Geometria Analitica base - Apostilas - Engenharia de Controle, Notas de estudo de Controle de Automação. Universidade Federal de Alagoas (UFAL)
Rafael86
Rafael86

Geometria Analitica base - Apostilas - Engenharia de Controle, Notas de estudo de Controle de Automação. Universidade Federal de Alagoas (UFAL)

109 páginas
1000+Número de visitas
Descrição
Apostilas de Engenharia de Controle e Automação sobre o estudo da Geometria Analitica base, Estrutura Vetorial do Plano e do Espaco, Vetores em Coordenadas, Retas, Planos, Sistemas Lineares e Posição Relativa de Retas, P...
20 pontos
Pontos de download necessários para baixar
este documento
Baixar o documento
Pré-visualização3 páginas / 109
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 109 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 109 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 109 páginas
Baixar o documento
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 109 páginas
Baixar o documento

Ve rsã o P

re lim

in ar

SUMÁR IO

Sumário 6

1 Estrutura Vetorial do Plano e do Espaço 1 1.1 Vetores: definição geométrica 2

1.1.1 Soma de Ponto com Vetor 8 1.2 Dependência e Independencia Linear de Vetores 9 1.3 Base 12

2 Vetores em Coordenadas 15 2.1 Sistemas de Coordenadas 15 2.2 Base Ortonormais e Coordenadas Cartesianas 18 2.3 Ângulo entre dois vetores Produto Escalar 19

2.3.1 Projeção Ortogonal 20 2.4 Vetor perpendicular a dois vetores dados: Produto Vetorial 22 2.5 Escolhas de Coordenadas 26 2.6 O problema do lugar geométrico 29

3 Retas 33 3.1 Equações da reta 33

3.1.1 Equação da reta no plano 34 3.2 Ângulos entre retas 38 3.3 Distâncias entre pontos e retas 39

4 Planos 43 4.1 Equações do Plano 43 4.2 Paralelismo entre Planos 46 4.3 Distância de plano a plano 47 4.4 Distância de um ponto ao plano 47 4.5 Exercı́cios 48

5 Sistemas Lineares e Posição Relativa de Retas, Planos e Hiperplanos 51 5.1 Dependencia e Independencia Linear II 51 5.2 Sistemas Lineares 52 5.3 Resolução de Sistemas Lineares por escalonamento 54 5.4 Interpretação geométrica 57

5.4.1 Duas equações e duas incógnitas: Intersecção de duas retas. 57 5.4.2 Duas equações e três incógnitas: Intersecção de dois planos. 58 5.4.3 Três equações e três incógnitas: Intersecção de três planos 58 5.4.4 Famı́lias de Retas e Planos 61

5.5 Exercı́cios 62

3

Ve rsã o P

re lim

in ar

6 Cı́rculos e Esferas 65 6.1 Equações Canônicas 65 6.2 Cı́rculo por três pontos 66 6.3 Retas Tangentes e Planos Tangentes 66 6.4 Exercı́cios 66

7 Coordenadas Polares e Esféricas 71 7.1 Coordenadas Polares 71

7.1.1 Traçado de curvas em coordenadas polares 73 7.2 Retas em coordenadas polares 75 7.3 Circunferência em coordenadas polares 76

8 Mudança de Coordenadas 81 8.1 Mudança de Base 81 8.2 Mudança de Coordenadas 83 8.3 Transformações Ortogonais 86 8.4 Translação 86 8.5 Rotação 89 8.6 Matriz Inversa 92

9 Seções Cônicas 93 9.1 Cônicas 93 9.2 Elipse 93 9.3 Hipérbole 97

9.3.1 Assı́ntotas 99 9.4 Parabóla 99 9.5 Equações da forma Ax2 +By2 +Cxy+Dx+ Ey+ F = 0 102

9.5.1 Caso 4AB−C2 6= 0 102 9.5.2 Caso 4AB−C2 = 0 103

9.6 *Cônicas em coordenadas polares 106

Índice Remissivo 106

4

Ve rsã o P

re lim

in ar

1 ESTRUTURA VETOR IAL DO PLANO E DO ESPA ÇO Denotaremos por E3 o espaço euclideano tridimensional e por E2 o plano euclideano.

Dados os pontos A,B quaisquer em E3 (ou em E2). Um segmento orientado AB é um segmento no qual se escolheu um dos extremos A, chamado ponto inicial. O outro ex- tremo B do segmento é denominado ponto final. Para nossas considerações um pontoA é considerado um segmento que denominaremos segmento nulo. Esse segmento também será denotado por AA.

Diremos que dois segmentos não nulos AB e CD possuem a mesma direção se as retas AB e CD são paralelas.

O comprimento do segmento AB será denotado por ∣∣AB∣∣. Essa grandeza também será

chamada de norma do segmento

Definição 1.1 Dizemos que dois segmentos paralelos AB e CD possuem o mesmo sen- tido se

caso as retasAB e CD não sejam coincidentes: se as retasAC e BD tiverem intersecção vazia.

caso as retas AB e CD sejam coincidentes: se os segmentos AB e CD tem o mesmo sentido que um segmento EF paralelo e não coincidente.

Caso os segmentos paralelos AB e CD não tenham o mesmo sentido diremos que eles têm sentidos opostos ou contrários.

A

B

C

D

mesmo sentido

A

B

C

D

sentido contrário

A B

Uma reta diz-se orientada quando se escolheu um segmento orientado sobre ela que chamaremos positivo, o sentido inverso chama-se negativo. Um eixo é uma reta orientada na qual se fixou um ponto O chamado origem.

