Introdução à isostática , Teses de doutorado de Engenharia Mecânica. Universidade de São Paulo (USP)
lara_azevedo_godoy
lara_azevedo_godoy1 de Abril de 2016

Introdução à isostática , Teses de doutorado de Engenharia Mecânica. Universidade de São Paulo (USP)

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Resistência dos materiais e isostática
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Eloy Ferraz Machado Junioi

Introdução

Isostática

EESC-USP - Projeto Reenge Agosto - 1999

N d m u pih h pbkaçáo podad aa qmdozida, guardada pelo sistema "retrieval" ou transmitida de qualquer nmdo ou por qualquer outro meio, seja este eletrõnico, mecânico, de fotocópia, de gravação ou outros sem prévia auton- zação, por escrito, da EESC.

1 a edição; tiragem: 1.000 exemplares.

Projeto gráfico: Gerson Luiz Carbonero, Luciana Lopez Martini, Reginaldo Peronti

Capa: Luciana Lopez Martini; foto: João Batista de Paiva

Serviços de revisão, produção e coordenação de produção gráfica: A. MelloPiscis Editora

Suporte técnico: Claudinei FabrícioIServiço de apoio a publicações

Ficha catalogrllica preparada pela Seçáo de Tratamento da Informaçáo do Serviço de Biblioteca - EESC-USP

Machado Junior; Eloy Ferra~

M 149i Introdução à isostática I Eloy FerrazMachado Junior. -- São Carlos : EESC-USP, 1999.

[260] p. : il.

Inclui referências bibliográficas e índice.

Projeto REENGE.

ISBN 85-85205-28-8

1. Teoria das estruturas. 2. Estática das estruturas. 3. Estática. 4. Isostática.

I. Título.

A Lilia Maria, Eloy Neto, Carlos Gustavo, João Guilherme

e Maria Augusta

O REENGE, Reengenharia do Ensino de Engenharia, é uma linha de atuação do

programa de Desenvolvimento das Engenharias que tem por objetivo apoiar a reformu-

lação dos programas de ensino de engenharia como parte do processo de capacitação

tecnológica e de modernização da sociedade brasileira, bem como da preparação para

enfrentar os desafios futuros gerados pelo progresso técnico e científico alcançados em

nível internacional.

Visando a consecução de seu objetivo, o REENGE tem oferecido apoio e incen-

tivo para o desenvolvimento de importantes projetas, dentre os quais se destaca o de

publicação de livros didáticos para os cursos de graduação e educação continuada.

A presente publicação, Introdução a Isostática, patrocinada pelo REENGE, é um

texto destinado ao apoio às disciplinas Isostática e Estática dos cursos de Engenharia

Civil, com caráter eminentemente didático e cobrindo os principais tópicos necessários

à formação técnica do aluno nessa área.

O autor, Eloy Ferraz Machado Junior, engenheiro civil formado pela Escola de

Engenharia de São Carlos e professor doutor do Departamento de Engenharia de Estm-

turas desta mesma escola, possui vários trabalhos publicados, tanto de cunho técnico-

científico quanto didático.

A obra incorpora o resultado de um trabalho sério, dedicado e competente reali-

zado pelo professor Eloy, fmto de sua experiência na docência, constituindo-se numa

valiosa contribuição ao aperfeiçoamento e melhoria das condiçóes de oferecimento das

disciplinas básicas, na área de estmturas, nos cursos de Engenharia Civil no país.

Prof Dr. Jurandyr Povinelli*

'Diretor da Escola dc Engenharia de Sáo Carlos da USP, Coordenador do Projeto REENGEIEESC, foi presidente da Comissão de Pós-Graduação da EESC-USP e secre16rio executivo da Comissão de Especialistas do Ensino de Engenharia do Ministério da Educaçáo e dos Desportos.

Princípios Elementares da Estática .

