Fisica Geral, Notas de estudo de Engenharia de Produção
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Fisica Geral, Notas de estudo de Engenharia de Produção

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Como resolver problemas de Física

1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.

2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas como o sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do movimento do objeto em questão.

3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue montar as contas.

4ª ETAPA:INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem, você achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, confira suas contas e o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática.

Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 1 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998

Como resolver problemas de Física

1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.

2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações básicas como o sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do movimento do objeto em questão.

3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão porque há a conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue montar as contas.

4ª ETAPA:INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem, você achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber somente o número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a resultados errados. Pense bem no que o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, confira suas contas e o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática.

Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 1 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998

Versão preliminar 25 de março de 2002

Notas de Aula de Física

01. MEDIÇÃO ..................................................................................................................... 2 ALGUMAS UNIDADES FUNDAMENTAIS: ................................................................................... 2 ALGUMAS UNIDADES DERIVADAS: ......................................................................................... 2 O MUNDO DA FÍSICA ........................................................................................................... 3 AS DIVISÕES DA FÍSICA ....................................................................................................... 4 COMO RESOLVER PROBLEMAS DE FÍSICA .............................................................................. 5

Prof. Romero Tavares da Silva

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01. Medição

Para expressar quantitativamente uma lei física necessitamos de um sistema de unidades. Do mesmo modo, para medir uma grandeza física é necessário definir a priori a unidade na qual esta grandeza será medida.

Existe uma enorme quantidade de grandezas físicas, mas apenas algumas são consideradas fundamentais, sendo as demais derivadas delas. Tempo (segundo), espaço (metro), massa(quilograma) e carga elétrica(Coulomb) são exemplos de unidades funda- mentais. Velocidade (metro/segundo), aceleração (metro/segundo2) e força (quilogra- ma.metro/segundo2) são exemplos de unidades derivadas.

Por razões históricas, o tempo foi a primeira quantidade a ser mensurada. Este conceito surge a partir da duração do dia, da presença da luminosidade do Sol; e a sua ausência: a noite.

Com a evolução da humanidade e com os deslocamentos das comunidades surge o conceito de distância, de comprimento, de temperatura e etc.

A partir da necessidade de quantificar as mercadorias para troca surge o conceito de peso, e mais tarde a noção de massa.

Outras grandezas surgem com o avançar da tecnologia e o desenvolvimento do método científico tais como pressão, intensidade luminosa, potência, carga elétrica, cor- rente elétrica, campo eletromagnético, calor específico, entropia e etc.

De certo modo, cada cultura tecnológica autônoma desenvolveu um próprio siste- ma de unidades. Mas a interação entre as sociedades, de certo modo impôs que existisse uma uniformização para que as trocas acontecessem de modo transparente e inteligível pata as partes. A Inglaterra medieval era praticamente isolada comercialmente do resto da Europa e isso contribuiu para que lá se estabelecesse um sistema de unidades dife- rente do restante: polegada, pé, milha, libra e etc.

Algumas unidades fundamentais: Grandeza Sistema Internacional - SI CGS

Comprimento Metro - m Centímetro - cm Tempo Segundo - s Segundo - s Massa Quilograma - kg Grama - s

Carga elétrica Coulomb - C

Algumas unidades derivadas: Grandeza Sistema Internacional - SI CGS Velocidade m/s cm/s Aceleração m/s2 cm/s2

Força kg.m/s2 = Newton g.cm/s2 = Dina Energia kg.m2/s2 = Joule g.cm2/s2 = Erg

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O mundo da Física

A curiosidade do homem pode ser compreendida de várias maneiras: alguns dizem que vem de uma necessidade de sobrevivência, outros dizem que é uma forma de prazer ou, ainda, no pensamento religioso, que é uma forma de conhecer a Deus. Mas uma coi- sa não podemos negar: o homem é curioso!

- Por que as coisas caem? - O Sol é uma bola de fogo? - A Terra está parada? E a Lua, como ela fica lá em cima? - Quando começou o tempo? - Como surge o pensamento? - Como surgiu a vida? Existe vida depois da morte?

Essas são perguntas que o homem vem se fazendo há muito tempo. Algumas sabe- mos responder, outras não. Algumas têm mais de uma resposta, a diferença está no mé- todo usado para respondê-las. Alguns métodos permitem conhecer o mundo que nos cer- ca, outros nos levam a ilusões sobre este mundo. Observe estes casos:

HORÓSCOPO “A Lua energiza seu signo apesar de estar em fase com Saturno com o qual apresenta tensão. Você deve aprovei- tar as vibrações de mercúrio que com- pleta hoje seu ciclo. Assim, curta hoje os seus amigos. Número de sorte 23.”

ESPELHO, ESPELHO MEU VOCÊ SABIA? “Para vermos inteiramente nosso rosto num espelho plano é suficiente que ele tenha metade do tamanho (altura) do rosto. Tente observar este fato.”

Os trechos escritos nos quadros acima poderiam ser encontrados num jornal ou falados pela televisão. Freqüentemente encontramos frases que propõem, sugerem, ou mesmo ordenam que façamos, ou não façamos, certas coisas: “Não fume no elevador. Lei Municipal número tal”. Essa afirmação tenta nos dizer que se fumarmos no elevador estaremos sujeitos às penas da tal lei.

Voltemos aos quadros. O primeiro nos diz algumas coisas a respeito da situação dos astros em que podemos, ou não, acreditar. Mais ainda, nos fala para “curtir” os nos- sos amigos, o que é bom, e, indiretamente, propõe que joguemos no número 23. Dentro do quadro encontramos palavras que parecem científicas: energizar, vibração. O texto usa essa linguagem para tentar nos convencer de que tudo que foi escrito é verdade. Mas os horóscopos são produtos da Astrologia que não é uma ciência. Suas definições não são exatas e variam de astrólogo para astrólogo. Na verdade o que foi dito é a opinião de quem fez o horóscopo e o astrólogo pode, ou não, acertar as suas previsões. No segundo quadro estamos no campo da ciência. Ele procura nos descrever um. Se uma pessoa, em qualquer lugar do mundo, seguir as instruções e se olhar num espelho que tenha, pelo menos, metade da altura do seu rosto, conseguirá ver o rosto por inteiro. Não estamos mais diante de uma opinião, mas sim de um fato, que pode ser verificado.

Devemos ouvir o que as pessoas têm a dizer, porém devemos ser capazes de jul- gar o que foi dito. Não é porque “saiu no jornal” ou “deu na TV” que é verdade! Por outro lado, devemos ter cuidado, pois julgar não é discordar de tudo, o importante é fazer per-

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guntas, é ter curiosidade e ir em busca dos fatos e suas explicações. A ciência e seus métodos podem nos ajudar a responder muitas perguntas, a tomar posições e a fazer jul- gamentos.

Curso de Física do 2º grau - Capítulo 1 Telecurso 2000

As divisões da Física

A Física estuda vários tipos de fenômenos da Natureza. Para facilitar o seu estudo costuma-se dividi-la. Até o início do século as principais partes da Física eram: a Mecâni- ca, a Termodinâmica e o Eletromagnetismo.

No século XX, a partir de grandes descobertas, surgiram novos ramos, entre eles: Física Atômica e Nuclear Física Atômica e Nuclear Física Atômica e Nuclear Física Atô- mica e Nuclear Física Atômica e Nuclear, Mecânica Quântica Mecânica Quântica Mecâni- ca Quântica Mecânica Quântica Mecânica Quântica, Relatividade. Os novos conceitos introduzidos neste século provocaram uma verdadeira revolução na Física. Hoje é comum também dividir a Física em Clássica (antes de 1900) e Moderna (após 1900).

O quadro a seguir mostra algumas perguntas que podem surgir no nosso dia-a-dia, e identifica qual o ramo da Física que trata de respondê-las.

PERGUNTAS QUEM RESPONDE ALGUNS CONCEITOS - Por que somos jogados para frente do ônibus quando ele freia bruscamente? - Por que nos dias de chuva é mais difícil freiar um automóvel? - Como um navio consegue boiar?

MECÂNICA Força Espaço Inércia Tempo Velocidade Massa Aceleração Energia Densidade

- Como funciona um termômetro? - Por que o congelador fica na parte superior da geladeira? - O que ocorre com a naftalina, que “some” do fundo da gaveta?

TERMODINÂMICA Calor Energia térmica Pressão Volume Dilatação Temperatura Mudanças de estado

- Como vemos os objetos? - Como os óculos ajudam a melho- rar a visão? - Como se forma a nossa imagem num espelho?

ÓPTICA Raio de luz Reflexão Refração Lentes Espelhos

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- O que é a corrente elétrica? - Como funciona um chuveiro elé- trico? - Para que serve um fusível?

ELETROMAGNETISMO Carga elétrica Corrente elétrica Campos elétricos Campos magnéticos Ondas eletromagnéticas

- O que é, de fato, a luz? - O que compõe todas as coisas? - O que são microondas?

FÍSICA ATÔMICA FÍSICANUCLEAR

Átomos Núcleos Fótons Elétrons

Curso de Física do 2º grau - Capítulo 1 Telecurso 2000

Como resolver problemas de Física

1ª ETAPA: LER O PROBLEMA: É preciso saber ler, quer dizer, ser capaz de imaginar a cena que o enunciado descreve. Nem sempre entendemos tudo o que está escrito, mas podemos estar atentos aos detalhes para "visualizar" corretamente o que se está dizendo.

2ª ETAPA: FAZER UM ESQUEMA: Fazer um esquema ou desenho simples da situação ajuda a visualizá-la e a resolvê-la. Procure indicar em seus esquemas informações bási- cas como o sentido e os valores envolvidos. Preste atenção que uma frase como "dar ré" indica o sentido do movimento do objeto em questão.

3ª ETAPA: MONTE AS EQUAÇÕES E FAÇA AS CONTAS: Uma equação só faz sentido se você sabe o que ela significa. Sabemos que é possível resolver a nossa questão por- que há a conservação da quantidade movimento total de um sistema. Quer dizer, a soma das quantidades de movimento antes e depois do choque deverá ter o mesmo valor. Com isso, você consegue montar as contas.

4ª ETAPA: INTERPRETE OS VALORES. (A ETAPA MAIS IMPORTANTE!) Muito bem, você achou um número! Mas ainda não resolveu o problema. Não queremos saber so- mente o número, mas também o que aconteceu. O número deve nos dizer isso. Olhando para ele você deve ser capaz de chegar a alguma conclusão. DESCONFIE DOS NÚMEROS!!! Existe uma coisa que se chama erro nas contas, que pode nos levar a re- sultados errados. Pense bem no que o número está lhe dizendo e avalie se é uma coisa razoável. Se achar que há um erro, confira suas contas e o seu raciocínio. Se o número insistir em lhe dizer coisas absurdas, considere a possibilidade de que aquilo que você esperava não ser realmente o que acontece na prática.

Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 1 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

02. VETORES E ESCALARES........................................................................................... 2 UM POUCO DE TRIGONOMETRIA............................................................................................ 2 MÉTODO GEOMÉTRICO........................................................................................................ 2 MÉTODO ANALÍTICO ............................................................................................................ 3 MULTIPLICAÇÃO DE VETORES............................................................................................... 3

Multiplicação de um vetor por um escalar..................................................................... 4 Produto escalar ............................................................................................................. 4 Produto vetorial ............................................................................................................. 5

SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 7 02 .................................................................................................................................. 7 06 .................................................................................................................................. 7 32 .................................................................................................................................. 8 39 .................................................................................................................................. 8 45 .................................................................................................................................. 9 46 .................................................................................................................................. 9 47 ................................................................................................................................ 10 51 ................................................................................................................................ 10

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02. Vetores e escalares

Algumas grandezas físicas ficam completamente definidas quando informamos um número e uma unidade. Quando dizemos que a temperatura de uma pessoa é 370C a informação está completa. A temperatura é uma grandeza escalar. Se dissermos que a velocidade de um automóvel é de 50km/h não definimos completamente a informação. Não foi dito em que direção e sentido esse corpo se movimentava. A necessidade dessa informação complementar - direção e sentido - caracteriza a velocidade como um vetor.

Os vetores são representados por setas, e costuma-se representar um vetor com módulo maior que outro por uma seta de tamanho maior. Usamos basicamente de dois modos de representar os vetores, o método geométrico e o método analítico.

Um pouco de trigonometria

Vamos considerar um triângulo retângulo com hipote- nusa a e catetos b e c respectivamente. O teorema de Pitágoras diz que:

a2 = b2 + c2

As funções seno e cosseno são definidas como:

αθ cossen == a c

αθ sencos == a b

E do Teorema de Pitágoras, encontramos que:

1cossen 22 =+θ

α ααθ

θ θ

sen coscottan

cos sen ====

a c

α c a

θ b

Método geométrico

No método geométrico, a visualização dos vetores fica mais óbvia, mas não é ade- quado para a operações com diversos vetores. A força é uma grandeza vetorial. Quando consideramos duas forças atuando sobre um dado corpo, o efeito resultante será igual à atuação de uma única força que seja a soma vetorial das duas forças menciona- das. A soma desses dois vetores pode ser efetuada usando-se a regra do paralelogra- mo.

Método geométrico

a !

b !

c !

a !

b !

bac !!!

+=

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Método analítico

O método analítico consiste basicamente em definir um sistema de coordenadas cartesianas e decompor os vetores segundo as suas componentes nestes eixos.

Vamos considerar um sistema de coordenadas bidimensional, definido pelos eixos x e y , como mostrados na figura ao lado. O vetor a

! tem compo-

nentes cartesianas ax e ay que tem a forma:

ax = a . cosθ ay = a . senθ

Ou de maneira inversa:

22 yx aaa +=

x

y

a a

=θtan

y

a !

ay θ ax x

Uma maneira de representar vetores é através de suas componentes num dado sistema de coordenadas, como foi antecipado na figura anterior. Desse modo:

yx ajaia ˆˆ += !

onde jei ˆˆ são vetores unitários (ou versores) que apontam nas direções dos eixos x e y respectivamente e têm módulos iguais a um.

A soma de dois vetores será então definida como:

( ) ( )yyxx yx

yx

bajbaic bjbib

e ajaia

ondebac +++=⇒  

 

+=

+= += ˆˆ

ˆˆ

ˆˆ !

!

!

!!"

ou seja:

 

 

+=

+= +=

yyy

xxx

yx

bac e

bac ondecjcic ˆˆ

!

Multiplicação de vetores

As operações com vetores são utilizadas de maneira muito ampla na Física, para expressar as relações que existem entre as diversas grandezas.

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Multiplicação de um vetor por um escalar

Sejam dois vetores a !

e b !

e um escalar k. Defi- nimos a multiplicação mencionada como:

akb !!

=

O vetor ak !

tem a mesma direção do vetor a !

. Terá mesmo sentido se k for positivo e sentido contrário se k for negativo.

a !

ak !

Produto escalar

Define-se o produto escalar de dois vetores a !

e b !

como a operação:

ϕcosabba =⋅ !!

onde ϕ é o ângulo formado pelos dois vetores.

a !

ϕ

b !

Podemos dizer que o produto escalar de dois vetores é igual ao módulo do primeiro vezes a componente do segundo no eixo determinado pelo primeiro, ou vice-versa. Isso pode-se resumir na propriedade :

abba !!!! ⋅=⋅

Uma aplicação do produto escalar é a definição de trabalho W executado por uma força constante que atua ao longo de um percurso d:

θcos. FddFW == !!

Usando o conceito de vetor unitário encontramos que:

10cosˆˆˆˆ 0 ==⋅ iiii

1ˆˆ =⋅ jj 1ˆˆ =⋅ kk

e de modo equivalente: 090cosˆˆˆˆ 0 ==⋅ jiji

0ˆˆ =⋅ ki 0ˆˆ =⋅ kj

z

k̂ î ĵ y

x

Podemos utilizar a decomposição de um vetor segundo as suas componentes car- tesianas e definir o produto escalar:

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zyx akajaia ˆˆˆ ++= !

zyx bkbjbib ˆˆˆ ++= !

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaiba ˆˆˆˆˆˆ ++⋅++=⋅ !!

e portanto: zzyyxx babababa ++=⋅

!!

Fica fácil perceber que:

2222 zyx aaaaaa ++==⋅

!!

Como ϕcosbaba =⋅ !!

, temos que ba ba !!

.cos =ϕ , e assim poderemos calcular o

ângulo entre os dois vetores, em função de suas componentes cartesianas:

222222 cos

zyxzyx

zzyyxx

bbbaaa

bababa

++++

++ =ϕ

Produto vetorial

Define-se o produto vetorial de dois vetores a !

e b !

como a operação:

bac !!!

×=

e módulo c é definido como:

ϕsenbac =

onde c !

é um vetor perpendicular ao plano defino pe- los vetores a

! e b

! e ϕ é o ângulo formado por esses

dois últimos dois vetores.

c !

b !

ϕ

a !

Uma aplicação do produto vetorial é a definição da força F !

que atua em uma car- ga elétrica q que penetra com velocidade v

! numa região que existe um campo magnéti-

co B !

: BvqF !!!

×= ou ainda:

F = q v B senϕ

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 6

Usando a definição de produto vetorial, encon- tramos que:

ijkji ˆˆˆˆˆ ×−==× jkikj ˆˆˆˆˆ ×−==×

kijik ˆˆˆˆˆ ×−==×

0ˆˆˆˆˆˆ =×=×=× kkjjii

z

k̂ î ĵ y

x

De modo genérico, podemos definir o produto vetorial como:

( ) ( )zyxzyx bkbjbiakajaibac ˆˆˆˆˆˆ ++×++=×= !!!

e usando os resultados dos produtos vetoriais entre os vetores unitários, encontramos que:

( ) ( ) ( )xyyxzxxzyzzy babakbabajbabaic −+−+−= ˆˆˆ!

Usando as propriedades de matrizes, encontramos que o produto vetorial pode ser expresso como o determinante da matriz definida a seguir:

  

  

=×=

zyx

zyx

bbb aaa kji

bac

ˆˆˆ !!!

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Solução de alguns problemas

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

02 Quais são as propriedades dos vetores a !

e b !

tais que: a) cba

!!! =+ e a + b = c

Temos que: ( ) ( ) babbaababacc !!!!!!!!!!!! ⋅+⋅+⋅=+⋅+=⋅ 2

ou seja: θcos2222 abbac ++=

Para que c = a + b é necessário que θ = 0 pois

c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

Portanto ba !!

c !

b !

θ a

!

a !

b !

b) baba !!!!

−=+

Da equação acima, temos que:

002 =∴=∴+=− bbbbaa !!!!!!

c) 222 cbaecba =+=+ !!!

Como θcos2222 abbac ++= ,

para que c2 = a2 + b2 + 2ab = (a + b)2

devemos ter

2 πθ = portanto ba

!! ⊥

b !

θ

a !

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

06 O vetor a

! tem módulo de 3 unidades e está dirigido para Leste. O vetor b

! está diri-

gido para 350 a Oeste do Norte e tem módulo 4 unidades. Construa os diagramas vetoriais para a

! + b

! e b

! - a

! . Estime o módulo e a orientação dos vetores

a !

+ b !

e a !

- b !

a partir desse diagramas.



  

+=

=

yx

x

bjbib

aia ˆˆ

ˆ !

!

 

 

==== −=−=−=

==

27,335cos4cos 29,235sen4sen

3

0

0

θ θ

bb bb

aa

y

x

x

y

b !

θ Oeste Leste

a !

x

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Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 8

a)

  

+= +=

+= yyy

xxx

bac bac

bac !!!

cx = 3 - 2,29 = 0,71

cy = 3,27

34,322 =+= yx ccc

b)

  

−= −=

−= yyy

xxx

abd abd

abd !!!

dx = -2,29 - 3 = -5,29

dy = 3,27

21,622 =+= yx ddd

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

32 Prove que dois vetores devem ter o mesmo módulo para que sua soma seja perpen- dicular á sua diferença.

( ) ( ) babababa =⇒=−=−⋅+ 022!!!!

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

39 Mostre que num sistema de coordenadas destrógiro:

1ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ kkjjii e

0ˆˆˆˆˆˆ =⋅=⋅=⋅ ikkjji

A definição de produto escalar é tal que: θcosbaba =⋅ !!

, onde θé o ângulo formado pelos vetores. Logo:

11.1.10cosˆˆˆˆ 0 ===⋅ iiii e

00.1.190cosˆˆˆˆ 0 ===⋅ jiji

Os outros itens seguem-se como extensão desses anteriores.

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Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

45 A soma de três vetores é igual a zero, como mostra a figura. Calcule:

α c

! b

!

θ a

!

a) ?=⋅ ba !!

0 2

cos ==⋅ πbaba !!

b) ca !! ⋅ = - a c cosθ = -a c (a/c) = - a2

c) cb !! ⋅ = - b c cosα = - b c (b/c) = - b2

Podemos concluir que:

0=++ bac !!!

0=⋅+⋅+⋅ acbccc !!!!!!

logo: c2 = a2 + b2

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

46 Para o problema anterior, calcule:

a) =× ba !!

?

Suponhamos que o eixo z seja perpendicular ao pla- no definido pelos vetores a

! e b

! .

ba !!

a b sen(π/2) = ẑ a b

b !

β

a !

b) =× ca !!

?

ca !!

a c senθ =× ca

!! (- ẑ) a c senθ = - ẑ a c (b/c) = - ẑ a b

θ a

!

c !

c) =× cb !!

?

cb !!

b c senα

cb !!

b c senα = ẑ b c (a/c) cb

!! a b

b !

c !

α

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Cap 02 romero@fisica.ufpb.br 10

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

47 Produto escalar em função das coordenadas: Suponha que dois vetores sejam representados em termos das coordenadas como:

zyx akajaia ˆˆˆ ++= !

e zyx bkbjbib ˆˆˆ ++= !

mostre que: zzyyxx babababa ++=⋅

!!

