Instrumentalizando as cincias naturais e matemtica , Notas de aula de Matemática. Marco Polo
jr2525
jr25252 de Agosto de 2015

Instrumentalizando as cincias naturais e matemtica , Notas de aula de Matemática. Marco Polo

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INSTRUMENTALIZANDO AS CIÊNCIAS NATURAIS E

MATEMÁTICA I

ROSANA GIOVANNI PIRES CLEMENTE

INSTRUMENTALIZANDO AS CIÊNCIAS NATURAIS E

MATEMÁTICA I

1ª Edição

Taubaté Universidade de Taubaté

2011 Copyright© 2011. Universidade de Taubaté. Todos os direitos dessa edição reservados à Universidade de Taubaté. Nenhuma parte desta publicação pode ser reproduzida por qualquer meio, sem a prévia autorização desta Universidade.

Administração Superior Reitor Prof. Dr. José Rui Camargo

Vice-reitor Prof. Dr. Marcos Roberto Furlan Pró-reitor de Administração Prof. Dr. Francisco José Grandinetti

Pró-reitor de Economia e Finanças Prof. Dr. Luciano Ricardo Marcondes da Silva Pró-reitora Estudantil Profa. Dra. Nara Lúcia Perondi Fortes

Pró-reitor de Extensão e Relações Comunitárias Prof. Dr. José Felício Goussain Murade Pró-reitora de Graduação Profa. Dra. Ana Júlia Urias dos Santos

Pró-reitor de Pesquisa e Pós-graduação Prof. Dr. Edson Aparecida de Araújo Querido Oliveira

Coordenação Geral EaD Profa. Ms. Sônia Romeu Alcici Coordenação Pedagógica Profa. Ms. Marilda Prado Yamamoto

Coordenação de Materiais Profa. Ms. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira Revisão ortográfica-textual Profa. Ms. Isabel Rosângela dos Santos Ferreira

Projeto Gráfico e Diagramação Prof. Ms. José de Oliveira Filho Autora Profa. Ms. Rosana Giovanni Pires Clemente

Unitau - Reitoria Rua Quatro de Março, 432 - Centro Taubaté – São Paulo CEP: 12.020-270 Central de Atendimento: 0800557255

Educação a Distância (EaD) Avenida Marechal Deodoro, 605 – Jardim Santa Clara Taubaté – São Paulo CEP: 12.080-000 Telefones: Coordenação Geral: (12) 3625-4130 Secretaria: (12) 3625-4280

Ficha catalográfica elaborada pelo SIBi Sistema Integrado de Bibliotecas / UNITAU

PALAVRA DO REITOR

Palavra do Reitor

Toda forma de estudo, para que possa dar certo, carece de relações saudáveis, tanto de ordem afetiva quanto produtiva. Também, de estímulos e valorização. Por essa razão, devemos tirar o máximo proveito das práticas educativas, visto se apresentarem como máxima referência frente às mais diversificadas atividades humanas. Afinal, a obtenção de conhecimentos é o nosso diferencial de conquista frente a universo tão competitivo.

Pensando nisso, idealizamos o presente fascículo, que aborda conteúdo significativo e coerente à sua formação acadêmica e ao seu desenvolvimento social. Cuidadosamente redigido e ilustrado, sob a supervisão de doutores e mestres, o resultado aqui apresentado visa, essencialmente, a orientações de ordem prático-formativa.

Cientes de que pretendemos construir conhecimentos que se intercalem na tríade Graduação, Pesquisa e Extensão, sempre de forma responsável, porque planejados com seriedade e pautados no respeito, temos a certeza de que o presente estudo lhe será de grande valia.

Portanto, desejamos a você, aluno, proveitosa leitura. Bons estudos!

Prof. Dr. José Rui Camargo Reitor

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Apresentação

Este fascículo, denominado Instrumentalizando as ciências naturais e a matemática I,

tem como objetivo apresentar as ideias básicas dos cálculos matemáticos, que

envolvem a Análise Combinatória, o Binômio de Newton e a Teoria das Probabilidades,

para os cursos que compõem a área de Ciências da Natureza e Matemática: Biologia,

Física, Matemática e Química.