INTRODUÇAO ........................................... 1

CONCEITO DE FORÇA ..................................... 1

CLASSESDEFORÇA ..................................... 2

PONTO MATERIAL E CORPO R~GIDO .......................... 3

FORÇAS DE DIREÇOES QUAISQUER APLICADAS NO MESMO PONTO MATERIAL ........................................... 4

COMPONENTES CARTESIANAS DA RESULTANTE ................. 6

FORÇAS COPLANARES APLICADAS NO MESMO PONTO MATERIAL .... 8

FORÇAS APLICADAS NO MESMO CORPO R~GIDO ................. 10

MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM PONTO ............. 13

MOMENTO DE UMA FORÇA EM RELAÇÃO A UM EIXO .............. 16

BINÁRIO ............................................... 17

REDUÇÃO DE UM SISTEMA DE FORÇAS APLICADAS EM UM CORPO R~GIDO A UMA FORÇA MAIS UM BINÁRIO ..................... 18

FORÇAS COPLANARES APLICADAS NA MESMA "CHAPA" R~GIDA ...... 21

2 Elementos e Formas Fundamentais das Estruturas 2.1 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTURAS ........................... 27

............................. 2.2 ESTRUTURAS LINEARES PLANAS 28

3 Vincuiação dos Sistemas Planos 3.1 GENERALIDADES ........................................ 31

3.2 REPRESENTAÇÁO DOS DIFERENTES TIPOS DE V~NCULOS PLANOS ... 32

3.3 DETERMINAÇÃO GEOMÉTRICA DAS ESTRUTURAS PLANAS ........ 33

3.4 CASOS EXCEPCIONAIS .................................... 38

3.5 CLASSIFICAÇÃO DAS ESTRUTLIRAS QUANTO A SUA DETERMINAÇAO GEOMETRICA . . - - - - - - - - . .- - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - - 41

Equilíbrio dos Sistemas Planos

5 Esforços Solicitantes em Estruturas Planas Estaticamente Determinadas

5.1 GENERAI-IDADES . - - -. - - . - - - - - - .- .-. - . . . .- - - - - - - - - - - - - - - 79 5.2 DEFINIÇÃO DOS ESFORÇOS INTERNOS OU ESFORÇOS SOLICITANTES 80

5.3 SIMPLIFICAÇÃO PARA OS SISTEMAS PLANOS . - - . - - . - - - - - - - - - . - . 84

.................................. 5.4 CONVENÇÁO DE SINAIS 87

5.5 EXEMPLOS DE APLICAÇÁO ................................ 90

6 Representação Gráfica dos Esforços Internos . Diagramas de Estado

6.1 GENERALIDADES ....................................... 103

6.2 TRAÇADO DOS DIAGRAMAS ATRAVÉS DE EXPRESSOES ANAL~TICAS DAS FUNÇÓES DOS ESFORÇOS SOLICITANTES ............... 103

6.3 RELAÇOES ENTRE CARGA, FORÇA CORTANTE E MOMENTO FLETOR - EQUAÇÁO DIFERENCIAL DOS MOMENTOS .................. 108

6.4 EXEMPLOS DE APLICAÇÁO UTILIZANDO A SOLUÇÃO DA EQUAÇÁO DIFERENCIAL DO MOMENTO FLETOR ....................... I12

7 Exemplos de Aplicação . Traçado Direto 7.1 GENERALIDADES ...................................... -123

7.2 VIGAS ................................................ 124

7.3 PÓRTICOS ............................................. 158

7.4 ARCOS TRI-ARTICULADOS COM APOIOS NO MESMO N~VEL, SUJEITOS A CARREGAMENTO VERTICAL ............................ I73

7.5 ESTRUTURAS PLANAS. CONSTITU~DAS POR BARRAS RETAS. ........ SUJEITAS A CARGAS PERPENDICULARES AO SEU PLANO 180

7.6 GRELHA CURVA OU VIGA BALCÃO ........................... -188

8 Treliças Planas 8.1 GENERALIDADES ........................................ 197

8.2 DETERMINAÇÁO ANAL~TICA DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS BARRAS DAS TRELIÇAS SIMPLES ................................ -199

8.3 TRELIÇAS ISOSTÁTICAS COMPLEXAS ........................ -225

8.4 DETERMINAÇAO GRÁFICA DOS ESFORÇOS INTERNOS NAS BARRAS DAS TRELIÇAS SIMPLES ............................... -234

8.4.1 Método dos nós ..................................... 234

8.4.2 Plano Crernona ou diagrama de Maxwell ................... 238

Esta publicação foi baseada em notas de aula, preparadas para as discipli-

nas de Resistência dos Materiais e Isostática, ministradas, pelo autor, na Escola

de Engenharia de São Carlos da Universidade de São Paulo, e na revisão bibli-

ográfica efetuada durante a elaboração do texto.