1

Ve rsã o P

re lim

in ar

1.1 vetores: definição geométrica

Um vetor aplicado é um segmento de reta orientado. Nessa definição vale destacar que um vetor tem três aspectos: direção, sentido e comprimento. A direção do vetor é a direção do segmento, o sentido vem de termos escolhido uma orientação no segmento, ou seja de termos escolhido um ponto inicial e final e o comprimento de um vetor é o comprimento do segmento que o determina. Graficamente vetores são representados como flechas, no qual a ponta da flecha

v

aponta na direção do vetor. Os vetores serão denotados ou por fonte em negriro a, A ou através de uma flecha superior: −→a ,

−→ A . Dados dois pontos

O e P o vetor começando em O e terminando em P será denotado −→ OP.

Dois vetores aplicados são ditos equivalentes se e somente se eles tem o mesmo comprimento, a mesma direção e o mesmo sentido. Geometrica- mente isso significa que consideraremos equivalentes os segmentos de reta

que são paralelos, apontam no mesmo sentido e tem o mesmo comprimento. Destacamos que vetores equivalentes não precisam começar no mesmo ponto!

Proposição 1.2 A relação de ser equivalente desfruta de três popriedades:

1. AB ∼ AB (reflexiva)

2. AB ∼ CD CD ∼ AB (simétrica)

3. AB ∼ CD e CD ∼ EF AB ∼ EF (transitiva)

Quando identificamos os vetores aplicados como descrito acima, obtemos vetores li- vres ou simplismente vetores. Eles podem ser transportados de um lugar a outro e po- demos escolher livremente o ponto onde inicia tal vetor.

Dois vetores são ditos paralelos se tiverem a mesma direção.

Definição 1.3 O conjunto de todos os vetores de E3 será denotado por V3.

Podemos definir também V2 o conjunto de vetores associados a E2, i.e. classe de equi- valência de segmentos de retas no plano.

Um número real k será denomindado escalar. Dado um vetor v e um escalar k pode- mos realizar a multiplicação de k e v obtendo o vetor kv definido do seguinte modo:

v

−v

1

2 v

Se o vetor v é nulo ou k é zero então kv = 0 Se k > 0, o vetor kv é o segmento de reta com o mesmo

sentido, mesma direção e com comprimento |k| |v| . Se k < 0 então o vetor kv tem a mesma direção e sentido

oposto ao vetor A e comprimento |k| |A| . Dois ou mais vetores podem ser somados pela regra do para-

lelogramo: A soma, u+ v, de dois vetores u e v e determinada da seguinte forma:

Tome um segmento orientado que representa u;

2

Ve rsã o P

re lim

in ar

Tome um segmento orientado que representa v, com origem na extremidade final de u;

o vetor u+ v é representado pelo segmento orientado que vai da origem de A até a extremidade final de v.

Proposição 1.4 As operações com vetores desfrutam das seguintes propriedades: Propriedades da soma

S1. Propriedade Comutativa: u+ v = Y+X,

u

v

v

uu+v

S2. Propriedades associativa: (u+ v) +w = u+ (v+w)

u v

w

u+v

v+w

u+v+w

S3. Elemento Neutro: O+ u = u

S4. Elemento oposto: Para cada vetor u existe um único vetor w tal que u+ (w) = 0. Esse vetor é denominado oposto a w e será denotado −u.

u

-u

Proposição 1.5 Propriedades da multiplicação :

M1. Propriedade distributiva de escalares em relação aos vetores: λ(u+ v) = λu+ λv

M2. Multiplicação por zero 0u = O

M3. Associatividade da multiplicação por escalares (λ1λ2)u = λ1(λ2u)

M4. Distributiva dos vetores em relação aos escalares (λ1 + λ2)u = λ1u+ λ2u

M5. Elemento neutro multiplicativo 1u = u

Todas as propriedades álgebricas dos vetores podem ser deduzidas das 9 propriedades acima. Essas propriedades são ánalogas as propriedades dos números reais e grande parte da álgebra desenvolvida para números reais se extende para as operações vetoriais. De modo mais geral podemos definir um espaço vetorial como um conjunto com uma

3

Ve rsã o P

re lim

in ar

operação + e uma operação de multiplicação por escalares satisfazendo os nove axiomas acima. Os espaços vetoriais são uma das estruturas matemáticas de maior importância. Vejamos algumas propriedades algébricas dos vetores:

Exemplo 1.6 u+ u = 2u

Demonstração: Pela propriedade M5 temos que u+ u = 1u+ 1u e pela propriedade M4 temos que1u+ 1u = (1+ 1)u = 2u e logo u+ u =2u 

Exemplo 1.7 De modo mais geral temos que

ku = u+ u+ · · ·+ u︸ ︷︷ ︸ k vezes

Exemplo 1.8 u+ (−1u) = 0, ou seja o vetor oposto a u é −1u.

Demonstração: Pela propriedade M5 temos que u+ (−1u) = 1u+ (−1u) e pela proprie- dade M4 temos que 1u+ (−1u) = (1− 1)u = 0u. Finalmente a propriedade M2 nos diz que 0X = O

Como o vetor oposto é único temos que o vetor oposto a u é −1X. 

