Flexão Elástica, Notas de estudo de Engenharia Civil
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Cap6_2003

1

CAPÍTULO VI

FLEXÃO ELÁSTICA EM VIGAS

I. ASPECTOS GERAIS

As vigas empregadas nas edificações devem apresentar adequada rigidez e resistência, isto é, devem resistir aos esforços sem ruptura e ainda não de deformar em demasia.

Os valores limites para estas deformações são indicadas por norma e

dependem, das cargas atuantes, do material empregado (E) e da forma e dimensões da peça (J).

O eixo de uma viga é inicialmente considerado retilíneo. Após a deformação

ele se transforma em uma curva que chamamos de LINHA ELÁSTICA da viga. Lembrando a hipótese de Bernoulli, uma seção transversal qualquer ‘S’, de

configuração plana e perpendicular ao eixo geométrico da peça, continuará plana e perpendicular ao eixo geométrico deformado durante e depois da sua deformação. Além disto este eixo conserva o seu comprimento inicial.

y(x) – deformação linear do centro de gravidade da seção. ? (x) – deformação angular da seção (giro que ela experimenta em torno da Linha Neutra) Da premissa acima pode-se concluir que :

? Sendo a elástica uma curva plana pode ser descrita por uma função de uma variável real.

y= y (x)

y(x)

? (x)

Linha elástica

2

? Decorre da hipótese da continuidade que y(x) deve ser uma função contínua

de 1ª derivada contínua também (não admite saltos e nem angulosidades). ? Conhecida a função y (x), que descreve a elástica, podemos não só determinar

o deslocamento linear do baricentro da seção como também o seu deslocamento angular ( ? (x) - giro), em torno da respectiva Linha Neutra, através da derivada de y(x).

dx

)x(dy (x)

dx )x(dy

)x( tg ?????

A hipótese acima decorre da admissão de que uma estrutura trabalha sempre

no campo das pequenas deformações.

II. PROBLEMA A RESOLVER: O nosso problema pode ser configurado como o de estabelecer a relação entre y (x) e a solicitação que o provoca M(x) e Q(x). Nós já sabemos que o cortante é desprezível frente ao momento fletor, e portanto para maior simplicidade vamos estabelecer a relação entre y(x) e M(x), negligenciando a presença do esforço cortante. Existem diversos processos para a determinação da linha elástica: integração direta, diagrama de momentos, funções singulares, energia elástica de deformação, etc.. III. DETERMINAÇÃO DA LINHA ELÁSTICA POR INTEGRAÇÃO DIRETA

Para a determinação da equação da linha elástica y(x) partimos da equação diferencial da linha elástica:

Para o desenvolvimento da equação diferencial da linha elástica: 1. Escolhemos um sistema de eixos cartezianos da seguinte forma:

- eixo x coincidente com o eixo indeformado da peça. - eixo y coincidente com a direção do deslocamento linear do baricentro da

seção.

d y dx

M x E J

2

2 ? ? ( )

.

3

y(x) : deslocamento linear do baricentro de uma seção genérica, considerado positivo para baixo . ? (x) : deslocamento angular da seção(giro da seção em torno da LN) em radianos, considerado positivo no sentido horário.

2. Conhecida a função M(x), mediante duas integrações se obtem dy/dx= ? (x) (equação do giro) e y(x) (equação da linhaelástica).

3. Naturalmente na solução geral do problema aparecem as constantes de

integração. Estas devem ser determinadas pelas condições de contorno ou continuidade específicas do problema.O número de condições deve ser igual ao número de constantes a serem determinadas.

4. Quando a expressão M(x) não for única, devemos proceder da mesma maneira

para cada domínio de M(x). Sempre que a viga apresentar pontos de transição de carga (carga concentrada, momento aplicado e mudança na taxa de cargas distribuídas), a viga deve ser dividida em trechos para a determinação da equação de M(x). Nestes casos teremos tantas equações para M(x) quantos forem os trechos definidos.

