ESTRUTURAS DE CONCRETO II, Notas de aula de Cálculo
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ESTRUTURAS DE CONCRETO II, Notas de aula de Cálculo

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Roteiro de calculo para pilares - Concreto II
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UNIVERSIDADE ESTADUAL PAULISTA UNESP - Campus de Bauru/SP

FACULDADE DE ENGENHARIA Departamento de Engenharia Civil

Disciplina: 2323 - ESTRUTURAS DE CONCRETO II

NOTAS DE AULA

PILARES DE CONCRETO ARMADO

Prof. Dr. PAULO SÉRGIO DOS SANTOS BASTOS (wwwp.feb.unesp.br/pbastos)

Bauru/SP

Maio/2017

APRESENTAÇÃO

Esta apostila tem o objetivo de servir como notas de aula na disciplina

2323 – Estruturas de Concreto II, do curso de Engenharia Civil da Faculdade de Engenharia, da

Universidade Estadual Paulista – UNESP, Campus de Bauru/SP.

O texto apresenta parte das prescrições contidas na NBR 6118/2014 (“Projeto de estruturas de

concreto – Procedimento”) para o dimensionamento de pilares de Concreto Armado. O dimensionamento

dos pilares é feito com base nos métodos do pilar padrão com curvatura e rigidez aproximadas. Outros

métodos constantes da norma não são apresentados, e são estudados os pilares de seção retangular e

somente os de nós fixos (contraventados), com índice de esbeltez máximo até 90.

A apresentação do dimensionamento dos pilares é feita em função da classificação que os

individualiza em pilares intermediários, de extremidade e de canto. Vários exemplos numéricos estão

apresentados para cada um deles.

O item 2 (Cobrimento da Armadura) não é específico dos pilares, porém, foi inserido no texto

porque é muito importante no projeto, e contém alterações em relação à versão anterior da norma (2003).

No item 4 (Conceitos Iniciais) são apresentadas algumas informações básicas iniciais e os conceitos

relativos ao chamado “Pilar Padrão”, cujo modelo é utilizado pela NBR 6118 para a determinação

aproximada do momento fletor de segunda ordem. Por último são apresentados exemplos numéricos de

dimensionamento de pilares de um edifício baixo e com planta de fôrma simples.

O autor agradece aos estudantes que colaboraram no estudo dos pilares, Antonio Carlos de Souza

Jr., Caio Gorla Nogueira, João Paulo Pila D’Aloia, Rodrigo Fernando Martins, e ao técnico Éderson dos

Santos Martins, pela confecção de desenhos. Críticas e sugestões serão bem-vindas.

SUMÁRIO

1 INTRODUÇÃO ........................................................................................................................... 1 2 AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE ......................................................................................... 1 3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO ............................................................... 1 4 ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA .............................................................. 2 5 CONCEITOS INICIAIS .............................................................................................................. 4

5.1 Solicitações Normais ........................................................................................................... 4 5.2 Flambagem .......................................................................................................................... 4 5.3 Não-linearidade Física e Geométrica .................................................................................. 5 5.4 Equação da Curvatura de Elementos Fletidos ..................................................................... 6 5.5 Compressão Axial ............................................................................................................... 8 5.6 Pilar-Padrão ......................................................................................................................... 9

6 NOÇÕES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS ............................................... 11 6.1 Estruturas de Nós Fixos e Móveis ..................................................................................... 12 6.2 Elementos Isolados ............................................................................................................ 14

7 ÍNDICE DE ESBELTEZ ........................................................................................................... 14 8 EXCENTRICIDADES .............................................................................................................. 16

8.1 Excentricidade de 1a Ordem .............................................................................................. 16 8.2 Excentricidade Acidental................................................................................................... 16 8.3 Excentricidade de 2a Ordem .............................................................................................. 17 8.4 Excentricidade Devida à Fluência ..................................................................................... 18

9 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM ................................................ 19 9.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada ....................................................... 19 9.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez  Aproximada ....................................................... 21

10 SITUAÇÕES BÁSICAS DE PROJETO ............................................................................... 22 10.1 Pilar Intermediário ......................................................................................................... 22 10.2 Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 23 10.3 Pilar de Canto ................................................................................................................ 24

11 DETERMINAÇÃO DA SEÇÃO SOB O MÁXIMO MOMENTO FLETOR ...................... 25 12 SITUAÇÕES DE PROJETO E DE CÁLCULO ................................................................... 26

12.1 Pilar Intermediário ......................................................................................................... 27 12.2 Pilar de Extremidade ..................................................................................................... 27 12.3 Pilar de Canto ................................................................................................................ 28

13 CÁLCULO DA ARMADURA LONGITUDINAL COM AUXÍLIO DE ÁBACOS ........... 29 13.1 Flexão Composta Normal .............................................................................................. 29 13.2 Flexão Composta Oblíqua ............................................................................................. 30

14 RELAÇÃO ENTRE A DIMENSÃO MÍNIMA E O COEFICIENTE DE PONDERAÇÃO31 15 CÁLCULO DOS PILARES INTERMEDIÁRIOS ............................................................... 32

15.1 Roteiro de Cálculo ......................................................................................................... 32 15.2 Exemplos Numéricos..................................................................................................... 33

15.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 33 15.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 37

16 CÁLCULO DOS PILARES DE EXTREMIDADE .............................................................. 40 16.1 Roteiro de Cálculo ......................................................................................................... 40 16.2 Exemplos Numéricos..................................................................................................... 41

16.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 41 16.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 46 16.2.3 Exemplo 3 .................................................................................................................. 51 16.2.4 Exemplo 4 .................................................................................................................. 54

17 CÁLCULO DOS PILARES DE CANTO ............................................................................. 58

17.1 Roteiro de Cálculo ......................................................................................................... 58 17.2 Exemplos Numéricos..................................................................................................... 58

17.2.1 Exemplo 1 .................................................................................................................. 59 17.2.2 Exemplo 2 .................................................................................................................. 62 17.2.3 Exemplo 3 .................................................................................................................. 66

18 DISPOSIÇÕES CONSTRUTIVAS ...................................................................................... 70 18.1 Armadura Longitudinal de Pilares ................................................................................. 71

18.1.1 Diâmetro Mínimo ...................................................................................................... 71 18.1.2 Distribuição Transversal ............................................................................................ 71 18.1.3 Armadura Mínima e Máxima..................................................................................... 71 18.1.4 Detalhamento da Armadura ....................................................................................... 72 18.1.5 Proteção contra Flambagem ....................................................................................... 72

