Geometria projetiva - UFC, Notas de estudo de Matemática
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Geometria projetiva - UFC, Notas de estudo de Matemática

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Introdução à Geometria Projetiva

Com tratamento vetorial

Abdênago Alves de Barros Plácido Francisco de Assis Andrade

Universidade Federal do Ceará Centro de Ciências

Departamento de Matemática

i

Prefácio

Este livro foi elaborado para ser um texto de ”Introdução à Geometria Proje- tiva”, disciplina obrigatória para os alunos do terceiro peŕıodo dos cursos de Li- cenciatura e de Bacharelado de Matemática da Universidade Federal do Ceará. O pré-requisito é Geometria Anaĺıtica com tratamento vetorial. Foi dentro desta mol- dura que foi elaborado, mas ele é auto suficiente no que diz respeito à sua leitura. A escolha do tratamento vetorial nos obriga a uma rápida introdução de Álgebra Linear. Para isto, escolhemos um extrato do livro [An2].

Os tópicos apresentados consideram o desenvolvimento da Geometria do ponto de vista axiomático, dos gregos até Hilbert, embora nos fixemos na construção de modelos, fugindo da apresentação sintética. Subjacente à estrutura do texto fica a trajetória histórica. Os autores não são especialistas em História da Matemática, portanto, para elaboração desta parte coletamos as informações em vários e, acre- ditamos, bons livros sobre o assunto. Com isto, tentamos transmitir ao estudante o esforço desprendido na sistematização da Geometria ao longo de milênios, bem como tentamos valorizar o estudo da História da Matemática, relegada a um se- gundo plano nas nossas Graduações.

A apresentação deixa claro as idéias e os conceitos surgidos ao longo do de- senvolvimento da Matemática. Além disto, o tratamento vetorial torna o conheci- mento accesśıvel a todos estudantes dos primeiros anos da Universidade nas áreas de Ciências Básicas ou Tecnológicas.

O conteúdo está programado para ser exposto em 50h, sem atropelos. O desen- volvimento culmina com o elegante estudo de cônicas utilizando o Plano projetivo.

Agradecemos aos Professores do Departamento de Matemática da UFC, José Afonso de Oliveira, Francisco Pimentel, Aldir Brasil, Fernando Pimentel e, par- ticularmente, ao Professor Antônio Caminha pelas correções sugeridas. Ficamos lisonjeados e em débito com os organizadores da XIII Escola de Geometria 2004- USP pelo convite para lecionar um minicurso e pela publicação do texto.

Abdênago Alves de Barros

Plácido Francisco de Assis Andrade

Fortaleza, 23 de maio de 2004

Sumário

I HISTÓRIA E ARQUITETURA DO TEXTO 1

1 História 2 1.1 Geometria clássica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2 1.2 Os Elementos de Euclides . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5 1.3 Os Axiomas de Hilbert . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 8

2 Arquitetura do texto 11 2.1 Estrutura do livro . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 11 2.2 Genealogia . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 12 2.3 Isometria e Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 13 2.4 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 14

II ÁLGEBRA LINEAR 18

3 O espaço vetorial Rn 19 3.1 O conjunto Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19 3.2 O espaço vetorial Rn . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21 3.3 Subespaço vetorial . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24 3.4 Independência linear . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27 3.5 Base e dimensão . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29 3.6 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31

4 Produto interno 33 4.1 Produto interno e norma . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 33 4.2 Ângulo entre vetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 34 4.3 Produto vetorial em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36

5 Transformações lineares 39 5.1 Transformações lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39

SUMÁRIO iii

5.2 Matriz . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 5.3 Operações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 43 5.4 Invertibilidade . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44 5.5 Operadores lineares . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45 5.6 Autovalores e autovetores . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46 5.7 Teorema espectral . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 47

6 Isometrias do Rn 49 6.1 Translações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50 6.2 Operadores ortogonais . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51 6.3 Classificação das isometrias . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53 6.4 *Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55

III GEOMETRIA EUCLIDIANA 56

7 Geometria Euclidiana 57 7.1 Esferas e hiperplanos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 57 7.2 Um modelo de plano Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59 7.3 Um modelo de espaço Euclidiano . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 62

IV GEOMETRIA ELÍPTICA (dupla) 65

8 Geometria Eĺıptica 66 8.1 Distância esférica . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67 8.2 Plano eĺıptico . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69 8.3 Retas eĺıpticas orientadas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72 8.4 Plano eĺıptico dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 73 8.5 Isometrias de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 74 8.6 Congruência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75

9 Trigonometria eĺıptica 78 9.1 Lei dos senos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79 9.2 Área de triângulos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 81 9.3 *Triângulo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84

V GEOMETRIA PROJETIVA E GEOMETRIA AFIM 86

10 Geometria Projetiva 87 10.1 O plano projetivo RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 88

iv SUMÁRIO

10.2 Relação entre RP2 e S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89 10.3 Retas projetivas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90 10.4 Plano projetivo dual . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.5 Incidência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 92 10.6 Geometria Afim . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95 10.7 Retas afins . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96 10.8 Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99

11 Colineação 100 11.1 Operador linear e colineação . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 100 11.2 Construção de colineações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102 11.3 Teorema fundamental . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 105 11.4 Teorema de Papus . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110 11.5 Teorema de Desargues . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 113

12 Cônicas 115 12.1 Cones em R3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 115 12.2 Quádricas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 118 12.3 Correlações . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121 12.4 Polaridades . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122 12.5 Cônicas em RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124 12.6 Retas tangentes . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127 12.7 Construindo cônicas . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129 12.8 Teorema de Pascal . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133 12.9 Teorema de Brianchon . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 136 12.10Leitura complementar . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 137

VI APÊNDICE 140

13 Partição de conjuntos 141 13.1 Particionando conjuntos . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141 13.2 Relação de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144 13.3 Classe de equivalência . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 145

Lista de śımbolos

Conjuntos

R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Conjunto dos números reais

Rn . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço vetorial das n-uplas ordenadas

E1 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta Euclidiana

E2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano Euclidiano

E3 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Espaço Euclidiano

S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera unitária

S2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Esfera unitária dual

RP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano projetivo

RP2. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plano projetivo dual

AP2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Plano afim

Letras gregas

α . . . . . . . . . . . . . . . alfa

β . . . . . . . . . . . . . . beta

γ, Γ . . . . . . . . . . . gama

δ, ∆ . . . . . . . . . . . delta

, ε . . . . . . . . . . epsilon

ζ . . . . . . . . . . . . . . . zeta

η . . . . . . . . . . . . . . . . eta

θ, Θ, ϑ . . . . . . . . . .teta

ι . . . . . . . . . . . . . . . . iota

κ . . . . . . . . . . . . . . .kapa

λ, Λ . . . . . . . . . lambda

µ . . . . . . . . . . . . . . . mu

ν . . . . . . . . . . . . . . . . .ni

ξ, Ξ . . . . . . . . . . . . . qui

ø . . . . . . . . . . . . . . . . . . o

π, Π,  . . . . . . . . . . . pi

ρ,  . . . . . . . . . . . . . . . rô

σ, Σ, ς . . . . . . . . sigma

τ . . . . . . . . . . . . . . . . tau

υ, Υ . . . . . . . . . upsilon

φ, ϕ, Φ . . . . . . . . . . . . fi

ψ, Ψ . . . . . . . . . . . . . psi

ω, Ω . . . . . . . . . . ômega

Śımbolos clássicos

v = (x, y) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R2 v = (x, y, z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor v ∈ R3 〈u, v〉 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Produto interno canônico de u, v ∈ Rn ‖v‖ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Norma de um vetor v ∈ Rn d(p, q) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Distância entre os pontos p, q ∈ Rn θ(u, v) . . . . . . . . . . . . .Distância entre u, v ∈ S2; ângulo entre os vetores u, v ∈ R3 [v1, v2, ..., vk] . . . . . . . . . . . . . . . Matriz n× k cujas colunas são os vetores vi ∈ Rn [A], [B], [C] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Matrizes com entradas reais [A(e1), A(e2), ..., A(en)] . . . . . . . . . Matriz canônica de uma transformação linear det[A] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Determinante da matriz quadrada [A] v = (x : y : z) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Ponto projetivo v ∈ RP2  . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Partição de um conjunto . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Relação de equivalência A/ ∼ . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Espaço quociente por uma relação de equivalência P(A) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .O conjunto das partes de um conjunto A

Śımbolos especiais

[[v1, v2, ..., vn]] . . . . . . . . . . . . . . . Subespaço vetorial gerado por v1, v2, ..., vn ∈ Rn ηuv = u× v . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Produto vetorial de u, v ∈ R3 η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Vetor em R3 normal a um plano Γη . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plano em R3 contendo a origem com vetor normal η Γη(p) . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Plano em R3 contendo p com vetor normal η rη = Γη ∩ S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta eĺıptica: grande ćırculo de S2 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . Reta projetiva: subconjunto de RP2

η . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .Reta projetiva: elemento do projetivo dual RP2

Parte I

HISTÓRIA E ARQUITETURA DO TEXTO

Caṕıtulo 1

História

Para deixar claro a estrutura didática na qual o texto está desenvolvido, apre- sentaremos uma breve história da Geometria. 1

1.1 Geometria clássica

A palavra Geometria tem etimologia grega e significa ”medição de terras”. Na Antiga Mesopotâmia e no Antigo Egito, o conhecimento geométrico resumia-se a um aglomerado de procedimentos práticos de mensuração aplicados, principalmente, na agricultura. Eram cálculos emṕıricos de comprimentos, áreas e volumes com o emprego de fórmulas, muitas delas erroneamente utilizadas.

Devemos aos gregos a transformação da Geometria de um conhecimento rudi- mentar e prático num dos ramos da Matemática Pura. Eles tiveram a iniciativa de abstrair as idéias do contexto f́ısico para o contexto puramente mental, processo que levou séculos para ser completado, aproximadamente de 600 aC até 300 aC.

O mais antigo grego conhecido que adotou tal postura foi o mercador e enge- nheiro Tales de Mileto (± 624 aC − ± 547 aC), considerado o primeiro filósofo,

1Este caṕıtulo está baseado nos livro de Boyer [BCB], Heath [Hea], Wallace & West [W-W] e no site [web1].

1.1. GEOMETRIA CLÁSSICA 3

cientista e matemático grego. Ele empregou argumentos lógicos para demonstrar proposições básicas de Geometria, muitas delas de sua autoria, que não tinham importância alguma na medição de terras. Tales foi a origem de uma escola que perdurou por um século e supõe-se que ele tenha aprendido em suas viagens os ru- dimentos de Geometria com os povos da Mesopotâmia e Egito. É creditado a ele a demonstração de resultados tais como:

◦ um ćırculo é bissectado por um diâmetro; ◦ os ângulos da base de um triângulo isósceles são iguais; ◦ um ângulo inscrito num semićırculo é um ângulo reto; ◦ os ângulos opostos pelos vértices são iguais.

Pitágoras de Samos (± 569 aC − ± 475 aC), possivelmente um aluno da escola de Tales, esta- beleceu uma sociedade filosófica e religiosa que muito contribuiu para a formalização da Geo- metria com trabalhos nas Teorias de paralelas, figuras similares e uma combinação de Teoria de números e misticismo. O próprio Pitágoras in- troduziu as palavras Filosofia (amor à sabedoria) e Matemática (o que é aprendido). Após a morte do filósofo, a escola Pitagórica dividiu-se em duas facções. Uma, formada por aqueles que aceita- vam a palavra do ”mestre” como uma revelação e a outra, formada por aqueles seguidores que de- sejavam ”o novo aprendizado”, os matemáticos.

Membros da última facção desenvolveram novos resultados de Matemática exclu- sivamente por dedução lógica, transformando-a numa Ciência Dedutiva. Sua dou- trina sobreviveu por séculos. Ainda na década de 1980 existiam seguidores mı́sticos em Fortaleza, Ceará, que realizavam suas reuniões num velho casarão do centro da cidade, na Rua Major Facundo, cuja sede era chamada de Escola Pitagórica.

O avanço seguinte foi estabelecido por outro grego, um professor de Geometria, Hipocrates de Chios (± 470 aC, Grécia − ± 410 aC), ao escrever um livro texto, Elementos de Geometria, no qual os teoremas eram arranjados numa sequência onde os subsequentes eram provados tendo como base os teoremas anteriores. Tudo indica que sua obra está contida nos Livros I e II dos Elementos de Euclides. Com ele têm-se o ińıcio da sistematização do conhecimento Matemático, estabelecendo uma estrutura de apresentação que sobrevive até hoje. Hipócrates de Chios contribuiu com teoremas sobre circunferências.

Por esta mesma época, foi fundada em Atenas pelo filósofo Platão (± 427 aC− ± 347 aC), a famosa Academia, uma instituição que congregava os maiores sábios

4 CAPÍTULO 1. HISTÓRIA

da época. Sobre seu portão estava escrito:

Não permitam a entrada de quem não saiba geometria.

Com a Academia, a Matemática obteve o status de Ciência Pura, seus membros não tinham a preocupação em aplicar os conhecimentos adquiridos no seu trabalho e a ênfase era no desenvolvimento do pensamento matemático e filosófico.

Um dos membros da Academia, dos 17 aos 30 anos, foi o filósofo Aristóteles da Macedônia (± 384 aC - ± 322 aC). A contribuição de Aristóteles para os fundamen- tos da Matemática foi indireta, construiu uma teoria de afirmações que começava com noções comuns, noções especiais, definições e um tratado sobre lógica em Filo- sofia, estabelecendo a base para toda a Matemática grega. Aristóteles fundou um centro cient́ıfico e filosófico chamado Liceu. Nos seiscentos anos seguintes foram criadas centenas de Escolas pela região grega mas nenhuma delas comparável em importância com essas duas, exceto o Museu de Alexandria.

Outro membro da Academia, Eudoxos de Cnido (± 408 aC − ± 355 aC), fez a moldura de como deve ser uma teoria Matemática, sistematizando formalmente o método axiomático inspirado no trabalho de Aristóteles. Sua mais notável con- tribuição foi compreender as quantidades incomensuráveis que tanto pertubou os pitagóricos. Aceita-se que seu trabalho em Matemática é a base dos Livros V, VI e XII dos Elementos de Euclides. A Academia foi um centro no qual vários de seus membros se destacaram na história da Matemática e, em particular, na Geometria:

Teodoro de Cirene (± 465 aC − ± 398 aC), Teaetetus (± 417 aC − ± 369 aC), Meneacmus (± 380 aC − ± 320 aC) , Dinostrato (± 390 aC − ± 320 aC), irmão de Meneacmus, Autólicos de Pitane (± 360 aC − ± 290 aC ).

Com a morte de Alexandre da Macedônia, o Grande, (356 aC 323 aC) aluno de Aristóteles e Meneacmus, o território conquistado foi dividido entre seus generais. Alexandria, cidade fundada por ele, ficou no território governado por Ptolomeu I,

1.2. OS ELEMENTOS DE EUCLIDES 5

terras correspondentes ao atual Egito. Este general criou o Museu de Alexandria,2

e transformou-o numa Universidade insuperável em seu tempo, em termos de co- nhecimento. Para dar uma grandeza da importância do centro, not́ıcias da época falam numa biblioteca de 500 mil volumes. Muito dos intelectuais mudaram-se para ali, entre eles Euclides.

1.2 Os Elementos de Euclides

Toda esta construção da mente humana, feita ao longo de 300 anos, ficou registrada numa obra monumental intitulada Elementos, constitúıda de 13 livros (caṕıtulos). Nela, estão demonstradas 465 proposições deduzidas de um sistema axiomático numa forma didática, cujo único rival em número de traduções é a B́ıblia. Tal obra expõe sistematicamente toda a Matemática básica conhecida em seu tempo. Devemos tal façanha ao matemático grego Euclides (± 330 aC - ± 270 aC) cuja biografia é praticamente desconhecida. Provavelmente estudou na Academia e mudou-se para Alexandria a convite de Ptolomeu I para ser o primeiro professor de Matemática do Mu- seu. Escreveu cerca de doze obras mas somente cinco delas resistiram ao tempo. Seu texto intitulado Óptica (Stoichia) foi um dos primeiros trabalhos escritos sobre perspectiva. A t́ıtulo de ilustração listaremos os t́ıtulos dos Livros que compõem a obra de Euclides, que não é apenas uma simples compilação de resultados conheci- dos; supõe-se que várias proposições e provas são do próprio Euclides e, possivelmente, algumas delas foram acrescentadas posterior- mente. A obra não trata apenas de Geometria, inclui também resultados de Aritmé- tica. No Livro IX ficou para a posteridade uma das mais belas e elegantes provas da Matemática, a prova do teorema: Existem infinitos números primos. Certamente, um autor de uma obra como os Elementos deveria ser um matemático de primeira linha. A lenda descreve-o como um professor excepcional, sendo caricaturado na figura de um velhinho bondoso. Sua proposta didática para o ensino da Matemática foi espetacular. Ainda hoje, 2300 anos depois, é quase que integralmente adotado nas Escolas de todo o mundo.

ELEMENTOS Geometria Plana: I. Fundamentos da geometria pla- na. II. A Geometria de retângulos. III. A geometria do ćırculo. IV.

2Local dedicado às nove musas gregas: Caĺıope (Poema épico, a musa mais importante), Clio (História), Erato (Poemas de amor), Eutherp (Música), Melpomene (Tragédia), Poĺınia (Música sagrada), Therpśıcore (Dança), Talia (Comédia), Urânia (Astronomia).

6 CAPÍTULO 1. HISTÓRIA

Poĺıgonos regulares no ćırculo. V. A teoria geral de magnitudes em proporções. VI. A geometria plana de figuras similares. Teoria dos números: VII. Aritmética básica. VIII. Números em proporções. IX. Números em proporções; a teoria de números pares e ı́mpares, números perfeitos. Números irracionais: X. Segmentos de reta incomensuráveis. Geomeria Sólida: XI. Fundamentos da Geometria sólida. XII. Áreas e volumes; método de Eudoxos da exaustão. XIII. Os sólidos de Platão.

O aspecto que nos interessa é o sistema axiomático adotado por Euclides:

1. Noções comuns

a) Coisas que são iguais a uma mesma coisa também são iguais; b) Se iguais são adicionados a iguais, os totais são iguais; c) Se iguais são subtráıdos de iguais, os restos são iguais; d) Coisas que coincidem uma com a outra são iguais; e) O todo é maior que qualquer uma de suas partes.

2. Axiomas da Geometria Euclidiana plana3

i) Incidência: pode-se traçar uma reta ligando quaisquer dois pontos;

ii) Pode-se continuar qualquer reta finita continuamente em uma reta;

iii) Pode-se traçar um ćırculo com qualquer centro e qualquer raio;

iv) Todos os ângulos retos são iguais; v) Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar

uma única reta paralela à reta dada.

3. Definições

i) 23 definições que dizem respeito a ponto, reta, ângulo, ćırculo, triângulo, quadrilátero, etc.

A escola de Alexandria sobreviveu até 450 dC e muito contribuiu com o desenvol- vimento da Geometria pós-Euclides, sendo seu maior expoente o ex-aluno siciliano

3O quinto postulado é conhecido como Axioma de Playfair. No livro Elementos é posto um axioma equivalente: se uma reta ao cortar duas outras, forma ângulos internos, no mesmo lado, cuja soma é menor do que dois ângulos retos, então as duas retas, se continuadas, encontra-se-

ão no lado onde estão os ângulos cuja soma é menor do que dois ângulos retos.

1.2. OS ELEMENTOS DE EUCLIDES 7

Arquimedes de Siracusa (287 aC 212 aC) considerado um dos três maiores ma- temáticos de todos os tempos, junto com o inglês Isaac Newton (1643 1727) e o alemão Johann Carl Friedrich Gauss (1777 1855). Seu método para cálculo de áreas guarda muita semelhança com o Cálculo Integral utilizado nos dias atuais.

Outros notáveis do Museu foram o ex-aluno Apolonius de Perga (262 aC - 190 aC), com o estudo das cônicas, e um professor do Museu, Papus de Alexandria (290 dC 350 dC) que ampliou o trabalho de Euclides, com resulta- dos cujo esṕırito era totalmente diferente do que foi feito até então, demonstrando teoremas novos que diziam res- peito apenas aos axiomas de incidência. Papus foi o último grande geômetra grego e seu trabalho é tido como a base da Geometria Projetiva.

A morte de Hipátia de Alexandria (± 370 dC − ± 415 dC) professora do Museu e primeira mulher a destacar-se no es- tudo da Matemática, marca os ińıcios do decĺınio daquele centro como pólo intelectual e do peŕıodo das trevas para as civilizações ocidentais. Hipátia teve morte cruel, foi descar- nada com conchas de ostras e queimada em praça pública por uma turba de cristãos incentivada pelo Patriarca de Alexandria, Cirilo.

Cem anos depois da morte de Hipátia, em 527 dC, a Academia Platônica de Atenas já com 900 anos, bem como outras escolas, foi fechada e seus membros dispersos por Justiniano, Imperador Romano Católico. E por muitos séculos o de- senvolvimento da Matemática esteve a cargo de outras civilizações, como a Árabe cuja maior contribuição foi na Álgebra. O conhecimento geométrico ficou, prati- camente, estagnado e esquecido por dez séculos. Acredita-se que com a fuga dos professores gregos para a Pérsia, a civilização Árabe tomou o impulso relatado nos livros de História.

8 CAPÍTULO 1. HISTÓRIA

1.3 Os Axiomas de Hilbert

Dezoito séculos depois da publicação dos Elementos (1482), em plena Renascença, começaram a surgir as primeiras traduções dos Elementos para as ĺınguas européias modernas, passando aquela obra a receber um estudo cŕıtico pelos interessados.

Com a retomada do estudo dos Elementos de Euclides surgiram vários resultados surpreendentes que diziam respeito apenas à idéia de incidência. Por exemplo, Girard Desargues (1591 1661) e Blaise Pascal (1623 1662) demonstraram muitas propriedades não métricas de cônicas que eram bem diferentes daquelas examinadas por Apolônio dezoito séculos antes. O estudo de geometrias com poucos axiomas perdurou por mais dois séculos, às vezes de forma esporádica e desorganizada, outras com intensidade e imaginação.

Como pano de fundo ficava o postulado das paralelas, a secular dúvida se ele era ou não um axioma Euclidiano independente dos demais, sendo o mais instigante tópico de interesse dos geômetras. Muitos acreditaram que podia ser um teorema. Não é! Ao longo da história muitas demonstrações, erradas é claro, foram apresen- tadas, inclusive por matemáticos importantes em sua época. Ainda no tempo de Euclides, Ptolomeu I acreditou que tinha dado uma demonstração para o Axiomas das Paralelas e tudo leva a crer que o próprio Euclides ficou relutante em aceitá- lo como postulado, utilizando-o apenas a partir da 29a proposição dos Elementos. Algumas tentativas foram dramáticas, como aquela feita pelo padre jesúıta italiano Giovanni Saccheri (1667 1773). Simplesmente ele demonstrou todos os resulta- dos básicos da hoje chamada Geometria hiperbólica, mas não teve a ousadia para acreditar que poderiam existir outros tipos de modelos geométricos para a Natureza que não a Geometria Euclidana.

Na metade do século XIX já tinham sido coletadas várias hipóteses assumi- das por Euclides e utilizadas nas suas argumentações sem que tivessem tido uma demonstração ou uma axiomatização anterior. Listemos algumas delas.

4. Hipóteses não mencionadas mas utilizadas por Euclides

α) Retas são conjuntos ilimitados; β) Vale o postulado de Dedekind: as retas são cont́ınuas; γ) No axioma i) a reta que podemos traçar ligando

dois pontos é única; δ) No axioma ii) pode-se continuar uma reta de

uma única maneira; ) Axioma de Pasch: sejam A, B e C três pontos não coline-

ares e r uma reta que não contém nenhum destes pontos. Se r corta o segmento AB então ela também corta o segmento BC ou o segmento AC.

1.3. OS AXIOMAS DE HILBERT 9

Em 1898-99, o matemático alemão David Hilbert (1862 1943) apresentou um sistema de axiomas completo para a Geometria Euclidiana plana e espacial numa série de con- ferências na Universidade de Göttingen. Isto significa que todos os resultados dos Elementos permaneciam válidos as- sumindo seus postulados. Seu sistema axiomático é um dos marcos na História da Matemática pois organiza os fundamentos da Geometria e Análise. A comparação mais próxima que pode ser feita é com a organização ocorrida na Álgebra ao ser introduzido o conceito de grupo.

Apresentaremos a seguir um extrato dos axiomas para a chamada Geometria Euclidiana plana, deixando seu detalhamento para a seção Leitura Complementar no final do próximo caṕıtulo. É conveniente que o leitor passe uma rápida lei- tura na lista completa dos axiomas para fixar e compreender melhor os termos que utilizaremos abaixo como também é conveniente que tenha em mente os seguintes fatos.

1. A posśıvel existência de um conjunto não vazio denotado por E2, que não é chamado de conjunto mas de plano, termo listado como indefinido no sistema axiomático.

2. Elementos do plano, que não são chamados de elementos, mas de pontos, portanto outro termo indefinido.

3. Subconjuntos de E2 chamados retas, termo indefinido. Quando nos referimos a uma reta espećıfica denotaremos esta reta por E1.

Observe que substitúımos termos indefinidos por outros, tais como conjunto, elemento, etc. As explicações acima são apenas para compreender o sistema, mas, certamente, são redundâncias.

I. Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence, está entre, congruência.

II Axiomas de Incidência

i) Para quaisquer dois pontos existe uma única reta que contém estes pontos.

ii) Existem pelo menos três pontos que não pertecem a uma mesma reta.

III Axiomas de Ordem

i) São estabelecidos quatro axiomas que dizem respeito à orde- nação dos pontos de uma reta.

IV Axiomas de Congruência

10 CAPÍTULO 1. HISTÓRIA

i) São estabelecidos cinco axiomas que dizem respeito à con- gruência de ângulos, segmentos e triângulos.

V Axioma das paralelas

i) Por um ponto fora de uma reta pode-se traçar uma única reta paralela à reta dada.

VI Axiomas de Continuidade

i) Completude de uma reta. ii) Propriedade Arquimediana de uma reta.

Vários outros sistemas axiomáticos equivalentes ao de Hilbert foram propostos. Dois deles se des- tacam. Aquele estabelecido por George David Birkhoff (1864 - 1944), com forte ênfase no con- ceito de distância, e um outro conhecido pela sigla SMSG (School Mathematics Study Group) feito na década de 1960 por uma equipe de pro- fessores americanos dirigidos por Edward G. Be- gle. Aqui, mais uma vez fatos poĺıticos interfe- rem nos caminhos da Matemática.

Com o lançamento do primeiro satélite artificial pela extinta União Soviética, o Governo Americano decidiu reformular o ensino de Ciências nas escolas, nomeando e financiando grupos de estudos para elaborar as propostas da reforma. SMSG foi um dos grupos.

Logo após a fixação dos axiomas de Hilbert, o matemático americano Oswald Veblen (1880 1960) estabeleceu os axiomas da Geometria Projetiva na sua obra Projective Geometry em conjunto com John Wesley Young. Atualmente, o inglês H. M. S. Coxeter (1907 ) é considerado o maior geômetra sintético, tendo vários livros publicados na área.

Caṕıtulo 2

Arquitetura do texto Um dos nossos interesses ao apresentar o sistema axiomático de Hilbert é deixar claro como estarão organizados ao longo do livro os tópicos que estu- daremos. Daremos a seguir uma visão rápida da estrutura didática escolhida. Assumiremos que o leitor está familiarizado com os principais resulta- dos de Geometria Euclidiana, pois as outras Ge- ometrias serão estudadas estabelecendo analogias com ela.

2.1 Estrutura do livro

A primeira grande pergunta que surge é saber se existe um conjunto que satisfaça os axiomas de Hilbert. O próprio sistema axiomáti- co já apresenta a resposta positiva.

Primeiro. O conjunto dos números reais, R, pode ser considerado uma reta Euclidiana modelo. Os grupos de axiomas de ordem, continuidade e congruência, permitem estabelecer uma relação biuńıvoca entre o conjunto dos números reais e os pontos de qualquer reta E1. Assumiremos a identificação pontos de uma reta e números reais, como é apresentado aos estudantes do Ensino Médio, sem nenhuma formalização ou rigor.

Segundo. O produto interno canônico no espaço Rn, n = 2, 3, é uma ferramenta essencial, pois possibilita precisar vários termos indefinidos, como reta, congruência, etc. bem como utilizar processos algébricos para verificar que aqueles conjuntos satisfazem, de fato, os axiomas de Hilbert. O produto interno seria o equivalente à régua e ao transferidor, simultaneamente. Como a linguagem escolhida para a apresentação do texto foi a linguagem vetorial iniciamos com um caṕıtulo de

12 CAPÍTULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO

Álgebra Linear.

Com isto, surge a Geometria Anaĺıtica, que não é um ramo da Geometria como o termo nos induz a pensar, mas um poderoso método para solucionar problemas. Fixado um sistema de eixos cartesianos, podemos fazer uma identificação canônica entre um plano Euclidiano E2 com o conjunto algébrico R2 e entre um espaço Euclidiano E3 com o R3. Tais identificações permitem transcrever vários problemas geométricos para uma linguagem algébrica.

Além disto, é posśıvel construir e estudar modelos (superf́ıcies bidimensionais) para as outras principais Geometrias clássicas surgidas a partir do historicamente controvertido Axioma das Paralelas.

Antecipemos que a idéia de continuidade estará sempre presente e será utilizado sem formalização maior. Se denotamos por P2 um dos modelos, as retas r ⊂ P2 serão cont́ınuas no seguinte sentido.

1. Tipo 1 As retas são como retas Euclidianas: existe uma correspondência biuńıvoca (e cont́ınua) entre ela e os números reais.

2. Tipo 2 Ao retirarmos um dos seus pontos o restante é como reta Euclidiana. Portanto, podemos imaginá-las como um ćırculo usual.

As retas em cada modelo são do mesmo tipo.

2.2 Genealogia

Como ressaltamos, o sistema axiomático de Hilbert é organizado em cinco grupos:

1. incidência; 2. ordem; 3. congruência; 4. paralelismo; 5. continuidade.

As superf́ıcies que estudaremos são criadas a partir desta divisão axiomática. Postula- se grupos de axiomas, algumas vezes com pequenas modificações dos Axiomas de Hilbert, para criar um modelo para a Geometria estabelecida.

AGeometra Projetiva é certamente a mais simples, com dois grupos axiomáticos, o de incidência e o de continuidade.

Na Geometria Eĺıptica são considerados todos os grupos, exceto o de ordem; nega-se a existência do paralelismo e não é exigido a unicidade de interseção de retas.

2.3. ISOMETRIA E CONGRUÊNCIA 13

Na Geometria Afim, eliminamos apenas o grupo de congruência do sistema axiomático de Hilbert, o restante pemanece igual ao da Geometria Euclidiana.

AGeometria Hiperbólica, que não estudaremos aqui, tem todos os axiomas iguais ao da Geometria Euclidiana, exceto o postulado das paralales onde não é exigida a unicidade.

Um esquema hereditário da Geometria mais simples para a mais complexa em termos axiomáticos fica resumido nesta árvore genealógica.

Projetiva



Eĺıptica

Afim

 Parabólica

(ou Euclidiana)

Hiperbólica

.

