Exercicios respondidos hidraulica i, Provas de Métodos Matemáticos para Análise Numérica e Otimização
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Exercicios respondidos hidraulica i, Provas de Métodos Matemáticos para Análise Numérica e Otimização

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ÍNDICE

1 CAPÍTULO 1........................................................................... 4 2 Página 19 exemplo 1.1............................................................. 5 3 Página 22 exemplo 1.3............................................................. 5 4 Pág. 25 numero 1.11 ................................................................ 7 5 Pág. 25 numero 1.12................................................................. 8 6 Pág. 26 numero 1.13................................................................. 9 7 Pág. 26 numero 1.14................................................................. 10 8 CAPÍTULO 2........................................................................... 11 9 Pág. 59 exemplo 2.8................................................................. 12 10 Pág. 63 numero 2.14................................................................. 13 11 Pág. 67 numero 2.33................................................................. 14 12 Pág. 67 numero 2.34................................................................. 15 13 Pág. 68 numero 2.35................................................................. 15 14 Pág. 68 numero 2.36................................................................. 17 15 CAPÍTULO 3........................................................................... 18 16 Página 85 exemplo 3.3............................................................. 19 17 Página 87 exemplo 3.4............................................................. 19 18 Pág. 88 numero 3.1................................................................... 20 19 Pág. 89 numero 3.3................................................................... 21 20 Uma adutora de 500 mm de diâmetro, 460 m de comprimento, em aço soldado revestido de cimento centrifugado, liga dois reservatórios mantidos em níveis constantes. Determine a capacidade de vazão da adutora quando o desnível entre os reservatórios for de 3,50 m, nas seguintes condições:............................................................................................. 21 21 desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da tubulação;............................................................................................. 22 22 considerando tais perdas de carga localizadas, adotando os seguintes coeficientes de perdas Ke = 0,5 e Ks = 1,0.......................................... 22 23 .................................................................................................. 24 Faça comentários pertinentes sobre os resultados encontrados, observando a relação entre o comprimento e o diâmetro da adutora... 22 25 Pág. 89 numero 3.4................................................................... 22 26 Pág. 91 numero 3.8................................................................... 23 27 Pág. 91 numero 3.8 (continuação)............................................ 24 28 Pág. 92 numero 3.11................................................................. 25

29 Pág. 92 numero 3.13................................................................. 26 30 CAPÍTULO 4........................................................................... 28 31 Pág. 105 exemplo 4.2............................................................... 29 32 Pág. 109 exemplo 4.3............................................................... 30 33 Pág. 117 numero 4.1................................................................. 31 34 .................................................................................................. 35 .................................................................................................. 36 .................................................................................................. 37 .................................................................................................. 38 .................................................................................................. 39 Pág. 118 numero 4.2................................................................. 32 40 Pág. 118 numero 4.4................................................................. 33 41 Pág. 118 numero 4.5................................................................. 34 42 Pág. 119 numero 4.6................................................................. 35 43 Pág. 119 numero 4.6 (continuação).......................................... 36 44 Pág. 119 numero 4.7................................................................. 37 45 Pág. 120 numero 4.8................................................................. 38 46 Pág. 120 numero 4.9................................................................. 39 47 Pág. 120 numero 4.10............................................................... 40 48 Pág. 121 numero 4.11............................................................... 41 49 Pág. 121 numero 4.12............................................................... 42 50 Pág. 121 numero 4.13............................................................... 43 51 Pág. 121 numero 4.14............................................................... 44 52 Pág. 121 numero 4.15............................................................... 45 53 Pág. 122 numero 4.16............................................................... 46 54 Pág. 122 numero 4.17............................................................... 47 55 CAPÍTULO 5........................................................................... 49

CAPÍTULO 1 CAPÍTULO 1

Página 19 exemplo 1.1 Numa tubulação de 300 mm de diâmetro, a água escoa em uma extensão de 300 m, ligando um ponto A na cota topográfica de 90,0 m, no qual a pressão interna é de 275 kN/m2, a um ponto B na cota topográfica de 75,0 m, no qual a pressão interna é de 345 kN/m2. Calcule a perda de carga entre A e B, o sentido do escoamento e a tensão de cisalhamento na parede do tubo. Se a vazão for igual a 0,14 m3/s, calcule o fator de atrito da tubulação e a velocidade de atrito. pA = 275 kN/m2 è pA/γ = 275/9,8 = 28,06 m pB = 345 kN/m2 è pA/γ = 345/9,8 = 35,20 m L = 300 m ; ZA = 90 m ; ZB = 75 m ; Q = 0,14 m3/s

a) Sentido de escoamento O sentido de escoamento é sempre dos níveis de energia mais elevada para a menos elevada. Como o diâmetro da tubulação é constante e sendo o escoamento permanente, a carga cinética em qualquer seção será a mesma. Deste modo, a linha de energia será paralela à linha piezométrica e a perda de carga entre A e B pode ser calculado pela diferença entre as cotas piezométricas das seções A e B.

