Exercícios comentados boldrini, Exercícios de Geometria Analítica e Álgebra Linear

Baixe Exercícios comentados boldrini e outras Exercícios em PDF para Geometria Analítica e Álgebra Linear, somente na Docsity! Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Exercícios Comentados de rÉlgetra Linear (Bolerine. Costa. Figueiredo e Wetstor, 3º ed. 1950) 7.1 Base de Autovetores 7.2 Polinômio Minimal 7.3 Diagonalização Simultânea de Dois Operadores 7.4 Forma de Jordan 7.5 Exercicios 88s Resultados abordados no capítulo 07 Teorema 7.1.1: Autovetores associados a autovalores distintos são linearmente independentes (LD. Corolário 7.1.2: Se V é um espaço vetorial de dimensão n e T:V sV é um operador linear que possui n autovalores distintos, então V possui uma base cujos vetores são todos autovetores de 7. Definição 7.1.4: Seja T:V —»V um operador linear. Dizemos que 7 é um operador diagonalizável se existe uma base de V' cujos elementos são autovetores de T. Definição 7.2.1: Seja p(x)= a,x"+...+ax+ a, um polinômio e A uma matriz quadrada. Então p(4) é a matriz Aa A+. +aA+ra. Quando p(4)=0, dizemos que o polinômio p anula a matriz A. professorrui(Qhotmail. com Página 1 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Definição 7.2.2: Seja 4 uma matriz quadrada. O polinômio minimal de 4 é um polinômio m(x) =x*+a, x! +...+aç tal que: 1) m(4)=0, isto é, m(x) anula a matriz 4. ii) m(x) é o polinômio de menor grau entre aqueles que anulam A. Obs: O coeficiente do termo de maior grau é 1. Teorema 7.2.3: Sejam T:V —>V um operador linear e « uma base qualquer de V de dimensão n. Então T é diagonalizável se, e somente se o polinômio minimal de [7 É é da forma m(o)=(x-A)(x- 2, )--(x-2,) com 4, 2,,..., À, distintos. Obs: Podem existir autovalores com mais de um autovetor associados. Teorema 7.2.4 (de Cayley-Hamilton): Seja T:V >V um operador linear, « uma base de Ve p(x) o polinômio característico de T. Então p(tri) =0. Obs: Isto significa que o polinômio característico é um candidato ao polinômio minimal porque ele satisfaz a condição i) da definição 7.2.2. Teorema 7.2.5: As raizes do polinômio minimal são as mesmas raízes (distintas) do polinômio característico. Teorema 7.2.6: Sejam À, 2,,..., 2, os autovalores distintos de um operador linear 7. Então T será diagonalizável se, e somente se o polinômio (x-A)(x-2,)---(x-2,) anular a matriz de T. sss professorrui(Qhotmail. com Página 2 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Outro autovalor é A=-1, cujo subespaço dos autovetores associados tem dimensão geométrica | e é gerado por v=(1,-1,0). 06- T:M,SM,; A> 4º (leva a matriz em sua transposta). 1000 c |0 010 [= 0100 0001 Em resumo: Existem dois autovalores, A=1 e A=-1. O autovalor A=1 possui multiplicidade algébrica 3 e multiplicidade geométrica também igual a 3. O subespaço dos autovetores associados com esse autovalor é gerado por w=(1,0,0,0),, v,=(0,0,0,1), e w =(0,1,1,0) O autovalor A=-1 possui subespaço dos autovetores com dimensão igual a 1 e é gerado pelo autovetor v, = (0,-1,1,0). .e 07- TIR'SR'; T(x,yzw)=(nx+yx+yes xe y+s+u). 1000 1100 Tl= l ) 1110 1111 Em resumo: Existe apenas um autovalor, 4=1 e o subespaço dos autovetores associados a ele é a reta de Rº gerada pelo autovetor v = (0,0,0,1). professorrui(Qhotmail. com Página 5 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 0s- T:R' SR” que tem autovalores -2 e 3 associados aos autovetores da forma (3y,y) e (-2y, y) respectivamente. mr-4 Resolução. Item 02- FR SR: (x,y) (x+y,x-9). ce |02 [7] - “lo Em resumo, Existem dois autovalores. Para o autovalor A=2 tem-se os autovetores da reta de equação x = V2y - Um autovetor é v = (2,1) . Para o autovalor 4, =-"2 tem-se os autovetores da reta de equação x = 2. Um autovetor é v, = (2,1) . Esse operador é diagonalizável, pois em relação