Estatística se deu principalmente a partir do Século XV juntamente com outras áreas científicas. Levantamento de dados estatísticos para censos populacionais e avaliações de produções agrícolas já eram utilizados na Europa no Século XI, no entanto, passou a ter um papel importante com o desenvolvimento da teoria da probabilidade, pois interagiu de forma intensa com diversos ramos da ciência (GADELHA, 2004).

Contribuições importantes foram dadas à Estatística por pesquisadores de Ciências Sociais. No Século XVII, John Grunt e Willian Petty utilizaram a Estatística para analisar os índices de natalidade e mortalidade em Londres. Mais tarde, em 1693, Edmond Halley construiu a primeira tabela de sobrevivência elaborada com registros vitais da cidade alemã de Breslaw (atual Wroclaw, Polônia) referente ao período de 1687 a 1691 (MEMORIA, 2004).

Christian Huygen, mais conhecido por suas importantes contribuições à astronomia, à ótica e à teoria ondulatória da luz publicou a primeira obra sobre teoria da probabilidade. Ele foi o primeiro a utilizar o termo esperança matemática e com dados estatísticos levantados por John Grunt, em 1662, construiu uma curva de mortalidade e definiu a noção de vida média e probabilidade de sobrevida (GADELHA, 2004).

Matemáticos como Blaise Pascal (1623-1662) e Pierre Fermat (1601-1665) deram valiosas contribuições na aplicação sistemática de análise matemática e estabelecimento de regras gerais para a

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solução de jogos de azar que deu origem a teoria da probabilidade. Nicolo Fontana Tartáglia (1499-1557), Girolano Cardano (1501-1576) e Galileu Galilei (1564-1642) também deram contribuições importantes desenvolvendo princípios estatísticos de probabilidade. Cardano definiu probabilidade de um evento como sendo a razão entre o número de resultados favoráveis e o número de resultados possíveis. Galileu fez um estudo completo sobre resultados possíveis em jogos de dados e Tartáglia realizou estudos de calculo de probabilidade e combinatoriais. Jacob Bernoulli (1654-1705) provou a lei dos grandes números, o que marcou o início de uma nova era na teoria da probabilidade. Essa lei foi o primeiro teorema limite de probabilidade, fundamental para a moderna teoria de amostragem. DeMoivre (1667-1754), matemático francês, propõe técnicas para reduzir problemas de probabilidade a equações diferenciais e usar funções geratrizes para resolver estes problemas. Estas equações foram, mais tarde aperfeiçoadas por Laplace (1749-1827) que obteve para as seqüências de Bernoulli o Teorema Central do Limite. Em 1733, DeMoivre publicou um trabalho no qual introduz pela primeira vez a distribuição normal que usou como aproximação para a distribuição binomial. Daniel Bernoulli (1700-1782), outro membro de uma família de grandes matemáticos, foi o primeiro a propor o uso de estimativas de máxima verossimilhança e aplicar o cálculo diferencial ao invés de combinatoriais na solução de problemas de probabilidade. Computou também a primeira tabela da distribuição normal em 1738 (cinco anos após DeMoivre tê-la descoberta). O matemático e físico suíço Leonard Euler (1707–1783) também deu contribuições importantes na aplicação de probabilidade na análise de loterias, demografia e seguros. Uma contribuição significativa à combinatória foi feita pelo filósofo e matemático alemão Gottfried W. Leibniz (1646-1716) (o primeiro a criar, em 1684, o cálculo diferencial e integral). Os estudos de Leibniz contribuíram para o desenvolvimento de linguagens modernas de lógica de computação e teoria da probabilidade (STINGLER, 2002).

O naturalista francês George-Louis Leclerc, o conde de Buffon, (1707–1788), abriu caminho para o desenvolvimento da paleontologia e investigou a origem dos planetas como produto de colisões para o qual fez estudos de probabilidades. Thomas Bayes (1702–1761), teólogo e matemático inglês, contribuiu muito para a Estatística. LaPlace (1749-1827) deduziu a fórmula hoje conhecida como regra de Bayes, nome dado mais tarde por Poincaré (MEMORIA, 2004).