CPA = pA/γ +ZA = 275/9,8 + 90,00 = 28,06 + 90 = 118,06 m CPB = pB/γ +ZB = 345/9,8 + 75,00 = 35,20 + 75 = 110,20 m

Como a CPA = 118,06 > CPB = 110,20 o sentido do escoamento será de A para B.

b) Determinação da perda de carga entre A e B ΔHAB = CPA – CPB = 118,06 – 110,20 = 7,86 m

c) Determinação da tensão de cisalhamento na parede do tubo

ΔH = 4 το L / γ D è το = γ ΔΗ D/4 L = 9800. 7,86.0,30/4.300 = 19,26 kN/m2

d) Determinação da velocidade de atrito

= (19,26 / 1000)^,5 = 0,139 m/s

e) Determinação do fator de atrito para Q = 0,14 m3/s

V = (4Q/π D2) = (4 . 0,14/π.0,30^2) F 0E 8 V = 1,98 m/s

f = 2g . D . ΔH / (L . V^2) = 19,6 . 0,30 . 7,86 / (300 . 1,98^2) F 0 E 8 f = 0,039

Página 22 exemplo 1.3 Considere um sistema de bombeamento como o da Figura 1.7, no qual uma bomba, com rendimento de 75%, recalca uma vazão de 15 l/s de água, do reservatório de montante, com nível d’água na cota 150,00 m, para ao reservatório de jusante, com nível d’água na cota 200,00 m. As perda de carga totais na tubulação de montante (sucção) e de jusante (recalque) são, respectivamente,

ΔHm= 0,56 m e ΔHj=17,92 m. Os diâmetros das tubulações de sucção e recalque são, respectivamente, 0,15 m e 0,10 m. O eixo da bomba está na cota geométrica 151,50 m. Determine:

a) as cotas da linha de energia nas seções de entrada e saída da bomba;

b) as cargas de pressão disponíveis no centro dessas seções;

c) a altura total de elevação e a potência fornecida pela bomba.

a) Determinação das energias na entrada e saída da bomba

Hentrada = Zm – ΔHm = 150 – 0,56 = 149,44 m

Hsaída = Zj – ΔHj = 200 + 17,92 = 217,92 m

b) Determinação das velocidades na entrada e saída da bomba

Ventrada = (4Q/π Ds2) = (4.0,015/3,1415 . 0,15^2) = 0,85 m/s

Vsaída = (4Q/ π Dr2) = (4.0,015/3,1415 .0,10^2) = 1,91 m/s

c) Determinação das pressões na entrada e saída

HB = pB/γ +ZB + VB^2/2g (na entrada)

149,44 = pB/γ + 151,50 + 0,85^2/19,6 F 0E 8 pB/γ = -2,10m

HC = pC/γ +ZC + VC^2/2g (na saída)

217,92 = pC/γ + 151,50 + 1,91^2/19,6 F 0E 8 pC/γ = 66,23m

d) Determinação da altura total de elevação da bomba

H = HREC – HSUC = HC – HB = 217,92 – 149,44 = 68,48 m

e) Determinação da potência da bomba

Pot = γQH/n = 9,8.0,015.68,48/0,75 = 13,42 kw ou 18,25 cv

(1kw = 1,36cv)

Pág. 25 numero 1.11 Bombeiam-se 0,15 m3/s de água através de uma tubulação de 0,25 m de diâmetro, de um reservatório aberto cujo nível d’água mantido constante está na cota 567,00 m. A tubulação passa por um ponto alto na cota 587,00 m. Calcule a potência necessária à bomba, com rendimento de 75%, para manter no ponto alto da tubulação uma pressão disponível de 147 kN/m2, sabendo que, entre o reservatório e o ponto alto, a perda de carga é igual a 7,5 m. Dados: Q = 0,15 m3/s ; ΔHtotal = 7,5 m D = 0,20 m ; n = 0,75 Pc = 147 kN/m2 F 0E 8 pC/γ = 147/9,8 F 0E 8 pC/γ = 15 m

a) Determinação da energia cinética

Vc = (4Q/π D2) = (4.0,15/3,1415 . 0,25^2) = 3,06 m/s

Vc^2/2g = 3,06^2/19,6 = 0,477 m

b) Determinação da altura manométrica

H = (ZD – ZA) + (ΔHm + ΔHj) + (pD/γ + VD^2/2g) ( energia disponível em D)

H = (587 – 567) + ( 7,5 ) + (15 + 0,477) F 0E 8 H = 42,98 m

c) Determinação da potência da bomba

Pot = γQH/n = 9,8.0,15.42,98/0,75 = 84,23 kw ou 114,56 cv

Pág. 25 numero 1.12 Entre os dois reservatórios mantidos em níveis constantes, encontra-se uma máquina hidráulica instalada em uma tubulação circular com área igual a 0,01 m2. Para uma vazão 20 l/s entre os reservatórios, um manômetro colocado na seção B indica uma pressão de 68,8 kN/m2 e a perda de carga entre as seções D e C é igual a 7,5 m. Determine o sentido do escoamento, a perda de carga entre as seções A e B, as cotas piezométricas em B e C, o tipo de máquina (bomba ou turbina) e a potência da máquina se o rendimento é de 80%. Resp. [A F 0 E 8D;DHab=2,796m;CPb=7m;CPc=9,29m;bomba;Pot=,563kw]

Dados: pB = 68,8 kN/m2 F 0E 8 pB/γ = 68,8/9,8 = 7 m A = 0,01 m2 ; ΔHDC = 7,5 m ; Q = 0,020 m3/s ; n = 0,80

a) Sentido arbitrado: de A para B

b) Determinação da energia cinética

V = Q/A = 0,020/0,010 = 2,0 m/s F 0E 8 V^2/2g = 2,0^2/19,6 = 0,20 m

c) Determinação da ΔHAB HA = HB + ΔHAB pA/γ + ZA + VA^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ΔHAB 0 + 10 + 0 = 7 + 0 + 0,20 + ΔHAB F 0E 8 ΔHAB = 2,80 m

d) Determinação da pC/γ HC = HD + ΔHCD pC/γ + ZC + VC^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ΔHCD pC/γ + 0 + 0,20 = 0 + 2 + 0 + 7,5 F 0E 8 pC/γ = 9,30 m

e) Determinação das cotas piezométricas em B e C CPB = pB/γ + ZB = 7,00 + 0 = 7,00 m

