Geometria Analítica e Cálculo Vetorial - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)
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Geometria Analítica e Cálculo Vetorial - Apostilas - Matemática, Notas de estudo de Matemática. Centro Universitário do Distrito Federal (UDF)

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Apostilas de Matemática sobre o estudo da Geometria Analítica e Cálculo Vetorial, Produto de vetores, Produto escalar, Produto Misto, Reta no R, Plano, Coordenadas polares e Transformações lineares, Lista de Exercícios....
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GEOMETRIA ANALÍTICA - 1a LISTA DE EXERCÍCIOS - VETORES

1

VETORES

1)A figura abaixo é constituída de nove quadrados congruentes (de mesmo tamanho).

Decidir se é verdadeira ou falsa cada uma das seguintes afirmações:

RESP: a)V b)V c)F d)V e)V f)V g)F h)V i)F j)V

k)V l)V m)F n)V o)V p)V q)V r)F s)V t)V

2) A figura a baixo representa um paralelepípedo retângulo. Decidir se é verdadeira ou

falsa cada uma das afirmações abaixo:

coplanares são EG e FG,AB)i coplanares são HF e CB,EG)j

coplanares são FG e DB,AC)k coplanares são CF e BG,AB)l

coplanares são CF e DC,AB)m ABCplano ao ortogonal é AE)n

BCG plano ao ortogonal é AB)o HEF. plano ao paralelo é DC)p

RESP: a)V b)F c) V d)V e)V f)V g)F h)F

i)V j)V k)V l)F m)V n)V o)V p)V

BCAF)d

CGAB)c

HGAB)b

BFDH)a



coplanares são CG e BC,AB)h

ED//BG)g

|DF||AG|)f

HFAC)e

LISTA DE EXERCÍCIOS DE

GEOMETRIA ANALÍTICA E CÁLCULO VETORIAL

PROF. ERNANI JOSÉ ANTUNES

EDDE)e

MCBL)d

OPBC)c

PHAM)b

OFAB)a





FG//AJ)j

LD//JO)i

HI//AC)h

FIKN)g

MGAO)f

AMPN)o

NBPN)n

ECPE)m

BLAM)l

EGAB)k

|BL||AM|)t

NP2AO)s

|AC||AJ|)r

MFIF)q

|FP||AC|)p

2

3) A figura abaixo representa um losango EFGH inscrito no retângulo ABCD, sendo O, o

ponto de interseção das diagonais desse losango. Decidir se é verdadeira ou falsa

cada uma das afirmações:

DHOH)e

BOOC)d

HGDO)c

CHAF)b

OGEO)a





HG//GF)j

CD//AF)i

DB 2

1 OA)h

BDAC)g

COEH)f



FEOB)o

HFAO)n

CBEO)m

OHAB)l

OC//AO)k



RESP: a)V b)F c)V d)V e)F f)F g)V h)V

i)V j)F k)V l)V m)V n)F o)V

4)Com base na figura do exercício1, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A:

AKAC)d

DCAC)c

BDAB)b

CNAC)a

OEAO)h

ANAK)g

BLAM)f

EOAC)e

PBBNBL)l

NFPNLP)k

CBBC)j

NPMO)i





RESP: a) AN b) AD c) AB d) AO e) AM f) AK

g) AH h) AI i) AC j) AC k) AE l)0

5)Com base na figura do exercício 2, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A:

EHBF)c

DEBC)b

CGAB)a

FBEF)f

EHCG)e

BCEG)d

FHDAEG)h

AEADAB)g





RESP: AF)a AE)b HA)c AB)d AH)e AF)f AG)g AD)h

6) Com base na figura do exercício 3, determinar os vetores abaixo, expressando-os com

origem no ponto A:

3

AF2AE2)c

FGEH)b

CHOC)a

OC2OE2)f

BGEO)e

EFEH)d

FGFE)h

EHBC 2

1 )g

AOFOAF)j

HOOG)i



RESP: AE)a AC)b c) AC AB)d AO)e AD)f AH)g AD)h AO)i AC)j

7)Determine as somas que se pedem:

RESP: ACe) BGd)2 BGc)2 EFb) AC)a .

8)A figura abaixo representa um paralelepípedo retângulo de arestas paralelas aos eixos

coordenados e de medidas 2,1 e 3. Determinar as coordenadas dos vértices deste

sólido, sabendo que A (2, –1,2).

RESP: B(2, –3,2), C(3, –3,2) , D(3, –1,2), E(3, –1,5), F(2, –1,5), G(2, –3,5) e H(3, –3,5)

9) Determine x para que se tenha DCBA 

 , sendo A (x,1), B(4,x+3), C(x,x+2) e D(2x,x+6).

RESP: x=2

10) Escreva o vetor (7,–1), como a soma de dois vetores, um paralelo ao vetor (1,–1) e

outro paralelo ao vetor (1,1). RESP: x = 3 e y = 4

11) Dados A(–1,–1) e B(3,5), determinar C, tal que

GCFGEFAE)e

BHBGFGEFHE)d

BCBGBF)c

BFDBED)b

AGHBGCDHCDAD)a











4

a) AB 2

1 AC  b) BA

3

2 CA

  . RESP: a) x = 1 e y = 2 b)

3

5 x  e y =3

12) Dados os vetores a 

=( 2,–1 ) e b 

=( 1,3) , determinar um vetor x 

, tal que:

a)   2

xa b)ax(2

2

1 x

3

2  

 b) 2

ax b

3

1 x2a4

  

RESP: a) x 

=  

  

 

7

12 ,

7

3 b) 

  

 

9

33 ,

9

52 x 

13) Dados os vetores a 

=(–1,1,2) e b 

=( 2,0,4), determine o vetor v 

, tal que:

   2

va bav2

3

v2 )a

 

    

2

av

4

b bav2v

3

2 )b

  

RESP:  

  

 

5

6 ,3,

5

27 v)a 

 

  

 

5

12 ,3,

5

24 v)b 

14)Sendo A(1, –1,3) e B(3,1,5), até que ponto se deve prolongar o segmento AB, no

sentido de A para B, para que seu comprimento quadruplique de valor?

RESP: (9,7,11)

15) Sendo A(–2,1,3) e B(6, –7,1) extremidades de um segmento, determinar:

a)os pontos C , D e E, nesta ordem, que dividem o segmento AB em quatro partes de

mesmo comprimento;

b) os pontos F e G, nesta ordem que dividem o segmento AB em três partes de

mesmo comprimento.

RESP:  

  

 

2

5 ,1,0C)a ,  2,3,2D  e

  

 

2

3 ,5,4E ; b) 

  

 

3

7 ,

3

5 ,

3

2 F e 

  

 

3

5 ,

3

13 ,

3

10 G .

16)Dadas as coordenadas, x=4, y=–12, de um vetor v 

do 3, calcular sua terceira

coordenada z, de maneira que  v  = 13. RESP: z= 3

17)Sejam os pontos M(1,2,2) e P(0,1,2), determine um vetor v 

colinear à PM e tal

que .3v  RESP:  

  

 

6

4 ,

6

1 ,

6

1 v 

18)Achar um vetor x 

de módulo igual a 4 e de mesmo sentido que o vetor v 

=6 i 

–2 j 

–3k 

.