Isto provoca uma diferença substancial entre elas sob vários aspectos, inclusive sobre as propriedades do poĺıgono mais simples, o triângulo. Um resumo das diferenças, levando em conta o postulado das paralelas, pode ser feito da seguinte forma.

a) Geometria Parabólica (ou Euclidiana): por um ponto fora de uma reta passa apenas uma reta paralela a ela. O modelo considerado será o R2, ponto de referência em torno do qual o texto se desenvolve. Como sabemos, nesta Gemetria a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é igual a π.

b) Geometria Eĺıptica: por um ponto fora de uma reta não passam retas paralelas a ela. Estudaremos como modelo a esfera unitária S2. Neste caso, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é maior que π.

c) Geometria Hiperbólica (Não Euclidiana1) por um ponto fora de uma reta passa mais de uma reta paralela a ela. Usualmente o modelo considerado é o disco unitário do plano Euclidiano, chamado de disco de Poincaré. Aqui, a soma das medidas dos ângulos internos de um triângulo é menor que π.

2.3 Isometria e Congruência

As retas contidas nas superf́ıcies que examinaremos neste texto podem ser estabe- lecidas a partir de uma função distância que, por sua vez, é uma função distância induzida do produto interno canônico do R3. Em última instância, as retas são

1Geometria Não Euclidiana: é um termo introduzido por Gauss.

14 CAPÍTULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO

as geodésicas definidas e estudadas mais amplamente na Geometria Diferencial, embora este fato não seja explorado.

Na Geometria sintética, em geral, não é considerado o conceito de distância no sistema axiomático. Nos modelos, a métrica está ressaltada para realizar a idéia de congruência, que é muito próxima ao conceito de distância: dois segmentos de reta (ou dois ângulos) são congruêntes se existe uma isometria que aplica um segmento no outro (ou um ângulo no outro). Veremos que todo o esforço para classificar isometrias fica restrito ao caso Euclidiano. O conjunto das isometrias de uma superf́ıcie forma um grupo quando está equipado com a operação de com- posição de funções. Ao definir uma distância na su- perf́ıcie, nos aproximamos de abordagens mais recentes para o estudo de geometrias, seguindo a idéia do ma- temático prussiano Felix Christian Klein (1849 1925), que descrevia a Geometria como o estudo das proprie- dades de uma figura que permaneciam invariantes sob a ação de um particular grupo de transformações, no nosso caso, as isometrias.

A obsessão de Klein em fazer a análise sob o ponto de vista funcional permeou essa idéia por praticamente toda teoria que surgiu na Matemática ao longo do século XX. Ele foi o introdutor do termo Geometria Eĺıptica.

2.4 Leitura complementar

1. Axiomas da Geometria Euclidiana plana proposto por Hilbert [W-W].

I Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence, está entre e congruência.

II Axiomas de incidência

1. Para cada dois pontos distintos existe uma (única) reta que os contém.

2. Toda reta contém pelo menos dois pontos.

3. Existem pelo menos três pontos que não estão sobre uma mesma reta e todos os pontos estão sobre o mesmo plano.

III Axiomas de Ordem.

1. Se um ponto B está entre A e C, então os três pontos pertencem a uma mesma reta e B está entre C e A.

2.4. LEITURA COMPLEMENTAR 15

2. Para quaisquer dois pontos distintos A e C, existe pelo menos um ponto B pertencente à reta AC tal que B está entre A e C.

3. Se três pontos distintos estão sobre uma mesma reta, não mais que um ponto está entre os outros dois.

4. (Pasch) Sejam A, B e C três pontos que não estão sobre uma mesma reta e seja l uma reta do plano que não contém algum dos três pontos. Então, se l intercepta o segmento AB, ela também intercepta o segmento AC ou o segmento BC.

IV Axiomas de Congruência

1. Se A e B são dois pontos numa reta l e A′ é um outro ponto de uma reta l′, não necessariamente distinta da anterior, então é sempre posśıvel encontrar um ponto B′ em (um dado lado da reta) l′ tais que os segmentos AB e A′B′ são congruentes ().

2. Se um segmento A′B′ e um segmento A′′B′′ são congruentes a um mesmo segmento AB então os segmentos A′B′ e A′′B′′ são congruentes entre si.

3. Sobre uma reta l, sejam AB e BC dois segmentos da mesma que, exceto por B não têm pontos em comum. Além disto, sobre uma outra ou a mesma reta l′, sejam A′B′ e B′C ′ dois segmentos que, exceto por B′ não têm pontos em comum. Neste caso, se AB  A′B′ e BC  B′C ′, então AC  A′C ′.

4. Se ∠ABC é um ângulo e se −−→ B′C ′ é um raio, então existe

exatamente um raio −−→ A′B′ em cada lado de B′C ′ tal que

A′B′A′  ∠ABC. Além disto, cada ângulo é congruente a si mesmo.

5. Se para dois triângulos ∆ABC e ∆A′B′C ′ as congruências AB  A′B′, AC  A′C ′ e ∠BAC  ∠B′A′C ′ são válidas, então a congruência ∠ABC  ∠A′B′C ′ é satisfeita.

V Axioma das Paralelas

1. Seja l uma reta e A um ponto não em l. Então existe no máximo uma reta no plano que passa por A e não inter- cepta l.

VI Axiomas de Continuidade

1. Axioma de Arquimedes: Se AB e CD são segmentos, então existe um número natural n tal que n cópias de CD con-

16 CAPÍTULO 2. ARQUITETURA DO TEXTO

trúıdas contiguamente de A ao longo do raio −−→ AB passará

além do ponto B.

2. Axioma da Completude da Reta: Uma extensão de um con- junto de pontos sobre uma reta com suas relações de congruência e ordem que poderiam preservar as relações existentes entre os elementos originais, bem como as pro- priedades fundamentais de congruência e ordem que se- guem dos axiomas acima (menos o das Paralelas), é im- posśıvel.

2. Axiomas da Geometria Euclidiana Espacial Devemos acrescentar uns poucos axiomas aos axiomas da Geometria plana, a maioria deles sobre existên- cia e incidência. Não separaremos por grupos. A Geometria Euclidiana Es- pacial algumas vezes também é chamada de Geometria Euclidiana Sólida.

VII Axiomas sobre planos

1. Em todo plano existe ao menos três pontos não colinea- res.

2. Nem todos os pontos pertencem ao mesmo plano.

3. Três pontos não colineares pertencem a um único plano.

4. Se dois pontos de uma reta pertencem a um plano, então toda a reta está contida no plano.

5. Se dois planos têm um ponto em comum eles têm um se- gundo ponto em comum.

3. Aristóteles descendia de uma abastada famı́lia da Macedônia. Seu pai fôra médico do avô de Alexandre, o grande. Estudou na Academia de Platão e ali ficou até a morte do fundador (± 347 aC), quando emigrou para a Ásia Menor, indo desposar Ṕıtia, a filha de um pequeno tirano da região. Com a invasão e conquista da região pelos persas, emigrou para a ilha de Lesbos onde sua esposa morreu ao dar a luz a uma filha.

2.4. LEITURA COMPLEMENTAR 17

Em 343 aC, Felipe, pai de Alexandre, chamou-o para educar o filho, fato que criou uma grande afeição entre o filósofo e o futuro conquistador. Após ser (um excelente) governador de uma região da Macedônia, voltou à Atenas onde fundou o famoso Liceu.

O Liceu foi a primeira Universidade, com o significado atual do termo. Ao contrário da Academia, instituição destinada aos aristocratas, Aristóteles re- quisitava seus alunos na classe média. E a diferença continuava no método de ensino. Seus alunos eram dirigidos para o estudo de Ciências onde classi- ficavam plantas, animais e seus hábitos, estudavam Epistemologia, Filosofia, Anatomia, etc. O Liceu tinha biblioteca, jardim zoológico e museu natural, mantidos com a ajuda financeira de Alexandre e exemplares trazidos pelos pescadores, exploradores e caçadores, a seu pedido.

Aritósteles foi cientista, professor e filósofo. Suas aulas matutinas eram minis- tradas caminhando com seus alunos pelos pórticos que circundavam o Liceu, escola contrúıda no meio dos Jardins de Ĺıcio. É por isso que sua escola é ape- lidada de peripatética (ambulante). Pelas tardes abria-se a Universidade para a população onde eram proferidas conferências sobre diversos assuntos. Em- bora não fosse matemático, deixou registrado uma demonstração mostrando que

2 não era comensurável. Seu rigor cient́ıfico, levou-o a uma filosofia na

qual os termos empregados eram precisamante definidos. Eudoxo inspirou-se em Aristóteles para introduzir na Matemática o sistema axiomático.

Prestes a morrer, pediu para ser sepultado ao lado da esposa, na ilha de Lesbos [Mon].

Parte II

ÁLGEBRA LINEAR

Caṕıtulo 3

O espaço vetorial Rn

Neste caṕıtulo, estudaremos os conjuntos algébricos R2 e R3. Ressaltamos que discor- reremos sobre dois tipos de objetos, um deles algébrico, o Rn, enquanto o outro é Euclidiano. O terceiro objeto, a figura, serve apenas para organizar as idéias. Usaremos os termos função e aplicação com o mesmo significado. Esta parte do texto é um extrato de [An2].

3.1 O conjunto Rn

Denotamos por Rn o conjunto das n-uplas ordenadas de números reais, ou seja,

Rn = {(v1, v2, ..., vn); vi ∈ R para todo inteiro i, 1 ≤ i ≤ n}. Os elementos deste conjunto são chamados de pontos e, por simplicidade, muitas vezes indicaremos um ponto de Rn como v = (v1, v2, ..., vn). Num primeiro mo- mento, estes são os conjuntos para os quais voltaremos nosso interesse. Observe que v = (v1, v2, ..., vn) e w = (w1, w2, ..., wn) são iguais, v = w, se, e somente se, vi = wi para todo i = 1, 2, ..., n. Para organizar a escrita utilizaremos letras minúsculas para indicar os pontos de Rn. Por exemplo,

a = (a1, a2, ..., an), p = (p1, p2, ..., pn), w = (w1, w2, ..., wn), etc.

A maior parte do texto está relacionada com os conjunto R2 e R3, e por isto reserva- remos uma notação especial para indicar seus elementos. Para o primeiro conjunto indicaremos um par ordenado por v = (x, y) e uma tripla ordenada em R3 será registrada na forma v = (x, y, z).

As idéias expressas pelos termos ponto, reta, plano e espaço empregadas na Geo- metria Euclidiana são auto-explicáveis, não suportam uma definição. Denotaremos

20 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

uma reta, um plano e um espaço Euclidianos por E1, E2 e E3, respectivamente. A relação entre os conjuntos algébricos R1, R2 e R3 com aqueles é do conhecimento de todos, mas recapitulemos a construção que justifica a existência da Geometria Anaĺıtica. Observamos que devemos distinguir o conjunto algébrico, o conjunto Euclidiano e as figuras feitas no papel.

O conjunto das 1-upla ordenadas, R1 = {(x);x ∈ R}, é canonicamente identifi- cado com o conjunto dos números reais R. Não distinguiremos uma 1-upla ordenada (x) R1 de um número real x ∈ R. Para construir uma correspondência um a um entre os números reais R e os pontos de uma reta Euclidiana E1, fixamos uma uni- dade e associamos a cada ponto de uma reta Euclidiana E1 um único número real, o qual é chamado de abscissa do ponto. Com isto, temos definido uma aplicação P : R E1, onde P (x) é o ponto da reta Euclidiana cuja abscissa é x.

Seja (x, y) R2. Escolhidos dois eixos Cartesianos num plano Euclidiano E2, digamos ox e oy, definimos P : R2 E2, onde P (x, y) é o ponto do plano Euclidiano cuja abscissa x e a ordenada y. Reciprocamente, cada ponto no plano é associado a um único par ordenado. Fixado o sistema de eixos, o plano Euclidiano passa a ser chamado de plano Cartesiano.

Da mesma forma, seja v = (x, y, z) R3. Fixados três eixos Cartesianos em E3, ox, oy e oz, definimos a aplicação P : R3 E3, onde P (x, y, z) é o ponto do espaço Euclidiano tal que a abscissa x, a ordenada y e a altura z. Certamente o leitor está acostumado com a notação P (x, y, z). Quando fixamos um sistema de eixos em E3 passamos a chamá-lo de espaço Cartesiano.

Indicamos pontos de En, n = 1, 2, 3, por letras maiúsculas. Por exemplo, U ∈ E2 significa um ponto do plano Euclidiano. Ao escrevermos U(2, 3) estamos supondo que já fixamos os eixos Cartesianos e o ponto é imagem de u = (2, 3) R2, pela aplicação P : R2 E2. Esta será uma regra notacional. O ponto v = (v1, v2) terá

3.2. O ESPAÇO VETORIAL RN 21

sua imagem pela aplicação P indicada por V (v1, v2) em lugar de P (v1, v2), o ponto w = (w1, w2) terá sua imagem indicada por W (w1, w2), etc. Uma regra notacional similar será utilizada para R3. Comentário Neste texto, não estudaremos Geo- metria Anaĺıtica, mas lançaremos mão de uns pou- cos resultados desta disciplina que são do conheci- mento de todos desde o Ensino Médio. No desen- volvimento da teoria nos depararemos com vários subconjuntos Γ R2 definidos por uma equação linear homogênea, por exemplo, Γ = {(x, y) R2;x− 3y = 0}.

Um tal conjunto tem como imagem pela aplicação P : R2 E2 uma reta que contém a origem do plano Cartesiano cuja equação linear homogênea que a define é a mesma, {P (x, y) E2;x−3y = 0}. A identificação é tão natural que continuaremos a designar pela mesma letra a imagem, Γ = {P (x, y) E2;x− 3y = 0}, embora os dois sejam subconjuntos de conjuntos diferentes.

Do mesmo modo, os subconjuntos do R3 definidos por uma equação linear homogênea, por exemplo, Γ = {(x, y, z) R3;x + y + z = 0}, têm como imagem pela aplicação P : R3 E3 um conjunto definido pela mesma equação linear homogênea, {P (x, y, z) E3;x + y + z = 0}. Como sabemos, este último conjunto é um plano que contém a ori- gem do espaço Cartesiano. Também a imagem de Γ será indicada pela mesma letra. 

3.2 O espaço vetorial Rn

Em Rn definimos duas operações binárias, a soma de dois elementos e a multi- plicação de um elemento por um escalar. Aqui, o termo escalar significa número real. As operações são definidas dos seguintes modos. Se v = (v1, v2, ..., vn), w = (w1, w2, ..., wn) Rn e λ ∈ R estabelecemos que

v + w = (v1 + w1, v2 + w2, ..., vn +wn),

λv = (λv1, λv2, ..., λvn).

Diz-se que as operações equipam Rn com uma estrutura de espaço vetorial e os elementos de Rn passam a ser chamados de vetores. Na seção Leitura Complementar deste caṕıtulo é apresentada a definição de espaço vetorial. O espaço Rn possui todas as propriedades ali enumeradas.

22 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

Utilizamos uma terminologia própria quando estamos falando acerca do espaço vetorial Rn. Por exemplo, escalar significa um número real, como já foi dito. O vetor nulo é o vetor o = (0, 0, ..., 0). Dois vetores v,w ∈ Rn são colineares quando existe um escalar λ ∈ R tal que v = λw ou w = λv.

Anteriormente, exibimos uma identificação entre os conjuntos Rn com os con- juntos Euclidianos, En, para n = 1, 2, 3. Depois, definimos uma operação de soma de dois elementos e um produto de um elemento por um escalar em Rn, passando a chamá-los de espaço vetorial. Novamente, iremos interpretar geometricamente os vetores para explicitar a existência da estrutura algébrica em Rn. A diferença entre o conjunto e o conjunto com a estrutura algébrica (espaço vetorial) é sutil mas existe, e a diferença é visualizada utilizando-se segmento orientado. Sejam R,S ∈ En. Um segmento orientado em En é o par ordenado (R,S) que por conveniências gráficas é indicado por

−→ RS, em lugar da notação clássica para

pares ordenados. Esta grafia registra a idéia de uma seta com ponto inicial em R e ponto final em S. O conjunto de todos os segmentos orientados de En in- dicamos sugestivamente por

−→ E n.

Sejam R(r1, r2, ..., rn) e S(s1, s2, ..., sn) pontos de En. Diz-se que o segmento orientado

−→ RS representa o ve-

tor v = (v1, v2, ..., vn) Rn se, e somente se, as coor- denadas dos pontos e as coordenadas do vetor estão relacionadas pelas equações como descrito ao lado

 v1 = s1 − r1 v2 = s2 − r2

. . . vn = sn − rn

.

Exemplo 3.2.1 Um vetor pode ser representado por vários segmentos orientados diferentes. Vejamos duas representações para v = (1, 2) R2. Se escolhermos os pontos R(2, 0) e S(3, 2) em E2, o segmento orientado

−→ RS representa v pois{

1 = 32 2 = 20 .

Se escolhermos os pontos U(1, 1) e V (2, 3) o segmento orientado −−→ UV também re-

presenta o mesmo vetor v pois { 1 = 21 2 = 31 . 

O segmento orientado canônico para representar o vetor v = (v1, v2, ..., vn) é aquele que tem como ponto inicial a origem O e ponto final V (v1, v2, ..., vn). Numa linguagem informal, dizemos que obtido um representante do vetor com ponto inicial

3.2. O ESPAÇO VETORIAL RN 23

a origem O, qualquer outro representante é obtido por transporte paralelo daquele. Feitas estas considerações passemos às contruções.

a) A representação geométrica dos reais R é feita definindo-se a aplicação −→ P :

R → −→E 1, onde −→P (x) é o segmento orientado −−→OP cujo ponto inicial é a origem O e o ponto final é o ponto da reta Euclidiana cuja abscissa é P (x) = x.

b) Da mesma forma, definimos uma representação do espaço vetorial R2 estabe- lecendo que a aplicação

−→ P : R2 → −→E 2 tem como regra: −→P (x, y) é o segmento

orientado −−→ OP cujo ponto inicial é a origem e o ponto final é P (x, y).

c) Similarmente, fazemos a representação de um vetor do espaço vetorial R3, agora utilizando o espaço Cartesiano E3.

Comentário Dentre as muitas utilidades do determinante, existe uma interpreta- ção geométrica que será utilizada ao longo do texto, embora não seja demonstrada aqui. Aos vetores u = (u1, u2) e v = (v1, v2) em R2, associamos um parelogramo num plano Cartesiano, OUV P , cujos vértices são O(0, 0), U(u1, u2), V (v1, v2) e P (u1 + v1, u2 + v2). Observe que os segmentos orientados

−−→ OU e

−−→ V P são dois repre-

sentantes do vetor u e os segmentos orientados −−→ OV e

−−→ UP são dois representantes

do vetor v. O valor absoluto do determinante da matriz cujas colunas são as co- ordenadas dos vetores, |det[u, v]|, é o valor da área do paralelogramo. Quando o determinante é nulo, significa que o paralelogramo é degenerado, não tem o com- primento ou não tem altura. A diagonal do paralelogramo representa o vetor soma u+ v.

24 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

Da mesma forma, podemos interpretar o valor absoluto do determinante de uma matriz 3 × 3 constrúıda com três vetores do R3, u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3), ou seja, o valor absoluto do determinante da matriz

[u, v,w] =

 u1 v1 w1u2 v2 w2 u3 v3 w3

 , como sendo o volume de um paraleleṕıpedo no espaço Cartesiano, constrúıdo de tal forma que suas arestas são obtidas pelo transporte paralelo dos segmentos orientados representando os três vetores. A diagonal do paraleleṕıpedo representa a soma dos três vetores, u+ v + w.

3.3 Subespaço vetorial

Dentre todos os subconjuntos de Rn alguns são especiais, não apenas para a com- preensão do texto, mas para a Álgebra Linear como um todo. São os chamados subespaços vetoriais.

Definição 3.3.1 Diz-se que um subconjunto Γ Rn é um subespaço vetorial quando possuir as seguintes propriedades:

1. Γ é um conjunto não vazio;

2. se v,w ∈ Γ então v + w ∈ Γ; (fechado em relação à soma de vetores) 3. se v ∈ Γ e λ ∈ R então λv ∈ Γ. (fechado em relação ao produto por escalar)

Por simplicidade, diremos que Γ é um subespaço. O termo subespaço vetorial está bem empregado, uma vez que o leitor pode verificar que Γ satisfaz todas as condições listadas na definição de espaço vetorial, ficando o préfixo sub por conta de Γ ser um subconjunto de Rn. Naquela definição é exigido que o conjunto tenha um elemento neutro em relação à soma de vetores. De fato, um subespaço Γ contém o vetor nulo. Senão vejamos. Como Γ é não vazio, escolhemos um vetor qualquer v ∈ Γ e o escalar λ = 0. Pelo item 3, podemos garantir que o produto λv = (0, 0, ..., 0) Γ.

3.3. SUBESPAÇO VETORIAL 25

Destacamos dois exemplos de subespaços de Rn, a saber, o subespaço trivial constitúıdo apenas pelo vetor nulo, Γ = {(0, 0, ..., 0)}, e aquele formado por todos os vetores, Γ = Rn. É claro, que estaremos também interessados em estudar os subespaços próprios, aqueles que satisfazem a condição

{(0, 0, ..., 0)}  Γ  Rn. Empregaremos duas técnicas para descrever um subespaço. A primeira lançando

mão de equações lineares homogêneas.

Exemplo 3.3.1 Dado o subconjunto Γ = {(x, y, z) R3;x− 2y + 3z = 0} ⊂ R3. Verifica-se que Γ é um subespaço do R3 mostrando que ele possui as três pro-

priedades enumeradas na definição de subespaço. Como a sentença que define o conjunto Γ é a equação linear homogênea com três incógnitas x − 2y + 3z = 0, o conjunto correspondente no espaço Cartesiano é um plano contendo a origem. 

Para apresentar uma segunda maneira de descrever um subespaço é conveniente fixar uma terminologia que será empregada inúmeras vezes.

Definição 3.3.2 Diremos que um vetor w ∈ Rn é uma combinação linear dos ve- tores v1, v2, ..., vk ∈ Rn se existem escalares a1, a2, ..., ak ∈ R, chamados coeficientes da combinação linear, tais que w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk.

O conjunto formado por todos os vetores que são combinações lineares dos ve- tores v1, v2, ..., vk ∈ Rn será indicado por [[v1, v2, ..., vk ]] Rn. Mais precisamente,

[[v1, v2, ..., vk]] = {w ∈ Rn;w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk, ai ∈ R}.

Relacionemos os dois tipos acima de apresentações de subespaços.

Exemplo 3.3.2 Consideremos um subespaço definido por uma equação linear ho- mogênea, digamos Γ = {(x, y, z) R3;x− y + 3z = 0}. Façamos uma manipulação algébrica. Um ve- tor v = (x, y, z) pertence a Γ se, e somente se, v = (y − 3z, y, z). As igualdades

v = (y − 3z, y, z) = (y, y, 0) + (3z, 0, z) = y(1, 1, 0) + z(3, 0, 1),

nos dizem que v é uma combinação linear de

26 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

v1 = (1, 1, 0) e v2 = (3, 0, 1). Isto mostra a inclusão Γ [[v1, v2]]. Reciprocamente. Seja v = (x, y, z) [[v1, v2]]. Então

(x, y, z) = v = a1v1 + a2v2 = a1(1, 1, 0) + a2(3, 0, 1) = (a1 3a2, a1, a2).

É imediato concluir que v = (x, y, z) satisfaz a equação linear homogênea x = y−3z, pois y = a1, z = a2 e x = 2a13a2, Portanto, qualquer vetor v = (x, y, z) [[v1, v2]] também pertence à Γ. Isto mostra a inclusão [[v1, v2]] Γ.

Observe que v1 [[v1, v2]] = Γ pois ele é a combinação linear v1 = 1v1 + 0v2. Da mesma forma mostramos que v2 [[v1, v2]] = Γ. 

Comentário Quando consideramos um único vetor, v1 Rn, ao dizermos que w ∈ Rn é uma combinação linear de v1 estamos apenas afirmando que w é um múltiplo de v1, em outras palavras, w = a1v1. 

Proposição 3.3.1 Sejam v1, v2, ..., vk ∈ Rn. O conjunto das combinações lineares destes vetores,

[[v1, v2, ..., vk]] = {w ∈ Rn;w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk, ai ∈ R}, é um subespaço vetorial de Rn.

A proposição ensina um pouco mais. É fácil construir subespaços vetoriais, basta escolher uma coleção não vazia de vetores, v1, v2, ..., vk ∈ Rn, e considerar o conjunto de todas as suas combinações lineares, [[v1, v2, ..., vk ]].

Como sempre, fixado um conceito surgem as perguntas. Dado um subespaço Γ Rn.

1. Existem vetores v1, v2, ..., vk ∈ Rn tais que Γ = [[v1, v2, ..., vk]]? 2. Se existem, qual o número mı́nimo de vetores que podemos utilizar para

descrevê-lo como subespaço de combinações lineares Γ = [[w1, w2, ..., wl]]?

A resposta para a primeira pergunta é sim e o número mı́nimo de vetores que podemos utilizar chama-se de dimensão de Γ. Em português, dependendo do con- texto, a palavra dimensão transmite a noção de comprimento, largura e altura. Fisicamente, dizemos que um segmento de reta tem comprimento, uma figura plana como um retângulo tem comprimento e largura e um sólido como um paraleleṕıpedo tem comprimento, largura e altura. A noção de dimensão de um subespaço transfere estas noções f́ısicas para a Matemática, mas para transfeŕı-la precisamos de termi- nologias apropriadas. Este é o objetivo das próximas seções, definir e determinar a

3.4. INDEPENDÊNCIA LINEAR 27

dimensão de um subespaço, no sentido Matemático do termo. Antes de avançarmos, resumiremos o conteúdo desta seção com um conceito.

Diz-se que um subconjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn é um conjunto ordenado de geradores do subespaço Γ Rn quando β ⊂ Γ e Γ = [[v1, v2, ..., vk]].

A segunda condição pode ser dita de outra forma: dado qualquer vetor w ∈ Γ existem escalares a1, a2, ..., ak ∈ R tais que w = a1v1 + a2v2 + · · ·+ akvk.

A expressão ”subconjunto ordenado” significa que existe um primeiro elemento, e ele está indexado por 1, um segundo elemento que está indexado por 2, etc. Eventualmente, dois elementos podem ser iguais.

Deste ponto em diante, a menos que seja dito explicitamente o contrário, pas- samos a supor que os subespaços considerados Γ Rn não são o subespaço trivial e os conjuntos ordenados β = {v1, v2, ..., vk} são formados por vetores não nulos.

Exerćıcios propostos 3.1

1. Existem várias outras técnicas para construir subespaços vetoriais. Por exemplo, mostre que se Γ1 e Γ2 são dois subespaços vetoriais de Rn, então a interseção Γ1 Γ2 também o é.

2. Seja β = {v1, v2, ..., vk−1, vk} um conjunto ordenado de Rn. 1. É verdade que vi ∈ [[v1, v2, ..., vk]]? 2. Mostre que [[v1, v2, ..., vk−1]] [[v1, v2, ..., vk−1, vk]]. 3. Pode ocorrer a igualdade [[v1, v2, ..., vk−1]] = [[v1, v2, ..., vk−1, vk]]?

3.4 Independência linear

Anteriormente, utilizamos o conceito de combinação linear para dar significado aos termos ”conjunto ordenado de geradores de um subespaço vetorial Γ”. O próximo passo é classificar os conjuntos ordenados de geradores em dois tipos:

1. aqueles conjuntos com os quais expressamos cada vetor do espaço de maneira única, tecnicamente falando, os linearmente independentes,

2. e aqueles que não possuem esta propriedade, os linearmente dependentes.

Combinando os dois conceitos, geradores e independência linear, definimos base ordenada de um subespaço,

Base ordenada

 Conjunto ordenado de geradores

e Conjunto linearmente independente

.

28 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

Diremos que um conjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn linearmente inde- pendente se a única combinação linear posśıvel com os vetores de β para expressar o vetor nulo é a combinação linear cujos coeficientes são todos iguais ao escalar zero. Formalizemos estes comentários numa definição.

Definição 3.4.1 Um conjunto ordenado β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn é linearmente independente se, e somente se, (0, 0, ..., 0) = a1v1 + a2v2 + · · · + akvk então a1 = a2 = · · · = ak = 0.

Chamamos a atenção para dois pontos.

1) Quando o conjunto ordenado é constitúıdo de um único vetor não nulo, β = {v1}, ele é linearmente independente.

ii) Quando existe uma combinação linear para o vetor nulo com coeficientes não todos nulos, diremos que o conjunto ordenado β linearmente dependente.

Uma das facilidades da Álgebra Linear é que muitas propriedades gerais são conhecidas examinando apenas se o vetor nulo possui aquela propriedade. Este é o caso da combinação linear. Se soubermos que o vetor nulo é escrito de modo único como uma combinação linear, garantiremos que o mesmo ocorrerá com todos os outros vetores, e reciprocamente.

Existe uma cota superior para o número de vetores de um conjunto ordenado linearmente independente em Rn.

Proposição 3.4.1 Seja β = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Rn um conjunto ordenado de vetores. Se k > n então β é linearmente dependente.

Um conjunto de geradores linearmente dependente de um subespaço pode ser simplificado, eleminando-se um determinado vetor e continuando com um conjunto de geradores.

Proposição 3.4.2 Suponha que β = {v1, ..., vi, ..., vk} é um conjunto ordenado de vetores não nulos de Rn. As seguintes afirmações são equivalentes:

a) O conjunto β é linearmente dependente;

b) Existe um vetor vi que é uma combinação linear dos vetores v1, v2, ..., vi−1;

c) [[v1, ..., v̂i, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]] (o sinal v̂i indica que o vetor vi foi su- primido da lista).

3.5. BASE E DIMENSÃO 29

O procedimento indicado na proposição pode ser aplicado reiteradamente. Ao simplificar o conjunto ordenado de geradores β = {v1, ..., vi, ..., vk} retirando do con- junto o primeiro elemento vi que seja combinação linear dos anteriores, conclúımos que o subespaço das combinações lineares de β̂i = {v1, ..., v̂i, ..., vk} é o mesmo,

[[v1, ..., v̂i, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]].

Ao conjunto ordenado de geradores β̂i, aplicamos o mesmo processo, retiramos o primeiro elemento vj que seja combinação lineares dos anteriores, é claro que j > i, obtendo β̂ij = {v1, ..., v̂i, ..., v̂j , ...vk} e a igualdade dos subespaços das combinações lineares

[[v1, ..., v̂i, ...v̂j , ..., vk]] = [[v1, ..., v̂i, ..., vk]] = [[v1, ..., vi, ..., vk]]

No final do processo temos constrúıdo um conjunto ordenado de geradores, digamos α, contendo pelo menos o vetor v1 e gerando o mesmo subespaço original. No conjunto α, um vetor qualquer não é combinação linear de seus antecessores. Com uma releitura da última proposição na forma contrapositiva, conclúımos que α é um conjunto linearmente independente.

3.5 Base e dimensão

Na seção anterior consideramos um subespaço [[v1, v2, ..., vk ]] e simplificamos o con- junto de geradores suprimindo alguns de seus vetores até obter um conjunto de geradores linearmente independente para o subespaço. Tendo em vista aqueles co- mentários fixaremos a seguinte terminologia e um corolário cuja demonstração é imediata.

Definição 3.5.1 Seja Γ um subespaço vetorial não trivial de Rn. Uma base orde- nada para Γ é um conjunto ordenado de geradores α ⊂ Γ linearmente independente.

Corolário 3.5.1 Dado o subespaço [[v1, v2, ..., vk]] Rn, podemos escolher um sub- conjunto α ⊂ {v1, v2, ..., vk} que é uma base ordenada do subespaço.

A base canônica do Rn é o subconjunto ordenado de n vetores C = {e1, e2, ..., en} de Rn, onde

e1 = (1, 0, ..., 0), e2 = (0, 1, ..., 0), . . . en = (0, 0, ..., 1).

Dado um subespaço Γ Rn, podemos escolher, sucessivamente, vetores v1, v2,...,vk em Γ, linearmente independentes, até obter uma base ordenada e concluir que Γ = [[v1, v2, ..., vk]]. Todo subespaço não trivial do Rn possui uma base, aliás, podemos construir muitas bases para o subespaço.