As Unidades foram desenvolvidas de maneira clara e objetiva, para que o aluno possa

compreendê-las e aplicá-las na resolução de problemas dentro da sua área de

conhecimento. Importante ressaltar que o conhecimento matemático deve ser

construído aos poucos; cabe ao aluno a oportunidade de aprender e ao professor a

oportunidade de ensinar.

Bons estudos e sucesso!

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Sobre a autora

ROSANA GIOVANNI PIRES CLEMENTE é licenciada em Matemática

(Universidade de Taubaté - UNITAU – SP), pós-graduada em Técnicas de Computação

Avançada e mestre em Engenharia Mecânica (UNITAU – SP). Atua como professora

assistente no Departamento de Economia, Ciências Contábeis e Administração, é

membro da equipe de produção de materiais do Núcleo de Educação a Distância da

Universidade de Taubaté e leciona as disciplinas Matemática Aplicada e Estatística em

cursos de graduação.

E-mail: [email protected]

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Caros(as) alunos(as), Caros(as) alunos(as)

O Programa de Educação a Distância (EAD) da Universidade de Taubaté apresenta-se

como espaço acadêmico de encontros virtuais e presenciais direcionados aos mais

diversos saberes. Além de avançada tecnologia de informação e comunicação, conta

com profissionais capacitados e se apóia em base sólida, que advém da grande

experiência adquirida no campo acadêmico, tanto na graduação como na pós-graduação,

ao longo de mais de 35 anos de História e Tradição.

Nossa proposta se pauta na fusão do ensino a distância e do contato humano-presencial.

Para tanto, apresenta-se em três momentos de formação: presenciais, fascículos e Web

interativa. Conduzem esta proposta professores/orientadores qualificados em educação

a distância, apoiados por fascículos produzidos por uma equipe de profissionais

preparada especificamente para este fim, e por conteúdo presente em salas virtuais.

A estrutura interna dos fascículos é formada por unidades que desenvolvem os temas e

subtemas definidos nas ementas disciplinares aprovadas para os diversos cursos. Como

subsidio ao aluno, durante todo o processo ensino-aprendizagem, além de textos e atividades aplicadas, cada fascículo apresenta sínteses das unidades, dicas de leituras e

indicação de filmes, programas televisivos e sites, todos complementares ao conteúdo

estudado.

Os momentos virtuais ocorrem sob a orientação de professores específicos da Web. Para

a resolução dos exercícios, como para as comunicações diversas, os alunos dispõem de

blog, fórum, diários e outras ferramentas tecnológicas. Em curso, poderão ser criados

ainda outros recursos que facilitem a comunicação e a aprendizagem.

Esperamos, caros alunos, que o presente material e outros recursos colocados à sua

disposição possam conduzi-los a novos conhecimentos, porque vocês são os principais

atores desta formação.

Para todos, os nossos desejos de sucesso!