à base £ formada respectivamente por u=(V21) e w=(=2,1) sua 20 o 2 matriz fica na forma diagonal, ry = professorrui(Qhotmail. com Página 6 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Item 03- TIR SR (x,y)>(x+9,2x+9). Pr- | Em resumo, Existem dois autovalores. Para o autovalor À = 1++/2 tem-se os autovetores da reta de ao vo N2 cs [N2 equação x = 2” . Um gerador é v, = 2" . Para o autovalor 2, = 1/2 tem-se os autovetores da reta de Eu) : 2 , equação x = 22 Um gerador é v,=| — 3 Esse operador é diagonalizável, pois em relação à base £ formada respectivamente por v = E ew= [E] a matriz do operador fica na forma triangular, Vl, - ” al Item 04- TR SR; (x,3,5)>(x+3,x-9+25,2x+9-5). 1 10 [rE-1 12 21 1 Em resumo, Existem três autovalores. professorrui(Qhotmail. com Página 7 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Esse operador é demorava Em 1elação à base 2 formada respectivamente por 1=(1,0,0,0)., vw =(0,0,0,1)., w=(0,11,0) e v,=(0,-1,1,0), a matriz do operador fica na 1000 10 0 f TÊ= om 9010 000 + Item 07- TIR'SR'; T(x,yzw)=(xx+yx+yes xe pru). [r]- 100 110 111 Soo 1111 Em resumo: Existe apenas um autovalor, 4=1 e o subespaço dos autovetores associados a ele é a reta de Rº gerada pelo autovetor v = (0,0,0,1). Esse operador não é diagonalizável. Não existe uma base formada por quatro autovetores LI do operador. professorrui(Qhotmail. com Página 10 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Item 08- T:Rº-5Rº que tem autovalores -2 e 3 associados aos autovetores da forma (3y,y) e (-2y, y) respectivamente. pr] Esse operador é diagonalizável. Em relação à base / formada respectivamente pelos autovetores v=(31) e w=(-21) a . » [20 matriz do operador fica na forma Ir ] p= 03! Exercício 02. Dizemos que uma matriz 4,., é diagonalizável se seu operador linear associado T,:Rº-SR" for diagonalizável, ou seja, se e somente se 4 admitir n autovetores LI. Com esta definição, verifique quais das matrizes dos exercicios de 09 a 18 da seção 6.3 (capítulo anterior) são diagonalizáveis. 12 09- 4= o à Em resumo: Dois autovalores: 4=1 com auto-espaço gerado por w =(1,0), 4= 1 com auto-espaço gerado por v, = (1,-1). professorrui(Qhotmail. com Página 11 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 11 10- 4= 11 Em resumo, existem dois autovalores, A=0 e 14=2. O auto-espaço associado a 1=0 é o núcleo da transformação, que é a teta gerada pelo autovetor w = (1,-1). O auto-espaço associado a 14 =2 é a reta gerada pelo autovetor w=(11). 123 1-4=|0 12 001 Em resumo: Só um auto-valor, A4=1, com multiplicidade algébrica 3. Mas o auto-espaço associado tem dimensão geométrica igual a 1, é gerado pelo autovetor e, = (1,0,0). 33 4 12. 4=|0 3 5 00 q Em resumo. Dois autovalores, 4=3 e A=-1. Dois auto- espaços unidimensionais, gerados respectivamente, por e= (1,0,0) ev= (qe) . professorrui(Qhotmail. com Página 12 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Resolução. 12 Item 09- 4= Jo - ] Em resumo: Dois autovalores: 4=1 com auto-espaço gerado por y =(1,0), 4= 1 com auto-espaço gerado por v, = (1,-1). Sim, é diagonalizável. Na base /& formada por w=(1,0) e 10 w=(1,-1) a matriz toma a forma ZJ; = h dl 11 Item 10- 4= 11 Em resumo, existem dois autovalores, A=0 e 14=2. O auto-espaço associado a 1=0 é o núcleo da transformação, que é a teta gerada pelo autovetor v = (1,-1). O auto-espaço associado a 14 =2 é a reta gerada pelo autovetor v= (11) . Sim, é diagonalizável. Em relação à base / formada por 00 u=(L-1) e w =(1,1) a matriz fica na forma rd; = h | professorrui(Qhotmail. com Página 15 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 123 Itemll- 4=/0 1 2 001 Em resumo: Só um autovalor, A=1, com multiplicidade algébrica 3. Mas o auto-espaço associado tem dimensão geométrica igual a 1, é gerado pelo autovetor e, = (1,0,0). O operador T, não é diagonalizável, pois não existe número suficiente de autovetores LI para formar uma base. 3-3 4 Iem12- 4=|0 3 5 00 Em resumo. Dois autovalores, 4=3 e A=-1. Dois auto- espaços unidimensionais, gerados respectivamente, por e =(.0,0) e v1.5). O operador T, não é diagonalizável, pois não há número suficiente de autovetores LI para formar uma base do espaço. 