30 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

Teorema 3.5.1 Seja Γ Rn um subespaço não trivial. Então existe uma base ordenada α = {v1, v2, ..., vk} ⊂ Γ. Além de Γ = [[v1, v2, ..., vk ]] podemos afirmar:

a) o número de elementos de α é menor ou igual a n;

b) se o número de elementos de α é igual a n então Γ = Rn;

c) todas bases ordenadas de Γ têm o mesmo número de elementos.

O teorema acima permite a seguinte definição.

Definição 3.5.2 A dimensão de um subespaço não trivial Γ Rn é o número de elementos de uma de suas bases. A dimensão do espaço trivial é zero.

Pela definição a dimensão de Rn n. Com as técnicas utilizadas acima podemos demonstrar que qualquer conjunto linearmente independente pode ser estendido a uma base.

Corolário 3.5.2 Seja γ = {v1, v2, ..., vk} uma base ordenada de um subespaço próprio Γ  Rn. Então existe uma extensão α = {v1, v2, ..., vk , ..., vn}, que é uma base ordenada de Rn.

Comentário Vale um comentário sobre as dimensões posśıveis para os subespaços não triviais do R2. Como todo subespaço Γ R2 possui uma base ordenada β podemos escrevê-lo como o subespaço das combinações lineares dos vetores de β. Mas sabemos que mais de dois vetores em R2 são linearmente dependentes, portanto, sendo o conjunto linearmente independente, β tem um ou dois vetores. Quando β = {v1} diz-se que Γ = [[v1]] tem dimensão um. Sua representação no plano Cartesiano é uma reta que contém a origem. Caso β = {v1, v2}, pelo visto no último teorema, podemos afirmar que Γ = R2. Recordamos que a base canônica de R2 tem dois elementos, logo sua dimensão é dois.

Quanto ao estudo das dimensões posśıveis para os subespaços não triviais Γ R3 os comentários são semelhantes. Se β é uma base ordenada de Γ podemos escrevê- lo como o subespaço das combinações lineares dos vetores de β. Mas sabemos que mais de três vetores em R3 são linearmente dependentes, portanto β tem um, dois ou três vetores. Quando β = {v1}, Γ = [[v1]] tem dimensão um. Sua representação no espaço Cartesiano é uma reta que contém a origem. Quando β = {v1, v2}, o subespaço Γ = [[v1, v2]] tem dimensão dois. A representação de Γ é um plano que contém a origem. Da mesma forma, Γ = R3 quando β tem três elementos. 

Existem vários algoritmos para detectar se um subconjunto ordenado de n ve- tores do Rn é uma base ordenada ou não. Um muito prático utiliza determinantes. Recordamos que

3.6. LEITURA COMPLEMENTAR 31

o determinante de uma matriz quadrada é igual a zero se, e somente se, uma coluna é combinação linear de outras colunas.

Desta informação decorre um critério utilizado reiterada vezes ao longo do texto. Dado um conjunto ordenado de n vetores β = {v1, v2, ..., vn} ⊂ Rn para saber se eles são linearmente independentes ou não, calculamos o determinante da matriz quadrada [v1, v2, ..., vn] e verificamos se o determinante é diferente de zero ou não.

Proposição 3.5.1 Dado um conjunto ordenado de n vetores β = {v1, v2, ..., vn} ⊂ Rn. As seguintes afirmações são eqüivalentes:

i) β = {v1, v2, ..., vn} é uma base ordenada; ii) det[v1, v2, ..., vn] = 0; iii) a1v1 + a2v2 + · · ·+ anvn = 0 se e somente se, a1 = a2 = · · · = an = 0.

A base ordenada tem orientação positiva se det[v1, v2, ..., vn] > 0, caso contrário diremos que ela tem orientação negativa.

3.6 Leitura complementar

1. Definição de Espaço Vetorial Um espaço vetorial real consiste de

I Um conjunto V cujos elementos são chamados de vetores.

II O corpo R cujos elementos são chamados de escalares.

III Uma operação chamada de adição de vetores em que cada par de vetores u, v ∈ V é associado ao vetor u + v ∈ V , chamado de soma de u e v, satisfazendo os seguintes axiomas:

a) a adição é comutativa, u+ v = v + u; b) a adição é associativa, (u+ v) + w = u+ (v + w); c) existe um único elemento 0 tal que v + 0 = v para todo v ∈ V ; d) para cada vetor v ∈ V existe um único vetor −v ∈ V tal que v +

(−v) = 0. IV Uma operação chamada de multiplicação por escalar em que um vetor

v ∈ V e um escalar λ ∈ R são associados ao vetor λv ∈ V , chamado de produto de v por λ, satisfazendo os seguintes axiomas:

a) 1v = v para todo v ∈ V ; b) a multiplicação por escalar é associativa, λ1(λ2v) = (λ1λ2)v;

32 CAPÍTULO 3. O ESPAÇO VETORIAL RN

c) a multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição de vetores, λ(u+ v) = λu+ λv;

d) a multiplicação por escalar é distributiva em relação à adição de escalares, (λ1 + λ2)v = λ1v + λ2v.

Caṕıtulo 4

Produto interno No caṕıtulo anterior apresentamos um conjunto algébrico formado pelas n-uplas ordenadas de números reais, Rn, e induzimos no conjunto uma estrutura de espaço vetorial real. Nosso objetivo é relacionar Rn, n = 1, 2, 3 com a Geometria Euclidi- ana. Para isto, é conveniente introduzir uma função bilinear, chamada de produto interno em Rn que servirá para estabelecer conceitos tais como medida de segmentos e medida de ângulos.

4.1 Produto interno e norma

Sejam v = (v1, v2, ..., vn) e w = (w1, w2, ..., wn) dois vetores de Rn. A aplicação

〈 , 〉 : Rn × Rn → R definida por 〈v,w〉 = v1w1 + v2w2 + · · ·+ vnwn, é chamada de produto interno canônico do Rn. Para simplificar a escrita, diremos apenas produto interno. Alguns texto também referem-se ao produto interno como produto escalar. Registremos as propriedades básicas do produto interno.

Proposição 4.1.1 O produto interno 〈 , 〉 : Rn × Rn → R possui as seguintes propriedades para quaisquer vetores v,w ∈ Rn e qualquer escalar λ ∈ R:

P1 〈v, v〉 ≥ 0 e 〈v, v〉 = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida) P2 〈v,w〉 = 〈w, v〉; (simetria) P3 〈v + w, u〉 = 〈v, u〉 + 〈w, u〉; (aditividade) P4 〈λv,w〉 = λ〈v,w〉. (linearidade)

Definido o produto interno, podemos iniciar a transposição dos conceitos de comprimento, ângulo e distância originárias na Geometria. Iremos estudar nesta seção a aplicação

‖ ‖ : Rn → [0,+), ‖v‖ = √

〈v, v〉.

34 CAPÍTULO 4. PRODUTO INTERNO

O seu valor num vetor v ∈ Rn será chamado de norma de um vetor. Se desejarmos escrevê-la utilizando coordenadas do vetor, v = (v1, v2, ..., vn), obtemos a expressão

‖v‖ = √

v21 + v 2 2 + · · ·+ v2n.

O valor ‖v‖ é interpretado, geometricamente, como o comprimento de um segmento orientado

−−→ PQ que representa o vetor v ∈ Rn.

Diremos que um vetor v unitário quando ‖v‖ = 1.

Definição 4.1.1 Diz-se que uma aplicação ‖ ‖ : Rn → R é uma norma em Rn se a aplicação possui as seguintes propriedades. Para quaisquer vetores u, v ∈ Rn e escalar λ ∈ R valem as afirmações:

N1 ‖v‖  0 e ‖v‖ = 0 ⇔ v = 0; (positiva definida) N2 ‖λv‖ =| λ | ‖v‖; N3 ‖v + w‖ ≤ ‖v‖ + ‖w‖. (desigualdade triangular)

Recordamos que | λ | indica o valor absoluto de um número real. Para de- monstrar as propriedades N1, N2, N3, necessitamos de uma das mais importante desigualdades associadas a um produto interno.

Teorema 4.1.1 (Desigualdade de Cauchy-Schwarz) Sejam 〈 , 〉 : Rn × Rn → R o produto interno e ‖ ‖ : Rn → [0,+) a norma associada, ‖v‖ = √〈v, v〉. Então para quaisquer v,w ∈ Rn vale a desigualdade

| 〈v,w〉 |≤ ‖v‖‖w‖, e a igualdade ocorre se, e somente se, v e w são vetores colineares.

Proposição 4.1.2 (Norma associada) Seja 〈 , 〉 : Rn × Rn → R o produto in- terno. A aplicação ‖ ‖ : Rn → R, ‖v‖ = √< v, v >, é uma norma.

4.2 Ângulo entre vetores

A desigualdade de Cauchy-Schwarz, permite demonstrar que a norma associada ao produto interno é de fato uma norma. Com a norma transpomos para o Rn a idéia de comprimento. Mas a desigualdade de Cauchy-Schwarz também permite definir medida de ângulos. A única informação extra que necessitaremos é bem conhecida,

para cada t ∈ [1, 1] existe um único θ ∈ [0, π] tal que cos θ = t.

4.2. ÂNGULO ENTRE VETORES 35

Dados dois vetores não nulos v e w em Rn, desde que ‖v‖ = 0 e ‖w‖ = 0, a desigualdade de Cauchy-Schwarz pode ser reescrita, neste caso, como∣∣〈v,w〉∣∣

‖v‖‖w‖ ≤ 1. ou equivalentemente, 1 ≤ 〈v,w〉 ‖v‖ ‖w‖ ≤ 1.

Logo, podemos garantir que existe um único θ ∈ [0, π], o qual será chamado de medida do ângulo entre os vetores não nulos v e w, tal que

cos θ = 〈v,w〉 ‖v‖ ‖w‖ .

Portanto, para dois vetores não nulos, v e w, podemos escrever uma fórmula que relaciona produto interno, norma (comprimento) e medida do ângulo,

〈v,w〉 = ‖v‖ ‖w‖cosθ, onde θ ∈ [0, π] é a medida do ângulo entre os dois vetores. Muitas vezes, para deixar claro que o ângulo considerado é aquele formado pelos vetores v e w, escrevemos θ(v,w).

Diremos que dois vetores v e w em Rn são perpendiculares, ou ortogonais, e escrevemos v ⊥ w, quando o produto interno entre eles é nulo, 〈v,w〉 = 0. O vetor nulo é perpendicular a qualquer outro vetor. Convém observar que quando tais vetores são não nulos estamos exigindo que o ângulo entre eles seja um ângulo reto, pois se ‖v‖ e ‖w‖ são diferentes de zero, as igualdades

〈v,w〉 = ‖v‖‖w‖ cos θ = 0 implicam que cos θ = 0. Como θ ∈ [0, π], conclúımos que o ângulo entre os dois vetores é reto, θ = π/2.

Um processo prático para construir um vetor perpendicular a um vetor não nulo v = (a, b) R2 é considerar o vetor v⊥ = (−b, a) R2 ou qualquer um de seus

múltiplos por um escalar, λv⊥.

Recordamos que temos apresentado subespaços próprios do R2 como conjuntos definidos por uma equação linear homogênea. Examinemos a relação desta equação com o produto interno.

Exemplo 4.2.1 Seja Γ = {(x, y) R2; 2x− 5y = 0}. Denotando por η = (2,−5) o vetor formado pelos coeficientes da equação, podemos definir o subespaço de modo equivalente: Γ é o conjunto formado pelos vetores v = (x, y) R2 tais que v é ortogonal a η = (2,−5). De fato, efetuando o produto interno 〈v, η〉 = 0 obtemos 2x− 5y = 0. Logo, Γ = {(x, y) R2; 〈v, η〉 = 0}. O vetor η = (2,−5) é chamado de vetor normal ao subespaço. 

36 CAPÍTULO 4. PRODUTO INTERNO

Exemplo 4.2.2 Seja Γ R3, definido por uma equação linear homogênea, agora com três variáveis. Por exemplo, examinemos o subespaço Γ = {(x, y, z) R3;x− 3y+7z = 0}. Denotando por η = (1,−3, 7) o vetor do R3 formado pelos coeficientes da equação, o subespaço pode ser descrito como sendo aquele formado por todos vetores v = (x, y, z) que são ortogonais ao vetor η. Explicitamente, Γ = {v = (x, y, z) R3; 〈v, η〉 = 0}. Novamente, o vetor η é dito ser o vetor normal ao subespaço Γ. 

Deixaremos para a próxima seção o estudo de subespaços própios do R3 definidos por duas equações lineares homogêneas. Recordamos que o śımbolo δij chama-se delta de Kronecker e seu significado é

δij = {

1 se i = j 0 se i = j .

Um conjunto ordenado γ = {v1, v2, ..., vk} ∈ Rn é dito ser um conjunto orto- normal quando para todos 1 ≤ i, j ≤ k vale 〈vi, vj〉 = δij . Em outras palavras, o conjunto é formado por vetores unitários dois a dois ortogonais. Quando o conjunto ordenado γ é uma base ordenada de Rn (portanto k = n), chamaremos γ de base ortonormal . Por exemplo, a base canônica do Rn é ortonormal.

4.3 Produto vetorial em R3

O espaço Euclidiano R3 admite uma operação especial entre dois vetores chamado de produto vetorial. Sejam v e w vetores de R3. O produto vetorial de v por w, denotado por v × w, é o vetor em R3 tal que para qualquer vetor u ∈ R3, vale a identidade

〈u, v × w〉 = det[u, v,w]. O produto vetorial goza de várias propriedades importantes. A seguir, relacionare- mos algumas delas e um algoritmo para calcular o produto vetorial de dois vetores.

Proposição 4.3.1 Sejam v = (v1, v2, v3) e w = (w1, w2, w3) vetores de R3. Então:

i) v × w é perpendicular aos vetores v e w, simultaneamente; ii) o produto vetorial de v por w é calculado pelo algoritmo

v × w = ( det

[ v2 w2 v3 w3

] ,− det

[ v1 w1 v3 w3

] ,det

[ v1 w1 v2 w2

]) ;

iii) ‖v × w‖2 = det[v,w, v × w] 0.

4.3. PRODUTO VETORIAL EM R3 37

Exemplo 4.3.1 Apresentaremos um outro algoritmo para avaliar mais rapida- mente o produto vetorial e diminuir erros de cálculo. Sejam v = (3, 1,−4) e w = (0, 2, 1) dois vetores do R3. Para avaliarmos v × w, calculamos, formalmente, o determinante de uma matriz do tipo [e, v, w], onde este śımbolo significa

[e, v, w] =

 e1 3 0e2 1 2 e3 4 1

 . Portanto, ao desenvolver o determinante pela primeira coluna é obtido

v × w = det[e, v, w] = 9e1 3e2 + 6e3 = (9,−3, 6). Verifica-se facilmente que 〈v, v × v〉 = 0 e que 〈w, v × w〉 = 0. Examinemos o conteúdo geométrico do item iii) da proposição, ‖v×w‖2 = det[v,w, v×w] = 126. Como comentado no caṕıtulo anterior, o valor absoluto de det[v,w, v × w] é o volume do pa- raleleṕıpedo no espaço Cartesiano constrúıdo de tal forma que as arestas são segmentos orientados representando os vetores v, w e v × w. Observe que o segmento orientado representando o vetor v×w é perpendicular à base e esta base é o para- lelogramo cujos lados são segmentos orientados representando os vetores v e w. Sendo assim, como o volume é a área da base multiplicado pela altura h = ‖v×w‖ e o volume é ||v ×w||2, segue que, geometricamente, a norma do vetor ‖v ×w‖ é a área do paralelogramo cujos lados são segmentos orientados representando v e w.

Exemplo 4.3.2 Sejam Γ1 = {(x, y, z) R3;x − y + z = 0} e Γ2 = {(x, y, z) R3; 2x + y + z = 0} dois subespaços do R3. Como sabemos eles têm dimensão dois (são plano) e são formados por vetores ortogonais aos vetores η1 = (1,−1, 1) e η2 = (2, 1, 1), respectivamente. A interseção Γ1Γ2 também é um subespaço e tem dimensão um (é uma reta) e seus vetores são simultaneamente or- togonais aos vetores normais η2 e η2. Logo, qual- quer vetor na interseção é colinear com o produto vetorial η1 × η2 = (2, 1, 3). Portanto, Γ1 Γ2 = [[η1 × η2]]. 

Proposição 4.3.2 (Fórmula de Lagrange) Para quaisquer dois vetores v e w

38 CAPÍTULO 4. PRODUTO INTERNO

do R3 vale a identidade

‖v × w‖2 = ‖v‖2‖w‖2 − 〈v,w〉2. Em particular, se θ(v,w) é a medida do ângulo entre os vetores v e w, então

‖v × w‖ = ‖v‖ ‖w‖sen θ(v,w).

Exerćıcio 4.3.1 Existem várias relações entre os produtos interno e vetorial. De- monstre algumas delas.

1. (u× v)× w = 〈u,w〉v − 〈v,w〉u. (Produto vetorial duplo) 2. 〈u, v ×w〉 = 〈w, u× v〉 = 〈v,w × u〉. (Identidade ćıclica)

3. 〈u× v,w × t〉 = det [ 〈u,w〉 〈u, t〉

〈v,w〉 〈v, t〉 ] . (Identidade de Lagrange)

Exerćıcios propostos 4.1

1. Mostre as identidades utilizando propriedades de determinantes.

(a) (v + w) = u× v + u× w. (b) u× v = −v × u.

2. Sejam u e v vetores unitários e perpendiculares de R3. Mostre que β = {u, v, u× v} é uma base ortonormal.

3. Dados quatro vetores t, u, v, w ∈ R3, é verdade que (t×u)×(v×w) = (t×v)×(u×w)? 4. Sejam v, w ∈ R3 vetores não nulos e u ∈ R3 um vetor unitário tal que u ⊥ v e u ⊥ w.

Mostre que o ângulo entre os vetores v e w é igual ao ângulo entre os vetores u × v e u × w, em outras palavras, θ(v, w) = θ(u × v, u × w). Interprete geometricamente fazendo uma figura. Generalize o resultado. É necessário que u seja unitário? É nescessário que u seja perpendicular aos outros dois vetores?

5. Mostre que dados os vetores v e w em R3, então ‖v ×w‖ = 0 se, e somente se, v e w são colineares.

Caṕıtulo 5

Transformações lineares Faremos uma rápida revisão de transformações lineares enfatizando os algoritmos clássicos relacionando transformações lineares e matrizes. Uma transformação linear cujo domı́nio e contradomı́nio são iguais é chamada de operador linear.

5.1 Transformações lineares

Diz-se que uma aplicação A : Rm → Rn é uma transformação linear se para quais- quer vetores v,w ∈ Rn e para qualquer escalar λ ∈ R as seguintes condições são verificadas:

1. A(v + w) = A(v) +A(w);

2. A(λv) = λA(w).

Uma transformação linear possui duas propriedades básicas, quais sejam, A(o) = o A(−v) = −A(v), qualquer que seja v ∈ Rn.

Exemplo 5.1.1 Seguem exemplos para o leitor familiarizar-se com o conceito.

1. Verifica-se utilizando a definição que a aplicação A : R2 R2, A(x, y) = (−x, 3y), é uma transformação linear.

2. A : R2 R3, A(x, y) = (3x+ y, x− y, x+ y), é uma transformação linear. 

Construir ou identificar transformações lineares é bastante simples. Suponha que A : Rm → Rn seja uma transformação linear. Como sabemos um vetor v = (x1, x2, ..., xm) no domı́nio da transformação linear é uma combinação linear dos elementos da base canônica C = {e1, e2, ..., em}, a saber, v = x1e1+x2e2+· · ·+xmem. Utilizando a definição de transformação linear temos que

40 CAPÍTULO 5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

A(x1, x2, ..., xm) = A(x1e1 + x2e2 + · · ·+ xmem) = A(x1e1) +A(x2e2) + · · ·+A(xmem) = x1A(e1) + x2A(e2) + · · ·+ xmA(em).

Façamos uma leitura da igualdade

A(x1, x2, ..., xm) = x1A(e1) + x2A(e2) + · · ·+ xmA(em). Ela nos ensina que para construir uma transformação linear basta especificar quais são seus valores na base canônica do domı́nio e definir a transformação linear pela combinação linear à direita da igualdade. Também nos ensina como identificar uma transformação linear. É suficiente que a imagem de um vetor seja uma combinação linear como descrito na igualdade. E mais, se duas transformações lineares assumem os mesmos valores na base canônica elas são idênticas.

Exemplo 5.1.2 Se desejamos construir uma transformação linear A : R2 R3 basta especificar valores na base canônica do domı́nio C = {e1, e2}. Por exemplo, se impusermos que A(1, 0) = (1,−1, 2) e A(0, 1) = (2, 0, 3), então construimos a transformação linear como indicado,

A(x, y) = xA(e1) + yA(e2) = x(1,−1, 2) + y(2, 0, 3) = (x+ 2y,−x, 2x+ 3y).

Portanto, em coordenadas temos que A(x, y) = (x+ 2y,−x, 2x + 3y). 

A cada transformação linear A : Rm → Rn destacamos dois subconjuntos, um no contradomı́nio e o outro no domı́nio da transformação, chamados de imagem e núcleo da transformação linear. São, respectivamente:

a) Im (A) = {w ∈ Rn; w = A(v) para algum v ∈ Rm}; b) Nuc (A) = {v ∈ Rm; A(v) = 0}.

Exerćıcio 5.1.1 Prove que o núcleo e a imagem de uma transformação linear A : Rm → Rn são subespaços do domı́nio e do contradomı́nio, respectivamente. Mostre também que β = {A(e1), a(e2), ..., A(em)} é um conjunto de geradores de Im (A). Dito de outro modo, mostre que Im (A) = [[A(e1), A(e2), ..., A(em)]]. 

Registremos numa proposição dois fatos simples e de bastante utilidade.

Proposição 5.1.1 Seja A : Rm → Rn uma transformação linear. Então a) A é injetora ⇔ Nuc(A) = {0}; b) A é sobrejetora ⇔ ImA = Rn.

5.2. MATRIZ 41

5.2 Matriz

Como vimos, uma transformação linear A : Rm → Rn fica completamente determi- nada quando conhecemos os valores de A na base canônica, A(e1), A(e2),...,A(em). Por este e outros motivos guardamos os valores A(ei), i = 1, ...,m, numa matriz.

Definição 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transformação linear. A matriz canônica associada é a matriz n×m denotada e definida por

[A] = [A(e1), A(e2), ..., A(em)].

Exemplo 5.2.1 Seja A : R3 R3, A(x, y, z) = (x − z,−2x + 2y + 4z,−y + 2z). Não é dif́ıcil verificar que A é um operador linear. A matriz 3×3 do operador linear é obtida avaliando

A(1, 0, 0) = ( 1,−2, 0), A(0, 1, 0) = ( 0, 2, 1), A(0, 0, 1) = (1, 4, 2).

Logo, a matriz é [A] =

 1 0 12 2 4 0 1 2

 . Ressaltamos que conhecida a matriz [A] recuperamos a transformação. 

Exemplo 5.2.2 Suponha que a matriz de um operador linear A : Rm → Rn seja

[A] =

 10 12 31 0 5

 , então 

1. A : R2 R3,

2. A(x, y) = (10x− y,−2x+ 31y, 5y). 

Exemplo 5.2.3 Calculemos a matriz canônica associada ao operador linear A : R3 R3, A(x, y, z) = (2x− 3y, x+ y − z, y − 4z). Avaliando

A(e1) = (2, 1, 0) A(e2) = (3, 1, 1), A(e3) = (0,−1,−4),

obtemos a matriz 3× 3

[A] =

 2 3 01 1 1 0 1 4

 . Avancemos um pouco mais. Considere os vetores

u = (1, 1, 0), v = (1, 2, 1), w = (0, 3,−2). Existe uma relação entre as matrizes [A(u), A(v), A(w)], [A] e [u, v,w]. Como

42 CAPÍTULO 5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

A(u) = (1, 2, 1), A(v) = (8, 0,−2), A(w) = (9, 5, 11), temos a seqüência de igualdades matriciais,

[A(u), A(v), A(w)] =

 1 8 92 0 5 1 2 11



=

 2 3 01 1 1 0 1 4

 1 1 01 2 3 0 1 2

 = [A][u, v,w].

Registraremos o algoritmo acima pois será explorado posteriormente. 

Proposição 5.2.1 Seja A : Rm → Rn uma transformação linear e u1, u2, ..., um ∈ Rm. Valem as seguintes afirmações.

a) [A(u1), A(u2), ..., A(um)] = [A][u1, u2, ..., um].

b) Se m = n então as matrizes descritas no item anterior são quadradas e

det [A(u1), A(u2), ..., A(um)] = det [A] det[u1, u2, ..., um].

Comentário O último item da proposição contém uma informação geométrica relacionada com operadores lineares que não está explicitada no enunciado. Exa- minemos o caso do operador linear A : R2 R2, A(x, y) = (2x − y, x+ y). É fácil calcular o determinante de [A], seu valor é det[A] = 3. Este é o fator de trans- formação de área, no seguinte sentido. Considere a área de um paralelogramo cujas arestas são segmentos orientados que representam os vetores v e w. Como sabemos o valor da área é |det[v,w]|. O operador linear A transforma este paralelogramo num outro cujas arestas são representantes dos vetores A(v) e A(w). A área deste último paralelogramo é |det[A(v), A(w)]|. O determinante det[A] = 3 é o fator que relaciona as áreas do paralelogramo no domı́nio e a área do paralelogramo imagem, |det[A(v), A(w)]| = |det[A] det[v,w]|.

Para operadores lineares A : R3 R3 a interpretação é semelhante. O valor |det[A]| é o fator de transformação de volumes quando consideramos um parale- leṕıpedo cujas arestas são segmentos orientados representando os vetores u, v,w ∈ R3. 

5.3. OPERAÇÕES 43

Exemplo 5.2.4 É posśıvel calcular a matriz de uma transformação linear A : Rm → Rn utilizando o produto interno. Mostre que as entradas da matriz [A] = [aij ] são determinadas por aij = 〈ei, A(ej). 

Para avançar no entendimento de transformações lineares precisaremos de um resultado, conhecido como Teorema do núcleo e da imagem, do qual decorrem muitos corolários. Intuitivamente falando, a dimensão do núcleo de A : Rm → Rn, está medindo o quanto de dimensão foi perdida quando transformamos linearmente Rm

no subespaço Im(A) do contradomı́nio Rn.

Teorema 5.2.1 (Teorema do núcleo e da imagem) Seja A : Rm → Rn uma transformação linear. Então

dim Rm = dim Nuc(A) + dim Im(A).

5.3 Operações

Sejam A,B : Rm → Rn duas transformações lineares. Ressaltamos que o domı́nio e o contradomı́nio de ambas são os mesmos. Definimos a aplicação soma das trans- formações lineares, A + B : Rm → Rn, por (A + B)(v) = A(v) + B(v). A nova aplicação linear assim constrúıda é também uma transformação linear.

Dado um escalar µ ∈ R, definimos a aplicação multiplicação µA : Rm → Rn, por (µA)(v) = µA(v). É rotina verificar que µA é uma transformação linear.

Proposição 5.3.1 Sejam A,B : Rm → Rn duas transformações lineares e λ ∈ R. Então vale a relação matricial [A− λB] = [A]− λ[B].

Uma outra operação que efetuamos com transformações lineares é a composição. Se A : Rm → Rn e C : Rn → Rk são duas transformações lineares, constrúımos uma outra transformação linear denotada por C ◦ A : Rm → Rk, chamada de composta de C e A, definindo

( C ◦A)(v) = C(A(v)) para cada vetor v ∈ Rm. Para efetuar a

operação de composição é necessário que o contradomı́nio de A seja o domı́nio de C. A composta é também uma transformação linear. Observe a relação entre as matrizes [C ◦ A] [C], [A] descrita na proposição abaixo.

Proposição 5.3.2 Sejam A : Rm → Rn e C : Rn → Rk duas transformações lineares. Então a composta C ◦ A : Rm → Rk é uma transformação linear e sua matriz é [C ◦ A] = [C][A].

44 CAPÍTULO 5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

5.4 Invertibilidade

A operação de composição nos permite fixar um novo conceito. Uma transformação linear A : Rm → Rn invert́ıvel se existe uma aplicação B : Rn → Rm tal que

B ◦ A = Id : Rm → Rm, e A ◦B = Id : Rn → Rn. Aqui, o śımbolo Id indica a aplicação identidade do espaço considerado. Quando existe uma tal aplicação diremos que B é a inversa de A e denotaremos a aplicação inversa por A−1 : Rn → Rm.

Da Teoria de conjuntos sabemos que uma função entre dois conjuntos é invert́ıvel se, e somente se, a função é biuńıvoca. Logo, por um critério para sobrejetividade e injetividade citado anteriormente, podemos afirmar que uma transformação linear A : Rm → Rn é invert́ıvel se, e somente se, Im(A) = Rn e Nuc(A) = {0}. Pelo teorema do núcleo e da imagem, segue que m = n. Temos provado a

Proposição 5.4.1 Uma transformação linear A : Rm → Rn, é invert́ıvel, se, e somente se, Im(A) = Rn e Nuc(A) = {0}. Em particular, se A é invert́ıvel então m = n.

Quando A : Rn → Rn é invert́ıvel, sua matriz [A] é uma matriz quadrada n×n. E mais, a matriz da inversa A−1 : Rn → Rn, também é uma matriz quadrada n× n e valem as igualdades matriciais [Id] = [A ◦ A−1] = [A] [A−1]. No que segue, desejamos relacionar transformações lineares invert́ıveis com matrizes quadradas invert́ıveis. Uma matriz quadrada n × n, digamos M , é invert́ıvel quando existe uma matriz n×n, N , tal que o produto de ambas, não importa a ordem, é a matriz identidade n× n,

M N = N M =

 1 0 · · · 0 0 1 · · · 0

· · · 0 0 · · · 1

 . Neste caso, seguiremos a notação N = M−1. Informamos que

uma matriz quadrada é invert́ıvel se, e somente se, o seu determinante é não nulo.

Proposição 5.4.2 Se A : Rn → Rn é invert́ıvel, então valem as afirmações: a) só existe uma inversa para A;

b) a inversa A−1 é uma transformação linear;

c) a matriz de A é uma matriz invert́ıvel n× n e [A−1] = [A]1.

5.5. OPERADORES LINEARES 45

O último item do teorema ensina como explicitar a inversa de uma transformação linear invert́ıvel. Devemos ter em mãos a matriz da transformação linear [A] que é quadrada, inverter a matriz, [A]1, e recuperar a transformação linear A−1. Existem vários algoritmos para inverter matrizes quadradas. O leitor pode escolher um deles.

Corolário 5.4.1 Seja A : Rn → Rn uma transformação linear. Então as seguintes afirmações são equivalentes:

a) A é invert́ıvel;

b) Nuc(A) = {0}; c) Im(A) = Rn;

d) a imagem por A de uma base de Rn é uma base de Rn.

5.5 Operadores lineares

O restante do caṕıtulo é dedicado aos operadores lineares e tem como objetivo final apresentar o Teorema espectral, último teorema de qualquer livro texto introdutório à Álgebra Linear. Antes, veremos como podemos contruir operadores lineares espe- cificando seus valores numa base qualquer, e não apenas na base canônica.

Como visto anteriormente, para construir um operador linear A : Rn → Rn basta estabelecer os valores de A nos vetores da base canônica C = {e1, e2, ..., en}. Recapitulemos os procedimentos para n = 3. Se v = (x, y, z) é um vetor do R3 e desejamos que A seja um operador linear devemos ter

A(x, y, z) = A(xe1 + ye2 + ze3) = xA(e1) + yA(e2) + zA(e3).

