Estimação de parâmetros, Resumos de Engenharia de Produção
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10 ESTIMAÇÃO DE PARÂMETROS

10.1 Inferência Estatística

O campo da inferência estatística consiste naqueles métodos usados para tomar decisões

ou tirar conclusões acerca de uma população. Esses métodos utilizam a informação contida em

uma amostra dapopulação para extrair conclusões.

A inferência estatística pode ser dividida em duas grandes áreas: estimação de

parâmetros e testes de hipóteses. Como exemplo de um problema de estimação de parâmetros,

suponha que um engenheiro de estruturas esteja analisando a resistência à tensão de um

componente usado em um chassi de automóvel. Uma vez que a variabilidade da resistência à

tração está naturalmente presente entre os componentes individuais, devido as diferenças nas

bateladas da matéria-prima nos processos de fabricação e nos procedimentos de medidas (por

exemplo), o engenheiro está interessado na estimação da resistência média à tração dos

componentes. Na prática o engenheiro usará dados da amostra para calcular um número que é,

de algum modo, um valor razoável (ou tentativa) da média verdadeira. Este número é chamado

de estimativa.

10.2 Amostragem Aleatória

Na maioria dos problemas de estatística, é necessário usar uma amostra de observações

a partir de uma população de interesse, de modo a tirar conclusões relativas à população.

A População consiste natotalidade das observações em que estamos interessados

enquanto que Amostra é um subconjunto de observações selecionadas a partir de uma

determinada população.

Para que nossas inferências sejam válidas, a amostra tem de ser representativa da

população. A seleção de uma amostra é um experimento aleatório e cada observação na amostra

é o valor observado de uma variável aleatória. As observações na população determinam a

distribuição de probabilidades da variável aleatória.

10.3 Erro-Padrão estimado

Quando o valor numérico ou a estimativa de um parâmetro é reportado, geralmente é

desejável dar alguma idéia da precisão da estimação. A medida de precisão geralmente

empregada é o erro padrão do estimador que está sendo usado.

Suponha que estejamos amostrando a partir de uma distribuição normal com média e desvio

padrão . Agora, a distribuição é normal, com média e desvio padrão ; assim, o erro padrão

estimado de é :

(10.1)

Se não conhecermos, e substituirmos o desvio padrão S da amostra na equação (10.1), então o

erro padrão estimado de será:

(10.2)

Exemplo:

Num artigo do Journal of Heat Transfer (1974) é apresentado um novo método de medir a

condutividade térmica de ferro Armco. Usando uma temperatura de 100 oF e uma potência de

550W, as 10 medidas de condutividade térmica (em BTU/h.ft.-oF) obtidas conforme valores a

seguir:

41,60 41,48 42,34 41,95 41,86 42,18 41,72 42,26 41,81 42,04

Uma estimativa da condutividade térmica média a 100 oF e 50 W é a média amostral ou

= 41,924 BTU/h.ft.-oF.

O erro padrão da média amostral e sendo desconhecido, podemos trocá-lo pelo desvio padrão

da amostra S = 0,284, de modo a obter o erro padrão estimado de como

== 0,0898

10.4 Distribuições Amostrais

A inferência estatística trata como tomar decisões acerca de uma população baseando-

se na informação contida em uma amostra aleatória proveniente daquela população. Por

exemplo, podemos estar interessados no volume médio de enchimento de uma lata de

refrigerante. Um engenheiro considera uma amostra aleatória de 25 latas e calcula o volume médio

amostral de enchimento como ml . O engenheiro decidirá, provavelmente, que a média da

população é 300 ml, muito embora a média amostral tenha sido 298 ml, porque ele sabe que a

média amostral é uma estimativa razoável de e que a média amostral de 298 ml é muito

provável de ocorrer, mesmo se a média verdadeira da população for =300 ml . De fato, se a

média verdadeira for 300ml, então os testes de 25 latas feitos repetidamente, talvez a cada 5

minutos, produzirão valores de que variarão acima e abaixo de =300 ml.

A média amostral é uma estatística; isto é, ela é uma variável aleatória que depende dos

resultados obtidos em cada amostra particular. Uma vez que uma estatística é uma variável

aleatória, ela tem uma distribuição de probabilidades.

A distribuição de probabilidades de uma estatística é chamada de uma distribuição

amostral. Por exemplo, a distribuição de probabilidades, de é chamada de distribuição

amostral da média.

A distribuição amostral de uma estatística depende da distribuição da população, do

tamanho da amostra e do método de seleção da amostra.