Equipe EAD-UNITAU

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Sumário

1 Palavra do Reitor......................................................................................... 5 2 Apresentação............................................................................................... 7 3 ..................................................................................................................... 4 Sobre a autora.............................................................................................. 9 5 Caros(as) alunos(as).................................................................................... 11 6 Objetivos...................................................................................................... 2 7 Unidade 1. Análise Combinatória................................................................ 5 8 ..................................................................................................................... 9 1.1 Princípio Fundamental da Contagem.................................................... 5 10 1.2 Fatorial de um número natural............................................................... 8 11 1.3 Permutação Simples.............................................................................. 9 12 1.4 Permutação com Repetição................................................................... 11 13 1.5 Combinação Simples............................................................................. 12 14 1.6 Arranjo Simples..................................................................................... 14 15 1.7 Síntese da Unidade................................................................................ 15 16 1.8 Para saber mais...................................................................................... 15 17 Referências.................................................................................................. 17 18 Unidade 2. Binômio de Newton.................................................................. 18 19 2.1 Número Binomial.................................................................................. 18 20 2.2 Triângulo de Pascal................................................................................ 19 21 2.3 Binômio de Newton .............................................................................. 21 22 2.4 Termo Geral do Binômio de Newton..................................................... 23 23 2.5 Síntese da Unidade................................................................................ 24 24 2.6 Para saber mais...................................................................................... 24 25 Referências.................................................................................................. 26 26 Unidade 3. Probabilidades........................................................................... 27 27 3.1 Fenômenos ............................................................................................ 27 28 3.2 Espaço Amostral e Espaço Amostral Equiprovável.............................. 28 29 3.3 Eventos.................................................................................................. 29 30 3.3.1 Tipos de Eventos................................................................................. 29 31 3.4 Tipos de Probabilidade.......................................................................... 30 32 3.4.1 Probabilidade Clássica........................................................................ 30 33 3.4.2 Probabilidade Empírica...................................................................... 32 34 3.4.3 Probabilidade Subjetiva...................................................................... 34 35 3.5 Cálculo de Probabilidades..................................................................... 34 36 3.5.1 Probabilidade do Complementar ....................................................... 34 37 3.5.2 Probabilidade da União de Eventos ................................................... 36 38 3.5.3 Probabilidade Condicional ................................................................ 38 39 3.5.4 Probabilidade da Intersecção de Eventos........................................... 41 40 3.6 Síntese da unidade................................................................................. 42 41 3.7 Para saber mais...................................................................................... 42 42 Referências.................................................................................................. 43 43 Referências complementares....................................................................... 44 13

44 Atividades.................................................................................................... 45 45 Gabarito das Atividades............................................................................... 49

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Instrumentalizando as Ciências naturais e

Matemática I

Objetivo Geral Objetivos

Desenvolver habilidades para resolver situações problemas do cotidiano envolvendo

análise combinatória e probabilidade.

Objetivos Específicos • Aplicar o princípio fundamental da contagem para resolver problemas do

cotidiano.

• Resolver problemas envolvendo arranjo, permutação e combinação.

• Determinar números binomiais e desenvolvê-los nas aplicações através

do binômio de Newton em situações envolvendo as diversas áreas do

conhecimento.

• Analisar as probabilidades de acontecimento de um evento.

Introdução

Este fascículo foi desenvolvido com o objetivo de fazer com que você compreenda as

ideias básicas de Análise Combinatória, Binômio de Newton e Probabilidades, e possa

aplicá-las na resolução de problemas.

Foram elaboradas três unidades de estudos, conforme será explicitado a seguir.

Na primeira Unidade, estudaremos a análise combinatória, que envolve o princípio

fundamental da contagem e os tipos de agrupamentos como: permutação, combinação e

arranjo.

Na segunda Unidade, faremos um breve estudo sobre o binômio de Newton.

Aprenderemos o que é um número binomial, como construir o triângulo de Pascal e

desenvolvimento do binômio de Newton.

E, na terceira Unidade, estudaremos a teoria das probabilidades com conceitos,

definições e os cálculos de probabilidades. Veremos como a probabildade nos ajuda na

tomada de decisão e como pode ser aplicada nas diversas áreas do conhecimento.

Unidade 1

Unidade 1. Análise Combinatória

Você já parou para pensar que contar faz parte do nosso cotidiano? Contamos quantos

dias faltam para as férias; quantos dias faltam para o final de ano; quantos dias faltam

para o aniversário, e muito mais.

Na antiguidade, o homem para contar usava pedras, sementes, nós em cordas e pedaços

de madeiras, pois essas maneiras eram suficientes para atender suas necessidades

relacionadas à ideia de contagem.

Entretanto, com a modernidade, algumas quantidades ficaram difíceis de serem

contadas, como, por exemplo, quantas placas de automóvel podemos formar com todas

as letras do nosso alfabeto e todos os algarismos disponíveis? E são problemas desse

tipo que nós vamos estudar em análise combinatória, uma vez que:

Análise Combinatória é a parte da Matemática que estuda e desenvolve métodos para a

resolução de problemas que envolvem contagem (PRAZERES et al, 2006, p. 51).

