fundamentos de la teoria de los numeros - ivan m vinogradov (editorial mir, 1977), Notas de estudo de Matemática Computacional
rafael-de-sousa-8
rafael-de-sousa-8

fundamentos de la teoria de los numeros - ivan m vinogradov (editorial mir, 1977), Notas de estudo de Matemática Computacional

208 páginas
50Números de download
1000+Número de visitas
Descrição
Teoria dos Números
60 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 208
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 208 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 208 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 208 páginas
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 208 páginas
Educacióvv para todos Educación para todos no es un proyecto lucrativo, sino un esfuerzo colectivo de estudiantes y profesores de la UNAM para facilitar el acceso a los materiales necesarios para la educación de la mayor cantidad de gente posible. Pensamos editar en formato digital libros que por su alto costo, o bien porque ya no se consiguen en bibliotecas y librerías, no son accesibles para todos. Invitamos a todos los interesados en participar en este proyecto a sugerir títulos, a prestarnos los textos para su digitalización y a ayudarnos en toda la labor técnica que implica su reproducción. El nuestro, es un proyecto colectivo abierto a la participación de cualquier persona y todas las colaboraciones son bienvenidas. Nos encuentras en los Talleres Estudiantiles de la Facultad de Ciencias y puedes ponerte en contacto con nosotros a la siguiente dirección de correo electrónico: eduktodos(i hotmail.com http://eduktodos.dyndns.org VI.Bunorpasos OCHOBbI TEOPUVW IVICEA O U3AATEADCTBO: HAVKA- LVinográdov FUNDAMENTOS DE LA TEORIA DE LOS NUMEROS Traducido del ruso por Candidato a doctor en ciencias físico-matemáticas, catedrático de matemáticas superiores E. Aparicio Bernardo EDITORIAL - MIR - MOSCU Impreso en la URSS Segunda edicion (E) reduceióa al espaãol. Editorial Mir. 1977 IVAN MADVEEVICIL VINOGRADOV MIEMBRO DE NUMERO DE LA ACADEMIA DE CIENCIAS DE LA URSS HEROE DEL TRABAJO SOCIALISTA LAUREADO DEL PREMIO ESTATAL PROLOGO RESENA BIOGRAFICA dedicada al 80 aniversario del nacimiento del académico I. M. Vinográdov El autor de este libro, Ivin Matvéevich Vinográdov (nacido el 14 (2) de Septiembre de 1891), es uno de los más célebres matemáticos de la actualidad. Las investigaciones de 1. M. Vino- grádov están directamente ligadas a los estudios de la escuela de teoria de los números de Petersburgo, a la cual pertenecieron P. L. Chébishev (1821-1894), E. 1. Zolotariov (1847-1878), C. F. Voronoy (1868-1908) y otros eminentes matemáticos. El desarrollo de la teoria analítica de los números en la URSS durante los últimos 50 afios está estrechamente relacio- nado con el nombre de Vinográdov y su escuela. Actualmente se han publicado más de 140 trabajos científicos de 1. M. Vino- grádov, entre los cuales merecen especial atención las monografias fundamentales: «Un método nuevo en ta teoria analitica de los números» (afio 1937) y «Método de las sumas trigonométricas en ta teoria de los números» (ao 1947). En estas dos monogra- fias se condensan los resuliados de todas las investigaciones an- feriores del autor, que contribugeron a la creación de un nuevo 6 PROLOGO DEL TRADICTOR método en la teoria de los números. En la actualidad, éste se conoce como el método de Vinográdov de las sumas trigonomê- tricas. Los fundamentos de este método fueron creados ga por él mismo en el afio 1934. Este es un método muy general, muy profundo &y sumamente fecundo, mediante el cual 1. M. Vino- grádov consiguió resolver los problemas clásicos de Goldbach, Waring y otros más. En las monografias de 1. M. Vinográdou desemperia un papel decisivo la acotación de las sumas trigo- nométricas múltiples, cuya introducción y estúdio representaba de por st un éxito