Exercício Resolvido Propriedades do Produto Interno
bom gente vamos fazer mais exercício aqui sobre propriedade de produto interno e daqui para a gente três afirmações ele pede para a gente verificar qual a verdadeira com a falsa.
Então vamos ver uma de cada vez eu vou começar de baixo para assim eu vou começa eu vendo afirmação três aqui porque o exercício vai ficar mais simples desse jeito certo ele deu para a gente a igualdade é fingir então f g(1) produto interno do há a função f pela função de erro ele está definindo como integral de 0 t um certo de f de gente t de t.
Ele disse que essa igualdade aqui ela é um produto interno espaço das funções contínuas em zero dois bom gente para que ele definiu espaço eu vou voltar aqui Qual espaço que a gente está porque é importantíssima?
Sim detalha o espaço que a gente tem as funções contínuas no intervalo de zero a dois bom, vocês devem lembrar de uma propriedade de produto interno que era muito importante que é o seguinte f interno f do que zero esse somente seu quer f for há a função nula esse zero aqui há a função nula, então é um zero numérico só e há a função constante igual a 0 Agora vamos reparar que ele definiu para a gente o espaço continua do que zero dois, mas há a integral a quitação do intervalo serão isso aqui e uma brecha é o que faz essa afirmação c falsa.
Porque a gente pode fazer o seguinte Imagina que a gente traça um o eixo aqui certo?
Vão definir um gráfico aqui?
Eu vou deseja gráfico de uma função aqui para vocês de 0 Pós- aqui imagina que essa função ela vale zero durante todo o tempo e aí depois ela começa a crescer assim certo até aqui ela vale zero.
Depois ela haverá uma outra função e essa medida que é um certo essa medida que é um, eu vou tentar descrever sela função para vocês Numericamente vamos pensar uma função que ela tende essas características f de t conheça i igual a ela pode ser igual a 0 se eu t for maior que zero certo m menor ou igual ali isso não precisa ainda
assim menor que zero vamos fazer só menor igual e ela vale t menos um ao quadrado para ter maior que nem repara o seguinte essa função t menos uma qualidade, ela tem cara de uma parábola certo?
Repara que se eu botar o número um aqui menos um das zero c ao quadrado da zero então no ponto essa função vale zero também e no ponto igual essa função vale zero, ou seja, se você tomar os limites esquerda pela direita como a gente, aprendem calcular essa função contínua aqui, então na verdade essa função e continua no zero dois, Então eu vou dizer que f ela pertence ao espaço das funções contínuas no zero dois porque qualquer limite com o tomar entre zero e dois aqui aqui eu vou definir como sendo dois qualquer limite com o tomando esse intervalo aqui eu vou obter limite existe então então ela continua, só que repara uma coisa se eu fez e há a integral entre zero e um DF de t vezes f de t eu vou obter é o que e a para a gente fazer integrar de 0 e calcular área debaixo do gráfico da função, só que entre zero e um essa função vale zero gente repara que produto t menor que essa função ali zero então entre zero e um essa função vai ficar zero vezes zero de aqui aqui zero zero vezes erro de t isso aqui da zero, Como a gente sabe, reparei então que eu conseguir isso aqui equivale a mesma coisa do produto interno dela pula era a própria certo.
Reparei então que eu achei uma função f, então existe uma função f tal que o que então tal que tal que o que o produto interno dela por ela própria e igual a 0, mas ela não e há a função nula.
Resumindo eu achei uma função.
Por exemplo, essa aqui que fura essa brecha que for essa característica que a condição para que o produto interno e isso aqui só do que zero sela função fórmula Eu achei uma função não nula do que zero certo repara que há a função phi não nula porque entre um e dois ela vale uma coisa diferente de 0 o quanto ela não nula, só que quando faço produto interno dela por ela própria da zero, exatamente porque há a integrar autodefinida só no intervalo o z fi um então essa afirmação é falsa uma pega de tanto a aqui aí vamos para a segunda afirmação.
A segunda afirmação Ela me disse o seguinte vamos ler a segunda geração a segunda afirmação aula me dar quatro valores tenho meu tendo esse treze quatro e ela está dizendo que essa igualdade aqui essa igualdade aqui vale como um produto interno promover.
Então ele me disse que PEC certo ele tá calcular do assim de ter um que de ter um certo mais Papa Papa há a Ele soma aqui até pi de três t um t dois três Ker de T três mas de t quatro que de ter quatro há a fatoração um tema que não voltava permite dois que a gente dois Tudo bem desde o produto interno que ele deu para a gente Adivinha gente!
Vamos há a essa mesma propriedade de cima?
Será que eu consigo achar um polinômio pi que se eu fez essa conta aqui dele por ele próprio?
Do que zero só que mais diferente de zero?
Será que ele conseguiu e são polinômio assim bom adivinha só eu consigo como definir um polinômio T de t como seno ter menos tem um vezes ter menos t dois vezes ter menos de três vezes menos t quatro para que não interessa quem tem um tendo está três a quatro se eu faz e produto interno de eu vou obter eu tenho que não tem um e multiplicar pelo pênalti d1 se eu ponto A tenho meu aqui eu vou beta zero vezes uma cacetada de coisas estudar zero há a eu vou voltou até dois aqui porque eu preciso fazer pede t dois vezes expedita dois vai dar zero vezes uma cacetada de coisa que dá zero a zero e zero.
Isso aqui do que zero só que não é nulo.
Vocês podem ver por aqui que o Perea diferente de zero, então que eu achei eu achei um pi tal que é o que que o produto interno dele por ele próprio do que zero, mas ele diferente do vetor nulo, então isso aqui não!
E produto interno não é produto interno, então afirmação dois também é falsa a gente Ela também é falsa bom.
A única afirmativa que diz para a gente as coisas que condiz com essas coisas que a gente descobriu é que a afirmação uma verdadeira certo, porque há a dois ela não é verdadeira.
Eu sei que há três e falsa, então todas não são verdadeiras, apenas a um ou três são verdadeiras.
Eu sei que matriz é falsa e eu sei que há a dois e falso então só sobre essa alternativa que apenas a afirmação é verdadeira.
Detalhe que provar isso aqui há a igualdade ab igual traço da matriz A e b transposta vez aprovar isso aqui é muito difícil.
Dá muito trabalho algébrica, por isso que esse exercício melhor fazer de baixo para cima do que de cima para baixo.