Portanto, basta estabelecermos os valores

A(e1) = u, A(e2) = v, A(e2) = w,

para definir o operador linear e obter imediatamente a sua matriz na base canônica,

[A] = [A(e1), A(e2), A(e3)] = [u, v,w].

Quando o conjunto {u, v,w} for uma base de R3 o operador linear é invert́ıvel pois o conjunto {u, v,w} sendo uma base temos que 0 = det[u, v,w] = det[A]. Por um critério mostrado anteriormente, garantimos que A é invert́ıvel.

Podemos ir um pouco mais longe com a construção. Coloquemos a questão.

Questão Construir um operador linear C : R3 R3 que aplica uma base ordenada α = {u, v,w} num conjunto ordenado β = {u′, v′, v′}.

Solução Basta seguir os procedimentos abaixo.

46 CAPÍTULO 5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

1o Constrúımos um operador linear A que aplica a base canônica C = {e1, e2, e3} na base α = {u, v,w}. Neste caso, como sabemos, a matriz é [A] = [u, v,w].

2o Constrúımos um operador linear B que aplica a base canônica C = {e1, e2, e3} no conjunto ordenado β = {u′, v′, v′}. Neste caso, a matriz é [B] = [u′, v′, v′].

3o Consideramos o operador linear cuja matriz na base canônica é [C] = [B][A]1.

É claro que se o conjunto β também for uma base, o operador é invert́ıvel.

5.6 Autovalores e autovetores

Nesta seção examinaremos a seguinte pergunta:

Dado um operador linear A : Rn → Rn. Existe um vetor não nulo v ∈ Rn e um escalar λ ∈ R tal que A(v) = λv?

Antes de tudo, fixemos alguns termos.

Definição 5.6.1 Quando existe um vetor não nulo v ∈ Rn e existe um escalar λ ∈ R tais que A(v) = λv, diremos que o vetor v é um autovetor de A associado ao autovalor λ.1

Existe um procedimento padrão aplicado a qualquer operador A : Rn → Rn para calcular seus autovetores e autovalores. Consideramos o operador identidade Id : Rn → Rn e fazemos uma pergunta equivalente àquela feita no ińıcio da seção.

Existe um escalar λ tal que o núcleo de λId−A : Rn → Rn é não trivial? De fato, se o núcleo de λId−A não for trivial, existe um vetor não nulo v pertencente ao núcleo, isto é, λId(v)−A(v) = 0, de onde conclúımos que A(v) = λv. A rećıproca tem verificação imediata. Nesta altura da teoria, temos condições de responder à última pergunta.

Existirá um escalar λ se, e somente se, λId−A é um operador não invert́ıvel! Em outras palavras, podemos responder da seguinte forma:

Existirá um escalar λ se, e somente se, det[λId −A] = 0!

Definição 5.6.2 Seja A : Rn → Rn um operador linear. a) O núcleo do operador linear λId − A : Rn → Rn, é chamado de autoespaço

associado a λ, e iremos registrá-lo como Vλ = {v ∈ Rn;A(v) = λv}. 1Em alguns livros encontramos a terminologia valor próprio e vetor próprio.

5.7. TEOREMA ESPECTRAL 47

b) O polinômio de grau n, p(λ) = det[λId−A], é chamado de polinômio carac- teŕıstico de A.

Fixados os termos acima, reescrevamos a resposta de outra meneira:

Existirá um vetor não nulo v ∈ Rn tal que A(v) = λv se, e somente se, λ for uma raiz real do polinômio caracteŕıstico de A!

Recordemos que, sendo um subespaço, podemos encontrar uma base orde- nada de autovetores, isto é, podemos escrever = [[v1, v2, ..., vk]], onde A(vi) = λvi e αλ = {v1, v2, ...vk} é uma base ordenada para o subespaço.

Sendo o polinômio caracteŕıstico de um operador linear A : Rn → Rn um po- linômio com grau n, pode ocorrer que suas ráızes reais sejam distintas ou não. Portanto, pode ocorrer um número de autovalores entre 0 e n, inclusive, contadas as repetições.

Lema 5.6.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear e β = {v1, v2, ..., vk} um conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1, λ2, ..., λk, respectivamente. Se os autovalores são distintos dois a dois então β é um conjunto linearmente independente.

5.7 Teorema espectral

Existe uma classe de operadores lineares A : Rn → Rn cujo polinômio caracteŕıstico possui todas as ráızes reais. Para descrevê-los, necessitamos do produto interno.

Para cada operador linear A : Rn → Rn, desejamos construir um outro operador linear, chamado de operador transposto de A, denotado por At : Rn → Rn, que possua a propriedade

〈v,A(w)= 〈At(v), w〉, para quaisquer v,w ∈ Rn. Para identificar matricalmente o operador linear At, observamos que as entradas da matriz [A] = [aij ] (ou qualquer outra matriz de uma transformação linear) são determinadas por aij = 〈ei, A(ej). Logo, as entradas bij da matriz [At] devem ser

bij = 〈ei, At(ej)= 〈At(ej), ei〉 = 〈ej , A(ei)= aji. Portanto, a matriz do operador transposto de A é a transposta da matriz de A, e registramos esta afirmação notacionalmente como [At] = [A]t. Como existe uma correspondência biuńıvoca entre operadores lineares em Rn e matrizes n×n, também mostramos que o operador transposto de A é único.

48 CAPÍTULO 5. TRANSFORMAÇÕES LINEARES

Diz-se que um operador linear A : Rn → Rn simétrico se sua matriz [A] é simétrica. Segue dos comentários acima que se A é simétrico vale a igualdade 〈v,A(w)= 〈A(v), w〉 para quaisquer dois vetores v,w ∈ Rn.

Na última seção, tomamos conhecimento que autovetores associados a auto- valores distintos são linearmente independentes. Quando o operador é simétrico podemos afirmar mais.

Lema 5.7.1 Sejam A : Rn → Rn um operador linear simétrico e β = {v1, v2, ..., vk} um conjunto formado por autovetores de A associados aos autovalores λ1, λ2, ..., λk, respectivamente. Se os autovalores são distintos dois a dois então os vetores de β são ortogonais dois a dois.

A existência de uma base ortonormal de autovetores de um operador linear simétrico é um dos mais importantes teoremas de Álgebra Linear.

Teorema 5.7.1 (Teorema espectral) Se o operador linear A : Rn → Rn é simé- trico então:

a) o polinômio caracteŕıstico do operador linear, p(t) = det[tId − A], possui n ráızes reais, contando as repetições, λ1, λ2, ..., λn;

b) existe uma base ortonormal de autovetores {u1, u2, ..., un}, onde A(ui) = λiui.

Um operador linear simétrico A : Rn → Rn é dito ser positivo quando 〈v,A(v)〉 > 0, qualquer que seja o vetor não nulo v ∈ Rn. O leitor pode mostrar que um operador linear simétrico é positivo se, e somente se, todos os seus autovalores são positivos. Definimos um operador linear simétrico negativo de forma análoga e conclúımos que todos os seus autovalores são negativos.

Caṕıtulo 6

Isometrias do Rn

Desejamos identificar as aplicações de Rn que pre- servam a distância entre pontos, chamadas de iso- metrias ou movimentos ŕıgidos. Iniciamos com a definição de isometria e terminamos com um Te- orema de classificação. Para percorrer de um ex- tremo a outro será necessário lançar mão de tipos especiais de operadores lineares e estabelecer algu- mas de suas propriedades. As definições, resulta- dos e demonstrações feitas em R3 podem ser ime- diatamente generalizadas, para Rn, para qualquer inteiro n > 1.

Nos estudos das geometrias com modelos, realizaremos o conceito de congruência estabelecendo que os objetos são isométricos, isto é, existe uma isometria que aplica biunivocamente um objeto sobre o outro, sejam eles, segmentos, ângulos, triângulos, etc. Fixemos duas definições

Uma distância definida num conjunto S é uma função d : S × S → R que possui as seguintes propriedades para quaisquer a, b, c ∈ S,

d1 d(a, b) 0 e d(a, b) = 0 ⇔ a = b; (positiva definida) d2 d(a, b) = d(b, a); (simétrica)

d3 d(a, b) ≤ d(a, c) + d(c, b). (desigualdade triangular)

Seja d : S×S → R uma função distância num conjunto S. Diz-se que uma função f : S → S é uma isometria se f for bijetiva e d(f(s), f(t)) = d(s, t) para quaisquer s, t ∈ S.

50 CAPÍTULO 6. ISOMETRIAS DO RN

6.1 Translações

Sabemos calcular o comprimento de vetores de Rn utilizando a norma ‖ ‖. Agora, iremos considerar uma função d : Rn × Rn → R, chamada de distância, cuja in- terpretação geométrica é medir a distância entre dois pontos do conjunto Rn. Por definição ela será

d(v,w) = ‖w − v‖. Geometricamente a distância entre os pontos v e w é o comprimento do segmento orientado

−−→ VW . Se v = (v1, v2, ..., vn) e w = (w1, w2, ..., wn) então podemos escrevê-

la na forma

d(v,w) = √

(w1 − v1)2 + (w2 − v2)2 + · · ·+ (wn − vn)2.

Proposição 6.1.1 A aplicação d : Rn → R, d(v,w) = ‖w − v‖, é uma distância.

A demonstração ficará como exerćıcio. O restante deste caṕıtulo será dedicado a estudar as isometrias de Rn em relação a esta distância. Vejamos um primeiro tipo de isometria.

Fixado um vetor a ∈ Rn. Uma translação por a é a função Ta : Rn → Rn, Ta(v) = v + a. Verifiquemos que uma translação é uma isometria do Rn:

d(Ta(u), Ta(v)) = ‖Ta(v)− Ta(u)= (v + a)(u+ a)= ‖v − u‖ = d(u, v). Isto mostra que Ta preserva distância. Examinemos a injetividade. Suponha que Ta(u) = Ta(v). Como u + a = v + a, é imediato conclúırmos que u = v. Para mostrar a sobrejetividade considere w ∈ R3. É claro que que Ta(w − a) = w.

Exerćıcios propostos 6.1

1. Explicite Ta+b : R3 R3 quando a = (1, 1, 2) e b = (3,−1, 2). 2. Dadas as translações Ta : Rn → Rn e Tb : Rn → Rn. Prove que Ta ◦ Tb e T−a são

tranlações e que T−a é a inversa de Ta. É verdade que Ta ◦ Tb = Tb ◦ Ta? 3. Dados os vetores u0 = (1, 2, 1) e v0 = (1, 1, 0) determine uma translação Ta : R3

R3 tal que Ta(u0) = v0.

4. Dados quaisquer dois pontos u0, v0 R3, mostre que existe uma única translação T : R3 R3 tal que T (u0) = v0.

5. Verifique que o operador linear U : R3 R3 é isometria quando a) U(x, y, z) = (x, z, y); b) U(x, y, z) = (z, x, y).

6. Sejam f : R3 R3 e g : R3 R3 isometrias. Prove que a composta f ◦ g : R3 R3 é uma isometria.

6.2. OPERADORES ORTOGONAIS 51

6.2 Operadores ortogonais

Diz-se que uma aplicação U : Rn → Rn ortogonal se, e somente se,

〈U(u), U(v)= 〈u, v〉 para quaisquer u, v ∈ Rn.

Numa linguagem mais técnica, dizemos que uma aplicação ortogonal é uma aplicação que preserva o produto interno. Tais aplicações existem. Um exemplo distinto da identidade é a aplicação ant́ıpoda U : Rn → Rn, U(v) = −v, pois para quaisquer u, v ∈ Rn temos

〈U(u), U(v)= 〈−u,−v〉 = (1) · (1)〈u, v〉 = 〈u, v〉. Como vimos, uma translação do Rn por um vetor a ∈ Rn é uma isometria. Se

o vetor é não trivial, a translação não preserva a origem, isto é, Ta(0, 0, ..., 0) = (0, 0, ..., 0). Por outro lado, a única translação que preserva a origem é a identidade. Entretanto, existem muitas isometrias que preservam a origem, além da identidade. Iniciaremos o estudo tendo como objetivos:

1. demonstrar que uma aplicação ortogonal é um operador linear;

2. identificá-lo examinando apenas a matriz canônica associada;

3. descrever um método prático para constrúı-los.

Exemplo 6.2.1 Apresentaremos um exemplo ilustrativo. Escolha qualquer base ordenada ortonormal β = {u1, u2, u3} ⊂ R3. Base ortonormal significa que 〈ui, uj〉 = δij (δij é o delta de Kronecker). Defina o operador linear U : R3 R3, cuja matriz é [U ] = [u1, u2, u3]. Como sabemos, podemos explicitar o operador linear,

U(x, y, z) = xu1 + yu2 + zu3.

A próxima proposição garante que esta é a maneira de construir qualquer aplicação ortogonal, portanto, todas elas são operadores lineares. 

Na leitura complementar deste caṕıtulo apresentamos o processo de ortogona- lização de Gram-Schmdit, um processo para construir bases ortonormais, ou seja, um método para obter todos os operadores lineares ortogonais.

Proposição 6.2.1 Seja U : Rn → Rn uma aplicação. Então, U é uma aplicação ortogonal se, e somente se,

a) β = {U(e1), U(e2), ..., U(en)} é uma base ortonormal do Rn e b) U é um operador linear.

52 CAPÍTULO 6. ISOMETRIAS DO RN

Prova ) Iniciemos mostrando o item a). Faremos a demonstração para aplicações ortogonais em R3, mas ela é análoga para o Rn. Seja C = {e1, e2, e3} a base canônica do R3. Por definição de aplicação ortogonal temos

< U(ei), U(ej) >=< ei, ej >= δij .

Isto significa que o conjunto U(β) = {U(e1), U(e2), U(e3)} é um conjunto ortonor- mal. Recordando que para verificarmos que o conjunto de três vetores U(β) R3 é uma base basta verificarmos que seja linearmente independente. Vamos supor que existam escalares a1, a2, a3 tais que a1U(e1) + a2U(e2) + a3U(en) = o. Calculando o produto interno de U(ej) com o vetor nulo temos que

0 = 〈o, U(ej)= 〈a1U(e1) + a2U(e2) + a3U(e3), U(ei)= a1〈U(e1), U(ej)+ a2〈U(e2), U(ei)+ a3〈U(e3), U(ei)= ai.

Logo, U(β) é um conjunto linearmente independente e consequentemente uma base do R3, provando o item a).

b) Pelo item anterior, sabemos que U(C) = {U(e1), U(e2), U(en)} é uma base ortonormal do R3. Sendo assim, dado o vetor v = (v1, v2, v3) R3 podemos ex- pressá-lo como uma combinação linear da forma

U(v) = a1U(e1) + a2U(e2) + a3U(e3),

onde os coeficientes são únicos. Identifiquemos os coeficientes da combinação linear. Lembrando-se que U é uma aplicação ortogonal,

ai = 〈U(v), U(ei)= 〈v, ei〉 = vi. Logo,

U(v1, v2, v3) = v1U(e1) + v2U(e2) + v3U(e3).

Como bem sabemos, esta é a maneira de definir uma transformação linear.

) Seja U : R3 R3 um operador linear tal que U(C) = {U(e1), U(e2), U(e3)} seja uma base ortonormal. Mostremos que U é uma aplicação ortogonal. Dados os vetores v =

∑3 i=1 viei e w =

∑3 i=1 wiei, sendo U um operador linear temos que

U(v) = ∑3

i=1 viU(ei), U(w) = ∑3

j=1 wjU(ej).

Como o produto interno é linear em cada variável e U preserva produto interno, temos que

〈U(v), U(w)= ∑3i=1 aibi〈U(ei), U(ei)= ∑3i=1 aibi = 〈v,w〉. Isto conclui a demonstração da proposição. 

6.3. CLASSIFICAÇÃO DAS ISOMETRIAS 53

Exerćıcios propostos 6.2

1. Seja U : Rn → Rn um operador ortogonal. Mostre que a) U preserva a norma, ‖U(u)= ‖u‖; b) U preserva ângulo entre vetores, θ(U(u), U(v)) = θ(u, v);

c) U é injetiva.

2. Mostre que U : Rn → Rn é um operador ortogonal se, e somente se, [U ]t[U ] = [Id]. 3. Mostre que U : R2 R2 é um operador ortogonal se, e somente se, sua matriz

canônica tem uma das duas formas

[U ] = [

cos θ −sen θ sen θ cos θ

] ou [U ] =

[ cos θ sen θ sen θ − cos θ

] .

6.3 Classificação das isometrias

Chegamos ao nosso objetivo final. Provar que toda aplicação que preserva distância em Rn é a composta de uma translação com um operador ortogonal. Como feito antes, demonstraremos para n = 3 mas os argumentos utilizados valem pra qualquer n > 1.

Teorema 6.3.1 (Classificação das isometrias) Uma aplicação f : Rn → Rn é uma isometria, se e somente se, existe uma translação Ta : Rn → Rn e um operador ortogonal U : Rn → Rn tal que f(x) = T ◦ U(x).

Prova ) Denote por a = f(0) e considere a aplicação U : R3 R3 definida por U(v) = f(v)− a. Desejamos mostrar que U é uma aplicação ortogonal. Mostremos primeiro que ‖U(v) − U(w)= ‖v − w‖, para todo v,w ∈ R3. Mas isto é verdade pois, sendo f uma aplicação que preserva distância, temos as igualdades

‖U(v) − U(w)= ‖f(v)− a− f(w) + a‖ = ‖f(v)− f(w)= d(f(w), f(v)) = d(w, v) = ‖v − w‖.

Passemos a mostrar que U é uma aplicação ortogonal. Por um lado temos que

‖U(v)− U(w)2 = 〈U(v) − U(w), U(v) − U(w)= ‖U(v)2 2〈U(v), U(w)+ ‖U(w)2 = ‖v‖2 2〈U(v), U(w)+ ‖w‖2,

54 CAPÍTULO 6. ISOMETRIAS DO RN

por outro lado, com um cálculo simples verificamos que ‖v−w‖2 = ‖v‖2 2〈v,w〉+ ‖w‖2. Logo, 〈U(v), U(w)= 〈v,w〉. Como U é uma aplicação ortonormal, segue que U é um operador linear ortonormal, de onde conclúımos que f(v) = U(v) + a, ou seja, f(v) = Ta ◦ U(v).

A rećıproca deixaremos aos cuidados do leitor. Siga o roteiro abaixo.

1o Mostre que um operador ortogonal U preserva norma. 2o U preserva distância. 3o Mostre que a imagem da base canônica é uma base. 4o U é bijetivo. 5o Mostre que a composta de U com uma translação é uma isometria. 

Exerćıcios propostos 6.3

1. Considere os planos em R3,{ Γη(p), onde η = (3, 1,−1) e p = (0, 0, 0) Γν(q), onde ν = (1, 1,−1) e q = (2, 1, 2) .

a) Existe translação Tv0 : R3 R3 que aplica o primeiro plano no segundo? b) Construa uma isometria S : R3 R3 que aplica o primeiro plano no segundo.

2. A mesma questão anterior para os planos{ Γη(p) onde η = (1,−1, 2) e p = (0, 1, 1) Γν(q) onde ν = (2, 1,−2) e q = (3, 2, 2) .

3. Encontre a equação paramétrica de um ćırculo de raio r = 2 quando ele está a) centrado no ponto p = (1, 2, 1) e contido no plano Γη(p), onde η = (3,−1, 2); b) centrado no ponto p = (1, 2, 0) e contido no plano Γη(p), onde η = (0, 0, 1).

4. Encontre a equação paramétrica de uma elipse cujo eixo maior mede a = 2 e eixo menor mede b = 1 centrada no ponto p = (3, 2, 0) e contido no plano Γη(p), onde η = (0, 0, 1).

5. Defina uma função g : R3 R3 que deixa o plano Γ1 = {(x, y, z) R3 : z = 0} invariante e transforma o ćırculo do exerćıcio 3.a) na elipse do exerćıcio 4.

6. Encontre a equação paramétrica de uma elipse centrada no ponto (1, 2, 1) Γ1 = {(x, y, z) R3 : x− y + 2z = 1} cujo eixo maior mede 3 e eixo menor mede 1.

7. Seja U : R3 R3 um operador ortogonal tal que U(e3) = e3. Mostre que existe θ ∈ [0, 2π] tal que U(e1) = (cos θ, sen θ, 0) e U(e2) = (−sen θ, cosθ, 0).

8. Prove que conjunto G formado por todas as isometrias de R3 equipado com a operação de composição de funções é um grupo.

9. Encontre uma isometria de R3 que transforma o triângulo ∆ cujos vértices são a = (1, 1, 1), b = (2, 3, 1) e c = (3, 4, 5) num triângulo contido no plano z = 0 congruente ao triângulo ∆ com um dos vértices na origem.

6.4. *LEITURA COMPLEMENTAR 55

6.4 *Leitura complementar

1. Processo de ortogonalização de Gram-Schmidt Na demonstração da proposição a seguir está descrito um processo para construir uma base orto- normal para um subespaço não trivial qualquer de Rn.

Proposição 6.4.1 Todo subespaço não trivial Γ Rn possui uma base orto- normal.

Demonstração Escolha γ = {w1, w2, ..., wk} uma base ordenada qualquer de Γ. Defina o subespaço de dimensão i, Γi = [[w1, ..., wi]]. Sendo assim, valem as inclusões próprias de subespaços

Γ0 = {0}  Γ1  Γ2  · · ·  Γk = Γ. Feitos estas preliminares iniciemos a construção indutiva de uma base ortogo- nal pelo processo de ortogonalização de Gram-Schmidt. A base ortogonal de Γ1 será β1 = {v1} em que v1 = w1. Para construir uma base ortogonal para Γ2 consideramos o conjunto ordenado β2 = β1 ∪ {v2} onde

v2 = w2 − 〈w2,v1〉〈v1,v1〉 v1. O vetor v2 está bem definido pois v1 não sendo nulo temos que 〈v1, v1〉 > 0. Note que também o vetor v2 não é nulo, caso contrário conclúımos que w1 e w2 são vetores linearmente dependentes, contrariando o fato de γ ser uma base de Γ. Por outro lado verificamos facilmente que 〈v1, v2= 0 de onde segue que β2 Γ2 é um conjunto linearmente independente num espaço vetorial de dimensão dois, implicando que β2 = β1 ∪ {v2} é uma base ortogonal de Γ2. Por hipótese de indução, vamos assumir que já constrúımos uma base ortogo- nal βi = {v1, v2, ..., vi} para o subespaço Γi. Seja βi+1 = βi ∪ {vi+1}, onde

vi+1 = wi+1 − 〈wi+1,v1〉〈v1,v1〉 v1 − 〈wi+1,v2〉 〈v2,v2〉 v2 − · · · −

〈wi+1,vi〉 〈vi,vi〉 vi.

Novamente, vi+1 está bem definido e é um vetor em Γi+1. O vetor vi+1 não é nulo, caso contrário teremos wi+1 Γi contrariando a hipótese de γ ser linearmente independente. Uma simples verificação mostra que βi+1 é um conjunto de vetores não nulos dois a dois ortogonais no subespaço Γi+1, cuja dimensão é i + 1. Segue que βi+1 é uma base ortogonal deste espaço. Continuando o processo um número de vezes igual à dimΓ, obtemos uma base ortogonal de Γ.

Para finalizar, dividimos cada vetor de βk por sua norma para obter uma base ortonormal. 

Parte III

GEOMETRIA EUCLIDIANA

Caṕıtulo 7

Geometria Euclidiana Construir um modelo para a Geometria Euclidiana é fixar um conjunto algébrico espećıfico, que será chamado de plano, estabelecer quais dos seus subconjuntos serão nomeados de retas, realizar também os outros termos indefinidos do sistema axiomático, isto é, dar um significado aos termos congruência, está entre, etc. e finalmente verificar que todos os axiomas de Hilbert são válidos neste contexto.

O objetivo agora é indicar como executar todas estas tarefas no conjunto algébrico R2. Ficará claro o motivo pelo qual dizemos que R2 é o modelo canônico do plano Euclidiano. A Álgebra Linear será a linguagem utilizada para a construção do modelo.

Axiomas da Geometria Euclidiana plana

I Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence, está entre e congruência.

II Axiomas de incidência

III Axiomas de ordem

IV Axiomas de Congruência

III Axioma das Paralelas

IV Axiomas de Continuidade

7.1 Esferas e hiperplanos

Na Geometria Euclidiana plana, um ćırculo de centro C ∈ E2 e raio r > 0 é o conjunto constitúıdo por todos os pontos do plano cuja distância ao ponto C é igual

58 CAPÍTULO 7. GEOMETRIA EUCLIDIANA

a r. Na Geometria Euclidiana espacial uma esfera com centro C ∈ E3 e raio r > 0 é definida como sendo o conjunto dos pontos que distam de C por uma distância r. Iniciemos a construção definindo os dois conceitos. Recordamos que indicamos por d a distância no espaço Rn induzida pelo produto interno canônico.

Definição 7.1.1 Uma esfera em Rn de raio r > 0 e centro c ∈ Rn é o subconjunto denotado e definido por Sn−1r (c) = {v ∈ Rn; d(c, v) = r}.

Como na equação d(c, v) = r a distância e o raio são não negativos, esta equação em termos de coordenadas dos pontos, v = (x1, x2, ..., xn) e c = (c1, c2, ..., cn), é equivalente à equação

(x1 − c1)2 + (x2 − c2)2 + · · ·+ (xn − cn)2 = r2. Uma esfera em R2 recebe o nome de ćırculo. Quando o ćırculo tem raio r = 1

e centro na origem, c = (0, 0), diremos que ele é o ćırculo unitário canônico e denotamos por S1. Em resumo,

S1 = {(x, y) R2;x2 + y2 = 1}. A esfera em R3 centrada na origem, c = (0, 0, 0), e de raio r = 1 é denotada por

S2 e é chamada de esfera unitária canônica. Pelo visto,

S2 = {(x, y, z) R3;x2 + y2 + z2 = 1}. Recordamos que indicamos o produto interno canônico do Rn por 〈 , 〉.

Definição 7.1.2 Um hiperplano com vetor normal η ∈ Rn contendo o ponto p ∈ Rn é o subconjunto denotado e definido por Γη(p) = {v ∈ Rn; 〈v − p, η〉 = 0}.

Nomearemos a equação de um hiperplano na forma Γη(p) : 〈v − p, η〉 = 0.

Exerćıcios propostos 7.1

1. Determine a equação do ćırculo centrado em c ∈ R2 e raio r, onde i) c = (1, 0) e r = 12 . ii) c = (1, 1) e r =

2. iii) c = (3, 4) e r = 5.

2. Identifique as curvas e faça um esboço gráfico das seguintes equações em R2. i) x2 + 2x+ y2 = 0. ii) x2 − x+ y2 − y = 7. iii) x2 + 6x+ y2 + 8y = 0.

3. Determine a equação do hiperplano Γη(p) R3 em que i) η = (1, 0,−1) e p = (2, 1, 1). ii) η = (2, 1, 1) e p = (1, 0,−1).

4. Determine a equação do hiperplano Γη(p) R2 em que i) η = (1,−1) e p = (2, 1). ii) η = (2, 1) e p = (1,−1).

7.2. UM MODELO DE PLANO EUCLIDIANO 59

7.2 Um modelo de plano Euclidiano

Iniciemos a construção.

 Chamaremos R2 de plano e seus elementos de pontos.  Um hiperplano em R2 será chamado de reta. Examinemos com mais vagar a definição de reta em R2. É conveniente fixar uma

notação para indicá-la. Sejam p = (p1, p2) e η = (η1, η2) pontos em R2. O plano com vetor normal η contendo o ponto p tem equação (p) : (x, y)(p1, p2), (η1, η2)= 0, ou seja,

(p) : η1x+ η2y + η3 = 0,

onde η3 = −〈p, η〉. Ao tomarmos como vetor normal um múltiplo não nulo de η, digamos λη com λ = 0, as retas são iguais como conjuntos, (p) = lλη(p), pois a equação desta última fica sendo lλη(p) : λη1x + λη2y + λη3 = 0 e, como λ = 0, os pontos v = (x, y) R2 que satisfazem a uma equação também satisfazem a outra equação e vice-versa

Um caso particular, porém importante, são as retas que contêm a origem. Re- servamos uma notação especial para elas, em lugar de escrevermos (o) quando o = (0, 0), omitiremos do śımbolo o ponto o escrevendo simplesmente . Sendo assim, a equação da reta é homogênea,

: η1x+ η2y = 0.

Anteriormente, utilizamos equações lineares homogêneas para definir um subespaço vetorial, portanto, a reta contendo a origem é um subespaço vetorial próprio do R2 de dimensão 1. Uma base ordenada é formada por qualquer vetor não nulo no subespaço, por exemplo η⊥ = (−η2, η1) ∈ lη.

Façamos um resumo do que temos até o momento:

 um conjunto, R2, chamado de plano;  elementos deste conjunto chamados de pontos;  subconjuntos (p) nomeados de retas;  entendemos o conceito de um ponto pertencer a uma reta (incidência).

Desejamos que R2 seja um modelo algébrico do plano Euclidiano. Somente com os termos fixados acima já podemos verificar que o grupo de axiomas de incidência é satisfeito. Por exemplo.

 Dois pontos distintos determinam uma reta Dados dois pontos distintos de R2, digamos que sejam p = (p1, p2) e q = (q1, q2).

Consideramos o vetor não nulo η⊥ = q − p = (q1 − p1, q2 − p2), tomamos η =

60 CAPÍTULO 7. GEOMETRIA EUCLIDIANA

(−q2 + p2, q1 − p1) e escolhemos a reta (p). Verifica-se que as coordenadas dos pontos p e q satisfazem a equação, logo, os pontos pertencem à reta (p). 

O objetivo deste texto não é verificar todos os detalhes da construção de um modelo para a Geometria Euclidiana. Estamos mais interessados em exibir modelos para outras geometrias, quais sejam, eĺıptica, projetiva e afim. Como o leitor já estudou em Geometria Anaĺıtica a maioria dos conceitos e técnicas aqui utilizados, deixaremos apenas um roteiro desta construção.

Ficará como exerćıcio a verificação da validade dos dois outros axiomas do grupo de axiomas de incidência.

 Está entre Dada a reta (p), defina a função biuńıvoca f : R → lη(p), f(t) = p + tη⊥.

Recordamos que se η = (η1, η2) então η⊥ = (−η2, η1). Diremos que o ponto p = f(t1) está entre n = f(t0) e q = f(t2) se, e somente se, t0 < t1 < t2. Com isto, estabelecemos um significado para este termo indefinido e demonstramos todos os axiomas de ordem e continuidade, além de podermos definir segmentos de reta. É necessário verificar que o conceito não depende do vetor normal nem do ponto p.

Por definição, o segmento de reta [p, q] é o conjunto formado por p, q e os pontos da reta determinada pelos pontos p e q que estão entre eles. A medida do comprimento de um segmento [p, q] é a distância entre os pontos extremos, d(p, q).

 Dois segmentos de reta são congruentes se existe uma isometria do R2 que aplica biunivocamente um segmento no outro.

Para definir ângulo necessitaremos do conceito de reta orientada. Antecipamos que os procedimentos que seguem serão semelhantes em qualquer outro modelo de geometria que estudaremos posteriormente.

A notação , além de indicar que o conjunto é uma reta e tem como vetor normal o vetor não nulo η, indicará que a reta está orientada por η. Ao escrevermos l−η, a reta é a mesma, como conjunto, entretanto como reta orientada são distintas. Precisemos o comentário. Ao dizermos ”a reta está orientada pelo vetor normal η” transmitiremos a infomação que o lado de ”cima” da reta é precisamente o lado para o qual o vetor η está apontando. Isto pode ser formalizado estabelecendo que um vetor v está no semi-plano positivo Hη(p) definido por quando 〈v− p, η〉 ≥ 0. Algebricamente temos

Hη(p) = {v ∈ R2; 〈v − p, η〉 ≥ 0}. Se o produto interno não é positivo, o vetor v está no semi-plano negativo. Observe que a reta é definida como o conjunto dos pontos cujo produto interno é zero.