de grandisima importancia en la teoria de los números. Una de estas acotaciones viene expuesto en el presente libro (vêase la pregunta 14 del capitulo VI). En esta reseRa no tenemos posibilidad de hacer una exposición detallada de ta obra cientifica de 1. M. Vinográdov. Nos limitaremos solamente a enunciar algunos de sus resultados fundamentales. En ei afio 1917, 1. M. Vinográdov se dedica al problema dei cálculo asintótico de tos puntos enteros dentro de los circuitos (véanse en el cap. 1!, tos preguntas ta, b,c, de, 220, byen el cap. HI, tas preguntas 5, 6). En su tiempo se ocupó de estos problemas G. F. Voronoy. Los resultados que obtuvo Voronoy para un caso particular (la hipérbola), los consiguiô también Vinográdov para una clase muy amplia de circuitos, basándose en unas ideas geométricas más claras y empleando unos métodos analíticos más sencillos. En el ao 1926, el matemático checo V. Yarnik demostrô que estos teoremas no podian mejorarse PROLOGO DEL TRADUCTOR 7 considerablemente. En et aro 1963, IF. M. Vinográdov obtuvo también el resultado más exacto respecio del número F de puntos enteros en la esfera 2 + pp + 2< a. Este número se expre: sa por la fórmula asintótica F= dna + O (ati (Ina). Algunos de los resultados de 1. M. Vinográdov ga son clásicos. Por ejemplo, ya en el afio 1918 demostró que la raiz primitiva minima de un número primo p>> 3 (sobre las raices primiti- vas, véaseel cap. VI, 8$ 1-5 4 las preguntas del mismo capítulo, 5, 12c, 14) no es superior a 2» V pn p, donde h denota la cantidad de divisores primos distintos de p — 1. Es bien conocido también el siguiente teorema de 1. M. Vino grádoy (aão 1926). Sea p un número primo y sea n un divisor de p— 1, donden 5 1. Entonces, el no-resto mínimo de gra- do n respecto del módulo p (véanse los conceptos de resto y no- resto en el cap. V, $ 1, preguntas 8d, 12b gen el cap. VI, $5) noes superior a pã (In p)2, donde k = esa, En relación con esto, obsérvese que en el afio 1796 Gauss demostró que el no-resto cuadrático minimo (mód. p) no es superior a 2V p. El resultado de Vinográdov fue el primer adelanto en esta cuestión desde los tiempos de Gauss. Mucha atención prestó 1. M. Vinográdov al problema de ta re- soluciôn de la ecuación xp +...-x?=N en números enteros x 20 (el !lamado problema de Waring, planteado por éste en ei afio 1770). En el aro 1909, D. Hilbert demuestra que esta 8 PROLOGO DEL TRADUCTOR ecuación es resoluble para valores acotados de r. En los afios 1919-1920, Hardy y Littlewood estudiaron el comportamiento asintótico del número de soluciones de las ecuaciones de Waring para rzn2”. El valor minimo de r, para el cual ta ecuación de Waring admite solución para todos los números N suficien- temente grandes, se denota mediante G (n). Para esta magnitud, en el aro 1934, 1. M. Vinográdov obtuvo la cota G (n) < ntn 2). 1. M. Vinográdoy demostró también que la fórmula asintóti- ca, propuesta por Hardy y Littlewood, Dm) EE Noto 0 (Ato) (v = +. T (s) esla funciôn Gamma de Euler; o es «la serie especial», introducida por Hardy y Littiewood) para la canti- dad de expresiones del número entero N>0 en la jorma N=mM +... + x, conenteros positivos xy, .. -, Xr es válida para r > UOnIna]. f. M. Vinográdov obtuvo una serie de cotas importantes: para p las sumas de Weil, de la forma S=: >| exp 2nimF (x), donde 51 m>>0 es un número entero y F(x) es un polinomio de cocfi- cientes reales; para las sumas extendidas à números primos, PROLOGO DEL TRADUCTOR 9 de la forma > exp(2xiap), donde a es un número real; P x(p+-k), donde x denota PEN un carácter no principal (vêase la definición de carácter en el cap. VI, pregunta 9), y también en la teoria de ta apro- ximación de polinomios mediante partes fraccionarias. En general, es difícil indicar problemas de la teoria analitica de los números, a los cuales 1. M. Vinográdov no haya prestado atención