18.2 Armadura Transversal de Pilares ................................................................................... 73 18.3 Pilares-Parede ................................................................................................................ 74

19 ESTIMATIVA DA CARGA VERTICAL NO PILAR POR ÁREA DE INFLUÊNCIA ..... 74 20 PRÉ-DIMENSIONAMENTO DA SEÇÃO TRANSVERSAL DO PILAR ......................... 75 21 DIMENSIONAMENTO DE PILARES DE UMA EDIFICAÇÃO DE BAIXA ALTURA . 76

21.1 Pilar Intermediário P8.................................................................................................... 78 21.2 Pilar de Extremidade P5 ................................................................................................ 83 21.3 Pilar de Extremidade P6 ................................................................................................ 89 21.4 Pilar de Canto P1 ........................................................................................................... 94

UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado

1

1 INTRODUÇÃO

Pilares são “Elementos lineares de eixo reto, usualmente dispostos na vertical, em que as forças

normais de compressão são preponderantes.” (NBR 6118/20141, item 14.4.1.2).

Pilares-parede são “Elementos de superfície plana ou casca cilíndrica, usualmente dispostos na

vertical e submetidos preponderantemente à compressão. Podem ser compostos por uma ou mais

superfícies associadas. Para que se tenha um pilar-parede, em alguma dessas superfícies a menor

dimensão deve ser menor que 1/5 da maior, ambas consideradas na seção transversal do elemento

estrutural.” (item 14.4.2.4).

O dimensionamento dos pilares é feito em função dos esforços externos solicitantes de cálculo, que

compreendem as forças normais (Nd), os momentos fletores (Mdx e Mdy) e as forças cortantes (Vdx e Vdy) no

caso de ação horizontal.

A NBR 6118, na versão de 2003, fez modificações em algumas das metodologias de cálculo das

estruturas de Concreto Armado, como também em alguns parâmetros aplicados no dimensionamento e

verificação das estruturas. Especial atenção é dada à questão da durabilidade das peças de concreto.

Particularmente no caso dos pilares, a norma introduziu várias modificações, como no valor da

excentricidade acidental, um maior cobrimento de concreto, uma nova metodologia para o cálculo da

esbeltez limite relativa à consideração ou não dos momentos fletores de 2a ordem e, principalmente, com a

consideração de um momento fletor mínimo, que pode substituir o momento fletor devido à excentricidade

acidental. A versão de 2014 mantém essas prescrições, e introduziu que a verificação do momento fletor

mínimo pode ser feita comparando uma envoltória resistente, que englobe a envoltória mínima com 2ª

ordem.

No item 17.2.5 (“Processo aproximado para o dimensionamento à flexão composta oblíqua”) a

NBR 6118 apresenta um método simplificado para o projeto de pilares sob flexão composta normal e

oblíqua, que não será apresentado neste texto.

Os três itens seguintes (2,3 e 4) foram inseridos nesta apostila porque são muito importantes no

projeto de estruturas de concreto, especialmente o cobrimento da armadura pelo concreto.

2 AGRESSIVIDADE DO AMBIENTE

Segundo a NBR 6118 (item 6.4.1), “A agressividade do meio ambiente está relacionada às ações

físicas e químicas que atuam sobre as estruturas de concreto, independentemente das ações mecânicas,

das variações volumétricas de origem térmica, da retração hidráulica e outras previstas no

dimensionamento das estruturas.”

Nos projetos das estruturas correntes, a agressividade ambiental deve ser classificada de acordo

com o apresentado na Tabela 1 e pode ser avaliada, simplificadamente, segundo as condições de exposição

da estrutura ou de suas partes (item 6.4.2).

Conhecendo o ambiente em que a estrutura será construída, o projetista estrutural pode considerar

uma condição de agressividade maior que aquelas mostradas na Tabela 1.

3 QUALIDADE DO CONCRETO DE COBRIMENTO

Conforme a NBR 6118 (item 7.4), a “... durabilidade das estruturas é altamente dependente das

características do concreto e da espessura e qualidade do concreto do cobrimento da armadura.”

Ensaios comprobatórios de desempenho da durabilidade da estrutura frente ao tipo e classe de

agressividade prevista em projeto devem estabelecer os parâmetros mínimos a serem atendidos. Na falta

destes e devido à existência de uma forte correspondência entre a relação água/cimento e a resistência à

compressão do concreto e sua durabilidade, permite-se que sejam adotados os requisitos mínimos

expressos” na Tabela 2.

O concreto utilizado deve cumprir com os requisitos contidos na NBR 12655 e diversas outras

normas (item 7.4.3). Para parâmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 7.1 da NBR

6118.

1 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto de estruturas de concreto – Procedimento, NBR 6118. ABNT, 2014, 238p.

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2

Tabela 1 – Classes de agressividade ambiental – CAA.

(Tabela 6.1 da NBR 6118).

Classe de

agressividade

Ambiental

Agressividade

Classificação geral do

tipo de ambiente

para efeito de Projeto

Risco de deterioração da

estrutura

I FracaRural

InsignificanteSubmersa

II ModeradaUrbana1, 2Pequeno

III ForteMarinha1

GrandeIndustrial1, 2

IV Muito forteIndustrial1, 3

ElevadoRespingos de maré

NOTAS: 1) Pode-se admitir um microclima com uma classe de agressividade mais branda (uma classe

acima) para ambientes internos secos (salas, dormitórios, banheiros, cozinhas e áreas de serviço de

apartamentos residenciais e conjuntos comerciais ou ambientes com concreto revestido com

argamassa e pintura).

2) Pode-se admitir uma classe de agressividade mais branda (uma classe acima) em obras em regiões

de clima seco, com umidade média relativa do ar menor ou igual a 65 %, partes da estrutura

protegidas de chuva em ambientes predominantemente secos ou regiões onde raramente chove.

3) Ambientes quimicamente agressivos, tanques industriais, galvanoplastia, branqueamento em

indústrias de celulose e papel, armazéns de fertilizantes, indústrias químicas.

Tabela 2 – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e qualidade do Concreto Armado.

(Tabela 7.1 da NBR 6118).