No Século XIX o alemão Carl Friedrich Gauss (1777–1855), um dos maiores gênios da matemática, estabeleceu a relação da distribuição de erros de medidas com a curva normal e desenvolveu o método dos mínimos quadrados. Entretanto, o matemático francês André Marie Legendre (1752–1833), já havia proposto a aplicação desse método ao combinar observações astronômicas e geodésicas baseado em critério intuitivo (STINGLER, 2002).

Siméon-Denis Poisson (1781–1840), outro grande personagem no desenvolvimento da estatística propôs a aplicação da teoria da probabilidade em correções de decisões judiciais para o qual deduziu a distribuição que hoje leva seu nome. A distribuição de Poisson é utilizada na análise de vários problemas relativos a ocorrências de eventos aleatórios no tempo e no espaço (estudo de filas, radioatividade entre outros) (GADELHA, 2004).

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Outras contribuições dadas à Estatística pelas ciências sociais e biológicas foram feitas através de Adolphe Jacques Quetelet (1796–1874) e Sir Francis Galton (1822–1911) respectivamente. As maiores contribuições de Quetelet na análise estatística de dados sociais foram o conceito de homem médio e o ajustamento da distribuição normal conjugados com a interpretação de regularidade estatística. Quetelet usou a curva normal no ajuste de medidas de peso estatura e perímetro torácico em recrutas franceses. Coletou também dados sobre criminalidade e delinqüência agrupando-os de acordo com o sexo, idade, escolaridade e o tipo de delito, introduzindo a idéia de predisposição ao crime. As contribuições mais notáveis de Galton foram a enunciação do conceito de regressão e correlação (MEMORIA, 2004).

Karl Pearson (1857–1936) focou seus estudos em problemas de Biologia e teoria evolucionista. Em 1883 inventou o nome desvio padrão para representar a média quadrática dos afastamentos a partir da média de uma distribuição de freqüências. Seus trabalhos deram contribuições importantes à teoria da regressão, coeficiente de correlação e o teste de significância estatística chamado de Qui-quadrado. Entre 1906 e 1914, Pearson fundou e desenvolveu um centro de pós-graduação em Estatística como extensão da disciplina de Matemática Aplicada. Pearson é conhecido por seus importantes trabalhos em diferentes campos do conhecimento humano como Antropologia, Biometria, Genética, Métodos Científicos e outros. Inicialmente, ganhou fama devido aos seus estudos sobre o comportamento assimétrico das distribuições de freqüências, seus estudos levaram ao desenvolvimento da regressão e correlação múltiplas. (STINGLER, 2002)

Willian Sealey Gosset (1876-1937), conhecido pelo pseudônimo de Student, estudou Matemática e Química e deu contribuições importantes a Estatística com seus trabalhos sobre pequenas amostras. Estes trabalhos foram continuados por Sir Ronald Aylmer Fisher (1890-1962). O interesse de Fisher pela Estatística decorreu do interesse pela Genética e pelo estudo da teoria da evolução de Darwin. Fisher correspondeu-se com Gosset para conhecer mais a respeito de sua equação sobre o desvio padrão, chegando a conclusões importantes sobre a diferença entre as médias amostrais e populacionais. Formulou a teoria dos graus de liberdade e provou ser verdadeira a formulação matemática de Gosset sobre o assunto. Fisher desenvolveu a teoria do teste de hipótese chamada de análise de variância. Em 1922 e 1925 publicou dois importantes estudos a respeito de estimações (Inferência Estatística) a partir de pequenas amostras. Rao relatou que Fisher foi também o arquiteto da análise multidimensional servindo como base para diversos trabalhos. (STINGLER, 2002)

A teoria clássica dos testes de hipóteses foi fruto da colaboração de dois eminentes estatísticos, Jerzy Neyman (1894–1981) e Egon Sharpe Pearson, filho de Karl Pearson. Neyman é considerado um dos grandes fundadores da Estatística moderna teorizando sobre probabilidades, teste de hipóteses, intervalo de confiança, teste de qui-quadrado e outras áreas da Estatística. As idéias de Neyman e E. Pearson foram disputadas por matemáticos da época, incluindo Fisher (MEMÓRIA, 2004).