10.5 Distribuições Amostrais das Médias

Considere a determinação da distribuição amostral da média da amostra. Suponha que

uma amostra aleatória de tamanho n seja rejeitada de uma população normal com média e

desvio padrão . Então, pela propriedade da distribuição normal, concluímos que a média da

amostra tem uma distribuição normal com média

e desvio padrão .

10.6 Teorema do Limite Central

Se for uma amostra aleatória de tamanho n, retirada de uma população (finita ou

infinita), com média e desvio padrão , e se for a média da amostra, então a forma limite da

distribuição de quando n é a distribuição normal padrão.

A aproximação normal de depende do tamanho n da amostra. Em muitos casos de

interesse prático, se n 30, a aproximação normal será satisfatória, independente da forma da

população. Se n<30, o teorema central do limite funcionará, se a distribuição da população não

for muito diferente da normal.

Exemplo:

Uma companhia eletrônica fabrica resistores que têm uma resistência média de 100 e um desvio

padrão de 10.A distribuição de resistências é normal. Encontre a probabilidade de uma amostra

aleatória de n=25 resistores ter uma resistência média menor que 95.

Solução:

Note que a distribuição amostral de é normal , com média =100 e um desvio padrão =

Conseqüentemente, a probabilidade desejada corresponde à área sombreada da figura 10.1.

Padronizando o ponto de =95 na figuras 10.1, encontramos que

(0,4938) e deste modo, P(< 95 ) = 0,5- 0,4938 = 0,0062 (0,62 %)

Se tivermos duas populações independentes, com medias e e desvios padrão e , e se e

forem as médias amostrais de duas amostras independentes de tamanho n1 e n2 dessas

populações, então, a distribuição amostral de

(10.3)

é aproximadamente normal padrão, se as condições do teorema central do limite se aplicarem.

Se as duas populações forem normais, então a distribuição amostral de Z será exatamente a

normal padrão.

Exemplo:

A vida efetiva de um componente usado em um motor de uma turbina de um avião a jato é uma

variável aleatória, com média de 5000 h e desvio padrão de 40 h. A distribuição da vida efetiva

é razoavelmente próxima da distribuição normal. O fabricante do motor introduz uma melhoria

no processo de fabricação para esse componente, que aumenta a vida média para 5050 h e

diminui o desvio padrão para 30 h. Suponha que uma amostra aleatória de n1 =16 componentes

seja selecionada do processo “antigo” e uma amostra de n2 =25 seja selecionada do processo

“melhorado”. Qual a probabilidade de que a diferença entre as duas médias amostrais seja no

mínimo 25 h? Considere que os processos antigo e melhorado possam ser considerados como

populações independentes.

Solução:

Dados: n1 =16; n2 =25; ;

= -2,14 ( Z=0,4838) P(= 0,5 + 0,4838 = 0,9838 (98,38%)

Aplicações:

1) Um tubo de PVC é fabricado com um diâmetro médio de 1,010 cm e um desvio padrão de

0,003 cm. Encontre a probabilidade de uma amostra aleatória n=9 seções do tubo ter um

diâmetro médio amostral maior que 1,009 cm e menor que 1,012 cm.

2) Uma fibra sintética, usada na fabricação de carpete, tem uma resistência à tração que é

normalmente distribuída, com média 75,5 psi e desvio padrão 3,5 psi. Encontre a probabilidade

de uma amostra aleatória de n=6 corpos de prova de fibra ter uma resistência média amostral à

tração que exceda a 75,75 psi.

3) Considere a fibra sintética do exercício anterior. Qual o erro padrão da média amostral?

4) A elasticidade de um polímero é afetada pela concentração de um regente.Quando baixa a

concentração é usada, a média verdadeira da elasticidade que é 55 e quando aumenta a

concentração é usada a elasticidade média de 60. O desvio padrão da elasticidade é 4,

independente da concentração.Se duas amostras aleatórias de tamanho 16 forem retiradas,

encontre a probabilidade de .

10.7 Estimação de Parâmetros

Estimação é o processo que consiste em utilizar dados amostrais para estimar

valores para a média e o desvio padrão de uma população e a proporção populacional.de

parâmetros populacionais desconhecidos. Essencialmente, qualquer característica de uma

população pode ser estimada a partir de uma amostra aleatória. Entre os mais comuns

As estatísticas amostrais são utilizadas como estimativas de parâmetros

populacionais que podem ser classificadas em pontual ou intervalar.

Estimativa pontual: estimativa única de parâmetro populacional.