1 Item 13- 4=|—1 1 n oo Ds professorrui(Qhotmail. com Página 16 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Em resumo: Três autovalores, A=1, A=-1 e A4=3. Com auto-espaços de dimensão 1 gerados, respectivamente, por y=(-1,10), w=(-1,2,1) e w =(L0,1). Sim, o operador 7, é diagonalizável. Com a base / formada por w=(-1,1,0), w=(-121) e w=(1,0,1) a matriz do 10 0 operador fica na forma [2]; =|0 -1 0]. 0 03 112 Iteml4- 4=|1 2 1 211 Em resumo. Existem três autovalores, 4=4, A=-l e A=1. Todos os auto-espaços possuem dimensão 1 e são gerados respectivamente por v = (11,1), v,=(L-5,1) e v,=(1,-2,1). Sim, o operador 7, é diagonalizável, pois em relação à base £ formada por w = (1,11), v,=(1,-5,1) e v, =(1,-2,1) a matriz 40 0 fica na forma [= 0-1 0]. 001 professorrui(Qhotmail. com Página 17 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU O operador T, não é diagonalizável, pois não há número suficiente de autovetores LI para formar uma base do espaço em questão. Exercício 03. Considere a matriz 4= Soon Som Sn oo w ooo a) Verifique se 4 é diagonalizável. b) Determine seu polinômio minimal. Resolução. Item a. Consideramos o operador T:Rº > Rº, T(v)=A[v]. Consideramos Essa é uma matriz triangular superior, logo det(4-21)=0(2-2)(3-2)=064=2004=3. Segundo o Teorema 7.2.6 devemos verificar se o polinômio p(x)=(x-2)(x-3) anula a matriz. professorrui(Qhotmail. com Página 20 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU p(A)=(4-2)(4-3) 2100][2000 llo2zoo||o200 “loo20o|loo20|l 0003)/0002 2100][3000 0200]/0300 loo2 0/0030 0003/0003 o1roo[11 00][0-100 ljoooollo-10 0/|00 00 “loooo|lo o 10] |0 000 oo o1|llo o 00) 1/0000 Segundo o Teorema 7.2.6 a matriz não é diagonalizável. Item b. Para determinar o polinômio minimal devemos testar ainda os polinômios p(x)=(x-2) (2-3) e p(x)=(x-2)(x-3). Vamos testar p(x)=(x— 2) (2-3). professorrui(Qhotmail. com Página 21 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 2100 "Toi o of 4 ||0200 0000 (4-2) = -21| = 0020 0000 0003 0001 o100lo1 00] [0000 looooloo0o0||0000 “lo000]0000||0000 0001]0001|/0001 2100 “11/00 0200 0100 (4-3)= -3] |= 0020 0 0 “10 0003 [0 0 00 000 0|]-11 00 00000-100 (A-21/(4-3)= -0 00000 0 “10 00010000 Então o polinômio minimal de 4 é p(x)=(x- 2; (x-3). Se para esse polinômio tivéssemos p(4)=0 o polinômio minimal seria o polinômio característico pld= (2-2) (2-3). professorrui(Qhotmail. com Página 22 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU «Atb(Se)re=o -f+by+cez=0 f Ss-fpre=0 S4y 0=0 £ f 0=0 be+cf f? Lo f 0=0 Ssy= O auto-espaço associado a A=f é gerado por be+ v- (idea), ff Possibilidade 03: a=f=0e dz0. Possibilidade 04: d=f=0 e az0. Para essas duas possibilidades a resolução será análoga à apresentada acima. Haverá dois autovalores, cada auto-espaço será de dimensão 1 e fornecerá um autovetor distinto. Como exercício resolva esses dois casos, a diferença será a letra diferente de zero e a própria posição das letras na hora de resolver o sistema. Possibilidade 05: a=0, dz0, fz0,com d=f. professorrui(Qhotmail. com Página 25 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU A matriz a ser considerada é 0 bc A4=|0 d el; det(A-Al)=0(-A)(d-4) =0 0 0 e 0 d Procuremos o auto-espaço associado a 4=0. 