CPC = pC/γ + ZC = 9,30 + 0 = 9,30 m

f) Determinação da altura de elevação da bomba

HB (sucção) = pB/γ + ZB + VB^2/2g = 7 + 0 + 0,20 = 7,20 m

HC (recalque) = pC/γ + ZC + VC^2/2g = 9,3 + 0 + 0,20 = 9,50 m

H = HC (recalque) - HB (sucção) = 9,50 – 7,20 = 2,30

g) Determinação da potência da bomba

Pot = γQH/n = 9,8.0,020.2,30/0,80 = 0,563 kw ou 0,766 cv

Pág. 26 numero 1.13 A vazão de água recalcada por uma bomba é de 4500 l/min. Seu conduto de sucção, horizontal, tem diâmetro de 0,30 m e possui um manômetro diferencial, como na Figura 1.11. Seu conduto de saída, horizontal, tem diâmetro de 0,20 m e sobre seu eixo, situado 1,22 m acima do precedente, um manômetro indica uma pressão de 68,6 kPa. Supondo o rendimento da bomba igual a 80%, qual a potência necessária para realizar este trabalho. Dado densidade do mercúrio dr = 13,6. Dados: Q = 4500 l/min = 4500/(1000.60) = 0,075 m3/s ; n = 0,80 P2 = 68,6 kN/m2 F 0E 8 p2/γ = 68,6/9,8 = 7 m

a) Determinação da p1/γ p/γ = h. d = altura x densidade p1/γ = -0,26.1,0 - 0,18 . 13,6 F 0E 8 p1/γ = -2,708 m

b) Determinação das velocidades nas tubulações sucções e de recalque

V1s = (4Q/π Ds2) = (4.0,075/π.0,30^2) = 1,06 m/s F 0 E 8 V1/2g = 1,06^2/19,6 = 0,057 m

V2r = (4Q/ π Dr2) = (4.0,075/π.0,20^2) = 2,38 m/s F 0 E 8 V2/2g = 2,38^2/19,6 = 0,291 m

c) Determinação das cotas de energia na entrada e saída da bomba

Hsucção = p1/γ + Z1 + V1^2/2g = -2,708 + 0 + 0,057 = - 2,651 m

Hrecalque = p2/γ + Z2 + V2^2/2g = 7,0 + 1,22 + 0,291 = 8,511 m

Helevação = Hsucção – Hrecalque = 8,511 – (-2,651) = 11,162 m

d) Determinação da potência da bomba

Pot = γQH/n = 9,8.0,075.11,162/0,80 = 10,26 kw ou 13,95 cv

Pág. 26 numero 1.14 A Figura 1.12 mostra o sistema de bombeamento de água do reservatório R1 para o reservatório R2, através de uma tubulação de diâmetro igual a 0,40 m, pela qual escoa uma vazão de 150 l/s com uma perda de carga unitária J=0,055 m/m. As distâncias R1B1 e B1R2 medem, respectivamente, 18,5 m e 1800 m. A bomba B1 tem potência igual a 50 cv e rendimento de 80%. Com os dados da Figura 1.12, determine:

a) a que distância de B1 deverá ser instalada B2 para que a carga de pressão na entrada de B2 seja igual a 2 mH2O;

b) a potência da bomba B2, se o rendimento é de 80%, e a carga de pressão logo após a bomba. Despreze, nos dois itens, a carga cinética da tubulação.

Dados: R1B1 = 18,50 m ; B1R2 = 1800 m ; Q = 0,15 m3/s ; n = 0,80 D = 0,40 m ; J = 0,0055 m/m ; Pot(B1) = 50 cv ; pD/γ = 2 m

a) Determinação da cota piezométrica em B HA = HB + ΔHAB pA/γ + ZA + VA^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ΔHAB 0 + 0 + 0 = pB/γ + (-2) + 0 + 0,0055 . 18,5 F 0E 8 pB/γ = 1,90 m

CPB = pB/γ + ZB = 1,90 – 2 = - 0,10 m = HB (pois energia cinética = 0)

b) Determinação da cota piezométrica em B Pot = γ Q (Hrec – Hsuc)/n = γ Q (HC – HB)/n = 50/1,36 = 9,8.0,15.(HC – 0,10) / 0,80 F 0E 8 HC = 19,90 m = CPC

CPC = pC/γ + ZC F 0E 8 19,90 = pC/γ -2 F 0E 8 pC/γ = 21,90 m

c) Determinação da distância de B1 em relação a B2 HC = HD + ΔHCD pC/γ + ZC + VC^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ΔHCD 19,90 = 2 + 15 + 0 + 0,0055 x F 0E 8 x = 527,30 m

d) Determinação da altura de elevação da bomba 2 HD = Hsuc = 2 + 15 + 0 F 0E 8 HD = 17 m HE = HF + ΔHEF HE = Hrec = 22 + (1800 – 527,30) 0,0055 F 0E 8 HE = 29 m H = Hrec – Hsuc = HE – HD = 29 – 17 F 0E 8 H = 12 m

e) Determinação da potência da bomba 2 Pot (B2) = γ Q (Hrec – Hsuc)/n = γ Q (HE – HD)/n Pot (B2) = 9,8 . 0,15 (29 – 17)/0,80 = 22,05 kw (* 1,36) ou 30cv

f) Determinação da pressão após a bomba B2 HE = pE/γ + ZE = 29 = pE/γ + 15 F 0E 8 pE/γ = 14 m

