Baixe Gabarito AD1 Pré-Cálculo e outras Exercícios em PDF para Cálculo, somente na Docsity! Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2020/2 Questão 1 [2,0 pontos] Considere um terreno retangular cuja área é determinada pela expressão A = x2 + x − 2, onde x é uma variável qualquer real, e tal que nele exista uma horta de morangos. O terreno é dividido em um número n de quadrados cercados onde são plantadas os morangos, e cada quadrado produz uma quantidade y de frutas. a. [0,5] Escreva a expressão da área A como produto de duas expressões algébricas de pri- meiro grau e descreva o conjunto de números reais x para os quais A > 0 (dado que é uma área e deve ser positiva) . b. [1,0] Se a área for igual a 40 m2, e se x for um número inteiro positivo, determine as medidas do retângulo, e quantos quadrados cercados existem no terreno (justificando sua resposta). c. [0,5] Supondo que existam 20 quadrados no cercado, e que y = 2x − 4 seja a expressão da quantidade de frutas por metro quadrado, determine a expressão para a produção de cada cercado e os valores de x para os quais ela é positiva (produção é > 0). Solução: Usando a Fórmula de Báshkara, fatoramos a expressão A e obtemos x2 + x − 2 = (x + 2)(x − 1). Basta fazer um rápido estudo de sinal para concluirmos que A > 0 se x < −2 ou x > 1. Aqui devemos lembrar que a área do retângulo de lados com medidas l1 e l2 é dada por l1 · l2. Assim, devemos considerar todas as fatorações do número 40 de forma um dos lados seja x + 2 e o outro x + 1. Como 40 = 23 · 5, temos as seguintes possibilidades: b) • 40 = 2 · 20⇒ x + 2 = 20, x− 1 = 2, absurdo pois x = 18 = 3; • 40 = 4 · 10⇒ x + 2 = 10, x− 1 = 4, absurdo pois x = 8 = 5; • 40 = 5 · 8⇒ x + 2 = 8, x− 1 = 5, donde conclúımos que x = 6; Assim, um dos lados do retângulo mede 5 metros e o outro mede 8 metros. Afirmamos que há 40 cercados de 1 metro quadrado no terreno. Qualquer configuração de quadrados dentro do retângulo nos dá o seguinte: há n quadrados cercados dentro do terreno que mede 40 m2, de medidas 5× 8. Seja h a medida do lado de cada quadrado. Assim, h2 é a área de cada cercado. Temos, portanto, n · h2 = 40 = 5 · 8. Página 1 de 5 Gabarito da AD 1 Pré-Cálculo para Engenharia - 2020/2 Note que n é inteiro positivo, e portanto h também deve ser. Como h é a medida do lado do quadrado menor que constitui o lado do retângulo, h deve dividir 5. Neste caso, h = 1, pois se fosse igual a 5 teŕıamos 25 sendo divisor de 40. c) Se há 20 quadrados, então cada um tem área igual a an = x2 + x− 2 20 metros quadrados. Como são produzidas 2x− 4 frutas por metro quadrado, a produção de cada cercado é x2 + x− 2 20 · (2x− 4) = (x + 2)(x− 1)(2x− 4) 20 . A expressão acima é positiva se 2x − 4 > 0, ou seja, se x > 2, que pertence ao conjunto determinado no item (a). Questão 2 [3,0 pontos] Considere a expressão E(x) = 3− 4x |1− 3x| − |x| . Faça o que se pede: a. Encontre os valores de x tais que E(x) = 0. b. Encontre os valores de x tais que E(x) > 0. c. Encontre os valores de x tais que E(x) < 0. Sugestão: Faça a tabela do estudo do sinal da expressão E(x). Solução: Dada a expressão |1− 3x| − |x|, sabemos que |1− 3x| = 1− 3x, se 1− 3x > 0 0, se 1− 3x = 0 −(1− 3x), se 1− 3x < 0 ⇒ |1− 3x| = 1− 3x, se x < 1 3 0, se x = 1 3 −1 + 3x, se x > 1 3 e |x| = { x, se x ≥ 0 −x, se x < 0 Encontrando a expressão |1− 2x| − |x| sem uso do valor absoluto. x < 0 0 < x < 1 3 x > 1 3 |1− 3x| 1− 3x 1− 3x −1 + 3x |x| −x x x |1− 3x| − |x| 1− 2x 1− 4x −1 + 2x Página 2 de 5