Por definição temos que:

=⋅ ba !! ( )⋅++ zyx akajai ˆˆˆ ( )zyx bkbjbi ˆˆˆ ++

Usando os resultados do problema 39, resolvido anteriormente, temos a resposta pedida.

zzyyxx babababa ++=⋅ !!

Capítulo 3 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

51 Dois vetores são dados por jia ˆ5ˆ3 += !

e jib ˆ4ˆ2 += !

. Calcule: a) ba

!! × =?

ba !!

× = ( ) kk kji

ˆ22.54.3ˆ

042 053

ˆˆˆ

=−=   

  

b) ba !! ⋅ =?

ba !! ⋅ = 3.2 + 5.4 = 26

c) ( ) bba !!! ⋅+ =? ( ) bba !!! ⋅+ = ( ) ( )jiji ˆ4ˆ2ˆ9ˆ5 +⋅+ = 5.2 + 9.4 = 46

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

03. MOVIMENTO RETILÍNEO............................................................................................ 2 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE ESCALAR MÉDIA ............................................................... 3 VELOCIDADE INSTANTÂNEA E VELOCIDADE ESCALAR .............................................................. 3 ACELERAÇÃO ..................................................................................................................... 4 ACELERAÇÃO CONSTANTE - UM CASO ESPECIAL .................................................................... 4

Exemplo: ....................................................................................................................... 6 ACELERAÇÃO DE QUEDA LIVRE............................................................................................. 7 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 8

15 .................................................................................................................................. 8 19 ................................................................................................................................ 10 34 ................................................................................................................................ 11 38 ................................................................................................................................ 11 41 ................................................................................................................................ 11 43 ................................................................................................................................ 12 45 ................................................................................................................................ 12 54 ................................................................................................................................ 13 57 ................................................................................................................................ 14 61 ................................................................................................................................ 14 69 ................................................................................................................................ 15 78 ................................................................................................................................ 15 79 ................................................................................................................................ 16 82 ................................................................................................................................ 17

Prof. Romero Tavares da Silva

Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 2

03. Movimento retilíneo

Vivemos num mundo que tem com uma das principais característica o movimento. Mesmo corpos que aparentemente estão em repouso, só estão neste estado em relação a um certo referencial. Quando estamos deitados em nossa cama, tudo à nossa volta pa- rece estar em repouso. E de fato, tudo está em repouso em relação ao nosso corpo. Mas não está em repouso em relação à Lua, ou ao Sol. Se estivéssemos deitado em uma cama de um vagão de um trem dormitório, todos os objetos do quarto ainda nos pareceri- am parados, apesar desse conjunto se mover em relação aos trilhos. Daí concluirmos que movimento (ou repouso) é uma característica de um corpo em relação a um certo referen- cial específico

Quando um objeto real está em movimento, além de sua translação ele também pode tanto girar quanto oscilar. Se fôssemos sempre considerar essas características, o movimento de um corpo seria sempre um fenômeno bastante complicado de se estudar. Acontece, que em diversas situações o fenômeno mais importante é a translação. Desse modo, sem incorrer em grande erro, podemos isolar este tipo movimento e estudá-lo como o único existente.

Devemos ainda considerar que corpos que apresentam apenas o movimento de translação podem ser estudados como partículas, porque todas as partes do corpo com esse movimento descreverão a mesma trajetória.

Num estágio inicial, o estudo ainda pode ser mais simplificado porque matemati- camente, uma partícula é tratada como um ponto, um objeto sem dimensões, de tal ma- neira que rotações e vibrações não estarão envolvidas em seu movimento.

Em resumo: vamos tratar como pontos materiais (ou partículas) os corpos que te- nham apenas movimento de translação, e o caso mais simples será quando ele apresen- tar um movimento retilíneo.

Posição e deslocamento

A localização de uma partícula é fundamental para a análise do seu movimento. O seu movimento é completamente conhecido se a sua posição no espaço é conhecida em todos os instantes.

P Q xi xf

Vamos considerar que esse movimento componha-se de uma trajetória retilínea que tem como posição inicial o ponto P com coordenada xi no instante ti e posição final com coordenada xf no instante tf . O deslocamento ∆x é uma medida da dife- rença entre as posições inicial xi que a partícula ocupou e a sua posição final xf

x = xi - xf e o intervalo de tempo é expresso como:

t = tf - ti

x Q xf

xi P α

ti tf t

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À medida que o intervalo de tempo ∆t diminui o ponto Q se aproxima do ponto P, na figura anterior. No limite quando ∆t 0 , quando o ponto Q tende ao ponto P , a reta que os une passa a coincidir com a própria tangente à curva no ponto Q , ou seja v = tanα . Assim, a velocidade instantânea em um dado ponto do gráfico espaço versus tempo é a tangente à curva neste ponto específico.

Velocidade média e velocidade escalar média

A velocidade de uma partícula é a razão segundo a qual a sua posição varia com o tempo. Podemos analisar um movimento de diversas maneiras, dependendo da sofistica- ção dos nossos instrumentos de medida.

A velocidade escalar média é definida como a razão entre a distância percorrida e o tempo gasto no percurso:

t percorridadistânciav

=

Se uma viagem entre duas cidades distantes de 120km durou 1,5h nós dizemos que o percurso foi vencido com uma velocidade escalar média de 80km/h . Na vida coti- diana essa informação é suficiente para descrever uma viagem.

Já a velocidade média é definida como a razão entre o deslocamento e o tempo necessário para esse evento.

t xv ∆ ∆=

Para calcularmos a velocidade média da viagem entre as duas cidades, devería- mos saber a distância em linha reta entre elas. Essa distância seria o deslocamento, que foi definido anteriormente.

No movimento unidimensional percurso e deslocamento são conceitos pratica- mente idênticos, de modo que só existirá uma diferença marcante entre as velocidades média e escalar média nos movimentos bidimensional ou tridimensional. Percurso é a distância percorrida por uma partícula num certo intervalo de tempo; enquanto que deslo- camento é a diferença entre as posições inicial e final da partícula no intervalo de tempo considerado.

Velocidade instantânea e velocidade escalar

A velocidade instantânea v nos dá informações sobre o que está acontecendo num dado momento.

Ela é definida como:

dt dx

t xLimv

t =

∆ ∆=

→∆ 0

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Como foi mencionado, a velocidade média representa o que aconteceu entre o iní- cio e o fim de uma viagem. Já a velocidade instantânea em um dado momento representa o que aconteceu naquele momento. Colecionando as velocidades instantâneas de cada um dos momentos temos uma informação completa de como variou a velocidade ao longo de toda viagem.

A velocidade escalar é o módulo da velocidade é a velocidade sem qualquer indi- cação de direção e sentido.

No movimento retilíneo e uniforme a partícula se move com velocidade constante. A sua característica é que a velocidade em qualquer instante é igual à velocidade média. Por- tanto a equação que define este tipo de movimento é:

X = v t

Aceleração

A aceleração de uma partícula é a razão segundo a qual a sua velocidade varia com o tempo. Ela nos dá informações de como a velocidade está aumentando ou dimi- nuindo à medida que o corpo se movimenta.

Para analisar a variação da velocidade durante um certo intervalo de tempo ∆t nós definimos a aceleração média deste intervalo como:

t v

tt vv

a if

if

∆ ∆=

− −

=

Quando queremos saber o valor da aceleração em cada instante do intervalo con- siderado, deveremos calcular a aceleração instantânea:

dt dv

t va Lim

t =

∆ ∆=

→∆ 0

Quando um corpo em movimento está aumentando a sua velocidade temos que a sua aceleração será positiva pois:

Vf > vi ⇒ ∆v = vf - vi > 0 ⇒ 0〉 ∆ ∆=

t va

Se o corpo estiver diminuindo a sua velocidade a sua aceleração será negativa.

Aceleração constante - um caso especial

O exemplo anterior do movimento de um automóvel que varia a sua velocidade é uma situação típica de translação com aceleração constante em alguns trechos e nula em outros.

Vamos considerar o movimento com velocidade constante de uma partícula, entre um instante inicial t0 e um instante posterior t . No instante inicial t0 a partícula se

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encontrava na posição inicial x0 com velocidade inicial v0 e no instante t ela se encon- trava na posição x com velocidade v .

A velocidade média da partícula neste intervalo entre t0 e t é dada por:

2 0

0

0 vv tt xx

v += − −

=

onde a última igualdade é válida apenas para movimentos com aceleração constante, como esse caso específico.

Podemos colocar as equações anteriores com a seguinte forma que define x :

( ) ( )00000 2 tt vv

xttvxx −  

  ++=−+=

Como a aceleração é constante, podemos usar a definição de aceleração média que é a própria aceleração constante neste caso presente:

0

0

tt vv

aa − −

==

ou seja: ( )00 ttavv −+=

ou ainda

( ) a vv

tt 00 −

=−

Usando este valor de v na equação que define x , encontraremos:

( )[ ]   

  −−++

 

  −+=

22 0

00 0

00

tt ttav

tt vxx

e rearrumando os vários termos teremos:

( ) ( )20000 2 1 ttattvxx −+−+=

Usando o valor de ( t - t0 ) na equação que define x encontraremos:

  

  −  

  ++=

a vvvv

xx 000 2 ou seja:



 

 − =−

a vv

xx 2

2 0

2

0

e finalmente: ( )0202 2 xxavv −+=

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Se estivéssemos considerando um movimento tridimensional, com aceleração constante nas três direções, poderíamos estender facilmente os resultados anteriores para as seguintes equações vetoriais:

( )  

  

−⋅+= +=

++=

0 2 0

2 0

2 00

2

2 1

rravv tavv

tatvrr

!!!

!!!

!!!!

onde fizemos o instante inicial t0 = 0 . A última equação é conhecida como equação de Torricelli.

Exemplo: Um motorista viaja ao longo de uma estrada reta desenvolvendo uma velocidade

de 15m/s quando resolve aumentá-la para 35m/s usando uma aceleração constante de 4m/s2 . Permanece 10s com essa velocidade, quando resolve diminui-la para 5m/s usando uma aceleração constante de 10m/s2 .

Trace os gráficos de x versus t , v versus t e a versus t para o todo o movimento mencionado.

0

100

200

300

400

500

600

700

0 5 10 15 20 25 30 35

t

x

0

5

10

15

20

25

30

35

40

0 5 10 15 20 25 30 35

t

v

-12

-10

-8

-6

-4

-2

0

2

4

6

0 5 10 15 20 25 30 35

t

a

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Tabela associada ao exemplo:

Intervalo Aceleração Velocidade Espaço 0 → 5s Nula Constante Reta ascendente

5s → 10s Positiva Reta ascendente Parábola com concavidade voltada para cima

10s → 20s Nula Constante Reta ascendente 20s → 23s Negativa Reta descendente Parábola com concavidade

voltada para baixo > 23s Nula Constante Reta ascendente

Aceleração de queda livre

Podemos particularizar o conjunto de equações vetoriais anteriormente deduzidas, para a situação do movimento de queda livre.