Sendo assim, uma reta (p) pode ser orientada somente de dois modos, pelos

7.2. UM MODELO DE PLANO EUCLIDIANO 61

vetores que são múltiplos positivos de η e pelos vetores que são múltiplos negativos de η.

Um ângulo é o conjunto obtido pela interseção entre dois semiplanos positivos,

Hη(p) Hµ(q).  Dois ângulos são congruentes se existe uma isometria de R2 que

aplica biunivocamente um ângulo no outro.

Após estas definições verifica-se todos os axiomas de congruência.

A medida do ângulo Hη(p) Hµ(q) é, por definição, o ângulo entre os vetores η e −µ. Na notação aqui utilizada a medida fica indicada por θ(η,−µ).

 Axioma das paralelas Seja q um ponto que não esteja esteja na reta (p). A reta (q) é a uma reta

paralela à primeira reta e é a única reta paralela que incide em q. Isto é mostrado verificando-se que o sistema de equações lineares fomado pelas equações que definem as retas não tem solução.

Exerćıcios propostos 7.2

1. Dado os segmentos [p, q] e [m,n] em R2. Mostre que as afirmações são equivalentes.

(a) Os segmentos são congruentes. (b) Existe uma isometria U : R2 R2 tal que U(p) = m e U(q) = n. (c) d(p, q) = d(m,n).

2. Mostre que os segmentos [p, q] e [m,n] do R2 são congruentes e construa a isometria de congruência quando: a) p = (1,−1), q = (0, 1), m = (1, 0) e n = (1, 1); b) p = (1,−1), q = (0, 1), m = (2, 0) e n = (1, 2); c) p = (2,−5), q = (1,−4), m = (2, 0) e n = (1, 1).

3. Considere o ângulo Hη(p) Hµ(q). Mostre as afirmações. (a) A medida do ângulo é α = π − θ(η, µ). (b) Dois ângulos são congruentes se, e somente se, as medidas de seus ângulos são

iguais.

4. Calcule as medidas dos ângulos determinados pelas retas orientadas (p) e (q) quando: a) η = (1, 2), p = (1, 2), ν = (2,−1) e q = (0, 1); b) η = (1,−2), p = (0, 0), ν = (1, 2) e q = (0, 1).

5. Diremos que os segmentos [p, q] e [m,n] do R2 são equivalentes () se, e somente se, eles são congruentes. Mostre que é uma relação de equivalência.

6. Mostre que semi-planos e ângulos são conjuntos convexos.

62 CAPÍTULO 7. GEOMETRIA EUCLIDIANA

7.3 Um modelo de espaço Euclidiano

Passemos a contruir um modelo para a Geometria sólida (espacial).

 R3 será chamado de espaço e seus elementos de pontos.  Um hiperplano em R3 será chamado de plano. Sejam p = (p1, p2, p3) e η = (η1, η2, η3). O plano Γη(p) com vetor normal η

contendo o ponto p tem a seguinte equação em termos de coordenadas,

Γη(p) : η1x+ η2y ++η3z + k = 0,

onde k = −〈p, η〉. Novamente, reservaremos uma notação especial para um plano que contém a origem. Em lugar de escrevermos Γη(o) omitiremos o ponto o = (0, 0, 0) da notação e escrevemos Γη. Neste caso particular, a equação do plano é homogênea,

Γη : η1x+ η2y + η3z = 0.

Como já sabemos, Γη é um subespaço vetorial de R3 e podemos encontrar dois vetores não colineares, v0, w0 Γη, tais que qualquer outro vetor u ∈ Γη é como uma combinação linear u = sv0+ tw0, onde s, t ∈ R. Para saber se os vetores geram o plano basta verificar se o conjunto β = {v0, w0, η} é uma base de R3. Pelo critério estabelecido, é suficiente verificar que det [v0, w0, η] = 0.

Resumindo, temos:

 um conjunto, R3, que será chamado de espaço;  elementos deste conjunto que chamamos de pontos;  subconjuntos Γη(p) nomeados de plano;  entendemos o conceito de um ponto pertencer a um plano (incidência).

Como feito na modelagem com R2 deveŕıamos definir todos os outros termos envolvidos na axiomatização. Mas a construção é tão semelhante que deixaremos aos cuidados do leitor esboçar a construção. Apresentemos dois exemplos numéricos que ilustram quais os procedimentos utilizados.

Exemplo 7.3.1 [Plano determinado por três pontos não colineares] Dados três pontos distintos de R3, digamos a = (1, 0, 1), b = (2, 1, 1) e c = (1,−2,−3). Primeiro verifiquemos que eles são não colineares calculando

det[a, b, c] =

 1 2 10 1 2 1 1 3

 = 3 = 0. O determinante ser diferente de zero implica que eles são não colineares. Agora consideremos os vetores

7.3. UM MODELO DE ESPAÇO EUCLIDIANO 63

{ u = b− a = (1, 1, 0) v = c− a = (2,−2,−4) .

e tomemos como vetor normal ao plano que desejamos construir, contendo os pontos a, b e c, o vetor η = u×v = (4, 4, 0). Agora, se v = (x, y, z), calculando 〈v−a, η〉 = 0 em termos de coordenadas, obtemos a equação Γη : 4x+ 4y + 4 = 0. É simples verificar que as coordenadas dos pontos a, b e c satisfazem esta equação. Portanto, eles pertencem ao plano Γη. 

Exemplo 7.3.2 [Retas em R3] Uma reta em R3 é o conjunto determinado pela interseção de dois planos não paralelos. Seja s a reta obtida por interseção dos planos Γη(p) e Γν(q). Como os planos não são paralelos os vetores normais não são colineares. Para informar o fato, podemos escrever s = Γη(p) Γν(q) ou nomear o sistema de equações na forma

s :

 η1x+ η2y + η3z + k1 = 0

ν1x+ ν2y + ν3z + k2 = 0 .

Quando os dois planos passam pela origem obtemos equações lineares homogêneas, k1 = k2 = 0. Nesse caso, s é um subespaço vetorial de R3 e todo vetor de s escreve-se como múltiplo do vetor η × ν. 

Exerćıcios propostos 7.3

1. Calcule uma equação para o plano contendo os pontos a, b e c do R3 quando: a) a = (1,−2, 1), b = (1,−1, 2) e c = (0,−2,−1); b) a = (1, 1, 1), b = (2, 2, 2) e c = (1,−1,−1).

2. Determine uma equação para o plano Γη paralelo à Γη(p) quando η = (3,−1, 2) e p = (1, 1, 1).

3. Mostre que dois segmentos [p, q] e [m,n] em R3 são congruentes, se e somente se, d(p, q) = d(m,n).

4. Mostre que os segmentos [p, q] e [m,n] do R3 são congruentes quando: a) p = (1,−1, 1), q = (0, 1, 1), m = (1, 0, 1) e n = (1, 1, 1); b) p = (2, 1,−1), q = (1, 0, 1), m = (2, 2, 0) e n = (1, 1, 2); c) p = (2,−5, 3), q = (1,−4, 2), m = (2, 0, 1) e n = (1, 1, 0).

5. Sejam p um ponto e s uma reta em R3. Se v, w ∈ s, mostre que a distância de p a s é dada por

d(p, s) = (w−v)×(p−v)‖‖w−v‖ .

6. Mostre que a distância de um ponto q ∈ Rn ao hiperplano Γη(p) é calculada por d(q,Γη(p)) =

|〈q−p,η〉| ‖η‖ .

64 CAPÍTULO 7. GEOMETRIA EUCLIDIANA

7. Considere o vetor η = (1, 1, 1) e o ponto p = (1, 2, 1) em R3. Calcule a distância de q = (3, 0,−1) ao plano Γη(p).

8. Mostre que o plano Γη(p) : x + z = 2 é tangente à esfera S2(c) = {(x, y, z)

R3;x2 + z2 = 2y − y2}. 9. Dado um hiperplano Γη(p) = {v ∈ Rn : 〈v − p, η〉 = 0} e um ponto q /∈ Γη(p) defina

o simétrico de q em relação a Γη(p) como sendo o ponto q′ tal que d(q′,Γη(p)) = d(q,Γη(p)). Prove que

q′ = q − 2 (

〈q−p,η〉 〈η,η〉

) η.

10. Considere o vetor η = (1, 0, 1) e o ponto p = (1, 2, 1) em R3. Determine o ponto simétrico de q = (3, 0,−5) em relação ao plano Γη(p).

Parte IV

GEOMETRIA ELÍPTICA (dupla)

Caṕıtulo 8

Geometria Eĺıptica

A esfera unitária canônica S2 será um modelo para o ”plano” de uma geometria chamada Geometria Eĺıptica.

O sistema agora considerado omite o grupo de ordem do sistema axiomático para a Geometria Euclidiana fixado por Hilbert. Como não existe uma ordem não podemos definir segmentos de retas do mesmo modo pois um segmento de reta Euclidiana é um subconjunto de uma reta definido a partir da ordem.

Mas mesmo assim, no modelo para a Geometria Eĺıptica podemos definir o conceito de segmento, agora de outra forma. Ao falarmos num segmento de reta eĺıptico com extremos A e B, é necessário ser mais preciso indicando qual seria seu ”interior” pois as retas eĺıpticas são grandes ćırculos da esfera S2 e dois pontos distintos de um ćırculo define dois segmentos de ćırculo. Feito isso, ao realizarmos o termo indefinido congruência podemos verificar todos os axiomas deste grupo. Uma pequena modificação se faz necessária no axioma 1. do grupo de congruência. Como não existe ordem deve-se omitir a expressão ... um dado lado da reta.

No axioma das paralelas, postula-se que sempre ocorre interseção entre quais- quer duas retas e a interseção é dupla, dáı o nome Geometria eĺıptica dupla. A região que no plano Euclidiano é denominada ângulo terá como correspondente na Geometria Eĺıptica uma região classicamente denominada lua. No momento apro- priado descreveremos tal região.

Axiomas da Geometria Eĺıptica

I Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence e congruência.

II Axiomas de incidência

1. Para cada dois pontos distintos existe uma reta que os contém.

2. Toda reta contém pelo menos dois pontos.

8.1. DISTÂNCIA ESFÉRICA 67

3. Existe pelo menos três pontos que não estão sobre uma mesma reta e todos os pontos estão sobre o mesmo plano.

IV Axiomas de Congruência

V Axioma das Paralelas

1. Seja l uma reta e A um ponto não em l. Então toda reta que passa por A intercepta l.

VI Axiomas de Continuidade

1. Existe uma correspondência biuńıvoca entre os números reais e os pontos de uma reta menos um dos seus pontos.

8.1 Distância esférica

Estamos interessados em estudar a geometria da esfera unitária canônica em R3, mais precisamente em estudar o conjunto

S2 = {v ∈ R3; ‖v‖ = 1} equipado com uma função distância. Para medir a distância entre pontos, utili- zaremos o conceito de ângulo entre dois vetores. Dados u, v ∈ S2. Seja θ(u, v) [0, π] a medida do ângulo entre os vetores unitário u e v. Recordamos que este ângulo foi definido utilizando a desigualdade de Cauchy-Schwarz. Por definição,

cosθ(u, v) = 〈u, v〉 ‖u‖ ‖v‖ .

Do fato de u e v serem unitários temos que

cosθ(u, v) = 〈u, v〉, sen θ(u, v) = ‖u× v‖.

Chamaremos de distância em S2 a aplicação

d : S2 × S2 R, d(u, v) = θ(u, v).

Exerćıcio 8.1.1 Demonstre os seguintes fatos sobre esta aplicação:

a) 0 ≤ d(u, v) ≤ π; b) d(u, v) = π se, e somente se v = −u. 

68 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA ELÍPTICA

Proposição 8.1.1 A função d, acima definida, é uma função distância em S2.

Prova Aconselhamos ao leitor rever a definição de função distância. As proprieda- des positiva definida e simétrica têm uma verificação simples e serão deixadas como exerćıcios. Mostremos a desigualdade triangular. Dados três pontos u, v,w ∈ S2, por definição de distância esférica temos as igualdades

θ(u, v) = d(u, v), θ(v,w) = d(v,w), θ(u,w) = d(u,w).

Portanto, a desigualdade que desejamos demonstrar é

θ(u,w) ≤ θ(u, v) + θ(v,w), cuja demonstração será dividida em dois casos.

1o caso: Vale a desigualdade π ≤ θ(u, v) + θ(v,w): neste caso, θ(u, v) ≤ π ≤ θ(u, v) + θ(v,w).

2o caso: Vale a desigualdade θ(u, v)+θ(v,w) ≤ π: como a função cos : [0, π] R é decrescente, demonstrar a desigualdade triangular é equivalente a demonstrar a desigualdade

cos(θ(u, v) + θ(v,w)) ≤ cosθ(u,w). Para isto, utilizaremos uma identidade trigonométrica para o cosseno da soma de ângulos e algumas identidades envolvendo produto interno e produto vetorial. Lem- brando que consideramos apenas vetores unitários, temos as igualdades

cos (θ(u, v) + θ(v,w)) = cos θ(u, v)cos θ(v,w) − sen θ(u, v)sen θ(v,w) = 〈u, v〉 〈v,w〉 − ‖u× v‖ · ‖v × w‖.

Agora, a desigualdade de Cauchy-Schwarz garante que

−〈u× v, v × w〉 ≥ −‖u× v‖ ‖v × w‖, e a fórmula de Lagrange nos permiter escrever

〈u× v, v × w〉 = 〈u, v〉〈v,w〉 − 〈u,w〉〈v, v〉. De 〈v, v〉 = 1 obtemos então as desigualdades

cos (θ(u, v) + θ(v,w)) ≤ 〈u, v〉 〈v,w〉 − 〈u× v, v × w〉 = 〈u, v〉〈v,w〉 − (〈u, v〉〈v,w〉 − 〈u,w〉〈v, v〉) = 〈u,w〉 = cosθ(u,w).

Isto termina a demonstração da proposição. 

Exerćıcios propostos 8.1

8.2. PLANO ELÍPTICO 69

1. Dados os pontos u, v ∈ S2, considere as distâncias d(u, v), d(u,−v), d(−u, v) e d(−u,−v). Quais delas são iguais?

2. Três pontos u, v, w da esfera unitária S2 são ditos colineares se existe um grande ćırculo S2 contendo estes pontos. Prove que u, v, w são colineares se, e somente se, θ(u, v)± θ(v, w) = θ(u,w).

8.2 Plano eĺıptico

Grandes ćırculos da esfera unitária são equivalentes às retas da Geometria Euclidi- ana, no seguinte sentido: como sabemos, a menor distância percorrida para irmos de um ponto a outro de um plano é obtida sobre uma trajetória que descreve um segmento de reta definida pelos pontos. Em S2, a menor distância percorrida para irmos de um ponto a outro é obtida sobre uma trajetória que descreve um grande ćırculo definido pelos dois pontos. Não mostraremos este fato.

 Chamaremos S2 de plano (eĺıptico) e seus elementos de pontos (eĺıpticos).

Um plano Γ R3 que contém a origem o é determinado pelo seu vetor normal η = (η1, η2, η3), que é um vetor não nulo. A equação linear do plano fica sendo

Γ : η1x+ η2y + η3z = 0.

Como sabemos Γ é um subespaço vetorial de R3 de dimensão dois. Para destacar o vetor normal denotamos Γ por Γη:

Γη é o único plano de R3 contendo a origem cujo vetor normal é η = (η1, η2, η3).

Exemplo 8.2.1 Se η = (13,−1, 40) R3, o plano que contém a origem e tem η como vetor normal é o conjunto formado por todos os vetores v = (x, y, z) R3 cujas coordenadas satisfazem a equação Γη : 13x− y + 40z = 0. 

 Um grande ćırculo em S2 será chamado de reta (eĺıptica). Em outras palavras, diz-se que um subconjunto r ⊂ S2 é uma reta eĺıptica se

r = S2 Γη. Para destacar que a reta eĺıptica r é obtida pela interseção do plano Γη que contém cujo vetor normal é η utilizamos a notação

= S2 Γη. Portanto, uma reta eĺıptica é o subconjunto do plano eĺıptico formado pelos pontos (x, y, z) R3 satisfazendo as equações

:

 x2 + y2 + z2 = 1

η1x+ η2y + η3z = 0 .

70 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA ELÍPTICA

Já temos em mãos :

 um conjunto S2 que denominado de plano ”eĺıptico”;  elementos deste conjunto, chamados pontos;  subconjuntos , chamados de retas ”eĺıpticas”(grandes ćırculos);  entendemos o conceito de um ponto pertencer a uma reta (incidência).

Estamos preparados para verificar o grupo de axiomas de incidência da Geo- metria Eĺıptica. Os dois últimos axiomas são verificados trivialmente. Antes de verificarmos o primeiro, estabeleçamos um critério para determinar se um grande ćırculo incide sobre um ponto. Dizer que um ponto v ∈ S2 e uma reta eĺıptica rη ⊂ S2 são incidentes é equivalente a dizer que v ∈ rη. Continuaremos a denotar o produto interno canônico do R3 por 〈 , 〉.

Proposição 8.2.1 (Condição de incidência) Dados um ponto v ∈ S2 e um gran- de ćırculo rη ⊂ S2. Temos:

v e rη são incidentes se, e somente se, 〈v, η〉 = 0.

Prova Escrevamos = Γη ∩ S2 e seja v ∈ S2. Temos que v ∈ rη se, e somente se, v ∈ Γη ou, equivalentemente, se, e somente se, 〈v, η〉 = 0. 

 Dois pontos distintos determinam uma reta Verifiquemos este axioma. Sejam u, v ∈ S2 distintos. O produto vetorial η =

u× v não é o vetor nulo se, e somente se, u = −v. Se este for o caso, consideramos o plano Γη e a reta eĺıptica correspondente = Γη ∩ S2. Como 〈u, η〉 = 0 = 〈v, η〉, pelo critério de incidência os pontos u e v pertencem à reta , ou seja, u e v determinam a reta . Observe que a reta é única pois só existe um plano contendo u, v e a origem.

Agora, quando u = −v, consideramos um vetor qualquer η ∈ R3 tal que 〈u, η〉 = 0. Como u = −v, segue que 〈v, η〉 = 0. Portanto, pela condição de incidência, u, v ∈ rη. Neste caso, u e v não determinam uma única reta, pois existem infinitos planos contendo u, o e v = −u, desde que os três pontos são colineares em R3. 

No plano eĺıptico não existe paralelismo nem possui a propriedade da interseção única entre duas retas. Isto decorre da seguinte propriedade que deixamos como exerćıcio.

Exerćıcio 8.2.1 Mostre que se Γη e Γν são dois planos distintos do R3 contendo a origem então a interseção dos planos é uma reta (Euclidiana) do R3 contendo a origem e formada pelos múltiplos do vetor u = η × ν. 

8.2. PLANO ELÍPTICO 71

Proposição 8.2.2 (Concorrência de duas retas) Duas retas eĺıpticas distintas, digamos, rη e rν, sempre se interceptam. Mais ainda, a interseção ocorre em dois pontos, a saber,

u1 = 1‖η×ν‖η × ν e u2 = 1‖η×ν‖η × ν.

Prova Seguindo a notação temos que

= Γη ∩ S2 e = Γν ∩ S2. Portanto, a interseção de e é o conjunto

rη ∩ rν = Γη ∩ Γν ∩ S2. Como Γη ∩ Γν = {λ η × ν;λ ∈ R}, os únicos vetores unitários são os pontos citados no enunciado. .

Diz-se que três pontos u, v,w ∈ S2 são colineares se existe uma reta incidindo nos pontos. Também existe um critério simples para determinar quando três pontos são colineares.

Proposição 8.2.3 (Equação de colinearidade para três pontos) Dados três pontos u, v,w ∈ S2. Temos:

u,v,w são colineares se, e somente se det[u, v,w] = 0.

Prova Sejam u, v,w ∈ S2 três pontos. Quando não são distintos ou quando v = −w, a demonstração é trivial. Vamos assumir então que eles são distintos e que v = −w.

Por definição, os pontos são colineares se, e somente se, eles pertencem a uma mesma reta eĺıptica, digamos = Γη ∩ S2, onde η é algum vetor normal ao plano. Escolheremos η = v × w. Mas isto é equivalente a dizer que eles são colineares no plano eĺıptico S2 se, e somente se, u, v e w pertencem ao plano Γη, ou seja, se e somente se,

〈u, η〉 = 〈v, η〉 = 〈w, η〉 = 0. Portanto, eles são, colineares em S2 se, e somente se,

0 = 〈u, η〉 = det[u, v,w]. 

Proposição 8.2.4 (Equação de concorrência para três retas) Dados três re- tas eĺıpticas, digamos rη, rµ e rν. Temos:

rη, rµ e rν são concorrentes se, e somente se, det[η, µ, ν] = 0.

A prova desta proposição e o axioma de continuidade ficarão como exerćıcio.

72 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA ELÍPTICA

 Existe uma correspondência biuńıvoca entre os números reais e os pontos de uma reta eĺıptica menos um dos seus pontos.

Exerćıcios propostos 8.2

1. Verifique se os pontos eĺıpticos m, p e q são colineares e, caso sejam, determine a reta eĺıptica que os contém.

a) m = (1, 0, 0), p = ( 15 , √

25 , √

25 ), q = (

211 ,

711 ,

211 );

b) m = ( 13 , 1

3 , 1

3 ), p = (1

3 , 1

3 , 1

3 ), q = (0, 1

2 , 1

2 ).

8.3 Retas eĺıpticas orientadas

A notação Γη também sinalizará que o plano está orientado pelo vetor normal η. Ao dizermos ”o plano está orientado pelo o vetor normal η” tentamos transmitir a infomação f́ısica que o lado de ”cima” do plano é o lado para o qual o vetor η está apontando. Mais precisamente, um vetor v está no semi-espaço positivo definido pelo plano Γη se 〈v, η〉 ≥ 0. Se este produto interno for não-positivo, diremos que o vetor v está no semi-espaço negativo. É claro, v pertence ao plano quando o produto interno acima for zero.

Exerćıcio 8.3.1 Para fixar os conceitos, mostre as afirmações.

1. Se λ > 0 então Γη = Γλη como conjuntos e são iguais como planos orientados.

2. Se λ < 0 então Γη = Γλη como conjuntos e são distintos como planos orienta- dos. 

Pelo visto, para determinar um plano orientado contendo a origem precisamos apenas de um vetor unitário η ∈ S2. Tal plano será Γη. Se escolhermos o vetor ant́ıpoda, −η ∈ S2, o plano Γ−η será, como conjunto, igual ao anterior, mas como plano orientado será diferente. Dois vetores unitários e simétricos esgotam todas as possibilidades de orientação de planos. Também o ı́ndice η utilizado para denotarmos uma reta eĺıptica, , informará um pouco mais, a reta é uma reta orientada. Não nos detere- mos descrevendo tecnicidades sobre orientação de ćırculo, entretanto, a idéia tem um signifi- cado f́ısico preciso, ela procura transmitir que o percurso de uma pessoa (sobre o plano orientado

8.4. PLANO ELÍPTICO DUAL 73

Γη contendo ) é positivo se a pessoa, posicionada como o vetor normal η, ao andar sobre esta reta deixa o disco do plano que ela delimita à sua esquerda. Observamos que e r−η são iguais como conjuntos, mas as orientações são opostas.

Formalizemos as idéias acima. Para cada ponto p ∈ rη, consideramos o vetor φη(p) = η×p. Observe que φη(p) é um vetor tangente ao grande ćırculo no ponto p e, fisicamente, descreve a velocidade de um movimento de uma pessoa fazendo o percurso positivo sobre o grande ćırculo.

Exerćıcio 8.3.2 Para fixar os conceitos, mostre as afirmações.

1. Se λ > 0 então = rλη e as orientações são iguais.

2. Se λ < 0 então = rλη e as orientações são opostas.

3. Conclua que cada ponto η ∈ S2 determina um único ćırculo orientado. 

Resumindo, para descrever uma reta eĺıptica precisamos apenas de um vetor unitário η ∈ S2. Tal grande ćırculo orientado será . Se escolhermos o vetor ant́ıpoda −η ∈ S2 a reta eĺıptica r−η será a mesma, como conjunto, mas como reta eĺıptica orientada será diferente.

8.4 Plano eĺıptico dual

No que segue iremos examinar conjuntos cujos elementos são subconjuntos de um conjunto dado. O leitor já tomou contato com este fato em algum momento da vida de estudante. Dado um conjunto A denota-se por P(A) o conjunto das partes de A, isto é, o conjunto formado por todos os subconjuntos de A. Por definição de P(A), podemos escrever uma afirmação notacionalmente estranha mas verdadeira,

C ⊂ A se, e somente se, C ∈ P(A). Pense nesta sentença. O fato de considerar um subconjunto como um elemento (”ponto”) de um outro conjunto será explorado com o objetivo de construir novos espaços a partir de outros. Abaixo segue a primeira das construções.

Iremos considerar um conjunto formado por subconjuntos, a saber,

R é o conjunto formado pelas retas eĺıpticas orientadas. Para construir ummodelo geométrico paraR precisamos fazer uma abstração, consi- derando cada reta eĺıptica como um ”ponto” do conjunto R. O principal ingrediente da construção já foi apresentado na seção anterior, qual seja,

cada ponto η ∈ S2 determina uma única reta eĺıptica orientada rη e cada reta orientada rη determina um único ponto no plano eĺıptico η ∈ S2.

74 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA ELÍPTICA

Estes comentários nos permitem reescrever o conjunto R como R = {rη; η ∈ S2}.

Ademais, podemos estabelecer a seguinte correspondência biuńıvoca entre os ele- mentos de R (retas eĺıpticas orientadas) e os elementos de S2:

rη ←→ η. Isto mostra que existem tantas retas eĺıpticas orientadas quantos pontos eĺıpticos! Sendo assim, consideramos como modelo geométrico para R o próprio conjunto S2.

Com isto surge um problema notacional, qual seja, distinguir o registro de uma reta eĺıptica orientada de um ponto na esfera. Como primeira providência para que a confusão não ocorra, o conjunto das retas eĺıpticas orientadas será indicado por S2e denominado de plano eĺıptico dual ou esfera dual. A segunda providência é designar os elementos de S2pelas letras gregas minúsculas η, µ, ν, etc. em lugar de , , , etc. Assim

rη ⊂ S2 ⇔ η ∈ R = S2. No conjuto S2consideramos a mesma métrica já definida na esfera, ou seja,

d : S2 × S2 R, d(η, ν) = θ(η, ν).

8.5 Isometrias de S2

Realizamos a idéia de congruência utilizando o con- ceito de isometria. Uma isometria em S2 é uma aplicação U : S2 S2 que preserva distância, ou seja, θ(U(v), U(w)) = θ(u, v) para quaisquer pontos u, v ∈ S2. O próximo teorema é creditado ao matemático suiço Leonhard Euler (1707/83). Para acompanhar a demonstração o leitor não pode ter omitido a lei- tura do caṕıtulo Isometrias de Rn.

Teorema 8.5.1 (Classificação de isometrias em S2) Uma aplicação U0 : S2 S2 é uma isometria se, e somente se, U0 for a restrição de um operador ortogonal U : R3 R3.

Prova Seja U : R3 R3 um operador ortogonal. Como U preserva norma de vetores, desde que

‖U(u)2 = 〈U(u), U(u)= 〈u, u〉 = ‖u‖2,

8.6. CONGRUÊNCIA 75

sua restrição U0 : S2 S2, U0(v) = U(v), está bem definida. Mostremos que U0 preserva distâncias na esfera. Dados os vetores unitários u, v ∈ S2,

θ(U0(u), U0(v)) = 〈U(u), U(v)= 〈u, v〉 = θ(u, v). Portanto, a restrição de um operador ortogonal do R3 define uma isometria de S2.

A rećıproca deixaremos como exerćıcio sugerindo o seguinte roteiro. Dada uma isometria U0 : S2 S2, defina a aplicação U : R3 R3, por

U(v) =

 ‖v‖U0( v‖v‖ ) se v = o

o se v = o .

Mostre que U está bem definida, que é um operador ortogonal e que a restrição à esfera é a isometria U0. 

Exerćıcios propostos 8.3

1. Mostre as afirmações.

(a) Toda isometria U de S2 é biuńıvoca.

(b) A inversa de uma isometria do plano eĺıptico é uma isometria.

(c) Se U é uma isometria do plano eĺıptico então U ou −U tem dois pontos fixos. (d) O conjunto das isometrias do plano eĺıptico equipado com a operação de com-

posição de funções é um grupo.

(e) Uma isometria de S2 deixa invariante alguma reta eĺıptica.

(f) U : S2 S2, U(x, y, z) = (z, x, y) é uma isometria e determine uma reta eĺıptica invariante por U .

8.6 Congruência

Como comentado na introdução do caṕıtulo, ao nos referir a um segmento da reta eĺıptica com extremos u, v ∈ rη devemos precisar qual dos dois arcos de ćırculos estamos considerando. Para isto basta citar um terceiro ponto que esteja no arco considerado.

 Dois segmentos são congruentes se existe uma isometria de S2 que aplica biunivocamente um segmento no outro.

O leitor verificará que os três primeiros axiomas do grupo de congruência são válidos neste modelo eĺıptico. Os outros dois axiomas dizem respeito a ângulos, conceito que passaremos a precisar.

76 CAPÍTULO 8. GEOMETRIA ELÍPTICA

Na Geometria Euclidiana plana a interseção de dois semiplanos positivos determina uma região chamada ângulo. Iremos seguir aquela mesma contrução, agora no plano eĺıptico. É conveni- ente considerar retas eĺıpticas orientadas para conseguirmos nomear precisamente de qual dos dois semiplanos estamos nos referindo. O semi- plano positivo Hη definido pela reta eĺıptica ori- entada é o hemisfério formado pelos pontos u ∈ S2 tais que 〈u, η〉 ≥ 0. O semiplano negativo é o hemisfério formado por aqueles pontos u ∈ S2 tais que 〈u, η〉 ≤ 0.

Repetindo uma idéia f́ısica já citada diversas vezes, o semiplano positivo está à esquerda de um movimento cuja trajetória é a reta eĺıptica orientada.

Um ângulo ou uma lua no plano eĺıptico S2, determinado por duas retas eĺıpticas distintas e orientadas, digamos e , é o conjunto Lηµ obtido pela interseção dos semiplanos positivos determinados por elas, a saber,

Lηµ = Hη ∩Hµ.

Os vértices da lua Lµν são os pontos

u = 1

‖µ× ν‖µ× ν, −u = 1

‖µ× ν‖µ× ν.

A medida de um ângulo ou a medida de uma lua Lµν é definida como sendo θ(µ,−ν). Feito isto, seguem as mesmas terminologias: ângulos agudos, obtusos, suplentares, complementares, retos, opostos pelos vértices, etc.

 Duas luas (ângulos) são congruentes se existe uma isometria de S2 que aplica biunivocamente uma lua na outra.

Antes de finalizar, definiremos triângulo eĺıptico. Sejam u, v,w ∈ S2 três pontos tais que o conjunto ordenado {u, v,w} seja uma base ordenada positiva de R3. Como sabemos, afirmar que uma base ordenada é positiva corresponde a afirmar que det[u, v,w] > 0. Tais pontos serão os vértices do triângulo eĺıptico. Os lados do triângulos serão arcos das retas eĺıpticas , e , onde

η = u× v, µ = v ×w, ν = w × u. Ressaltamos a ordem ćıclica dos pontos, u → v, v → w e w → u. As demonstrações futuras levarão em conta tal fato.

8.6. CONGRUÊNCIA 77

Definição 8.6.1 Sejam u, v,w ∈ S2. Um sub- conjunto uvw ⊂ S2 é um triângulo (eĺıpoto) quando

1. {u, v,w} é base ordenada positiva de R3; 2. uvw = Hη ∩Hµ ∩Hν.