0-0 5 c x 0 o 0-0 e v|=|0 0 0 d-0 0 by+c:=0 by=0 y=0 Sidyre=0S:dy=0S,y=0 I- = 0 2=0 2=0 O auto-espaço é gerado, por exemplo, por v, = (1, 0, 0) . Procuremos o auto-espaço associado a 1=d. 0-d b c x 0 0 d-d e v|=|0 0 0 d-dls 0 b —dr+by+c5=0 —dr+by=0 q” &se2=0 &47=0 &47=0 0=0 0=0 0=0 professorrui(Qhotmail. com Página 26 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU O auto-espaço é gerado, por exemplo, por v, = (51,0) . Possibilidade 06: «40, d=0, fz0,com a=f. Possibilidade 07: a+0, dz0, f=0,com a=d. A resolução desses dois casos é análoga ao caso 05. Haverá dois autovalores distintos e cada auto-espaço terá dimensão geométrica igual a 1. Para cada auto-espaço teremos um autovetor distinto. Possibilidade 08: a=0, dz0, fx0,com df. A matriz a ser considerada é 0 bc A=|0 d e |idet(A-Al)=06(-A)(d-A(f-4)=0. 00 f Procuremos o auto-espaço associado a 4=0. 0-0 b» c x 0 0 d-0 e v|=|0 0 0 f-0 0 by+c:=0 by=0 y=0 Sidyre=0S:dy=0S,y=0 f£=0 ==0 ==0 O auto-espaço é gerado pelo autovetor v, = (1, 0, 0) . Procuremos o auto-espaço associado a 1=d. professorrui(Qhotmail. com Página 27 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU a-A b c Consideramos 4-2]=| 0 d-4 e. 0 0 f-A Como a matriz é triangular o determinante é igual ao produto dos elementos da diagonal. det(A-A1)=(a-A)(d-A(f-4). det(4-21)=04=aoul=douA=f. Procuremos os auto-espaços. 0 b c x 0 (D (4-al)[v]-=06 0 d-a e v|=|0 0 0 f-als 0 by+c:=0 os(d-a)y+ez=0 (f-a)z=0 Vamos adotar que o autor quis dizer que todos os elementos da diagonal e acima da diagonal são distintos e não nulos. Compreendendo o enunciado assim podemos olhar a terceira equação e deduzir que == 0. by+c:=0 by=0 oSsd-ay+re=06S:(d-0)y=0 (f-a)z=0 ==0 professorrui(Qhotmail. com Página 30 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Como (d-a)+0 e b0 podemos deduzir que by=0 y oSsid-a)y=06S4y ==0 z 0 0 0 Assim o auto-espaço associado a A=a é gerado por v=(L,0,0). a-d b c x 0 D (4-dl)fv]-06] 0 0 e |yl-]0 o o f-dls| o (a-d)x+by+c=0 (a-d)x+by=0 esez=0 &472=0 (f-d)=z=0 2=0 - and) To» e42=0 2=0 professorrui(Qhotmail. com Página 31 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Assim o auto-espaço associado a A=d é gerado por » (1850 6) b a-f b cllx CD (4-Hy]-06| 0 d-fe 0 0 0 nos H Soo (a- f)x+by+cz=0 os(d-f)y+eo=0 0-0 (a- pttys (LED, | no e df, e S4i= 0=0 ed e(a- f) Md, o H o professorrui(Qhotmail. com Página 32 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU a 1- det(B - 21) = det 0 1-4 fr-ay. Nesse caso, 4=1 é a única raiz, e tem multiplicidade algébrica 2. Precisamos exigir, então, que sua multiplicidade geométrica seja 2. Essa multiplicidade geométrica é a dimensão de seu auto-espaço. Mas (e-anpy-06 JE] efe -0 -0 Se 40 então 127 “6!” e ((x,0);xe R$. Nesse 0 0-0 caso a solução é uma reta. O auto-espaço tem dimensão 1. s 0 então 19715, sd ) Rj=R? e a=0 então x,y);x,yeRj=Rº. 0=0 “0=0 Ped Nesse caso o auto-espaço tem dimensão 2 e existem dois autovetores associados ao mesmo autovalor mas que são LI. Nesse caso, existe uma base na qual B torna-se uma matriz diagonal com números “1” na diagonal. Exercício 06. Considere T:Rº* —» Rº linear, a =((1,0,0),(0,1 O) (0,0,1)) a base canônica, (0,- 6=((011),(0,-11) (1,01) é 201 [r-|o 3 1). 003 professorrui(Qhotmail. com Página 35 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU a) Determine o polinômio característico de T, os autovalores de Te os autovetores correspondentes. b) Determine [7 5 e o polinômio característico. Que observação você faz a esse respeito? c) Determine uma base 7 de Rº, se possível, tal que Uy seja diagonal. Resolução. Item a. O polinômio característico de T é det([7]-21)= det) 0 3-2 1 =(2-2)(-3-2)(3-4) Eletem3raizes, 1=2,A=-3e 4-3. 0 0 1x] [o ([7]-27)[v]=0e/0 -s 1ly|-=|0 o o als] o 5=0 5=0 S4-5y+2=0 S4y=0 z=0 5=0 professorrui(Qhotmail. com Página 36 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU O auto-espaço de 1=2 é gerado, por exemplo, pelo autovetor u=(L0,0). O auto-espaço de A=-3 é gerado, por exemplo, pelo autovetor v, = (0,1,0). -1 0 1x 0 ([7]-37)[]- 0/0 -6 1|vl|=)0 0 0 0ls= 0 -x+2=0 -x+6y=0 x=6y S4-6y+2=0 42=6y S42=6y 0=0 0-0 0=0 O auto-espaço de 24=3 é gerado, por exemplo, pelo autovetor u=(6,1,6). professorrui(Qhotmail. com Página 37 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU T(w)=T(0,1,0)=-3(0,1,0)=-3v,. T(n)=T(6,1,6)=3(6,1,6)=3v,. 