As matérias abordadas em cada capítulo são apresentadas em linguagem

simples e didática e pretendem representar, para os estudantes de engenhariae ar-

quitetura, o papel de guia durante os primeiros caminhos trilhados na área de en-

genharia de estruturas.

Os assuntos abordados nesta publicação estão reunidos em oito capítulos.

No capítulo 1 são tratados os princípios gerais, elementares, da Estática Clássica,

quando são introduzidos os conceitos de força, ponto material e corpo rígido. As

forças aplicadas, tanto no ponto material quanto no corpo rígido, são analisadas,

vetorialmente, inicialmente no espaço e particularizadas para o plano. Para o es-

tudo do corpo rígido são introduzidos os conceitos de momento, binário e redução

de forças, em relação a um ponto.

No capítulo 2, o leitor tem seu primeiro contato com os elementos e formas

estruturais e sua classificação a partir da geometria de seus componentes. O foco

6 dirigido, em particular, para as estruturas lineares planas, quando então os ele-

mentos lineares são diferenciados pelo papel que desempenham no conjunto da

estrutura.

No capítulo 3 são apresentados os vínculos entre os elementos componen-

tes das estruturas planas e destas com a terra. São indicados os graus de detemi-

nação das estruturas planas convencionais em função das restrições ao

deslocamento impostas pelos vínculos. Uma breve abordagem cinemática é feita

com o intuito de apresentar ao leitor os casos excepcionais, cuja exclusão dos ar-

ranjos estruturais lineares confere a condição "suficiente" para a deteminacáo

geométrica das estruturas planas.

O capítulo 4 trata do equilíbrio dos sistemas planos, onde são relacionados

os diversos tipos de cargas aplicadas e sua classificação. As equações de equilí-

brio, tratadas no capítulo 1, são utilizadas no cálculo das reações externas e inter-

nas, despertadas pelas cargas e impostas pelos vínculos. Os exemplos resolvidos

foram selecionados para proporcionar ao leitor uma visão bastante abrangente das

diversas formas estruturais planas submetidas às mais variadas combinações de

carregamentos estáticos.

No capítulo 5 são definidos os esforços solicitantes no caso geral e a par-

ticularização para os sistemas planos, bem como o significado das convenções de

sinais. Através de exemplos simples, os esforços solicitantes são calculados por

equilíbrio, pelo método das seções ou diretamente.

No capítulo 6 são tratados os diagramas de estado, representação gráfica

dos esforços internos, mostrando o traçado dos diagramas obtidos analiticamente

e através de relações diferenciais entre cargas, força cortante e momento fletor.

O capítulo 7 é inteiramente dedicado a exemplos de aplicação resolvidos

pelo método direto. Inicialmente, por motivos puramente didáticos, são aborda-

das as vigas simples, inclusive as inclinadas e as curvas, passando pelas vigas

Gerber, pelos pórticos, arcos e grelhas, de barras retas e barras curvas, mais co-

nhecidas como vigas balcão.

Finalmente, no capítulo 8 são tratados os esforços internos nas estruturas

em treliça, simples e complexas, calculadas analiticamente pelo método dos nós

e método das seções. O cálculo gráfico, pelo método de Cremona, é objeto de uma

seção exclusiva, motivada pela sua genialidade e importância histórica.

Encerrando a publicação, vêm as referências utilizadas na revisão biblio-

gráfica, que de modo algum esgotam a bibliografia referente ao tema.

Por fim, quero expressar meus agradecimentos ao professor João Carlos

Antunes de Oliveira e Souza, pelas sugestões. Ao Rui Roberto Casale, pela digi-

tação; ao Francisco Carlos Guete de Brito e à Sylvia Helena Morette Villani, pela

elaboração dos desenhos do texto embrião desta publicação.