Observe que os lados de um triângulo eĺıptico são segmentos de retas eĺıptica orientadas.

Dois triângulos eĺıpticos são congruentes se existe uma isometria que aplica biunivocamente um triângulo sobre o outro.

 Uma reta eĺıptica menos um dos seus pontos é um modelo de uma reta Euclidiana.

Exerćıcios propostos 8.4

1. Mostre as afirmações.

(a) Ângulos opostos pelo vértice têm a mesma medida.

(b) Ângulos opostos pelos vértices são côngruos.

(c) A medida da Lua Lηµ π − θ(η, µ). (d) Se as medidas de duas luas são iguais então elas são congruentes.

(e) Semi-planos, ângulos e triângulos eĺıpticos são conjuntos convexos.

2. Calcule a medida do ângulo das luas orientados Le1e2 e Le1e3 .

3. Quais dos ternos ordenados {u, v, w} determinam um triângulo ∆uvw ⊂ S2. a) u = (1, 0, 0), v = ( 1

2 , 1

2 , 0), w = ( 1

3 , 1

3 , 1

3 ).

b) u = ( 13 , 1

3 , 1

3 ), v = ( 1

14 , 3

14 , 2

14 ), w = ( 5

35 , 1

35 , 3

35 ).

4. Verifique que o triângulo com vértices u1 = e1, v1 = e2 e w1 = ( 12 , 12 , 0), nesta

ordem, é côngruo ao triângulo com vértices u2 = e2, v2 = e3 e w2 = ( 12 , −1

2 , 0).

5. Verifique que isometria de triângulos eĺıpticos é uma relação de eqüivalência no con- junto formado por todos os triângulos eĺıpticos.

6. Se ∆uvw é um triângulo eĺıptico, mostre que os triângulos obtidos pelas permutações ćıclicas dos ı́ndices, ∆wuv e ∆vwu, também são triângulos eĺıpticos. Mais ainda, como conjuntos os três são iguais.

Caṕıtulo 9

Trigonometria eĺıptica Embora o leitor esteja familiarizado com a teoria de triângulos no plano Eucli- diano recordaremos alguns resultados de trigonometria plana com a finalidade de relacioná-los de modo natural com os tópicos das próximas seções. Dados três pon- tos não colineares do plano Euclidiano, digamos A, B e C, podemos construir um triângulo com vértices nestes pontos, triângulo que denotaremos por ∆ABC . Usu- almente nomeamos por α, β e γ as medidas dos ângulos cujos vértices são A, B e C, e as medidas dos lados opostos aos vértices por a, b e c, respectivamente. Certa- mente o leitor recorda de duas ”leis” demonstradas ao estudarmos Trigonometria no Ensino Médio. Elas dizem que num triângulo ∆ABC valem as igualdades

senα

a =

sen β

b =

sen γ

c , c2 = a2 + b2 2ab cos γ.

Estas são a Lei dos senos e a Lei dos cossenos, respectivamente. A Lei dos cossenos na Geome- tria Euclidiana é uma generalização do Teorema de Pitágoras (a qual se reduz quando γ = π2 ). Observamos ainda que o valor cos γ é dado pelas medidas dos lados:

cos γ = a2 + b2 − c2

2ab .

Decorre da axiomatização da Geometria Euclidiana que a soma das medidas dos ângulos de um triângulo é igual a π. O objetivo principal do caṕıtulo é mostrar que a soma das medidas dos ângulos de um triângulo eĺıptico é maior que π. Demonstra- remos também leis equivalentes para triângulos eĺıpticos bem como fórmulas para o cálculo de áreas de triângulos.

9.1. LEI DOS SENOS 79

9.1 Lei dos senos

No caṕıtulo anterior definimos triângulo eĺıptico para estabelecer os axiomas de con- gruência. É conveniente fixar uma série de dados de um triângulo eĺıptico seguindo de perto a notação Euclidiana para estudar a trigonometria eĺıptica.

1. Vértice u • O lado oposto ao vértice u está contido em , onde µ = v × w. A medida do ângulo com vértice u α = π − θ(ν, η). A medida do lado oposto ao vértice u a = θ(v,w).

2. Vértice v • O lado oposto ao vértice v está contido em , onde ν = w × u. A medida do ângulo com vértice v β = π − θ(η, µ). A medida do lado oposto ao vértice v b = θ(w, u).

3. Vértice w • O lado oposto ao vértice w está contido em , onde η = u× v. A medida do ângulo com vértice w γ = π − θ(µ, ν). A medida do lado oposto ao vértice w c = θ(u, v).

Desejamos demonstrar as seguintes igualdades envolvendo os valores acima,

senα sen b sen c = sen a sen β sen c = sen a sen b sen γ.

Lema 9.1.1 Com a notação fixada temos as relações

η × µ = 〈ν, v〉v, µ× ν = 〈η,w〉w, ν × η = 〈µ, u〉u. Como conseqüência, valem as igualdades das normas

‖η × µ‖ = ‖µ× ν‖ = ‖ν × η‖. Prova Recordando o produto vetorial duplo, podemos escrever

ν × η = (w × u)× (u× v) = 〈w, u× v〉u− 〈u, u× v〉w = 〈w, u× v〉u = 〈w, η〉u.

80 CAPÍTULO 9. TRIGONOMETRIA ELÍPTICA

A terceira igualdade decorre de u ⊥ (u × w). Para completar a demonstração apelamos para a Identidade Cı́clica e para a simetria do produto interno,

〈w, η〉 = 〈w, u× v〉 = 〈u, v × w〉 = 〈v × w, u〉 = 〈µ, u〉. Nas demonstrações das outras duas igualdades utilizamos os mesmos argumentos.

Observando que um outro modo de escrever a Identidade Cı́clica é

〈µ, u〉 = 〈η,w〉 = 〈ν, v〉, podemos terminar a demonstração da última parte do lema, bastando lembrar que os vetores u, v e w são unitários. 

Na demonstração do próximo resultado utilizaremos a igualdade ‖u × v‖ = sen θ(u, v) válida para u e v unitários. Além desta informação, lançaremos mão da propriedade trigonométrica sen(π − θ) = sen θ.

Proposição 9.1.1 Seja uvw um triângulo eĺıptico. Se a, b e c são as medidas dos lados opostos aos vértices u, v e w, respectivamente e α, β e γ os ângulos com vétices em u, v e w, respectivamente, então

senα sen b sen c = sen a sen β sen c = sen a sen b sen γ.

Prova Pelo lema anterior podemos escrever

‖ν × η‖ = ‖ν‖ ‖η‖sen θ (ν, η) = sen b sen c sen (π − α) = sen b sen c senα.

De modo semelhante, obtemos as igualdades

‖ν × η‖ = sen a sen c senβ, ‖µ× ν‖ = sen a sen b sen γ. Mas como as normas calculadas são iguais, como visto no último lema, podemos concluir as igualdades desejadas. 

Finalmente podemos mostrar o

Teorema 9.1.1 (Lei dos senos e Lei dos cossenos) Sejauvw um triângulo e- ĺıptico. Se as medidas dos lados opostos aos vértices u, v e w são respectivamente, a, b e c e as medidas dos ângulos com vértices u, v e w são, respectivamente, α, β e γ, então

senα

sen a =

sen β

sen b =

sen γ

sen c , cos γ =

cos c− cos a cos b sen a sen b

.

Prova Já vimos que senα sen b sen c = sen a sen β sen c. Como o triângulo consi- derado é não degenerado, nenhuma parcela é zero. Simplificando o fator comum, sen c obtemos senα sen b = sen a sen β. Agora, segue imediatamente que

9.2. ÁREA DE TRIÂNGULOS 81

senα

sen a =

sen β

sen b .

As outras igualdades têm demonstrações semelhantes.

Para a Lei dos cossenos, por um lado, a Identidade de Lagrange nos diz que

〈µ, ν〉 = (v × w), (w × u)= det

[ 〈v,w〉 〈v, u〉 〈w,w〉 〈w, u〉

]

= det [ cos a cos c 1 cos b

] = cos a cos b− cos c.

Por outro lado, o produto interno nos dá a igualdade

〈µ, ν〉 = ‖µ‖ ‖ν‖ cos θ(µ, ν) = sen a sen b cos(π − γ) = −sen a sen b cos γ. Agora, é imediato a conclusão do teorema. 

Exerćıcios propostos 9.1

1. Sejam α, β e γ os ângulos de um triângulo eĺıptico cujos lados opostos medem res- pectivamente a, b e c. Prove que as identidades trigonométricas. a) cos a = cos bcos c+ sen b sen c cos α. b) cos b = cos a cos c+ sen a sen c cos β. c) cos c = cos acos b+ sen a sen b cos γ. d) cos α = −cos β cos γ + sen β sen γ cos a. e) cos β = −cos α cos γ + senαsen γ cos b. f) cos γ = −cos α cos β + senαsenβ cos c.

2. Sejam α, β e π2 os ângulos de um triângulo eĺıptico cujos lados opostos medem res- pectivamente a, b e c. Verifique as identidades trigonométricas. a) cos c = cos a cos b. b) cos c = cotg α cotg β. c) sen a = sen c senα. d) sen b = sen c sen β. e) cos α = tg b cotg c. f) cos β = tg a cotg c. g) sen a = tg b cotg β. h) sen b = tg a cotg α. i) cos α = cos a sen β.

9.2 Área de triângulos

Num triângulo do plano Euclidiano ∆, cujas medidas dos ângulos internos são α, β e γ, vale a igualdade α+ β + γ = π. Isto não ocorre com triângulos eĺıpticos. Num triângulo eĺıptico ∆uvw ⊂ S2, com medidas dos ângulos internos α, β e γ ocorre uma desigualdade, qual seja, α+β+γ > π. Para demonstrá-la precisaremos apenas saber

82 CAPÍTULO 9. TRIGONOMETRIA ELÍPTICA

calcular áreas de regiões da esfera unitária. Na verdade, apenas precisaremos saber calcular áreas de dois tipos de regiões: toda a esfera e luas da esfera.

Arquimedes considerava seu mais belo teorema aquele que estabelece a igualdade entre a medida da área de uma esfera e a medida da área lateral de um cilindro circunscrito a ela,

A = 4πr2. Ele e seus contemporâneos consideraram um resultado tão fascinante que inscreve- ram na lápide de Arquimedes a figura que ilustra o teorema. Este resultado admite uma generalização. Sejam L a superf́ıcie lateral do cilindro circunscrito à esfera e f : L → S2, a aplicação que a cada p ∈ L associa ao ponto f(p) S2 obtido pela interseção da esfera com o segmento tendo como ponto inicial o ponto p e perpendicular eixo do cilindro circunscrito. A propriedade excepcional da aplicação f é que ela preserva áreas, no sen- tido que uma região R ⊂ L com medida de área m é aplicada sobre uma região f(R) da esfera com a mesma medida m de área.

É com tal projeção que os cartógrafos constróem o mapa mundi, colocando como eixo de simetria a reta contendo os polos norte e sul da terra. O resultado de Arquimedes é obtido aplicando toda a região L, cuja imagem é a esfera. Sendo assim, uma lua na esfera unitária, com ângulo α, é obtida pela projeção por f de uma faixa com altura 2 e largura α. Como a área da faixa é 2α, a área da lua também será 2α.

Teorema 9.2.1 (Teorema de Girard) Seja uvw um triângulo eĺıptico. Se as medidas dos ângulos determinados pelos vértices u, v e w são, respectivamente, α, β e γ, então

Área(∆uvw) = α+ β + γ − π. Como conseqüência, as medidas dos ângulos do triângulo eĺıptico satisfazem a de- sigualdade α+ β + γ > π.

Prova Seguindo a notação fixada, as luas Lνη, Lηµ e Lµν , têm medidas de áreas 2α,

9.2. ÁREA DE TRIÂNGULOS 83

2β e 2γ, respectivamente. Para cada uma delas, consideremos a lua simétrica em relação à origem, cuja notação será a mesma acrescida do ı́ndice . Por exemplo, L−ηµ = {−v; v ∈ Lηµ}. É claro que as áreas de duas luas simétricas são iguais. Com isto, podemos afirmar que a esfera é descrita como a união de seis luas,

S2 = Lνη ∪ Lηµ ∪ Lµν ∪ L−νη ∪ L−ηµ ∪ L−µν . A área da esfera não será a soma das áreas daqueles conjuntos, pois se efetuarmos esta soma a área do triângulo eĺıptico será computada três vezes, bem como a área de seu simétrico em relação à origem, que possui a mesma área,

uvw = Lνη ∩ Lηµ ∩ Lµν e ∆−uvw = L−νη ∩ L−ηµ ∩ L−µν . Sendo assim, devemos escrever

Área ( S2 ) = 2α+ 2β + 2γ + 2α+ 2β + 2γ − 2Área (∆uvw)2Área (∆−uvw).

Reagrupando os termos chegamos à igualdade

4π = 4(α+ β + γ)4Área (∆uvw) ,

e explicitando a área do triângulo obtemos

Área (∆uvw) = α+ β + γ − π.

Portanto, segue a primeira parte do Teorema. Como a área do triângulo é positiva obtemos a desigualdade α+ β + γ > π. 

Exerćıcios propostos 9.2

1. Sejam u = (1, 0, 0), v = (0, 1, 0) e w = 12 (0, 1, 1) três pontos de S2. Verifique que

uvw é um triângulo eĺıptico e calcule sua área.

2. Existe um triângulo eĺıptico cujos ângulos sejam α = β = π e γ = π4 ?

3. Prove que um triângulo eĺıptico é eqüiangular se, e somente se, é eqüilátero.

4. Existe um triângulo eqüiangular em S2 cujos ângulos medem π3 ?

5. Sejam u, v ∈ S2, tais que η = v×u não é o vetor nulo. Defina a aplicação A : S2 S2, pela propriedade, A(w) é o simétrico de w em relação ao plano Γη.

a) Mostre que A(w) = w − 2 〈w,η〉‖η‖2 η. b) Conclua que A(w) = w para qualquer w ∈ Γη. c) Seja ∆uvw um triângulo em S2. Mostre que ∆uAuv(w)v é um triângulo cuja área

é igual a área de ∆uvw .

84 CAPÍTULO 9. TRIGONOMETRIA ELÍPTICA

6. Sejam v1, v2, v3 e v4 vértices de um quadrilátero em S2. Mostre que a soma das medi- das dos ângulos internos deste quadrilátero é igual a 2π mais a área do quadrilátero.

7. Sejam ∆uvw um triângulo em S2 e A : S2 S2 a aplicação definida por A(p) = −p. Mostre que A (∆uvw) é um triângulo cuja área é igual a área de ∆uvw .

9.3 *Triângulo dual

Como sabemos, o plano eĺıptico dual, S2, é um outro exemplo de plano eĺıptico. Uti- lizaremos esta dualidade para estabelecer outras propriedades de triângulos eĺıpticos.

Seja ∆uvw ⊂ S2 um triângulo eĺıptico. Se considerarmos as reta eĺıpticas orien- tadas determinadas pelos vértices como pontos de S2teremos os pontos

u∗ = µ

‖µ‖ , v ∗ =

ν

‖ν‖ , w ∗ =

η

‖η‖ .

O triângulo eĺıptico dual de ∆uvw é o triângulo ∆u∗v∗w∗ ⊂ S2. No que segue, iremos estabelecer relações entre os dois triângulos. Primeiro, escrevamos os grandes ćırculos em S2que contêm os lados do triângulo dual,

η∗ = u∗ × v∗, µ∗ = v∗ × w∗, ν∗ = w∗ × u∗. Seguindo as convenções notacionais já estabelecidas, sejam

1. a∗, b∗ e c∗ as medidas dos lados opostos aos vértices u∗, v∗ e w∗, respectiva- mente, e

2. α∗, β∗ e γ∗ a medida dos ângulos cujos vértices são u∗, v∗ e w∗, respectiva- mente.

Tais valores são facilmente calculáveis,

a∗ = θ(ν, η) = π − α, b∗ = θ(η, µ) = π − β, c∗ = θ(µ, ν) = π − γ. Isto é, as medidas dos lados do triângulo dual são iguais as medidas dos ângulos do triângulo original. Agora, as medidas do ângulos do tiângulo dual com vértices nos lados u∗, v∗ e w∗ são

α∗ = π − θ(ν∗, η∗), β∗ = π − θ(η∗, µ∗), γ∗ = π − θ(µ∗, ν∗). Resta identificar o membro direito de cada igualdade. Pelo primeiro lema mostrado neste caṕıtulo, seguem que

ν∗ × η∗ = 〈µ∗, u∗〉u∗, η∗ × µ∗ = 〈ν∗, v∗〉v∗, µ∗ × ν∗ = 〈η∗, w∗〉w∗. Portanto,

π − α∗ = θ(v,w) = a, π − β∗ = θ(u,w) = b, π − γ∗ = θ(u, v) = c.

9.3. *TRIÂNGULO DUAL 85

Isto é, as medidas dos ângulos do triângulo dual ∆u∗v∗w∗ é a medida dos lados do triângulo ∆uvw!

Teorema 9.3.1 (Segundas Lei dos senos e Lei dos cossenos na esfera) Se- ja uvw um triângulo eĺıptico. Se as medidas dos lados opostos aos vértices u, v e w são respectivamente, a, b e c e as medidas dos ângulos com vértices u, v e w são, respectivamente, α, β e γ, então

sen a

senα =

sen b

sen β =

sen c

sen γ , cos c =

cos γ + cos α cos β senα sen β

.

Prova A Segunda Lei dos senos é obtida aplicando a Primeira Lei dos senos para o triângulo dual. A Segunda Lei dos cossenos também é obtida aplicando a Primeira Lei dos cossenos para o triângulo dual,

cos γ∗ = cosc∗ − cos a∗cos b∗

sen a∗ sen b∗ .

Fazendo as substituições necessárias,

cos(π − c) = cos(π − γ)− cos(π − α) cos(π − β) sen (π − α) sen(π − β) .

Pelas conhecidas identidades trigonométricas cos(π − t) = −cos t e sen (π − t) = sen t, conclúımos a demonstração. 

Teorema 9.3.2 (Área de um triângulo eĺıptico II) Sejauvw um triângulo e- ĺıptico. Se as medidas dos lados opostos aos vértices nos pontos u, v e w são, respectivamente, a, b e c, então

Área(∆uvw) = 2π − a− b− c. Como conseqüência, o peŕımetro do triângulo eĺıptico satisfaz a desigualdade

2π > a+ b+ c.

Exerćıcios propostos 9.3

1. Mostre que ∆∗∗ = ∆ para qualquer triângulo ∆ S2.

Parte V

GEOMETRIA PROJETIVA E GEOMETRIA AFIM

Caṕıtulo 10

Geometria Projetiva Na Geometria Euclidiana postula-se a existência de retas que não se interceptam. Isto ocorrendo, diz-se que elas são paralelas. Tal postulado contradiz a realidade que apreendemos visualmente. Quando estamos numa longa estrada em linha reta, seus lados são assumidos paralelos, mas a nossa sensação nos diz que elas concorrem num ponto muito longe, chamado ponto de fuga. No ponto de fuga as duas retas estão se inter- ceptando. Se existe uma outra estrada em li- nha reta, cruzando a primeira, ao olharmos na direção desta outra, veremos o mesmo fenômeno, agora, o ponto de fuga é diferente.

Este fenômeno é captado por uma fotografia ou por uma pintura, sugerindo que a Geometria Euclidiana é um modelo da realidade não tão próximo das nossas sensações quanto estamos acostumados a pensar.

E se acrescentarmos os pontos de fuga, isto é, se assumirmos que quaisquer duas retas se interceptam num único ponto, que tipo de espaço geométrico tere- mos? Este é o tópico desta parte do texto. Construiremos um modelo para uma geometria bidimensional sem retas paralelas, a Geometria Projetiva ou Geometria Eĺıptica Simples. Iniciaremos com a construção do plano projetivo e somente após estarmos familiarizados com ele, recuperaremos a idéia surgidas das sensações visu- ais, apresentando o plano afim no final do caṕıtulo.

Axiomas da Geometria Projetiva

I Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence.

II Axiomas de incidência

88 CAPÍTULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA

V Axioma das Paralelas

1. Seja l uma reta e A um ponto não em l. Então toda reta que incide em A intercepta l.

VI Axiomas de Continuidade

1. Existe uma correspondência biuńıvoca entre os números reais e os pontos de uma reta menos um dos seus pontos.

10.1 O plano projetivo RP2

Inicialmente construiremos o conjunto que será o plano projetivo. Considere o conjunto obtido do R3 ao retirarmos o vetor nulo o = (0, 0, 0). Numa linguagem mais informal diz-se que o conjunto é o R3 perfurado na origem (ou simplesmente perfurado) e a notação convencional para indica-lo é R3\{o}.

Por simplicidade, não modificaremos as terminologias ou notações empregadas para subconjuntos contidos em R3. Ao falarmos que Γ é um ”plano” em R3\{0} fica subentendido que ele é a interseção do plano Γ R3 com o R3\{o}. Portanto, se ele contiver a origem será um plano perfurado. Os mesmos comentários valem ao empregarmos o termo ”reta” em R3\{o}. Ela pode ou não ser perfurada, caso incida ou não na origem. No conjunto R3\{o} (conjunto de vetores não nulos), definimos a relação de equivalência1

v ∼ w ⇔ existe um número real λ = 0 tal que v = λw. Considere o conjunto quociente

RP2 = ( R3\{o}) / ∼ .

 Chamaremos RP2 de plano (projetivo) e seus elementos de pontos (projetivos).

Um elemento (classe de equivalência) do plano projetivo é chamado de ponto pro- jetivo, ou simplesmente ponto, e será denotado por uma letra minúscula com uma barra sobreposta, por exemplo, v, onde v é um vetor não nulo de R3. Como sa- bemos, v é um subconjunto de R3\{o} e pela definição da relação de equivalência acima o conjunto que ele está nomeando é o conjunto dos múltiplos não nulos de v,

1Caso o leitor não esteja familiarizado com o conceito de relação de equivalência, no Apêndice existe um caṕıtulo sobre o tópico.

10.2. RELAÇÃO ENTRE RP2 E S2 89

v = {λv; λ ∈ R e λ = 0}. Em outras palavras, o subconjunto v ⊂ R3\{o} é uma reta perfurada. A aplicação quociente é a função denotada e definida por

Ψ : R3\{o} → RP2, Ψ(v) = v. Para diminuir o esforço de leitura, em lugar de empregarmos longas barras so-

bre triplas para designar os pontos do plano projetivo, utilizaremos uma notação mais simples e conveniente. Seja v = (v1, v2, v3) um ponto de R3\{o}. Se acom- panhássemos a notação deveŕıamos escrever

v = (v1, v2, v3)

para indicar a classe de equivalência de v. Entretanto, seguiremos a notação clássica, já consagrada, para indicar elementos do plano projetivo, a saber,

v = (v1 : v2 : v3).

Tal tripla recebe um nome especial: coordenadas homogêneas de v. Seu uso trará grandes vantagens em relação à outra notação, como veremos.

Exerćıcios propostos 10.1

1. Sejam v = (1, 2,−1) e w = (3,−6, 3) vetores de R3\{o}. Mostre que v = w em RP2. 2. Se v é um vetor de R3\{o} e 0 = λ ∈ R, mostre que v = λv.

10.2 Relação entre RP2 e S2

Para entendermos melhor o plano projetivo iremos relacioná-lo com a esfera unitária S2. Esta relação fica estabelecida da seguinte forma. Para cada classe de equi- valência v = (v1 : v2 : v3) RP2 podemos determinar dois elementos da esfera unitária S2 R3\{o} na classe de equivalência de v. Eles são os únicos vetores unitários múltiplos de v, quais sejam,

u = 1

‖v‖v e − u = 1

‖v‖v.

A divisão pela norma do vetor v está bem definida pois ‖v‖ = 0 e como u e −u são múltiplos não nulos de v valem as igualdades v = u = −u. Portanto, temos uma função projeção sobrejetora, que é a restrição da função projeção antes definida,

Ψ0 : S2 RP2, Ψ0(u) = u, tal que o conjunto pré-imagem de cada ponto v é formado por dois pontos de S2,

Ψ10 (v) = {

1 ‖v‖v,−

1 ‖v‖v

} .

90 CAPÍTULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA

A construção acima nos dá um outro modelo para o plano projetivo que é obtido ao identificarmos pontos ant́ıpodas da esfera unitária. Portanto, podemos construir o plano projetivo definindo uma relação de equivalência na esfera unitária do seguinte modo. Sejam u, v ∈ S2. Diz que u ∼ v se, e somente se, u = v ou u = −v. Desta forma RP2 = S2/ ∼.2

Continuemos tentando imaginar como é o plano projetivo. Pelo visto, qualquer ponto v ∈ RP2 pode ser representado por um ponto u = (u1, u2, u3) S2 tal que u3 0. Recordamos que o termo ”representa o mesmo elemento” significa que os dois pontos determinam a mesma classe de equivalência, u = v ∈ RP2. Portanto, se considerarmos o hemisfério norte da esfera unitária,

He3 = {u ∈ S2; 〈u, e3〉 ≥ 0}, a restrição da função projeção Ψ: He3 RP2 é sobrejetiva. Podem ocorrer duas situações para a pré-imagem de um ponto projetivo u = (u1 : u2 : u3) por Ψ,

1. Ψ1(u) = {u}, se u3 > 0 ou 2. Ψ1(u) = {u,−u}, se u3 = 0. Considere a reta eĺıptica re3 S2 (esta reta eĺıpica é o grande ćırculo obtido

pela interseção da esfera unitária com o plano xy). A imagem desta reta eĺıptica re3 pela projeção Ψé chamada de conjunto de pontos ideais, I∞. Observe que e a projeção Ψaplica o conjunto He3/re3 , biunivocamente sobre RP

2/I∞.

10.3 Retas projetivas

Já comentamos que grandes ćırculos de S2 são equivalentes às retas da Geometria Euclidiana, no sentido de que a distância percorrida sobre a esfera unitária, para nos deslocarmos entre dois de seus pontos, é minimizada quando a trajetória é um arco de grande ćırculo contenda os dois pontos. A mesma questão coloca-se para o plano projetivo. Qual a trajetória de menor comprimento que podemos percorrer em RP2 para nos deslocar de um ponto v a um ponto w?

A questão só faz sentido se soubermos qual função distância que estamos consi- derando no espaço projetivo. Para enfatizar que a Geometria projetiva procura es- tudar apenas problemas de incidência, não envolvendo os conceitos de congruência e de ordem, deixamos para leitura complementar do caṕıtulo a apresentação da função distância clássica considerada no plano projetivo. Com aquela distância te- mos a resposta, devemos percorrer uma trajetória sobre a imagem de um grande

2Neste caso, o śımbolo de igualdade indica que existe uma correspondência biuńıvoca entre os conjuntos constrúıdos de uma forma e de outra. Tal correspondência é estabelecida de modo natural, como foi indicado.

10.3. RETAS PROJETIVAS 91

ćırculo de S2 pela aplicação projeção Ψ : S2 RP2 que contenha os pontos v e w. Isto nos leva a fixar o seguinte termo.

 Um subconjunto r ⊂ RP2 é uma reta projetiva se r for a imagem de uma reta eĺıpitca pela projeção Ψ0 : S2 RP2.

Uma definição equivalente com planos perfurados fica sendo:

 Um subconjunto r ⊂ RP2 é uma reta projetiva se r for a imagem de um plano perfurado Γ pela projeção Ψ : R3\{o} → RP2.

Existe um modo prático de nomear retas projetivas. Como sabemos, um plano Γ R3 que contém o = (0, 0, 0) fica determinado pelo seu vetor normal η = (η1, η2, η3), que é um vetor não nulo. Ressaltamos tal propriedade ao utilizar a notação Γη. Neste caso, a equação linear que define o plano é

Γη : η1x1 + η2x2 + η3x3 = 0.

Um fato nos induz a pensar imediatamente no plano projetivo. Todo múltiplo não nulo de η, λη = (λη1, λη2, λη3), onde λ é um escalar diferente de zero, também determina o mesmo plano que contém a origem, assim, qualquer outra equação linear que define aquele plano tem de ser da forma

Γη : λη1x1 + λη2x2 + λη3x3 = 0.

As observações acima nos permitem considerar a classe de equivalência η ∈ RP2. Guardemos este ponto projetivo η, por um momento.

Por outro lado, a interseção de Γη com a esfera unitária S2 determina um grande ćırculo e todo grande ćırculo é obtido deste modo. Por definição, a imagem deste grande ćırculo pela projeção Ψ : S2 RP2 é uma reta projetiva r. Os dois fatos juntos nos levam a fixar a seguinte notação. Ao escrevermos a expressão

a reta projetiva rη

estaremos nos referindo à reta projetiva r ⊂ RP2 determinada pela projeção do grande ćırculo = Γη ∩ S2.

Por exemplo, e3 = (0 : 0 : 1) indica a reta projetiva re3 que é a imagem, pela função projeção, do grande ćırculo obtido pela interseção do plano xy com a esfera unitária. Assim, re3 é a reta de pontos ideais, I∞.

Exerćıcios propostos 10.2

1. Verifique quais pontos projetivos pertencem à reta projetiva , onde η = (1 : 1, 2). a) p = (1 : 1 : 1). b) q = (2 : 0 : 1). c) u = (1 : 1 : 1). d) v = (2 : 3 : 1).

2. Sejam v e w dois vetores linearmente independentes de Γη. Mostre que todo ponto u

92 CAPÍTULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA

da reta projetiva escreve-se como u = sv + tw, onde s e t são números reais não nulos simultaneamente.

3. Com a notação apresentada no exerćıcio anterior, faz sentido escrevermos u = sv+tw, onde s e t são números reais não nulos simultaneamente e v, w ∈ R3\{o}?

10.4 Plano projetivo dual

Consideremos o plano projetivo RP2 e o conjunto de suas partes, P(RP2). Escolha- mos o subconjunto R ⊂ P(RP2) definido por

R é o conjunto formado por todas as retas projetivas. Para construir um modelo geométrico que represente o conjunto R, necessitamos fazer uma abstração, qual seja, considerar cada reta projetiva como um ponto de um conjunto. O fato principal utilizado na construção já apresentamos no parágrafo anterior,

cada ponto projetivo η ∈ RP2 determina uma única reta projetiva rη e cada reta projetiva r ⊂ RP2 determina um único ponto projetivo η.

Estes comentários nos permitem reescrever o conjunto R na forma R = {rη; η ∈ RP2},

e mais, permite estabelecer uma correspondência biuńıvoca entre R e RP2, rη ←→ η.

Logo, existem tantas retas projetivas quantos pontos projetivos! Sendo assim, toma- remos o conjunto RP2 como modelo geométrico para R. Isto causa um problema: como distinguir na leitura um ponto projetivo de uma reta projetiva? Como pri- meira providência para que a confusão não ocorra, o conjunto das retas projetivas será indicado por RP2e denominado plano projetivo dual. A segunda providência é designar os elementos de RP2pelas letras gregas minúsculas η, µ, ν, etc. em lugar de , , , etc. respectivamente. Assim

rη ⊂ RP2 ⇔ η ∈ RP2.

10.5 Incidência

Resumindo a apresentação feita até o momento, temos:

 um conjunto chamado plano (projetivo);

10.5. INCIDÊNCIA 93

 elementos deste plano chamados pontos (projetivos);

 subconjuntos chamados retas (projetivas);

 e entendemos o conceito de uma reta incidir em um ponto.

Portanto, estamos preparados para verificar os axiomas da Geometria Projetiva no conjunto RP2. Na verificação utilizaremos toda a praticidade da notação e as propriedades da Geometria eĺıptica. Ressaltamos as dualidades entre os enunciados envolvendo pontos projetivos e retas projetivas.