200 [rÊ=|o 3.0). 003 Exercício 07. Seja T:V —>V um operador linear entre espaços de dimensão finita e bases distintas a e B. a) Mostre que det[7]/ = det[7]; . Sugestão: veja a relação entre [T]) e [ry no capítulo 6. b) Se 4 man é diagonalizável, mostre que o determinante de 4 é o produto de seus autovalores. Sugestão: considere 7, :Rº > R”, observando que a matriz 7, na base canônica é exatamente 4. Use, então, o resultado do item a considerando como base q a base canônica e 2 a base de autovetores. Resolução. Item a. Vamos relembrar que valem as seguintes propriedades de determinante. (1) Se 4 e B são matrizes quadradas, então det(A-B)= det(4)-det(B) professorrui(Qhotmail. com Página 40 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU dd . det(4) (IN) Se A é invertível então det (47) As matrizes Ir É e Ir g se relacionam por multiplicação de matrizes de mudança de base conforma calculamos no exercício anterior. A relação é [ry =ME(TTiME. a Como M$ =(M!) tem-se que 1 dei([r])= dei(M; et) tur) = dei([r]5). Item b. Considere 4,., uma matriz diagonalizável. Isto é, é possível 1ealizar operações elementares nas linhas de 4 de maneira a torná-la diagonal. Identificamos a matriz 4 com a matriz da transformação linear Tde R" em Rº tal que T[v]=A[v]. Assim, a matriz da transformação é semelhante a uma matriz diagonal. Pelo que foi estudado, os elementos da forma diagonal da matriz de T são exatamente os autovalores. Como os determinantes de matrizes semelhantes são iguais, ou como quer o autor, pelo item a deduzimos que o determinante de 4 é o produto de seus autovalores. professorrui(Qhotmail. com Página 41 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 12 Exercício 08. Mostre que a matriz 4= | | é semelhante à . 40 matriz B= . lo s] Resolução. Deveriamos exibir matrizes invertível M tal que B=M A. Mas, vamos usar os estudos desse capítulo. Vamos mostrar que os autovalores e autovetores de 4 e de B são iguais. 1-4 2 de(a21)=am| 3 2-4 [i-apa-as =2-1-24+2"-6=2"-31-4 A=9-4D(4)= 25. -b+NA 345 [4 2a 2 - Os autovalores de 4 são 4-4 e A=-1. Assim, existe base a=(v,w) formada por autovetores associados aos autovalores de A tal que essa matriz na base q 4 fica 4 0 | , que exatamente a matriz B. Calculemos o auto-espaço de 14 =4. professorrui(Qhotmail. com Página 42 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Consideremos D:V>V um operador diagonalizável qualquer. Admitimos, por hipótese, que ToD =DoT. A tese que temos de mostrar é que T é diagonalizável. Por hipótese D é diagonalizável. Podemos considerar a base a=fv,..,v,) formada por autovetores de D, na qual a matriz de D é diagonal. Pensemos em considerar o espaço V com a base a. Temos que [DE é diagonal. v 0 o=| 0» n 1 O estudante, em geral, sempre reclama de exercícios com enunciados que se iniciam com “mostre que ...” ou “demonstre que ...”. Este é um exercicio desse tipo. O resultado a que se refere o enunciado é geral, vale para qualquer espaço vetorial de dimensão finita. Mas para facilitar a compreensão vamos adotar, primeiramente, o caso particular em que a dimensão de V seja 2. Se dim(V)=2 e D é diagonalizável, ele possui um ou dois autovalores distintos. Seja a = fv,,v,) a base de autovetores na qual a matriz de D é diagonal. a a Seja a matriz de T na base alfa igual a: [7] = | 2 | a q professorrui(Qhotmail. com Página 45 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 0 Seja a matriz de D na base alfa igual a: [2] = é | . 