A estática, parte da Mecânica Clássica, é a teoria do equilíbrio das forças.

Tem como finalidade o estudo das condições ou relações entre as forças que,

atuando num corpo ou sistema de corpos, implicam em equilíbrio.

A estática, aplicada a engenharia, é utilizada para a análise e dimerisiona-

mento de estruturas e também para cálculo de suas deformações.

1.2 - CONCEITO DE FORÇA

O conceito de força é introduzido na Mecânica Clássica como sendo a

ação de um corpo sobre outro, causando deformação ou movimento. Esta ação se

manifesta por contato ou a distância, como é o caso das forças gravitacionais --

os pesos q u e têm sempre sentido vertical para baixo.

As forças encontradas na natureza, na verdade, são distribuídas sobre os

elementos de seu volume, como o peso de um corpo, ou sobre os elementos de

superfície, como a pressão da água sobre as paredes de um recipiente que a

contém. Na Mecânica Vetorial, a força é tratada como concentrada, idealização

. -15- que tem precisão suficiente na grande maioria dos casos. A força 6 portanto re- presentada por um vetor e necessita, para sua definição, da sua intensidade,

direção, sentido e do seu ponto de aplicação. A unidade de força no Sistema

Internacional de Unidades (SI) é o newton (N), definido como a forca que

imprime à massa de I kg uma aceleração de I d s ' , Fig. 1.1 Figura 1.1

1N = (Ikg) x ( l m / s 2 ) = lkg .m/s2

1.3 - CLASSES DE FORÇAS

As forças que atuam num corpo ou sistema de corpos podem ser classifi-

cadas como forças externas e internas. As externas são aquelas devidas a ações

externas ao conjunto que se analisa. As internas são as originadas pela interaçáo

entre os pontos ou corpos que constituem o conjunto analisado.

As forças externas podem ainda ser classificadas em ativas e reativas. As

ativas são geralmente dadas ou facilmente determináveis e atuam diretamente

sobre o corpo ou sistema de corpos. As reativas são forças localizadas e surgem

devido aos vínculos ou ligações que impedem movimentos. Só aparecem quando

atuam forças ativas.

Como exemplo observemos o bloco A apoiado sobre os blocos B e C, Fig.

1.2.a, todos submetidos à açáo dos seus pesos próprios. Considerando, para aná- 3

lise. somente o bloco A, Fig. 1.2.b, seu peso próprio P, é a força ativa a ser con-

siderada. 3 3

As pressões p, e p,, que os blocos B e C exercem sobre A, são as forças + + 3 3 +

reativas. P,, p, e p, são forças externas. As mesmas pressões p, e p,, com

sentido contrário, são forças ativas atuando sobre B e C, Fig. 1.2.b.

Analisando o conjunto formado pelo sistemade blocos ARC, Fig. 1.2.c, as

+ S -t + + + forças P,, P, e P, são as ativas e as pressóes p', e p', serão as reativas. P,, i + + + P, , P,, p', e p', são forças externas.

+ + As pressaes p, e p, , entre os blocos B, C e o bloco A, não são consideradas

na análise do sistema ABC, pois são agora forças internas. No estudo das partes estas

forças aparecem sempre aos pares, com o mesmo valor mas com sentido contrário.

Figura 1.2

1.4 - PONTO MATERIAL E CORPO R~GIDO

A força é a aqão de um corpo sobre outro. Em uma grande quantidade de

casos esta ação pode ser tratada, com boa precisão, como concentrada em um

único ponto. Quando o tamanho e a forma do corpo submetido à ação de forças

não afetam significativamente a análise do problema fisico, podemos considerar

estas forças aplicadas em uma única partícula ou ponto material.

O ponto material, portanto, s6 pode ser submetido a forças concorrentes e

tendo-se em vista que todas elas têm o mesmo ponto de aplicação, para a

definição de cada força basta sua intensidade, direção e sentido.