CAPÍTULO 2

CAPÍTULO 2

Pág. 59 exemplo 2.8 O sistema de abastecimento de água de uma localidade é feito por um reservatório principal, com nível d’água suposto constante na cota 812,00 m, e por um reservatório de sobras que complementa a vazão de entrada na rede, nas horas de aumento de consumo, com nível d’água na cota 800,00 m. No ponto B, na cota 760,00 m, inicia-se a rede de distribuição. Para que valor particular da vazão de entrada na rede, QB, a linha piezométrica no sistema é a mostrada na figura? Determine a carga de pressão disponível em B. O material das adutoras é de aço soldado novo (C=130). Utilize a fórmula de Hazem –Williams, desprezando as cargas cinéticas nas duas tubulações.

Dados:

a) Determinação da vazão (Q)

J = (812 – 800)/(650 + 420) = (10,65Q ^1,85)/(130^1,85 . 0,15^4,87)

F 0 E 8 Q = 0,02165 m3/s ou 21,65 litros/s

Q = QB + QBC

b) Determinação da vazão (QB) J = (812 – 800)/(650 + 420) = (10,65QBC ^1,85)/(130^1,85 . 0,10^4,87)

F 0 E 8 QBC = 0,00745 m3/s ou 7,45 litros/s

F 0 E 8 QB = Q - QBC = 21,65 – 7,45 = 14,20 litros/s

c) Determinação da pressão no ponto B (pB/γ)

CPB = pB/γ + ZB = CPA - ΔHAB ΔHAB = J . L

pB/γ = CPA - ΔHAB – ZB =

pB/γ = 812 – (812 – 800)/(650 + 420) . 650 - 760

pB/γ = 812 - 0,011215 . 650 - 760 = 812 - 7,29 - 760 = 44,71 m

pB/γ = 44,71 m

Pág. 63 numero 2.14 Em relação ao esquema de tubulações do Exemplo 2.8, a partir de que vazão QB, solicitada pela rede de distribuição de água, o reservatório secundário, de sobras, passa a ser também abastecedor. Dados: C = 130

a) Considerações iniciais

Na iminência do reservatório 2 abastecer o ponto B a cota de energia em C (HC) é igual à cota de energia no ponto B (HB). Como as cargas cinéticas são desprezadas, a cota piezométrica em C é igual em B, ou seja:

CPB = CPC mas CPB = CPA - ΔHAB

ΔHAB = CPA – CPC Ainda tem-se que, como CPC = CPB F 0E 8 ΔHBC = 0 F 0E 8 QC = 0

Q = QAB + QBC = QAB + 0 F 0E 8 Q = QAB

Logo, o único fluxo que ocorre é na tubulação do trecho AB.

b) Determinação da vazão em B limite para que R2 abasteça em B

(812 – 800) = 10,65.QAB^1,85.650/(130^1,85 . 0,15^4,87)

F 0E 8 QAB = 0,0283 m3/s ou 28,3 litros/s

Pág. 67 numero 2.33 Determinar a relação entre a vazão máxima e a vazão mínima que pode ser retirada na derivação B, conforme a figura, impondo que o reservatório 2 nunca seja abastecido pelo reservatório 1 e que a mínima carga de pressão disponível na linha seja 1,0 mH20. Utilize a fórmula de Hazen-Williams. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas.

a) Considerações para o 1 Caso No 1 caso de vazão mínima o R2 está na iminência de ser abastecido mas ainda não abastece o ponto B a cota de energia em C (HC) é igual à cota de energia no ponto B (HB). Como as cargas cinéticas são desprezíveis CPB = CPC mas CPB = CPA - ΔHAB F 0E 8 ΔHAB = CPA – CPC

b) Determinação da vazão em B limite para que R2 abasteça em B (554 – 552) = 10,65.QAB^1,85.850/(110^1,85 . 0,30^4,87) F 0E 8 QABmin = 0,0488 m3/s ou 48,8 litros/s (vazão mínima) c) Considerações para o 2 Caso

No 2 caso de vazão máxima o R2 também abastece o ponto B, contanto que a pressão mínima na rede seja de (p/γ)min = 1 m. Como as cargas cinéticas são desprezíveis, tem-se que: HB = CPB = CPA - ΔHAB e ainda CPB = CPC - ΔHCB

CPB = pB/γ + ZB = (p/γ)min + ΖΒ = 1 + 549 = 550 m Logo: ΔHAB = CPA – CPB = 554 – 550 F 0E 8 ΔHAB = 4 m ΔHCB = CPC – CPB = 552 – 550 F 0E 8 ΔHCB = 2 m QB = QAB + QCB

d) Determinação da QAB ΔHAB = (554 – 550) = 10,65.QAB^1,85.850/(110^1,85 . 0,30^4,87) F 0E 8 QAB = 0,0710 m3/s ou 71,0 litros/s

e) Determinação da QCB ΔHCB = (554 – 552) = 10,65.QCB^1,85.450/(100^1,85 . 0,20^4,87) F 0E 8 QCB = 0,0215 m3/s ou 21,5 litros/s

f) Determinação da vazão máxima QB = QAB + QCB = 71,0 + 21,5 = 92,5 litros/s

g) Relação Qmáx/Qmin

Qmáx/Qmin = 92,5/48,8 F 0E 8 Qmáx/Qmin =1,89

Pág. 67 numero 2.34 Uma tubulação de 0,30 m de diâmetro e 3,2 km de comprimento desce, com inclinação constante, de um reservatório cuja superfície livre está a uma altitude de 120 m, conectando-se aos reservatórios em ponto situados a 10 m abaixo de suas respectivas superfícies livres. A vazão através da linha não é satisfatória e instala-se uma bomba na altitude 135 m a fim de produzir o aumento de vazão desejado. Supondo que o fator de atrito da tubulação seja constante e igual a f = 0,20 e que o rendimento da bomba seja de 80%, determine:

a) a vazão original do sistema por gravidade; b) a potência necessária à bomba para recalcar uma vazão de 0,15 m3/s; c) as cargas de pressão imediatamente antes e depois da bomba,

desprezando as perdas de carga localizadas e considerando a carga cinética na adutora;

d) desenhe as linhas de energia e piezométrica após a instalação da bomba, nas condições do item anterior.