RESP:  

  

 

7

12 ,

7

8 ,

7

24 x 

19) No triângulo ABC, os vértices A (1,2), B(–2,3) e C(0,5):

a) determinar a natureza do triângulo;

b) calcular o comprimento da mediana AM. Sendo M o ponto médio do lado BC.

RESP: a) isósceles b)  MA  = 22

5

20) Sejam k2-ji2b e k3j2ia 

 . Determine um versor dos vetores abaixo:

a)a 

+ b 

B) 2a 

–3b 

c) 5a 

+4b 

RESP: a) 43

1 u  

(3,3,–5) b) )0,1,4( 17

1 u  

c) 894

1 u  

(13,14,–23)

21) Determine um vetor da mesma direção de v 

=2 i 

– j 

+2k 

e que:

a) tenha norma (módulo) igual a 9;

b) seja o versor de v 

;

c) tenha módulo igual a metade de v 

.

RESP: a) w 

=(6,–3,6) b) 3

1 u  

(2,–1,2) c) 2

1 p  

(2,-1,2)

22) Num paralelogramo ABCD sabe-se que A (1,3,–2) e que as diagonais são CA 

=(4,2,–3) e DB 

=(–2,0,1).Calcule as coordenadas dos outros três vértices.

RESP: C(5,5,–5) ,B( 4,4,–4) e D( 2,4,–3)

23)Sabendo que A (1,1), B(5,1) e C(6,4) são vértices de um paralelogramo,determinar o

quarto vértices de cada um dos três paralelogramos possíveis de serem formados.

RESP: (2,2), (0,−4), e (10,6)

24) Dados os vetores u 

=(3,2), v 

=(2,4) e w 

=(1,3), exprimir w 

como a combinação linear

de u 

e v 

. RESP: v 8

7 u

4

1 w

 

25) Dados os vetores a 

=(3,–2,1),b 

=(–1,1,–2) e c 

=(2,1,–3), determinar as coordenadas

do vetor v 

=(11,–6,5) na base  c,b,a  

 . RESP: cb3a2v  

26)Escreva o vetor v 

=(4,1,0) , na base  321 v,v,v 

 ,sendo 1v 

=(1,0,0) , 2v 

=(3,2,1) e 3v 

=(1,1,1). RESP: 321 v3 3

1 v

3

1 v

3

16 v

 

27)Dois vetores a 

=(2,–3,6) e b 

=(–1,2,–2), tem uma mesma origem. Calcular as

coordenadas do vetor c 

sobre a bissetriz do ângulo formado pelos vetores a 

eb 

,sabendo que c  = 423 . RESP: c

 =(  3, 15,  12)

28) Dados os vetores a 

=(1,–1,0), b 

=(3,–1,1), c 

=(2,2,1) e d 

=(4,–3,1). Determinar o vetor

v 

=(x,y,z), tal que : ( v 

+a 

)  b 

e ( v 

+c 

) d 

. RESP: v 

=( –10,4,–3)

6

PRODUTO DE VETORES

PRODUTO ESCALAR

29) Sendo u

 = ( 2,3,1) e v

 = ( 1,4, 5) . Calcular:

a) u  v 

b) (u 

– v 

) c)(u 

+ v 

)2 d) (3u 

– 2 v 

)2 e) (2u 

-3 v 

)(u 

+2 v 

)

RESP: a) 19 b)18 c)94 d)66 e) –205 f)–28

30)Sendo a 

=(2,–1,1), b 

=(1,–2,–2) e c 

=(1,1,–1). Calcular um vetor v 

=(x,y,z), tal que v 

 a 

= 4, v   b 

= –9 e v   c 

= 5. RESP: v 

=(3,4,2)

31)Sejam os vetores a 

=(1,–m,–3),b 

=(m+3,4–m,1)e c 

=(m,–2,7).Determinar m para que

a  b 

=(a 

+b 

)c 

. RESP: m=2

32) Determinar a, de modo que o ângulo  do triângulo ABC, seja 600. Dados: A(1,0,2),

B(3,1,3) e C(a+1,–2,3). RESP: –1 ou 5

13

33) Dados os pontos A (4,0,1), B(5,1,3) C(3,2,5) e D(2,1,3). Determine:

a) se eles foram alguma figura. Em caso afirmativo, qual?

b) O ângulo entre as retas paralelas aos vetores AC e BD .

RESP: a)Paralelogramo b) 22,4463102 21

21 arccos 0  .

34) Os vetores u 

e v 

formam um ângulo de 600. Sabe-se que u  =8 e v

 =5,

calcule:

a)u 

+ v   b) u

 – v   c)  2u

 +3 v   d) 4u

 – 5v  

RESP: a) 129 b)7 c) 721 d) 849

35) Os vetores a 

e b 

formam um ângulo de 1500, sabe-se que a  = 3 e que b

= 2 , Calcule:

a) a 

+b   b) a

 –b   c) 3a

 +2b   d) 5a

 – 4b  

RESP: a) 235 b) 235 c) 21835 d) 260107

36)Determinar o valor de x para que os vetores 1v 

= x i 

–2 j 

+3k 

e 2v 

=2 i 

– j 

+2k 

, sejam

ortogonais. RESP: x=–4

37)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores a 

=(2,6,–1) e b 

=(0,–2,1).

RESP:  

  

 

3

2 ,

3

1 ,

3

2 c  

7

38)Dados a 

=(2,1,–3) e b 

=(1,–2,1), determinar o vetor v  a 

, v  b 

e v  =5.

RESP:  1 ,1 ,1 3

35 v  

39)Dados dois vetores a 

=(3,–1,5) e b 

=(1,2,–3), achar um vetor x 

, sabendo-se que ele é

perpendicular ao eixo OZ , e que verifica as seguintes relações: x  a 

=9, e x  b 

=–4.

RESP: x 

=(2,–3,0) 40)Seja o cubo de aresta a representado na figura abaixo. Determinar:

RESP: a)0 b)0 c)0 d) 3a e 2a e)a2 f)  333 a,a,a

g) 4454 3

3 cos arc 0  h) 1370

3

1 cos arc 0 

41)Calcule o ângulo formado pelas medianas traçadas pelos vértices dos ângulos agudos

de um triângulo retângulo isósceles. RESP: =arc cos 5

4 , 360 52'11,6''

42)Um vetor v 

forma ângulos agudos congruentes com os semi-eixos coordenados

positivos. Calcule suas coordenadas sabendo que v  = 3. RESP:  1,1,13v 

 .

43)Um vetor unitário v 

forma com o eixo coordenado OX um ângulo de 600 e com os

outros dois eixos OY e OZ ângulos congruentes. Calcule as coordenadas de v 

.