alguna. Por otra parte, algunos de los problemas resuel- tos por 1. M. Vinográdov habian sido ya planteados más de 150 aros atrás, sin encontrar resolución alguna durante dichos aros, a pesar de los esfuerzos realizados para resolverlos por los científicos más notables del mundo. Tales son, por ejemplo, los problemas de Waring y Goldbach mencionados anteriormente. Este último problema apareció en el alo 1742 en ta correspon- dencia entre Chr. Goldbach y L. Euler. Chr. Goldbach manifestó la hipótesis de que todo número entero, mayor que tres, podia expresarse en forma de una suma de no más de tres números pri- mos. Todos los intentos de los grandes matemáticos de resolver este problema resultaban inútiles. En lo fundamental, este pro- blema fue resuelto por primera vez por 1. M. Vinográdou en el afio 1937, demostrando que todo número impar, mayor que cierto número No (la constante de Vinográdou), se expresa en forma de una suma de no más de tres números primos. También demostróô que el número de expresiones 1 (N) de un número impar N>0 en forma de una suma de ires números primos, 40 PROLOGO DEL TRADUCTOR N=p-p+ ps seexpresaporla formula asintótica LM = 55500) +40 (rr 557)» donde S(N)>06,r=InNge>0es un número arbitra- riamente pequerio. Para la constante de Vinográdou, los mate- máticos soviéticos ya han demostrado que No < exp exp (16,038). Son importantes también los resultados obtenidos por F. M. Vi- nográdov respecto de ta E-función de Riemann (véase la defini- ción en el cap. If, preguntas 12-14,20). 1. M. Vinográdoo demostrô que Eq Hit) = 0 ((n4)%3) yque E (1 + it) no tiene ceros en ia región 4 > 1a Para la cantidad de números primos x (x) que no son superiores a x (véase ei cap. II, preguntas 19, 24), de aqui resulta la acotación « a(x) = a (la) 083, ê donde q > 0 es una constante. Los métodos de Vinográdoo fueron desarroliados también, y siguen desarroliândose actualmente, por sus numerosos alum- nos, de los cuales en esta breve resefia no tenemos posibilidad de relatar. Para concluir, indiguemos que desde el ao 1932 1. M. Vino- grádou encabeza el centro matemático principal de la Unión PROLOGO DEL TRADUCTOR ff Soviética, el Instiluto Matemático V. A. Steklou de la Academia de Ciencias de la URSS. 1. M. Vinográdov es miembro nu- merario de la Academia de Ciencias de la URSS desde ei aro 1929. Los méritos de 1. M. Vinográdov en la teoria de los números tam- bién han sido reconocidos como corresponde fuera de la Uniór, Soviética. 1. M. Vinográdov es miembro extranjero de la Socie- dad Real de Londres, de ta Academia de Ciencias de Dinamarca y de ja Academia Nacional dei Lincei (Roma); es miembro honorífico de la Academia de Ciencias de Hungria; es miembro correspondiente de la Academia de Ciencias de Alemania en Beriin 4 de ta Academia de Ciencias de Paris; es Doctor hono- rífico de filosofia de la Universidad de Osio (Noruega); es miembro extranjero honorífico de las Sociedades Matemáticas de Amsterdam, Londres y de la India, asi como de la Sociedad Filosófica americana en Filadelfia y de la Academia americana de Artes y Ciencias en Bostón. El libro que proponemos, «Fundamentos de la teoria de los números, a distinciôn de otras obras de 1. M. Vinográdov, es un manual de texto destinado a los estudiantes de las facultades de matemáticas de las universidades. Es dificil haliar otro libro tan conciso sobre teoria de los números, donde el material esté expuesto con tanta claridad y rigurosidad. En lo fundamental, está dedicudo al estudio de la teoria de las congruencias. No obstante, las preguntas expuestas al final de cada capitulo abarcan un material que está relacionado f2 PROLOGO DEL TRADUCTOR ya con los problemas fundamentales de la teoria analítica de tos números. Durante la preparaciôn de la traducción castellano, ei autor expuso al traducior su opinión acerca de la utilización del Libro