Quando a ação de várias forças se dá em pontos distintos de um corpo, há

que considerar sua forma e tamanho. O corpo, neste caso, pode ser tratado como

o ) Pcso :?i~slcnLiid> pr>r dois cobos dc uqi,

b) l'eso sustei i tado por l i é s cobos i l j v

Figura 1.3

um conjunto de pontos materiais. As forças nele aplicadas necessitam, para sua

inteira caracterização, também da definiçio de seus pontos de aplicaçio.

Todos os elementos componentes das estruturas - as máquinas incluídas -

sofrem pequenas deformações quando submetidos à ação de forças. Quando cstas

deformações não alteram substancialmente a natureza do problema físico analisado,

os corpos podem ser considerados rígidos, isto é, suportar forças sem se deformar.

Se o problema estudado fosse a resistência dos elementos ou o deslocamento

de um determinado ponto, entáo as deformações teriam que ser consideradas.

Para exemplificar a concepção de corpos reais como rígidos, podemos

observar os sistemas da Fig. 1.3, onde pretendemos determinar as forças nos ca-

bos de sustentação. i

No caso da Fig. 1.3.a a decomposição da força P em componentes, nas

direções AC e BC, determina as intensidades das forças nos cabos, sem a

necessidade de se considerar as suas deformações. No caso da Fig. 1.3.b, para se

determinar as forças nos cabos a deformaçâo dos mesmos deverá, necessaria-

mente, ser considerada. No caso (a) os fios podem ser considerados rígidos para

a solução do problema físico em questão, o que não acontece no caso (b).

Nesta publicação serão tratados apenas os casos em que os sólidos podem

ser considerados rígidos, isto é, capazes de suportar forças sem se deformarem.

1.5 - FORÇAS DE DIREÇÓES QUAISQUER APLICADAS NO MESMO PONTO MATERIAL

+ 3 Comprova-se experimentalmente que duas forças, P! e P, aplicadas num

ponto material ou no mesmo ponto de um corpo rígido podem ser substituídas por +

uma única força R que proporcione o mesmo efeito sobre o ponto ou corpo rígido.

A força única é chamada resultante das duas forças e pode ser determinada

pela construção de um paralelogramo que tenha as duas forças como lados, Fig. 1.4.

Figura 1.4

Esta regra para a obtenção da resultante 6 conhecida como lei do paralelo-

gramo para adição de duas forças.

Usando o mesmo raciocínio, podemos utilizar a lei do paralelogramo, su-

cessivamente, para encontrar a resultante de várias forças aplicadas no mesmo +

ponto, Fig. 1.5. A resultante R pode ser expressa, portanto, como a soma veto- $ $ $ 6 ria1 das forças P, , P,, P, e ,

Uma derivação desta lei é a regra do triângulo. Como o lado do paralelo- $

gramo oposto à força 6, representa P, em intensidade e direção, pode-se dese- nhar metade do paralelogramo.

A regra consiste, portanto, em posicionar a origem de uma força à extremi-

dade da outra, ligando a origem da primeira à extremidade da segunda, Fig. 1.6.

Se as forças aplicadas em A, Fig. 1.7.a, estiverem contidas no mesmo plano Figura 1.5

Figura 1.6

Figura 1.7

- forças coplanares - é mais prático a aplicação sucessiva da regra do triângulo.

Fig. 1.7.b. Omitindo-se as passagens intermediárias, temos a constmção conhecida

como polígono das forças para a determinação da resultante, Fig. 1.7.c.

Analogamente, a resultante pode ser expressa como a soma vetorial das $ 9 3 3

forqas P, , P2, Pi e Pl , conforme a equação (1.2).

Complementando, podemos enunciar o princípio da transmissibilidade ou

teorema da transposição de uma força ou, ainda, teorema da deslocabilidade do

ponto de aplicação da força:

"A ação de uma força, sobre um corpo ngido, não se altera se se deslocar o

ponto de apliça~iÍo desta força sobrc sua linha de ação", Fig. 1.8. Um resultado

imediato deste enunciado é que uma força aplicada em um corpo rígido pode ser

representada por um vetor deslizante.