RESP:  

 

 

4

6 ,

4

6 ,

2

1 v 

ou  

 

 

4

6 ,

4

6 ,

2

1

44) O vetor  2,1,1v  forma um ângulo de 600 com o vetor BA 

, onde A (0,3,4) e

B(m, 1,2). Calcular o valor de m. RESP: m=–34 ou m=2

45)Os vetores a 

e b 

formam um ângulo = 6

 , calcular o ângulo entre os vetores p

 =a 

+b 

e q 

= a 

– b 

, sabendo que a  = 3 e b

 = 1. RESP: cos=

7

72 ,40053'36,2''

 

cubo. do diagonais duas por formado agudo ângulo h)o

aresta; uma e cubo do diagonal a entre agudo ângulo o)g

OGABEDf) OBOE)c

CGEGe) ODOA)b

OG e OBd) OCOA)a





8

46) Dados u 

=(2,–3,–6) e v 

=3 i 

–4 j 

–4k 

, determine:

a) a projeção algébrica de v 

sobre u 

( norma do vetor projeção de v 

sobre u 

);

b) 0 vetor projeção de v 

sobre u 

. RESP: a)6 b)  6,3,2 7

6 

47)Decomponha o vetor v 

=(–1,2,–3) em dois vetores a 

e b 

, tais que a  w 

e b  w 

, com

w 

=(2,1,–1). RESP:  

  

 

2

1 ,

2

1 ,1a

e 

  

 

2

5 ,

2

3 , 2b

48)São dados os vetores 1v 

= (1,1,1), 2v 

=(–1,2,3) e 3v 

=(26,6,8). Decompor o vetor 3v 

em dois vetores x 

e y 

ortogonais entre si, sendo x 

simultaneamente ortogonal a

1v 

e a 2v 

. RESP: x 

=(1,–4,3) e y 

=(25,10,5)

49)São dados 1v 

=(3,2,2) e 2v 

=(18,–22,–5), determine um vetor v 

, que seja ortogonal à

1v 

e a 2v 

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v  =28.

RESP: v 

=(–8,–12,24)

50)Os vértices de um triângulo são M(1,1,2) ,N(5,1,3) e Q(–3,9,3). Calcule as

coordenadas do vetor HM 

, onde H é o pé da altura relativa ao lado NQ.

RESP: HM 

=(2,2,1)

PRODUTO VETORIAL

51) Dados os vetores u 

=( –1,3,2), v 

=(1,5,–2) e w 

=(-7,3,1). Calcule as coordenadas dos

vetores:

a) u  v 

b) v  w 

c) v  (u  w 

)

d) ( v  u 

)w 

e)(u 

+ v 

)(u 

+ w 

) f) (u 

– w 

)w 

RESP: a)(–16,0,8) b)(11,13,38) c)(64,–12,2) d)(24,72,48)e)(24,0,64)

f)(–3,–13,18)

52)Determinar o vetor x 

, paralelo ao vetor ao vetor w 

=(2,–3,0) e tal que x   u 

= v , onde

u 

=(1,–1,0) e v =(0,0,2). RESP: x 

=(4.–6,0)

53) Determinar o vetor v 

, sabendo que ele é ortogonal ao vetor a =(2,3,1) e ao vetor b

=(1,2,3) e que satisfaz a seguinte condição; 10)k7j2i(v  . RESP:  1,5,7v 

54)Determinar v , tal que v seja ortogonal ao eixo dos y e que wvu  ,sendo )1,1,1(u 

e )1,1,2(w  . RESP: v =(1,0,1)

9

55) Dados os vetores 1v 

=(0,1,1), 2v 

=(2,0,0) e 3v 

=(0,2,3).Determine um vetor v 

, tal

que v 

// 3v 

e v 

 1v 

= 2v 

. RESP: v 

=(0,4,6)

56)Determine um vetor unitário ortogonal aos vetores 1v 

=(–1,–1,0) e 2v 

=(0,–1–1).

RESP:  1,1,1 3

1 

57) Ache u 

tal que u  = 33 e u

 é ortogonal a v

 =(2,3,1) e a w

 =(2,4,6). Dos u

encontrados, qual forma ângulo agudo com o vetor (1,0,0). RESP:  3,3,3u 

58)São dados os vetores 1v 

= (1,1,1), 2v 

=(–1,2,3) e 3v 

=(26,6,8). Decompor o vetor 3v 

em dois vetores x 

e y 

ortogonais entre si, sendo x 

simultaneamente ortogonal a

1v 

e a 2v 

. RESP: x 

=(1,–4,3) e y 

=(25,10,5)

59) Dado o vetor 1v 

=(3,0,1).Determine o vetor v 

=(x,y,z), sabendo-se que v 

é ortogonal

ao eixo OX, que v   1v  = 146 , e que v

  1v 

=4. RESP: )4 6, ,0(v  

60) São dados 1v 

=(3,2,2) e 2v 

=(18,–22,–5), determine um vetor v 

, que seja ortogonal à

1v 

e a 2v 

, tal que forme com o eixo OY um ângulo obtuso e que v  =28.

RESP: v 

=(–8,–12,24)

61)Sendo 1v 

=(–2,1,–1) e 2v 

=(0,y,z), calcule y e z de modo que  1v   2v  = 4 3 e que

o vetor v 

= 1v   2v 

faça ângulos congruentes com os eixos OX e OY. RESP: (0,2,2)

62) Resolva os sistemas abaixo:

a) 

  





2)kj2i4(x

0)kj3i2(x 





  





2)ki2(v

k8i8)kj2i(v )b 



  





k3j2i3)0,3,2(v

2)2,1,3(v )c 

RESP: a)(4,6,-2) b)(2,4,–2) c)(1,3,–1)

63) Dados os vetores u 

=(1,1,1) e v 

=(2,3,4), calcular:

a) A área do paralelogramo de determinado por u 

e v 

;

b)a altura do paralelogramo relativa à base definida pelo vetor u 

.

RESP: a)A= .a.u6 b) .c.u2h 

64)Dados os vetores u 

=(2,1,1) e v 

=(1,1,), calcular o valor de  para que a área do

paralelogramo determinado por u 

e v 

seja igual a 62 u.a.(unidades de área).

RESP: =3

65) A área de um triângulo ABC é igual a 6 . Sabe-se que A(2,1,0), B(–1,2,1) e que o

vértice C pertence ao eixo OY. Calcule as coordenadas de C.

10

RESP: (0,3,0) ou  

  

 0,

5

1 ,0

66)Os vértices de um triângulo ABC são os pontos A (0,1,1), B(2,0,1) e C(1,2,0).

Determine a altura relativa ao lado BC. RESP: .c.u 7

353 h 

67) Determine a área do triângulo ABD, obtido pela projeção do vetor BA sobre o vetor

BC , onde A (5,1,3), B(3,9,3) e C(1,1,2). RESP: ua 9

2128 A 

68) Calcule a distância do ponto P(–2,1,2) à reta determinada pelos pontos M(1,2,1) e

N(0,–1,3). RESP: d= 7

353 u.c.