por ei lector. El autor considera que al preparar las respuestas a las preguntas, primero hay que hacer la prueba de resolver los problemas planteados individualmente. Solamente cuando se hayan agotado todos los medios para st resoluciôn, el lector deberá examinar las respuestas e indicaciones que se don al final del libro. E! presente libro «Fundamentos de ta teoria de los números», fue escrito sobre la base de los cursos explicados por ei autor en tos aros 1918-1920 en la Universidad de Perm y en los aílos 1920-1934 en ta Universidad de Leningrado. La primera edición del libro salió en ei aro 1936, En adelante, el libro ha sido mejorado y completado. La presente traducción se ha hecho de la séptima edición rusa. 25. XII. 1970 E. APARICIO BERNARDO CAPITULO PRIMERO Teoria de la divisibilidad $1!.Conceptos a. La teoria de los números se dedica al y teoremas estudio de las propiedades de los números fundamentates enteros. Llamaremos enteros no sólo a tos números de la serie natural 1, 2, 3, .. . (enteros positivos), sino también al cero y a los enteros negativos —l, —2, 3, a Por regla general, al exponer la teoria designaremos con letras solamente los números enteros. Los casos en que las letras no designen números enteros los advertiremos especialmente, si es que ello mismo no está claro. La suma, diferencia y producto de dos enteros a y b tam- bién serán enteros, pero el cociente de la división de a por b (si b es distinto de cero) puede ser tanto entero como no entero. b. Si el cociente de la división de a por b es entero, designán- dole con la letra q, se tiene a = by, es decir, a es igual a! producto de b por un entero. Diremos entonces que a es divisi- ble por b o que b divide a a. En este caso, a se Ilama múltipto de b y b se Ilama divisor de a. El hecho de que 6 divide a a se escribe asi: ba. Subsisten los dos feoremas siguientes: 14 CAPITULO 1 TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD 1. Siaes múltiplo dem y m es múltiplo de b, a es múlti- plo de b.. En efecto, de a= am, m=m,b se deduce que a= = amb, donde a;m, es entero. Esto demuestra el teorema. 2. Si en una igualdad de la forma kH-i+...+tn= =p+tg+...+s, respecto de todos los términos, a excepción de uno cualquiera de ellos, se sabe que son múltiplos de b, enton- ces este término tambiên es auiltiplo de db. En efecto, sea k tal término. Se tiene l=ib,..co n=nd, p=pd,g=qâb .os=sb, k=p+q+.. Esto demuestra el teorema. e. En el caso general, que incluye particularmente e! caso en que a es divisible por », se tiene el teorema: Todo entero a se expresa de un módo único mediante un entero positivo b en ta forma a=bg+t+rnO» Agui el último resto positivo es r; = 21. Por lo tanto, (525, 231) = 21. e. 1. Designando con la letra m cualquier entero positivo, se tiene (am, bm) = (a, b) m. 2. Designando con la letra ô cualquier divisor comun de los números a y b, se tiêne (5 +) = fenç) : en particular, se tiene (55 , = ) =1, es decir, los cocientes de la divi- sión de dos números por su máximo comin divisor son núme- ros primos entre si, En efecto, multipliquemos las relaciones (1) término a tér- mino por m. Obtendremos nuevas relaciones, donde en lugar dea, bd, ra... ty figurarán am, bra, rom, .... ram. Por esto, (am, bm) = ram, y por lo tanto, el aserto 1 es cierto. Aplicando el aserto 1, hallamos b » (a 0)=(88.46)=(8. 3) de donde se deduce el aserto 2. 2--1030 18 CAPITULO | TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD f. 1. Silo, b) = 1, se tiene (ac, b) = (e, db). En efecto, (nc, b) divide a ac y bc y, por consiguiente, (1, d), también divide a (ac, bo), igual a c, debido a 1, e; pero (ac, 6) divide a d, por lo cual también divide a (e, b). Reciprocamente, (c, b) divide a ae y db, por lo cual también divide a (ac, b). Por lo tanto, (ac, b) y (e, b) se dividen mutuamente y, por consiguiente, son iguales entre sí. 2. Sia, b)=1 y aces divisible por b, entonces c es divisible por db. En efecto, de (a, b) = 1 y de I se deduce que (ac, 6) = (c, b), y de la divisibilidad de ac por 6 y de 1, b se deduce que (ac, b) = b, Por esto (c, b) = b y, por consiguiente, c es divi- sible por 5. 