Dados: D = 0,30m ; f = 0,020 ; n = 0,80 ; L = 3200 m ; Q = 0,15 m3/s

a) Determinação da vazão original sem bombeamento (Q) F 0 E 8(140– 110) = 0,020.3200.V^2/(0,30.19,6) F 0E 8 V = 1,66 m/s Q = (π D^2/4)V F 0E 8 Q = π 0,30^2 / 4 . 1,66 F 0E 8 Q = 0,117 m3/s b) Potência do sistema com bombeamento para Q = 0,15 m3/s

V = (4Q/π D2) = (4 . 0,15/π.0,30^2) = 2,12 m/s ΔH = 0,020 . 3200 . 2,12^2/(0,30 . 19,6) F 0E 8 ΔH = 48,92 m -A altura de elevação é: H = ZJ – ZM + ΔH = 110 – 140 + 48,92 = 18,92 m

Pot = γQH/n = 9,8.0,15.18,92/0,80 = 34,76 kw ou 74,28 cv

c) Determinação da perda de carga entre A e B antes da bomba

F 0E 8 ΔHAB = 0,020 . 533,33 . 2,12^2 / (0,30 . 19,6) = 8,15 m

d) Carga de pressão antes da bomba HA = HB + ΔHAB pA/γ + ZA + VA^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ΔHAB 0 + 150 + 0 = pB/γ + 135 + 2,12^2/19,6 + 8,15 F 0E 8 pB/γ = 6,62 m

e) Determinação da perda de carga entre C e D depois da bomba ΔHCD = 0,020 . (3200-533,33) . 2,12^2 / (0,30 . 19,6) = 40,76 m

f) Carga de pressão depois da bomba HC = HD + ΔHCD pC/γ + ZC + VC^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ΔHAB pC/γ + 135 + 2,12^2/19,6 = 0 + 120 + 0 + 40,76

F 0E 8 pC/γ = 25,53 m Pág. 68 numero 2.35 Na figura abaixo os pontos A e B estão conectados a um reservatório em nível constante e os pontos E e F conectados a outro reservatório também mantido em nível constante e mais baixo que o primeiro. Se a vazão no trecho AC é igual a 10 l/s de água, determinar as vazões em todas as tubulações e o desnível H entre os reservatórios. A instalação está em um plano horizontal e o coeficiente de

rugosidade da fórmula de Hazen-Williams, de todas as tubulações, vale C = 130. Despreze as perdas de carga localizadas e as cargas cinéticas nas tubulações.

QAC = 10 l/s a) Determinação das vazões QAC, QBC e QCD Como ΔHAC = ΔHBC e LAC = LBC

= F 0 E 8 QBC = QAC (DBC/DAC)^2,63 = 10 . (6/4)^2,63 = 29 litros/s

Como QCD = QAC + QBC = 10 + 29 = 39 litros/s

b) Determinação das vazões QDE e QDF Como ΔHDE = ΔHDF e DDE = DDF = F 0 E 8 QDE = QDF (LDF/LDE)^(1/1,85) = QDF . (250/200)^(1/1,85) = F 0 E 8 QDE = 1,128 QDF

Como QCD = QDE + QDF = 1,128QDE + QDE F 0E 8QCD = 2,128 QDE

F 0 E 8 39 = 2,128 QDF F 0E 8 QDF = 39/2,128 F 0E 8 QDF = 18,32 litros/s F 0 E 8 QDE = 1,128 . QDF = 1,128 . 18,32 F 0E 8 QDE = 20,66 litros/s

c) Determinação das perdas de carga Em C F 0E 8 JAC = (10,65.0,010^1,85)/(130^1,85 . 0,010^4,87) = 0,0193m/m

F 0E 8 ΔHAC = JAC . LAC = 0,0193 . 100 = 1,93 m

Em D F 0E 8 JCD = (10,65.0,039^1,85)/(130^1,85 . 0,20^4,87) = 0,0082m/m F 0E 8 ΔHAC = JAC . LAC = 0,0082 . 300 = 2,46 m

Em E F 0E 8 JDE = (10,65.0,0206^1,85)/(130^1,85 . 0,15^4,87) = 0,0103m/m F 0E 8 ΔHDE = JDE . LDE = 0,0103 . 200 = 2,06 m

d) Determinação das cotas piezométricas HA = HC + ΔHAC = HA = (HD + ΔHCD) + ΔHAC HA = (HE + ΔHDE) + ΔHCD + ΔHAC HA – HE = ΔHDE + ΔHCD + ΔHAC H = 2,06 + 2,46 + 1,93 F 0E 8 H = 6,45 m

e) Esquema do fluxo

Pág. 68 numero 2.36 Determinar o valor da vazão QB, e a carga de pressão no ponto B, sabendo que o reservatório 1 abastece o reservatório 2 e que as perdas de carga unitárias nas duas tubulações são iguais. Material: aço soldado revestido com cimento centrifugado. Despreze as perdas localizadas e as cargas cinéticas. C = 140

a) Relação entre as vazões = QAB/QBC = [(DAB/DBC)^4,87]^(1/1,85)