PRODUTO MISTO

69)Qual é o valor de x para que os vetores a 

=(3,–x,–2), b 

=(3,2,x) e c 

=(1,–3,1) sejam

coplanares. RESP: x=14 ou x=–2

70)Determinar o valor de k para que os pontos A(0,0,3),B(1,2,0), C(5,–1,–1) e D(2,2,k)

sejam vértices de uma mesma face de um poliedro. RESP: k=– 1

71)Determinar o valor de x de modo que o volume do paralelepípedo gerado pelos

vetores u 

= 2 i 

– j 

+k 

e v 

= i 

– j 

e w 

=x i 

+ j 

–3k 

, seja unitário. RESP: x=–5 ou x= –3

72)Sejam os vetores u 

=(1,1,0), v 

=(2,0,1) e v2u3w1  , v3uw 2  e k2jiw3 

 .

Determinar o volume do paralelepípedo definido por 1w , 2w e 3w . RESP: V=44 u.v.

73)Dado um tetraedro de volume 5 e de vértices A (2,1,–1), B(3,0,1) e C(2,–1,3). Calcular

as coordenadas do quarto vértice D, sabendo-se que se acha sobre o eixo OY.

RESP: D (0,–7,0) ou D(0,8,0)

74)São dados os pontos A(1, –2,3), B(2, –1, –4), C(0,2,0) e D(–1,m,1), calcular o valor de

m para que seja de 20 unidades o volume do paralelepípedo determinado pelos

vetores AC,AB e AD . RESP: m=6 ou m=2

75)Determine sobre o eixo OX um ponto P, tal que, o volume do tetraedro PABC seja o

dobro do volume do tetraedro POBC. Dados: O (0,0,0) ,A(1,0,0) , B(0,1,0) e C(0,0,1).

RESP: (–1,0,0) ou  

  

 0,0,

3

1

11

76)Sendo u 

=(1,1,0), v 

=(2,1,3) e w 

=(0,2,–1). Calcular a área do triângulo ABC e o

volume do tetraedro ABCD, onde B=A+u 

. C=A+ v 

e D=A+ w 

.

RESP: S= ua 2

19 ,V= uv

6

5

77)Determine a altura do tetraedro ABCD, onde A(1,3,1), B(0,2,4) ,C(2,1,3) e D(0,6,0).

RESP: .c.u 11

64 h 

78)Determine a distância do ponto D(2,3,3) ao plano determinado pelos pontos A(3,3,1) ,

B(1,1,–3) e C(–1,–3,0). RESP: 58

1745 u.c.

79)Os vértices de um tetraedro são M (0,3,4), N(1,2,2) e Q(2,–1,2) e P é um ponto

pertencente ao eixo coordenado OZ. Calcule:

a)as coordenadas do ponto P de modo que o tetraedro MNPQ tenha volume igual a 1

uv;

b)a área e o perímetro da face NMQ;

c)os ângulos internos da face MNQ;

d)calcule a altura do tetraedro MNPQ, relativa à face MNQ.

RESP: a)P(0,0,0) ou P(0,0,2) b)S= 33 u.a., 2p= 12363  u.c.

c)=300, =900, =600 d) 33

1 u.c.

80)A figura abaixo representa uma pirâmide de base quadrada OABC em que as

coordenadas são O(0,0,0), B(4,2,4) e C(0,6,6), e o vértice V é eqüidistante dos

demais, determine:

a) as coordenadas do vértice D;

b) as coordenadas cartesianas do ponto V, considerando que o volume da pirâmide é

igual a 72 u.v. RESP: a)D(–4,4,2) b) V(–2, –1,7)

12

81)São dados no espaço os pontos A(2,–1,0), B(1,–2,1) e C(1,0,2), determine o ponto D,

tal que DO 

, AO   BO 

e AO   CO 

sejam coplanares, DO   BO 

= –28 e que o volume do

tetraedro OABD seja igual a 14. RESP: D(0,0,–28) ou D(12,24,8)

RETA NO3

82) Estabelecer as equações vetoriais, paramétricas, simétricas e reduzidas das retas nos

seguintes casos:

a)determinada pelo ponto A(1,–2,1) e pelo vetor v 

=(3,1,4);

b)determinada pelos pontos A(2,-1,3) e B(3,0,–2) ;

c)possui o ponto A(1,–2,3) e é paralela à reta definida pelo ponto B(2,0,1) e pelo vetor

diretor v 

=(2,–2,3);

d)possui o ponto M (1,5,–2) e é paralela à reta determinada pelos pontos

A(5,–2,3) e B(–1,–4,3);

e)possui o ponto A(2,1,0) e é paralela à reta de equação 2

1z

3

4y

5

2x :r

 

 

 ;

f)possui o ponto A(–6,7,9) e é paralela ao vetor v 

= (–2,0,–2);

g)possui o ponto A(0,0,4) e é paralela ao vetor v 

=(8,3,0);

h)possui o ponto A(2, –2,1) e é paralela ao eixo OX ;

i)possui o ponto A(8,0,–11) e é paralela ao eixo OZ.

RESP: a) P=(1,–2,1) +m(3,1,4) ,  

 







m41z

m2y

m31x

, 4

1z

1

2y

3

1x  

 

 ,

  





9y4z

7y3x

b) P=(2,–1,3) +m(1,2,–5) ,  

 







m53z

m1y

m2x

, 5

2z y3x 

  ,

  





13x5z

3xy ;

c) P=(1,–2,3) +m(2,–2,3) ,  

 







m33z

m22y

m21x

, 3

3x

2

2y

2

1x  

 

 ,

 

 



y 2

3 z

1yx

;

d) P=(1,5,–2) +m(3,1,0) ,  

 







2z

m5y

m31x

, 2z ; 5y 3

1x 

 ;

13

e) P=(2,1,0) =m(–5,3,2) ,  

 





m2z

m31y

m52x

, 2

z

3

1y

5

2x 

 

 ,

  

 

 

 

2

2z3 y

2

4z5 x

;

f) P=(–6,7,9) =m(1,0,1) ,  

 





m9z

7y

m6x

, 7 y; 9z6x  ;

g) P=(0,0,4) +m(8,3,0) ,  

 

4z

m3y

m8x

, 4z ; 3

y

8

x  ;

h) P=(2,–2,1) = m(1,0,0) ,   



1z

2y ;

i ) P=(8,0,–11) =m(0,0,1) ,   

0y

8x .

83) Determine as equações simétricas da reta que passa pelo baricentro do triângulo de

vértices A(3,4,–1), B(1,1,0) e c(2,4,4) e é paralela à reta suporte do lado AB do

triângulo. RESP: 1

1z

3

3y

2

2x

 

 

 .