O vetor oposto a u, que como vimos é (−1u) será denotado simplesmente por −u. Podemos definir a subtração de dois vetores −→u −−→v como a soma −→u + (−−→v ) ou de

outra forma definimos −→u −−→v como o vetor que adicionado a v dá o vetor −→u .

Exemplo 1.9 u+ v = w se, e somente se, u = vw.

Demonstração: Vamos provar a primeira implicação: Se u+ v = w então, u = vw Vamos começar calculando (u+ v)−v

(u+ v)−v= u+ (vv) por S2 u+(vv) = u por M4 e M5

por outro lado

(u+ v)−u = wv já que por hipotese u+ v = w



Exemplo 1.10 Dois vetores u,v são paralelos se e somente se u v para algum λ 6= 0

4

Ve rsã o P

re lim

in ar

Demonstração: Supoonha que u, v são paralelos então temos dois casos a considerar: ou eles possuem o mesmo sentido ou sentidos opostos.

Vamos tratar peimeiro o caso em que eles tem o mesmo sentido. Neste caso escolhemos

λ = u‖ ‖v

Com essa escolha temos que provar que u v. Como u e v são paralelos, u e λv possuem a mesma direção. E como estamos assu-

mindo que u e v possuem o mesmo sentido e como λ é maior que zero então pela definição de multiplicação por escalares u e λv possuem o mesmo sentido. Finalmente

λv= λ v= u‖ ‖v

v= u

O que prova que eles tem o mesmo comprimento. A demonstração do caso em que u e λv possuem direção contrária é analoga, porém

nesse caso escolhemos λ = −u‖‖v. 

Exemplo 1.11 Três pontos A,B,C pertencem a mesma reta se e somente se −→ AB = λ

−→ BC.

Exemplo 1.12 Os segmentos que unem os pontos médios de dois lados desse triângulo é paralelo ao terceiro lado.

Solução: Seja o triângulo ∆ de lados AB BC e CA e seja M1 o ponto médio do lado AB e M2 o ponto médio do lado AC. O vetor

−−−→ BM1 é igual a metade do vetor

−−−→ AM1 pois ambos

possuem mesma direção e sentido e o comprimeno de −−−→ BM1 é metade do comprimento

de −−−→ AM1. Analogamente, temos que Então temos que 

Exemplo 1.13 Sejam M1,M2,M3 os pontos médios dos lados AB,BC e CA do triângulo ABC Prove

que as três medianas têm um único ponto comum, que divide AM2,BM3 e CM1 na razão 2 para 1. Esse ponto é conhecido como baricentro do triângulo.

Solução: É facil provar que

−−−→ BM3 = −

−→ CB+

1

2

−→ CA

−−−→ AM2 = −

−→ CA+

1

2

−→ CB

CM1 = 1

2

−→ CA+

1

2

−→ CB

Para provar que as retas que ligam B a M3 e a reta que liga A a M2 são concorrentes, supomos por absurdo que elas não são, ou seja são paralelas: assim suporemos que existe λ tal que

−−→ BM3 = λ

−−−→ AM2.

5

Ve rsã o P

re lim

in ar

Usando as expressões anteriores para −−−→ BM3 e

−−→ AM3temos

−−−→ BM3 = −

−→ CB+

1

2

−→ CA = λ

( − −→ CA+

1

2

−→ CB

) =

−−→ AM3

o que resulta que

−→ CB+

1

2

−→ CA− λ

( − −→ CA+

1

2

−→ CB

) = 0(

−1− 1

2 λ

) −→ CB+

( 1

2 + λ

) −→ CA = 0

Como −→ CA e

−→ CB não são paralelos (ou seja são L.I.) temos que

−1− 1

2 λ = 0

1

2 + λ = 0

O que implicaria 2 = λ = 12 . Absurdo. Chamamos G o ponto comum as retas AN e CM e como AGN são colineares existe λ

tal que AG = λAN ou equivalente que G = A+ λAN do mesmo modo G = B+ µBP. e logo

A+ λAN = B+ µBP

e como B = A+AB temos que

λAN+AB = µBP

usando as expressoes que obtivemos no inicio temos

−λCA+ λ

2 CB = Cb−CA+ µCB+

µ

2 CA =

(µ 2 − 1

) CA+ (1− µ)CB

o que implica λ = 23 = µ. G = A+ 23AN = B+

2 3BP.

Analogamente ache equações ánalogas para Ge G” os pontos de interseccao das ou- tras duas retas conclua que G = G= G′′ 

Exercı́cios.

6

Ve rsã o P

re lim

in arEx. 1.1 —Sendo ABCDEFGH o paralelogramo acima, calcule:a) −→AB+−→FG

b) −−→ AD+

−→ HG

c) 2 −−→ AD−

−→ FG−

−→ BH+

−→ HG

Ex. 1.2 — Resolva a equação nas incognitas x e y:{ x+ 2y = u 3x− 4x = 2x+ v

Ex. 1.3 — Três pontos A,B,C estão na mesma reta se e somente se os vetores AB e AC são paralelos.

Ex. 1.4 — Prove que: a) (−α)v = −(αv) b) α (−v) = − (αv) c) −α (−v) = αv d) λv= |λ| ve) −

−→ AB =

−→ BA

Ex. 1.5 — Prove que se αv v e v 6= 0 então α = β.