8. Si cada uno de los números ay, às, +...» Qm es primo con cada uno de los números b,, bo, . . ., ba, El producio a; à». . . Gm es primo con el producto by ba... bn. En efecto, (teorema 1), se tiene Cartzas ... Gm, bn) = (Gods... Gm, ba) = = (03... Gm ba)= coc=(Qm bo)=l, y haciendo luego para abreviar açã, ... Gm = 4, hallamos del mismo modo (dababa o. bas A)= (baba co. bas Aj= = ba =. =(bo = g. El problema de la averiguación del máximo común divisor de más de dos números se reduce a! mismo para dos números. Precisando, para hallar el máximo común divisor de los números a, do, .. ., &, formamos la sucesión de números: (as, 22) = do, (do, as) = ds, (dy a) = dy cos (nos Gn) = da. El número d, será el máximo común divisor de todos los números dados. En efecto, (1, d), los divisores comunes de los números a; y q» $ 3. MINIMO COMUN MULTIPLO 19 coinciden con los divisores de dy; por esto, los divisores comu- nes de los números a;, a» y a; coinciden con los divisores comutnes de los números d> y 43, es decir, coinciden con los divisores de ds. Luego nos convencemos de que los divisores comunes de los números as, 42, 43, 4; coinciden con los divi- sores de d,, etc., y, finalmente que los divisores comunes de los números a, 42, . . ., Gn Coinciden con los divisores de dr. Y como el mayor divisor de d, es el mismo d,, êste será el má- ximo común divisor de los números a, aa, ..., Gn Examinando la demostración expuesta nos convencemos de que el teorema 1, d subsiste también para más de dos números. Subsisten también los teoremas t, e y 2, e, puesto que al multipilicar por m o a! dividir por ô todos los números a;, az... A también se multiplican por m o se dividen por 6 todos los números de, da +...» da. a. Todo entero que es un múltiplo de todos $3. Mínimo los números dados se llama múltiplo común común : eat; , de los mismos. Et menor múltiplo común múltiplo positivo se lama minimo comun múltiplo. b. Ocupêmonos primero de! mínimo común múltiplo de dos números. Sea M algún múltiplo común de los enteros a y 6. Como éste es múltiplo de a, se tiene M = ak, donde k es en- tero. Pero M también es múltiplo de b, por lo cual también tiene que ser entero Ra b el cual, haciendo (a, b)=d, a=a,d, b = bd, se puede expresar en la forma e. donde (a, b)=1 (2,e, 82). Por esto (2,1, 82), & tiene que ser divisible por db; bebi bt, donde £ es entero. De aquí que ab M= St, a 20 CAPITULO | TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD Reciprocamente, es evidente que cualquier M de esta forma es múltiplo tanto de a como de b, y, por consiguiente, esta forma proporciona todos los múltiplos comunes de los núme- ros ay db. El menor positivo de estos múltiplos, es decir, el mínimo común múltiplo, se obtiene para ! = 1. Este es mo = Introduciendo m, la fórmula obtenida para M se puede eseri- bir asi: M = mt, La última y penúltima igualdades dan lugar a los teoremas: E. El conjunto de los múltiplos comunes de dos números coin- cide con el conjunto de los múltiplos de su mínimo comun muúl- tiplo. 2, Este minimo común múltiplo de dos números es igual a su producto, dividido por su máximo común divisor, e. Supongamos que se necesita hallar el mínimo comôn múlti- plo de más de dos números a,, 2, ..., Qn: Designando en general con la notación [a, b] el minimo común múltiplo de los números q y 4, formemos la sucesión de números: Las, ao] = mo, Lima, aa) = ma cc limas, Qu] = ma. Ei número m, obtenido de este modo será el mínimo común múltíplo de todos los números dados. En efecto, (1, b), los múltiplos comunes de los números a, y as coinciden con los múltiplos de ma, por lo cual los