84) Os vértices de um triângulo são O (0,0,0) , A(3,4,0) e B(1,2,2). Forme as equações

reduzidas da bissetriz interna do ângulo A Ô B e determine sua interseção com o lado

AB.

RESP:

  

 

z 5

7 y

z 5

7 x

e  

  

4

5 ,

4

11 ,

4

7 P .

85) Os pontos de trisseção do segmento A(4,3,0) e B(–2,–3,3) são M e N. Unindo-os ao

ponto P(0,–1,0), obtêm-se as retas PM e PN . Calcule o ângulo formado pelas mesmas.

RESP:  = arc cos 3

1 ,  700 31'43,6''

86) A reta 3

z

5

4

4

2x :r 

 

 , forma um ângulo de 300 com a reta determinada pelos

pontos A(0,5,2) e B(1,n5,0). Calcular o valor de n. RESP: n=7 ou 1

14

87) Determine as equações da reta r definida pelos pontos A (2,–1,4) e B= 21 rr  , com

 

 





 

 

m2z

m21y

m3x

:r e 2

1z

4

3y

2

1x :r 21 . RESP:

  





2xz

1xy

88) Determinar as equações paramétricas da reta t, que é perpendicular a cada uma das

retas:

a) 2

8z

10

44y2 x:r e 3z

4

y2

2

3x :s

 

 

 

 , e que passa pelo ponto P(2,3,5);

b) 3

z

2-

y-2 4 x:r e 3z3

4

y2

2

2x :s

 

 

 , e que passa pelo ponto P(2,–3,1);

c)   





18x10z

3x2y :r e

  

 

 

 

2

27y6 z

2

1y2 x

:s , e que passa pelo ponto P(3,3,4).

RESP: a)t:  

 







m125z

m53y

m2x

 

 







m61z

m73y

m42x

:t)b c)  

 







m34z

m133y

m43x

:t

80)Estabeleça as equações, em função de x, da reta traçada pela interseção de

r:P=(6,1,0)+m(1,–1,1), com a reta   





5zy

2z3x :s , e que forma ângulos agudos

congruentes com os eixos coordenados. RESP:   





6xz

11xy :t

90) São dadas as retas   





1z2y

1zx :r e

  





5zy

3zx :s e o ponto A(3,–2,1). Calcule as

coordenadas dos pontos P e Q pertencentes, respectivamente a r e a s, de modo que

A seja o ponto médio do segmento PQ. RESP: P(1, –1,0) e Q(5,3,2)

91) Determine o ponto O', simétrico de da origem O dos eixos coordenados, em relação ã

reta 2

4z 1y

1

2x :r

 

 . RESP:

  

3

2 ,

3

5 ,

3

1 'O

92) Determine as coordenadas de A' simétrico de A (4,0,3), em relação a reta

4

2z 1y

2

1x :s

 

 . RESP:

  

 

21

101 ,

21

20 ,

21

2 'A

93) Estabeleça as equações paramétricas da reta traçada pelo ponto A(–1, 4,5) e que é

perpendicular à reta r; P=(–2,1,1) + m(1,–1,2). RESP:  

 







m5z

m24y

1x

:r

15

94)Determine uma equação da reta r que passa pelo ponto A(2,–1,3), e é perpendicular à

reta 1

2z

2

y

3

1x :s

 

 . RESP: P= (2,1,3)+m(13,3,33)

95)Estabeleça as equações da reta s, traçada pelo ponto P(1,3,1), que seja

concorrente com a reta   





2z2y

1z3x :r e seja ortogonal ao vetor  1,0,2v  .

RESP: 2

1_z

1

3y 1x:s 

 

PLANO

96) Determinar a equação geral dos planos nos seguintes casos:

a) passa pelo ponto D(1,–1,2) e é ortogonal ao vetor v 

=(2,–3,1);

b)possui o ponto A(1,2,1) e é paralelo aos vetores kjia   e k2jib

  ;

c) passa pelos pontos A(–2,1,0) , B(–1,4,2) e C( 0,–2,2);

d) passa pelos pontos P(2,1,0),Q(1,4,2) e R(0,2,2);

e)passa pelos pontos A(2,1,5), B(3,1,3) e C(4,2,3);

f) passa pelo ponto E( 1,2,2) e contém os vetores v 

=(2,–1,1) e w 

=( –3,1,2);

g) possui o ponto P(2,1,3) e é paralelo ao plano XOZ;

h) contém as retas 2

1z

2

2y

3

7x :r

 

 

 e

4

5z

3

2y

2

1x :s

 

 

 ;

i) contém as retas 3z1y 2

x :r  e

2

z

2

2y

4

1x :s 

 

 ;

j) que contém as retas 0z, 2

2y

2

2x :s e

4z

ty

t3x

:r  

 

 

 





;

k)contém as retas 4

z

1

y

2

1-x :s e

1x3z

3x2y r 

 

  



 ;

l) passa pela reta 1z 2

y

2

1x 

 e é paralelo à reta

4

4z

1

2y

2

3x  

 

RESP: a):2x3y+z7=0 b):xyz=0 c):12x+2y9z+22=0

d) :12x+2y9z+22=0 e):6x14yz+7=0 f):x+yz5=0

g):y+1=0 h) :2x16y13z+31= 0 i):yz2=0

16

j):4x+4y+3z=0 k):11x+2y5z11=0 l):3x2y2z1=0

97) Determine a equação da reta interseção dos planos, nos seguintes casos:

a)   





01yx

01zy2x b)

  





04z2y3x

03zyx3

c)   





013y3x2

08zy2x d)

  





07zy2x

01zy2x3

RESP: a)r:P=(3,2,0)+m(1,1,1) b) 2

1z 2yx 

 

c) 7

z

2

7

29 y

3

7

2 x

:r  

d) 4

7z 4y

2

x  

98)Forme a equação do plano que possui um ponto M(2,1,3) e que é perpendicular à

reta z 3

1y

2

x :r 

  . RESP: :2x+ 3yz +4=0

99)Dado o ponto P(5,2,3)e o plano :2x+y+z3=0,determinar:

a) a equação paramétrica da reta que passa por P e é perpendicular a ;

b) a projeção ortogonal de P sobre ;

c) o ponto P’ simétrico de P em relação a ;

d) a distância de P ao plano .

RESP: a)

t3z

t2y

t25x

r  

 





 b) I(1,0,1) c)P’(3, 2, 1) d) 62d 

100)Forme a equação do plano mediador do segmento A(1,2,3) e B(3,2,5)

RESP: :x+4z6=0

101)Determinar a equação do plano que contém os pontos A (1,2,2) e B(3,1,2) e é

perpendicular ao plano : 2x+yz+8-0. RESP: :x12y10z5=0

102) Um plano , traçado por P(3,3,1) intercepta os semi-eixos coordenados positivos

OX,OY e OZ, respectivamente nos pontos A,B, e C, tais que ||OB||2||OA||  e

|| OC||3 ||OA||  .Estabeleça a equação geral de . RESP: ;x+2y+3z6=0

103)Determine a equação do plano que contém a reta interseção dos planos

1: 3x–2y–z1=0 e 2: x +2yz7=0 e que passa pelo ponto M(2,0,1).

