Leis Kepler - elipses, Notas de estudo de Engenharia Aeronáutica
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Leis de kepler sobre as elipses
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Microsoft PowerPoint - MecSSolarII-Bete.ppt

1. Mecanica do Sistema Solar (II):

Leis de Kepler do movimento planetário

Astronomy: A Beginner’s Guide to the Universe, E. Chaisson & S. McMillan (Caps. 0 e 1) Introductory Astronomy & Astrophysics, M. Zeilek, S. A. Gregory & E. v. P. Smith (Cap.1) Apostila (www.iag.usp.br/~dalpino/aga215

Johannes Kepler Tycho Brahe

Astrônomo Dinamarquês

1546 - 1601

Matemático e Astrônomo Alemão

1571 - 1630

Circunferência achatada = Elipse

=

Lei das Elipses : sobre órbitas dos planetas

1ª Lei: A órbita de cada planeta é uma elipse, com o Sol situado em um dos focos.

Sabemos que na elipse, a soma das distâncias até os focos é constante: r + r’ = 2a, onde a é o semi-eixo maior.

No caso de uma órbita planetária, o semi-eixo maior da elipse é a distância média do Sol até o planeta.

Elipse

rr’

FF’

2a

r + r’ 2a

Elipse

Q

Elementos de uma elipse

PA O F

f

b

a

B

B’

a = semi-eixo maior b = semi-eixo menor f = distância focal e = excentricidade

e f/a

f ae

afélio periélio

2ª Lei: O raio vetor que liga o corpo maciço (Sol, por ex.) ao corpo mais leve (um planeta, por ex.) varre áreas iguais em tempos iguais

Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas

Segunda Lei de Kepler: Lei das Áreas

É uma consequência da conservação do momento angular.

Sistema de 2 corpos onde a massa de um dos corpos é muito maior que o outro:

vrmprL ×=×=

L: momento (quantidade de movimento)

angular

p: quantidade de movimento linear

r: raio vetor

v: velocidade do corpo mais leve de massa m

Lei Harmônica Busca de harmonia (Kepler a deduziu 10 anos depois)

3ª Lei:

O quadrado do período de um planeta é proporcional ao cubo de sua distância média ao Sol.

P é o período sideral do planeta e a o semi-eixo maior de sua órbita. A constante k tem o mesmo valor para todos os corpos orbitando em torno do Sol.

ka P

3 2 =

Tabela : Algumas Propriedades dos Planetas

1.0010.248248.639.53Pluto

1.0000.010164.830.06Neptune

0.9990.04684.0119.19Uranus

1.0000.05629.469.539Saturn

0.9990.04811.865.203Jupiter

1.0000.0931.8811.524Mars

1.0000.0171.0001.000Earth

1.0010.0070.6150.723Venus

1.0020.2060.2410.387Mercury

(Earth years)

(astronomical units)

P2/a3Orbital Eccentricity Orbital

Period, P Orbital Semi- Major Axis, aPlanet

Tabela : Algumas Propriedades dos Planetas

1.0010.248248.639.53Pluto

1.0000.010164.830.06Neptune

0.9990.04684.0119.19Uranus

1.0000.05629.469.539Saturn

0.9990.04811.865.203Jupiter

1.0000.0931.8811.524Mars

1.0000.0171.0001.000Earth

1.0010.0070.6150.723Venus

1.0020.2060.2410.387Mercury

(Earth years)

(astronomi cal units)

P2/a3 Orbital Eccentr

icity

Orbital Period

, P

Orbital Semi-Major

Axis, a Planet

Logo se:

P : em ANOS Terrestres

a : em 1UA = distancia Terra- Sol

K = 1 !

Mostrar que a média dos raios orbitais é o semi-eixo maior

F PA

O F'

Q1

rr'

Q'1

r r'

Q1r + r' = 2a Q'1r' + r = 2a r + r' + r' + r = 2a + 2a r + r' + r' + r = 4a (r + r' + r' + r) / 4 = a r1 = a

Q1 e Q'1r1 = a Q2 e Q'2r2 = a

QN e Q'NrN = a ...

r1 + r2 + ... + rN = N.a (r1 + r2 + ... + rN ) / N = a

rm = a

Para um par de pontos simétricos

Para todos os pares de

pontos simétricos

A LEI DA GRAVITAÇÃO UNIVERSAL O que impede os planetas de sairem flutuando pelo espaço? Kepler havia atribuído as órbitas elípticas a uma força de atração magnética.