Para todos os efeitos práticos, um corpo que cai próximo à Terra, se comporta como se a superfície fosse plana e a aceleração da gravidade g fosse constante. Iremos usar valor de g =9,8m/s2 , e considerar o eixo z apontando para cima da superifície da Terra.

Para a aceleração, temos que:

gkga ˆ−== !!

Para o espaço percorrido, temos que:

( ) 200 ˆ2 1ˆˆˆ tgktvkzkzk −++=

z

g !

2

2

00

gttvzz −+=

Para a velocidade desenvolvida pela partícula, temos que:

( )tgkvkvk ˆˆˆ 0 −+= ou seja:

v = v0 - gt

e também: ( ) ( )0202 ˆˆˆ2 zkzkgkvv −⋅−+=

( )0202 2 zzgvv −−=

Esta última equação é conhecida como equação de Torricelli.

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Solução de alguns problemas

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

15 Dois trens trafegam, no mesmo trilho, um em direção ao outro, cada um com uma velocidade escalar de 30km/h . Quando estão a 60km de distância um do outro, um pássaro, que voa a 60km/h , parte da frente de um trem para o outro. Alcançando o outro trem ele volta para o primeiro, e assim por diante. (Não temos idéia da razão do comportamento deste pássaro.)

Vamos considerar d = 60km e d1 a distância que o trem da direita viaja enquanto o pássaro decola dele e atinge o tem da esquerda e t1 o tempo gasto nesta primeira viagem.. A velocidade de cada trem é v = 30km/h e a velocidade do pássaro é vp = 60km/h .

Para a primeira viagem do pássaro, temos: d

D1 d1

d = D1 + d1 = vpt1 + vt1 = ( vp + v )t1pvv

dt +

=⇒ 1

Para a segunda viagem, temos:

d2 D2

d = 2d1 + ( d2 + D2 ) = 2vt1 + ( vpt2 + vt2 )

( )  



 +

−= +

−=−=+ pp

p vv vd

vv dvdvtdvvt 2122 12

  

   

 +

− +

= pp vv

v vv

dt 212 ∴ 

   

 +

−= pvv

vtt 2112

Para a terceira viagem, temos

D3 d3

d = 2d1 + 2d2 + ( d3 + D3 )

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d3 + D3 = d - 2d1 - 2d2 vt3 + vpt3 = d - 2vt1 - 2vt2

ppppp vv vt

vv vtt

vv vt

vv vt

vv dt

+ −

+ −=

+ −

+ −

+ = 211213 2222

ou ainda

ppp vv vtt

vv vt

vv vtt

+ −=

+ −

 

   

 +

−= 22213 22 21

ou seja:

  

   

 +

−= pvv

vtt 2123

Por outro lado, já mostramos que:

  

   

 +

−= pvv

vtt 2112

min40 3 2

6030 60

1 ==+ =

+ = h

vv dt

p

Podemos inferir então que:

  

   

 +

−= − p

NN vv vtt 211

ou seja: 1

1

21 −

  

   

 +

−= N

p N vv

vtt

Concluímos que tN é o ene-ésimo termo de uma progressão geométrica cujo

primeiro termo a1 = t1 = 40min e razão 3 1

3 21

6030 30.2121 =−= +

−= +

−= pvv

vq .

a) Quantas viagens o pássaro faz de um trem para o outro, até a colisão?

As viagens do pássaro ficarão cada vez com um percurso menor até tornarem-se infinitesimais, por isso serão necessárias um número infinito de viagens de um trem para o outro.

b) Qual a distância total percorrida pelo pássaro?

O tempo necessário para o percurso será a soma dos termos da progressão:

( ) q qaS

N

− −

= 1 11

e quando |q| < 1 e N tende a infinito:

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v d

v vv

vv d

v vv

t

vv v

t q

aS p p

p

p

22221 1 11 =

 

 +   

   

 +

=

 

 + =

+

= −

=

ou seja

h v

dt 1 30.2

60 2

===

Dp = vpt = 60km/h . 1h = 60km

Uma forma direta de resolver este problema, mas que no entanto perde-se todo o detalhamento dos acontecimentos, é calcular o tempo necessário para a colisão dos dois trens:

d = ( v + v ) t = 2vt h v

dt 1 30.2

60 2

===

Esse tempo t é aquele que o pássaro tem para as suas viagens, logo a distância percorrida será:

Dp = vp t = 60km

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

19 Qual a posição final de um corredor, cujo gráfico velocidade x tempo é dado pela figura ao lado, 16 segun- dos após ter começado a correr?

A distância percorrida por uma partí- cula é a área abaixo da curva num gráfico v versus t . Podemos de- monstrar a afirmação anterior de vários modos, por exemplo:

Método 1:

Área = ∫∫ == f

i

f

i

t

t

x

x dtvdxd

d = Área = A1 + A2 + A3 + A4

onde A1 é a área do triângulo que tem como base (0-2), A2 é a área do retângulo que tem com base (2-10) , A3 é a área do paralelogramo que tem como base (10- 12) e A4 é a área do retângulo que tem como base (11-16).

( ) ( ) ( ) ( ) ( )444242 2 18882

2 1 xxxxxd +

   +++=

d = 100m

0

2

4

6

8

10

0 2 4 6 8 10 12 14 16 18

t(s)

v( m

/s )

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Método 2: Usar as equações da cinemática diretamente para cada percurso, e cal- cular as distâncias correspondentes.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

34 A cabeça de uma cascavel pode acelerar 50m/s2 no instante do ataque. Se um car- ro, partindo do repouso, também pudesse imprimir essa aceleração, em quanto tem- po atingiria a velocidade de 100km/h ?

v = 100km/h = s

m 3600 1010

3 2 27m/s

v = v0 + at ; 2/50 /27 sm sm

a vt ==

t = 0,54s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

38 Um jumbo precisa atingir uma velocidade de 360km/h para decolar. Supondo que a aceleração da aeronave seja constante e que a pista seja de 1,8km , qual o valor mínimo desta aceleração?

v2 = (v0)2 + 2ad a = v2/2d v = 360km/h d = 1,8km v0 = 0

a = 36000 km/h2 = 2,7 m/s2

se g = 9,8m/s2 teremos a = 0,27 g

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

41 Um carro a 97km/h é freiado e pára em 43m . a) Qual o módulo da aceleração (na verdade, da desaceleração) em unidades SI e

em unidades g ? Suponha que a aceleração é constante.

v2 = (v0)2 - 2ad a = (v0)2/2d = 8,28m/s2

Se g = 9,8m/s2 temos que a = 0,84 g

v0 = 96km/h = 26,7 m/s d = 43m v = 0

b) Qual é o tempo de frenagem? Se o seu tempo de reação treação , para freiar é de 400ms , a quantos "tempos de reação" corresponde o tempo de frenagem?

v = v0 - at t = v0/a ou seja: t = 3,22s

treação = 400ms = 400 . 10-3s = 0,4s

T = t + treação

T= 3,62s

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Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

43 Em uma estrada seca, um carro com pneus em bom estado é capaz de freiar com uma desaceleração de 4,92m/s2 (suponha constante).

a) Viajando inicialmente a 24,6ms , em quanto tempo esse carro conseguirá parar?

v = v0 - at t = v0/a = 24,6/4,92

t = 5s

a = 4,92m/s2 v0 = 24,6 m/s v = 0

b) Que distância percorre nesse tempo?

v2 = (v0)2 - 2ad d = (v0)2/2a = (24,6)2/(2.4,92)

d = 61,5m c) Faça os gráficos x versus t e v versus t para a desaceleração.

x(t) = 24,6t - 2,46t2 em metros v(t) = 24,6 - 4,92t em m/s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

45 Os freios de um carro são capazes de produzir uma desaceleração de 5,2m/s2. a) Se você está dirigindo a 140km/h e avista, de repente, um posto policial, qual o

tempo mínimo necessário para reduzir a velocidade até o limite permitido de 80km/h ?

v = v0 - at

t = (v0 - v)/a = 16,8/5,2

t=3,2s

v0 = 140km/h = 39,2m/s v = 80km/h = 22,4m/s a = 5,2m/s2

0

10

20

30 40

50

60

70

0 1 2 3 4 5 6 t

x( t)

0

5

10

15

20

25

30

0 1 2 3 4 5 6

t

v( t)

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b) Trace o gráfico x versus t e v versus t para esta desaceleração. Consideramos que até o instante t = 5s o carro vinha desenvolvendo a veloci- dade de 39,2m/s , quando começou a freiar até 3,2s mais tarde, quando passou a desenvolver a velocidade de 22,4m/s .

O gráfico x versus t é uma reta para 0 < t < 5s ,

é uma parábola com concavi- dade para baixo para 5s < t < 8,2s

e volta a ser uma reta para t > 8,2s .

Nestes intervalos temos res- pectivamente: movimento uniforme, movimento unifor- memente acelerado e nova- mente movimento uniforme.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

54 Quando a luz verde de um sinal de trânsito acende, um carro parte com aceleração constante a = 2,2m/s2 . No mesmo instante, um caminhão, com velocidade constante de 9,5m/s , ultrapassa o automóvel.

a) A que distância, após o sinal, o automóvel ultrapassará o caminhão?

Automóvel

x = at2/2

Caminhão

X = V t

No instante t = tE o automóvel vai alcançar o caminhão, logo:

xE = XE

2,2 5,9.22

2

2

==⇒= a VtVtat EEE

tE = 8,6s

XE = V tE = 9,5.8,6 = 81,7m. Curva azul = X = Caminhão

Curva vermelha = x = Automóvel

0

20

40

60

80

100

120

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 t

0 50

100 150 200 250 300 350 400 450

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t

x( t)

0 5

10 15 20 25 30 35 40 45

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 t

v( t)

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b) Qual a velocidade do carro nesse instante?

vE = v0 + a tE = 2,2 + 8,6

vE = 18,9m/s

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

57 Dois trens, em movimento retilíneo, viajam na mesma direção e em sentidos opostos, um a 72km/h e o outro a 144km/h . Quando estão a 950m um do outro, os maqui- nistas se avistam e aplicam os freios. Determine se haverá colisão, sabendo-se que a desaceleração em cada um dos trens é de 1,0m/s2 .