Estimativa intervalar: estimativa que especifica um intervalo de valores possíveis,

no qual se admite esteja o parâmetro populacional.

10.8 Intervalos de Confiança

O intervalo de confiança é uma estimativa intervalar que inclui uma afirmação

probabilística que indica a percentagem de intervalos que podemos esperar abranger o

verdadeiro valor do parâmetro em seus limites. A amplitude de um intervalo de confiança depende de quatro itens: a dispersão dos valores populacionais, o nível de confiança

indicado, o erro tolerável e o tamanho da amostra.

10. 9 Estimativa do Intervalo de Confiança da Média Aritmética (F 07 3 conhecido)

Na inferência estatística, devemos tomar os resultados de uma única amostra e tirar

conclusões sobre a população, e não o inverso. Na prática, a média aritmética da

população é a quantidade desconhecida que está para ser estimada. Em geral, pode-se

interpretar que uma estimativa do intervalo de confiança de95% significa que, se

todas as amostras possíveis de um mesmo tamanho igual a n fossem retiradas, 95 %

delas iriam conter a verdadeira média aritmética da população, em algum lugar dentro do

intervalo em torno de suas médias aritméticas de amostras, e somente 5% delas estariam

fora do intervalo. Uma vez que, na prática, somente uma amostra é selecionada e é

desconhecida, nunca sabemos ao certo se determinado intervalo obtido contém uma

média aritmética da população. No entanto, podemos afirmar que temos uma confiança

de 95% de que selecionamos uma amostra cujo intervalo efetivamente inclui a média

aritmética da população.

Em geral, o nível de confiança é simbolizado por (1- ) X 100% , onde é a

proporção de caudas da distribuição que estão fora do intervalo de confiança. Portanto,

para obter a estimativa do intervalo de confiança da média aritmética de (1- ) X 100%

com conhecido, teremos:

(10.4)

(10.5)

onde Z é o valor correspondente a uma área (1-)/2 desde o centro de uma distribuição

normal padronizada Exemplo:

Um fabricante de papel para impressoras possui um processo de produção que opera de

maneira contínua, através de um turno completo de produção. É esperado que o papel

tenha um comprimento de 11 polegadas, e o desvio padrão conhecido seja 0,02 polegada.

A intervalos periódicos, são selecionadas amostras para determinar se o comprimento

médio do papel ainda se mantém iguala 11 polegadas ou se algo de errado ocorreu no

processo de produção para que tenha sido modificado o comprimento do papel

produzido. Se tal situação tiver ocorrido, deve-se adotar uma ação corretiva. Uma

amostra aleatória de 100 folhas foi selecionada e verificou-se que o comprimento médio

do papel era 10,998 polegadas. Estime o comprimento médio de todo o papel deste

processo de produção usando um nível de confiança

a) 95 % b) 99 %

a) 95 % 0,4750 (Z=1,96)

b) 99 % 0,4951 (Z=2,58)

10.10 Estimativa do Intervalo de Confiança da Média Aritmética (F 07 3 desconhecido)

Assim como na média aritmética da população geralmente é desconhecida, o real

desvio padrão da população tem pouca probabilidade de ser conhecido. Portanto

precisamos obter uma estimativa do intervalo de confiança utilizando somente as

estatísticas de amostras de e S. Para isso, recorremos a distribuição t de Student.

A distribuição t de Student aparentemente é muito parecida com a distribuição

normal . Ambas as distribuições têm curvas em formato de sino e são simétricas.

Entretanto, a distribuição tem maior área nas caudas e menor área no centro do que a

distribuição normal. A estatística para um distribuição t com graus de liberdade é

definida como:

(10.6)

Na prática, enquanto o tamanho da amostra for grande o suficiente e a população

não for muito assimétrica, a distribuição t pode ser utilizada para calcular a média

aritmética da população quando for desconhecido.

A estimativa do intervalo de confiança (1- )X100% para a média aritmética com

desconhecido e expressa através da equação

(10.7)

onde é o valor crítico da distribuição t , com graus de liberdade, para uma área /2 na

cauda superior.