É oportuno registrar que nessa época ainda não havia sido axiomatizado o cálculo de

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probabilidades que só se deu em 1933 com a obra do matemático russo Andrei Nikolaevich Kolmogorov (1903-1987). Kolmogorov foi um dos mais importantes matemáticos do Século XX com trabalhos em várias áreas da Matemática. Em 1929, publicou o trabalho Teoria Geral de Medidas e Teoria de Probabilidades, neste foi apresentada pela primeira vez uma descrição da construção axiomática de probabilidade baseada na teoria de medidas que havia sido criada em torno de 1901 por Henry Lebesgue (1875-1941) e Émile Borel (1871-1956). Em 1933, desenvolveu em seu trabalho a teoria de probabilidade de forma bastante rigorosa a partir de fundamentos da axiomatização. Obteve-se então, a base para o desenvolvimento da teoria dos processos estocásticos e definição rigorosa de esperança condicional (STINGLER, 2002).

Pode-se observar, a partir do relato histórico acima, que durante o desenvolvimento da Ciência, sobretudo a partir do Século XV, floresceram numerosas pesquisas estatísticas cobrindo domínios tão diversos como ciências sociais, biológicas e outros. Progressivamente, a finalidade “social e política” da Estatística se desdobrou em uma finalidade científica.

A década de 70 foi marcada pelo agravamento dos problemas ambientais, e, conseqüentemente, pela maior conscientização desses problemas em todo o mundo. Pesquisadores de diversas áreas do conhecimento voltaram sua atenção para o estudo do meio ambiente relatando problemas de contaminação do ar, nas bacias hidrográficas e na litosfera. O uso de técnicas estatísticas tornou-se importante no conhecimento dos fenômenos que permeiam a contaminação do meio ambiente e suas conseqüências sociais, auxiliando na obtenção de respostas e tomada de decisões (YABE et al., 1998).

O uso de técnicas estatísticas multivariadas, no início do Século XX, eram bastante restritas devido a complexidade dos cálculos. Graças ao desenvolvimento da informática, sobretudo a partir da II Guerra Mundial tornou-se possível a análise de qualquer tipo de dados, sejam eles, ambientais, econômicos, sociais, comportamentais e outros. A evolução tecnológica facilitou a execução de cálculos, oferecendo rapidez e confiança nos resultados. As limitações metodológicas deixaram de ser uma preocupação, existindo uma bibliografia extensa e variada sobre métodos de análises estatísticas (REIS, 2001). 1.2 Bibliografia básica NETO, P. L. O. C. Estatística. São Paulo: Edgard Blücher, 2003 SPIEGEL, M. R. Probabilidade e Estatística. Rio de Janeiro: Mcgraw-Hill, 2004 Bibliografia Complementar BRAIO, A. A.; MUSETTI, A. V.; SCHNEIDERMAN, B. Introdução à estatística. São Paulo: Edgard Blücher, 2005. 1.3 Carga Horária: 72 h.a.

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1.4 Formas de avaliação A1, A2, A3 e A4 (A3 e A4 obrigatórias)

é     3 (A1 ou A2) – a maior nota entre A1 e A2 Composição da avaliações A1, A2 e A4 Prova (P) – 0 a 9 pontos Trabalhos realizados (T) – 0 a 1 pontos A1 = P + T (ídem para A2 e A3) 1.5 Arredondamento de dados A prática de arredondamento de dados é bastante valiosa para reduzir ao mínimo os erros acumulados. Exemplo: Considere a equação      0,16  2,7182818… = 0,45304697...