Os dois últimos axiomas de incidência são óbvios. Para o primeiro, necessitamos de um critério de incidência entre uma reta projetiva e um ponto projetivo.

Proposição 10.5.1 (Condição de incidência) Dados um ponto projetivo v ∈ RP2 e uma reta projetiva η ⊂ RP2∗. Então

v e rη são incidentes se, e somente se, 〈v, η〉 = 0.

Prova Seja Γη o plano perfurado na origem cujo vetor normal é η. Veja a seguinte sequência de equivalências,

〈v, η〉 = 0 ⇔ ±v ∈ Γη ⇔ ± 1‖v‖v ∈ rη = Γη ∩ S 2 ⇔ v = 1‖v‖v ∈ rη.

Isto termina a demonstração. 

Para cada dois pontos distintos existe uma única reta que os contém.

A validade deste axioma será registrada numa proposição.

Proposição 10.5.2 (Equação de uma reta por dois pontos) Por dois pon- tos projetivos distintos v,w ∈ RP2 incide uma única reta projetiva, a saber,

η = v × w ∈ RP2∗.

Prova Dados v,w ∈ RP2 dois pontos distintos, sejam a e b elementos de S2 que representam aqueles dois pontos projetivo, respectivamente. Observe que b = −a, caso contrário teŕıamos v = w, contradizendo a hipótese. Considere o único plano em R3 contendo os pontos a, b e a origem, isto é, considere o plano Γη, onde η = a×b. A interseção deste plano com a esfera unitária determina o grande ćırculo

= S2 Γη.

94 CAPÍTULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA

Por definição, o conjunto Ψ () é a reta projetiva , e como a e b são pontos deste grande ćırculo, suas imagens Ψ(a) = a = v e Ψ(b) = b = w pertencem àquela reta projetiva. A prova da unicidade da reta deixamos ao cuidados do leitor. 

No plano projetivo não existe paralelismo entre retas projetivas. Duas retas distintas sempre concorrem em um único ponto. Demonstre a proposição a seguir.

Proposição 10.5.3 (Concorrência de duas retas) Duas retas projetivas distin- tas, η, ν ∈ RP2∗ têm um num único ponto, a saber,

v = η × ν ∈ RP2.

Diz-se que três pontos u, v,w ∈ RP2 são colineares se existe uma reta projetiva incidindo sobre os mesmos. Também existe um critério simples para determinar se três pontos do plano projetivo são colineares.

Proposição 10.5.4 (Equação de colinearidade para três pontos) Dados três pontos u, v,w ∈ RP2 temos que

u, v,w são colineares se, e somente se, det[u, v,w] = 0.

Prova Vamos assumir que os pontos são distintos, caso contrário a demonstração é trivial.

Os pontos são (projetivamente) colineares se, e somente se, existe um plano Γη contendo a origem e tal que a imagem do grande ćırculo ΓS2 pela função quociente Ψ0 : S2 RP2 contém estes pontos. Por sua vez, tal ocorre se, e somente se, o plano contém os representantes (que são vetores não nulos e não colineares em R3) dos três pontos, u, v, e w. Observando que um vetor normal ao plano é η = v × w e que u é perpendicular a η, podemos afirmar que u, v,w ∈ Γ se, e somente se,

det[u, v,w] = 〈u, v × w〉 = 〈u, η〉 = 0. 

Proposição 10.5.5 (Equação de concorrência para três retas) Dadas três re- tas projetivas η, µ, ν ∈ RP2∗. temos que

as retas η, µ, ν são concorrentes se, e somente se, det[η, µ, ν] = 0.

Prova Exerćıcio. 

 Uma reta projetiva menos um dos seus pontos é um modelo de uma reta Euclidiana.

O axioma de continuidade será deixado como exerćıcio.

10.6. GEOMETRIA AFIM 95

Exerćıcios propostos 10.3

1. Sejam v, w ∈ RP2. Mostre que qualquer ponto da reta projetiva r definida por estes pontos escreve-se na forma u = sv + tw, onde s e t são números reais não iguais a zero, simultaneamente.

2. Verifique se a reta projetiva determinada por u e u′, a reta determinada por v e v′ e aquela determinada por w e w′ são concorrentes para os seguintes valores. a) u = (1 : 1 : 1), v = (1 : 1 : 1), w = (1 : 2 : 0),

u′ = (1 : 1 : 2), v′ = (1 : 1 : 0), w′ = (1 : 2 : 2). b) u = (1 : 1 : 2), v = (2 : 0 : 1), w = (1 : 2 : 1),

u′ = (2 : 2 : 1), v′ = (3 : 1 : 2), w′ = (0 : 1 : 0). c) u = (1 : 1 : 2), v = (1 : 1 : 1), w = (1 : 1 : 2),

u′ = (0 : 1 : 1), v′ = (2 : 2 : 1), w′ = (1 : 0 : 1).

10.6 Geometria Afim

Como foi visto, o espaço vetorial R2 é identificado com qualquer plano Euclidi- ano utilizando-se um sistema de eixos Cartesianos. Nesta seção identificaremos o espaço R2 com uma parte do plano projetivo, que será chamado de Plano afim. Na Geometria Afim não consideramos o grupo de congruência.

Axiomas da Geometria Afim

I Termos indefinidos

1. Ponto, reta, plano, pertence, está entre.

II Axiomas de incidência

III Axiomas de ordem

V Axioma das Paralelas

VI Axiomas de Continuidade

O plano Euclidiano R2 é naturalmente identificado com o plano horizontal Π : z = 1 (paralelo ao plano xy) em R3\{o} que por sua vez, é um plano tangente à esfera unitária S2 no polo norte, pn = (0, 0, 1). A identificação é simples,

(x, y) (x, y, 1). Agora, cada ponto (x, y, 1) Π R3\{o} determina um único ponto em RP2,

qual seja, (x : y : 1). Considere o conjunto denotado e definido por

96 CAPÍTULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA

AP2 = {(x : y : 1) RP2; (x, y, 1) R3}. Chamaremos AP2 de plano (afim) e seus elementos de pontos (afins).

Observe que qualquer ponto v = (x : y : z) do plano projetivo, com a terceira coordenada ho- mogênea não nula, z = 0, está no plano afim, pois o ponto pode ser representado como v = (xz :

y z : 1) e v corresponde ao ponto (

x z ,

y z ) R2.

Chamaremos esta identificação de identificação afim. Em resumo, o plano afim é o plano proje- tivo menos a reta ideal I∞. Como a reta ideal é a reta projetiva , com η = (0 : 0 : 1), podemos defini-lo também na forma

AP2 = {(u1 : u2 : u3) RP2; u3 = 0}.

10.7 Retas afins

Voltemos ao problema da sensação visual colocado no ı́nicio do caṕıtulo: duas retas que consideramos paralelas convergem para um ponto de fuga. O plano afim capta esta sensação.

 Chamaremos de reta afim é interseção de uma reta projetiva com AP2.

Como qualquer reta projetiva intercepta a reta ideal I∞, num único ponto, segue que uma reta afim é uma reta projetiva menos o seu ponto ideal.

O plano afim dual, o conjunto formado pelas reta afins, será denotado por AP2

e uma reta afim será indicada tanto por η ∈ AP2quanto por rη ⊂ AP2, em que η = (η1, η2, η3) com η3 = 0. Observe que AP2pode ser identificado com o plano projetivo menos o ponto η = (0 : 0 : 1).

O ponto principal da construção diz respeito à relação existente entre as retas Euclidianas em R2 e as retas afins. Uma reta l ⊂ R2 fica determinada por um vetor normal n = (η1, η2) (não nulo) e por um dos pontos no qual ela incide, p = (p1, p2) ∈ l. Como sabemos, a equação linear que define a reta é

l : η1x+ η2y + η3 = 0,

onde η3 é uma constante que depende do vetor normal n e do ponto p. Um exemplo deixará mais clara a notação.

Exemplo 10.7.1 A reta Euclidiana l ⊂ R2 cuja equação é l : 3x− 2y + 6 = 0,

10.7. RETAS AFINS 97

tem vetor normal n = (3,−2) e contém, por exemplo, o ponto, p = (0, 3). Aqui, estamos denotando η1 = 3, η2 = 2 e η3 = 6. Para identificar o plano R2 com o plano Euclidiano Π R3, em termos de equação, Π : z = 1, estabelecemos que

(x, y) (x, y, 1). A reta Euclidiana l é identificada com uma reta s contida naquele plano horizontal. Por outro lado, uma reta em R3 fica determinada pela interseção de dois planos em R3, neste caso, um plano vertical (perpendicular ao plano xy) e outro plano horizontal, a saber,

s : {

3x− 2y + 6 = 0 z − 1 = 0

Mas existem infinitos planos que interceptados com o plano Π : z = 1 determinam a mesma reta s, e entre tantos, estamos interessados no plano Γη contendo a origem. Ele é precisamente aquele que tem equação

Γη : 3x− 2y + 6z = 0. onde η = (3, 2, 6). Portanto, s = Π Γη,

s : {

3x− 2y + 6z = 0 z − 1 = 0 .

É claro que ao projetarmos os pontos de s sobre o plano afim, obtemos a reta afim , com η = (3 : 2 : 6). 

Proposição 10.7.1 A identificação de R2 com o plano afim AP2 tansforma a reta Euclidiana l : η1x+ η2y + η3 = 0 na reta afim rη, onde η = (η1 : η2 : η3).

Alguns exemplos ilustrarão a praticidade computacional obtida com a identi- ficação afim.

Exemplo 10.7.2 (Interseção de retas em R2) Encontremos a interseção das retas Euclidianas planas cujas equações são

l1 : x− 3y + 2 = 0, l2 : 2x− y = 0.

As retas afins correspondentes são η = (1 : 3 : 2) e ν = (2 : 1 : 0), elementos de AP2. A interseção ocorre no ponto v = η × ν = (2 : 4 : 5). O representante no plano Π : z = 1 é v = (25 ,

4 5 , 1), portanto, a interseção da retas l1 ∩ l2 é o ponto

(25 , 4 5) R2. 

98 CAPÍTULO 10. GEOMETRIA PROJETIVA

Exemplo 10.7.3 (Equação de reta por dois pontos em R2) Seja l a reta Euclidiana em R2 determinada pelos pontos p = (1, 1) e q = (2,−1). Após identi- ficação, os pontos afins correspondentes são p = (1 : 1 : 1) e q = (2 : 1 : 1). A reta afim η ∈ AP2contendo os dois pontos é η = p× q = (2 : 1 : 3). Portanto, l : 2x+ y − 3 = 0. 

Exemplo 10.7.4 (Retas paralelas em R2) Examinemos as retas afins determi- nadas por retas paralelas l e l′ em R2, mas não coincidentes. Como as retas são paralelas e distintas, elas admitem equações na forma

l : η1x+ η2y + η3 = 0, l′ : η1x+ η2y + η′3 = 0,

com η3 = η′3. As retas afins determinadas por elas são, respectivamente, η = (η1 : η2 : η3) e ν = (η1 : η2 : η′3), elementos de AP

2. Para calcular o ponto de interseção das retas afins, deveremos utilizar o método estabelecido para o cálculo de interseções de retas projetivas, ou seja a interseção deveria ser

p = η × ν = (η2η′3 − η2η3 : η1η3 − η1η′3 : 0). Mas este ponto projetivo é um ponto ideal que não pertencem ao plano afim. Logo, retas Euclidianas paralelas determinam retas afins que também não se interceptam no plano afim. O ponto p = η × ν é aquele ponto de fuga para o qual, aparente- mente, as retas paralelas convergem. 

Comentário Essencialmente o plano afim é o hemisfério norte de S2 sem o equa- dor. Ao induzirmos a métrica eĺıptica no plano afim obtemos segmentos que têm as mesmas medidas mas não podem ser colocados em correspondência biuńıvoca utili- zando isometrias de S2. Isto é, não podemos estabelecer a relação entre congruência e medida. O mesmo ocorre com triângulos afins.

Exerćıcios propostos 10.4

1. Determine a interseção, se existir, das retas l1 e l2 do plano Euclidiano utilizando o plano afim, onde: a) l1 : 2x− 3y = 0, l2 : 3x− y + 4; b) l1 : y = 2x, l2 : x = 4y − 3; c) l1 : 3x− y = 0, l2 : 2y = 6x− 4; d) l1 : y − 3 + x = 2, l2 : x− 1 = y − 1.

2. Utilize o plano afim para estabelecer a equação Cartesiana reta Euclidiana que contém os pontos p e q, onde: a) p = ( 2, 1) e q = (1, 1); b) p = (2, 1) e q = (1, 0); c) p = (1, 4) e q = (0, 1); d) p = ( 2, 2 ) e q = (4, 4).

10.8. LEITURA COMPLEMENTAR 99

10.8 Leitura complementar

1. Axiomas da Geometria Afim Qualquer resul- tado demonstrado na Geometria Afim permanece válido na Geometria Euclidiana, não sendo válida a afirmação oposta. O termo ”afim” foi introdu- zido pelo matemático suiço Leonard Euler (1707 1783). Euler nasceu em Basiléia, e estudou com Johann Bernoulli. Apesar do fato de ter sido pai de mais de vinte filhos e ficado cego aos 50 anos, foi um matemático prolif́ıco, tendo produzido mais de oitocentos trabalhos e livros, com constribuições fundamentais em todas as áreas da Matemática. Convidado pela czarina Catarina, a grande, para trabalhar na sua corte, impri- miu sua personalidade cient́ıfica na matemática russa, influência que perdura até os dias atuais. Lá não existe uma separação ńıtida entre Matemática pura e Matemática aplicada como estamos acostumados a fazer no ocidente.

2. Axiomas da Geometria Projetiva Real O alemão Karl Georg Christian von Staudt (1798 1867) foi o primeiro matemático que viu a possibilidade de construir uma Geometria lógica sem o conceito de congruência. Na sua época as atenções estavam voltadas para o exame de es- truturas geométricas que fossem bastante simples. Um tal geometria define-se, essencialmente, postu- lando axiomas de incidência. Mas o primeiro a pro- por o acréscimo de pontos ideais foi o astrônomo alemão Johannes Kepler (1571 1630). Sugestão não levada em conta, na época.

3. Distância em RP2 A distância (clássica) em RP2 é definida utilizando-se dois objetos conhecidos:

i) a pojeção Ψ : S2 RP2; ii) a distância θ(a, b) da esfera unitária S2.

Como um ponto em RP2 pode ser representado por elementos de S2, definimos

d : RP2 ×RP2 R, por d (v,w) = min(a, b) , θ (a,−b)}, onde a, b ∈ S2 são quaisquer pontos que representam v e w, respectivamente. O śımbolo min significa que devemos escolher o menor valor entre os dois números.

Caṕıtulo 11

Colineação Nos próximos dois caṕıtulos estudaremos as aplicações projetivas, ou projetividades, que são classificadas em dois tipos,

projetividade

 colineação

correlação

 polaridade

não polaridade

.

Uma colineação é uma aplicação bijetiva ψ : RP2 RP2 que preserva colinearidade, ou seja, se u, v e w são pontos projetivos colineares, então as imagens ψ(u), ψ(v) e ψ(w) são também pontos projetivos colineares.

O leitor já deve ter percebido que os tópico aqui examinados são colocado numa linguagem algébrica. Este caso não foge à regra. A uma colineação, associamos um operador linear do R3 e com ele em mãos, iremos desenvolver a teoria sem dificuldades.

No próximo caṕıtulo trataremos das correlações. Antecipemos este conceito. O espaço das retas projetivas, ou seja, o plano projetivo dual, RP2, foi identificado com o plano projetivo, RP2, portanto satisfaz aos axiomas da Geometria Projetiva. Uma correlação é uma aplicação bijetiva entre os planos projetivos, ρ : RP2 RP2, possuindo a propriedade de colinearidade dual, ou seja, se u, v e w são três pontos projetivos colineares então ρ(u) = η, ρ(v) = µ e ρ(w) = ν são retas projetivas concorrentes.

11.1 Operador linear e colineação

Um operador linear invert́ıvel A : R3 R3 induz uma aplicação no espaço projetivo basta definir

11.1. OPERADOR LINEAR E COLINEAÇÃO 101

A : RP2 RP2, A(x : y : z) = A(x, y, z). Numa forma mais compacta, escrevemos A(v) = A(v). Antes de mostrarmos que de fato a aplicação está bem definida vejamos um exemplo.

Exemplo 11.1.1 A matriz a seguir é não singular pois det[A] = 10,

[A] =

 1 0 12 0 3 2 2 2

 . Como sabemos, o operador linear A : R3 R3 definido por [A] é invert́ıvel. A colineação induzida no plano projetivo é a aplicação A : RP2 RP2,

A(x : y : z) = (x− z : 2x+ 3z : 2x+ 2y + 2z). 

Proposição 11.1.1 Seja A : R3 R3 um operador linear invet́ıvel. Então a aplicação A : RP2 RP2, A(v) = A(v), está bem definida e é uma colineação.

Prova A boa definição é conseqüência de dois fatos.

1o) Se v ∈ RP2 então v = (0, 0, 0). Sendo A invert́ıvel segue que A(v) = o. Logo, o elemento A(v) RP2 está bem definido.

2o) O valor de A num ponto projetivo não depende do representante do ponto. Vejamos esta afirmação. Sejam u, v ∈ R3 tais que u = v. Sendo assim, existe um número real λ = 0 tal que u = λv. Avaliemos A(u) levando em conta que A é um operador linear em R3,

A(u) = A(λv) = λA(v) = A(v).

Verificar que a aplicação A é injetiva e sobrejetiva ficará como exerćıcio. Nos ocuparemos em mostrar que A é uma colineação. Sejam u, v e w pontos projetivos colineares. Pelo critério de colinearidade temos que det [u, v,w] = 0. Apliquemos o mesmo critério para os pontos projetivos A(u), A(v) e A(w),

det [A(u), A(v), A(w)] = det ([A][u, v,w]) = det[A] det[u, v,w] = 0. 

Exerćıcios propostos 11.1

1. Mostre as afirmações.

(a) A composta de duas colineações é uma colineação.

(b) A aplicação inversa de um operador linear invert́ıvel A em R3 define uma coli- neação que é a inversa da colineação definida por A.

102 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

(c) Se A e B são dois operadores lineares invert́ıveis em R3 que definem a mesma colineação então A é um múltiplo de B por algum escalar λ = 0.

(d) Toda colineação definida por por um operador linear invert́ıvel de R3 tem um ponto fixo.

11.2 Construção de colineações

Para construir um operador linear A : R3 R3 basta estabelecer quais são os valores de A nos vetores da base canônica C = {e1, e2, e3}. Escolhidos os valores A(e1) = u, A(e2) = v e A(e3) = w, a matriz canônica do operador linear é a matriz [A] = [u, v,w]. Quando o conjunto {u, v,w} é uma base de R3 o operador linear A é invert́ıvel.

Para construir colineações procedemos da mesma forma, entretanto, o grau de liberdade é menor, é necessário prefixar o valor da colineação em quatro pontos projetivos não colineares três a três. Este é o teorema desta seção. A demonstração da proposição a seguir é construtiva, devendo ser utilizada nos exemplos numéricos.

Proposição 11.2.1 Sejam u, v, w e t pontos de RP2 não colineares três a três. Então existe uma colineação A : RP2 RP2 induzida por um operador linear invert́ıvel A : R3 R3, tal que

A(e1) = u, A(e2) = v, A(e3) = w, A(1 : 1 : 1) = t.

Mais ainda, o operador linear é definido pela matriz

[A] = [k1u, k2v, k3w] ,

onde k1 = 0, k2 = 0 e k3 = 0 são as constantes

k1 = det[t, v, w] det[u, v,w]

, k2 = det[u, t, w] det[u, v,w]

, k3 = det[u, v, t] det[u, v,w]

.

Além disto, se um outro operador linear invert́ıvel B : R3 R3 define a mesma colineação que A então B ≡ λA para algum escalar λ = 0.

Prova Como sempre, escolhamos representantes dos pontos projetivos,

u = (u1, u2, u3), v = (v1, v2, v3), w = (w1, w2, w3), t = (t1, t2, t3).

Por hipótese, três pontos projetivo diferentes da lista são não colineares. Sendo assim, os três primeiros vetores u, v,w formam uma base ordenada de R3, fato eqüivalente a afirmar que det[u, v,w] = 0. Guardemos esta informação.

Recordamos que para qualquer ponto p ∈ RP2 vale a igualdade p = kp, para qualquer escalar k = 0. Logo, ao exigirmos que A(ei) sejam aqueles valores, estamos

11.2. CONSTRUÇÃO DE COLINEAÇÕES 103

exigindo que  A(e1) = (k1u1, k1u2, k1u3),

A(e2) = ( k2v1, k2v2, k2v3),

A(e3) = (k3w1, k3w2, k3w3),

onde ki = 0, i = 1, 2, 3, de onde conclúımos que a matriz [A] deve ter a forma

[A] =

 k1 u1 k2 v1 k3 w1k1 u2 k2 v2 k3 w2 k1 u3 k2 v3 k3 w3

 . Observamos que ela é não singular, pois

det[A] = k1 k2 k3 det[u, v,w] = 0. Para determinar os ki’s lançamos mão do quarto valor, A(1 : 1 : 1) = (t1 : t2 : t3).

A condição

A(1, 1, 1) = (t1, t2, t3)

nos leva ao sistema de equações lineares expresso na forma matricial como t1t2 t3

 =  k1 u1 k2 v1 k3 w1k1 u2 k2 v2 k3 w3

k1 u3 k2 v3 k3 w3

 11 1



=

 u1 v1 w1u2 v2 w2 u3 v3 w3

 k1k2 k3

 . Como det[u, v,w] = 0 podemos resolver o sistema pela regra de Cramer e obter os valores k1, k2 e k3 como enunciado.

A última afirmação da proposição ficará como exerćıcio. 

Na próxima seção mostraremos que só existe aquela colineação assumindo os quatro valores prefixados.

Exemplo 11.2.1 Sejam u = (1 : 1 : 0), v = (0 : 1 : 1), w = (1 : 1 : 1) e t = (3 : 0 : 1) pontos projetivo. Determinemos uma colineação A : RP2 RP2, tal que

A(e1) = u, A(e2) = v, A(e3) = w, A(1 : 1 : 1) = t.

Os pontos são não colineares três a três pois

104 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

det[u, v,w] = 1, k1 = det[t, v, w] = 1,

k2 = det[u, t, w] = 3, k3 = det[u, v, t] = 4. Pela última proposição devemos construir uma matriz do tipo

[A] =

 k1u1 k2v1 k3w1k1u2 k2v2 k3w2 k1u3 k2v3 k3w3

 . Observe que, praticamente, todas as entradas da matriz foram calculadas,

[A] =

 1 0 41 3 4 0 3 4

 . Portanto, A(x : y : z) = (−x+ 4z : −x− 3y + 4z : 3y + 4z). 

Teorema 11.2.1 Dados dois conjuntos de pontos de RP2,

{u, v,w, t}, {u′, v′, w′, t′}, tais que três pontos quaisquer de cada um dos conjunto são não colineares. Então existe uma colineação A : RP2 RP2 induzida por um operador linear invert́ıvel A : R3 R3, tal que

A(u) = u′, A(v) = v′, A(w) = w′, A(t) = t′.

Além disto, se um outro operador linear B : R3 R3 define a mesma colineação que A então B ≡ λA para algum escalar λ = 0.

Prova Sabemos construir colineações C : RP2 RP2 e D : RP2 RP2 tais que C(e1) = u, C(e2) = v, C(e3) = w, C(1 : 1 : 1) = t,

D(e1) = u′, D(e2) = v′, D(e3) = w′, D(1 : 1 : 1) = t ′ .

Agora, como a inversa de uma colineação é uma colineação e a composta de duas colineações é uma colineação, a aplicação D ◦ C−1 é a colineação procurada. A segunda parte do teorema é um exerćıcio. 

Exerćıcios propostos 11.2

1. Seja A : R3 R3 um operador linear tal que A(v) = λvv, onde λv é um escalar que depende de v. Mostre que λv = λ0 para todo v.

2. Mostre que se dois operadores lineares A,B : R3 R3 induzem a mesma colineação no plano projetivo então B ≡ λA, para algum escalar λ = 0.

11.3. TEOREMA FUNDAMENTAL 105

3. Sejam u, v, w e t pontos de RP2. Encontre uma matriz que define a colineação A : RP2 RP2 tal que A(e1) = u, A(e2) = v, A(e3) = w e A(1 : 1 : 1) = t para os seguintes valores. a) u = (0 : 1 : 1), v = (1 : 0 : 1), w = (2 : 1 : 0), t = (1 : 1 : 3). b) u = (1 : 1 : 1), v = (1 : 1 : 1), w = (1 : 2 : 1), t = (1 : 2 : 3). c) u = (1 : 1 : 1), v = (1 : 1 : 1), w = (1 : 2 : 3), t = (1 : 2 : 1). d) u = (2 : 1 : 0), v = (1 : 1 : 3), w = (0 : 1 : 1), t = (1 : 0 : 1).

4. Determine a inversa das matrizes.

a) [A] =

2 4

0 1 2 1 0 1 1 1 0

3 5 ; b) [B] =

2 4

2 1 1 1 0 1 0 1 3

3 5 ; c) [C] =

2 4

0 1 1 1 0 1 1 1 3

3 5 ;

d) [D] =

2 4

0 2 1 1 1 1 1 0 3

3 5 ; e) [E] =

2 4

1 1 1 1 1 2 1 1 1

3 5 ; f) [F ] =

2 4

1 1 1 1 1 2 1 1 3

3 5 ;

g) [G] =

2 4

1 1 1 1 2 2 1 1 3

3 5 ; h) [H ] =

2 4

1 1 1 1 2 2

1 1 3

3 5 .

5. Verifique que a matriz [A], descrita ao lado, define uma colineação em RP2 e determine os pontos fixados por A.

[A] =

 1 1 11 1 1 1 1 2

 .

11.3 Teorema fundamental

Como visto na seção anterior, um operador linear invert́ıvel A : R3 R3 induz uma colineação A : RP2 RP2. A rećıproca deste fato também e verdadeira.

Teorema 11.3.1 (Teorema fundamental da Geometria Projetiva) Toda co -lineação ψ : RP2 RP2 é induzida por um operador linear invert́ıvel A : R3 R3.

A demonstração seguirá de dois resultados. O primeiro afirma que o único automorfismo do corpo dos reais é a aplicação identidade. O segundo resultado classifica todas funções do R2 nele próprio que aplica retas em retas. Demonstremos o primeiro resultado

Proposição 11.3.1 Se f : R R é uma aplicação não identicamente nula tal que para quaisquer x e y reais valem as igualdades:

a) f(x+ y) = f(x) + f(y); (aditiva)

b) f(xy) = f(x)f(y). (multiplicativa)

106 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

Então f(x) = x.

Prova Registremos algumas observações.

1a Observação f(a) = 0 se, e somente se, a = 0. Vejamos. As igualdades f(0) = f(0 + 0) = f(0) + f(0) implicam que f(0) = 0. Suponha, por absurdo, que exista um a = 0 tal que f(a) = 0. Então

f(x) = f ( a x

a

) = f(a)f

(x a

) = 0 f(

x

a ) = 0.

Isto significa que f é identicamente nula, uma contradição.

2a Observação f é uma função ı́mpar, pois

0 = f(0) = f(x+ (−x)) = f(x) + f(−x),

3a Observação f(1) = 1. Para qualquer x real temos que f(x) = f(1x) = f(1)f(x), portanto, f(x)(f(1) 1) = 0. Como f não é identicamente nula, existe x0 tal que f(x0) = 0. Logo, f(1) = 1.

4a Observação f(x2) = [f(x)]2 para qualquer x pois f(x2) = f(xx) = f(x)f(x).

Afirmação 1 f(nx) = nf(x) para quaisquer inteiro n e qualquer x real.

Fixemos qualquer x real. Demonstremos por indução que a afirmação é verda- deira para qualquer n ≥ 0. Para n = 0 a afirmação é correta pelas observações inici- ais. Vamos assumir que a afimação seja verdadeira para n. Calculemos f((n+1)x),

f((n+ 1)x) = f(nx+ x) = f(nx) + f(x) = nf(x) + f(x) = (n + 1)f(x).

Portanto, a firmação é verdadeira para qualquer n ≥ 0. Para n < 0, utilizamos o fato da função ser ı́mpar, f(nx) = f((−n)(−x)) =

(−n)f(−x) = (−n)(−f(x)) = nf(x). Isto conclui a demonstração da afirmação. Afirmação 2 f( nmx) =

n mf(x) para qualquer racional

n m e qualquer x real.

Fixemos qualquer x. Seja m = 0 um inteiro. Pela afirmação anterior podemos escrever,

f(x) = f (m m x ) = mf

( 1 m x

) .

Logo, f( 1mx) = 1 mf(x). Agora é fácil concluir a demonstração da afirmação.

Afirmação 3 f( nm) = n m para todo racional

n m .

A demonstração é trivial,

f ( n m

) = f

( n m 1 ) =

n

m f(1) =

n

m .

11.3. TEOREMA FUNDAMENTAL 107

Afirmação 4 f preserva a ordem, isto é, se x < y então f(x) < f(y).

Seja x > 0. Como existe a > 0 tal que a2 = x, temos f(x) = f(a2) = [f(a)]2 > 0. Isto é suficente para mostrar que f preserva a ordem. Vejamos. Se x < y então 0 < y − x. Pelo visto, 0 < f(y − x) = f(y)− f(x), portanto f(x) < f(y).

Conclúındo a demonstração da proposição. Suponha, por absurdo, que exista x0 tal que f(x0) = x0. Sem perda de generalidade, podemos assumir que f(x0) < x0. Como sabemos, dados dois números reais distintos, existe um racional entre eles. Escolha um racional a tal que f(x0) < a < x0. Como f preserva a ordem e a é racional, temos que a = f(a) < f(x0), uma contradição. Logo f(x) = x para qualquer x real. 

Proposição 11.3.2 Seja B : R2 R2 é uma função biuńıvoca tal que B(o) = o. Se B aplica retas Euclidianas em retas Euclidianas então B é um operador linear invert́ıvel.

Prova O termo ”aplica retas em retas” significa que a imagem de uma reta Eucli- diana está contida numa reta Euclidiana.

Sejam l1 e k retas tais que B(l1) ⊂ k. Inicialmente mostraremos que B(l1) = k e l1 é a única reta cuja imagem está contida em k.

Vamos supor, por absurdo, que exista um ponto q ∈ k mas q /∈ B(l1). Neste caso, como B é biuńıvoca existe um único ponto q0 tal que B(q0) = q. É claro que q0 /∈ l1. Seja l2 uma reta que contém q0 e é perpendicular a l1 em q1 ∈ l1. Como B aplica retas em retas e B(q0), B(q1) ∈ k estão em B(l2) ⊂ k. Agora, dado um ponto qualquer p de R2, ele pertence a uma reta l que intercepta l1 ∪ l2 em pelo menos dois pontos, digamos p1 e p2. Novamente, como B(p1), B(p2) ∈ k segue que B(l) ⊂ k. Isto mostra que B(R2) ⊂ k. Uma constradição, pois estamos supondo que B é sobrejetiva.

Portanto, só existe a reta l1 tal que B(l1) = k.

Mostremos agora que as imagens por B de quaisquer duas retas paralelas l1 e l2 são duas retas paralelas. Pelo visto, as suas imagens B(l1) e B(l2) são retas distintas. Suponha, por absurdo, que exista um ponto na interseção p ∈ B(l1)∩B(l2). Sendo assim, a pré-imagem B−1(p) tem pelo menos dois pontos, um em cada reta paralela, contradizendo a hipótese de B ser biuńıvoca.