Exemplo:

Uma máquina produz peças cilíndricas. Uma amostra acusou os seguintes valores de

diâmetros (em polegadas): 1,00 0,98 1,02 1,03 0,99 0,97 1,00 1,01

1, 03. Admitindo que a distribuição dos diâmetros seja aproximadamente normal,

determinar um intervalo de confiança para a média populacional dos diâmetros de:

a) 98% b) 95%

Dados:

a) 98 %

Dados: n=9; 1,003; S= 0,0212; /2= =0,01; ;

Intervalo de Confiança: 0,9831,023 b) 95 %

Dados: n=9; 1,003; S= 0,0212; /2= =0,025; ;

Intervalo de Confiança: 0,9871,019

10.11 Estimativa do Intervalo de Confiança para a Proporção

O intervalo de confiança de dados categorizados para calcular a proporção da

população a partir da proporção da amostra ps =. Quando a distribuição binomial pode

aproximar-se da distribuição normal a estimativa d o intervalo de confiança

(1- )X100% para a proporção da população p é dada por:

(10.8)

p (10.9)

onde:

é a proporção da amostra

p é a proporção da população

Z é o valor crítico da distribuição normal

Exemplo:

O gerente de produção de um grande jornal da cidade deseja determinar a proporção de

jornais impressos que apresentam algum tipo de problema, tal como excesso de tinta,

montagem de páginas inapropriada , falta de páginas, páginas duplicadas e assim por

diante. Experiências do passado envolveram o exame detalhado do primeiro jornal que

sai da impressora, porém nenhuma avaliação posterior era feita dos milhares de jornais

impressos. O gerente de produção determinou que fosse selecionada para a análise uma

amostra aleatória de 200 jornais. Suponha que esta amostra de 200 jornais contém 35

jornais com algum tipo de problema. Se o gerente de produção deseja ter 90% de

confiança na estimativa da real produção da população de jornais, o intervalo de

confiança deveria ser calculado do seguinte modo:

, com um nível de confiança de 0,45 (z = 1,64)

Intervalo de Confiança: p

0,2191

[13,09 % , 21,91%]

10.12 Determinação do Tamanho da Amostra

Se o objetivo for estimar a média, ou a proporção, podemos usar os intervalos de

confiança anteriormente estabelecidos para obter n, o tamanho da amostra. Para isso,

precisamos fixar o maior erro de estimativa aceitável e o nível de confiança com que

queremos trabalhar.

Seja o caso da média. Se estivermos dispostos a aceitar um erro máximo com

probabilidade,o intervalo de confiança de nível ()X 100% será [;]. Logo o erro e o

tamanho da amostra n para a média aritmética são respectivamente:

(10.10)

No caso de estimativa de proporções, o erro e o tamanho da amostra n são

respectivamente:

(10.11)

Exemplo 1:

Em nosso exemplo anterior, suponha que o gerente de produção queira ter 90% de

confiança de calcular a proporção de jornais sem problemas, numa margem entre 0,04 do

seu valor real. Além disso, uma vez que o editor do jornal não realizou uma pesquisa

anterior, nenhuma informação se encontra disponível o a partir de dados do passado.

Portanto, p será fixado como sendo 0,5. A partir desses critérios estabelecidos, qual o

tamanho da amostra necessário?

Dados: Z= 1,64; e=0,04 ; p=0,5

423 jornais

Exemplo 2:

Se o desvio padrão da durabilidade das válvulas de televisão é estimado em 100 horas,

que tamanho de amostra deve ser tomada para que se tenha um intervalo com 95% de

confiança para um erro estimado de 20 horas?

Dados: 0,4750 (Z=1,96); e=20;

96 válvulas

10.13 Estimativa e Tamanho da Amostra para Populações Finitas

Em situações quando o tamanho da amostra n não é pequeno quando comparado

ao tamanho da população N ( isto é, mais de 5% da população é utilizada como amostra),

de modo que um fator de correção para a população finita (cpf) deve ser utilizado ao definir-se tanto o erro padrão da média aritmética quanto da proporção. Este fator de

correção da população finita é definido como:

(10.12 )

Portanto a estimativa do intervalo de confiança ()X100% para populações finitas da média

aritmética é:

(10.13)

(10.14)

A estimativa do intervalo de confiança()X100% para populações finitas da proporção é:

(10.15)

p (10.16)

Do mesmo modo que o fator de correção cpf é utilizado nas estimativas de intervalo de

confiança, ele também deve ser utilizado ao estimar o tamanho da amostra, para

populações finitas

Ao aplicar o fator de correção cpf de população finita, o tamanho da amostra é calculado

a partir de :

(10.17)

onde é o tamanho da amostra, sem considerar o fator de correção de população finita

Exemplo 1:

O gerente de marketing de uma empresa que fornece óleo para calefação de residências

deseja calcular o consumo médio anual (em galões) em domicílios unifamiliares, em

determinada área. É selecionada uma amostra aleatória de 35 domicílios unifamiliares,

onde o consumo médio anual destes domicílios e o desvio padrão são respectivamente

iguais a e S = 295,72. Suponha que exista uma população de 500 domicílios unifamiliares

atendidos pela companhia e que gerente de marketing deseja estimar um intervalo com 95

% de confiança para o consumo médio anual ( em galões) desses 500 domicílios

unifamiliares.