Arredondamento para o menor Casas

decimais 1 6 e

1 6   erro

1 0,1 2,7 0,27 0,18304697 2 0,16 2,71 0,4336 0,01944697 3 0,166 2,718 0,45119 0,00185897 4 0,1666 2,7182 0,45285 0,00019485 5 0,16666 2,71828 0,45303 0,00001843 6 0,166666 2,718281 0,45305 0,00000195

Arredondamento para o mais próximo

Casas decimais

1 6 e

1 6   erro

1 0,2 2,7 0,54 0,08695303 2 0,17 2,72 0,4624 0,00935303 3 0,167 2,718 0,453906 0,00085903 4 0,1667 2,7183 0,4531406 0,00009364 5 0,16667 2,71828 0,4530557 0,00000876 6 0,166667 2,718282 0,4530479 0,00000093

Note que o erro produzido é menor no caso do arredondamento para algarismo mais próximo. Este sistema é utilizado nas calculadoras.

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Outros exemplos 72,8 (arredondamento para o inteiro mais próximo)  73 72,8146 (arredondamento para o centésimo mais próximo)  72,81 72,465 (arredondamento para o centésimo mais próximo)  72,47 Exercício Faça o arredondamento dos valores de acordo com as instruções: a) 2,653863 (2 casas decimais) b) 12,36558 (3 casas decimais) c) 59,900365 (4 casas decimais) d) 0,553697 (2 casas decimais) e) 365,986542 (inteiro mais próximo) 1.6 Organização de dados: Etapas da pesquisa, Tabelas e gráficos Etapas da pesquisa População: é o conjunto de dados que possui as características de interesse. A população pode ser todos os funcionários de uma empresa, todos os colaboradores de uma obra ou todas as peças produzidas por uma máquina. Amostra: é qualquer subconjunto da população. Muitas vezes não podemos acessar toda a população e precisamos de um conjunto de valores representativos para inferir sobre ela. Não podemos, por exemplo, testar todas as lâmpadas produzidas por uma empresa, coletamos amostras e inferimos sobre a qualidade de toda a população de lâmpadas. Estatística descritiva: é em geral um conjunto de técnicas utilizadas em uma etapa inicial da análise dos dados. O objetivo é tirar conclusões de modo informal e direito. Estas técnicas permitem descrever e resumir os dados. Interferência estatística: refere-se a um conjunto de técnicas que permitem inferir sobre um grande conjunto de dados. Utilizamos a interferência quando existe a impossibilidade de acesso a todo o conjunto de dados, por razões de natureza econômica, ética ou física.

População

Amostra

Tratamento de dados

Inferência

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Diante da população de interesse, uma ou mais amostras são coletada e os dados são analisados descritivamente. Se o objetivo for estender o resultado para toda a população devemos utilizar técnicas de inferência adequadas. Organização dos dados

Considere um conjunto de dados, onde devemos extrair informações a respeito de uma ou mais características.

Basicamente, definimos as variáveis de interesse e obtemos os dados brutos. O próximo passo é resumir os dados em tabelas de freqüências e gráficos e descrever sobre o comportamento desses dados.

Com o objetivo de investigar a ocorrência de acidentes de trabalho em um canteiro de obras um pesquisador selecionou aleatoriamente 20 trabalhadores envolvidos em acidentes para um estudo. As variáveis selecionadas para estudo são: Idade (I): (em anos) Escolaridade (Ec): Fundamental (F), Médio (M), Superior (S) Sexo: M (masculino), F (feminino) Estado civil: Solteiro (S), Casado(C), Divorciado (D). Renda: (em salários mínimos) T.Trabalho: (em anos) H.Trabalho até a ocorrência do acidente: (em horas inteiras) Cada uma das características apontadas é chamada de variável. O conjunto de informações obtidas após a tabulação dos dados é denominado tabela de dados brutos. Note que as variáveis podem assumir valores numéricos ou não. Podemos então classificar essas variáveis em:

Nominal - ex.: sexo (masculino ou feminino (não tem uma ordem natural) Ordinal - ex: escolaridade (fundamental, médio, superior) (ordem natural)

Discreta: ex.: horas de trabalho (valores inteiros) Contínua: ex.: renda (assumem valores em intervalos reais)

A tabela de dados brutos (Tabela 1), mostra revela algumas informações a respeito da amostra

selecionada

Qualitativas (valores não numéricos)

Quantitativas (valores numéricos)

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Tabela 1: Dados Brutos Idade Escolaridade Sexo E.Civil Renda T.Trabalho H.Trabalho

25 M F S 3,5 3 8 19 F M S 1,5 1 5 20 F M C 1,5 1 10 23 F M S 2,0 2 9 30 S F S 5,0 5 4 22 M M S 1,8 3 6 42 M M C 1,8 1 9 20 F F S 1,5 2 10 19 F F S 1,8 1 8 26 F M S 1,6 3 7 32 M M C 2,0 2 7 23 F F C 1,4 1 9 18 F M S 1,5 1 10 19 F M S 1,5 2 10 20 M M S 3,0 4 6 21 F M S 1,4 3 2 26 S F C 5,2 1 10 22 M M S 4,5 4 9 20 F F S 2,0 2 3 19 F M S 2,4 3 6

Note que torna-se difícil uma análise da tabela de dados brutos e para facilitar o estudo resumimos as

informações em tabelas de freqüências. Tabela 2: Variável Escolaridade

i Escolaridade ni fr 1 F 12 0,60 2 M 6 0,30 3 S 2 0,10 - Total N = 20 1

ni = freqüência absoluta do valor i fr = freqüência relativa do →   

Para as variáveis quantitativas em geral, pode ser relevante a inclusão de uma nova coluna contendo a freqüência acumulada (fac). Este valor pode ser obtido pela soma de todos os valores menores ou iguais ao valor considerado. A freqüência acumulada pode ajudar a eliminar valores não expressivos da variável.

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Tabela 3: Variável Tempo de trabalho i T.Trabalho ni fr fac 1 1 7 0,35 0,35 2 2 5 0,25 0,60 3 3 5 0,25 0,85 4 4 2 0,10 0,95 5 5 1 0,05 1,00 - Total N = 20 1 -

A variável renda é classificada como quantitativa contínua e assim, teoricamente, pode assumir

qualquer valor real em determinado intervalo. A tabela de dados brutos mostra que os valores variam entre 1,4 e 5,2 salários e para organizá-la vamos dividi-la em intervalos menores.

O numero de intervalos, em geral, variam de 5 a 8 faixas. Embora adotamos a mesma amplitude de classe, em alguns casos podem ser convenientes amplitudes desiguais. A tabela 4 mostra a tabela de freqüência para a variável renda. Tabela 4: Variável Renda i Renda ni fr fac 1 1,0 2,0 11 0,55 0,55 2 2,0 3,0 4 0,2 0,75 3 3,0 4,0 2 0,1 0,85 4 4,0 5,0 1 0,05 0,9 5 5,0 6,0 2 0,1 1 - Total N=20 1 -

Da tabela 4 podemos observar as seguintes informações: li Li li = limite inferior da classe Li = limite superior da classe ex.: da classe 1 temos: 1,0 2,0 (li = 1,0 e Li = 2,0) Menor renda observada - Mínimo = 1,4 Maior renda observada - Máximo = 5,2 Amplitude total – AT = 5,2 – 1,4 = 3,8 Amplitude de classe - AC = Li – li. Todas as cinco classes da variável renda em estudo têm amplitude de classe AC = 1,0

Uma análise das tabelas de freqüências mostra que 60% dos acidentados possuem nível de escolaridade fundamental, 60% têm até 2 anos de trabalho na função e 55% têm renda entre 1,0 e 2,0

10 Apontamentos de Aula - Probabilidade e

salários mínimos. Com base no estudo das variáveis apresentadas é possível propor estratégias para redução dos acidentes como cursos de formação ou outras

Obs.: A organização dos dados em tabelas consiste em ordenar os dados em linhas e colunas. As normas de apresentação são editadas pela Fundação Brasileira de Geografia e Estatística (IBGE) e obedece à Resolução no 886, de 26 de outubro de 1966, do Conselho Nacional de Estatística..