RESP: :9x+2y5z13=0

17

104)Determinar as equações paramétricas da reta que passa pelo ponto A(-1,0,0) e é

paralela a cada uma dos planos 1: 2x–y–z+1=0 e 2:x+3y+z+5=0.

RESP:  

 





t7x

t3y

t21x

105)Determinar equação geral do plano ,que passa ponto A(4, 1, 0) e é perpendicular

aos planos 1: 2x –y –4z– 6 = 0 e 2: x + y + 2z -3 = 0. RESP: :2x8y+ 3z=0

106)Determinar a equação do plano que contém o ponto A(3,2,1) e a reta

  





07zyx2

01zy2x . RESP: :2x+3y+x+1=0

107) Determinar a equação do plano  , que passa pelo ponto P(2,5,3) e é perpendicular

à reta r, interseção dos planos 1: x2y+z1=0 e 2:3x+2y3z+5=0.

RESP: : 2x+3y+4z31=0

108)Determinar a equação do plano que passa pela reta   





04z3y4x

06z5y2x3 :r , é

paralelo à reta 3

1z

3

5y

3

1x :s

 

 

 . RESP: :3x+2y+5z+6=0

109)Dados os planos 1:2x+y3z+1=0, 2:x+y+z+1=0 e 3:x2y+z+5=0, ache uma

equação do plano que contém 12 e é perpendicular a 3. RESP: :x + y + z +1=0

110)Calcule o volume do tetraedro, cujas faces são os planos coordenados e o plano

:5x+4y10z20=0. RESP: VT= 3

20 u.v.

111)Determine o ponto A', simétrico de A (1,4,2) em relação ao plano : xy+z2 =0.

RESP: R: A'(3,2,4)

112) Determine uma equação da reta t, simétrica de 1

z

2

2y 3x:r

 

  , em relação ao

plano :2x+yz+2=0. RESP: 2

2z 2y

7

1x :s

 

113) Dado o plano 1:2x+5y+3z+3=0 e a reta AB, sendo A (1,1,1) e B(2,2,2), determina a

equação do plano que passa pelo ponto onde a reta AB fura o plano 1 e é paralelo ao

plano 2:x3=0. RESP: : 0 10

3 x 

18

114) Considere as retas r:P=(1,1,0)+t(0,1,1) e zy 2

1x :s  

. Seja A o ponto onde s fura

o plano :xy+z=2, e B e C ,respectivamente, os pontos onde r fura os planos XOZ e

XOY,respectivamente. Calcule a área de triângulo ABC. RESP: S= ua 2

3

115)Determinar a equação simétrica da reta r, que passa pelo ponto M(2,4,1), e pelo

meio do segmento de reta   





05z2y3x3

026z5y4x3 :s ,compreendido entre os planos

1:5x+3y4z+11=0 e 2: 5x+3y4z41=0. RESP: 3

1z

5

5y

2

2x :r

 

 

116) Dados o ponto P(1,31), o plano :x+z=2 e a reta s:P=(2,0,0)+m(1,0,1), obtenha

uma equação da reta r que passa por P, é paralela a  e dista 3 da reta s.

RESP: r:P=(1,3,1)+m(1,0,1)

COORDENADAS POLARES E

TRANSFORMAÇÕES LINEARES

117)Dois dos vértices de um triângulo eqüilátero são os pontos A(0 , 75 0 ) e B( 3, 180 0 ).

Ache as coordenadas polares do terceiro vértice.

RESP: C )120,3( 0 e C’( 3, -2400) ou C’(3,-1200)

118)Lado de um hexágono mede 4 u.c. Determine as coordenadas polares dos vértices

deste hexágono quando seu centro coincidir com o pólo do sistema e um de seus

vértices pertencerem ao eixo polar.

RESP: A (4, 00 ) , B( 4,600) , C( 4,1200), D( 4,1800) ,E( 4,2400) e F( 4,3000)

119)Determine as coordenadas polares dos vértices de um quadrado ABCD, sabendo-se

que o pólo é o ponto O'(1,2), que o eixo polar é paralelo ao eixo OX e que tem o

mesmo sentido deste. Sendo dados as coordenadas cartesianas dos vértices: A (4,2),

B(7,5), C(4.8) e D(1,5). RESP: A (3,00) , B  '3026,53 0 , C( 53 ,63,50 ), D(3,900)

19

120)Num sistema de coordenadas polares são dados os dois vértices  

  

  

9

4 ,3A e

 

  

 

4

3 ,5B do paralelogramo ABCD e o ponto de interseção das diagonais coincide com

o pólo. Achar as coordenadas polares dos outros dois vértices.

RESP:  

  

   

  

  

9

4 3,D e

4 ,5C

121)Determinar as coordenadas polares dos vértices do quadrado ABCD, sabendo-se

que o eixo polar é a reta paralela a diagonal AC, com o mesmo sentido desta, que o

pólo é o ponto médio de BC e que o lado do quadrado mede 6 cm.

RESP: A (3 5 ,161030') , B(3,–1350), C(3,450) e )03108,53(D 0 

122)Transformar as seguintes equações cartesianas em equações polares:

a) x2 + y 2 = 25 b) x2 – y2 = 4 c) ( x2 + y 2 )2 = 4 ( x2 - y 2 ) d) x - 3y = 0

e) y 2 + 5x = 0 f) xy =4 g) x2 + y 2 + 4x - 2y = 5 h) ( x2 + y 2 ) 2 - 18 xy = 0

i) 4y2-20x – 25=0 j) 12x2 –4y2 –24x+ 9 = 0 k) x2+ y2 –2y = 0

Obs.: Somente considere a resposta em que   0.

RESP: a)  = 5 b) 2cos2=4 c) 2 = 4 cos 2  d)  = arctg 1 / 3

e) sen2 + 5 cos = 0 f)2sen2=8 g) 2 + 2 (2 cos  - sen  ) = 5

h) 2 = 9 sen 2  i)=   cos12

5 j)  =

 cos42

3 k) =2sen

123)Transformar as seguintes equações polares em equações cartesianas:

a)  = 4 b)  = 1/ 4  c)  = 8 cos  d)  = 6 sen  + 3 cos 

e)  = 15 sec  f)  (sen  + 3 cos  ) = 3 g)  (2  cos  ) = 4

h) 2 = 2 + cos 2 i)  2 = 4 cos 2  j)  = 4 ( 1 + cos  )