Concreto Classe de agressividade ambiental (CAA)

I II III IV

Relação

água/cimento

em massa

≤ 0,65 ≤ 0,60 ≤ 0,55 ≤ 0,45

Classe de concreto

(NBR 8953) ≥ C20 ≥ C25 ≥ C30 ≥ C40

4 ESPESSURA DO COBRIMENTO DA ARMADURA

Define-se cobrimento de armadura a espessura da camada de concreto responsável pela proteção

da armadura num elemento. Essa camada inicia-se a partir da face mais externa da barra de aço e se

estende até a superfície externa do elemento em contato com o meio ambiente. Em vigas e pilares é comum

a espessura do cobrimento iniciar na face externa dos estribos da armadura transversal, como mostrado na

Figura 1.

nom

nom

Estribo

C

C

Figura 1 – Espessura do cobrimento da armadura pelo concreto.

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3

A NBR 6118 (item 7.4.7.1) define o cobrimento mínimo da armadura como “o menor valor que

deve ser respeitado ao longo de todo o elemento considerado.”

Para garantir o cobrimento mínimo (cmín), o projeto e a execução devem considerar o cobrimento

nominal (cnom), que é o cobrimento mínimo acrescido da tolerância de execução (c). As dimensões das armaduras e os espaçadores devem respeitar os cobrimentos nominais.

ccc mínnom  Eq. 1

Nas obras correntes o valor de c deve ser maior ou igual a 10 mm. Esse valor pode ser reduzido

para 5 mm quando “houver um controle adequado de qualidade e limites rígidos de tolerância da

variabilidade das medidas durante a execução” das estruturas de concreto, informado nos desenhos de

projeto.

A Tabela 3 (NBR 6118, item 7.4.7.2) apresenta valores de cobrimento nominal com tolerância de

execução (c) de 10 mm, em função da classe de agressividade ambiental.

Tabela 3 – Correspondência entre classe de agressividade ambiental e cobrimento nominal

para c = 10 mm (Tabela 7.2 da NBR 6118).

Tipo de

estrutura

Componente ou

elemento

Classe de agressividade ambiental (CAA)

I II III IV2

Cobrimento nominal (mm)

Concreto

Armado4

Laje1 20 25 35 45

Viga/Pilar 25 30 40 50

Elementos estruturais

em contato com o

solo3 30 40 50

Notas: 1) “Para a face superior de lajes e vigas que serão revestidas com argamassa de contrapiso, com revestimentos finais secos tipo carpete e madeira, com argamassa de revestimento e acabamento, como

pisos de elevado desempenho, pisos cerâmicos, pisos asfálticos e outros tantos, as exigências desta tabela

podem ser substituídas pelas de 7.4.7.5, respeitado um cobrimento nominal 15 mm.” 2) “Nas superfícies expostas a ambientes agressivos, como reservatórios, estações de tratamento de água e

esgoto, condutos de esgoto, canaletas de efluentes e outras obras em ambientes química e intensamente

agressivos, devem ser atendidos os cobrimentos da classe de agressividade IV.”

3) “No trecho dos pilares em contato com o solo junto aos elementos de fundação, a armadura deve ter

cobrimento nominal 45 mm.” 4) Para parâmetros relativos ao Concreto Protendido consultar a Tabela 7.2 da NBR 6118. “No caso de

elementos estruturais pré-fabricados, os valores relativos ao cobrimento das armaduras (Tabela 7.2)

devem seguir o disposto na ABNT NBR 9062.”2 (item 7.4.7.7).

Para concretos de classe de resistência superior ao mínimo exigido, os cobrimentos definidos na

Tabela 3 podem ser reduzidos em até 5 mm.

A NBR 6118 (itens 7.4.7.5 e 7.4.7.6) ainda estabelece que o cobrimento nominal de uma

determinada barra deve sempre ser:

nc

c

nfeixenom

barranom



 Eq. 2

A dimensão máxima característica do agregado graúdo (dmáx) utilizado no concreto não pode

superar em 20 % a espessura nominal do cobrimento, ou seja:

nommáx c2,1d  Eq. 3

2 ASSOCIAÇÃO BRASILEIRA DE NORMAS TÉCNICAS. Projeto e execução de estruturas de concreto pré-moldado. NBR

9062, ABNT, 2001, 36p.

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4

5 CONCEITOS INICIAIS

5.1 Solicitações Normais

Os pilares podem estar submetidos a forças normais e momentos fletores, gerando os seguintes

casos de solicitação:

a) Compressão Simples

A compressão simples também é chamada compressão centrada ou compressão uniforme. A

aplicação da força normal Nd é no centro geométrico (CG) da seção transversal do pilar, cujas tensões na

seção transversal são uniformes (Figura 2).

CG

N N

N

d d

d

Figura 2 – Solicitação de compressão simples ou uniforme.

b) Flexão Composta

Na flexão composta ocorre a atuação conjunta de força normal e momento fletor sobre o pilar. Há

dois casos:

- Flexão Composta Normal (ou Reta): existe a força normal e um momento fletor em uma direção,

tal que Mdx = e1x . Nd (Figura 3a);

- Flexão Composta Oblíqua: existe a força normal e dois momentos fletores, relativos às duas

direções principais do pilar, tal que M1d,x = e1x . Nd e M1d,y = e1y . Nd (Figura 3b).

e x x

y y

N

N

d

d

e1x 1xe

e1y

a) normal; b) oblíqua.

Figura 3 – Tipos de flexão composta.

5.2 Flambagem

Flambagem pode ser definida como o “deslocamento lateral na direção de maior esbeltez, com

força menor do que a de ruptura do material” ou como a “instabilidade de peças esbeltas comprimidas”. A

UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado

5

ruína por efeito de flambagem é repentina e violenta, mesmo que não ocorram acréscimos bruscos nas

ações aplicadas.

Uma barra comprimida feita por alguns tipos de materiais pode resistir a cargas substancialmente

superiores à carga crítica (Ncrít), o que significa que a flambagem não corresponde a um estado-limite

último. No entanto, para uma barra comprimida de Concreto Armado, a flambagem caracteriza um estado-

limite último.

5.3 Não-linearidade Física e Geométrica

No dimensionamento de alguns elementos estruturais, especialmente os pilares, é importante

considerar duas linearidades que ocorrem, uma relativa ao material concreto e outra relativa à geometria do

pilar.

a) não-linearidade física

Quando o material não obedece à Lei de Hooke, como materiais com diagramas  x  mostrados

na Figura 4b e Figura 4c. A Figura 4a e a Figura 4d mostram materiais onde há linearidade física.

O concreto simples apresenta comportamento elastoplástico em ensaios de compressão simples,

com um trecho inicial linear até aproximadamente 0,3fc .