Vamos chamar x e X as distâncias que cada trem per- correrá antes de parar. Neste instante teremos v = V =0.

v2 = (v0)2 - 2ax x = (v0)2/2a

V2 = (V0)2 - 2aX X = (V0)2/2a

v0 = 72km/h = 20m/s V0 = 144km/h = 40m/s d = 950m a = 1m/s2

A distância D necessária para os dois trens pararem é D = x + X

m a Vv

D 1000 2

2 0

2 0 = +

=

Como essa distância D é maior que a distância d disponível, acontecerá a colisão entre os dois trens.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

61 Considere que a chuva cai de uma nuvem, 1700m acima da superfície da Terra. Se desconsiderarmos a resistência do ar, com que velocidade as gotas de chuva atingi- riam o solo? Seria seguro caminhar ao ar livre num temporal?

v2 = (v0)2 + 2ah = 2gh

1700.8,9.22 == ghv =182,5m/s

v = 657km/h

v0 = 0 a = g = 9,8m/s2 h = 1700m

Velocidade

0

5

10

15

20

25

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10t

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Decididamente não seria seguro caminhar ao ar livre num temporal com gotas alcan- çando a superfície da terra com esta velocidade.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

69 Um objeto é largado de uma ponte 45m acima da água. O objeto cai dentro de um barco que se desloca com velocidade constante e estava a 12m do ponto de im- pacto no instante em que o objeto foi solto. Qual a velocidade do barco?

h

d

h = 45m v0 = 0 d = 12m

2

2 2

22 V gdh

V dttgh

vtd =∴=⇒



  

=

=

sm h

gdV /9,3 45.2 8,912

2 ===

V = 14,1km/h

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

78 Do cano de um chuveiro, a água pinga no chão, 200cm abaixo. As gotas caem em intervalos regulares, e a primeira gota bate no chão, no instante em que a quarta gota começa a cair. Determine as posições da segunda e terceira gotas, no instante em que a primeira gota bate no chão.

Seja ti o tempo de vôo da i-ésima gota:

2

2 1

1

gthh ==

2

2 2

2

gt h =

2

2 3

3

gt h =

4

3

2 h

1

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Como existe um intervalo ∆t entre cada gota, temos que t1 = 3∆t ; t2 = 2∆t e t3 = ∆t . Logo

( ) ( ) mhht

t t t

h h

9 8

9 4

9 4

3 2

122

2

2 1

2 2

1

2 ==∴= ∆ ∆==

( ) ( ) mhht

t t t

h h

9 2

9 1

9 1

3 132 2

2 1

2 3

1

3 ==∴= ∆ ∆==

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

79 Uma bola de chumbo é deixada cair de um trampolim localizado a 5,2m acima da superfície de um lago. A bola bate na água com uma certa velocidade e afunda com a mesma velocidade constante. Ele chegará ao fundo 4,8s após ter sido largada. a) Qual a profundidade do lago?

h1 = 5,2m

t = t1 + t2 = 4,8s

g htgth 11

2 1

1

2 2

=∴=

t1 = 1,03s e t2 = 3,77s

smghvghvv /09,1022 111 2 0

2 1 ==∴+=

h2 = v1 t2 = 38,06m

v0 h1

v1

h2

v2

b) Qual a velocidade média da bola?

sm tt hh

tempo espaço

t xv /01,9

8,4 06,382,5

21

21 =+= + +

== ∆ ∆=

c) Suponha que toda água do lago seja drenada. A bola é atirada do trampolim, e novamente chega ao fundo do lago 4,8s depois. Qual a velocidade inicial da bola? Vamos considerar V0 a nova velocidade inicial:

smgt t hVgttVh /60,1552,2392,7

22 0 2

0 −=−=−=∴+=

Na equação acima o sinal de g é positivo significando que o referencial positivo foi tomado como apontando para baixo. Desse modo, como V0 calcula- do é negativo, a bola foi lançada para cima.

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 17

0 < t < 1,03s

O movimento da bola de chumbo é de queda livre, portanto a curva no gráfico y versus t será uma pará- bola e a curva no gráfico v versus t será uma reta in- clinada em relação à hori- zontal.

t > 1,03s

O movimento da bola de chumbo é de retilíneo e uniforme, portanto a curva no gráfico y versus t será uma reta inclinada em rela- ção à horizontal e a curva no gráfico v versus t será uma reta paralela à hori- zontal.

Capítulo 2 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

82 Uma pedra é largada de uma ponte a 43m acima da superfície da água. Outra pe- dra é atirada para baixo 1s após a primeira pedra cair. Ambas chegam na água ao mesmo tempo.

a) Qual era a velocidade inicial da segunda pedra?

h = 44m t = 1s t2 = t1 - t

ss g htgth 399,22

2 1 2 1 ≅==∴=

O tempo gasto pela segunda pedra será:

2 1 v0

h

t2 = t1 - t = 2s Logo:

22 2

2 0

2 2

20

gt t hv

gt tvh −=∴+=

v0 = 12,2m/s

0 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 1 2 3 4 5t

y

0

2

4

6

8

10

12

0 1 2 3 4 5t

v

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Cap 03 romero@fisica.ufpb.br 18

b) Faça o gráfico da velocidade versus tempo para cada pedra, considerando t = 0 o instante em que a primeira pedra foi largada.

Curvas das velocidade:

Vermelho = primeira pedra

Marrom = segunda pedra

Curvas das distâncias:

Vermelho = primeira pedra

Marrom = segunda pedra

0 5

10 15 20

25 30

35 40

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5t

0 10 20 30 40 50 60 70 80

0 0,5 1 1,5 2 2,5 3 3,5 4 t

Versão preliminar 6 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

04. MOVIMENTO EM DUAS E TRÊS DIMENSÕES .......................................................... 2 POSIÇÃO E DESLOCAMENTO ................................................................................................ 2 VELOCIDADE MÉDIA E VELOCIDADE INSTANTÂNEA .................................................................. 2 ACELERAÇÃO MÉDIA E ACELERAÇÃO INSTANTÂNEA ................................................................ 3 MOVIMENTO NUM PLANO COM ACELERAÇÃO CONSTANTE........................................................ 4 MOVIMENTO DE PROJÉTEIS.................................................................................................. 4

Tiro de gran alcance ..................................................................................................... 7 MOVIMENTO CIRCULAR E UNIFORME ..................................................................................... 8 MOVIMENTO RELATIVO ...................................................................................................... 10

Coger con la mano una bala disparada! ..................................................................... 10 SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ..................................................................................... 11

"19" ............................................................................................................................. 11 22 ................................................................................................................................ 11 30 ................................................................................................................................ 12 41 ................................................................................................................................ 13 47 ................................................................................................................................ 14 49 ................................................................................................................................ 15 72 ................................................................................................................................ 15 80 ................................................................................................................................ 16 83 ................................................................................................................................ 17 88 ................................................................................................................................ 17

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 2

04. Movimento em duas e três dimensões

A nossa experiência cotidiana está repleta de exemplos de movimentos bi e tridi- mensionais. Podemos até dizer que são raras as situações com movimentos unidimensi- onais. Quando saímos de nossa cama para a sala, certamente usamos um movimento bidimensional ao chegar até a porta e caminhando pelo corredor para atingir a sala. Num automóvel em movimento, além do movimento bidimensional, segundo os pontos carde- ais, as estradas têm elevações e baixios, de modo que percorremos um caminho tridi- mensional.

Posição e deslocamento

Vamos considerar um sistema de coor- denadas x-y para analisar o movimento de uma partícula do ponto inicial P ocupado no instante ti até o ponto final Q ocupado no instante tf . A ponto inicial P é localizado pelo vetor posição ir

! e o ponto final Q é localizado

pelo vetor posição fr !

. O vetor deslocamento é definido por:

if rrr !!!

−=∆

y

P

ir !

r !

Q fr

!

x Onde

fiii zkyjxir ˆˆˆ ++= !

ffff zkyjxir ˆˆˆ ++= !

zkyjxir ∆+∆+∆=∆ ˆˆˆ !

Velocidade média e velocidade instantânea

A velocidade pode ser entendida como a variação no tempo do vetor deslocamen- to.

Definimos a velocidade média em duas ou três dimensões fazendo uma extensão da definição usada para o movimento retilíneo, ou seja:

if

if

tt rr

t rv

− −

= ∆ ∆=

!!! !

ou ainda:

t zk

t yj

t xiv

∆ ∆+

∆ ∆+

∆ ∆= ˆˆˆ

!

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A velocidade instantânea é definida como:

dt rdv

t rLim

t

! !

! ==

∆ ∆

→∆ 0

e em coordenadas cartesianas:

t zk

t yj

t xiv LimLimLim

ttt ∆ ∆+

∆ ∆+

∆ ∆=

→∆→∆→∆ 000

ˆˆˆ!

dt dzk

dt dyj

dt dxiv ˆˆˆ ++=

!

ou seja: zyx vkvjviv ˆˆˆ ++=

!

Aceleração média e aceleração instantânea

Quando uma partícula se move com velocidade iv

! no instante ti e com velocida-

de fv !

no instante tf , definimos a sua acele- ração média como:

t v

tt vv

a if

if

∆ ∆=

− −

= !!!

!

A aceleração instantânea é definida como:

dt vda

t vLim

t

! !

! ==

∆ ∆

→∆ 0

y

P iv

!

Q

x fv

!

e em coordenadas cartesianas:

t vk

t v

j t

via z t

y

t

x

t LimLimLim

∆ +

∆ ∆

+ ∆ ∆

= →∆→∆→∆ 000

ˆˆˆ!

dt dv

k dt

dv j

dt dv

ia zyx ˆˆˆ ++= !

ou seja: zyx akajaia ˆˆˆ ++=

!

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 4

Movimento num plano com aceleração constante

Vamos considerar que a partícula se mova no plano x-y com aceleração cons- tante. Para um movimento nesse plano teremos:

 

 

+= += +=

yx

yx

ajaia vjviv yjxir

ˆˆ ˆˆ ˆˆ

!

!

!

e considerando que a aceleração é constante teremos as equações para o movimento segundo o eixo x:

( ) ( )20000 2 1 ttattvxx xx −+−+=

( )00 ttavv xxx −+= ( )0202 2 xxavv xxx −+=

e as equações para o movimento segundo o eixo y :

( ) ( )20000 2 1 ttattvyy yy −+−+=

( )00 ttavv yyy −+= ( )0202 2 yyavv yyy −+=

As equações anteriores podem ser sintetizadas nas formas vetoriais:

2 00 2

1 tatvrr !!!!

++=

tavv !!!

+= 0 ( )0202 2 rravv

!!! −⋅+=

Movimento de projéteis

O movimento dos projéteis é uma situação onde uma partícula se move num plano, com movimento de aceleração constante em uma direção e movimento de velocidade constante em outra direção.

Vamos considerar que ax = 0 e que ay = - g , e desse modo, as equações para esse movimento serão para o eixo x:

tvxx x00 =− (1)

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 5

e para o eixo y: 2

00 2 1 tgtvyy y −=− (2)

tgvv yy −= 0 (3)

( )20202 2 yygvv yy −−= (4)

Considerando x0 = yo = 0 , na equação (1), temos

xv xt 0

=

usando esse resultado na equação (2), temos:

2

00 0 2 

 

 

 −

 

 =

xx y v

xg v xvy

ou seja 2

2 00

0

2 x

v gx

v v

y xx

y



 

 −

 

 =

A equação anterior é do tipo:

y = b x - c x2

Se completarmos os quadrados na equação anterior, teremos:

22

24   

  −−=

 

 − c bxc

c by

Essa é a equação de uma parábola com a concavidade voltada para baixo, e tem como coordenadas do ponto de altura máxima:

 

 

=

=

c by

c bx

M

M

4

2

2

Considerando que:

 

 

=

=

000

000

sen

cos

θ

θ

vv

vv

y

x

encontramos que:

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 6

 

 

=

=

g vy

g vx

M

M

2 sen

2 2sen

0 22

0

0 2 0

θ

θ

Como a parábola é uma curva simétrica, a distância percorrida ao longo do eixo x , também conhecida como alcance R tem o valor R = 2 xM , ou seja:

g vR 0

2 0 2sen θ=

com a mesma velocidade inicial e para ângulos de 300 , 450 e 600 .