Ex. 1.6 — Prove que αv = 0 então ou α = 0 ou v = 0

Ex. 1.7 — Prove que dados dois vetores u e v não paralelos então se

λ1u+ λ2v = −→ O

então λ1 = λ2 = 0

7

Ve rsã o P

re lim

in ar

1.1.1 Soma de Ponto com Vetor

P

Q = P + v

v

Dado um ponto P e um vetor −→v podemos definir uma soma de vetor com ponto do seguinte modo.

Seja um representante de −→v que começa em P e seja Q o ponto final desse representante. Definimos então:

P+ v := Q

Proposição 1.14 A soma de ponto com vetor tem as seguintes propriedades:

1. P+O = P

2. P+ u = P+ u se e somente se u = v

3. (P+ u) + v = P+ (u+ v)

Exercı́cios.

Ex. 1.8 — Prove que: a) P+O = P b) (P+ u)−u = P c) P+ u =Q+v então u =PQ+v

Ex. 1.9 — As diagonais de um paralelogramo s dividem mutualmente ao meio.

Ex. 1.10 — Sendo A e B dois pontos, mostrar que −→ AB+

−→ BA = 0

Ex. 1.11 — Seja ABCD um quadrilátero. Se E é o ponto médio do lado AB e F é o ponto médio do lado oposto DC, prove que

−→ EF = 12(

−−→ AD+

−→ BC).

Ex. 1.12 — Seja G o baricentro (ou seja o ponto de encontro das medianas) do triângulo ABC. Prove que

−→ GA+

−→ GB+

−→ GC = 0.

Ex. 1.13 — Prove que o segmento que une os pontos médios dos lados não paralelos de um trapézio é paralelo as bases, e sua medida é a semi-soma das medidas das bases.

Ex. 1.14 — Prove que existe um único ponto comum as bissetrizes internas de um triângulo e que esse ponto, conhecido como incentro do triângulo é interior a ele.

8

Ve rsã o P

re lim

in ar

Ex. 1.15 — Sejam M,N,P os pontos médios dos lados AB,BC e CA do triângulo ABC

Ex. 1.16 — a) Exprima

−→ BP,

−−→ AN e

−−→ CM em função de

−→ CA e

−→ CB

b) Prove que as retas suportes de duas medianas quaisquer do triângulo são concor- rentes

c) Prove que as três medianas têm um único ponto comum, que divide AN,BP e CM na razão 2 para 1. Esse ponto é conhecido como baricentro do triângulo.

Ex. 1.17 — Sendo ABCDE um hexágono regular de centro O prove que −→ AB+

−→ AC+

−−→ AD+

−→ AE+

−→ AF = 6

−−→ AO

1.2 dependência e independencia linear de vetores

Um vetorw é dito combinação linear dos vetores {vi}i=1...n se existem escalares {αi}i=1...n tal que

w =

n∑ i=1

α1vi

A B

CD

E

F

e1

e2

e3

e4

e1 =

−→ AB

e2 =

−−→ AD

e3 =

−→ AC

Exemplo 1.15 O vetor −→ AG é combinação

linear de −→ AB,

−−→ AD,

−→ AE. pois temos que

−→ AG =

−→ AB+

−−→ AD+

−→ AE.

Dado um conjunto de vetores, eles são ditos linearmente independentes se ne- nhum deles é combinação linear dos ou- tros dois. Ou de modo equivalente:

9

Ve rsã o P

re lim

in ar

Definição 1.16 Dados v1, . . . , vn, dizemos que esses vetores são linearmente inde- pendentes se

n∑ i=1

α1v1 = 0 se, e somente se, α1 = · · · = αn = 0

Ou seja, a única relação linear entre os vetores é a trivial, ou ainda, o vetor 0 pode ser escrito de modo único como combinação de vi

Quando um conjunto de vetores {vi}i=1,...n que não é linearmente independente é dito linearmente dependente.

Proposição 1.17 Seja u um vetor que possa ser escrito como combinação linear do con- junto de vetores linearmente independente {vi}i=1,...n

u = n∑

i=1

αivi

então essa representação é única.

Demonstração: Suponha que a representação não é única

u = n∑

i=1

αivi =

n∑ i=1

αivi

então:

n∑ i=1

αivi −

n∑ i=1

αivi = 0

e logo

n∑ i=1

(αi −α i)vi = 0

Como {vi}i=1,...n isso implica que para cada i, (αi −αi) = 0, e assim αi = α

i

Portanto a representação é única. 

10

Ve rsã o P

re lim

in ar

Exemplo 1.18 Dado um paralelogramo ABCD. Seja l uma linha reta que inter- cepta AB,AC e AD nos pontos B1,C1 eD1 respectivamente. Prove que se

−→ AB1 =

λ1 −→ AB,

−−→ AD1 = λ2

−−→ AD e

−−→ AC1 = λ3

−→ AC

então:

1

λ3 =

1

λ1 +

1

λ2

Solução: Assuma que −→ AB = a,

−−→ AD = b

e −→ AC = a+ b. Então

−→ AB1 = λ1a,

−−→ AD1 =

λb e AC1 = λ3(a+ b) Como os três pontosA1,B1 e C1 estão

na mesma reta então:

−→ BC1 = k

−→ BD1 (1.1)

Mas −→ BC1 = AC1−AB1 = (λ3 − λ1) a+ ˘2b

e −→ BD1 = AD1 −AB1 = −λ1a+ ˘2b

Substituindo as expressões acima em 1.1, obtemos:

(λ3 − λ1) a+ ˘2b =− kλ1a+ 3b

E logo λ3 − λ1 = k˘2 e ˘2 = 3. Eliminando k temos que λ1λ3+λ2λ3 =

λ1λ2. dividindo por λ1λ2λ3 temos

1

λ3 =

1

λ1 +

1

λ2



Exemplo 1.19 Sejam B um ponto no lado ON do paralelogramo AMNO e e C um ponto na diagonal OM tais que

−→ OB =

1

n

−−→ ON

e −→ OC = 11+n

−−→ OM. Prove que os pontos A, B e C estão na mesma reta.