F 0 E 8 QAB/QBC = (DAB/DBC)^2,63 F 0E 8 QAB/QBC = (6/4)^2,63 = 2,905

F 0 E 8 QAB = 2,905 QBC

Como QAB = Qbomba + QBC 2,905QBC = Qbomba + QBC F 0E 8 Qbomba = 1,905 QBC

b) Determinação da vazão QAB e QBC JAB = ΔHAB/L =

(810-800)/(860 + 460) = 10,65.QAB^1,85/(140^1,85.0,15^4,87) = 0,00757

QAB = 0,01886 m3/s ou 18,86 litros/s

QBC = QAB/2,905 = 0,01886 / 2,905 = 0,0065 m3/s ou 6,5 litros/s

c) Determinação da vazão Qbomba Qbomba = QAB – QBC = 18,86 – 6,50 = 12,36 litros/s

d) Determinação da perda de carga entre A e B

ΔHAB = JAB . LAB = 0,00757 . 860 = 6,51 m

e) Determinação da pressão em B (pB/γ)

HA = HB + ΔHAB

pA/γ + ZA + VA^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ΔHAB

0 + 810 + 0 = pB/γ + 780 + 0 + 6,51 F 0E 8 pB/γ = 23,49 m

CAPÍTULO 3 CAPÍTULO 3

Página 85 exemplo 3.3 Na instalação hidráulica predial mostrada na Figura 3.15, a tubulação é de PVC rígido, soldável com 1” de diâmetro, e é percorrida por uma vazão de 0,20 l/s de água. Os joelhos são de 90O e os registros de gaveta, abertos. No ponto A, 2,10 m abaixo do chuveiro, a carga de pressão é igual a 3,3 mH20. Determine a carga de pressão disponível imediatamente antes do chuveiro. Os tês estão fechados em uma das saídas.

Dados: PVC rígido soldável D = 1” F 0E 8 β = 0,1202 (pág. 57) Q = 0,20 l/s ; CPA = 3,30 m

a) Determinação dos comprimentos equivalentes totais das conecções

Acessório Compr. Equivamente (m) 3 joelhos de 90o 3 . 1,5 = 4,50 2 registros de gaveta abertos 2 . 0,3 = 0,60 Tê passagem direta 0,9 = 0,90 Tê lateral 3,1 = 3,1 Comprimento real 8,60 Comprimento Total 17,70

b) Determinação da perda de carga total

ΔH = J . L J = β Q1,75

c) Determinação Cota piezométrica antes do chuveiro

CPCH = CPA - ΔH

CPCH = 3,30 – (0,1202 . 0,201,75) . 17,70 F 0E 8 CPCH = 3,17 m

d) Determinação pressão no chuveiro

CPCH = pCH/γ + ZCH =

pCH/γ = CPCH - ZCH = 3,17 – 2,10 = 1,07 m

pCH/γ = 1,07 m

Página 87 exemplo 3.4

Na instalação hidráulica predial mostrada na figura, as tubulações são de aço galvanizado novo, os registros de gávea são abertos e os cotovelos têm rio curto. A vazão que chega ao reservatório C é 38% maior que a que escoa contra a atmosfera novo ponto C. Determine a vazão que sai do reservatório A, desprezando as cargas cinéticas.

a) Determinação dos comprimentos equivalentes das conecções Trecho BC Trecho BD

Acessório Comp. Equi.(m) Acessório Comp. Equi.(m) Te lateral (1 1/2”) 2,587 Te lateral (1 1/2”) 2,587 Reg. Gaveta 0,175 2 cotovelos 90º 2,550 Saída canalização 0,775 Reg. Gaveta 0,263 Comprimento Real 6,00 Saída canalização 1,133

Comprimento real 7,30 Comprimento total 9,54 (LBC) Comprimento total 13,83 (LBD)

b) Determinação das cotas piezométricas Seja X a cota piezométrica imediatamente antes do tê localizado em B. Para os dois ramos da instalação, tem-se as seguintes perdas totais: HB = HD + ΔHBD e HB = HC + ΔHBC HB = HB F 0E 8 HD + ΔHBD = HC + ΔHBC 3 + ΔHBD = 1 + ΔHBC

ΔHBC = ΔHBD + 2 portanto JBC . LBC = JBD . LBD + 2

ΔH = J . L J = β Q1,75

c) Determinação das vazões

Como QBD = 1,38 QBC e pela tabela 2.5 pag. 57

JBC . LBC = JBD . LBD + 2

0,3044 QBC^1,88 . 9,54 = 0,03945 (1,38 . QBC)^1,88 . 13,83 + 2

2,904 QBC^1,88 = 0,996 QBC ^1,88 + 2 F 0E 8 QBC = 1,03 litros/s F 0E 8 QBD = 1,42 litros/s

Logo, a vazão que sai do reservatório A será a soma: QBC + QBD = 2,45 litros/s Pág. 88 numero 3.1

A instalação mostrada na Figura tem diâmetro de 50 mm em ferro fundido com leve oxidação. Os coeficientes de perdas de carga localizadas são: entrada e saída da tubulação K = 1,0, cotovelo 90º K = 0,90, curvsa de 45º K = 0,20 e registro de ângulo, aberto, K = 5,0. Determine, usando a equação de Darcy-Weisbach:

a) a vazão transportada: b) querendo-se reduzir a vazão párea 1,96 litros/s, pelo fechamento

parcial do registro, calcule qual deve ser a perda de carga localizada no registro e seu comprimento equivalente.