Da trigonometria, podemos encontrar que quando dois ângulos diferentes têm o mesmo seno, a soma desses ângulos deve ser igual a 1800 , ou seja:

2α + 2β = 1800 α + β = 900 α = 900 - β

ou seja, dois lançamentos cujos ângulo somam 900 têm o mesmo alcance, como mostra a figura anterior para os ângulos 300 e 600 . Podemos mostrar, então, que o alcance máximo é obtido quando o ângulo de lançamento vale 450 , como mostra a terceira curva da figura anterior.

Uma análise mais realista do movimento dos projéteis deverá levar em conta o seu atrito com o ar. Essa força de atrito é considerada como uma função da velocidade. Num caso mais simples, se a força de atrito for considerada proporcional à velocidade de des- locamento, nós podemos avaliar os seus efeitos no movimento dos projéteis no gráfico a seguir.

L a n ç a m e n to e m v á r io s â n g u lo s

0

0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

3

3 ,5

4

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 0 1 1 x

y

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 7

para os mesmos ângulos e velocidades iniciais da figura anterior.

Tiro de gran alcance

Al final de la primera guerra mundial (1918), cuando los éxitos de la aviación francesa e inglesa dieron fin a las incursiones aéreas enemigas, la artillería alemana puso en práctica, por primera vez en la historia, el bombardeo de ciudades enemigas situadas a más de cien kilómetros de distancia. El estado mayor alemán decidió emplear este nuevo procedimiento para batir la capital francesa, la cual se encontraba a más de 110 km del frente. Hasta entonces nadie había probado este procedimiento. Los propios artilleros alemanes lo descubrieron casualmente. Ocurrió esto al disparar un cañón de gran calibre con un gran ángulo de elevación. Inesperadamente, sus proyectiles alcanzaron 40 km, en lugar de los 20 calculados. Resultó, que estos proyectiles, al ser disparados hacia arriba con mucha inclinación y gran velocidad inicial, alcanzaron las altas capas de la atmósfera, en las cuales, debido al enrarecimiento, la resistencia del aire es insignificante. En este medio poco resistente es donde el proyectil recorrió la mayor parte de su trayectoria, después de lo cual cayó casi verticalmente a tierra.

La figura muestra claramente la gran variación que experimentan las trayectorias de los proyectiles al cambiar el ángulo de elevación. Esta observación sirvió de base a los alemanes para proyectar un cañón de gran alcance, para bombardear París desde una distancia de 115 km. Este cañón terminó de fabricarse con éxito, y durante el verano de 1918 lanzó sobre París más de trescientos proyectiles. He aquí lo que después se supo de este cañón. Consistía en un enorme tubo de acero de 34 m de largo y un metro de grueso. El espesor de las paredes de la recámara era de 40 cm. Pesa ba en total 750 t. Sus proyectiles tenían un metro de largo y 21 cm de grueso, y pesaban 120 kg. Su carga requería 150 kg de pólvora y desarrollaba una presión de 5 000 atmósferas, la cual disparaba el proyectil con una velocidad inicial de 2 000 m/seg. El fuego se hacía con un ángulo de elevación de 52' y el proyectil describía un enorme arco, cuyo vértice o punto culminante se encontraba a 40 km de altura sobre la tierra, es decir, bien entrado en la estratosfera. Este proyectil tardaba en recorrer los 115 km, que mediaban entre el emplazamiento del cañón y París, 3,5 minutos, de los cuales, 2 minutos volaba por la estratosfera. Estas eran las características del primer cañón de ultralargo alcance, antecesor de la moderna artillería de este género.

L a n ç a m e n to d e p r o j é te i s c o n si d e r a n d o o a tr i to

0

0 ,5

1

1 ,5

2

2 ,5

3

3 ,5

4

0 0 ,5 1 1 ,5 2 2 ,5 3 3 ,5 4 4 ,5 5 x

y

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 8

Cuando mayor sea la velocidad inicial de la bala (o del proyectil), tanto mayor será la resistencia del aire. El aumento de esta resistencia no es proporcional al de la velocidad, sino más rápido, es decir, proporcional al cuadrado, al cubo y a potencias aún mayores del aumento de la velocidad, según el valor que ésta alcance.

Física Recreativa - Yakov Perelman

Movimento circular e uniforme

Se um corpo está se movimentando em círculos com velocidade constante em mó- dulo, ele necessariamente estará sob a ação de uma força. Essa força F

! pode ter as

mais diversas origens: gravitacional, elétrica, magnética, e etc. Mas algumas grandezas ligadas a esse movimento estão relacionadas do seguinte modo:

R vaondeamF

2

==

onde m é a massa do corpo, R é o raio da órbita e v é a sua velocidade. A velocidade pode ser definida como:

RwRf T Rv === ππ 22

F !

v !

onde T é o período, f é a frequência, e w é a frequência angular. A unidade de T é segun- do, a unidade de f é 1/segundo = Hertz, e a unidade de w é radiano/segundo. Desse modo, a frequência angular tem como unidade natural o radiano/segundo, mas pode ser expressa em rotações/minuto:

min2 60

2 111 rot

seg rot

seg rad

ππ ==

Por exemplo, qual deve ser a velocidade angular, em rotações por minuto, que um corpo deve girar para que a sua aceleração seja 50 vezes a aceleração da gravidade?

g R vgm

R vmF 5050

22

=∴==

mas, como vimos anteriormente v = wR, logo:

segrad R

gwgRw /50502 =∴=

e finalizando:

min/50 2 60 rot

R gw

π =

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 9

onde g = 9,8 m/s2 e R é o raio da órbita do corpo, ou o raio de centrifugação.

Para deduzir a equação da aceleração usada inicialmente, vamos considerar que num dado instante o corpo está no ponto P com velocidade v

! e que um intervalo de

tempo ∆t posterior esteja no ponto Q com velocidade seja ´v !

, de modo que essas duas velocidades tenham o mesmo módulo v .

P v

!

θ Q ´v

!

´v !

θ v !

v !

r θ s r

A variação do vetor velocidade é dado por vvv !!!

−=∆ ´ , e vamos considerar como θ o ângulo formado pelos vetores v

! e ´v

! . Esse triângulo formado pelos vetores mencio-

nados é isósceles já que os vetores v !

e ´v !

têm mesmo módulo. Podemos definir um outro triângulo isósceles formado pela reta que une o centro do triângulo ao ponto P , pela reta que une o centro deste mesmo triângulo ao ponto Q e pela corda s que une os pontos P e Q . Esses dois triângulos são equivalentes pois os lados iguais fazem en- tre si o mesmo ângulo θ .

A equivalência entre os triângulos é expressa pela equação:

r s

v v =∆

A trajetória do corpo em movimento circular é, naturalmente, ao longo da curva, e não ao longo da corda s , mas para um intervalo de tempo ∆t pequeno, podemos apro- ximar a corda pela curva. O comprimento da curva a considerar é o espaço percorrido pelo corpo com velocidade constante, ou seja :

curva = v t logo

corda = s v t portanto

r v

t v

r tv

v v 2≈

∆ ∆∴∆≈∆

No limite quando ∆t → 0 a aproximação da corda pela curva torna-se uma igual- dade:

r v

t va Lim

t

2

0 =

∆ ∆=

→∆

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 10

Vale a pena enfatizar que a direção da aceleração é perpendicular ao vetor veloci- dade. Deve-se notar, portanto, que não é necessário existir movimento na direção da aceleração.

Movimento relativo

Os resultados da observação de um evento dependem do referencial usado pelo observador. Um acontecimento que ocorre no interior de um vagão de um trem tem uma aparência para observadores fixos no interior desse trem e uma outra aparência diferente para observadores fixos nos trilhos.

Vamos considerar dois referenciais S e S´ , considerando que S´ move-se com veloci- dade constante u

! em relação a S .

Um evento que é localizado no referencial S pelo vetor posição r

! ,

será localizado no referencial S´ pelo vetor posição ´r

! é esses dois vetores

estão relacionados do seguinte modo:

turr !!!

+= ´

A velocidade com que um dado corpo se move é medida de maneira diferente por cada um desses referen- ciais.

y y´

A

r !

´r !

tu !

x x´

Se para um observador no referencial S a velocidade é v !

, para um outro obser- vador no referencial S´ a velocidade é ´v

! . Encontramos a maneira como essas veloci-

dades estão relacionadas derivando a relação entre os vetores posição:

uvvu dt rd

dt rd !!!!

!"

+=∴+= ´´

Coger con la mano una bala disparada!

Durante la primera guerra mundial, según información de prensa, a un aviador francés lo ocurrió un caso extraordinario. Cuando iba volando a dos kilómetros de altura, este aviador se dio cuenta que junto a su cara se movía una cosa pequeña. Pensó que sería algún insecto, y, haciendo un ágil movimiento con la mano, lo cogió. Cuál sería su sorpresa cuando comprendió, que lo que acababa de cazar era... ¡una bala de fusil alemana! ¿Verdad que esto recuerda los cuentos del legendario barón Münchhausen, que también aseguró haber cogido una bala de cañón con las manos?

No obstante, esta noticia sobre el piloto que cogió la bala, no tiene nada de imposible. Las balas no se mueven durante todo el tiempo con la velocidad inicial de 800- 900 m por segundo, sino que, debido a la resistencia del aire, van cada vez más despacio y al final de su trayectoria, pero antes de empezar a caer, recorren solamente 40 m por

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 11

segundo. Esta era una velocidad factible para los aeroplanos de entonces. Por consiguiente, la bala y el aeroplano podían volar a una misma velocidad, en un momento dado, y, en estas condiciones, aquélla resultaría inmóvil o casi inmóvil con relación al piloto. Es decir, éste podría cogerla fácilmente con la mano, sobre todo con guante (porque las balas se calientan mucho al rozar con el aire).

Física Recreativa - Yakov Perelman

Solução de alguns problemas

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - Edição antiga

"19" Um malabarista consegue manter simultaneamente cinco bolas no ar, todas atin- gindo uma altura máxima de 3m . Encontre o intervalo de tempo entre duas bolas que chegam às suas mãos. Consi- dere que os intervalos são os mesmos para todas as bolas.

Vamos considerar t o tempo necessário para que uma bola atinja a altura máxima de h = 3m . Logo T = 2t é o tempo que cada bola permanece no ar até cair de volta nas mãos do malabarista.

Se tivéssemos apenas duas bolas, jogaríamos a primeira bola e após T/2 jogaría- mos a segunda bola.