11

Ve rsã o P

re lim

in ar

1.3 base

Um conjunto de vetores {vi}i=1...n gera um espaço vetorial V se qualquer ve- torw V puder ser escrito como combinação linear de {vi}i=1...n

w = n∑

i=1

αivi

Definição 1.20 Uma base para espaço vetorial V é um conjunto ordenado de vetores {vi} linearmente independentes e que geram espaço vetorial V .

Dados dois vetores no plano e1 e e2 não paralelos, é de se esperar que possa- mos atingir qualquer outro ponto ape- nas através de movimentos na direção de e1 e e2. Ou seja dado um ponto P esperamos poder escrever o vetor

−→ OP

como soma me1 + ne2. Uma expressão da forma me1 + ne2 é dita uma combinação linear de e1 e e2

Teorema 1.21 (da base para o plano) Qualquer vetor f pode ser escrito de maneira única como combinação linear de dois vetores pa- ralelos (e não nulos) e1 e e2, isto é:

f = me1 +ne2

com m e n R únicos.

Demonstração: Dado o vetor f seja o seu representante que começa no ponto O e termina num ponto P, assim f =

−→ OP

desenhe uma reta paralela a e1 e a par- tir do ponto O desenhe uma linha pa- ralela a e2. Essas linhas se encontram num ponto K. Então f =

−→ OK+

−→ KP.

Como −→ KP é paralelo a e1, ele é um

escalar vezes e1, ou seja −→ KP = me1. De

maneira análoga −→ OK = ne2 e desta forma

f = me1 +ne2

12

Ve rsã o P rel im ina r

Para provar a unicidade suponha que possamos escrever C como f = m1e1 + n1e2 e que f = m2e1+n2e2. Subtraindo essas equações chegamos que (m1−m2)e1+ (n1 −n2)e2 = 0, ou seja,

(m1 −m2)e1 = (n2 −n1)e2 = 0

e desta forma ou e1 e e2 são paralelos ou um dos lados é nulo e conseqüentemente temos que n2 −n1 = 0 = m1 −m2 e logo n1 = n2 e m1 = m2.

Logo f pode ser escrito de uma única forma como combinação linear de e1 e e2. 

Corolário 1.22 Toda base para o plano tem exatamente dois vetores.

Um conjunto de vetores {vi}i=1...n gera o espaço se qualquer vetor w do espaço pode ser escrito como combinação linear de {vi}i=1...n

w =

n∑ i=1

αivi

Teorema 1.23 (Base para o Espaço) No espaço tridimensional, sejam e1, e2, e3 três vetores não nulos, não paralelos entre si e não pa- ralelos ao mesmo plano. Então qualquer ve- tor f no espaço pode ser escrito como combinação linear única de e1, e2, e3, isto é:

f = le1 +me2 +ne3

com l,m,n R.

Dada uma base E = {e1, e2, e3} e um vetor f então f =le1 +me2 + ne3, a tri- pla (l,m,n) são as coordenadas de f na base E. E denotaremos que a tripla (l,m,n) são as coordenadas de f na base E escre- vendo

f =(l,m,n)E

ou simplesmente f =(l,m,n) quando estiver claro a que base estamos nos referindo. As operações vetoriais podem ser fei-

tas em coordenadas:

13

Ve rsã o P

re lim

in ar

Proposição 1.24 1. Se a = (a1,a2,a3) e b = (b1,b2,b3) então a+ b =(a1 + b1,a2 + b2,a3 + b3)

2. Se a = (a1,a2,a3) então λa =(λa1, λa2, λa3)

Exemplo

Exerćıcio Exercı́cios.

Ex. 3.1 — Mostre que os vetores u, v,w são coplanares se, e somente se, um de- les é combinação linear dos outros dois.

Ex. 3.2 — Determine quais dos conjun- tos abaixos são L.I.

a) {(1,−1, 2) , (1, 1, 0) , (1,−1, 1)} b) {(1,−1, 1) , (−1, 2, 1) , (−1, 2, 2)}

Ex. 3.3 — Exprima o vetorw : (1, 1) como combinação linear de u : (2,−1) e v : (1,−1).

14

Ve rsã o P

re lim

in ar

2 VETORES EM COORDENADAS 2.1 sistemas de coordenadas

Usando vetores podemos generalizar os conceitos de sistemas de coordenadas. Um sistema de coordenadas no espaço Σ consiste de três vetores não coplanares

f1, f2, f3 (ou seja uma base para o espaço) e um ponto O. O sistema de coordenadas é denotado por Σ = (f1, f2, f3,O) e o ponto O é chamado origem do sistema de coorde- nadas

Usando o conhecimento que temos é muito fácil estabelecer uma bijeção entre o espaço e R3 usando o sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O) .

Para isso seja P um ponto do espaço e seja o vetor −→ OP ligando a origem ao ponto P.

Esse vetor é chamado vetor posição de P. Pelo teorema da base para o espaço temos que −→ OP = af1 + bf2 + cf3. Desta forma associamos ao ponto P a tripla (a,b, c).