Figura 1.8

1.6 - COMPONENTES CARTESIANAS DA RESULTANTE

3 3 3

Seja o sistema de forças P , , ..., P , , ..., P. aplicadas no mesmo ponto. Supondo o ponto de aplicação das forças, a origem O de um sistema de eixos

3

coordenados, triortogonais, x, y e z, uma força genérica P, terá, segundo os eixos

coordenados, três componentes, conforme a Fig. 1.9.a. As componentes esca-

lares são as projeções de P, sobre os eixos e valeiii

onde (e,) j , (e,); e (0 .); são os ângulos que h; forma com os eixos x, y e z. Os +

co-senos de (e,);, (e,), e (e.)! são chamados co-senos diretores de Pj . +

É facilmente demonstrável a relação entre a intensidade da força Pi e suas

componentes escalares

f f Com os vetores unitários i , j e orientados segundo x, y e z, Fig. 1.9.b,

+ podemos definir a força genérica P, como sendo

onde as componentes escalares são as expressas em (1.3).

Exprimindo a resultante do sistema de forças como soma vetorial temos 1.)

': i

Da (1.5) na (I .6) tem-se

-f As componentes de R são, nas direções x, y e z, respectivamente,

A intensidade da resultante será, a semelhança de (1.4),

(1.7) Figura 1.9

+ A direção de R poderá ser obtida através de relaçües análogas à equação (1.3).

Graficamente, a resultante também poderia ser obtida pela construção do

polígono das forças. No caso espacial, no entanto, sua construção não é prática,

tomando-se mais cômodo o cálculo algébrico.

Finalmente, podemos estabelecer as condições de equilíbrio de um ponto

material submetido i ação de forças quaisquer.

De acordo com a primeira lei de Newton, um ponto material encontra-se

em equilíbrio - repouso ou movimento retilíneo e uniforme - se a resultante

das forças que agem sobre ele for nula. Então podemos escrever, vetorialmente,

algebricamente, através da nulidade das componentes,

graficamente, o equilíbrio do ponto material pode ser expresso pelo fechamento

do polígono das forças.

1.7 - FORÇAS COPLANARES APLICADAS NO MESMO PONTO MATERIAL

Supondo o ponto material na origem o de um sistema de coordenadas car-

tesianas 0, x, y, coplanares com as forças aplicadas no ponto, Fig. 1.10, e tendo

em vista a Seção anterior podemos escrever: 3

Componentes cartesianas da força genérica P,

Xi = P, cose, ; Y, = P seno,

+ e, é o ângulo que a força P, forma com o eixo x

Figura 1.10

+ Módulo ou intensidade de P;

f f Introduzindo os vetores unitários i c j , segundo os cixos x e y, podemos

3 expressar P, como

- + - P, = X , i i-Yi j (i. i 4)

As componentes da resultante do sistema de forças são

e sua intensidade será

A direção da resultante poderá ser obtida através de relações à semelhança

da eqoaçáo ( I. 12).

Graficamente, a determinação da resultante, no caso de forças coplanares,

r , "alíqorio r ios l o r i o s

Figura 1.11

Figura 1.12

toma-se um procedimento prático através da construção do polígono das forças,

como mostra aFig. 1.ll.b.

A linha de fecho que vai da origem da primeira força à extremidade da

última representa a resultante em intensidade, direção e sentido. O ponto de apli-

cação é o ponto comum de concorrência entre as forças, Fig. l.1l.a.

As condições de equilíbrio, tratadas na Seção 1.6, serão:

vetorialmente,

algebncamente,

graficamente,

fechamento do polígono das forças.

O tratamento teórico, apresentdo nas Seções 1.6 e L.?, é também

aplicável aos sistemas de forças que atuam no mesmo corpo rígido, com linhas

de açáo concorrentes no mesmo ponto próprio.

Neste caso, como as forças em ação no corpo têm pontos de aplicação dis-

tintos, temos que considerar a forma e o tamanho do corpo.