Como temos cinco bolas, jogaríamos a primeira, após T/5 jogaríamos a segunda, após T/5 jogaríamos a terceira, após T/5 jogaríamos a quarta e finalmente após T/5 jogaríamos a quinta bola. A seguir pegaríamos a primeira que permaneceu 5T/5 no ar. Vamos chamar de ∆t o intervalo entre a chegada de duas bolas, logo:

5 2

5 tTt ==∆

Considerando que o tempo de descida é o mesmo que o de subida, soltando uma da bolas ela terá um movimento tal que:

g ht

g htgth 2

5 22

2

2

=∆⇒=∴= = 0,31s

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

22 Um projétil é atirado horizontalmente de uma arma que está 45m acima de um solo plano. A velocidade na saída do cano é 250m/s .

a) Por quanto tempo o projétil permanece no ar?

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 12

0

10

20

30

40

50

60

70

80

0 10 20 30 40 50 60 70 80 90 100 110 120 x

y

h = 45m v0x = 250m/s v0y = 0

2

2

00

gttvyy y −=−

ou seja:

2

2gth −=−

s g ht 03,32 ==

b) A que distância da arma, na horizontal, ele cai ao solo?

m g hvtvd xx 5,757

2 00 ===

c) Qual o módulo da componente vertical da velocidade, no instante em que atinge o solo?

vy = v0y - gt = - gt = - 10.3,03 = -30,3m/s

smvvv yx /82,251 22 =+=

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

30 Uma pedra é lançada para o alto de um penhasco de altura h , com uma velocidade inicial de 42m/s e uma ângulo de 600 , acima da horizontal. A pedra cai 5,5s após o lançamento. Calcule: a) Calcule a altura h do penhasco.

v0 = 42m/s θ0 = 600 t = 5,5s

v0y = v0 sen600 = 36,37m/s v0x = v0 cos600 = 21m/s

2

2

00

gttvyy y −=−

ou seja:

2 0

2

0

gttvh y −=−

H h

0 5

10 15 20 25 30 35 40 45 50

0 100 200 300 400 500 600 700 800 x

y

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 13

0

2

4

6

8

10

12

14

0 2 4 6 8 10 12 14x

y

Usando os valores das variáveis, encontramos a altura do penhasco:

h = 51,81m

b) A velocidade da pedra imediatamente antes do impacto no penhasco.

vy = v0y - gt vy = - 17,53m/s

vx = v0x = 21m/s

( ) smjiv /ˆ53,17ˆ21 −=!

c) A altura máxima H acima do nível do solo.

Na posição da altura máxima a componente vertical da velocidade será nula:

m g

v HgHvv yyyH 48,672

02 2 02

0 2 ==⇒=−=

Poderíamos ainda calcular quanto tempo T foi necessário para o projétil chegar até a altura máxima e qual o valor da componente xH :

s g

v TgTvv yyHy 71,30

0 0 ==⇒=−=

xH = v0x T = 77,91m

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

41 Com que velocidade inicial um jogador de basquete deve lançar a bola, num ângulo de θ0 = 550 acima da horizontal, para fazer a cesta, conforme a figura ao lado?

θ0

y

y0

θ0 = 550 y0 = 7pés = 2,1m y = 10pés = 3 m x0 = 0 x = 14pés = 4,26m ( )

 

−−= −=

−=−

=−

0 2 0

2 0

2

00

00

2

2

yygvv gtvv

gttvyy

tvxx

yy

yy

y

x

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Cap 04 romero@fisica.ufpb.br 14

Da primeira equação da esquerda encontramos que t = x / v0x , e aplicamos esse resultado na segunda equação:

2

00 00 2 

 

 

 −

 

 =−

xx y v

xg v xvyy =

0 22

0

2

00

00

cos2cos sen

θθ θ

v xg

v v

x

ou seja:

( )[ ]0002 2

2 0 tancos2 yyx

gxv −−

= θθ

= 52,17

v0 = 7,22m/s

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

47 Uma bola rola, horizontalmente, do alto de uma escadaria com velocidade inicial de 1,5m/s . Os degraus têm 20cm de altura por 20cm de largura. Em qual degrau a bola bate primeiro?

h = d = 0,2m v0x = 1,5m/s θ0 = 00 v0y = 0

yreta = - x

( ) ( ) 2

2 00

0 cos2 tan x

v gxy bola θ

θ −=

2 2 02

x v gy bola 

 

 −=

Nós iremos determinar o degrau onde a bola vai bater primeiro, encontrando o ponto onde a reta cruza com a parábola, num ponto xE , onde:

2 2 02

EE xv gx 

 

 −=− ou seja:

g v

xE 2 02= = 0,45m

Essa distância xE será equivalente ao n-ésimo degrau, onde:

gh v

nnh g v 20

2 0 22 =∴= = 2,29 ⇒ 30 degrau

-0,8

-0,6

-0,4

-0,2

0 0 0,2 0,4 0,6

x

Y

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Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

49 Um avião mergulhando num ângulo de 530 com a vertical a uma altitude de 730m lança um projétil, que bate no solo 5s depois de ser lançado.

a) Qual a velocidade do avião?

( )tvhgttv y 00 2

0 cos2 θ−=−=

0 0 cos

2 θ

tg t h

v

= = 201,88m/s

b) Que distância o projétil per- correu, horizontalmente, du- rante o seu vôo?

14,806sen 000 === θtvtvd x

c) Quais eram as componentes horizontal e vertical de sua velocidade no instante em que caiu no solo?

000 senθvvv xx == = 161,22m/s

gtvgtvv yy −−=−= 000 cosθ = -121,49 - 49,00 = 170,49m/s

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

72 Uma pedra, presa a um cordão de 1,5m de comprimento, é girada por um menino, fazendo um círculo horizontal a 2m acima do solo. Quando o cordão arrebenta, a pedra é lançada horizontalmente, caindo ao solo 10m adiante. Qual era a aceleração centrípeta da pedra enquanto estava em movimento circular?

y0 = h = 1,5m y = 0 r = 1m x0 = 0 x = d = 9m

( ) 

 

−−= −=

−=−

=−

0 2 0

2 0

2

00

00

2

2

yygvv gtvv

gttvyy

tvxx

yy

yy

y

x

0

0,5

1

1,5

2

0 2 4 6 8 10x

y

θ0

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Usando o conjunto de equações acima para esses problema, encontramos a veloci- dade de lançamento da pedra:



  

=∴==⇒ =

=

h gdv

v d

g htgth

tvd x

x

x

2 2

2 0

0

2 0

= 16,26m/s

Mas enquanto a pedra estava presa, ela descrevia um movimento circular e uniforme com aceleração dada por:

rh gd

r v

a x 2

22 0 == = 264,38m/s2 = 26,97g

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

80 A neve cai, verticalmente, com uma velocidade constante de 8m/s . O motorista de um carro, viajando em linha reta numa estrada com uma velocidade de 50km/h , vê os flocos de neve caírem formando um ângulo com a vertical. Qual o valor deste ân- gulo?

v = 8m/s u = 50km/h = 13,89m/s

  

+′= +′=

uvv turr !!!

!!!

v !

v ′ !

v !

u !

u !

Onde v !

é a velocidade da neve caindo observada em um referencial fixo na estra- da, u

! é a velocidade do referencial móvel em relação à estrada e v

! é a velocida-

de da neve caindo observada pelo referencial móvel. Em termos vetoriais, teremos:

uvv !!!

+′=

Como neste caso específico os vetores v !

e u !

formam um ângulo reto:

22 uvv +=′ = 16,02m/s

v u=θtan =1,73 θ = 600

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Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

83 Um trem viaja em direção ao sul a 30m/s (em relação ao solo), sob uma chuva que está caindo, também em direção ao sul, sob a ação do vento. As trajetórias das gotas de chuva formam um ângulo de 220 com a vertical, conforme registrado por um ob- servador parado no solo. Entretanto, um observador no trem vê as gotas caírem exatamente na vertical. Determine a velocidade da chuva em relação ao solo.

θ = 220 u = 30m/s

uvv !!!

+′= logo

θ θ

sen sen uvvu =∴= = 80,08m/s

v !

v ′ !

v !

θ u

!

u !

Capítulo 4 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

88 Uma mulher pode remar um bote a 6,4km/h , em água parada.

a) Se ela atravessar um rio com uma correnteza de 3,2km/h , em que direção deve aprumar o bote, para alcançar o local diretamente oposto ao seu ponto de parti- da?

vb´ = 6,4km/h vr = 3,2km/h

0605,0 4,6 2,3cos =∴==′= θθ

b

r

v

v bv

! ′bv

!

rv !

b) Se o rio tiver 6,4km de largura, quanto tempo levará para atravessá-lo?

l = 6,4km vb = vb´ senθ

l = vb t

0' 60sen.4,6 4,6

sen ===

θbb v l

v lt = 1,15h = 1h 09min

c) Suponha que, em vez de atravessar o rio, ela reme 3,2km rio abaixo, e depois volte ao ponto de partida. Qual o tempo gasto nesse percurso?

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d = 3,2km

As velocidades contra a correnteza Vab e a favor da correnteza Vba são defini- das como:

Vab = vb´- vr Vba = vb´ + vr

B A

Como os movimentos têm velocidades constantes:

d = Vab tabe d = Vba tba onde t = tab + tba

( ) 22'

2'2

rb

b

baab

baab

baab vv dv

VV VVd

V d

V dt

− =

+ =+= = 1,34h

d) Quanto tempo levaria se tivesse remado 3,2km rio acima e, depois, voltasse ao ponto de partida?

O mesmo do item anterior

e) Em que direção deveria aprumar o barco, se quisesse atravessar o rio no mais curto intervalo de tempo possível? Qual seria esse tempo?

l = 6,4km vb´ = 6,4km/h vr = 3,2km/h

d = vb t

onde d é a distância a ser percorrida pelo barco na travessia do rio. bv

! ′bv

!

θ β rv

!

Por equivalência entre os triângulos, podemos mostrar que:

t v d

v l

bb

== βsen'

Para calcular o extremo (mínimo, neste caso) do tempo em relação ao ân inclinação do barco teremos:

2 0

sen cos

2'

πβ β β

β =⇒=−= M

bv l

d dt

d

l

18

gulo de

Versão preliminar 7 de setembro de 2002

Notas de Aula de Física

05. LEIS DE NEWTON ....................................................................................................... 2 ONDE ESTÃO AS FORÇAS?................................................................................................... 2 PRIMEIRA LEI DE NEWTON................................................................................................... 3 SEGUNDA LEI DE NEWTON .................................................................................................. 3 TERCEIRA LEI DE NEWTON .................................................................................................. 4 APLICAÇÕES DAS LEIS DE NEWTON...................................................................................... 4

Exemplo 5-6 .................................................................................................................. 4 Exemplo 5-8 .................................................................................................................. 6 Exemplo 5-9 .................................................................................................................. 7 Exemplo 5-10................................................................................................................ 7 Exemplo 5-11................................................................................................................ 8

SOLUÇÃO DE ALGUNS PROBLEMAS ....................................................................................... 9 16 .................................................................................................................................. 9 40 .................................................................................................................................. 9 45 ................................................................................................................................ 10 49 ................................................................................................................................ 11 57 ................................................................................................................................ 12 58 ................................................................................................................................ 13 63 ................................................................................................................................ 14 70 ................................................................................................................................ 15

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05. Leis de Newton

No nosso dia a dia encontramos objetos que se movem e outros que permanecem em repouso. À primeira vista, parece que um corpo está em repouso quando não existem forças atuando nele, e inicia o movimento quando uma força começa a atuar sobre si.