Exemplo 2.1 Se i, j e k forem três vetores ortonormais, ou seja eles forem ortogonais entre si dois a dois e de norma 1. Então o sistema de coordenadas Σ = (i, j,k,O) é o sistema cartesiano de coordenadas que introduzimos no primeiro capı́tulo. Daqui em diante as letras i, j e k sempre denotarão vetores ortonormais.

Um sistema de coordenadas que não é ortogonal é dito oblı́quo.

Exemplo 2.2 Se i, j e k forem três vetores ortonormais. Seja então f1,= i+ k, f2 = j+ i e f3 = k. O sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O) é um exemplo de sistema de coordenadas obliquo.

A escolha de um sistema de coordenadas nos permite identificar o espaço com R3. Pelo teorema da base a função π : E3 R3 é uma bijeção. Mais ainda dados dois pontos P e Ptais que

−→ OP = af1+bf2+ cf3 e

−−→ OP= af1+bf2+ cf3 então

−→ OP+

−−→ OP= (a+ a) f1+

(b+ b) f2 + (c+ c) f3 ou seja π(P) + π (P) = π (P+ P) . Analogamente temos π(λP) = λ (P) .

Ou seja, somar dois vetores posição é equivalente a somar suas coordenadas, através da identificação entre E3 e R3

Uma transformação de um espaço vetorial em outro que satisfaz que satisfaz π(P) + π (P) = π (P+ P) e π(λP) = λ (P) é dita transformação linear ou homomorfismo li- near. Uma transformação linear bijetiva é dita isomorfismo linear. Dois espaços vetoriais isomorfos são indistinguiveis do ponto de vista da estrutura de espaços vetoriais.

E nesta linguagem, temos que a estrutura de espaço vetorial de E3 e de R3 são isomor- fas.

Exemplo 2.3

15

Ve rsã o P

re lim

in ar

A B

CD

e1

e2

e3

e1 =

−→ AB

e2 =

−−→ AD

e3 =

−→ AC

Dado um retângulo ABCD conforme a figura ao lado. Ache as coordenadas dos pontos A,B,C,D nos seguintes sis- temas de coordenadas:

1. Σ1 = (A, e1, e2)

2. Σ4 = ( B, e3, 12e1

) Solução: (1) Vamos escrever as coordenadas de A,B,C,D no sistema Σ1 para isso de- vemos escrever os vetores

−→ AA,

−→ AB,

−→ AC e

−−→ AD como combinação linear de e1 e e2 Por

definição −→ AB = e1 e

−−→ AD = e2. Temos também que

−→ AC = e1 + e2 e

−→ AA sendo o vetor

nulo, é igual a 0e1 + 0e2. Assim as coordenadas são:

A : (0, 0) pois AA = 0e1 + 0e2 B : (1, 0) pois AB = 1e1 + 0e2 C : (1, 1) pois AC = 1e1 + 1e2 D : (0, 1) pois AD = 0e1 + 1e2

(2) Agora vamos escrever as coordenadas dos pontos A,B,C,D no sistema Σ4 =( A, e3, 12e1

) .

Para tanto devemos escrever os vetores BA,BB,BC e BD como combinação de f1 e f2 sendo f1 = e3 e f2 = 12e1.

Neste caso −→ BA = −e1 = −2

( 1 2e1

) = −2f2,

−→ BB = 0f1 + 0f2 e

−→ BC = e2 = −e3 + e1 =

−1f1 + 2f2 e −→ BD = e3 − 2e1 = f1 − 4f2. Assim as coordenadas dos pontos são

A : (0,−2) B : (0, 0) C : (−1, 2) D : (1,−4)



Exemplo 2.4 Achar as coordenadas de um vetor ligando dois pontos num sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O)

Solução: Dado P1 : (x1,y1, z1) e P2 : (x2,y2, z2). Achar o vetor −−−→ P1P2 e seu comprimento.

Temos pela definição de subtração de vetores que −−−→ P1P2 =

−−→ OP2 −

−−→ OP1. Logo como−−→

OP1 = x1f1 + y1f2 + z1f3 e −−→ OP2 = x2f1 + y2f2 + z2f3 e assim

−−−→ P1P2 = (x2 − x1)f1 + (y2 − y1)f2 + (z2 − z1)f3 −−−→ P1P2 = (x2 − x1,y2 − y1, z2 − z1)

16

Ve rsã o P

re lim

in ar



Exemplo 2.5 Achar o ponto médio M = (x,y, z) de um segmento com ponto inicial P1 = (x1,y1, z1) e P2 = (x2,y2, z2), num sistema de coordenadas Σ = (f1, f2, f3,O)

Solução: Primeiro vemos que −−−→ P1P2 = 2

−−−→ P1M ja que eles possuem a mesma direção e∣∣∣−−−→P1P2∣∣∣ é duas vezes∣∣∣−−−→P1M∣∣∣.

Assim

(x2 − x1)i+ (y2 − y1)j+ (z2 − z1)k = 2(x− x1)i+ 2(y− y1)j+ 2(z− z1)k

o que implica que

x2 − x1 = 2(x− x1)

y2 − y1 = 2(y− y1)

z2 − z1 = 2(z− z1)

e logo

x = x1 + x2

2 ,y =

y1 + y2 2

, z = z1 + z2

2



Exerćıcios Exercı́cios.