RESP: a) x2 + y2 = 16 b) x = y c)x2 + y2  8x = 0 d) x2 + y2  3x  6y = 0

e) x = 15 f)3xy3=0 g) 3x2 + 4y2 - 8x 16 = 0 h) 4 (x2 + y 2)3 = ( 3x2 + y2 )2

i)( x2 + y2 )2 = 4x2 – 4y2 j) 16( x2 + y2) = ( x2 + y2 4x ) 2

124) Transforme, em relação a um novo sistema de coordenadas de eixos paralelos aos

primeiros e origem conveniente para que na nova equação não figure os termos do 1o

grau, as equações:

a) x2 + y 2 - 6x + 2y - 6 = 0 b) xy –x + 2y – 10 = 0

c) x2 - 4y2 - 2x + 8y - 7 =0 d) x2 + 4 y 2 - 2x - 16 y + 1 = 0

e) 30xy +24x-25y-80=0 f)3x2+ 3y2 –10xy –2x+ 14y+27=0

RESP: a)x’’2 + y’’2 = 16, O'(3,1) b) x’y’=8, O'(2,1) c) x’’2 - 4y’2 - 4 = 0, O'(1,1)

20

d) x’2 +4 y’2 - 16 = 0, O'(1,2) e)x’y’=2 ,O’  

  

 

5

4 ,

6

5

f) O’ ( 2,1) 3x’2+3y’2 10x’y’+32=0 g)  

  

  0,

4

3 O , 041y4yx4x4 22 

125)Transforme as equações abaixo, mediante uma rotação de eixos :

a) x2 + 2 xy + y 2 32 = 0 b) xy 8 = 0 c) 31 x2 + 10 3 xy + 21 y 2 - 144 = 0

d) 6x2 + 26y2 + 20 3 xy - 324 = 0 e)4x2+ 4xy +y2+ 5 x =1

g) 2xy +6x –8y=0 h) 7x2 – 6 3 xy + 13y2 – 16 =0

RESP: a) x’ =  4 =450 b) x’2 - y’2 = 16 =450

c) 9x’2 + 4y’2 - 36 = 0 =300 d) 9x’2 – y’2 – 81= 0 =600

e)5x’2+2x’y’=1,=26,20 g) =450, x'2–y'2 – 2 x’7 2 y’=0

h) = 300, x’2+4y’2– 4=0

CÔNICAS

ELIPSE

126)Achar a equação de uma elipse cujos focos se encontram sobre o eixo das

abscissas, e sabendo-se que:

a) a distância focal é igual a 6 e a excentricidade é 5

3 e  ;

b) seu menor eixo é 10 e a excentricidade e 13

12 e  ;

c) C(0,0), eixo menor igual 6, passa pelo ponto  2,52P  ;

d) focos F1(3,2) e F2(3,8),comprimento do eixo maior 8.

e) C(0,0), 2

1 e  , 

  

2

9 ,3P , ponto da cônica;

f) seus vértices são A1 (2,2), A2(4,2), B1(1,0), B2(1,4);

g) vértices (7,2) e (1,2), eixo menor=2;

h) C(0,0),  1,15P  ponto da cônica, distância focal 8; RESP: a) 16x2 +25y2 −400=0 b) 25x2 +169y2 − 4225=0;

c)036y4x 22

 d) 0207y70x96y7x16 22 

21

e) 0108y4x3 22  f) 04y36x8y9x4 22 

g) 043y36x8y9x 22  h) 020y5x 22 

127)A órbita da Terra é uma elipse, com o Sol em um dos focos. Sabendo-se que o eixo

maior da elipse mede 2.999.338.000 km e que a excentricidade mede 62

1 . Determine

a maior e a menor distância da Terra em relação a Sol.

RESP: MAD =152.083.016 km; med =147.254.984 km.

128)O centro de uma elipse coincide com a origem. O eixo maior é vertical e seu

comprimento é o dobro do comprimento do eixo menor, sabendo-se que essa elipse

passa pelo ponto  

 

 3,

2

7 P , achar sua equação. RESP: 4x2 +y2

−16=0

129)Uma elipse é tangente ao eixo das abscissas no ponto A(3,0) e ao eixo das

ordenadas no ponto B(0,−4). Formar a equação dessa elipse, sabendo-se que seus

eixos de simetria são paralelos aos eixos de coordenadas.

RESP: 9x2 +16y2 −54x+128y+193=0

130)Achar a equação da cônica com centro C(3,1), um dos vértices A(3,2) e

excentricidade 3

1 . RESP: 017y16x54y8x9 22 

131)Determine a equação da elipse de centro C(−2,1), excentricidade 3/5 e eixo maior

horizontal de comprimento 20. RESP: 16x2 +25y2 +64x−50y−1511=0

132)Determine a equação da cônica de C(4,1), um foco (1,1) e excentricidade 3

1 e  .

RESP: 0511y18x64y9x8 22



133)Determine a equação da cônica de vértices A1(1,8) e A2(1,4) e excentricidade 3

2 e  .

RESP: 0151y20x18y5x9 22 

134)Determine a equação da cônica de focos (–1, –3) e (–1,5), e excentricidade 3

2 e  .

RESP: 0166y10x18y5x9 22 

135)Determine a equação da elipse de excentricidade 5

3 , cujos focos são pontos da reta

y 1=0 e sendo B(2, 9) um dos extremos do seu eixo menor.

RESP: 01561y50x64y25x16 22 

22

136)A uma elipse de excentricidade 3

1 , circunscreve-se um retângulo de lados paralelos

aos eixos coordenados da elipse. Calcular a área do retângulo, sabendo-se que seu

perímetro vale  m2238  . RESP: 2m 296A  137)Em cada uma das equações abaixo, determinar as coordenadas dos vértices, focos,

centro, excentricidade, corda focal, parâmetro e as equações das diretrizes:

a) 1 36

y

100

x 22  b) 045y5x9 22  c) 01yx4 22 

d) 25x2 +16y2 +50x+64y– 311=0 e) 16x2 +25y2 +32x–100y–284=0

f) 064y24x32y3x4 22  g) 0144y72x48y9x4 22 

RESP: a)C(0,0), A (±10,0), B(0,±6), F(±8,0), e= 4/5, eixo maior horizontal;

b)C(0,0),A(0,±3),B(± 5 ,0),F(0,±2),e =2/3, eixo maior vertical;

c)C(0,0),A(0,±1),  

 

 

2

3 ,0F ,B(±1/2,0),e= 3 /2, eixo maior vertical;

d) C(−1,−2),A1 (−1,2),A2 (−1,−7), F1(4,0), F2(−1,−5), B1(3,−2), B2 (−5,−2), e =3/5,

eixo maior horizontal;

e) C(−1,2), A1(−6,2), A2 (4,2), F1(3,2), F2(−4,2), B1(−1,−2),B2(−1,6) e =1/2, eixo

maior horizontal;

f)C(4,4), A1(4,0), A2(4,8), F1(4,2), F2(4,6),  4,324B  , 2

1 e  , eixo

maior vertical;

g)C(6,4), A1(12,4), A2(0,4),  4,526F  , 3

5 e  , eixo maior horizontal;