Newton (sec. VII) linha de raciocínio semelhante

lei da gravitação universal, demonstrou-a por meio do movimento da Lua, explicou o movimento dos planetas e generalizou as leis de Kepler

Leis de movimento de Newton

Supõe-se: espaço-tempo absoluto, partícula material de massa m descrevendo uma trajetória com velocidade , com quantidade de movimento e aceleração .

(t)x r

(t)v r

vm(t)p r r = (t)a

r

1ª: Lei da inércia

Qualquer corpo permanece em seu estado de repouso, ou de movimento retilíneo e uniforme, a menos que seja compelido a mudar de estado por uma força externa.

2ª: Lei de Newton: da força

A taxa de variação da quantidade de movimento de um corpo é igual à força que atua sobre o corpo.

1. A força da mão acelera a caixa.

2. Duas vezes a força produz uma aceleração duas vezes maior (a é prop. à força aplicada)

3. Duas vezes a força sobre uma massa duas vezes maior, produz a mesma aceleração original (a é inversamente prop. a m)

am dt vdm

dt )vd(m

dt pdF

r rrrr ====

3ª: Lei da ação e reação

• A cada ação existe sempre uma reação igual e de sentido contrário.

Para simplificar, vamos supor que o corpo possui órbita circular, de raio r:

força centrípeta:

Se P é o período orbital do corpo:

mas, pela terceira lei de Kepler: , então:

Assim, a força que mantém a órbita é inversamente proporcional ao quadrado do raio.

r vmF

2

cent =

P r2v π=

32 rkP =

2

2

3

22

2

22

rk m4

rrk r4m

rP r4mF πππ ===

Matéria atrai matéria na razão direta das massas e inversa do quadrado da distância.

Lei da gravitação Universal

G a constante universal da gravitação G= 6,67 10-8 cm3 g-1 s-2.

2 21

r mmG

F =

F Fr

m2 m1

m1, m2 = massas dos corpos envolvidos r = distância entre as massas F = força de atração gravitacional

Newton combinou suas três leis do movimento e a lei da gravitação para deduzir as leis empíricas de Kepler.

Sistema isolado;

dois corpos em órbita circular, sob ação de sua força gravitacional mútua (também se aplica a órbitas elípticas);

massas m1 e m2, que orbitam em torno de um centro de massa (CM) suposto estacionário, do qual distam de r1 e r2 .

3ª Lei de Kepler na formulação Newtoniana

• Uma vez que a

força gravitacional atua ao longo da linha imaginária que os une,

ambos os corpos devem completar uma órbita no mesmo período P (embora se movam com velocidades diferentes).

• Para uma órbita circular: .

• A força centrípeta necessária para manter as órbitas é:

P r2v

v r2P ππ =⇒=

r vmF

2

=

Lembrando a lei da gravitação universal:

podemos escrever também que:

O corpo de massa maior permanece mais próximo do centro de massa.

(1) r mmGF 2

21=

2 11

2

1

1 2

2 1

2

1

2 1

11 P mr4

r m

P r4

r vmF ππ === 2

22 2

2

2 2

2 2

2

2

2 2

22 P mr4

r m

P r4

r vmF ππ ===

⇒=⇒= 221121 mrmrFF 1

2

2

1

m m

r r =mas

(1b)

Como 21 rra +=

1

2 1

1

2

1

2 11 m

mr m ma

m m)r(ar −=−=

1

2

1

21 1 m

ma) m

mm(r =+ ⇒ (2) 21

2 1 mm

mar +

=

Lembrando que 2

21 21grav r

mmGFFF === ⇒ (3) a mmGF 2

21 grav =

Podemos reformular a 3ª lei de Kepler , combinando (1b), (2), e (3):

2121

2 12

2

1

11 2

2 2

11 2

1 mmG)m(m amma4

F mr4P

P mr4F

+ ==⇒=

πππ

3

21

2 2 a

)mG(m 4P ⎥

⎤ ⎢ ⎣

⎡ +

= π

então

K !!

Aplicação ao Sistema Solar

Entre as várias aplicações, podemos calcular, por exemplo, a massa do Sol:

• Se um dos corpos tem massa muito maior que a do outro ( M >> mP), então,

para o sistema Terra-Sol a distância é de 1U.A. e o período é de 1 ano.

então M = 1,99x1033g.

3 2

3

21

2 2 a

GM 4a

)mG(m 4P

Θ

=⎥ ⎦

⎤ ⎢ ⎣

⎡ +

= ππ

)(s)sg(cm cm

))(3,16x10(6,67x10 )(1,5x104M 22-13

3

278

3132

−−Θ = π

A Força Gravitacional que um objeto exerce em outro é O metodo para determinar-se MASSAS em Astronomia!

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