FUÇÃO DEGRAU UNITÁRIO, Pesquisas de Casos-Estudo Integrados. Universidade Federal de Sergipe (UFS)
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FUÇÃO DEGRAU UNITÁRIO, Pesquisas de Casos-Estudo Integrados. Universidade Federal de Sergipe (UFS)

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Função Degrau Unitário

6.3 - Função Degrau Unitário

Função Degrau Unitário

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Câmpus Francisco Beltrão

Disciplina: Cálculo Diferencial e Integral 4A Prof. Dr. Jonas Joacir Radtke

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 4A

6.3 - Função Degrau Unitário

Definição

A função degrau unitário ou função Heaviside u(t − a) é 0 para t < a, apresenta um salto de tamanho 1 em t = a e vale 1 para t > a, como na fórmula

u(t − a) = {

0 se t < a 1 se t > a

(1)

A transformada de u(t − a) decorre diretamente da definição

L {u(t− a)} = ∫ ∞ 0

e−stu(t− a) dt = ∫ ∞ a

e−st ·1 dt = −e −st

s

∣∣∣∣∞ t=a

Logo,

L {u(t − a)} = e −as

s

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6.3 - Função Degrau Unitário

Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 4A

6.3 - Função Degrau Unitário

Exemplo

Esboce o gráfico das seguintes funções:

(a) u(t)

(b) u(t − 2) (c) u(t − 4) (d) u(t − 2)− u(t − 4) (e) t[u(t − 2)] (f) t2[u(t − 1)] (g) cost[u(t − π)− u(t − 2π)]

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6.3 - Função Degrau Unitário

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6.3 - Função Degrau Unitário

Teorema: Segundo Teorema do Desvio - Desvio no Tempo

Se f (t) tiver a transformada F (s), então a “função desviada”

f̃ (t) = f (t − a)u(t − a) = {

0 se t < a f (t − a) se t > a (2)

possui a transformada e−asF (s). Ou seja, se L {f (t)} = F (s), então

L {f (t − a)u(t − a)} = e−asF (s) (3)

Ou, invertendo ambos os lados, podemos escrever

L −1{e−asF (s)} = f (t − a)u(t − a) (4)

Em termos práticos, se conhecermos F (s), podemos obter a transformada de (2) multiplicando F (s) por e−as .

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exemplo

Escreva a seguinte função usando funções degrau unitário e encontre a sua transformada.

f (t) =

 2 se 0 ≤ t ≤ 1 0,5t2 se 1 ≤ t ≤ 0,5π cos t se t > 0,5π

L {f (t)u(t − a)} = e−asL {f (t + a)} (5)

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exemplo

Encontre a transformada inversa f (t) de

F (s) = e−s

s2 + π2 +

e−2s

s2 + π2 +

e−3s

(s + 2)2

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exemplo

Calcule o valor da corrente i(t) no circuito RC da figura abaixo quando é aplicada a ele uma onda retangular única de tensão V0. Supõe-se que o circuito estava em repouso antes da onda ser aplicada.

R i(t) + 1

C

∫ t 0

i(τ) dτ = v(t)

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Faça um esboço ou gráfico da função dada (que se supõe ser nula fora do intervalo fornecido). Represente-a usando funções degrau unitário. Encontre sua transformada.

2. t (0 < t < 1)

3. et (0 < t < 2)

4. sen 3t (0 < t < π)

5. t2 (1 < t < 2)

6. t2 (t > 3)

7. cosπt (1 < t < 4)

8. 1− e−t (0 < t < π) 9. t (5 < t < 10)

10. senωt (t > 6π/ω)

11. 20 cosπt (3 < t < 6)

12. senh t (0 < t < 2)

13. eπt (2 < t < 4)

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Usando o segundo teorema do desvio, encontre e faça um esboço ou gráfico de f (t) se L (f ) for igual a:

14. L (f ) = se−s/(s2 + ω2)

15. L (f ) = e−4s/s2

16. L (f ) = s−2 − (s−2 + s−1)e−s

17. L (f ) = (e−2πs − e−8πs)/(s2 + 1) 18. L (f ) = e−πs/(s2 + 2s + 2)

19. L (f ) = e−2s/s5

20. L (f ) = (1− e−s+k)/(s − k) 21. L (f ) = se−3s/(s2 − 4) 22. L (f ) = 2,5(e−2,6s − e−3,8s)/s

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Resolva os seguintes problemas de valor inicial usando a transformada de Laplace:

27. y ′′ + 9y = r(t), r(t) = 8 sen t se 0 < t < π e 0 se t > π y(0) = 0, y ′(0) = 4

28. y ′′ + 3y ′ + 2y = r(t), r(t) = 1 se 0 < t < 1 e 0 se t > 1 y(0) = 0, y ′(0) = 0

29. y ′′ + y = r(t), r(t) = t se 0 < t < 1 e 0 se t > 1, y(0) = 0, y ′(0) = 0

30. y ′′ − 16y = r(t), r(t) = 48e2t se 0 < t < 4 e 0 se t > 4 y(0) = 3, y ′(0) = −4