A organização dos dados em tabelas de freqüência proporciona uma forma eficaz na análise preliminar dos dados, porém os dados contidos nestas tabelas podem ser melhores visualizadas graficamente. Os meios de comunicação apresentação de dados. Com o desenvolvimento de softwares específicos é possível a construção de uma infinidade de formas gráficas para a representação dos dados. É preciso, no entanto certo cui recursos visuais, pois um gráfico desproporcional pode levar a erros de interpretação dos dados. Vamos discutir três tipos básicos de gráficos: barras, setores e histograma.

O gráfico de barras utiliza o plano cartesiano com valores da variá freqüências ou porcentagens no eixo das ordenadas. Este tipo de gráfico se adapta melhor às variáveis discretas ou qualitativas ordinais. Na figura 1 temos o gráfico de barras para a variável escolaridade.

O gráfico de setores, ou pizza, se adapta bem às variáveis qualitativas nominais. As dimensões das

fatias podem ser calculadas multiplicando circunferência). A figura 2 mostra a representação gráfica da variável sexo em estudo.

Figura 2 – Gráfico de setores para variável sexo.

M 65%

F 35%

0

2

4

6

8

10

12

14

F

ni

Escolaridade

2340

1260

Figura 1 – Gráfico de barras para variável escolaridade

Estatística - Prof. Rubens A Requena

ações.

, órgãos públicos e empresas utilizam esse meio como forma de

vel nos eixos das abscissas e as

-se a freqüência relativa (fi) por 360 (uma volta inteira da

M S

Grau de Escolaridade

Tamanho do setor

Sexo ni fi Graus M 13 0,65 234o F 7 0,35 126o

Total N = 20 1 360o

dado no uso de

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O histograma consiste em retângulos contíguos com base na faixa de valores. Ele é normalmente utilizado em variáveis quantitativas contínuas. A altura de cada retângulo é denominada densidade de freqüência ou simplesmente densidade. A densidade é determinada pelo quociente da freqüência relativa de classe fr pela amplitude da classe. O histograma da variável renda é apresentado na figura 3.

Figura 3 – Histograma para variável renda

O uso da densidade na construção do histograma evita distorções nos casos em que as amplitudes de classes são desiguais. Exercícios de Aplicação 1) 30 amostras de concreto foram selecionadas após a adição de aditivos para um estudo sobre a resistência a flexão (medida da capacidade de resistência a falhas decorrentes de flexão). As amostras forneceram os seguintes valores (em MPa). 6,5 5,2 9,4 7,8 13,2 8,5 12,9 8,7 9,0 8,2 10,3 7,6 11,9 10,5 9,5 9,4 10,8 11,1 12,1 8,1 6,9 7,8 10,2 11,0 8,9 10,4 10,0 12,3 7,9 9,9 a) Organize os dados em uma tabela de freqüência de amplitude de classe de 1,6 começando por 5,0. b) Construa um histograma 2) Para a investigação de quebras em urdiduras em uma tecelagem 90 amostras de fios foram testadas. O número de ciclos de esforço para a quebra foi determinado para cada amostra de fio. Os resultados são dados na tabela abaixo: 86 146 251 653 98 249 400 292 131 169 171 175 176 76 264 15 364 195 262 88 45 264 157 220 42 621 180 198 38 20 61 121 282 224 149 180 325 250 196 90 229 166 38 367 315 353 571 124 279 81 186 211 180 93 315 353 571 124 279 81 186 497 182 423 185 229 400 338 290 550 146 185 188 55 55 61 244 239 236 20 284 393 396 203 124 137 138 150 193 188