= E(HOOKE)



a) elástico linear



C AR

G A

DESCARGA

RUPTURA

b) elástico não-linear

C A R G A



RUPTURA

D E S C

A R

G A

(CONCRETO)

c) elastoplástico



d) elastoplástico ideal

Figura 4 – Diagramas x de alguns materiais.

b) não-linearidade geométrica

Ocorre quando as deformações provocam esforços adicionais que precisam ser considerados no

cálculo, gerando os chamados esforços de segunda ordem, como o momento fletor M = F . a (Figura 5).

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6

F

a) posição inicial

y

F

r

a

y

x

b) posição final

Figura 5 – Não-linearidade geométrica originando esforços de segunda ordem.

5.4 Equação da Curvatura de Elementos Fletidos

O deslocamento local de 2a ordem é aquele que ocorre em um lance3 do pilar, como os

deslocamentos horizontais da barra indicada na Figura 5b. A NBR 6118 comumente usa os termos “efeitos

locais de 2a ordem”, onde, entre outros, o principal efeito é o momento fletor de segunda ordem (M2),

gerado a partir do deslocamento lateral da barra, igual a F . a no caso da barra da Figura 5b.

A determinação dos efeitos locais de 2a ordem em barras comprimidas pode ser feita por métodos

aproximados, entre eles o do pilar-padrão com curvatura aproximada, como preconizado na NBR 6118

(item 15.8.3.3.2). Com o intuito de subsidiar o entendimento do pilar-padrão, apresentado adiante, e da

expressão para cálculo do momento fletor de 2a ordem, apresenta-se agora a equação da curvatura de

elementos fletidos.4

Considerando a Lei de Hooke ( = E . ), a equação da curvatura de peças fletidas, como aquela

mostrada na Figura 6, tem a seguinte dedução:

dx

dx 

Edx

dx  

 Eq. 4

Aplicando y I

M  na Eq. 4 fica:

y IE

M

dx

dx 

  dx

IE

M

y

dx 

O comprimento dx pode ser escrito: dx = r d

dx IE

M

y

dx

r

dx d 

  Eq. 5

3 Lance é a parte (comprimento) de um pilar relativa ao trecho entre dois pavimentos de uma edificação. 4 A equação da curvatura é geralmente estudada na disciplina Resistência dos Materiais.

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7

Rearranjando os termos da Eq. 5 chega-se a equação da curvatura:

IE

M

r

1

dx

d 

 Eq. 6

x

v

y > 0

dx

dx + dx

1

2

r

Figura 6 – Curvatura de uma peça fletida.

Do cálculo diferencial tem-se a expressão exata da curvatura (linha elástica):

2/3 2

2

2

dx

dy 1

dx

yd

r

1

 

 

  

  

 

 Eq. 7

Para pequenos deslocamentos (pequena inclinação) tem-se

2

dx

dy  

  

 << 1, o que leva a:

2

2

dx

yd

r

1  Eq. 8

Juntando a Eq. 6 e a Eq. 8 encontra-se a equação aproximada para a curvatura:

IE

M

dx

yd

r

1 2

2

 Eq. 9

A relação existente entre a curvatura e as deformações nos materiais (concreto e aço) da barra,

considerando-se a lei de Navier ( = y . 1/r), como mostrado na Figura 7, é:

hr

1 21   Eq. 10

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8

s

1

 2 c

1/r



h d

Figura 7 – Relação entre as deformações nos materiais e a curvatura.

Para o Concreto Armado a Eq. 10 torna-se:

dr

1 cs   Eq. 11

com: s = deformação na armadura tracionada;

c = deformação no concreto comprimido;

d = altura útil da peça.

A NBR 6118 aplica esta equação no cálculo do momento fletor de 2a ordem (M2), com as

deformações s e c substituídas por valores numéricos (ver Eq. 19).

5.5 Compressão Axial

Este item apresenta a dedução da equação simplificada da curvatura de uma barra comprimida (Eq.

16), necessária ao dimensionamento de pilares.

Considere a barra comprimida como mostrada na Figura 8. Como definida na Eq. 8, a equação

simplificada da curvatura é:

2

2

dx

yd

r

1 

y

F

r

a

y

x

Figura 8 – Curvatura de uma barra comprimida engastada na base e livre no topo.

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9

O momento fletor externo solicitante é Mext = F . y. Considerando a Eq. 9 ( IE

M

dx

yd 2

2

 ), com

material elástico linear, e fazendo o equilíbrio entre o momento fletor externo e o momento fletor interno

(Mext = Mint) tem-se:

yky IE

F

dx

yd 2 2

2

  0yk dx

yd 2 2

2



com k2 = F/EI.

A solução geral para a equação diferencial tem a forma:

y = C1 sen k x + C2 cos k x Eq. 12

As condições de contorno para definição das constantes C1 e C2 são:

a) para x = 0  y = 0  C1 . 0 + C2 . 1 = 0   C2 = 0

A Eq. 12 simplifica-se para:

y = C1 sen k x Eq. 13

b) para x =   0 dx

dy 

0kcosCkxkcosCk dx

dy 1x1

x

 

 

Eq. 14

Para barra fletida, a constante C1 na Eq. 14 deve ser diferente de zero, o que leva a:

cos k  = 0  k  = /2  k = /2

A Eq. 13 toma a forma:

x 2

senCy 1 

  Eq. 15

Para x = , o deslocamento y é igual ao valor a (ver Figura 8). Portanto, aplicando a Eq. 15:

a 2

senCy 1  

 , donde resulta que C1 = a.

Sendo 2 = e (e = comprimento de flambagem) e com a determinação da constante C1 , define-se a equação simplificada para a curvatura da barra comprimida:

e

x senay 

  Eq. 16

5.6 Pilar-Padrão

O pilar-padrão é uma simplificação do chamado “Método Geral”5, o qual “Consiste na análise não

linear de 2a ordem efetuada com discretização adequada da barra, consideração da relação momento-

curvatura real em cada seção e consideração da não linearidade geométrica de maneira não aproximada.

O método geral é obrigatório para λ > 140.” (NBR 6118, 15.8.3.2).

5 O Método Geral não é geralmente estudado em profundidade em curso de graduação.

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10

O pilar-padrão é uma barra engastada na base e livre no topo, com uma curvatura conhecida

(Figura 9). É importante salientar que o método do pilar-padrão é aplicável somente a pilares de seção

transversal constante e armadura constante em todo o comprimento do pilar.

A verificação da segurança é feita arbitrando-se deformações c e s tais que não ocorra o estado limite último de ruptura ou alongamento plástico excessivo na seção mais solicitada da peça.” (FUSCO,

1981).

x

y

Nd

e2

Figura 9 – Pilar-padrão.