Afirmação 1 Se {v,w} é uma base de R2 então B(v + w) = B(v) +B(w). A hipótese de ser base implica que v e w não são nulos e não colineares. Sejam

l1 e l2 as retas distintas que concorrem na origem e tais que v ∈ l1 e w ∈ l2. Sendo assim, {v + w} = l1′ ∩ l′2, em que l′1 é a reta que passa por w e é paralela à reta l1

108 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

enquanto l′2 é a reta que passa por v e é paralela à l2. Examinemos as imagens por B das retas acima,

B(o), B(v) ∈ k1 = B(l1) e B(o), B(w) ∈ k2 = B(l2). Como sabemos, k1 e k2 são retas distintas, logo, β = {B(v), B(w)} é uma base de R2 pois nenhum vetor é nulo e são não colineares. Agora, as retas k′1 = B(l′1) e k′2 = B(l′2) são retas que passam, respectivamente, por B(w) e B(v) e são paralelas, respectivamente, a k1 e k2. É claro que {B(v) + B(w)} = k′1 ∩ k′2. Por outro lado, {B(v + w)} = B(l′1 ∩ l′2) = k′1 ∩ k′2, portanto, B(v + w) = B(v) +B(w).

Afirmação 2 Existe uma transformação linear invert́ıvel A : R2 R2 tal que a composta C = A−1 ◦ B é expressa na forma C(x, y) = (f(x), g(y)), em que f e g são biuńıvocas, f(0) = g(0) = 0 e f(1) = g(1) = 1. E mais, C satisfaz as hipóteses do teorema.

Como feito na Afirmação 1, mostramos que o conjunto de dois vetores β = {B(e1), B(e2)} é uma base de R2. Seja A : R2 R2 a transformação linear tal que A(e1) = B(e1) e A(e2) = B(e2). Mais precisamente, seja A(x, y) = xB(e1)+yB(e2). Como β é uma base então A é invert́ıvel. Recordamos que A−1 é uma transformação linear.

Sendo uma transformação linear, A−1 aplica retas em retas, A−1(o) = o e, sendo invert́ıvel, A−1 é sobrejetiva. Agora, é imediato concluir que C = A−1 ◦B também é uma aplicação biuńıvoca, aplica retas em retas e C(o) = o. Portanto, C satisfaz todas as hipóteses da proposição.

Por construção, C(o) = o, C(e1) = e1 e C(e2) = e2. Isto implica que C pre- serva os eixos ox e oy. Logo, C transforma retas horizontais em retas horizontais enquanto retas verticais são transformadas em retas verticais. Isto é suficiente para mostrar que C(x, y) = (f(x), g(y)). A biunicidade de f e g e os valores enunciados deixaremos como exerćıcio. Isto conclui a demonstração da afirmação.

Iremos mostrar que C ≡ id. Disto segue que A ≡ B, portanto, B é uma transformação linear.

Afirmação 3 As funções coordenadas de C(x, y) = (f(x), g(y)) são aditivas, ou seja, f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2) e g(y1 + y2) = g(y1) + g(y2).

Examinemos apenas f , o estudo de g é similar.

Dados x1 e x2. Se x1 = 0, considere a base {v,w} do R2, em que v = (x1, 0) e w = (x2, 1). Pela Afirmação 1, vale a aditividade C(v + w) = C(v) + C(w), implicando que f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2). Se x1 = 0, como f(0) = 0, é imediato verificar que f(x1 + x2) = f(x1) + f(x2).

Afirmação 4 f ≡ g e f(x1x2) = f(x1)f(x2).

11.3. TEOREMA FUNDAMENTAL 109

Seja α ∈ R. Consideremos uma reta com inclinação α, digamos l : y = αx+ b0, e calculemos a inclinação i(α) da reta imagem C(l). Para isto, sejam (0, b0) e (x, αx + b0) dois pontos distintos de l. É claro que x = 0. A inclinação de C(l) é

i(α) = g(αx+ b0)− g(b0)

f(x)− f(0) = g(αx) f(x)

.

A última igualdade segue por g(αx + b0) = g(αx) + g(b0) e f(0) = 0. Avaliando em x = 1 obtemos que i(α) = g(α) pois f(1) = 1. Logo, g(αx) = g(α)f(x) para quaisquer x e α. Avaliando em α = 1 conclúımos que g ≡ f pois g(1) = 1. Portanto, f(αx) = f(α)f(x). Isto encerra a demonstração da afirmação.

Pelo visto, f(x) = x = g(x). Logo, C(x, y) = (f(x), g(y)) = (x, y), encerrando a demonstração da proposição. 

Prova do Teorema fundamental da Geometria Projetiva Seja ψ : RP2 RP2 uma colineação. Sem perda de generalidade, podemos assumir que ψ preserva a reta ideal I∞ e fixa o ponto (0 : 0 : 1). Caso isto não ocorra, consideramos os pontos projetivos não colineares três a três,

a = ψ(1 : 0 : 0) ∈ ψ(I∞), b = ψ(0 : 1 : 0) ∈ ψ(I∞) e c = ψ(0 : 0 : 1),

e constrúımos uma colineação D : RP2 RP2 induzida de um operador linear do R3 tal que

D(a) = (1 : 0 : 0), D(b) = (0 : 1 : 0) e D(c) = (0 : 0 : 1).

Logo, a composta D ◦ ψ : RP2 RP2 é uma colineação que fixa o ponto (0 : 0 : 1) e preserva a reta ideal desde que fixa dois de seus pontos, quais sejam (1 : 0 : 0) e (0 : 1 : 0).

Iremos supor que a colineação ψ está sob às condições descritas acima. Sendo assim, ψ aplica biunivocamente o plano afim no plano afim. Isto permite definir uma aplicação B : R2 R2 via identificação afim, estabelecendo que

B(x, y) é tal que (B(x, y) : 1) = ψ(x : y : 1).

Como

◦ ψ é uma aplicação biuńıvoca do plano afim que aplica retas afins em retas afins,

a identificação afim aplica retas Euclidianas do R2 em retas afins e como (B(0, 0) : 1) = ψ(0 : 0 : 1) = (0 : 0 : 1),

110 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

é imediato concluir que

◦ B aplica retas Euclidianas em retas Euclidianas,

◦ B fixa a origem o ∈ R2

e B é biuńıvoca.

Portanto, B : R2 R2 é um operador linear invert́ıvel. Considere o operador linear invert́ıvel A : R3 R3, definido por A(x, y, z) = (B(x, y), z). Ficará aos cuidados do leitor mostrar que ψ = A. 

Exerćıcios propostos 11.3

1. Mostre as afirmações

(a) Toda colineação tem um ponto fixo.

(b) Se uma colineação fixa quatro pontos ela é a identidade.

(c) Existem colineações que fixam os pontos e1, e2 e e3 mas que não são a identidade.

2. Demonstre o seguinte teorema para n = 3 e depois use indução para o caso geral.

Teorema Seja B : Rn → Rn uma aplicação biuńıvoca tal que B(o) = o. Se B aplica hiperplanos em hiperplanos então B é um operador linear invert́ıvel.

11.4 Teorema de Papus

Para falar sobre triângulos, quadriláteros, pentágonos e outros poĺıgonos no plano projetivo precisamos definir o significado destes termos que têm suas origens na Geometria Euclidiana plana. Por exemplo, um quadrilátero em RP2 é um poĺıgono projetivo obtido de um quadrilátero do plano Euclidiano, via identificação afim, seguido de uma colineação. Transportamos juntos os significados de vértice, lados, está inscrito, etc.

O objetivo do restante do caṕıtulo é demonstrar dois dos mais antigos teoremas da geometria projetiva, o teorema de Papus e o teorema de Desargues. Expliquemos o teorema de Papus no plano Euclidiano. Para facilitar a leitura, ao denotar uma reta no plano Euclidiano determinada pelos pontos A e B, escreveremos lAB .

11.4. TEOREMA DE PAPUS 111

Acompanhe o enunciado grafica- mente. Sejam l e s duas retas quaisquer no plano Euclidiano. Escolhamos seis pontos distintos, três pontos sobre a primeira reta, digamos, U , V e W , e três sobre a outra reta, U ′, V ′ e W ′. Considere os pontos

A = lVW ′ ∩ lV ′W , B = lUW ′ ∩ lU ′W , C = lUV ′ ∩ lU ′V .

O teorema de Papus afirma que A, B e C são colineares.

Transportaremos o teorema de Papus da Geometria Euclidiana para uma lingua- gem projetiva utilizando a identificação afim. Como o número de retas envolvidas no problema é grande e não temos muitas letras gregas apropriadas para designá- las, fixaremos uma notação. Dados os pontos projetivos distintos u e v denotamos a reta projetiva que contém u e v, por ηuv = u× v.

Teorema 11.4.1 (Teorema de Papus) Sejam u, v, w, u′, v′ e w′ seis pontos projetivos distintos, dos quais os três primeiros estão sobre uma reta rη e os três últimos fora desta reta e sobre uma outra reta rν. Então os pontos de interseção

a = rηvw′ ∩ rηv′w , b = rηuw′ ∩ rηu′w , c = rηuv′ ∩ rηu′v ,

são pontos colineares1.

Prova As hipóteses implicam que u, v′, w e b são não colineares três a três. Sendo assim, a menos de uma colineação, podemos supor que

u = (1 : 0 : 0), v′ = (0 : 1 : 0), w = (0 : 0 : 1), b = (1 : 1 : 1).

Afirmação 1 Sendo v colinear com u e w, podemos escolher

v = (β, 0, 1) com β = 0. Senão vejamos. Como u = (1, 0, 0) e w = (0, 0, 1) pertencem ao plano Γe2 e v

é colinear com u e w e são distintos, então qualquer representante de v é da forma v = (s, 0, t), com s = 0 e t = 0. Logo, podemos tomar v = t(s/t, 0, 1). O vetor (s/t, 0, 1) também será um representante de v. Façamos β = st .

Afirmação 2 Sendo u′ colinear com w e b, podemos escolher

u′ = (1, 1, α′) com α′ = 0. 1A reta projetiva contendo tais pontos é chamada de reta de Papus.

112 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

Seja u′ = (s, t, r) um representate de u. Pelo critério de colinearidade temos

t− s = det[w, b, u′] = 0. Logo, s = t. Devemos ter s = 0, caso contrário u′ = (0 : 0 : α′) = w, uma con- tradição pois os pontos considerados são distintos. Conclúımos que u = (s, s, r) = s (1, 1, r/s). Façamos α′ = r/s.

Afirmação 3 Sendo w′ colinear com u e b, podemos escolher

w′ = (γ′, 1, 1) com γ′ = 0. A demonstração é semelhante à demonstração da afirmação anterior.

Continuemos. Os pontos u′, v′ e w′ estão sobre a reta projetiva , portanto, pelo critério de colinearidade temos a seguinte relação entre os coeficientes α′ e γ′,

0 = det[u′, v′, w′] = det

 1 0 γ′1 1 1 α′ 0 1

 = 1− α′γ′. Guardemos esta relação. Calculemos agora os pontos de interseção das retas proje- tivas. Sabendo que b = (1 : 1 : 1), precisamos calcular

a = ηvw′ × ηv′w, c = ηuv′ × ηu′v. Levando em conta as representações obtemos

ηvw′ = v ×w′ = (1,−β + γ′, β), ηv′w = v′ × w = (1, 0, 0),

ηuv′ = u× v′ = (0, 0, 1), ηu′v = u′ × v = (1, α′β − 1,−β). Finalmente, calculando os pontos as interseções,

a = (0, β, β − γ′) , c = (−α′β + 1, 1, 0), verifiquemos que os pontos são colineares pois

det[a, b, c] =

 0 1 −α′β + 1β 1 1 β − γ′ 1 0

 = β − α′βγ′ = β(1 − α′γ′) = 0.  Exerćıcios propostos 11.4

1. Verifique o teorema de Papus para os pontos dados.

a) u = (1 : 1 : 0), v = (1 : 1 : 2), w = ( 0 : 1 : 1), u′ = (1 : 1 : 1), v′ = (2 : 2 : 1), w′ = (1 : 1 : 1).

b) u = (1 : 0 : 1), v = (1 : 1 : 2), w = (5 : 2 : 3), u′ = (1 : 1 : 0), v′ = (1 : 3 : 1), w′ = (0 : 2 : 1).

c) u = (2 : 1 : 1), v = (0 : 1 : 1), w = (1 : 2 : 1), u′ = (1 : 1 : 1), v′ = (0 : 2 : 1), w′ = (1 : 3 : 2).

11.5. TEOREMA DE DESARGUES 113

2. Considere as retas Euclidianas { l1 : y = x l2 : y = 2x− 3 .

Escolhidos os pontos sobre a reta l1, A(1,1), B(2, 2) e C(3, 3), e os pontos sobre a reta l2, A′(1,−1), B′(2, 1) e C′(6, 3), determine as coordenadas das interseções P , Q e R e mostre que são pontos colineares, onde

P = lAB′ ∩ lA′B, Q = lAC′ ∩ lA′C , R = lBC′ ∩ lB′C . 3. Coloque o problema em linguagem projetiva e prove-o. Sejam A, B e C pontos

distintos sobre uma reta l e A′, B′ e C′ pontos distintos sobre outra reta l′ = l de maneira que nenhum destes pontos estão na interseção l ∩ l′. Se as retas lAA′ , lBB′ , lCC′ são coincidentes em P , então a reta de Papus é concorrente com l e l′.

11.5 Teorema de Desargues

O Teorema de Desargues diz respeito a triângulos em perspectiva. Acompanhe na figura o enunciado. Considere o plano contendo o triângulo com vértices u, v e w. Vamos assumir que posicionado em O exista um ponto de luz e que o triângulo seja opaco. O triângulo projeta uma sombra sobre um outro plano determinando um triângulo cujos vértices são u′, v′ e w′. O Teorema de Desargues afirma que os la- dos correspondentes do triângulo e de sua sombra concorrem na reta interseção dos dois planos. Com isto, fica descrita uma propriedade básica da perspectiva, ao es- tabelecer uma técnica fundamental para desenhos, onde a realidade visual é regis- trada graficamente sobre uma superf́ıcie plana. Transcrevamos todas estes fatos f́ısicos num teorema com linguagem pro- jetiva.

Teorema 11.5.1 (Teorema de Desargues) Seja ∆ = {u, v,w} um conjunto de três pontos projetivos distintos e não colineares e seja = {u′, v′, w′} outro con- junto de três pontos projetivos distintos e não colineares tais que = { } e que

{p} = rηuu′ ∩ rηvv′ ∩ rηww′ . Então os pontos projetivos a, b e c são colineares,2 em que

a = rηvw ∩ rηv′w′ , b = rηuw ∩ rηu′w′ , c = rηuv ∩ rηu′v′ . 2A reta projetiva assim definida é a reta de Desargues.

114 CAPÍTULO 11. COLINEAÇÃO

Prova Assuma que os pontos projetivos u′, v′, w′ e p são não colineares três a três (o caso contrário é trivial). A menos de uma colineação, podemos simplificar os cálculos assumindo que

u′ = e1, v′ = e2, w′ = e3, p = (1 : 1 : 1).

Afirmação 1 Existem números reais α, β e γ diferentes de zero tais que os pontos u, v e w podem ser representados por

u = (1 + α, 1, 1), v = (1, 1 + β, 1) e w = (1, 1, 1 + γ).

Demonstraremos apenas a existência de α, as outras igualdades têm demons- trações semelhantes. Os pontos p, u′ e u são colineares e distintos em RP2, im- plicando que todos pertencem a um mesmo plano perfurado em R3 e dois deles, digamos, p e u′, são linearmente independentes. Logo, u = sp + tu′, para algum s = 0 e t = 0. Como

u = sp+ tu′ = s(p+ tsu ′),

façamos α = ts .

Afirmação 2 Os pontos projetivos ηvw, ηuw e ηuv são

ηuv = (−β : −α : (1 + α)(1 + β)1), ηuw = (+γ : 1(1 + α)(1 + γ) : +α), ηvw = ((1 + β)(1 + γ)1 : −γ : −β).

A demonstração é um cálculo direto.

Afirmação 3 Os pontos projetivos a, b e c podem ser representados por

a = (0, β, γ), b = (α, 0,−γ), c = (−γ, β, 0). Finalizando. O cálculo

det[a, b, c] = det

 0 α −αβ 0 β γ −γ 0

 = βγα − αβγ = 0, mostra que os três pontos são colineares. 

Exerćıcios propostos 11.5

1. Sejam u = (1 : 0 : 1), v = (1 : 2 : 2), w = (1 : 1 : 1), u′, v′ e w′ pontos tais que as retas projetivas rηuu′ , rηvv′ e rηww′ são concorrentes em p = (0 : 0 : 6). Determine representantes para u′, v′ e w′ sabendo-se que eles são pontos ideais e estão na reta de Desargues.

Caṕıtulo 12

Cônicas A interseção de um cone cujo vértice é a origem do R3 e o plano horizon- tal com equação z = 1 produz uma das três curvas clássicas denomina- das de cônicas: elipse, parábola ou hipérbole. Estamos interessados em estudar tais curvas, mas não com a fi- nalidade de determinar seus eixos, fo- cos, asśıntotas, etc. ou suas proprie- dades métricas como, por exemplo, as razões entre as distâncias de pontos aos focos e diretrizes, estudo feito nos últimos anos do Ensino Médio. Exis- tem belos resultados, como o Teorema de Pascal, exibindo propriedades não métricas das cônicas e que dependem apenas do conceito de incidência. Toda a força da Geometria Projetiva surge ao demons- trarmos estes teoremas, certamente, um dos pontos altos da teoria.

12.1 Cones em R3

Em algum momento da nossa vida de estudante, seja quando estudamos Cálculo na Universidade ou Geometria Anaĺıtica no Ensino Médio, ouvimos ou lemos a frase

x2 + y2 − z2 = 0 é a equação de um cone  em R3.” De fato, ao registramos graficamente o conjunto dos pontos v = (x, y, z) R3 cujas coordenadas satisfazem a equação obtemos uma figura que entendemos como sendo um cone com vértice na origem.

Aquela equação possui uma propriedade que nos induz a pensar no plano proje-

116 CAPÍTULO 12. CÔNICAS

tivo. Se v = (x, y, z) , então, escolhido qualquer λ ∈ R, o vetor λv = (λx, λy, λz) também pertence ao cone pois suas coordenadas satisfazem à equação que define ! Logo, faz sentido considerá-la como uma equação em coordenadas homogêneas e estudar o conjunto C formado pelos pontos projetivos v = (x : y : z) RP2 cujas coordenadas satisfazem a equação, isto é,

C : x2 + y2 − z2 = 0. Devemos examinar com mais vagar este conjunto. Uma equação em coordenadas homogêneas é, obviamente, chamada de equação homogênea.

Uma cônica em R2 é a curva obtida pelo transporte via identificação afim da curva interseção de um cone e o plano horizontal Γe3(0, 0, 1) : z = 1. A projeção de um cone (menos seu vértice que sempre assumiremos ser o) no plano projetivo é uma curva também denominada cônica em RP2.

No caso da interseção do cone  : x2+y2−z2 = 0 e o plano horizontal produzimos a equação x2+y21 = 0 em R2 que reconhecemos como sendo a equação do ćırculo unitário canônico em R2. Cı́rculo é um tipo particular de elipse.

A técnica principal é estabelecer uma relação entre equações homogêneas de grau 2 com Álgebra Linear, disciplina que, geralmente, trata de equações lineares, de grau 1. Embora não seja um relação que possa ser imaginada de imediato, ela é simples. Exemplifiquemos com o cone  acima.

Considere o operador linear A : R3 R3, definido por A(x, y, z) = (x, y,−z). Sua matriz canônica é a matriz diagonal, portanto, simétrica,

[A] =

 1 0 00 1 0 0 0 1

 . Seja v = (x, y, z) R3. O leitor pode verificar que o cone fica definido por

 : 〈v,A(v)= 0. Passemos ao plano projetivo. O operador linear A, sendo invert́ıvel, induz uma

colineação A no plano projetivo, mas a equação 〈v,A(v)= 0 é a equação de incidência entre o ponto projetivo v ∈ RP2 e uma reta projetiva rη ⊂ RP2, isto é, e a reta projetiva A(v) = η ∈ RP2. Sendo assim, é mais natural aceitar que o operador linear induz uma aplicação entre o plano projetivo e seu dual,

A∗ : RP2 RP2∗, A∗(x : y : z) = (x : y : −z), pois o plano projetivo e seu dual são ”os mesmos”. Logo,

a cônica em RP2 obtida pela projeção de um cone em R3 é o conjunto dos pontos projetivos v tais que v e a reta projetiva A∗(v) são incidentes.

12.1. CONES EM R3 117

Uma pergunta se impõe imediata- mente. Qual o significado da reta pro- jetiva η = A∗(v) RP2? Algebricamente a resposta é fácil. A reta projetiva rA∗(v) é obtida pela projeção do plano perfurado em R3

cujo vetor normal é η = A(v). Na nossa notação, é a reta projetiva ob- tida pela projeção do plano perfurado ΓA(v).

A resposta geométrica é crucial para o estudo das propriedades de cônicas que envolvam apenas o conceito de incidência. O plano ΓA(v) é o plano tangente ao cone no ponto v! Examinemos esta afirmação. Primeiro, observe que v ∈ ΓA(v) pois 〈v,A(v)= 0. Segundo, a reta λv também pertence ao mesmo plano e ao cone. Resta mostrar que esta reta é a precisamente a interseção do plano e o cone. Deixaremos a demonstração deste fato para depois.

Em resumo. Além de obtermos uma curva em RP2, isto é, o conjunto de pontos projetivos v = (x : y : z) que satisfazem à equação x2 + y2 − z2 = 0, também obtemos a reta projetiva tangente no ponto v, qual seja, η = A∗(v) = (x : y : −z).

Precisamos transportar todas as informações para o R2 pois, afinal, desejamos estudar cônicas no plano. A tarefa é simples via identificação afim. Por exemplo, o ponto

v = (3 : 4 : 5) = (

3 5 :

4 5 : 1

) pertence à cônica C do plano projetivo definida pela equação homogênea (ordem 2) x2 + y2 − z2 = 0. A reta projetiva tangente à cônica no ponto v

A(v) = η = (3 : 4 : 5). Pela identificação afim,

obtemos a equação do ćırculo unitário canônico em R2, x2 + y2 1 = 0 (considerando z = 1),

o ponto p = (35 , 45) pertence ao ćırculo unitário

e a reta Euclidiana l : 3x+4y− 5 = 0 é a reta tangente ao ćırculo no ponto p.

Mas tudo isso é pouco diante do que vai ser dito.

Exerćıcios propostos 12.1

118 CAPÍTULO 12. CÔNICAS

1. Identifique quais equações em três variáveis são homogêneas e determine a ordem de homogeneidade. a) x2 − xz + y2 = 0. b) x2 − y + z2 = 0. c) xy + xz + yz = 0. d) x3 − y2 + z2 = 0. e) x2 + y2 = 0. f) xyz = 0.

2. Considere a curva obtida pela interseção do cone  R3 com o plano Γ : z = 1. Transporte a curva obtida via identificação afim para o plano Cartesiano, faça seu esboço e identifique a cônica obtida. a)  : x2 − y2 + z2 = 0. b)  : x2 − yz = 0. c)  : x2 + 2xz + yz = 0. d)  : 4x2 + 9y2 − z2 = 0. e)  : xz + y2 = 0. f)  : xy − z2 = 0.

12.2 Quádricas

Esta seção é dedicada a organizar os cometários postos na seção anterior. Iremos estudar equações polinomiais homogêneas de ordem 2 em R3, ou formas quadráticas,

ax2 + bx2 + cz2 + dxy + exz + fyz = 0.

Inicialmente estaremos interessados no conjunto solução, isto é, nos pontos v = (x, y, z) R3 cujas coordenadas satisfazem a equação. O conjunto solução é cha- mado de quádrica. Posteriormente, estudaremos o conjunto de pontos projetivo v = (x : y : z) RP2 cujas coordenadas homogêneas satisfazem à mesma equação, isto é, estudaremos as cônicas. A homogeneidade da equação permite este estudo.

Um operador linear associado àquela equação é um operador linear simétrico A : R3 R3, tal que

〈v,A(v)= ax2 + bx2 + cz2 + dxy + exz + fyz, em que v = (x, y, z) R3. A matriz simétrica associada à equação é a matriz do operador linear A na base canônica, [A] = [A(e1), A(e2), A(e3)]. Demonstre a proposição abaixo, ela estabelece um algoritmo relacionando os coeficientes da equação e as entradas da matriz [A].

Proposição 12.2.1 Dada uma equação polinomial homogênea de ordem 2 em R3, ax2 + bx2 + cz2 + dxy + exz + fyz = 0, existe um único operador linear simétrico A : R3 R3 associado à equação, a saber, é o operador cuja matriz canônica é

[A] =

 a d/2 e/2d/2 b f/2 e/2 f/2 c

. Exemplo 12.2.1 Pela proposição, a equação 7x2 + y2 2xy + 5xz − 4yz = 0 é reescrita na forma 〈v,A(v)= 0, em que A : R3 R3 é o operador linear simétrico cuja matriz canônica é

12.2. QUÁDRICAS 119

[A] =

 7 1 5/21 1 2 5/2 2 0

. 

Exemplo 12.2.2 O operador linear simétrico associado à equação x2+y2+z2 = 0 é a identidade Id do R3. O único vetor v = (x, y, z) R3 que satisfazem a condição 〈v, Id(v)= 0 = x2 + y2 + z2 é o vetor nulo. 

O exemplo acima nos diz um pouco mais. Um operador linear simétrico com todos os autovalores positivos é dito ser positivo. Em Álgebra Linear, é mostrado que, neste caso, vale a condição 〈v,A(v)〉 > 0 para todo vetor não nulo v. Logo, um operador linear simétrico positivo produz uma quádrica (degenerada) que reduz-se a um ponto, a origem. Fato similar ocorre com um operador simétrico com todos autovalores negativos, vale a inequação 〈v,A(v)〉 < 0 para todo vetor v = o. Por- tanto, a quádrica correspondente também reduz-se a um ponto. Não estudaremos quádrica cujo operador associado tem todos os autovalores com o mesmo sinal.

Devido a naturalidade da relação entre um operador linear e sua matriz na base canônica, iremos nos referir a autovalores, a autovetores, a quádrica determinada por uma matriz em lugar de empregar estes termos a operadores lineares.

Exemplo 12.2.3 Devemos fazer mais restrições sobre o tipo de equação que deve- mos analisar. Considere o conjunto dos pontos v = (x, y, z) R3 cujas coordenadas satisfazem a equação homogênea x2−y2 = 0. Com uma manipulação algébrica sim- ples obtemos a decomposição (x+y)(x−y) = 0. A quádrica correspondente em R3 é a união de dois planos. Evidentemente, qualquer pessoa de bom senso não vê forma de cone alguma num esboço das soluções. Os matemáticos idem. Mas o privilégio compensatório é poder detetar algebricamente o fenômeno. Para isso, é suficiente examinar os autovalores do operador linear cuja matriz simétrica associada é

[A] =

 1 0 00 1 0 0 0 0

. Os autovalores são λ1 = 1, λ2 = 1 e λ3 = 0. O autovalor zero provoca a degene- recência da quádrica, estamos examinando uma quádrica degenerada. Excluiremos estes casos patológicos do nosso estudo. 

Tendo em vista os comentários acima, iremos estudar formas quadráticas pro- venientes de operadores lineares A de R3 satisfazendo as seguintes condições:

eles são simétricos;

120 CAPÍTULO 12. CÔNICAS

seus autovalores são distintos de zero (A é invert́ıvel); os autovalores não têm o mesmo sinal.

O conjunto solução A em R3 da forma quadrática cujo operador linear associado está sob as condições acima é chamado de cone em R3 e, pelo visto, sua definição utilizando a condição de incidência é

A = {v ∈ R3; 〈v,A(v)= 0}. Nos ocuparemos somente destes casos. A interseção do cone A com o plano

Γe3 : z = 1, produz três tipos de curvas em R 2, via identificação afim, chamadas de

cônicas: elipse, parábola e hipérbole.

Exemplo 12.2.4 Pelo algoritmo construido no ińıcio desta seção, a matriz simétrica ao lado define o cone A : x2 2xy + y2 + 2xz + 2yz + 2z2 = 0.

[A] =

 1 1 11 1 1 1 1 2

 . Se desejarmos utilizar a linguagem de operadores lineares, consideramos o ope-

rador linear A : R3 R3, A(x, y, z) = (x−y+z,−x+y+z, x+y+2z), e definimos o cone pela equação de incidência, A : 〈v,A(v)= 0.

De fato, esta quádrica é um cone pois seus autovalores são λ1 = 2 > 0, λ2 = 1 +

12 > 0 e λ3 = 1

12 < 0.

A cônica obtida em R2 via identificação afim (z = 1) tem equação C : x22xy+ y2 + 2x + 2y + 2 = 0. Logo adiante, teremos condições de saber qual é o tipo de cônica: elipse, parábola ou uma hipérbole. 

O fato que permite estudar estas curvas planas no plano projetivo é a seguinte propriedade do cone A. Se λ = 0 e v ∈ A ⊂ R3 então, λv ∈ A pois

〈λv,A(λv)= λ2〈v,A(v)= 0. Portanto, a projeção Ψ : R3/{o} → RP2, Ψ(v) = v, aplica o cone A (menos a origem) numa curva sobre o plano projetivo, chamado de cônica projetiva, ou simplesmente, cônica. Como veremos logo a seguir, o plano projetivo é o espaço mais apropriado para estudar as cônicas.

Exerćıcios propostos 12.2

1. Mostre que o determinante de uma matriz 3×3 é igual a zero se, e somente se, existe um autovalor igual a zero.

2. Para cada equação homogênea de ordem 2 determine um operador linear A : R3 R3 e reescreva a equação com a condição de incidência 〈v,A(v)= 0. a) x2 3y2 + z2 = 0. b) 4x2 + 2y − z2 = 0. c) 3x2 + y2 + 4z2 = 0. d) 2xy − 2xz + 2yz = 0. e) 6x2 − yz = 0. f) (x− z)2 = 0.

12.3. CORRELAÇÕES 121

12.3 Correlações

Como feito anteriormente, o conjunto das retas projetivas RP2foi identificado com o plano projetivo RP2. Desejamos estudar as aplicações bijetivas ρ : RP2 RP2que preservam colinearidade, isto é, três pontos projetivos colineares são aplicados em três retas projetivas concorrentes. Tais aplicações e suas inversas são chamadas de correlações.

Nada impede que dado um operador linear invert́ıvel A : R3 R3 possamos definir uma aplicação A∗ : RP2 RP2, pela qual associamos um ponto projetivo v a uma reta projetiva r pois o contra domı́nio é ”um plano projetivo”. A utilização do asterisco nesta notação tem o objetivo de distingüi-la de colineação, aplicação definida e estudada no caṕıtulo anterior, cujo domı́nio e contradomı́nio é o plano projetivo. Aqui o contradomı́nio é o plano projetivo dual.

Exemplo 12.3.1 O operador linear A de R3 cuja matriz canônica é

[A] =

 0 1 01 0 1 0 1 1

 é invert́ıvel pois det[A] = 0. Em termos de coordenadas homogêneas ele define a aplicação A∗ : RP2 RP2,

A∗(x : y : z) = (y : x+ z : y − z). Por exemplo, o ponto projetivo v = (1 : 1 : 3) é aplicado na reta projetiva , onde η = (1 : 4 : 2). A inversa de A∗ é a aplicação A∗ : RP2∗ → RP2 (o asterisco é colocado na posição inferior),

A∗(v) = A−1(v). Para explicitar a aplicação precisamos saber a matriz inversa de [A],

[A]1 =

 1 1 11 0 0 1 0 1

. Sendo assim, A∗(x : y : z) = (−x+ y+ z : x : x− z). A reta projetiva η = (2,−1, 3) é aplicada no ponto projetivo v