0 & Tem-se, por hipótese, que ToD=DcT, ou seja, os produtos das matrizes de 7 e de D comutam, [7][D]=[D][7]. E isso vale para qualquer base adotada em V. Portanto, podemos adotar a base a e escrever que: q Wm|lh O J Am ha, [é ME alli o] 4 Ola a - hm Am O Alla a ha, Aa, Para que haja a igualdade [7][D]=[D][7] é necessário que sejam verdadeiras simultaneamente as igualdades pa = Aa Am = hm , Como o enunciado diz que a comutatividade da composição de Te D vale para qualquer transformação diagonalizável D, podemos exigir que os autovalores 4 e À, seja distintos e diferentes de zero. Daí, a igualdade entre as matrizes [7][D] e [D][7] só ocorre se e somente se a, =a, =0. Ouseja, [7] é diagonal. professorrui(Qhotmail. com Página 46 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU No caso dim(V)-2 está provada a tese de que T é diagonalizável. Pense em um espaço vetorial V de dimensão 3. Se D é qualquer operador linear diagonalizável, podemos considerar que D tenha 3 autovalores distintos e não nulos 2, À e À com respectivos autovetores que formam uma base = Dover AM As 40 0 Se[T]=|a, a, asle[D]-=|0 4 0 |então: A Gy Gs 00 à A 0 Ola a a; Am Am Ah O & Ola a as|=|ha hay hm; 0 0 Allay a as hay hã hay Mm % m||jA 0 0 Am Am Ah O Ay as||0 & 0O|=|Am Las Am; 44 Ga M3]0 0 à hay hay Al Como, por hipótese, o produto é comutativo, deve-se ter: professorrui(Qhotmail. com Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Considere D tal que D(11)=(2,2) e D(-11)=(-3,3). 03 O operador T comuta com D, logo Ir ] torna-se diagonal na Na base ((1,1),(-1,1)) a matriz de D toma-se tolo ] base formada pelos autovetores de D. Ou seja, T preserva as direções de (1,1) e (-1,1). Considere D tal que D(-3,-2)=(-s3,-10) e D(0,-7)=(0,14). Na base ((-43.-2).(0-7)) a matriz de D toma-se pi 4) O operador T comuta com D, logo Ir ] torna-se diagonal na base formada pelos autovetores de D. Ou seja, T preserva as direções de (3,-2) e (0,-7). Percebemos que, como 7 comuta com qualquer operador diagonalizável, ele deve preservar qualquer direção! Vamos escrever isso de maneira mais formal. De maneira geral, quando consideramos um operador D que é diagonalizável, existem direções 6,,0, e [0,27) tais que: D(cos9,,sen8,)= A (cosG,,seng,) e D(cos6,,sen6,) = À, (cos6,, seno, ). professorrui(Qhotmail. com Página 50 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Como [7] torna-se diagonal na base f(cos a, sen g,),(cos6,,sen6;)) esse operador preserva as direções 6,,0, e[0,27). Ou seja, nas condições do item a, quando dim(V)=2, o operador T é um múltiplo da identidade, ou seja, Jke R tal que T=k-I. Se pensarmos na situação em que dim(V)=3 podemos considerar que os vetores desse espaço são determinadas por três ângulos 0,,0, e O, pertencentes a [0,27) e medidos entre a direção e os vetores canônicos e, =(1,0,0), e, =(0,1,0) e e;=(0,0,1). Assim, um vetor (direção) é caracterizado pelos valores dos cossenos desses ângulos. Qualquer direção em V é dada por v= (cos ,,cos0,,cos€,), com 6,,0,,0, e[0,27). De maneira geral, quando consideramos um operador D que é diagonalizável, existem direções tais que: D(n)= Au, D(v,)= Am e D(v,)= Ay, Como T comuta com todos os operadores diagonalizáveis D, a matriz [7] torna-se diagonal na base fv,,v,,v,) esse operador preserva todas as direções 0 €[0,27). Ou seja, nas condições do item a, quando dim(V)=3, o operador T é um múltiplo da identidade, ou seja, Jke R tal que T=k-I. professorrui(Qhotmail. com Página 51 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU A generalização segue naturalmente quando considera-se dim(V)=n. Ou seja, nas condições do item a, o operador T é um múltiplo da identidade, ou seja, Jk e R tal que T=k-T. Exercício 10. Diz-se que um operador linear T:V 5V é nilpotente se existir um número inteiro positivo n, tal que T"=0, [retro 4) para todo ve. tolo, a) Seja T nilpotente. Determine seus autovalores. b) Determine uma matriz 4,, 0 tal que T,:Rº > R? seja nilpotente. c) Mostre que um operador linear nilpotente, não nulo, não é diagonalizável. Resolução. Item a. Por hipótese, existe ne Nº tal que 7" =0. Vamos pensar no caso particular em que n=2. Nessa situação T(T())-0, VvelV. Para encontrar os autovalores devemos determinar números reais 2 tais que (T-21)(W)=0, VveV. Como T é linear T (0)= 0, então podemos escrever: T((T-A1)())=T(0)=0, vveV, ouainda (Tº-A7)()=0, VveD. Por hipótese T? =0, então (T?