Estimação de parâmetros utilizando a média amostral, Notas de estudo de Engenharia Informática
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Estimação de Parâmetros Utilizando a Média Amostral

Probabilidade e Estatística

Aula 12 Estimação de Parâmetros Utilizando a Média

Amostral

Leitura Prévia

• Capítulo 7 do livro do Yates – Seções 7.1, 7.4.

• Capítulo 7 da apostila do Ynoguti

Introdução

• Capítulos anteriores apresentaram propriedades dos modelos de probabilidade.

• Nas aplicações da teoria da probabilidade assumimos que o modelo de probabilidade que representa as saídas do experimento era conhecido.

• Há muitas situações nas quais o modelo não é conhecido e devemos coletar dados com o objetivo de aprender sobre o modelo. Esta área de estudo é denominada de inferência estatística.

Média Amostral

Assuma que n tentativas repetidas e independentes de um experimento foram executadas. Cada tentativa resulta na observação de uma variável aleatória, X.

Após n tentativas temos valores amostrais de n variáveis aleatórias X1, X2, ...., Xn, todas com a mesma PDF de X.

( ) n

XXXXM nn ++

= 21

Deve-se notar que a média amostral é uma V.A. e não um número. Ou seja, não confundir Mn(X) com E(X).

Valor Esperado da Média Amostral

( ) n

XXXXM nn ++

= 21

( )( )  

  

 ++= n

XXXEXME nn 21

( )[ ] ( )XEXME n =

Variância da Média Amostral

( )[ ] ( ) n

XVarXMVar n =

)()( 2 YVaraaYVar =

( )[ ] ( )22121 n XXXVar

n XXXVarXMVar nnn

 ++ =

 

 ++=

( )[ ] ( ) ( ) ( ) ( )2221 n XnVar

n XVarXVarXVarXMVar nn =

++ =

Valor Esperado e Variância da Média Amostral

O valor esperado não depende de n.

A variância varia com o inverso de n. Se n tende a infinito a variância tende a zero.

Ou seja, se n tende a infinito, torna-se altamente provável que Mn(X) seja arbitrariamente próximo a seu valor esperado, E[X]. Ou seja, a média amostral converge para o valor esperado quando o número de amostras tende a infinito.

Exemplo 1

• Seja X uma V.A. exponencial com valor esperado igual a 1. Seja Mn(X) a média amostral de n amostras independentes de X. Quantas amostras são necessárias para garantir que a variância da média amostral seja menor ou igual a 0.01?

Solução

Como X é exponencial, Var(X) = 1. Logo são necessárias pelo menos 100 amostras.

Intervalo de Confiança e Coeficiente de Confiança

Intervalo de Confiança e Coeficiente de Confiança

A média amostral dista do valor esperado no máximo c (para mais ou para menos). O comprimento do intervalo, 2c, é denominado de intervalo de confiança.

A probabilidade da média amostral estar no intervalo de confiança é pelo menos 1 − α. O parâmetro α é denominado de coeficiente de confiança (segurança).

Intervalo de Confiança e Coeficiente de Confiança

Se o coeficiente de segurança é pequeno, podemos ter grande confiança de que Mn(X) esteja no intervalo

Exemplo 2

Associando X = 1 se o eleitor apoiar o candidato José da Silva e X = 0 em caso contrário, temos uma variável aleatória de Bernoulli com valor esperado E[X] = p e variância Var(X) = p(1-p).

Com c = 0.03 (3%) tem-se:

Solução

O coeficiente de confiança é dado por

A confiança no resultado aumenta à medida em que α diminui. Como não sabemos o valor de p, vamos tentar tornar o resultado independente de p.

Para tal, vamos investigar a curva p(1 – p).

Solução

0 0.5 1 0

0.1

0.2

0.3

x p( )

p

A curva tem um máximo para p = ½, que vale ¼. Logo, podemos escrever:

Como utilizou-se um universo de tamanho n = 1103 amostras, temos que a estimativa de p está dentro de 3 pontos percentuais com probabilidade de pelo menos 0.75 . Se quisermos aumentar o coeficiente de confiança devemos aumentar o número de amostras.

Lei Fraca dos Grandes Números

Exemplo 3

Realizamos n tentativas independentes de um experimento e estamos interessados em estimar a probabilidade de um evento A ocorrer. Calcular o menor valor de n tal que nossa estimativa esteja em um intervalo de confiança igual a 0.02 com coeficiente de confiança igual a 0.999.

Solução

Vamos fazer X = 1 quando o evento A ocorrer e X = 0 em caso contrário. Podemos utilizar a frequência relativa, Mn(X), como estimativa da probabilidade do evento A ocorrer. Vamos denominar esta estimativa de P’[A]

X é uma variável aletarória de Bernoulli com valor esperado E[X] = p = probabilidade do evento A ocorrer – P[A]

P

{ } ( )2 ][1][1|][]['|

nc APAPcAPAPP −−≥<−

Solução

De novo, p (1- p) é menor ou igual a 0.25, logo:

{ } 24 11|][]['| nc

cAPAPP −≥<−

Como queremos um intervalo de confiança de 0.02, temos c = 0.01. Como queremos um coeficiente de segurança de 0.999 temos

( ) 999.0

01.04 11 2 ≥− n

n = 2.5 x 106 tentativas.

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