0

0,2

0,4

0,6

0,8

Renda

1,0 2,0 3,0 4,0 5,0 6,0

55%

20% 10% 5% 10%

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a) Organize os dados em uma tabela de freqüência b) Construa um histograma com 7 intervalos de classe

3) Com o objetivo de melhorar o desempenho de seus funcionários uma empresa decidiu por oferecer cursos de aperfeiçoamento a seus funcionários. Para determinado curso foi necessário avaliar o conhecimentos dos inscritos para decidir o modulo em que eles se enquadrariam. Cada instrutor adotou um critério de avaliação. Os resultados obtidos foram dispostos na tabela abaixo:

Depto. Matemática Estatística Gramática Redação Atualidades Inglês Técnica 8,3 7,2 B A 9,0 8,0 Técnica 9,3 7,6 A A 9,0 8,0 Técnica 10,0 10,0 A B 10,0 8,0 Técnica 10,0 5,9 C C 8,0 10,0 Técnica 9,2 8,2 B B 7,0 7,0 Técnica 6,5 7,1 C B 8,0 7,0 Técnica 9,4 10,0 C C 8,0 7,0 Admin 9,2 9,2 B A 7,0 8,0 Admin 6,2 8,5 A A 8,0 10,0 Admin 6,3 7,2 B C 9,0 10,0 Admin 3,5 5,9 C C 9,0 10,0 Admin 10,0 8,1 B C 7,0 9,0 Admin 5,4 7,8 C B 6,0 9,0 Admin 4,5 5,6 A B 9,0 8,0 Admin 5,2 8,5 C B 9,0 7,0 Admin 4,6 6,5 C A 7,0 7,0 Admin 6,3 9,0 B B 6,0 7,0 Vendas 8,3 10,0 A B 7,0 7,0 Vendas 9,1 9,2 A B 8,0 7,0 Vendas 8,5 7,8 B C 8,0 9,0 Vendas 6,5 9,2 B C 8,0 9,0 Vendas 7,5 7,8 C B 9,0 8,0 Vendas 8,0 8,6 C B 10,0 8,0 Vendas 6,9 9,5 C C 9,0 8,0 Vendas 7,2 10,0 C C 6,0 8,0

a) Classifique as variáveis; b) Construa uma tabela de freqüência para cada uma das variáveis; c) Faça uma representação gráfica adequada para cada uma das variáveis; d) Analise o aproveitamento dos funcionários nas disciplinas de Matemática e estatística por departamento. 4) Uma amostra de 68 lotes de transdutores de temperatura foi selecionada e o número de peças fora de especificação por lote foi anotada a seguir: 2 1 4 2 2 1 3 2 0 2 6 2 2 0 2 1 2 4 3 2 1 0 0 2 1 2 3 5 4 0 1 5 2 2 2 3 1 2 3 2 5 4 2 2 1 0 1 3 2 6 5 3 0 2 5 4 1 0 2 1 0 3 5 6 1 3 3 1

13 Apontamentos de Aula - Probabilidade e Estatística - Prof. Rubens A Requena

a) Construa uma tabela de freqüências b) Construa um gráfico adequado aos dados 5) Um estudo foi conduzido com o objetivo de implantação de linhas subterrâneas de distribuição de energia. Uma das características apontadas para o estudo foi o comprimento das ruas de determinada região. Os valores obtidos para esta variável (em metros) são apontados abaixo: 1250 5200 4530 2530 1520 3000 4900 1090 720 1200 850 1950 2600 4230 3900 2500 1250 900 2900 2450 3200 1950 880 2800 5200 4800 630 5500 630 920 1550 1800 2300 4260 3920 4860 3930 3360 2620 3200 1230 3150 1440 2350

a) Organize os dados em uma tabela de freqüências b) Construa um histograma para os dados

No século X nem se pensava em computador, ainda menos em software. Acho que tem algo de erradop aí...
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