Como simplificação a linha elástica pode ser tomada pela função senoidal definida na Eq. 16, onde

a é considerada igual a e2 (deformação de 2a ordem), conforme mostrado na Figura 9:

e 2

x seney 

 

A primeira e a segunda derivada da equação fornecem:

xcose dx

dy

ee 2



 

y x

sene dx

yd 2

e

2

e 2

2

e 2

2



 

  

 

  

Considerando a Eq. 8 ( 2

2

dx

yd

r

1  ), da segunda derivada surge o valor para y em função da curvatura

1/r:

r

1 y

dx

yd 2

e

2

2

2

   

 r

1 y

2

2 e

  

Tomando y como o máximo deslocamento e2 tem-se:

r

1 e

2

2 e

2 

 

Com 2  10 e sendo 1/r relativo à seção crítica (base), o deslocamento no topo da barra é:

base

2 e

2 r

1

10 e 

  

  

Eq. 17

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11

O deslocamento máximo e2 é chamado “excentricidade de 2a ordem” e será considerado no

dimensionamento dos pilares, como se verá adiante. Devido à excentricidade local e2 surge o momento

fletor de segunda ordem:

M2d = Nd . e2 = base

2 e

d r

1

10 N 

  

 Eq. 18

Tomando a Eq. 11, o aço CA-50, γs = 1,15 e εc = 3,5 ‰ = 0,0035, pode-se determinar o valor da

curvatura 1/r na base (seção crítica) do pilar-padrão:

dr

1 cs   =

d

00557,0

d

0035,000207,0

d

0035,0 21000

15,1/50

d

0035,0 E

f

s

yd

 

A NBR 6118 (item 15.8.3.3.2) toma uma expressão aproximada para a curvatura na base, como:

  h 005,0

5,0h

005,0

r

1 

  Eq. 19

com  (ni) sendo um valor adimensional relativo à força normal (Nd):

cdc

d

fA

N  Eq. 20

onde: h = altura da seção na direção considerada;

Ac = área da seção transversal;

fcd = resistência de cálculo do concreto à compressão (fck/c).

Aplicando a Eq. 19 na Eq. 18 tem-se o máximo momento fletor de segunda ordem local, a ser

aplicado no dimensionamento de pilares pelo método do pilar-padrão com curvatura aproximada:

 

  

 

5,0h

005,0

10 NM

2 e

dd2

 Eq. 21

6 NOÇÕES DE CONTRAVENTAMENTO DE ESTRUTURAS

Os edifícios devem ser projetados de modo a apresentarem a necessária estabilidade às ações

verticais e horizontais, ou seja, devem apresentar a chamada “estabilidade global”. Os pilares são os

elementos destinados à estabilidade vertical, porém, é necessário projetar outros elementos mais rígidos

que, além de também transmitirem as ações verticais, deverão garantir a estabilidade horizontal do edifício

à ação do vento e de sismos (quando existirem). Ao mesmo tempo, são esses elementos mais rígidos que

garantirão a indeslocabilidade dos nós dos pilares menos rígidos.

Com essas premissas classificam-se os elementos verticais dos edifícios em elementos de

contraventamento e elementos (pilares) contraventados.

Define-se o sistema de contraventamento como “o conjunto de elementos que proporcionarão a

estabilidade horizontal do edifício e a indeslocabilidade ou quase-indeslocabilidade dos pilares

contraventados”, que são aqueles que não fazem parte do sistema de contraventamento. A NBR 6118 (item

15.4.3) diz que, “Por conveniência de análise, é possível identificar, dentro da estrutura, subestruturas

que, devido à sua grande rigidez a ações horizontais, resistem à maior parte dos esforços decorrentes

dessas ações. Essas subestruturas são chamadas subestruturas de contraventamento. Os elementos que

não participam da subestrutura de contraventamento são chamados elementos contraventados.

Os elementos de contraventamento são constituídos por pilares de grandes dimensões (pilares-

parede ou simplesmente paredes estruturais), por treliças ou pórticos de grande rigidez, núcleos de rigidez,

etc., como mostrados na Figura 10.

UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado

12

As lajes dos diversos pavimentos do edifício também podem participar da estabilidade horizontal,

ao atuarem como elementos de rigidez infinita no próprio plano (o que se chama diafragma rígido),

fazendo a ligação entre elementos de contraventamento formados por pórticos, por exemplo.

Segundo SÜSSEKIND (1984, p. 175), “Toda estrutura, independentemente do número de andares

e das dimensões em planta, deve ter seu sistema de contraventamento estudado e adequadamente

dimensionado.”

Pilares ou Elementos de Contraventamentos

Pilares Contraventados

Figura 10 – Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).

6.1 Estruturas de Nós Fixos e Móveis

No item 15.4.2 a NBR 6118 define o que são, para efeito de cálculo, estruturas de nós fixos e de

nós móveis. A Figura 12 e a Figura 13 ilustram os tipos.

a) Estruturas de nós fixos

São aquelas “quando os deslocamentos horizontais dos nós são pequenos e, por decorrência, os

efeitos globais de 2a ordem são desprezíveis (inferiores a 10 % dos respectivos esforços de 1a ordem),

Nessas estruturas, basta considerar os efeitos locais e localizados de 2a ordem.”

No item 15.4.1 a NBR 6118 apresenta definições de efeitos globais, locais e localizados de 2a

ordem: “Sob a ação das cargas verticais e horizontais, os nós da estrutura deslocam-se horizontalmente.

Os esforços de 2a ordem decorrentes desses deslocamentos são chamados efeitos globais de 2a ordem. Nas

barras da estrutura, como um lance de pilar, os respectivos eixos não se mantêm retilíneos, surgindo aí

efeitos locais de 2a ordem que, em princípio, afetam principalmente os esforços solicitantes ao longo delas.

Em pilares-parede (simples ou compostos) pode-se ter uma região que apresenta não retilinidade

maior do que a do eixo do pilar como um todo. Nessas regiões surgem efeitos de 2a ordem maiores,

chamados de efeitos de 2a ordem localizados (ver Figura 15.3). O efeito de 2a ordem localizado, além de

aumentar nessa região a flexão longitudinal, aumenta também a flexão transversal, havendo a necessidade

de aumentar a armadura transversal nessas regiões.” (ver Figura 11).

Figura 11 – Efeitos de 2a ordem localizados (NBR 6118).