Ex. 1.1 — Dado um retânguloABCD con- forme a figura ao lado. Ache as coorde- nadas dos pontos A,B,C,D nos seguintes sistemas de coordenadas:

a) Σ1 = (A, e1, e3) b) Σ2 = (D, e2, e1) c) Σ3 = (B,−e3, e1) d) Σ4 =

( D, 13e3,

1 2e2

) e) Σ5 = (C, e3 + e1, e2)

Ex. 1.2 — Os pontos médios dos lados de um triângulo são (2, 5) , (4, 2) e (1, 1). Deter- mine as coordenadas dos três vértices.

Ex. 1.3 — Prove que o segmento de reta que une os pontos médios das laterais de um trapézio é paralelo às bases e sua medida é a média aritmética das medidas das bases.

17

Ve rsã o P

re lim

in ar

2.2 base ortonormais e coordenadas cartesianas

Sejam i e j dois vetores ortonormais e O um ponto no plano. Então (i, j) é uma base para o plano e pelo teorema da base para o plano, qualquer vetor r começando em O e terminando em P pode ser expresso como combinação linear de i e j, ou seja:

r = xi+ yj

Se denotarmos por r o tamanho do vetor r e por θ o ângulo entre o eixo OX e o segmento r, então:

x = r cos(θ)

y = r sin(θ)

O x

y

Os coeficientes (x,y) são ditos coordenadas do ponto P à origem. O vetor r = −→ OP é

dito vetor de posição de P pois as coordenadas (x,y) de −→ OP são as coordenadas do ponto

final P. O par (r,θ) é dito as coordenadas polares do ponto P. Similarmente em três dimensões escolhemos três vetores unitários e mutualmente per-

pendiculares i, j k. Então podemos escrever o vetor r em coordenadas como

r = xi+ yj+ zk

O vetor r é dito vetor de posição do ponto terminal P = (x,y, z). Pelo teorema de Pitágoras r = |r| =

√ x2 + y2 no caso bidimensional e r = |r| =√

x2 + y2 + z2 no c so tridimensional. Os ângulos α,β,γ que o vetor r faz com os três eixos são ditos ângulos diretores do

vetor são:

cos(α) = l

l2 +m2 +n2 , cos(β) =

ml2 +m2 +n2

, cos(γ) = n

l2 +m2 +n2

18

Ve rsã o P

re lim

in ar

2.3 ângulo entre dois vetores produto escalar

Queremos determinar o ângulo entre dois vetores u = u1i+ u2j+ u3k e v = v1i+ v2j+ v3k. .

Começamos escolhendo representantes desses vetores que começem na origem.

u

u v-u

O

Pela lei dos cossenos

|vu|2 = |u|2 + |v|2 − 2 |u| |v| cos(θ)

O que implica

(u1 − v1) 2 + (u2 − v2)

2 + (u3 − v3) 2 = u21 + u

2 2 + u

2 3 + v

2 1 + v

3 2 + v

2 3 − 2 |u| |v| cos(θ)

e assim

cos(θ) = u1v1 + u2v2 + u3 + v3

|u| |v|

Chamaremos u1v1+u2v2+u3v3 de produto escalar de u por v ou de produto interno de u por v e denotaremos por u · v.

Logo mais adiante daremos um sentido mais amplo ao conceito de produto interno, do qual o produto escalar que acabamos de definir é um exemplo.

Exemplo 2.6 Achar o ângulo entre u = i+ j+ k e v = i+ j

Exemplo 2.7 Os vetores 3i+ 4j+ k e 2i− 3j+ 6k são perpendiculares.

Exemplo 2.8 u2 = u · u

O produto interno possui as seguintes propriedades, cuja demonstrações são elemen- tares e deixamos como exercı́cio:

Proposição 2.9 O produto interno possui as seguintes propriedades:

1. u · v = v · u

2. u· (v+w) = u · v+ u ·w

19

Ve rsã o P

re lim

in ar

3. u · u > 0

4. u · u = 0 se e somente se u = 0

5. u· v) = λu · v

Exemplo 2.10 No quadrado ABCD tem se A = (3,−4) e B = (5, 6) . Quais são as coorde- nadas dos vetores C e D?

Solução: Denotando as coordenadas de C e D por C = (c1, c2) e D = (d1,d2). 

Então temos que −→ AB = (2, 10),

−→ BC = (c

1 − 5, c2 − 6),

−→ CD = (d1 − c1,d2 − c2 e

−→ DA =

(d1 − 3,d2 + 4). O vetor

−→ BC é perpendicular ao vetor

−→ AB logo o produto interno entre eles é nulo:

−→ BC,

−→ AB

〉 = 0

O que implica que 2(c1 − 5) + 10(c2 − 6) = 0, que simplificando resulta em

2c1 + 10c2 = 70 (2.1)

Temos ainda que | −→ AB| = |

−→ BC| =

104, logo

(c1 − 5) 2 + (c2 − 6)

2 = 104 (2.2)

Substituindo 2.1 em 2.2 teremos que (c2 − 6)2 = 4 e logo c2 = 8 ou c2 = 4 Quando c2 = 8 por 2.1 c1 = −5 e quando c2 = 4 então c1 = 15. O cálculo de D é análogo.

2.3.1 Projeção Ortogonal

Dados dois vetores v e u, com u não nulo, vamos decompor o vetor v em dois vetores p,q tal que p é paralelo a u e q é perpendicular a u

v = p+ q tal que pu e q u

Um vetor p tal que v = p+ q com pu e q u é chamado de projeção ortogonal de v sobre u e é denotado por Proju v.