1.1 Princípio Fundamental da Contagem

O Princípio Fundamental da Contagem é composto pelos Princípios Aditivo e

Multiplicativo. Ele é a base para a resolução dos problemas de Análise Combinatória.

Se queremos somar escolhas utilizamos o Princípio Aditivo e se queremos multiplicar

escolhas utilizamos o Princípio Multiplicativo:

Princípio Aditivo

Considere o seguinte problema:

Você vai a uma sorveteria em que há 3 sabores diferentes de sorvete de massa e 3

sabores diferentes de picolé. Se você quer tomar um sorvete escolhendo um único tipo,

de quantas maneiras pode fazê-lo?

Você deve escolher um único tipo de sorvete, seja ele de massa ou picolé.

Figura 1.1 – Esquema de resolução do problema Princícpio Aditivo

Como temos 3 escolhas para o sorvete de massa e 3 escolhas para o picolé, podemos,

então, tomar 6 sorvetes diferentes.

Assim, pela definição do Princípio Aditivo:

Se existem m1 maneiras de tomar a decisão D1, e existem m2 maneiras de tomar a decisão

D2, sendo D1 e D2 independentes, então o número de maneiras de tomar a decisão D1ou

a decisão D2 é m1 + m2 (PRAZERES et al, 2006, p. 52).

Princípio Multiplicativo

Observe a seguir outro problema:

No cardápio de uma lanchonete há 3 opções de lanches e 2 opções de sucos. Você

deseja realizar sua refeição escolhendo apenas um lanche e um suco, nessa ordem. De

quantas maneiras poderá fazê-la?

Neste caso devemos escolher um lanche1 e um suco.

Figura 1.2 - Esquema de resolução do problema Princícpio Multiplicativo

1 Agradeço a Profa. Andrea Maria G. de Araújo Lima, pelas ilustrações dos lanches.

Assim, pela definição do Princípio Multiplicativo:

Se existem m1 maneiras de tomar a decisão D1, e existem m2 maneiras de tomar a decisão

D2, então o número de maneiras de tomar sucessivamente as decisões D1eD2, é m1 . m2

(PRAZERES et al, 2006, p. 52).

Exemplo 1:

Quantos números de três algarismos podem ser formados com os algarismos 1, 3, 5 e 9?

Solução:

Para cada posição, podemos escolher de 4 maneiras, pois os algarismos podem ser

repetidos.

Centenas Dezenas Unidades ▼ ▼ ▼ 4 F0

D7 4 F0

D7 4 = 64 números

Portanto, podemos formar 64 números.

Exemplo 2:

Quantos números de três algarismos distintos podem ser formados com os algarismos

1, 3, 5 e 9?

Solução:

Para cada posição, o número de escolhas vai diminuindo, pois os algarismos não podem

ser repetidos.

Centenas Dezenas Unidades ▼ ▼ ▼ 4 F0

D7 3 F0

D7 2 = 24 números

Portanto, podemos formar 24 números.

Importante:

Leia com atenção os problemas de Análise Combinatória e verifique se é permitida ou

não a repetição de elementos.

1.2 Fatorial de um número natural

Uma ferramenta matemática muito utilizada na resolução de problemas de análise

combinatória é o Fatorial.

Definição:

O fatorial de um número natural n, n ≥ 2, representado por n!, é definido como sendo o

produto de n por todos os seus antecedentes até o número 1(FURTADO et al, 2007, p.

36). Ou seja:

n! = n.(n-1) . (n-2) . ... . 3 . 2. 1

Ainda faz parte da definição:

1! = 1 e 0! = 1

Exemplo 3:

8! = 8 . 7 . 6 . 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 40.320

5! = 5 . 4 . 3 . 2 . 1 = 120

3! = 3 . 2 . 1 = 6

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