Para simplificar o estudo das forças aplicadas no mesmo corpo rígido, é

necessária a introdução do conceito de momento de uma força em relação a um

ponto. Este conceito ficará mais claro após uma breve recordação da definição do

produto vetonal de dois vetores: 3 +

O produto vetorial de dois vetores a e b é o vetor È que tem linha de agão + + perpendicular ao plano formado por a e b e módulo igual à área do pardlelo-

9 gramo de lados 8 e b , Fig. 1.12.

O módulo de i é, portanto,

c = ab sen8 (1.19)

O sentido do vetor $ é tal que, observando-se da extremidade de È , a 3 3 rotação no sentido de a alinhar-se com b é anti-horána. 3 3 3 3 b Os três vetores a , b e c = 2 x b , nesta ordem, formam um triedro posi-

tivo. A regra da mão direita também pode ser utilizada para a determinação do

sentido de È , Fig. 1.13. --- -- 3 3 I_i.

O produto vetorial não é comutativo e, portanto, 2 x b não é igual a b x 3 a , mas a um vetor -8 de mesma intensidade e sentido contrário, podendo-se escrever a expressão Figura 1.13

A propriedade distributiva se aplica ao produto vetorial, assim

Se dois vetores têm mesma dirgão e sentidos iguais ou contrários, o seu

produto vetorial é nulo, pois a área do paralelogramo é nula, de acordo com a

expressão (1.19).

É interessante expressar o produto vetorial através das suas componentes car- > ? 3

tesianas. Os vetores unitários i , J , k , orientados segundo as direçóes x. y e z de um

sistema de eixos cartesianos, são ortogonais entre si e formam um triedro posiiivo. 3 3

Assim, o produto vetorial c de dois vetores ?i e b , expresso segundo as

componentes cartesianas destes vetores, pode ser escrito

Usando a propriedade distributiva do produto vetorial, este pode ser expresso

como uma soma de parcelas, onde cada qual representa o produto de dois escalares

multiplicados pelo produto vetonal de dois vetores unitários e ortogonais entre si.

Lembrando a definição de produto vetorial temos, de imediato, os produ- > > 3

tos dos pares de vetores formados com i , j , k

Desenvolvendo a equação (1.22) e com as equações (1.23), obtemos

As componentes, segundo os eixos cartesianos, do produto vrtorial E são, portanto,

O produto vetorial pode, então, ser escrito na forma

Os temos do segundo membro da equação (1.24) podem ser representados

por um determinante, assim o produto vetorial pode ser expresso sob a forma

c =

- - - i j k

A, A, A,

Bx B, B,

1.9 - MOMENTO DE UMA FORCA EM RELAÇÃO A UM PONTO

Podemos, agora, definir o momento de uma força em relação a um ponto

fixo. 3

Consideremos a força P aplicada em um ponto A e um pólo fixo 0. A f posição de 6 pode ser definida, em relação ao pólo, pelo vetor r que liga o pólo

3 fixo ao ponto de aplicação de P , Fig. 1.14.

Figura 1.14

3 3 Definimos como momento de P em relação a O o produto vetorial de e P

-3 A linha de ação do momento Mo é perpendicular ao plano formado pela 3

força P e o pólo O, de acordo com a definição de produto vetorial. O sentido do

momento é o sentido da rotação que faz : alinhar-se com 6 . A regra da mão +

direita, vista na Seção 1.7, é usada para definir o sentido de Mo.

No caso da Fig. 1.14, o sentido da rotação é anti-horário.

Ainda conforme a definição de produto vetorial, o módulo do momento é

sendo r o módulo do vetor posição e d a distância do pólo fixo O à linha de

ação da força 8 . Observamos, através da equação (1.29), que o momento de uma força em

relação a um ponto não depende do ponto de aplicação da força sobre sua linha

de ação.

Podemos, agora, determinar o momento da resultante de um sistema de 3 3 3

forças concorrentes no mesmo ponto. Seja o sistema de forças P , , ..., Pi , ..., P, ,

com ponto de aplicação comum em A. A posição de A, em relação a um pólo

fixo 0 , é definida pelo vetor i , Fig. 1.15.

Figura 1.15

+ 3 Sendo R a resultante do sistema de forças, definimos o momento de R

em relação a O como

Usando a propriedade distributiva do produto vetonal segue-se

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