múltiplos comunes de los números a,, à3, y &s coinciden con los múlti- plos comunes de m» y qa, es decir, coinciden con los múltiplos de ma. Luego nos convencernos de que los múltipios comunes de los números q,, q», &3, à, coinciden con los múltiplos de mg, etc., y, finalmente, de que los múltiplos comunes de los núme- TOS &s, 23, - - ., Qn coinciden con los múltiplos de m,, y como el menor múltiplo positivo dé mm es el mismo m,, éste $ 4. ALGORITMO DE EUCLIDES Y LAS FRACC. CONTINUAS 21 es el mínimo común múltiplo de los números a, Ga, 00 Am Examinando ia demostración expuesta, vemos que el teore- ma 1, b subsiste también para más de dos rrúmeros. Además, nos convencemos de que se verifica el siguiente teorema: El minimo común múltiplo de números que son primos dos a dos es igual al producto de los mismos. $4. Relación a. Sea a cualquier número real. Desig- dei algoritmo — nemos con la letra q, el mayor entero que de Euclides con no supera a x. Si a no es entero, se tiene las fracciones 1 continuas and Gl. 2 Exactamente igual, si a ..., Gs nO son enteros, se tiene maga tas ml, en virtud de lo cual obtenemos el siguiente desarrolio de q en fracción continua: =| ++ — a. (1) 1 tati b. Sia es irracional, todos los números x, son irracionales (sia, fuese racional, en virtud de (1), resultaria también « ra- cional) y el proceso indicado puede prolongarse indefini- damente. Sia es racional y, por consiguiente, puede expresarse por una fracción racional irreducible con denominador positivo: a z + el proceso indicado será finito y puede efectuarse me- 22 CAPITULO | TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD diante el algoritmo de Euclides. En efecto se tiene: a t a=btra Ent Ta b I b=ngra; ae 73 O tm 1 Pestana dis dtoqutd Ta Ina = Fani Cl qm a 1 += ht T at a c. Los números q, Ga, - . ., que figuran en el desarrollo del número « en fracción continua, se Ilaman cocientes incompletos (en caso de « racional, según b, éstos son los cocientes incom- pletos de las divisiones sucesivas del algoritmo de Euclides), las fracciones B=qu Bsq &=q+ ! Te nt se Ilaman reducidas. d. Fácilmente se halla una ley muy simple de formación de las reducidas, observando que ô,(s>> 1)-se obtiene de de. sustituyendo los números gs; por st en la expresión literal ô,.,. En efecto, haciendo para unificar P,=1, Q=0, podemos. representar sucesivamente las fracciones reducidas en la forma siguiente (aqui se escribe la igualdad 4=& 4. ALGORITMO DE EUCLIDES Y LAS FRACC. CONTINUAS 22 para designar À con la notación P, y B con la notación Q) : MA 1 Y 4d Ma ami qnPrkPo Pa I Gel q O Qu” 1 &= (ist) Proto = PA Pá (145) dra E a etc, y, en general, 8, = SPesdEno Pa a Gba Qra Qu Por lo tanto, los numeradores y denominadores de las frac- ciones reducidas los podemos calcular sucesivamente por las fórmulas Ps=quPrs + Pro, ! 2 Qu = qulQs-s + Qua. Es útil realizar estos cálculos según el esquema siguiente (las últimas dos columnas se escriben solamente en el caso en que « es una fracción irreducible con e! denominador posi- . a. tivo: a= 2): q ma Rn e. Pe. [a Ps A CA Pa Por Prá Pao. Pay a % 4 Il QE Qua Qua Quo. Qua b 24 CAPITULO 1 TEORIA DE LA DIVISIBILIDAD Ejemplo. Desarroflemos en fracciôn continua el número a Aqui + 3 5 sf-[o co) » Por esto, el esquema indicado anteriormente da: e 2 1 8 4 2 Ps 1 2 3 H 47 105 Qs o 1 1 4 17 38 e. Examinemos la diferencia 8, — 8,4 de dos fracciones reducidas consecutivas. Para s >> 1 hallamos Pe Pos ha O Qoa Qua] donde A, = P4Q,4 — Q,P, 4: poniendo en lugar de P; y Q: sus expresiones (2) y haciendo las simplificaciones evidentes, obtenemos h, = — A, 1. Esto último, junto con h, = 1:0 — —l.l=>1 dahs=—(—If. Así, pues, Pisa — OP su, =(— IP (s> 0), (3) o) ds de= ds (> (4 Ejemplo. En la tabla del ejemplo expuesto en d, se tiene 105.17—38-47 = (—P = —1,
Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 208 páginas