Proposição 2.11 Dado u um vetor não nulo, e v um vetor qualquer, então existe e é única a projeção ortogonal de v em u.

20

Ve rsã o P

re lim

in ar

Demonstração: A projeção ortogonal se existir deve satisfazer v = p+ q tal que pu e q u. Como p deve ser paralelo a u temos que p u. e como q =(vp) u . temos que

(vp) · u = 0

e logo

(v− λu) · u= 0

v · u−λ u2 = 0

e dessa forma

λ = v · u u2

e

p = v · u u2

u

A expressão anterior garante a existência de p e sua unicidade. 

Exerćıcios Exercı́cios.

Ex. 3.1 — Pela formúla do cos ache os três ângulos do triângulo cujos vértices são a) (2,−1) , (7,−1) e (7, 3) (use uma calculadora) b) (4, 7, 11) , (−3, 1, 4) e (2, 3,−3)

Ex. 3.2 — Prove que os vetores A = 7i− 3j+ 6k,B =3i+ 3j− 2k e C =6i− 16j− 15k são mutualmente perpendiculares.

Ex. 3.3 — Ache os três ângulos de um triângulo cujos vértices são (3, 1) , (5,−2) e (6, 3) . Ache também a área do triângulo.

Ex. 3.4 — Prove que v,w= 14 ( |v+w|2 − |vw|2

)

Ex. 3.5 — Mostre que se as diagonais de um paralelogramo são perpendiculares entao ele é um losango.

Ex. 3.6 — Decomponha o vetor u = −i− 3j+ 2k como a soma de dois vetores v1 e v2, com v1 paralelo ao vetor j+ 3k e v2 ortogonal a este último.

21

Ve rsã o P

re lim

in ar

Ex. 3.7 — Prove que: a) Proju λv = ˘Proju v b) Proju(v+w) = Proju v+ Projuw c) Proju

( Proju v

) = Proju v

d) v · Projuw = Proju v ·w

Ex. 3.8 — Calcule o cosseno do ângulo formado por duas diagonais de um cubo.

Ex. 3.9 — Prove que |u · v| 6 u‖ ‖ve que |u · v| = u‖ ‖vse e somente se um vetor é multiplo do outro.(desigualdade de Schwarz)

Ex. 3.10 — Prove que u+ v6 u+ v(Desigualdade Triangular)

2.4 vetor perpendicular a dois vetores dados: pro- duto vetorial

Nosso objetivo nessa seção é encontrar um vetor perpendicular a dois vetores dados, que não são paralelos.

Sejam u = u1i + u2j + u3k e v = v1i + v2j + v3k dois vetores não paralelos. E seja w = xi + yj + zk um vetor qualquer. O vetor w é perpendicular a u se w · u = 0.e perpendicular a v se w · v = 0. As condições w · u = 0. e w · v = 0.podem ser escritas como o sistema linear :

u1x+ u2y+ u3z = 0

v1x+ v2y+ v3z = 0

ou equivalentemente:

u1x+ u2y = −u3z

v1x+ v2y = −v3z

Usando a regra de Cramer temos que:

l =

∣∣∣∣ −u3n u2−v3n v2 ∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2

∣∣∣∣ = −n ∣∣∣∣ u3 u2v

3 v2

∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2 ∣∣∣∣ = n

∣∣∣∣ u2 u3v2 v3 ∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2 ∣∣∣∣

22

Ve rsã o P

re lim

in ar

m =

∣∣∣∣ u1 −u3nv1 −v3n ∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2

∣∣∣∣ = −n ∣∣∣∣ u1 u3v1 v3

∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2 ∣∣∣∣ = n

∣∣∣∣ u3 u1v3 v1 ∣∣∣∣∣∣∣∣ u1 u2v1 v2 ) ∣∣∣∣

escolhendo

n =

∣∣∣∣ u1 u2v1 v2 ∣∣∣∣

Então:

w = ∣∣∣∣ u2 u3v2 v3

∣∣∣∣ i+ ∣∣∣∣ u3 u1v3 v1 ∣∣∣∣ j+ ∣∣∣∣ u1 u2v1 v2

∣∣∣∣k O vetor w é dito o produto vetorial de u e v, e denotamos

w = u× v

Um modo fácil de recordar da expressão do produto vetorial é através do seguinte determinante formal:

Se u = u1i+ u2j+ u3k e v = v1i+ v2j+ v3k então

u× v =

∣∣∣∣∣∣ i j k u1 u2 u3 v1 v2 v3

∣∣∣∣∣∣ Teorema 2.12 Dados os vetores u = (u1,u2,u3) , O produto vetorial possui as seguintes pro- priedades:

1. Linearidade com relação ao primeiro termo: (u+ v)×w = u×w+ v×w

2. Antisimetria u× v = −v× u

3. Produto misto u· (v×w) = u× v ·w = det

 u1 u2 u3v1 v2 v3 w1 w2 w3

 4. ‖u× v2 = u2 v2 − u, v2

5. ‖u× v= u‖ ‖vsin (θ) , sendo θ o ângulo entre os vetores u e v.

Demonstração: A demonstração dos três primeiros itens é direta e é deixada como exercı́cios:

23

Até o momento nenhum comentário
Esta é apenas uma pré-visualização
3 mostrados em 109 páginas
Baixar o documento