No desenrolar deste capítulo vamos ver o quanto essas aparências se aproximam ou se afastam da realidade.

Onde estão as forças?

Gravidade As coisas caem porque são atraídas pela Terra. Há uma força que puxa cada ob-

jeto para baixo e que também é responsável por manter a atmosfera sobre a Terra e tam- bém por deixar a Lua e os satélites artificiais em órbita. É a chamada força gravitacional. Essa força representa uma interação existente entre a Terra e os objetos que estão sobre ela.

Sustentação Para que as coisas não caiam é preciso segurá-las. Para levar a prancha o garotão

faz força para cima. Da mesma forma, a cadeira sustenta a moça, enquanto ela toma sol. Em cada um desses casos, há duas forças opostas: a força da gravidade, que puxa a moça e a prancha para baixo, e uma força para cima, de sustentação, que a mão do sur- fista faz na prancha e a cadeira faz na moça. Em geral, ela é conhecida como força nor- mal.

Na água A água também pode sustentar coisas, impedindo que elas afundem. Essa intera-

ção da água com os objetos se dá no sentido oposto ao da gravidade e é medida através de uma força que chamamos de empuxo hidrostático. É por isso que nos sentimos mais leves quando estamos dentro da água. O que sustenta balões no ar também é uma força de empuxo, igual à que observamos na água.

No ar Para se segurar no ar o pássaro bate asas e consegue com que o ar exerça uma

força para cima, suficientemente grande para vencer a força da gravidade. Da mesma forma, o movimento dos aviões e o formato especial de suas asas acaba por criar uma força de sustentação. Essas forças também podem ser chamadas de empuxo. Porém, trata-se de um empuxo dinâmico, ou seja, que depende de um movimento para existir. As forças de empuxo estático que observamos na água ou no caso de balões, não depen- dem de um movimento para surgir.

As formas pelas quais os objetos interagem uns com os outros são muito variadas. A interação das asas de um pássaro com o ar, que permite o vôo, por exemplo, é dife- rente da interação entre uma raquete e uma bolinha de pingue-pongue, da interação entre uma lixa e uma parede ou entre um ímã e um alfinete.

Isaac Newton, o famoso físico inglês do século XVIII, conseguiu elaborar leis que permitem lidar com toda essa variedade, descrevendo essas interações como forças que agem entre os objetos. Cada interação representa uma força diferente, que depende das

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diferentes condições em que os objetos interagem. Mas todas obedecem aos mesmos princípios elaborados por Newton, e que ficaram conhecidos como Leis de Newton.

Leituras de Física - MECÂNICA - Capítulo 12 GREF - Grupo de Reelaboração do Ensino de Física Instituto de Física da USP - junho de 1998

Primeira Lei de Newton

Antes da época de Galileu a maioria dos filósofos pensava que fosse necessária alguma influência ou força para manter um corpo em movimento. Supunham que um cor- po em repouso estivesse em seu estado natural. Acreditavam que para um corpo mover- se em linha reta com velocidade constante fosse necessário algum agente externo empur- rando-o continuamente, caso contrário ele iria parar.

Foi difícil provar o contrário dada a necessidade de livrar o corpo de certas influên- cias, como o atrito. Estudando o movimento de corpos em superfícies cada vez mais pla- nas e lisas, Galileu afirmou ser necessária uma força para modificar a velocidade de um corpo mas nenhuma força é exigida para manter essa velocidade constante.

Newton enunciou que: "Um corpo tende a permanecer em repouso ou em movi- mento retilíneo e uniforme, quando a resultante das forças que atuam sobre si for nula".

Sejam 1F !

e 2F !

as forças que atuam num corpo. A resultante das forças F

! será

a soma vetorial das forças que atuam nesse corpo:

021 ==+ FFF !!!

Quando a resultante for nula o corpo permanecerá em repouso ou se deslocará com movimento retilíneo e uniforme.

1F !

F !

Segunda Lei de Newton

Newton enunciou que: "A resultante das forças que atuam sobre um corpo é igual ao produto da sua massa pela aceleração com a qual ele irá se movimentar".

Sejam 1F !

, 2F !

e 3F !

as forças que atuam sobre um corpo de massa m . A re- sultante das forças F

! será a soma vetorial

das forças que atuam nesse corpo, logo:

amFFFF !!!!!

==++ 321

3F !

2F !

1F !

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Terceira Lei de Newton

Uma força é apenas um aspecto da interação mútua entre dois corpos. Verifica-se experimentalmente que quando um corpo exerce uma força sobre outro, o segundo sem- pre exerce uma força no primeiro.

Newton enunciou que: "Quando um corpo exerce uma força num segundo corpo, este último reagirá sobre o primeiro com uma força de mesma intensidade e sentido con- trário".

Vamos considerar um corpo sobre uma superfície horizontal plana e lisa, e preso a esse corpo está uma vareta rígida. Uma força 1F

! é aplicada na vareta,

essa força se transmite até o corpo de modo que a vareta exerce uma força 2F

!

sobre o corpo e esse corpo reage à ação da vareta exercendo sobre ela uma força ′2F

!

com mesmo módulo que 2F !

mas com sen- tido contrário. 2F

! e ′2F

! são forças de ação e reação.

′2F !

1F !

2F !

Aplicações das Leis de Newton

Exemplo 5-6 Capítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

A figura ao lado mostra um bloco (o blo- co deslizante) de massa M = 3,3kg . Ele se move livremente sem atrito, sobre uma fina camada de ar na superfície ho- rizontal de uma mesa. O bloco deslizante está preso a uma corda que passa em volta de uma polia de massa e atritos desprezíveis e tem, na outra extremidade, um segundo bloco (o bloco suspenso) de massa m = 2,1kg. O bloco suspenso, ao cair, acelera o bloco deslizante para a direita. Determine:

a) A aceleração do bloco deslizante.

Usando a segunda Lei de Newton, para cada um dos corpos, teremos

M

m

N !

T !

T ′ !

P !

p !

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para o corpo deslizante: AMPTN !!!!

=++ e para o corpo suspenso:

ampT !!!

=+′

Como os dois blocos estão presos por uma corda suposta inextensível e de massa desprezível, eles terão (em módulo) as mesmas velocidades e acelera- ções.

A = a

Além disso, a tensão se transmitirá integralmente através da corda:

T = T´

Para o corpo deslizante a Lei de Newton toma a forma escalar:

N - P = 0

T = Ma e para o segundo corpo:

p - T = ma

Somando as duas últimas equações, encontramos:

p = mg = (M + m) a ou seja:

g Mm

ma   

 

+ = = 3,81m/s2

b) A aceleração do bloco suspenso

Como já foi mencionado, os dois bloco têm a mesma aceleração, em módulo:

g Mm

ma   

 

+ = = 3,81m/s2

c) A tensão na corda

Foi mostrado que: T = Ma

logo:

g Mm

mMT   

 

+ = = 12,57N

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Exemplo 5-8 Capítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

A figura ao lado mostra um bloco de massa m = 15kg suspenso por três cor- das. Quais as tensões nas cordas?

θ1 = 280 θ2 = 470

θ1 θ2

O peso P do bloco é transmitido pela corda para o nó, de modo que F3 = P .

Como o nó está em repouso, a resultante das forças que atuam nele é nula. Como a resultante é nula, obviamente a soma das componentes vertical e hori- zontal das forças também será nula.

y 1F

! 2F

!

θ1 θ2 x

3F !

F1 senθ1 + F2 senθ2 - F3 = 0

- F1 cosθ1 + F2 cosθ2 = 0 Da última equação temos:

2

1 12 cos

cos θ θ

FF =

e usando este resultado na primeira, temos:

( ) 2

21 1

2

2121 12

2

1 113 cos

sen cos

sencoscossensen cos cossen

θ θθ

θ θθθθ

θ θ θ

θ +

= 

  

 + =

  

 += FFFF

ou seja:

( )21 2

31 sen cos

θθ θ +

= FF = 103,79N

e

( )21 1

32 sen cos

θθ θ +

= FF = 134,37N

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Exemplo 5-9 Capítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

A figura ao lado mostra um bloco de massa m = 15kg seguro por uma corda, sobre um plano inclinado sem atrito.

Se θ = 270 , qual a tensão na corda?

Qual força é exercida pelo plano sobre o bloco?

m

0=++ TPN !!!

N - P cosθ = 0 T - P senθ = 0

A força exercida pelo plano sobre o bloco é a força normal N :

T = P senθ = 9,8 . 15 . sen270 T = 66,73Newtons

N = P cosθ = 9,8 . 15 . cos270 N = 130,97Newtons

x

y N

!

T !

θ P

!

Exemplo 5-10 Capítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

A figura ao lado mostra um bloco de massa m = 15kg , sobre um plano incli- nado sem atrito.

Se θ = 270 , qual a aceleração do bloco?

m

amPN !!!

=+

P senθ = ma N - P cosθ =0

logo: a = g senθ

a = 9,8 . sen270

a = 4,45m/s2

x

y N

!

θ P

!

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Exemplo 5-11 Capítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

A figura ao lado mostra dois blocos ligados por uma corda, que passa por uma polia de massa e atritos desprezíveis. Fazendo m = 1,3kg e M = 2,8kg , determine a tensão na corda e o módulo da acele- ração (simultânea) dos dois blocos.

Para o corpo da esquerda, temos a equação:

ampFampF =−⇒=+ 2121 !!!

e para o corpo da direita:

m

M

MAFPAMPF =−⇒=+ 1212 !!!

A corda é considerada inextensível portanto os corpos terão a mesma aceleração (em módulo).

a = A

A corda também é considerada de massa despre- zível, logo:

F12 = F21 = F

As equações terão a forma:

F - p = ma

P - F = Ma

21F !

m 12F

!

p !

M

P !

Somando as equações:

P - p = (M + m) a Como p = mg e P = Mg

g mM mMa   

 

+ −= = 3,41m/s2

De uma equação anterior, temos:

F = p + ma logo ( ) ( ) 

 

+ −++=

 

 

+ −+=

mM mMmMmgg

mM mMmmgF

g mM

mMF   

 

+ = 2 = 16,59N

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Solução de alguns problemas

Capítulo 5 - Halliday, Resnick e Walker - 4a. edição

16 Um móbile grosseiro pende de um teto com duas peças metálicas presas por uma corda de massa desprezível, conforme a figura. São dada as massas das peças.

a) Qual a tensão na corda inferior?

m1 = 3,5kg m2 = 4,5kg

Como o móbile está em repouso, é nula a resultante das forças que atuam em cada parte dele. Considerando a parte inferior do móbile, teremos:

011 =+ PT !!

ou seja: T1 - P1 = 0 T1 = P1 = m1 g

T1 = 34,3N

3T !

1T !

2T !