Exercício Resolvido Norma e suas Propriedades
bom, vamos agora resolver um exercício sobre o conceito de norma LD aqui para a gente considera um produto interno qualquer e ele deu essa relação aqui certo?
De x mais e são autovetor ia norma desse setor é igual a soma das normas ele pede para a gente qual a condição que tem que ser atendida para que isso seja verdade, Então isso acontece se, e somente se c bom isso uma demonstração vão mover o seguinte primeiro a gente tem que lembrar aqui há a norma de um vetor certo quando a gente pega e são norma ao quadrado ela é igual a que era igual produto interno do vetor fiz mais y por ele próprio de x mais.
Só que a gente pode continuar desenvolvendo isso aqui isso aqui e igual necessariamente há a ia gente pode abrir isso aqui subiu em subprodutos internos, usam na propriedade distributiva do produto interno?
Então vai ser.
Fiz, fiz mais y aqui o x mais expressão aqui os x mais e a pessoal, mas aí você pega um outro produto interno aqui.
LI pessoal, fiz mais y ótimo agora que a gente precisa fazer agora continuar fazendo e abrindo esse produto interno, então isso aqui vai dar o que é o produto interno de x pi o x mais o produto interno de x supor y o que eu fiz aqui o que ele fez aqui foi fazer distributiva aqui x de x f(x,y) também ótimo!
Agora vou fazer a mesma coisa
vai d1 produto interno de y fiz fazendo a primeira distributiva aqui fazendo a segunda vai dar produto interno aqui de y por y por ele próprio aqui.
Ótimo, agora que a gente precisa lembrar que essencial para resolver exercícios que e há a norma de um vetor ao quadrado é igual a ao produto interno dela por ela própria, certo desse victor por ele próprio.
Então eu posso reescrever essa igualdade, não ver como que eu escrevesse igualdade.
Quer dizer então que e há a norma de x mais expressão ao quadrado é igual a isso aqui.
Só que isso aqui Após escrever como há a norma de x ao quadrado certo, porque o x interno fiz da norma de x ao quadrado Aí eu tenho x entra no y mais e são intuir.
Difícil.
Só que lembrem que a ordem não faz diferença para o produto interno, então isso aqui i igual a duas vezes o produto interno difícil por y.
Olha só agora que a gente precisa fazer adicionar agora há a norma de e são ao quadrado ótimo!
Então ele pediu pra gente verifica a seguinte igualdade há a norma de fiz mais y certo aqui aqui há a gente, precisamos máquinas aqui os x mais e pessoas isso ao quadrado tem que ser igual há a norma de x ao quadrado não ao quadrado não é igual a norma difícil meio estão não precisa aqui mais há a norma de pessoal.
Só que como ele veio ao quadrado no lado esquerdo tem que levar ao quadrado no lado direito que isso aqui eu posso abrir usando produtos notáveis?
Vai dar norma de x ao quadrado mais duas vezes há a norma de x dez há a norma de expressão aqui, mas há a norma tipo ao quadrado e a para que essa é uma relação aqui e essa é uma relação dois que eu descobrir.
Mas para que essa igualdade seja feita a igualdade um tem que ser igual igualdade dois Então eu posso i igual a esse esse equação com essa aqui vamos fazer uma igual outra então eu vou cair início aqui a gente que há a norma de x ao quadrado mais duas vezes há a norma difícil norma de y, mas há a norma de ao quadrado certo?
Essa esse equação aqui tem que ser igual há a não é mãe de x ao quadrado mas duas vezes o produto interno desses dois setores que você já descobriu, mas o produto interno de pressão por y que ela norma de pessoal ao quadrado ok gente repara que esse lado da equação tem termo semelhantes.
Posso cortar esse termo com esses termos aqui porque eles estão dos dois lados da equação.
Ia eu vou cair aqui há a norma de x mais e pessoal norma de x vez há a norma de y vezes dois tem que ser igual esse tema que tem que ser igual a duas vezes o produto interno difícil elipse Como tenho dois dos dois lados há a possível de por dois dos dois lados da equação, então eu caio que há a norma de x beleza norma de tem que ser igual ao produto interno de x Pn pessoal e essa é precisamente a condição que e de escrito aqui nessa alternativa alternativa dn dado Então, para que essa igualdade seja satisfeita, eu tenho que ter essa igualdade aqui que o produto interno supor expressão tem que ser i igual a norma de x vezes há a norma de y.