- AT )()=-AT()=0, VveD. professorrui(Qhotmail. com Página 52 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU . 2. |0 0]0 O 00 Verificação: 4º = = . k O|k 0 00 Item c. Devemos mostrar que um operador linear nilpotente, não nulo, não é diagonalizável. Vamos provar “por absurdo”. Vamos negar a tese e trabalhar para obter um absurdo, uma contradição com as hipóteses. A negação da tese é: Seja T um operador nilpotente e diagonalizável. Como admitimos que T é diagonalizável, existirá uma base a formada por autovetores na qual Ir É é diagonal. Na diagonal dessa representação matricial estarão escritos os autovalores de T. Mas todos os autovetores de T são iguais a zero. Dessa maneira, a matriz de T escrita na base « é uma matriz nula. Mas T não é um operador nulo. Absurdo. Exercício 11. Diz-se que um operador linear T:V 5V é idempotente se 7? =T, isto é, (ToT)(y=T(v)para todo veV. a) Seja T idempotente. Determine seus autovalores. b) Determine uma matriz 4,, 0 tal que T;:Rº SR” seja idempotente. c) Mostre que um operador linear idempotente é diagonalizável. professorrui(Qhotmail. com Página 55 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Resolução. Item a. Por hipótese tem-se que (TT )(v)=T(v) para todo vel. Para determinar os autovalores de 7 devemos procurar números reais 2 tais que (T-21)v=0, VvelV. Como T é linear T (0)=0 então T((T-AI)v)=T(0)=0, vver. Ou seja, (7? - 27)v=0, VveV. Como T é idempotente (T-27)v=0, VvelV. Ou ainda (1- 2)7(W)=0, VveV. Para que (1- 2)7(v)=0, Vvel deve-se ter que 4=1 ou que T seja a aplicação nula, e neste caso só existe autovalor nulo. Assim, os autovalores de um operador idempotente só podem ser A=0 ou 4-1. Item b. . ab Pensamos em uma matriz [7] = al c O produto [7][7] deve ser igual a [7]: a bla b| [a+be ab+bd c dlle d| lac+cd be+d? Tentamos obter uma solução do sistema: professorrui(Qhotmail. com Página 56 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU a +bc=a ab+bd=b ac+cd=c be+d'=d Resolvemos, por tentativas. Adotaremos que a=1. 1+bc=1 b+bd=b c+ecd=c be+d'=d Para satisfazer a primeira equação, adotaremos b=0. 1=1 0-0 c+cd=c dº=d Para satisfazer a terceira equação adotaremos d =0. 1=1 0=0 c=c 0=0 Podemos escolher qualquer valor real para c. Escolhemos, por exemplo, c=3. ns 10 A matriz é 4= . 30 professorrui(Qhotmail. com Página 57 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Considerando-se o espaço vetorial sobre o corpo dos números 1eais, só existe a solução 4 =3. Este seria o único autovalor do operador. Vamos determinar os autovetores associados ao autovalor A=3. 0 0 0x 0 (4-3N[v]-0)0 -1 -5|y|=|0 o 1 Ss 0 0=0 0=0 0=0 S4-y-52=064y=52S49=0 y-52=0 y=52 2=0 O auto-espaço associado tem dimensão 1, “x” pode assumir qualquer valor real. Esse subespaço é gerado, por exemplo, pelo autovetor (1,0,0). Portanto, não existem 3 autovetores que possam compor uma base na qual a matriz do operador seja diagonal. Agora, se considerarmos o espaço vetorial com escalares no corpo dos números complexos existirão 3 autovalores, 1=3, A=ieA=-i. O auto-espaço associado com = 3 tem gerador v =(1,0,0). Procuremos o auto-espaço (complexo) associado ao autovalor Aci. professorrui(Qhotmail. com Página 60 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 3-1 00 A-il=[ 0 2-1 5 0 1 Qi 3-1 0 0 x 0 (4-il[v]=-06/ 0 2-5 -5 | y|=|0 0 1 -2-ilz 0 “o 5i v=0 + .