Gabarito AD1 Cálculo 2 2021.2, Provas de Cálculo

Baixe Gabarito AD1 Cálculo 2 2021.2 e outras Provas em PDF para Cálculo, somente na Docsity!   Fundação Centro de Ciências e Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro  Centro de Educação Superior a Distância do Estado do Rio de Janeiro    Cálculo II – AD1 (2021/2) – Gabarito     1ª Questão  (1,2 ponto)  Calcule a integral a seguir:    7/2 8 2 3 tg 5 tg cos x x dx x         Solução da 1ª Questão    7/2 8 7/2 8 2 2 3 tg 5 tg 3tg 5 tg sec cos x x dx x x x dx x       Façamos    2tg secu x du x dx        7/2 8 9/2 9 9/2 9 7/2 8 2 3 tg 5 tg 2 tg 5 tg 3 5 3. 5 cos 9 / 2 9 3 9 x x u u x x dx u u du C C x                        2ª Questão  (2,0 pontos)  A curva  4 xy  , juntamente com o eixo  y  e as retas  1 2 y   e  4y  limitam uma  região plana R .          a) Calcule a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de  x .       b) Use o item anterior para obter  1 2 4 4log t dt  por meio das áreas ali calculadas.    Solução da 2ª Questão (a)    A região é mostrada na figura 2.1 a seguir    Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/2  Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ   Pá gi na 2              Figura 2.1      A figura 2.2 a seguir mostra que a região considerada pode ser dividida em duas sub‐regiões        Figura 2.2            A área da região  1R , é a compreendida entre os gráficos das funções  1 2 y   e  4xy  , para  1 0 2 x   logo    Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/2  Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ   Pá gi na 5    2 1 ( 2)2.ln 2 1 '(2) . 4 2 ln 2. 64 2 4 255.ln 2 '(2) 4 F F                         4ª  Questão    (2,5  pontos)    Considere  a  região R   compreendida  entre  as  curvas  de      2 4 5 xx y -=   e   24 log ( 1)x y= + , sabendo que os pontos de interseção ocorrem em  0y   e  1y  .         a) Esboce a região R .      b) Represente (sem calcular!) a área de R por uma ou mais integrais definidas em termos de  x .       c) Represente (sem calcular!) a área de R  por uma ou mais integrais definidas em termos de  y .       d) Encontre a área da região R  (Use a representação mais conveniente).    Solução da 4ª Questão (a)    Conforme observado no enunciado, os pontos de interseção ocorrem em  0y =  e  1y = .   A saber  20 4 log (0 1) 0y x x=  = +  =      e    21 4 log (1 1) 4y x x=  = +  = .    Ou seja, os gráficos se intersectam nos pontos  (0,0)  e   (4,1) .    A região é esboçada na figura 4.1 a seguir.      Figura 4.1        Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/2  Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ   Pá gi na 6   Solução da 4ª Questão (b)       Neste caso, verificamos que é desnecessário dividir a região, como mostra a figura 4.2 a seguir .        Figura 4.2        Temos portanto:    4 2 4 0 ( ) 1 4 5 2 x x A R dx x æ ö÷ç ÷ç ÷çè ø æ öæ öæ ö ÷-ç ÷ç÷ç ÷÷ç ç÷= - - ÷ç ÷ç ç÷ ÷ç ÷÷ç ç ÷÷è øç è øè ø ò                   Solução da 4ª Questão (c)        Para representar a área da região R  em termos de  y  , precisamos dividi‐la em duas   sub‐regiões , como mostra a figura 4.3 a seguir, além de expressar   x  como função de  y  .   Na parábola  2 4 5 xx y -= , completando quadrados temos  Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/2  Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ   Pá gi na 7 2 2 2 2 2 . 2 4) 2 4 4 4 4 4 4 2 4 2 4 2 4 5 2 5 255 25 25 2 . ( 5 5 25 5 25 5 25 16 4 25 16 xx x x x y x x x x y y y y æ öæ ö ÷çæ ö ÷ç ÷ç - -÷ç ÷ ÷ç+ - ç÷ ÷çç ÷è ø÷ ÷ç ç+ è ø è ø = =  æ ö æ ö÷ ÷ç ç- - + - -  = ÷ ÷ç ç÷ ÷ç çè ø è ø   = -- - - -= - =  = -   o que nos dá os dois ramos da parábola correspondendo às partes em que  5 2 x ³   e  5 2 x £ .       Figura 4.3        ( ) 1 2 25 1 16 2 0 1 ( ) ( ) 5 5 5 ( ) 4 log 1 2 2 2 25 16 25 16 25 16 A R A R A R y dy dy y y yæ ö æ öæ ö æ ö æ ö- + -÷ ÷ç ÷ ç ÷ ÷ç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ç çç ç ç= + - + -÷ ÷÷ ÷ ÷ç çç ç ç÷ ÷÷ ÷ ÷ç ç÷ ÷ ÷ç ç ç÷ ÷ç çè ø è ø è øè ø è ø - - - ò ò        ou seja    ( ) ( ) 21 25 1 16 2 0 1 ( )( ) 5 ( ) 4 log 1 2 25 16 25 16 A RA R A R y dy dy y y æ öæ ö- ÷ç ÷ç ÷÷ç ç= + - +÷÷ç ç ÷÷ç ÷ç ÷ç è øè ø - -ò ò                Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/2  Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ   Pá gi na 10   11 1 4 3 2 3 2 2 2 2 2 2 5 ( ) ( ) 2 5 6 6 4 3 2 1 2 5 16 16 20 63 6 12 . . 4 3 2 4 3 2 4 x x x A R f x dx x x x dx x u a                                                                             (2)        33 3 4 3 2 3 2 3 1 1 1 2 5 ( ) ( ) 2 5 6 6 4 3 2 81 54 45 1 2 5 16 18 6 . . 4 3 2 4 3 2 3 x x x A R f x dx x x x dx x u a                                                (3)        44 4 4 3 2 3 2 4 3 3 3 2 5 ( ) ( ) 2 5 6 6 4 3 2 256 128 80 81 54 45 91 24 18 . . 4 3 2 4 3 2 12 x x x A R f x dx x x x dx x u a                                                                  (4)          Solução da 5ª Questão (c)    Utilizando a proposição 2.2 do caderno didático e as identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição        3 41 2 4 2 1 3 4 3 3 2 1 3 2 1 3 4 3 2 1 3 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 3 4 1 3 2 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) A R A RA R A R f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx A R A R A R A R A R A R A R                                                   4( ) 125 16 63 91 91 12 3 4 12 12 A R                     Sendo assim, a integral        4 1 3 2 4 3 91 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 f x dx A R A R A R A R          representa a diferença entre  a área total acima do eixo x e a área total abaixo do mesmo, mostrando que a área abaixo do eixo x supera a de  cima em  91 12  u.a.             Cálculo II  AD01 – Gabarito  2021/2  Fundação CECIERJ Consórcio CEDERJ   Pá gi na 11   Solução da 5ª Questão (d)    Avaliando o sinal da função em cada intervalo e utilizando a proposição 2.2 do caderno didático além das  identidades (1) a (4), podemos fazer a decomposição          3 41 2 4 2 1 3 4 3 3 2 1 3 2 1 3 4 3 2 1 3 ( ) ( )( ) ( ) 1 2 3 4 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 125 63 16 91 12 4 3 12 A R A RA R A R f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx f x dx A R A R A R A R                                                  469 12               Sendo assim, a integral    4 1 2 3 4 3 469 ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 12 f x dx A R A R A R A R         representa a área total da  região delimitada pelo gráfico, pelo eixo x e pelas retas dadas.