31. y ′′ + y ′ − 2y = r(t), r(t) = 3 sen t − cos t se 0 < t < 2π e 3 sen 2t − cos 2t se t > 2π y(0) = 1, y ′(0) = 0

32. y ′′ + 8y ′ + 15y = r(t), r(t) = 35e2t se 0 < t < 2 e 0 se t > 2 y(0) = 3, y ′(0) = −8

33. y ′′ + 4y = r(t), r(t) = 8t2 se 0 < t < 5 e 0 se t > 5 y(1) = 1, y ′(1) = 4 − 2 sen 2

34. y ′′ + 2y ′ + 5y = r(t), r(t) = 10 sen t se 0 < t < 2π e 0 se t > 2π y(π) = 1, y ′(π) = 2e−π − 2 Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 4A

6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito RC mostrado na figura abaixo, com R = 10Ω e C = 10−2F , onde se supõe que, em t = 0, a corrente seja nula e:

36. v(t) = 100 V se 0,5 < t < 0,6 e 0 nos demais instantes

37. v = 0 se t < 2 e 100(t − 2) V se t > 2 38. v = 0 se t < 4 e 14 · 106e−3t V se t > 4

R i(t) + 1

C

∫ t 0

i(τ) dτ = v(t)

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito RL da figura abaixo, supondo que i(0) = 0 e que:

39. R = 10 Ω, L = 0,5 H, v = 200t V se 0 < t < 2 e 0 se t > 2

40. R = 1 kΩ, L = 1 H, v = 0 se 0 < t < π e 40 sen t V e 0 se t > π

41. R = 25 Ω, L = 0,1 H, v = 490e−5t V se 0 < t < 1 e 0 se t > 1

L i ′(t) + Ri(t) = v(t)

???

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito LC da figura abaixo, supondo que inicialmente, a carga no capacitor e a corrente sejam nulas e que:

42. L = 1 H, C = 0,25 F , v = 200(t − t3/3) V se 0 < t < 1 e 0 se t > 1

43. L = 1 H, C = 10−2 F , v = −9900 cot t V se π < t < 3π e 0 em outros instantes

44. L = 0,5 H, C = 0,05 F , v = 78 sen t V se 0 < t < π e 0 se t > π

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6.3 - Função Degrau Unitário

Exerćıcio

Usando a transformada de Laplace, encontre a corrente i(t) no circuito RLC da figura abaixo, supondo que a corrente e a carga iniciais sejam nulas e que:

45. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,5 F , v(t) = 1 kV se 0 < t < 2 e 0 de t > 2

46. R = 4 Ω, L = 1 H, C = 0,05 F , v(t) = 34e−t V se 0 < t < 4 e 0 de t > 4

47. R = 2 Ω, L = 1 H, C = 0,1 F , v(t) = 255 sen t V se 0 < t < 2π e 0 de t > 2π

L i ′(t)+R i(t)+ 1

C

∫ t 0

i(τ) dτ = v(t)

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6.3 - Função Degrau Unitário

Respostas:

2.

3. 1− e2−2s

s − 1 4.

5.

( 2

s3 +

2

s2 +

1

s

) e−s −

( 2

s3 +

4

s2 +

4

s

) e−2s

6.

7. s

s2 + π2 (−e−s − e−4s)

8.

9.

( 1

s2 +

5

s

) e−5s −

( 1

s2 +

10

s

) e−10s

10.

11. −20s

s2 + π2 (e−3s + e−6s)

12.

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6.3 - Função Degrau Unitário

Respostas:

13. 1

s − π (e−2s+2π − e−4s+4π)

14.

15. (t − 4)u(t − 4) 16.

17. sen t[u(t − 2π)− u(t − 8π)] 18.

19. (t − 2)4

24 u(t − 2)

20.

21. cosh(2t − 6)u(t − 3) 22.

27. sen (3t) + sen t + 1

3 sen (3t)u(t − π)

28.

29. t − sen t + [cos(t − 1) + sen (t − 1)− t]u(t − 1) 30. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 4A

6.3 - Função Degrau Unitário

Respostas:

31. et − sen t + [ sen t − 0,5 sen (2t)]u(t − 2π) 32.

33. cos(2t)+2t2−1+[49 cos(2t−10)+10 sen (2t−10)−2t2+1]u(t−5) 34.

36.

37. [1− e−10(t−2)]u(t − 2) 38.

39. i = e−20t + 20t − 1 + [−20t + 1 + 39e−20(t−2)]u(t − 2) 40.

41. i = 20(e−5t − e−250t) + 20[e−5t + e−250t+245]u(t − 1) 42.

43. i = [10 sen 10t + 100 sen t][u(t − π)− u(t − 3π)] 44.

45.

46.

47. Universidade Tecnológica Federal do Paraná Cálculo Diferencial e Integral 4A

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