- v=(2+i)= 4-(— . v=(2+i)= y=(2+i)= Então esse auto-espaço tem dimensão 1. Veja que “z” pode assumir qualquer valor complexo. Um gerador desse auto- espaço é, por exemplo, w = (0,2+ 1,1). Procuremos o auto-espaço (complexo) associado ao autovalor A=-i. professorrui(Qhotmail. com Página 61 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 3+i 0 0 A+ril=| 0 2+i —5 0 1 Di 3+1 0 0 x| 10 (4+il)[v]J=-06) 0 2+1 -5 | y]=)0 0 1 2+ilz 0 = x=0 (3+1)x=0 x=0 , . 5 5(2-1) e d(M+i)y-55=06/y=>—: O/y=-->"— 5 . +i (2+)(2-i) »-(2-i)2=0 o No v=(2-1) y=(2-i)= Então esse auto-espaço tem dimensão 1. Veja que “z” pode assumir qualquer valor complexo. Um gerador desse auto- espaço é, por exemplo, v, = (0,2-1,1). A matriz do operador na base a = (v,,v,,v,) é diagonal, professorrui(Qhotmail. com Página 62 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU -3+2 4 -14 A+2= = -1 22) [+14 -1 41x] [o (4+21)[v]=06 “= 1 4») | —-x+4y=0 x=4y S&S S&S —-x+4y=0 x=4y Um gerador desse auto-espaço é, por exemplo, w = (4,1). Procuremos o auto-espaço associado ao autovalor A4=1. 31 4] [44 A-I= = -1 2-1 -1 1 -4 47x] To (A-Np]=06 ME 1 ao] o -As - =4 o x+4y=0 o y=x -x+y=0 y=* Um gerador desse auto-espaço é, por exemplo, v, = (1,1). Na base a = [(4,1),(1,1)) a matriz torna-se [4]; = N | Assim, como a matriz da composição é o produto das matrizes, tem-se que: professorrui(Qhotmail. com Página 65 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Lero o HS q tee TH De maneira geral a matriz 4” na base alfa será lar o tal, É as) 41 Tem-se MZ = . 11 det(M/)=4-1=3. 1/3 445] [eof(me)] o, 4) us, 4/3 Assim podemos escrever as relações: 1/3 -1/3|]|-3 44 1 ASMA = -1/3 4/3 |-1 2]1 1 4 1-2 0] 1/3 —1/3 A =MAM: = º ce ei apo -1/3 4/3 professorrui(Qhotmail. com Página 66 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU Nos interessa a segunda igualdade. A expressão de 4? (na base canônica) será: (4 = (Miami (Mesmo = Me( As Ms n E generalizando (4º) =(M4zMe P =ME( 42) M$ Ou seja, ae Mp o us as ralo vi-1/3 4/3 o. 42) [ aba 4(-2)"-1 —4(-2)"+4 dead a(o (co) Item b. 0 7-6 -A 7 —6 A=|-1 4 0 4-A4=|-1 4-4 0 02 02 0 2 2-1 det(A-A1)=-A(4-4)(-2- 4)+12+47(-2- 4) professorrui(Qhotmail. com Página 67 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU O auto-espaço associado ao autovalor 4=-1 é gerado, por exemplo, pelo autovetor v, = (5,1,2). Procuremos o auto-espaço associado ao autovalor 4=2. 0 7-6 -2 7 -6 A=|-] 4 0|;4-2=|-12 0 02-02 02 4 -2 7 -6lx 0 (4-20[v]J=06/-12 0 |y]-=|0 0 2 4]= 0 —-2x+7y-62=0 —-2x+7y-62=0 S4-x+2y=0 Six=2y 2y-42=0 y=25 —85+142-672=0 0=0 eSjx=4 eSjx=4 y=25 y=25 Um gerador desse auto-espaço é, por exemplo, v, = (4,2,1). Consideramos a base a = [v,,v,,v). professorrui(Qhotmail. com Página 70 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU 10 0 Nessa base a matriz de 7, fica 49=/0 -1 0). 002 As matrizes de mudança de base podem ser determinadas. 3 54 Me=|1 12]. 2/3 21 3/2 -3/2 -3 Mi=(MS)'=|-1/6 1/6 1 -213 4/3 1 Tem-se a relação 4º = MY [aims Então, (4) =(Mo Ao mcaç) = (a) n E generalizando (4º) =(M4gMe P =ME( 42) M$ 3 5 4]l 0 Ol'3/2 c3/2 03 A=|1 1 2]o (1) 0 |-1/6 -1/6 1 23 2 10 0 2W|-2/3 4/3 1 (*) Exercício 15. (Pode ser retirado da lista) Considere o sistema mecânico mostrado na seguinte figura: professorrui(Qhotmail. com Página 71 Motas de Auta EONT —Ágetra Linear — Prop. Rui — DUA — UU corpo 2 Cam Utilizando os procedimentos da seção 7.1.5 estude a vibração do sistema quando ele é tirado da posição de equilíbrio. Resolva completamente descrevendo o comportamento do sistema no caso em que m=-05hkg, m,-05Skg, k=12N/me k=18N/m. Os deslocamentos iniciais dos corpos 1 e 2 são, respectivamente, 0.1 m para cima e 0.2 m para baixo. Resolução. 85585 Versão de Ol de mais de 207. professorrui(Qhotmail. com Página 72