a) Determinação da velocidade (Darcy) (50 – 45) . 19,6 = [f 45/0,05 + ((2*1 +0,9 + 2*0,20+5)v^2 98 = (900 f + 8,30) v^2 ; v = ? e f = ? Processo interativo (chute inicial) J = (ΔZ = ΔH)/L = 5 / 45 = (0,111 m/m) * 100 J = 11,11 (m/100m)

Tabela 2 A2 pag. 203 e = 0,30 F 0E 8 v = 1,80 m/s e f = 0,0333

Para v = 1,80 m/s e f = 0,0333 F 0E 8 (900 * 0,0333 + 8,3) 1,8^2 = 123,99 # 98 Para v = 1,60 m/s e f = 0,0334 F 0E 8 (900 + 0,0334 + 8,3) 1,6^2 = 98,2 = 98 ok

Logo: v = 1,60 m/s e f = 0,0334

b) Determinação da vazão Q = ( π D^2/4) . v = π 0,05^2/4 . 1,60 = F 0E 8 Q = 0,00314 m3/s

c) Determinação da velocidade para Q = 1,96 litros/s v = 4 Q / π D^2 = 4 . 0,00196 / π 0,05^2 F 0E 8 v = 1,0 m/s

d) Determinação do coeficiente de perda de carga do registro (kreg) 2g . Δz/ v^2 = f . L/D + (kreg + Σk) 19,6 (50 – 45) / 1^2 = 0,0341 . 45/0,05 + (kreg + 3,3)

98 = 30,69 + kreg + 3,30 F 0E 8 kreg = 64,01

e) Determinação da perda de carga do registro para Q = 1,96 litros/s Δh = k v^2/2g = 64,01 . 1^2/19,6 F 0E 8 Δh = 3,26 m

f) Determinação do comprimento equivalente do registro Le/D = k/f F 0E 8 Le = k . D/f = 64,01 . 0,05/0,0341 F 0E 8 Le = 93,86 m

Pág. 89 numero 3.3 Uma adutora de 500 mm de diâmetro, 460 m de comprimento, em aço soldado revestido de cimento centrifugado, liga dois reservatórios mantidos em níveis constantes. Determine a capacidade de vazão da adutora quando o desnível entre os reservatórios for de 3,50 m, nas seguintes condições:

a) desprezando as perdas de carga localizadas na entrada e na saída da tubulação;

b) considerando tais perdas de carga localizadas, adotando os seguintes coeficientes de perdas Ke = 0,5 e Ks = 1,0.

Faça comentários pertinentes sobre os resultados encontrados, observando a relação entre o comprimento e o diâmetro da adutora.

a) Determinação da velocidade F 0E 8 2g.Dz = 19,5 . 3,5= (460/0,50 . f + 0) v^2

F 0 E 8 68,6 = 920 f. v^2

Interação inicial F 0E 8 J = Dz=Dh/L = 3,5/400 = 0,0076 m/m

Ou 0,761 m/100m e e = 0,10 e D = 500 mm

TAB. A2 F 0E 8 pág. 214 F 0E 8 2,20 m/s

v = 2,20 m/s TAB. A1 pag. 202 F 0E 8 f = 0,0147

68,6 ≠ 920 . 0,0147 . 2,2^2 = 65,45 F 0E 8 não convergiu Para v = 2,25 m/s F 0E 8 f = 0,0147 F 0 E 8 68,6 = 920 . 0,0147 . 2,25^2 =68,46 F 0E 8 ok convergiu

b) Determinação da vazão

Q = v . 3,14 . D^2/4 = 2,25 . 3,14 . 0,5^2/4 = 0,442 m3/s

c) Det. vazão considerando perdas de cargas localizadas

Ke = 0,50 Ks = 1,0

68,6 = (0,0147*460/0,5 + (1+0,5))v^2 F 0E 8 v = 2,14 m/s

Q = v . 3,14 . D^2/4 = 2,14 . 3,14 . 0,5^2/4 = 0,420 m3/s

Pág. 89 numero 3.4 Em um distrito de irrigação, um sifão de 2” de diâmetro possui as dimensões indicadas na figura e é colocado sobre um dique. Estime a vazão esperada sob uma carga hidráulica de 0,50 m e a carga de pressão disponível no ponto médio do trecho horizontal do sifão. Adote os seguintes coeficientes de perda de carga localizada: entrada Ke = 0,5, saída Ks = 1,0, curva de 45º K = 0,2. Material da tubulação ferro fundido com revestimento asfáltico. Utilize a equação de Darcy – Weisbach.