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13

b) Estruturas de nós móveis

São “aquelas onde os deslocamentos horizontais não são pequenos e, em decorrência, os efeitos

globais de 2a ordem são importantes (superiores a 10 % dos respectivos esforços de 1a ordem). Nessas

estruturas devem ser considerados tanto os esforços de 2a ordem globais como os locais e localizados.”

As subestruturas de contraventamento podem ser de nós fixos ou de nós móveis, de acordo com as

definições acima (Figura 12).

Para verificar se a estrutura está sujeita ou não a esforços globais de 2a ordem, ou seja, se a

estrutura pode ser considerada como de nós fixos, lança-se mão do cálculo do parâmetro de instabilidade 

(NBR 6118, item 15.5.2) ou do coeficiente z (item 15.5.3). Esses coeficientes serão estudados na

disciplina Estruturas de Concreto IV.

Para mais informações sobre a estabilidade global dos edifícios devem ser consultados FUSCO

(2000) e SÜSSEKIND (1984).

Pilares

Contraventados Elementos de Contraventamento

nós móveis nós fixos

Figura 12 – Pilares contraventados e elementos de contraventamento (FUSCO, 1981).

a) Estrutura deslocável b) Estrutura indeslocável

Figura 13 – Estruturas de nós fixos e móveis (FUSCO, 1981).

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14

6.2 Elementos Isolados

A NBR 6118 (item 15.4.4) define que são “considerados elementos isolados os seguintes:

a) elementos estruturais isostáticos;

b) elementos contraventados;

c) elementos que fazem parte de estruturas de contraventamento de nós fixos;

d) elementos das subestruturas de contraventamento de nós móveis, desde que, aos esforços nas

extremidades, obtidos em uma análise de 1a ordem, sejam acrescentados os determinados por análise

global de 2a ordem.”

Nesta apostila são apresentados somente os chamados elementos (pilares) contraventados.

7 ÍNDICE DE ESBELTEZ

O índice de esbeltez é a razão entre o comprimento de flambagem e o raio de giração, nas direções

a serem consideradas (NBR 6118, 15.8.2):

i

e Eq. 22

com o raio de giração sendo: A

I i 

Para seção retangular o índice de esbeltez é:

h

3,46 e Eq. 23

onde: e = comprimento de flambagem; i = raio de giração da seção geométrica da peça (seção transversal de concreto, não se

considerando a presença de armadura);

I = momento de inércia;

A = área da seção;

h = dimensão do pilar na direção considerada.

O comprimento de flambagem de uma barra isolada depende das vinculações na base e no topo,

conforme os esquemas mostrados na Figura 14.

EngasteA. Simples

A. Simples

A. Simples

Engaste

Engaste

E. Elástico

E. Elástico

E. Móvel Livre

F F F

F

e = 0,7 L e = 0,5 L

e 0,5 L <  < L e  = 2 L = Le

F

B

A A

B

A

B

A

B

B

A

L

Figura 14 – Comprimento de flambagem.

Em função do índice de esbeltez máximo, os pilares podem ser classificados como:

a) Curto: se   35; Eq. 24

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15

b) Médio: se 35 <   90;

c) Medianamente esbelto: se 90 <   140;

d) Esbelto: se 140 <   200.

Os pilares curtos e médios representam a grande maioria dos pilares das edificações. Os pilares

medianamente esbeltos e esbeltos são muito menos frequentes.

Em edifícios, a linha deformada dos pilares contraventados apresenta-se como mostrada na Figura

15a. Uma simplificação pode ser feita como indicada na Figura 15b.

1

2

FUNDAÇÃO

1° TETO

2° TETO

n° TETO

n 2° TETO

1° TETO

FUNDAÇÃO

n

n° TETO

() e n

  2e

 23 1e

2

1

a) situação real; b) situação simplificada.

Figura 15 – Situação real e simplificada de pilares contraventados de edifícios (SÜSSEKIND, 1984).

Nas estruturas de nós fixos, o cálculo pode ser realizado considerando cada elemento

comprimido isoladamente, como barra vinculada nas extremidades aos demais elementos estruturais que

ali concorrem, onde se aplicam os esforços obtidos pela análise da estrutura efetuada segundo a teoria de

1a ordem.” (NBR 6118, 15.6). Para casos de determinação do comprimento de flambagem mais complexos

recomenda-se a leitura de SÜSSEKIND (1984, v.2).

Assim, o comprimento equivalente (e), de flambagem, “do elemento comprimido (pilar), suposto vinculado em ambas as extremidades, deve ser o menor dos seguintes valores: (Figura 16)

     

 

ho e Eq. 25

h

h+

Figura 16 – Valores de o e .

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16

com: o = distância entre as faces internas dos elementos estruturais, supostos horizontais, que vinculam o pilar;

h = altura da seção transversal do pilar, medida no plano da estrutura em estudo;

= distância entre os eixos dos elementos estruturais aos quais o pilar está vinculado.

8 EXCENTRICIDADES

Neste item são apresentadas outras excentricidades além da excentricidade de 2a ordem, que

podem ocorrer no dimensionamento dos pilares: excentricidade de 1a ordem, excentricidade acidental e

excentricidade devida à fluência.

8.1 Excentricidade de 1a Ordem

A excentricidade de 1a ordem (e1) é devida à possibilidade de ocorrência de momentos fletores

externos solicitantes, que podem ocorrer ao longo do comprimento do pilar, ou devido ao ponto teórico de

aplicação da força normal não estar localizado no centro de gravidade da seção transversal, ou seja,

existência da excentricidade inicial a, como indicada na Figura 17.

Considerando a força normal N e o momento fletor M (independente de N), a Figura 17 mostra os

casos possíveis de excentricidade de 1a ordem.

N suposta

centrada e M = 0

N suposta aplicada à

distância a do CG, M = 0

N suposta

centrada

N suposta aplicada à

distância a do CG

1e = a M

e = 1 e = a +1

M

1 e = 0

a

a

MM

y y y y

x x x x

NN

N

N

N

N

Figura 17 – Casos de excentricidade de 1a ordem.

8.2 Excentricidade Acidental

No caso do dimensionamento ou verificação de um lance de pilar, dever ser considerado o efeito

do desaprumo ou da falta de retilinidade do eixo do pilar [...]. Admite-se que, nos casos usuais de

estruturas reticuladas, a consideração apenas da falta de retilinidade ao longo do lance de pilar seja

suficiente.” (NBR 6118, 11.3.3.4.2). A imperfeição geométrica pode ser avaliada pelo ângulo 1 :

H100

1 1  Eq. 26

com: H = altura do lance, em metro, conforme mostrado na Figura 18;

1mín = 1/300 para estruturas reticuladas e imperfeições locais;

máx1 = 1/200

A excentricidade acidental para um lance do pilar resulta do ângulo 1 :

2

H e 1a  Eq. 27

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17

 H

pilar de

contraventamento pilar

contraventado

H i/2

ea

ea

1

1 1 1 i

elemento de

travamento

a) Elementos de travamento b) Falta de retilinidade c) Desaprumo do pilar

(tracionado ou comprimido) no pilar

Figura 18 – Imperfeições geométricas locais.