Dados: ; S = 295,72; n=35; N=500; ; =

1024,65 1220,75

Exemplo 2:

Na pesquisa realizada pelo gerente de marketing sobre o consumo anual de óleo para

calefação, o tamanho da amostra necessário para ele obter 95% de confiança de estar

certo, numa margem de(pressupondo um desvio padrão de 325 galões), seria 163, uma

vez que o =162,31. Logo o tamanho da amostra será: 123

Exemplo 2:

Na pesquisa realizada pelo gerente de marketing sobre o consumo anual de óleo para

calefação, o tamanho da amostra necessário para ele obter 95% de confiança de estar

certo , numa margem de (pressupondo um desvio padrão de 325 galões), seria 163, uma vez

que o =162,31. Logo o tamanho da amostra será: 123

Aplicações:

5) Os sistemas de escapamentos de uma aeronave funcionam devido a um propelente sólido. A

taxa de queima desse propelente é uma característica importante do produto. Um técnico da qualidade seleciona uma amostra aleatória de n=25 e obtém uma taxa média amostral de queima

de= 51,3 cm/s. As especificações requerem que a taxa média de queima seja de 50 cm/s.

Sabemos que o desvio padrão da taxa de queima é de cm/s. Encontre um intervalo com 95% de

confiança para a taxa média de queima.

6) Conforme problema anterior, suponha que quiséssemos agora um erro de estimação da taxa

média de queima do propelente do foguete menor que 1,5 cm/s. Qual seria o tamanho requerido

da amostra?

7) Um artigo no periódico Materials Engineering (1989, v(2) n.4 pp.275-281) descreve os

resultados de teste de tensão quanto a adesão em 22 corpos de prova de liga U-700. A carga no

ponto de falha do corpo de prova é dada a seguir (em Mpa):

19,8 19,85 17,6 16,7 15,8 15,4 14,1 13,6 11,9 11,4 11,4

8,8 7,5 15,4 15,4 19,5 14,9 12,7 11,9 11,4 10,1 7,9

Encontre o intervalo de confiança de 95 % para a carga média no ponto de falha do corpo.

8) Uma amostra aleatória de 85 mancais de eixos de manivelas de motores de automóveis, 10

mancais têm um acabamento de superfície mais rugoso do que as especificações permitidas.

Encontre um intervalo de confiança de 95% para a proporção verdadeira de mancais com

acabamento de superfície mais rugoso.

9) Considerando a situação do problema anterior, qual deverá ser o tamanho da amostra se

quisermos estar 95 % confiantes de que o erro para estimar p seja menor que 0,05 ?

10) Em um teste de sensitividade levado a efeito em 18 válvulas de certa marca, acusou os

seguintes valores de sensitividade (em microvolts):

3,31 3,37 2,97 2,83 3,34 2,96 3,11 3,14 3,18

3,70 3,11 2,95 3,15 3,29 3,26 3,24 3,22 3,43

Determinar um intervalo para a sensitividade média da população de válvulas:

a) com 95% de confiança b) com 99% de confiança.

11) Para verificar a eficácia de um programa de prevenção de acidentes de trabalho cujo objetivo

é estimar o parâmetro = média da redução percentual de acidentes de trabalho, devido ao

programa preventivo, em todas as empresas da construção civil da região, fez-se um estudo

experimental, implementando este programa em dez empresas da construção civil, escolhidas

ao acaso, numa certa região. Os dados abaixo referem-se aos percentuais de redução de

acidentes de trabalho nas 10 empresas observadas:

20 15 23 11 29 5 20 22 18 17

Usando nível de 95% de confiança encontre o erro de amostra máximo provável e o intervalo

de confiança para a média da redução percentual de acidentes de trabalho.

12) Refazer o problema anterior considerando que se conhece o número de empresas da

construção civil da região:

a) N = 30 empresas b) E se a população fosse constituída de N= 400 empresas

13) Numa amostra aleatória simples de 120 domicílios, realizada num certo bairro da cidade,

observou-se que apenas 40 domicílios possuíam instalações sanitárias adequadas.

Considerando que existam 460 domicílios no bairro, encontre um intervalo de 95% de

confiança para a proporção de domicílios com instalações sanitárias.

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