5. Se a viga for de seção variável será necessário determinar também a lei de

variação do momento de inércia: J= J(x)

A. CONDIÇÕES DE CONTORNO

1. Viga Bi-Apoiada

Nos pontos A e B estão apoios, e pelo destes apoios não permitirem o

deslocamento vertical, tiramos as condições de contorno abaixo:

dy dx

x? ? ( )

B A

4

y(A) = 0 e y(B) = 0

Estas condições são próprias desta vinculação. 2. Viga Engastada:

O engaste é um vínculo que não permite deslocamento vertical e nem giro, portanto as condições particulares que a linha elástica deve satisfazer no engaste A da viga são:

y(A) = 0 e ? (A) = 0

B. CONDIÇÕES DE CONTINUIDADE

Pelo fato da linha neutra ser uma função contínua (não dá saltos) e de 1ª

derivada também contínua (não apresenta angulosidades), podemos no caso de vigas com trechos distintos, condicionar que o deslocamento linear e angular calculado nos pontos de transição, apresentem o mesmo resultado, independente das equações utilizadas.

Na viga abaixo temos dois trechos definidos para a equação do momento fletor

M(x) e portanto duas equações para y(x) e ? (X). Estas equações têm diferentes trechos de validade.

A condição a ser cumprida deve pressupor a continuidade da viga no ponto de

transição.

A

B A

C

y1(C)= y2(C) ? 1(C)= ? 2(C)

5

C. PRINCÍPIO DA SUPERPOSIÇÃO DE EFEITOS

Sempre que causa e efeito são proporcionais, podemos aplicar o Princípio da Superposição de Efeitos, o que se verifica no caso da linha elástica.

“ O efeito de um conjunto de forças atuando simultaneamente em um corpo é igual a soma dos efeitos de cada força atuando isoladamente.”

Nestes casos, na aplicação da superposição de efeitos, deve-se ter o cuidado

especial com o trecho de validade de cada equação. O princípio da superposição de efeitos é muito prático de ser aplicado pois as

vigas de maior ocorrência tem as equações de linha elástica tabeladas com alguns valores definidos.

Ex:

IV . CRITÉRIO DE PROJETO BASEADO NA DEFORMAÇÃO DA PEÇA Normalmente o nosso interesse recai no cálculo da pior situação da peça em

termos de deslocamento, ou seja, devemos controlar a deformação máxima da peça.

O deslocamento linear máximo de uma seção chama-se FLECHA que é

representada pela letra grega ? . Para que a nossa viga trabalhe adequadamente, este deslocamento não pode

exceder valores limitados em normas específicas, que regulamentam nossas estruturas.

Cada material tem sua norma específica e portanto sua flecha admitida

própria. Analiticamente teremos a seguinte condição à cumprir:

= +

6

admitidacalculada ??? Observe-se que :

Portanto o maior deslocamento linear da peça ? (ymáx) ocorre no ponto em que

o maior deslocamento angular é zero. O critério da máxima deformação permitida é mais um a ser considerado

quando do projeto de uma viga.

dy dx

x? ? ( )

7

EXERCÍCIOS

1. Dada a viga simplesmente apoiada pelos extremos, figurada abaixo, a ser

construída com aço estrutural MR240. Pede-se: a. Pelo critério da limitação de tensões, e adotando coeficiente de segurança s

= 1,4, determinar as dimensões necessárias a sua seção tranversal que deve ser retangular com h= 2b

b. Dimensione-a pelo critério da deformação máxima, usando a tabela anexa, e sabendo que a norma permite uma flecha de L/360.

Propriedades do aço MR 240 ? e= limite de escoamento = 25 kN/cm2 E = módulo de elasticidade = 2 . 104 kN/cm2

2.

L= 5 m

q= 25 kN/m

2b

b

Seção Transversal

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2. Dada a viga simplesmente apoiada pelos extremos, figurada abaixo, a ser construída com aço estrutural MR240. Pede-se:

a) Pelo critério da limitação de tensões, e adotando coeficiente de segurança s = 1,4, determinar as dimensões necessárias a sua seção tranversal que deve ser retangular com h= 2b

b) Dimensione-a pelo critério da deformação máxima, usando a tabela anexa, e sabendo que a norma permite uma flecha de L/360.

Propriedades do aço MR 240 ? e= limite de escoamento = 24 kN/cm2 E = módulo de elasticidade = 2 . 104 kN/cm2

L= 6 m

q= 10 kN/m

2b

b

Seção Transversal

40 kN

3 m

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