8.3 Excentricidade de 2a Ordem

A análise global de 2a ordem fornece apenas os esforços nas extremidades das barras, devendo

ser realizada uma análise dos efeitos locais de 2a ordem ao longo dos eixos das barras comprimidas, de

acordo com o prescrito em 15.8. Os elementos isolados, para fins de verificação local, devem ser

formados pelas barras comprimidas retiradas da estrutura, com comprimento e , de acordo com o estabelecido em 15.6, porém aplicando-se às suas extremidades os esforços obtidos através da análise

global de 2a ordem.” (NBR 6118, item 15.7.4).

Conforme a NBR 6118 (15.8.2), “Os esforços locais de 2a ordem em elementos isolados podem ser

desprezados quando o índice de esbeltez for menor que o valor-limite 1 [...]. O valor de 1 depende de diversos fatores, mas os preponderantes são:

- a excentricidade relativa de 1a ordem e1 /h na extremidade do pilar onde ocorre o momento de 1 a ordem

de maior valor absoluto;

- a vinculação dos extremos da coluna isolada;

- a forma do diagrama de momentos de 1a ordem.

O valor-limite 1 é:

b

1

1 h

e 5,1225

 Eq. 28

com: 35 ≤ λ1 ≤ 90,

onde: e1 = excentricidade de 1a ordem (não inclui a excentricidade acidental ea);

h/e1 = excentricidade relativa de 1 a ordem.

No item 15.8.1 da NBR 6118 encontra-se que o pilar deve ser do tipo isolado, e de seção e

armadura constantes ao longo do eixo longitudinal, submetidos à flexo-compressão. “Os pilares devem ter

índice de esbeltez menor ou igual a 200 (λ ≤ 200). Apenas no caso de elementos pouco comprimidos com

força normal menor que 0,10fcd Ac , o índice de esbeltez pode ser maior que 200. Para pilares com índice

de esbeltez superior a 140, na análise dos efeitos locais de 2a ordem, devem-se multiplicar os esforços

solicitantes finais de cálculo por um coeficiente adicional γn1 = 1 + [0,01(λ – 140)/1,4].

O valor de b deve ser obtido conforme estabelecido a seguir (NBR 6118, 15.8.2):

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18

a) para pilares biapoiados sem cargas transversais:

4,0 M

M 4,06,0

A

B b  Eq. 29

sendo: 0,4 ≤ b ≤ 1,0

MA e MB são os momentos de 1 a ordem nos extremos do pilar, obtidos na análise de 1a ordem no

caso de estruturas de nós fixos e os momentos totais (1a ordem + 2a ordem global) no caso de estruturas

de nós móveis. Deve ser adotado para MA o maior valor absoluto ao longo do pilar biapoiado e para MB o

sinal positivo, se tracionar a mesma face que MA , e negativo, em caso contrário.

b) para pilares biapoiados com cargas transversais significativas ao longo da altura:

1b 

c) para pilares em balanço:

85,0 M

M 2,08,0

A

C b  Eq. 30

sendo: 0,85 ≤ b ≤ 1,0,

MA = momento de 1a ordem no engaste;

MC = momento de 1a ordem no meio do pilar em balanço.

d) para pilares biapoiados ou em balanço com momentos menores que o momento mínimo estabelecido em

11.3.3.4.3:

1b 

O fator b consta do ACI 318 (1995) com a notação Cm (item 10.12.3.1). Porém, ao contrário da

NBR 6118, que também considera a excentricidade relativa e1/h, tanto o ACI como o Eurocode 2 (1992) e

o MC-90 (1990) do CEB, calculam a esbeltez limite em função da razão entre os momentos fletores ou

entre as excentricidades nas extremidades do pilar.

8.4 Excentricidade Devida à Fluência

A consideração da fluência deve obrigatoriamente ser realizada em pilares com índice de

esbeltez > 90 e pode ser efetuada de maneira aproximada, considerando a excentricidade adicional ecc dada a seguir:” (NBR 6118, 15.8.4)

  

  

  

 

 

1718,2e N

M e sge

sg

NN

N

a sg

sg cc Eq. 31

2 e

cci e

IE10 N

  Eq. 32

onde: ea = excentricidade devida a imperfeições locais;

Msg e Nsg = esforços solicitantes devidos à combinação quase permanente;

 = coeficiente de fluência;

Eci = módulo de elasticidade tangente;

Ic = momento de inércia;

e = comprimento de flambagem.

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19

9 DETERMINAÇÃO DOS EFEITOS LOCAIS DE 2a ORDEM

De acordo com a NBR 6118 (15.8.3), o cálculo dos efeitos locais de 2a ordem pode ser feito pelo

Método Geral ou por métodos aproximados. O Método Geral é obrigatório para elementos com  > 140.

A norma apresenta diferentes métodos aproximados, sendo eles: método do pilar-padrão com

curvatura aproximada (item 15.8.3.3.2), método do pilar-padrão com rigidez aproximada (15.8.3.3.3), método do pilar-padrão acoplado a diagramas M, N, 1/r (15.8.3.3.4) e método do pilar-padrão para

pilares de seção retangular submetidos à flexão composta oblíqua (15.8.3.3.5). Serão agora apresentados

os métodos do pilar-padrão com curvatura aproximada e com rigidez aproximada, que são simples de

serem aplicados no dimensionamento. O pilar-padrão foi apresentado no item 5.6.

9.1 Método do Pilar-Padrão com Curvatura Aproximada

Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.2), o método pode ser “empregado apenas no cálculo de pilares

com λ ≤ 90, com seção constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não

linearidade geométrica é considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da barra seja

senoidal. A não linearidade física é considerada através de uma expressão aproximada da curvatura na

seção crítica.”

A equação senoidal para a linha elástica foi definida na Eq. 16, que define os valores para a

deformação de 2a ordem (e2) ao longo da altura do pilar. A não linearidade física com a curvatura

aproximada foi apresentada na Eq. 11 e na Eq. 19.