HIPÉRBOLE

138)Determine a equação da hipérbole, nos seguintes casos:

a)de focos F(0,5) e vértices A (0, 3);

b)que tem focos no eixo das abscissas e eixos real e imaginário 10 e 8 ,

respectivamente;

c) de focos F(3,4) e (3,2) e excentricidade e=2;

d)de focos F (1,5) e (5,5) , eqüilátera

e)eixo real horizontal, eqüilátera, de vértices (3,4) e ( 3,4);

23

f) de C0,0),que passa pelo ponto (−5,3), é eqüilátera e de eixo real horizontal;

g)que tem eixo real vertical de comprimento 8 e passa pelo ponto (6,5);

h)eixo real sobre o eixo das abscissas ,distância focal é igual a 10 e eixo imaginário 8;

i)eixo real sobre o eixo das ordenadas, as equações das assíntotas x 5

12 y  e

distância focal 52.

j) eixo real horizontal, distância focal é igual a 6 e a excentricidade 2

3 ;

k) eixo real paralelo ao eixo OX, centro no ponto C(1,3), comprimento do eixo

imaginário é 54 e excentricidade 2

3 ;

l) C(2, – 3), eixo real vertical, passando pelos pontos (3, –1) e (–1,0)( trabalhosa);

m)centro é o ponto C(0,4), um dos focos é (0,1) e um de seus pontos  

  

 9,

3

16 P .

RESP: a) 0144y16x9 22  b) 0400y25x16 22 

c) 051y24x24y12x4 22  d) 051y20x8y2x2 22 

e) 025x6yx 22  f) 16yx 22 

g) 064y4x 22  h) 0144y9x16 22 

i) 014400y25x144 22  j) 020y4x5 22 

k) 0111y24x10y4x5 22  l) 025y48x20y8x5 22 

m) 0112y128y9x16 22 

139)O centro de uma cônica está na origem, seu eixo real encontra-se ao longo do eixo

OY e cujas assíntotas são as retas x 4

1 y  . Determinar a equação da cônica, se

seus vértices são os pontos A(0,2). RESP: 064y16x 22 

140)Determine a equação da hipérbole que tem como uma assíntota, a reta

0y23x2  eixo horizontal e passa pelo ponto (3,1). RESP:09y9x2 22 

141)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 2x+y−3=0 e

2x−y−1=0, eixo horizontal e passa pelo ponto (4,6). RESP:

08y2x8yx4 22



142)Determine a equação da hipérbole que tem como assíntotas, as retas 3x4y+16=0 e

3x+4y16=0, eixo vertical e que passa pelo ponto  

  

 9,

3

16 .

RESP:0112y128y16x9 22



24

143)Determinar a equação reduzida da hipérbole, cujo eixo real tem por extremos os

focos da elipse 16x2 +25y2 −625=0 e cuja excentricidade é o inverso da

excentricidade da elipse dada. RESP: 0225y9x16 22 

144)Os focos de uma hipérbole coincidem com os da elipse 1 9

y

25

x 22  Forme a equação

da hipérbole, considerando-se que sua excentricidade é e= 2.

RESP: 012yx3 22 

145)Determine a equação da elipse de centro na origem, cujos vértices coincidem com os

focos da hipérbole 02304y36x64 22  e cujos focos são os vértices da hipérbole.

RESP:0400y25x16 22 

146)Em cada uma das equações de hipérbole abaixo, determine as coordenadas dos

vértices, focos, centro a excentricidade, corda focal, parâmetro, equação das

diretrizes e das assíntotas.

a) 1 64

y

100

x 22  b) 9x2 −16y2 =144

c)4x2 −5y2 +20=0 d) x2 −y2 =1

e)x2 −4y2 +6x+24y−31=0 f)16x2 −9y2 −64x−18y+199=0

g)9x2 −4y2 −54x+8y+113=0 h) 063y24x18y4x9 22 

RESP: a) C(0,0),A(10,0),  0,412F  , 5

41 e  ,eixo real horizontal,

5

4 y:ass  ,

b)C(0,0), A(4,0), F(5,0), 4

5 e  , eixo real horizontal, x

4

3 y:ass  ;

c)C(0,0), A(0,2), F(0,3), 2

3 e  , eixo real vertical, x

5

52 y;ass  ,

3

4 y  ;

d)C(0,0), A(1,0),  0,2F  , 2e  , eixo real horizontal, ass: y=x;

e)C(3,3),A1(1,3), A2(5,3),  3,53F  , eixo real horizontal, ass1:x2y9=0,ass2:x +

2y3=0,;

f)C(2,1),A1(2,3), A2(2,3), F1(2,4), F2(2,6), eixo real vertical

,ass1:4x3y5=0,ass2:4x3y5=0;

g)C(3,1), A1(3,4), A2(3,2),  131,3F  , ass1:3x2y1=0, ass2:3x\=2y5=0;

h)C(1,3), A1(1,3),A2(3,3),  3,131F  , ass1:3x2y3=0 e ass2:2x+2y-9=0,

2

13 e 

25

PARÁBOLA

147)Determinar a equação da parábola:

a) de vértice V(6,−2) , cujo eixo é y +2=0 e que passa pelo ponto (8,2);

b) de foco F(3,3) e diretriz y−1=0;

c) de vértice V(0,3) e diretriz x + 5=0;

e) de foco F(3,3) e diretriz y−5=0;

g)V(3,6),eixo de simetriaparalelo ao OY, e que passa pelo ponto (3,10);

i) F(4,3), diretriz 01y  ;

k) Eixo // OY,  

  

  2,

2

3 V passa pelo ponto M(1,1);

l) V(4, 1), eixo: y+1=0 e passa pelo ponto (3, 3)

n) F(3,1) e diretriz 01x2:d  ;

o) V(4,3) e F(4,1)

p) V(1,3), eixo de simetria paralelo ao eixo dos x, passa pelo ponto P(1,1)

q) V(3,2) , eixo de simetria y+2=0, passa pelo ponto P(2,2)

s) defoco F(–7,3) e diretriz x+3=0;

v) F(5,2), diretriz 07x  ;

RESP: a) 052x8y4y 2  b) 017y4x6x2 

c)09X20x6y2  e) 07y4x6x 2 

g) 063y9x6x2  i) 024y8x8x 2 

k) 025yx36x12 2  l) 015x4y2y2 

n) 039x20y8y4 2  o) 08y8x8x 2 

p) 01x8y6y 2

 q) 044y4x16y 2



s)049y4x6y2  v) 020y4x4y2 

148)Determine a equação da parábola que tem eixo de simetria horizontal que passa

pelos pontos A(5,5), B(3,3) e C(3,1). RESP:015y2x4y2  ; V(4,-1), p=-2

149)Determine os pontos de interseção da hipérbole 020y4x 22  com a parábola

0x3y 2  . RESP: 30,10  e  6,2  150)Achar a equação da parábola, cuja corda focal liga os pontos (3,5) e (3,3).

RESP: 09x8y2y2  ou 039x8y2y2 

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