Material: ferro fundido com revestimento asfáltico F 0E 8 e = 0,15 mm

a) Determinação da velocidade para D = 50 mm e ε = 0,15 mm 0,50*919,6 = [ f 480/0,05 + (0,5 + 1,0 + 2*0,2) v^2

Tentativa inicial J = Dz/L = 0,50/4,80 = 0,1042 m/m ou 10,42 m/100m

Pela Tabela A2 F 0E 8 v = 1,90 m/s e f = 0,0278 9,8 = (96 * 0,0278 + 1,90) * 1,90^2 = 16,49 # 9,8

Para v = 1,46 m/s e f = 0,0281 9,8 = (96 * 0,0281 + 1,9) 1,46^2 = 9,8 = 9,8 ok

Logo v = 1,46 m/s e f = 0,0281

b) Determinação da vazão Q = (π D^2/4) v = π 0,050^2/4 * 1,46 = 0,00286 m3/s ou Q = 2,90 litros/s

c) Determinação da perda de carga até o trecho horizontal = (0,0281 * 2,3/0,05 + 0,7) * 1,46^2/19,6 ΔHAB = 0,216 m

d) Determinação da pressão no trecho horizontal HA = HB + ΔHAB pA/γ + ZA + VA^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ΔHAB

0 + 50 + 0 = pB/γ + 50,5 + 1,46^2/19,6 + 0,216

F 0 E 8 pB/γ 0 01 F = 0,83 m

Pág. 91 numero 3.8 Dois reservatórios, mantidos em níveis constantes, são interligados em linha reta através de uma tubulação de 10 m de comprimento e diâmetro D = 50 mm, de PVC rígido, como mostra o esquema da figura. Admitindo que a única perda de carga localizada seja devido à presença de um registro de gaveta parcialmente fechado, cujo comprimento equivalente é Le = 20,0 m, e usando a fórmula de Hazen-Williams, adotando C = 145, determine:

a) a vazão na canalização supondo que o registro esteja colocado no ponto A; b) Idem, supondo o registro colocado no ponto B; c) a máxima e a mínima carga de pressão na linha, em mH2O, nos casos a e b; d) Desenhe em escala as linhas piezométrica e de energia.

Considerem, em ambos os casos, a carga cinética na tubulação.

a) Determinação da vazão HC = HH + ΔHCH ( = ΔH distribuída + ΔH localizada) pC/γ + ZC + VC^2/2g = pH/γ + ZH + VH^2/2g + ΔHCH 0 + 4 + 0 = 0 + 1 + 0 + ΔHCH = ΔHCH F 0 E 8 (4 – 1) = 10,65 . Q^1,85 . (10 + 20) / [145^1,85 . 0,05^4,87] F 0 E 8 QA = 0,00437 m3/s ou 4,37 litros/s = QB

b) Determinação da velocidade na canalização v = 4 Q/π D^2 = 4 . 0,00437 / (3,14 . 0,05^2) = 2,22 m/s

c) Determinação das pressões na linha (Registro no ponto A) Em D HC = HD + ΔHCD pC/γ + ZC + VC^2/2g = pD/γ + ZD + VD^2/2g + ΔHCD 0 + 4 + 0 = pD/γ + 3 + 2,22^2/19,6 + 0 F 0E 8 pD/γ F 02 0 = 0,75 m

Em E HC = HE + ΔHCE pC/γ + ZC + VC^2/2g = pE/γ + ZE + VE^2/2g + ΔHCE 0 + 4 + 0 = pE/γ +3+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 . 20)/[145^1,85 . 0,05^4,87] F 0E 8 pE/γ F 02 0 = - 1,25 m

Em B HC = HB + ΔHCB pC/γ + ZC + VC^2/2g = pB/γ + ZB + VB^2/2g + ΔHCB 0 + 4 + 0 = pB/γ +0+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 (10+20)/[145^1,85. 0,05^4,87] F 0E 8 pB/γ F 02 0 = 0,75 m

d) Descrição das pressões extremas no caso do registro no ponto A

(pD/γ F 02 0)máxima = 0,75 m e (pE/γ F 02 0)min = -1,25 m

e) Esquema de distribuição de pressão na linha

Pág. 91 numero 3.8 (continuação)

f) Esquema do caso do registro no ponto B

g) Determinação das pressões na linha (Registro no ponto B) Em A HC = HA + ΔHCA pC/γ + ZC + VC^2/2g = pAD/γ + ZA + VA^2/2g + ΔHCA 0 + 4 + 0 = pA/γ + 3 + 2,22^2/19,6 + 0 F 0E 8 pA/γ F 02 0 = 0,75 m

Em E HC = HE + ΔHCE pC/γ + ZC + VC^2/2g = pE/γ + ZE + VE^2/2g + ΔHCE 0 + 4 + 0 = pE/γ +3+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 . 20)/[145^1,85 . 0,05^4,87] F 0E 8 pE/γ F 02 0 = - 1,25 m

Em F HC = HF + ΔHCF pC/γ + ZC + VC^2/2g = pF/γ + ZF + VF^2/2g + ΔHCF 0 + 4 + 0 = pF/γ +0+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 (10)/[145^1,85. 0,05^4,87] F 0 E 8 pF/γ F 02 0 = 2,75 m Em G HC = HG + ΔHCG pC/γ + ZC + VC^2/2g = pG/γ + ZG + VG^2/2g + ΔHCG 0 + 4 + 0 = pG/γ +0+2,22^2/19,6+10,65.Q^1,85 (10+20)/[145^1,85. 0,05^4,87] F 0E 8 pG/γ F 02 0 = 0,75 m

h) Determinação das pressões extremas no caso do registro no ponto B

(pF/γ F 02 0)máxima = 2,75 m e (pE/γ F 02 0)min = 0,75 m

i) Esquema de distribuição de pressão na linha

Pág. 92 numero 3.11 O reservatório B, prismático de área igual a 1,0 m2, possui um orifício no fundo que abre comandado pelo manômetro, quando este acusar este acusar uma pressão de 4,9 kPa, conforme a figura. Qual deve ser a cota do nível d’água no reserva tório A, mantido em nível constante, para que o orifício do reservatório B seja aberto 10 min após a abertura do registro de gaveta da canalização de 1” de

Está muito bom, apresenta todas as respostas de forma bem organizada, mas falta um pouco de explicação em alguns raciocínios utilizados.
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