O momento fletor total máximo no pilar deve ser calculado com a expressão:

A,d1

2 e

dA,d1btot,d M r

1

10 NMM  

Eq. 33

onde: b = parâmetro definido no item 8.3;

Nd = força normal solicitante de cálculo;

e = comprimento de flambagem. 1/r = curvatura na seção crítica, avaliada pela expressão aproximada (Eq. 19):

h

005,0

)5,0(h

005,0

r

1 

 

A força normal adimensional () foi definida na Eq. 20:

cdc

d

f.A

N 

Embora o item 15.8.3.3.2 da versão de 2014 da NBR 6118, diferentemente da versão de 2003, não

apresente diretamente, pode-se também considerar que:

M1d,A  M1d,mín

Md,tot  M1d,mín

com: M1d,A = valor de cálculo de 1a ordem do momento MA , como definido no item 8.3;

M1d,mín = momento fletor mínimo como definido a seguir;

Ac = área da seção transversal do pilar;

fcd = resistência de cálculo à compressão do concreto (fcd = fck /c);

h = dimensão da seção transversal na direção considerada.

Na versão de 2003, a NBR 6118 introduziu um parâmetro novo no cálculo dos pilares: o momento

fletor mínimo, o qual consta no código ACI 318 (1995) como equação 10-15 e: “a esbeltez é levada em

consideração aumentando-se os momentos fletores nos extremos do pilar. Se os momentos atuantes no

UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado

20

pilar são muito pequenos ou zero, o projeto de pilares esbeltos deve se basear sobre uma excentricidade

mínima”, dada pelo momento fletor mínimo.

Na versão de 2014 da NBR 6118 (11.3.3.4.3), como na versão de 2003, consta que o “efeito das

imperfeições locais nos pilares e pilares-parede pode ser substituído, em estruturas reticuladas, pela

consideração do momento mínimo de 1a ordem dado a seguir” (item 11.3.3.4.3):

)h03,0015,0(NM dmín,d1  Eq. 34

com h sendo a altura total da seção transversal na direção considerada, em metro (m).

Nas estruturas reticuladas usuais admite-se que o efeito das imperfeições locais esteja atendido

se for respeitado esse valor de momento total mínimo. A este momento devem ser acrescidos os momentos

de 2a ordem definidos na Seção 15.” Portanto, ao se considerar o momento fletor mínimo pode-se

desconsiderar a excentricidade acidental (ea – ver Figura 18) ou o efeito das imperfeições locais.

O momento fletor total máximo deve ser calculado para cada direção principal do pilar. Ele leva

em conta que, numa seção intermediária onde ocorre a excentricidade máxima de 2a ordem, o momento

fletor máximo de 1a ordem seja corrigido pelo fator b . Isto é semelhante ao que se encontra no item 7.5.4

de FUSCO (1981), com a diferença de que novos parâmetros foram estabelecidos para b . Se o momento

fletor de 1a ordem for nulo ou menor que o mínimo, então o momento fletor mínimo, constante na altura do

pilar, deve ser somado ao momento fletor de 2a ordem.

Ainda no item 11.3.3.4.3 da NBR 6118: “Para pilares de seção retangular, pode-se definir uma

envoltória mínima de 1ª ordem, tomada a favor da segurança,” conforme mostrado na Figura 19.

1 M

M

M

M 2

yy,mín,d1

y,mín,d1

2

xx,mín,d1

x,mín,d1 

 

 

 

 

 

 Eq. 35

M1d,mín,xx = Nd (0,015 + 0,03h)

M1d,mín,yy = Nd (0,015 + 0,03b)

sendo: M1d,mín,xx e M1d,mín,yy = componentes em flexão composta normal;

M1d,mín,x e M1d,mín,y = componentes em flexão composta oblíqua.

Figura 19 – Envoltória mínima de 1ª ordem (NBR 6118).

Neste caso, a verificação do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no

dimensionamento adotado, obtém-se uma envoltória resistente que englobe a envoltória mínima de 1ª

ordem. Quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem em alguma das direções do

pilar, a verificação do momento mínimo deve considerar ainda a envoltória mínima com 2ª ordem,

conforme 15.3.2.”

UNESP, Bauru/SP – Pilares de Concreto Armado

21

No item 15.3.2 a norma reapresenta o diagrama da Figura 19, mas com a envoltória mínima

acrescida dos efeitos da 2a ordem, e mostrando também a envoltória resistente (Figura 20). “Para pilares

de seção retangular, quando houver a necessidade de calcular os efeitos locais de 2ª ordem, a verificação

do momento mínimo pode ser considerada atendida quando, no dimensionamento adotado, obtém-se uma

envoltória resistente que englobe a envoltória mínima com 2ª ordem, cujos momentos totais são calculados

a partir dos momentos mínimos de 1ª ordem e de acordo com item 15.8.3. A consideração desta envoltória

mínima pode ser realizada através de duas análises à flexão composta normal, calculadas de forma

isolada e com momentos fletores mínimos de 1ª ordem atuantes nos extremos do pilar, nas suas direções

principais.

Figura 20 – Envoltória mínima com 2ª ordem (NBR 6118).

9.2 Método do Pilar-Padrão com Rigidez Aproximada

Conforme a NBR 6118 (15.8.3.3.3), o método pode ser “empregado apenas no cálculo de pilares

com λ ≤ 90, com seção retangular constante e armadura simétrica e constante ao longo de seu eixo. A não

linearidade geométrica deve ser considerada de forma aproximada, supondo-se que a deformação da

barra seja senoidal. A não linearidade física deve ser considerada através de uma expressão aproximada

da rigidez.

O momento total máximo no pilar deve ser calculado a partir da majoração do momento de 1a

ordem pela expressão: ”

A,d12

A,d1b tot,Sd M

/120 1

M M 



 

 

Eq. 36

sendo o valor da rigidez adimensional κ dado aproximadamente pela expressão:

  

   

 

d

tot,Rd aprox

N.h

M 5132 Eq. 37

Em um processo de dimensionamento, toma-se MRd,tot = MSd,tot . Em um processo de verificação,

onde a armadura é conhecida, MRd,tot é o momento resistente calculado com essa armadura e com Nd = NSd

= NRd .

As variáveis h, , M1d,A e b são as mesmas definidas anteriormente. A variável  representa o

índice de esbeltez e  o coeficiente adimensional relativo à força normal (Eq. 20).

Substituindo a Eq. 37 na Eq. 36 obtém-se uma equação do 2o grau útil para calcular diretamente o

valor de MSd,tot , sem a necessidade de se fazer iterações:

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